空间几何中的向量方法(夹角)
两条空间直线夹角计算公式
两条空间直线夹角计算公式一、引言在三维空间中，直线是常见的几何形状之一。
当我们研究两条直线之间的关系时，一个重要的概念就是夹角。
本文将介绍两条空间直线夹角的计算公式，并讨论其应用。
二、夹角的定义在平面几何中，夹角是由两条直线在同一平面内的交点和两条直线上的一对相对的射线所围成的角度。
而在三维空间中，夹角的定义相似，但需要考虑两条直线所在的不同平面。
三、两条空间直线夹角的计算公式1. 同向直线的夹角当两条直线的方向向量平行时，它们被认为是同向直线。
此时，可以通过计算两个方向向量的夹角来求得两条直线之间的夹角。
假设两条直线分别为L1和L2，其方向向量分别为a和b。
则两条直线夹角θ的计算公式为：cosθ = |a·b| / (|a|·|b|)其中，·表示向量的点积，|a|表示向量a的模长。
2. 反向直线的夹角反向直线是指两条直线的方向向量相反，即平行但方向相反的直线。
在计算反向直线的夹角时，我们可以使用同向直线夹角的计算公式，然后取其补角。
假设两条直线分别为L1和L2，其方向向量分别为a和b。
则两条直线夹角θ的计算公式为：θ = π - arccos(|a·b| / (|a|·|b|))其中，arccos表示反余弦函数，π表示圆周率。
3. 任意两条直线的夹角当两条直线既不是同向直线也不是反向直线时，我们需要进一步考虑两条直线所在的平面。
首先，我们可以通过计算两个方向向量的夹角来确定两条直线在其所在平面内的夹角。
然后，我们可以利用这个夹角和两个方向向量与其所在平面的夹角来计算最终的夹角。
具体计算步骤如下：1) 计算两个方向向量a和b的夹角α：cosα = |a·b| / (|a|·|b|)2) 计算两个方向向量a和b与其所在平面的夹角β和γ：cosβ = |a·n| / (|a|·|n|)cosγ = |b·n| / (|b|·|n|)其中，n为平面的法向量。
空间向量夹角知识点总结
空间向量夹角知识点总结一、基本概念空间向量是指具有大小和方向的物理量，通常用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
空间向量是三维空间中的矢量，可以表示为(x, y, z)，其中x、y和z分别代表向量在三个坐标轴上的投影长度。
夹角是指两条直线或两个平面的夹角，它的大小和方向受到空间向量的影响。
夹角可以通过数学方法来计算，是空间向量的重要属性。
二、计算夹角的方法1. 向量的点乘在三维空间中，如果有两个向量a和b，它们的夹角可以通过它们的点乘来计算。
点乘的公式如下：a·b = |a|*|b|*cos(θ)其中a·b表示向量a和b的点乘，|a|和|b|分别表示向量a和b的大小，θ表示向量a和b 的夹角。
通过点乘公式，可以求得向量a和b的夹角cos(θ)，然后通过反余弦函数计算出θ的值。
2. 向量的叉乘在三维空间中，如果有两个向量a和b，它们的夹角可以通过它们的叉乘来计算。
叉乘的公式如下：|a x b| = |a|*|b|*sin(θ)其中|a x b|表示向量a和b的叉乘的模，|a|和|b|分别表示向量a和b的大小，θ表示向量a和b的夹角。
通过叉乘公式，可以求得向量a和b的夹角sin(θ)，然后通过反正弦函数计算出θ的值。
3. 向量的坐标表示另一种计算向量夹角的方法是将向量表示成坐标形式，然后利用向量的坐标形式来计算夹角。
假设有两个向量a和b，它们的坐标分别为(x1, y1, z1)和(x2, y2, z2)，那么它们的夹角可以通过以下公式计算：cos(θ) = (x1*x2 + y1*y2 + z1*z2) / (|a|*|b|)通过坐标形式的计算方法，可以很容易地求得向量a和b的夹角。
三、夹角的性质1. 夹角的范围夹角的范围是[0,π]，即夹角的取值范围在0到180度之间。
夹角为0度时，表示两个向量共线且方向一致；夹角为180度时，表示两个向量共线但方向相反；夹角为90度时，表示两个向量垂直。
1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题之二：夹角问题
法向量的夹角即可.
典型例题
例5如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CB=2,AA1=3,∠ACB=90°,P为BC的
中点，点Q, R分别在棱AA1,BB1上，A1Q=2AQ,BR=2RB1.求平面PQR与平面
A1B1C1夹角的余弦值.
