空间向量及立体几何练习试题和答案解析

.1．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD=，AB=4．的中点；PB（1）求证：M为的大小；A2）求二面角B﹣PD﹣（所成角的正弦值．BDP（3）求直线MC与平面【分析】（1）设AC∩BD=O，则O为BD的中点，连接OM，利用线面平行的性质证明OM∥PD，再由平行线截线段成比例可得M为PB的中点；（2）取AD中点G，可得PG⊥AD，再由面面垂直的性质可得PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，再证明OG⊥AD．以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，求出平面PBD与平面PAD的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角B﹣PD﹣A的大小；（3）求出的坐标，由与平面PBD的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线MC与平面BDP所成角的正弦值．【解答】（1）证明：如图，设AC∩BD=O，∵ABCD为正方形，∴O为BD的中点，连接OM，∵PD∥平面MAC，PD?平面PBD，平面PBD∩平面AMC=OM，∴PD∥OM，则，即M为PB的中点；（2）解：取AD中点G，..∵PA=PD，∴PG⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，由G是AD的中点，O是AC的中点，可得OG∥DC，则OG⊥AD．以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，由PA=PD=，AB=4，得D（2，0，0），A（﹣2，0，0），P（0，0，），C（2，4，0），B（﹣2，4，0），M（﹣1，2，），，．，PBD的一个法向量为设平面，得，得，取z=．则由取平面PAD．的一个法向量为∴cos＜．＞==∴二面角B﹣PD﹣A的大小为60°；（3）解：，平面BDP的一个法向量为．＞∴直线MC与平面BDP所成角的正弦值为|cos＜|=||=||=．..【点评】本题考查线面角与面面角的求法，训练了利用空间向量求空间角，属中档题．2．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2．（Ⅰ）求证：MN∥平面BDE；（Ⅱ）求二面角C﹣EM﹣N的正弦值；（Ⅲ）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线的长．AH段【分析】（Ⅰ）取AB中点F，连接MF、NF，由已知可证MF∥平面BDE，NF∥平面BDE．得到平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE；（Ⅱ）由PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．可以A为原点，分别以AB、AC、AP 所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．求出平面MEN与平面CME的一个法..向量，由两法向量所成角的余弦值得二面角C﹣EM﹣N的余弦值，进一步求得正弦值；（Ⅲ）设AH=t，则H（0，0，t），求出的坐标，结合直线NH与直线BE列式求得线段AH所成角的余弦值为的长．【解答】（Ⅰ）证明：取AB中点F，连接MF、NF，∵M为AD中点，∴MF∥BD，∵BD?平面BDE，MF?平面BDE，∴MF∥平面BDE．∵N为BC中点，∴NF∥AC，又D、E分别为AP、PC的中点，∴DE∥AC，则NF∥DE．∵DE?平面BDE，NF?平面BDE，∴NF∥平面BDE．又MF∩NF=F．∴平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE；（Ⅱ）解：∵PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．∴以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．∵PA=AC=4，AB=2，∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），M（0，0，1），N（1，2，0），E（0，2，2），则，，，设平面MEN的一个法向量为由，得．，取z=2，得由图可得平面CME的一个法向量为．..∴cos＜＞=．