立体几何中的向量方法求空间角

1.异面直线所成角： cos | cos a, b | 2.直线与平面所成角： sin | cos n, AB |
a
C
a b
D
D1

A
B


A n
3.二面角：

B
C l
B

①方向向量法：
A
D


O
n
②法向量法：
【注意】法向量的方向：一 进一出，二面角等于法向量 夹角；同进同出，二面角等 于法向量夹角的补角。
思考：
CD, AB 与 的关系？ D1 A B DC , AB 与 的关系？ 设直线CD的方向向量为a，AB的方向向量为b
b a，
b
a
a， b
a
b
结论：

| cos a, b |
n， BA 2
B
B
n


结论：sin | cos n, AB |
• 1．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹 角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于( ) • A．120° B．60° • C．30° D．60°或30° • 解析： 由题意得直线l与平面α的法向量所在 直线的夹角为60°，∴直线l与平面α所成的角 为90°－60°＝30°. • 答案： C
AB CD cos cos AB, CD AB CD
三、面面角： 二面角的范围： [0, ]
②法向量法
n1， n2
n2
n1，2 n
n1，2 n


l
n2
n1
n1， n2

n1
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l

cos

cos n1 , n2
•
(2011·陕西卷)如图，在△ABC中，∠ABC ＝60°，∠BAC＝90°，AD是BC上的高，沿AD 把△ABD折起，使∠BDC＝90°. • 设E为BC的中点，求AE与DB夹角的余弦值．
z
y x
易得D(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，3，0)， 1 3 A(0，0， 3 )，E ( , ,0) ， 2 2 1
空间向量的引入为代数方法处理立体 几何问题提供了一种重要的工具和方法， 解题时，可用定量的计算代替定性的分析， 从而避免了一些繁琐的推理论证。求空间 角与距离是立体几何的一类重要的问题， 也是高考的热点之一。
空间的角常见的有： 线线角、线面角、面面角。
一、线线角：
异面直线所成角的范围： 0, 2 C D
x
解：设 n＝(x，y，z)是平面 AMN 的一个法向量， 1 → ＝(0，1，2)，AN＝ － ，1，0 ， → ∵AM 2 0＋y＋2z＝0， → AM·n＝0， 由 → 得 －1x＋y＝0. AN·n＝0， 2 解得平面 AMN 的一个法向量 n＝(4，2，－1)． 由题意知，平面 ABC 的一个法向量为 m＝(0，0，1)． －1 m·n 21 ∴cos〈m，n〉＝ ＝ ＝－ . |n||m| 21 21×1 21 ∴二面角 M－AN－B 的余弦值是 . 21
cos

cos n1 , n2
【注意】法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角； 同进同出，二面角等于法向量夹角的补角。
•
已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱垂直于 底面，∠BAC＝90°，AB＝AA1＝2，AC＝1 ，M、N分别是A1B1、BC的中点．
z
y
• 求二面角M－AN－B的余弦值．
22 cos AE, DB 22 AE DB 1 22 4 2
AE DB
二、线面角：
直线与平面所成角的范围： [0, ] 2 A
B

思考：

A

n
O
设平面的法向量为n，则 n, BA 与的关系？ A
n， BA 2
• 求二面角最常用的方法 • (1)分别求出二面角的两个面所在平面的法向 量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二 面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求 角是锐角还是钝角． • (2)分别在二面角的两个平面内找到与棱垂直 且以垂足出发的两个向量，则这两个向量的夹 角的大小就是二面角的大小． • 以上两种方法各有利弊，要善于结合题目的特 点选择适当的方法解题．
如图所示，在四棱锥P－ABCD中， 底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝ AD＝2，AB＝1，AM⊥PD于点M. z • 求直线CD与平面ACM 所成角的正弦值．
•
y x
• 利用向量法求线面角的方法： • (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线 的方向向量，转化为求两个方向向量的夹 角(或其补角)； • (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的 方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取 其余角就是斜线和平面所成的角．
三、面面角： 二面角的范围： [0, ]
①方向向量法： 将二面角转化为二面角的两个面的方向向量 （在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的 夹角。如图，设二面角 l 的大小为 ， 其中 AB l , AB , CD l , CD

B A

D
C l
AB CD cos cos AB, CD AB CD