解：先做出平面PQR与平面A1 1 1 的
典型例题
例5如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CB=2,AA1=3,
∠ACB=90°,P为BC的中点，点Q, R分别在棱AA1,BB1上，
A1Q=2AQ,BR=2RB1.求平面PQR与平面A1B1C1夹角的余弦值.
分析：因为平面PQR与平面A1B1C1的夹角
可以转化为平面PQR与平面A1B1C1的法向
若异面直线l1,l2所成的角为 (0 ≤ ) ，其方向向量分别为 , Ԧ
则 =< , Ԧ >, 或 = −<, >
Ԧ
2
∙ Ԧ
= < , Ԧ > =
Ԧ
不要将两异面直线所成的角与其方向向量的夹角等
同起来,因为两异面直线所成角的范围是0 ≤ ,而
交线。
做PE⊥ 1 1 于E,则PE//Q1 ,PQ∩
1 = .
PR∩ 1 1 = ,则GH即为平面PQR与
平面A1 1 1 的交线。
做PF⊥ 于F,连C1 , ∠1 就是平面
PQR与平面A1 1 1 的二面角的平面角。
我们在⊿PF1 中求∠1 ，接下去就是
= < 1 , 2 > =
.
1 2
反思：1、三式中到底是sin还是cos，我们要通过记图来记住公
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
(1,1,
1), CC1
(0, 0,
1).
D1
A1
x
E
C1 y
B1
设平面AEC1的一个法向量为n ( x, y, z) ,则
∴
1 2
y
z
0
, 取y 2,则z 1, x 1.
点C到平面AEC1
的距离为
|
CC1 |n
|
n
|
6 .
6
x y z 0 ∴平面AEC1的一个法向量为n (1, 2,1).
如图示，已知平面α的法向量为n ，A是平面α内的定点，P是平面α外一点. 过点P
作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则 n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离d
就是AP在直线l上的投影向量 PQ 的长度. 因此
l
d PQ |AP||cos AP, n| |AP| |AP n| |AP n| . |AP||n| |n|
的距离PQ.
A
Ql
设 AP a ，则向量AP在直线l上的投影向量AQ | a | cosa, uu (a u)u. 在Rt△APQ中，由勾股定理，得 PQ | AP |2 | AQ |2 a 2 (a u)2 .
若直线l的法向量为 n，则点P到直线l的距离为d PQ |AP||cos AP, n| |AP n| .
P• β
d
n Q
αA
例6 如图示，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段AB的中点，F为线段
AB的中点.
z
(1) 求点B到直线AC1的距离;
D
C
(2) 求直线FC到平面AEC1的距离.
解 : (1) 如图示,以D1为原点建立空间直角坐标系, 则有
立体几何中的向量方法求夹角
[策略点睛]
[规范作答] 如图所示，取BC中点 O，连结AO.
因为△ABC是正三角形，所以AO⊥ BC，
因为在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1， 所以AO⊥平面BCC1B1.2分 取B1C1中点为O1，以O为原点， O→B ， O→O1 ， O→A 为x，y，z轴 的正方向建立空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2， 3)，A(0,0， 3)，B1(1,2,0).4分
成的角. (2)范围:
(0,
2
]
(3)向量求法:设直线a、b的方向向量为 a, b ,其夹角
为
,则有
cos
|
cos
|
|
|ab| a||b|
(4)注意:两异面直线所成的角可以通过这两条直线的
方向向量的夹角求得,当两方向向量的夹角是钝角时,
应取其补角作为两异面直线所成的角.