，则正弦值为；∴二面角C﹣EM﹣N的余弦值为（Ⅲ）解：设AH=t，则H（0．，，0，t），所成角的余弦值为BE∵直线，NH与直线|=||=．|=||cos＜＞∴．t=t=或解得：的长此时线段AHBENH与直线所成角的余弦值为，∴当H与P重合时直线．为或考本题考查直线与平面平行的判定，考查了利用空间向量求解空间角，【点评】查计算能力，是中档题．边所在AB．如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以3的中点．是得到的，G直线为旋转轴旋转120°的大小；BE，求∠CBPⅠ（）设P是⊥上的一点，且AP的大小．﹣CAGEAD=2AB=3Ⅱ（）当，时，求二面角﹣..【分析】（Ⅰ）由已知利用线面垂直的判定可得BE⊥平面ABP，得到BE⊥BP，结合∠EBC=120°求得∠CBP=30°；（Ⅱ）法一、取的中点H，连接EH，GH，CH，可得四边形BEGH为菱形，取AG中点M，连接EM，CM，EC，得到EM⊥AG，CM⊥AG，说明∠EMC为所求二面角的平面角．求解三角形得二面角E﹣AG﹣C的大小．法二、以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．求出A，E，G，C的坐标，进一步求出平面AEG与平面ACG的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角E﹣AG﹣C的大小．【解答】解：（Ⅰ）∵AP⊥BE，AB⊥BE，且AB，AP?平面ABP，AB∩AP=A，∴BE⊥平面ABP，又BP?平面ABP，∴BE⊥BP，又∠EBC=120°，因此∠CBP=30°；（Ⅱ）解法一、取的中点H，连接EH，GH，CH，∵∠EBC=120°，∴四边形BECH为菱形，∴AE=GE=AC=GC=．取AG中点M，连接EM，CM，EC，则EM⊥AG，CM⊥AG，∴∠EMC为所求二面角的平面角．..又AM=1，∴EM=CM=．，中，由于∠EBC=120°在△BEC222﹣2×2×2×由余弦定理得：ECcos120=2°+2=12，∴，因此△EMC为等边三角形，故所求的角为60°．解法二、以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．由题意得：A（0，0，3），E（2，0，0），G（1，，3），C（﹣1，，0），．故，，的一个法向量，为平面设AEG；，得=2，取，得z由1的一个法向量，为平面设ACG．﹣=z，可得2，得，取由2∴cos＜＞=．∴二面角E﹣AG﹣C的大小为60°．..【点评】本题考查空间角的求法，考查空间想象能力和思维能力，训练了线面角的求法及利用空间向量求二面角的大小，是中档题．4．如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D﹣AF﹣E与二面角C﹣BE﹣F都是60°．（Ⅰ）证明平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．【分析】（Ⅰ）证明AF⊥平面EFDC，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）证明四边形EFDC为等腰梯形，以E为原点，建立如图所示的坐标系，求出平面BEC、平面ABC的法向量，代入向量夹角公式可得二面角E﹣BC﹣A的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵ABEF为正方形，∴AF⊥EF．∵∠AFD=90°，∴AF⊥DF，∵DF∩EF=F，∴AF⊥平面EFDC，..∵AF?平面ABEF，∴平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）解：由AF⊥DF，AF⊥EF，可得∠DFE为二面角D﹣AF﹣E的平面角；由ABEF为正方形，AF⊥平面EFDC，∵BE⊥EF，∴BE⊥平面EFDC即有CE⊥BE，可得∠CEF为二面角C﹣BE﹣F的平面角．可得∠DFE=∠CEF=60°．∵AB∥EF，AB?平面EFDC，EF?平面EFDC，∴AB∥平面EFDC，∵平面EFDC∩平面ABCD=CD，AB?平面ABCD，∴AB∥CD，∴CD∥EF，∴四边形EFDC为等腰梯形．以E为原点，建立如图所示的坐标系，设FD=a，则E（0，0，0），B（0，2a，0），C（，0，a），A（2a，2a，0），=，=0），（，﹣2aa），（﹣2a，0，0），，（∴=02a，设平面BEC的法向量为=（x，y，z），则111则，取=（，0，﹣1）．..设平面ABC的法向量为=（x，y，z），则，222则，取=（0，，4）．=cosθA的大小为θ，则设二面角E﹣BC﹣，﹣==的余弦值为﹣﹣AE﹣．BC则二面角建考查用空间向量求平面间的夹角，【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，立空间坐标系将二面角问题转化为向量夹角问题是解答的关键．F，，点EO，AB=5，AC=6与5．如图，菱形ABCD的对角线ACBD交于点EFD′沿EF折到△H，EF交于BD于点，将△DEF上，分别在AD，CDAE=CF=．=的位置，OD′；ABCDH⊥平面（Ⅰ）证明：D′的正弦值．C′DA﹣）求二面角（ⅡB﹣，AC∥可得，结合为菱形，可得）由底面（【分析】ⅠABCDAD=CDAE=CFEF..再由ABCD是菱形，得AC⊥BD，进一步得到EF⊥BD，由EF⊥DH，可得EF⊥D′H，然后求解直角三角形得D′H⊥OH，再由线面垂直的判定得D′H⊥平面ABCD；（Ⅱ）以H为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，由已知求得所用点的坐标，得到的坐标，分别求出平面ABD′与平面AD′C的一个，设二面角二面角B﹣D′法向量A﹣C的平面角为θ，求出|cosθ|．则二面角B﹣D′A﹣C的正弦值可求．【解答】（Ⅰ）证明：∵ABCD是菱形，∴AD=DC，又AE=CF=，∴，则EF∥AC，又由ABCD是菱形，得AC⊥BD，则EF⊥BD，∴EF⊥DH，则EF⊥D′H，∵AC=6，∴AO=3，又AB=5，AO⊥OB，∴OB=4，∴OH==1，则DH=D′H=3，222，则D′H′H|⊥OH∴|OD′|，=|OH|+|D又OH∩EF=H，∴D′H⊥平面ABCD；（Ⅱ）解：以H为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，∵AB=5，AC=6，∴B（5，0，0），C（1，3，0），D′（0，0，3），A（1，﹣3，0），..，，，′的一个法向量为设平面ABD，取x=3，得y=﹣由，得4，z=5．．∴同理可求得平面AD′C的一个法向量，，θ﹣C的平面角为设二面角二面角B﹣D′A．|=则|cosθ．=A﹣C的正弦值为sinθ∴二面角B﹣D′【点评】本题考查线面垂直的判定，考查了二面角的平面角的求法，训练了利用平面的法向量求解二面角问题，体现了数学转化思想方法，是中档题．6．在三棱柱ABC﹣ABC中，CA=CB，侧面ABBA是边长为2的正方形，点E，11111F分别在线段AA、AB上，且AE=，AF=，CE⊥EF．1111（Ⅰ）证明：平面ABBA ⊥平面ABC；11（Ⅱ）若CA⊥CB，求直线AC与平面CEF所成角的正弦值．1..【分析】（I）取AB的中点D，连结CD，DF，DE．计算DE，EF，DF，利用勾股定理的逆定理得出DE⊥EF，由三线合一得CD⊥AB，故而CD⊥平面ABBA，从11而平面ABBA⊥平面ABC；11（II）以C为原点建立空间直角坐标系，求出和平面CEF的法向量，则直＞|与平面CEF所成角的正弦值等于|cos＜．线AC1【解答】证明：（I）取AB的中点D，连结CD，DF，DE．∵AC=BC，D是AB的中点，∴CD⊥AB．∵侧面ABBA是边长为2的正方形，AE=，AF=．111∴AE=，EF==，DE==，1，DF==222，∴DE⊥EF∴EF，+DE=DF又CE⊥EF，CE∩DE=E，CE?平面CDE，DE?平面CDE，∴EF⊥平面CDE，又CD?平面CDE，∴CD⊥EF，又CD⊥AB，AB?平面ABBA，EF?平面ABBA，AB，EF为相交直线，1111∴CD⊥平面ABBA，又CD?ABC，11∴平面ABBA⊥平面ABC．11..（II）∵平面ABBA⊥平面ABC，11∴三棱柱ABC﹣ABC是直三棱柱，∴CC⊥平面ABC．1111∵CA⊥CB，AB=2，∴AC=BC=．以C为原点，以CA，CB，CC为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：1则A（，0，0），C（0，0，0），C（0，0，2），E（，0，），F（，，1．）2．，，=（2），），=）2，（﹣∴=0，，（，0设平面CEF的法向量为=（x，，y，z），则∴，令z=4，得=（﹣，﹣9，4）．∴=10，||=6，||=．．=＞＜∴sin=．∴直线AC与平面CEF所成角的正弦值为1【点评】本题考查了面面垂直的判定，线面角的计算，空间向量的应用，属于中档题．..7．如图，在四棱锥中P﹣ABCD，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD=CD=2，BC=4，PA=2．