例2 Rt ABC中，BCA 900,现将 ABC沿着
3 , 1 , 44
2) 2
DB ( 3 , 3 ,0) z 44
由 C1D m, DB m 得
C1
B1
31 2
C1D m
4
x y 4
2
z 0,
DB m 3 x 3 y 0 44
A1
解得 x 3y 6 z 所以，可取m (3, 3, 6)
30 10
[题后感悟] 如何用坐标法求异面直线所成的 角？
(1)建立适当的空间直角坐标系；
(2)找到两条异面直线的方向向量的坐标形式；
(3)利用向量的夹角公式计算两直线的方向向 量的夹角；
(4)结合异面直线所成角的范围得到异面直线 所成的角．
3.2.4立体几何中的向量方法求夹角
C
个面内与棱l垂直的异面直线,则二面角 D
Al
的大小就是向量A B C与D 的夹角(如图
(1))
n1 , n2
l
,
②设 是二面角n 1 n 2 的法向量,则向量 与
的两个面 的夹角(或其补
n 1 (1)
n2
角)就是二面角的平面角的大小(如图(2))
l
(2)
例2 正三棱柱 ABC A 1B1C1中，D是AC的 中点，当AB1 BC 1时，求二面角DBC 1C 的余弦值。
因为△ABC是正三角形，所以AO⊥ BC，
因为在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1， 所以AO⊥平面BCC1B1.2分 取B1C1中点为O1，以O为原点， O→B ， O→O1 ， O→A 为x，y，z轴 的正方向建立空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2， 3)，A(0,0， 3)，B1(1,2,0).4分
C1
B1
A1
C D
B A
以C为原点建立空间直角坐标系 C-x yz CC1B 在坐标平面yoz中 ∴可取 n＝(1,0,0)为面 CC1B的法向量
设面 C1BD 的一个法向量为m(x, y,z) 同法一，可求 B(0,1,0)
31
2
D(
4
, ,0) 4
C1 (0,0,
) 2
∴
C1D(
3,1, 44
空间“角度”问题
ZPZ
复习引入
1.异面直线所成角
设直线l,m的方向向量分别为a,b
ab
若两直线l , m
所成的角为(0≤ ≤ ), 则
2
cos
ab
l
空间向量的夹角
空间向量的夹角空间向量的夹角是指在空间内，两条线段之间的夹角。
它通常用来描述各种物理、几何或数学问题中的方向关系，并且在各种学科领域中都有着重要的应用，如机械、物理学、天文学和导航等。
空间向量的夹角可用向量之间的点积和模长关系来求解。
具体地说，设有两个向量A和B，则它们之间的夹角θ，可以用如下公式来求解：cosθ = A·B / |A||B|其中，A·B表示向量A和B的点积，|A|和|B|分别表示A和B的模长。
从上式中可以看出，cosθ的值通常在-1到1之间，并且当两向量互相垂直时，其值为0，当两向量重合时，其值为1。
当两向量夹角为锐角时，cosθ的值为正数，即cosθ>0，反之，当两向量夹角为钝角时，cosθ的值为负数，即cosθ<0。
在实际运用中，我们一般需要求解角度而不是cosθ的值。
因此，我们可以通过反余弦函数来获取角度，具体公式如下：需要注意的是，由于反余弦函数的定义域是[0,π]，因此当两向量夹角大于或等于π时，此公式不成立。
此时，为了得到正确的解，我们需要进行转换，即将一向量与另一向量取反后再计算夹角。
需要特别注意的是，如果两向量模长任意一个为0，或其中一个向量使另一个向量倍数，则因为无法计算点积而无法计算夹角。
此时，需要考虑两向量的特殊情况，如当两向量中有一个向量为零向量时，它与任意向量的夹角均为零，而当所有向量的模长均为零时，则它们之间的夹角是无定义的。
除了使用向量点积和模长来求解向量夹角外，还可以使用叉积的方法来得到向量的夹角。
叉积在几何中也称为向量积，其结果是一个向量，与另外两个向量垂直。
然而，在求解向量夹角时，这种方法较少被使用。
综上所述，空间向量的夹角是计算两向量之间方向关系的重要指标，通常使用点积和模长的方法来计算。
当需要知道角度时，我们可以通过反余弦函数来求解。
使用向量夹角，我们可以更好地描述空间中各个物体之间的方向关系，从而更加准确地进行计算和分析。
空间几何中的方向余弦与向量夹角——几何知识要点
空间几何中的方向余弦与向量夹角——几何知识要点在空间几何中，方向余弦和向量夹角是重要的几何知识要点。
方向余弦是描述两条线段在空间中的夹角的一种方法，而向量夹角则是描述两个向量之间的夹角。
本文将详细介绍方向余弦和向量夹角的定义、计算方法以及它们在几何中的应用。
一、方向余弦的定义和计算方法方向余弦是用来描述两条线段在空间中的夹角的一种方法。
对于任意一条线段AB和坐标轴之间的夹角α、β、γ，我们可以定义它们的方向余弦分别为cosα，cosβ，cosγ。
计算方向余弦的方法如下：1. 首先，我们需要确定坐标轴的方向。
通常情况下，我们可以选择x轴、y轴和z轴作为坐标轴。
2. 然后，我们需要确定线段的方向。
假设线段AB与x轴的夹角为α，与y轴的夹角为β，与z轴的夹角为γ。
3. 根据三角函数的定义，我们可以得到线段AB与坐标轴的方向余弦分别为cosα、cosβ、cosγ。
方向余弦的计算方法可以用以下公式表示：cosα = ABx / ABcosβ = ABy / ABcosγ = ABz / AB其中，ABx、ABy和ABz分别表示线段AB在x轴、y轴和z轴上的投影长度，AB表示线段AB的长度。
二、向量夹角的定义和计算方法向量夹角是用来描述两个向量之间的夹角的一种方法。
对于任意两个向量A和B，它们的夹角可以用向量的内积和模长来计算。
计算向量夹角的方法如下：1. 首先，我们需要计算向量A和向量B的内积。
向量A和向量B的内积可以用以下公式表示：A·B = |A| * |B| * cosθ其中，A·B表示向量A和向量B的内积，|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模长，θ表示向量A和向量B之间的夹角。
2. 然后，我们可以通过求解上述公式，得到向量A和向量B之间的夹角θ。
三、方向余弦和向量夹角的应用方向余弦和向量夹角在几何中有着广泛的应用。
以下是它们的一些常见应用场景：1. 三维旋转：方向余弦可以用来描述物体在三维空间中的旋转角度和旋转轴。
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练习：
正方体ABCD-A1B1C1D1中，M 为AB的中 点，求DB1与CM所成角的余弦值
D1
A1 P D A M B
C1
B1
C
设直线l的方向向量为a , 平面的法向量为u ,
l , 的夹角为 (0
线面夹), 则 sin cos a, u
练习 正方体ABCD A1B1C1D1 的棱长为 1. 求B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值.