（1）求证：AB⊥PC；（2）在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角M﹣AC﹣D的大小为45°，如果存在，求BM与平面MAC所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由．【分析】（1）利用直角梯形的性质求出AB，AC的长，根据勾股定理的逆定理得出AB⊥AC，由PA⊥平面ABCD得出AB⊥PA，故AB⊥平面PAC，于是AB⊥PC；（2）假设存在点M，做出二面角的平面角，根据勾股定理求出M到平面ABCD 的距离从而确定M的位置，利用棱锥的体积求出B到平面MAC的距离h，根据勾股定理计算BM，则即为所求角的正弦值．【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是直角梯形，AD=CD=2，BC=4，==4，∴AC=4，AB=∴△ABC是等腰直角三角形，即AB⊥AC，∵PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，∴PA⊥AB，∴AB⊥平面PAC，又PC?平面PAC，..∴AB⊥PC．（2）假设存在符合条件的点M，过点M作MN⊥AD于N，则MN∥PA，∴MN⊥平面ABCD，∴MN⊥AC．过点M作MG⊥AC于G，连接NG，则AC⊥平面MNG，∴AC⊥NG，即∠MGN是二面角M﹣AC﹣D的平面角．若∠MGN=45°，则NG=MN，又AN=NG=MN，的中点．是线段MPD∴MN=1，即．45°使得二面角M﹣AC﹣D的大小为∴存在点M，V=S?=MN=在三棱锥M﹣ABC中，ABC﹣ABC△M，V设点B到平面MAC的距离是h，则=MAC﹣B，=，∴S=2=MN=∵MG=MAC△h=2∴．，解得=BN=∴BAN=135°，∠，，在△ABN中，=，AB=4AN=，BM==3∴．所成角的正弦值为=与平面∴BMMAC属于中本题考查了项目垂直的判定与性质，【点评】空间角与空间距离的计算，档题．..8．如图，在各棱长均为2的三棱柱ABC﹣ABC中，侧面AACC⊥底面ABC，11111∠AAC=60°．1（1）求侧棱AA与平面ABC所成角的正弦值的大小；11（2）已知点D满足=+，在直线AA上是否存在点P，使DP∥平面ABC？11若存在，请确定点P的位置，若不存在，请说明理由．【分析】（1）推导出AO⊥平面ABC，BO⊥AC，以O为坐标原点，建立如图所1示的空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出侧棱AA与平面ABC所成角的11正弦值．（2）假设存在点P符合题意，则点P的坐标可设为P（0，y，z），则．利用向量法能求出存在点P，使DP∥平面ABC，其坐标为（0，10，），即恰好为A点．1【解答】解：（1）∵侧面AACC⊥底面ABC，作AO⊥AC于点O，111∴AO⊥平面ABC．1又∠ABC=∠AAC=60°，且各棱长都相等，1∴AO=1，OA=OB=，BO⊥AC．…（2分）1故以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，则A（0，﹣1，0），B（，0，0），A（0，0，），C（0，1，0），1..∴=（0，1，），=（），=（0，2，0）．…（4分）设平面ABC的法向量为，1．）0，1x=1，得=（1，则，取，θABC所成角的为设侧棱AA与平面11，|=＞|=|sinθ=|cos＜，则所成角的正弦值为ABC∴侧棱6分）AA与平面．…（11，=，而（，2）∵（﹣．D）（﹣20），又∵B（，∴点∴=，0，0，0，）∴，z），P（0，y则点假设存在点P符合题意，P．的坐标可设为的法向量，ABC0，1）为平面，AB∵DP∥平面C，=（﹣111分）10．…（y=0∴由=λ，得，∴，），00，C，使CDP又?平面AB，故存在点PDP∥平面AB，其坐标为（11分）A 即恰好为点．…12（1考查满足条件的点是否存在的判断与【点评】本题考查线面角的正弦值的求法，求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．..9．在三棱柱ABC﹣ABC中，侧面ABBA为矩形，AB=2，AA=2，D是AA1111111．，且ACO⊥平面ABB的中点，BD与AB交于点O111；BCDABC⊥平面（Ⅰ）证明：平面1所成角的正弦ABCGD与平面Ⅱ）若OC=OA，△ABC的重心为G，求直线（1值．【分析】（Ⅰ）通过证明AB⊥BD，AB⊥CO，推出AB⊥平面BCD，然后证明111平面ABC⊥平面BCD．1（Ⅱ）以O为坐标原点，分别以OD，OB，OC所在直线为x，y，z轴，建立如1图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．求出平面ABC的法向量，设直线GD与平面ABC所成角α，利用空间向量的数量积求解直线GD 与平面ABC所成角的正弦值即可．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵ABBA为矩形，AB=2，，D是AA的中点，∴∠BAD=90°，111，，，∵，，从而∴∠ABD=∠ABB，…（2分）1..∴，∴，从而AB⊥BD…（4分）1∵CO⊥平面ABBA，AB?平面ABBA，∴AB⊥CO，∵BD∩CO=O，∴AB⊥1111111平面BCD，∵AB?平面ABC，11∴平面ABC⊥平面BCD…（6分）1（Ⅱ）如图，以O为坐标原点，分别以OD，OB，OC所在直线为x，y，z轴，1建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．在矩形ABBA中，由于AD∥BB，所以△AOD和△BOB相似，1111从而，∴，，又，，，∴∵G为△AB，C的重心，∴1…，（8分）设平面ABC的法向量为，，由可得，令y=1，则z=﹣1，，所以．…（10分）所成ABC平线设直GD与面角α，则=..，所以直线GD与平面ABC所成角的正弦值为…（12分）【点评】本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．10．在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，将△ABD沿BD折起，使得点A折起至A′，设二面角A′﹣BD﹣C的大小为θ．（1）当θ=90°时，求A′C的长；（2）当cosθ=时，求BC与平面A′BD所成角的正弦值．【分析】（1）过A作BD的垂线交BD于E，交DC于F，连接CE，利用勾股定理及余弦定理计算AE，CE，由A′E⊥CE得出A′C；（2）利用余弦定理可得A′F=，从而得出A′F⊥平面ABCD，以F为原点和平面A′BD的法向量，则BC建立坐标系，求出与平面A′BD所成角的＞正弦值为|cos|．＜..【解答】解：（1）在图1中，过A作BD的垂线交BD于E，交DC于F，连接CE．∵AB=4，AD=2，∴BD==10．=8，∴cos∠CBE==，BE=．．在△=2BCE中，由余弦定理得CE=∵θ=90°，∴A′E⊥平面ABCD，∴A′E⊥CE．∴|A′C|==2．．）DE==2（2．∠FDE==EF=1，DF=，∴∵tan即cos∠A′EF=当时，．222，∴∠A'FE=90+EF′E°=A′F∴A又BD⊥AE，BD⊥EF，∴BD⊥平面A'EF，∴BD⊥A'F∴A'F⊥平面ABCD．以F为原点，以FC为x轴，以过F的AD的平行线为y轴，以FA′为z轴建立空间直角坐标系如图所示：∴A′（0，0，），D（﹣，0，0），B（3，2，0），C（3，0，0）．）．，，20）（2，0，0，）=4，=，0，（（∴=设平面A，′BD的法向量为=（x，y，z），则∴，令z=1得=（﹣，2，1）．∴cos＜＞===．..∴BC与平面A'BD所成角的正弦值为．【点评】本题考查了空间角与空间距离的计算，空间向量的应用，属于中档题．11．如图，由直三棱柱ABC﹣ABC和四棱锥D﹣BBCC构成的几何体中，∠11111．A⊥平面ACCD=CD=D，平面CCBAC=90°，AB=1，BC=BB=2，C11111；DCAC ⊥（Ⅰ）求证：1；DBB的中点，求证：（Ⅱ）若M为DCAM∥平面11？若存Ⅲ）在线段BC上是否存在点P，所成的角为DDP与平面BB使直线（1的值，若不存在，说明理由．在，求．⊥DCCCD，即可证明AC⊥【分析】（Ⅰ）证明ACCC，得到AC⊥平面111，xyz，建立空间直角坐标系A﹣（Ⅱ）易得∠BAC=90°，）100B）0，，，（，，，，（依据已知条件可得A00，B）1，，2（0，1..利用向量求得AM与平面DBB所成角为0，即AM∥平面DBB．11（Ⅲ）利用向量求解【解答】解：（Ⅰ）证明：在直三棱柱ABC﹣ABC中，CC⊥平面ABC，故AC1111⊥CC，1由平面CCD⊥平面ACCA，且平面CCD∩平面ACCA=CC，1111111所以AC⊥平面CCD，1又CD?平面CCD，所以AC⊥DC．111（Ⅱ）证明：在直三棱柱ABC﹣ABC中，AA⊥平面ABC，1111所以AA⊥AB，AA⊥AC，11又∠BAC=90°，所以，如图建立空间直角坐标系A﹣xyz，依据已知条件可得A（0，0，0），，，B（0，0，1），，），1，B（2，01，，所以设平面DBB，的法向量为1即由，，于是，则x=0，令y=1中点，所以DCM为，，所以因为1由，，可得，所成角为0所以AM与平面DBB1．