解 建立直角坐标系.
z
D1 A1
B1
则 B1C1 (0， 1， 0)
C1 平面AB1C的一个法向量为D1 B (1,1,1)
E
D
0 1 0 3 cos D1B, B1C1 3 3
(4)解方程组，取其中的一 个解，即得法向量。
线线夹角问题：
设直线l , m的方向向量分别为a , b
l , m的夹角为 (0
l
2
), 则 cos cos a, b
l
m
m
例1.直角三角形 ABC中， BCA 900，现将 ABC沿着平面 ABC 的法向量平移到 A1 B1C1位置，已知 BC CA CC1 , 取A1 B1、A1C1 的中点 D1、F1，求 AF1与D1 B所成角的余弦值 .
P
E
D A
C B
解：如图所示建立空间直角坐标系. 依题意得 D(0,0,0), P(0,0,1), A(1,0,0) 1 1 E (0, , ), B(1,1,0) 2 2 直线 AD的方向向量 DA (1， 0,0) 1 1 DE (0, , ), DB (1,1,0) 2 2 设平 面 的 法 向 量 为 n ( x, y , z )
x
F
A y
C
B
3 所以B1C1与面AB1C所成的角的正弦值为 。 3
小结：
用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间
向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几
何问题转化为向量问题； （化为向量问题）
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的
位置关系以及它们之间距离和夹角等问题； （进行向量运算） （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。
例1.直角三角形 ABC中， BCA 900，现将 ABC沿着平面 ABC 的法向量平移到 A1 B1C1位置，已知 BC CA CC1 , 取A1 B1、A1C1 的中点 D1、F1，求 AF1与D1 B所成角的余弦值 .
解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示，设 则：
会宁二中
李斌
问题：如何求平面的法向量？
(1)设出平面的法向量为 n ( x, y, z)
(2)找出（求出）平面内的 两个不共线的 向量的坐标 a (a1 , b1 , c1 ), b (a2 , b2 , c2 )
(3)根据法向量的定义建立 关于x, y, z的 n a 0 方程组 n b 0
（回到图形问题）
作业：
习题3.2 2，3，4
l
π cos( - θ) = cos < a, u > 2
π cos( + θ) = cos < a, u > 2
例2. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是 正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=1 ,E是PC 的中点， 求直线AD与平面EDB所成角的正弦值.
则 n DE, n DB
平面的一个法向量 n (1,1,1)
z
P
E
C
则直线 AD与平面 EBD所 1 0 0 3 成角的正弦值为 3 3
D
y
x
A
B
• [ 题后感悟 ] 如何用坐标法求直线和平面 所成的角？ • (1)建立适当的空间直角坐标系； • (2) 找到直线的方向向量与平面法向量的坐 标形式； • (3) 利用向量的夹角公式计算直线的方向向 量与平面法向量的夹角； • (4) 结合直线与平面所成角的范围得到直线 与平面所成的角．
1 1 1 A(1,0,0), B(1,0,0), F1 ( ,0,1), D1 ( , ,1) 2 2 2
1 1 1 AF1 ( ,0,1) BD1 ( , ,1) 2 2 2
30 = . 10
所以
与
30 所成角的余弦值为 10
• [ 题后感悟 ] 如何用坐标法求异面直线所 成的角？ • (1)建立适当的空间直角坐标系； • (2) 找到两条异面直线的方向向量的坐标形 式； • (3) 利用向量的夹角公式计算两直线的方向 向量的夹角； • (4) 结合异面直线所成角的范围得到异面直 线所成的角．