DBB即AM∥平面1．DBB的法向量为）可知平面）解：由（（ⅢⅡ1..设，λ∈[0，1]，，则．角直为，平面DBB成则线DP与若1，解得，故不存在这样的点．【点评】本题考查了空间线线垂直、线面平行的判定，向量法求二面角．属于中档题12．如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD为正方形，平面AED⊥平面ABCD，AB=EA=ED，EF∥BD（I）证明：AE⊥CD（II）在棱ED上是否存在点M，使得直线AM与平面EFBD所成角的正弦值为？若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由．..【分析】（I）利用面面垂直的性质得出CD⊥平面AED，故而AE⊥CD；（II）取AD的中点O，连接EO，以O为原点建立坐标系，设，求出平面，根据方程的解得出结论．＞|=的法向量，令|cos＜BDEF【解答】（I）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴CD⊥AD，又平面AED⊥平面ABCD，平面AED∩平面ABCD=AD，CD?平面ABCD，∴CD⊥平面AED，∵AE?平面AED，∴AE⊥CD．（II）解：取AD的中点O，过O作ON∥AB交BC于N，连接EO，∵EA=ED，∴OE⊥AD，又平面AED⊥平面ABCD，平面AED∩平面ABCD=AD，OE?平面AED，∴OE⊥平面ABCD，以O为原点建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图所示：设正方形ACD的边长为2，，则A（1，0，0），B（1，2，0），D（﹣1，0，0），E（0，0，1），M（﹣λ，0，1﹣λ）∴=（﹣λ﹣1，0，1﹣λ），=（1，0，1），=（2，2，0），设平面BDEF的法向量为=（x，y，z），则，即，令x=1得=（1，﹣1，﹣1），..∴cos＜＞==，令||=，解得λ=0，．∴当M与点E重合时，直线AM与平面EFBD所成角的正弦值为【点评】本题考查了线面垂直的判定，空间向量与线面角的计算，属于中档题．13．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，PA=2，AB=1．（1）设点E为PD的中点，求证：CE∥平面PAB；（2）线段PD上是否存在一点N，使得直线CN与平面PAC所成的角θ的正弦值为？若存在，试确定点N的位置，若不存在，请说明理由．【分析】（1）取AD中点M，利用三角形的中位线证明EM∥平面PAB，利用同位角相等证明MC∥AB，得到平面EMC∥平面PAB，证得EC∥平面PAB；（2）建立坐标系，求出平面PAC的法向量，利用直线CN与平面PAC所成的角θ的正弦值为，可得结论．..【解答】（1）证明：取AD中点M，连EM，CM，则EM∥PA．∵EM?平面PAB，PA?平面PAB，∴EM∥平面PAB．在Rt△ACD中，∠CAD=60°，AC=AM=2，∴∠ACM=60°．而∠BAC=60°，∴MC∥AB．∵MC?平面PAB，AB?平面PAB，∴MC∥平面PAB．∵EM∩MC=M，∴平面EMC∥平面PAB．∵EC?平面EMC，∴EC∥平面PAB．（2）解：过A作AF⊥AD，交BC于F，建立如图所示的坐标系，则A（0，0，0），B（，﹣，0），C（，1，0），D（0，4，0），P（0，0，2），设平面PAC的法向量为=（x，y，z），则，取=（，﹣3，0），=（0，4λ，﹣2λ），=（﹣λ﹣1，2﹣2λ））≤≤（=设λ0λ1，则，，∴，=∴＞|=|cos＜，∴N为PD的中点，使得直线CN与平面．PAC所成的角θ的正弦值为【点评】本题考查线面平行的判定，考查线面角，考查向量知识的运用，考查学..生分析解决问题的能力，属于中档题．14．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为平行四边形，平面PAB⊥平面ABCD，PB=PC，∠ABC=45°，点E是线段PA上靠近点A的三等分点．（Ⅰ）求证：AB⊥PC；（Ⅱ）若△PAB是边长为2的等边三角形，求直线DE与平面PBC所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）作PO⊥AB于O，连接OC，可得PO⊥面ABCD．由△POB≌△POC，∠ABC=45°，得OC⊥AB，即得AB⊥面POC，可证得AB⊥PC．（Ⅱ）以O为原点建立空间坐标系，，利用向量求解．【解答】解：（Ⅰ）作PO⊥AB于O…①，连接OC，∵平面PAB⊥平面ABCD，且面PAB∩面ABCD=AB，∴PO⊥面ABCD．…（2。