立体几何中的向量方法
立体几何中的向量方法
立体几何中的向量方法一、知识点1.点的位置向量：在空间中，取一定点O 作为基点，那么空间中任意一点P 的位置就可以用向量OP 来表示，我们把向量OP称为点P 的位置向量.2.直线的方向向量：空间中任意一条直线ｌ的位置可以由ｌ上一个定点A 以及一个定方向确定.★直线的方向向量就是指和这条直线平行（或共线）的向量，显然一条直线的方向向量可以有无数个.3.平面的法向量：若直线ｌ⊥α，取直线ｌ的方向向量a ，则向量a叫做平面α的法向量.4. 平面的法向量的求解步骤：首先要建立空间直角坐标系，然后设平面的法向量为()n x,y,z =（1）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标()()111222a a ,b ,c ,b a ,b ,c== ； （2）根据法向量的定义建立关于x,y,z 的方程组n a 0n b 0⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩（3）解方程组，取其中的一组解，即得法向量.5.利用空间向量解决立体几何问题（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.题型一：用向量方法解决平行问题例1、已知111ABC A B C -是正三棱柱，D 是AC 的中点，求证：1AB ∥平面1DBC ．例2、已知正方体1AC 的棱长为1，E F G ，，分别为1AB AD AA ，，的中点，求证：平面EFG ∥平面11B CD ．题型二：用向量方法解决垂直问题例3、如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1中点.求证：AB 1⊥面A 1BD.例4、如图，在六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，四边形A 1B 1C 1D 1是边长为1的正方形，DD 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，DD 1⊥平面ABCD ，DD 1＝2.（Ⅰ）求证：11C A 与AC 共面，11D B 与BD 共面； （Ⅱ）求证：.1111BDD B ACC A 平面平面⊥∴.B 1C 1D 1 A 1 A BC D题型三：用向量方法求空间中的角例5、正四面体A BCD -边长均为1，E 、F 分别为AD 和BC 中点，求异面直线AF 和CE 所成角的余弦值.例6、求正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，A 1B 与平面BB 1D 1D 所成的角的大小.例7、如图，四边形PCBM 是直角梯形，∠PCB ＝90°，PM ∥BC ，PM ＝1，BC ＝2，又AC ＝1，∠A C B ＝120°，AB ⊥PC ，直线AM 与直线PC 所成的角为60°.(Ⅰ）求证：平面PAC ⊥平面ABC ； （Ⅱ）求二面角B AC M --的余弦值.B C A DF E题型四：用向量方法求距离例8、如图，已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧棱长和底面边长均为1，M 是底面BC 边上的中点，N 是侧棱CC 1上的点，且CN ＝2C 1N ． （Ⅰ）求二面角B 1－AM －N 的平面角的余弦值； （Ⅱ）求点B 1到平面AMN 的距离。
立体几何中的向量方法
讨论： 设A是空间任一点, n为空间任一非零向
α//β(或重合) n 1//n2 α⊥β ⊥n2 · 2=0 n1 n1 n
量,适合条件AM· n=0. 的点M 构成什么样的图形? AM· n=0. 我们用上式表述通过空间一点并且与一个向量 垂直的平面.通常称为一个平面的向量表示. 设n1,n2分别是平面α,β的法向量,则容易得到
Байду номын сангаас 5.练习:
已知二面角 -A B - 为1200，AC ，BD ， 且AC AB，BD AB，A B =A C =B D =1.
(1)求CD的长.
(2)CD与AB
所成的角.
5.练习:
正方体ABCD-A1B1C1D1中，P 为DD1的中 点，O1，O2，O3分别是平面A1B1C1D1，平面 BB1C1C，平面ABCD的中心. z （1）求证：B1O3⊥PA. D1 O1 C1 A1 B1 P O2 D Cy O3 A B x
1.利用向量判断位置关系
利用向量可证明四点共面、线线平行、 线面平行、线线垂直、线面垂直等问题，
其方法是通过向量的运算来判断，这是数
形结合的典型问题.
例1 在正方体AC1中，E,F分别是BB1,CD 的中点，求证：平面AED⊥平面A1FD1.
D1 A1 D A x F z C1 B1
E
C y
B
评述：
n
M1
M
M2
A
例3 已知点A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c), 求平面ABC的一个法向量. 解: 由已知得AB=OB-OA=(-a,b,0) AC=OC-OA=(-a,0,c) z 设平面ABC的一个法向量为 C n n=(x,y,z),则
3.2立体几何中的向量方法(位置关系)
一、直线的方向向量
把直线 l 上的向量 e 以及与 e 共线的 向量叫做直线 l 的方向向量
二、平面的法向量：
如果表示向量 n 的线段所在直线垂直于平面 则称这个向量垂直于平面
，记作 n
，
.
如果 n ，那么向量 n 叫平面 的法向量. 一个平面有无数个法向量，它们都是共线向量
练习：如图 ABCD是直角梯形 ABC 90, 1 SA AB BC 1，AD . 2 求平面 SCD与平面 ABA的法向量.
z
S
y
1 B 则D（ ， 0， 0）C（ 1， 1， 0）， S（ 0， 0， 1） 21 CD （ ， 1， 0）， SC （ 1， 1， 1） 2 A
1. 已知正三棱柱 ABC A1 B1C 1 D1的各棱长都为 1，M 是底面上 1 BC 边的中点， N 是侧棱 CC 1 上的点，且 CN CC 1 . 4 求证： AB1 MN .
A1 B1 A B M C1
N C
2. 如图，已知正方体 ABCD A1 B1C 1 D1中， P 为底面 对角线 BD 上一点，且 BP 3 PD ，Q 为棱 DD1 的中点， 求证： PQ 平面 A1QC 1 .
练习：如图 ABCD是直角梯形 ABC 90, 1 SA AB BC 1，AD . 2 求平面 SCD与平面 ABA的法向量.
解： AD、AB、AS是三条两两垂直的线段 以A为原点， AD、 AB、 AS的方向为 x、y、z轴的正方向建立坐标系 A xyz. 设平面 SCD的法向量为 n （x，y，z）
三、法向量的求法
例. 已知平面 经过三点A（ 1， 2， 3），B（ 2， 0， 1） ， C（ 3， 2， 0） ，求平面 的一个法向量.
3.2立体几何中的向量方法(法向量)
y＝－x ∴ 1 z＝－ x. 2
令 x＝2 得 y＝－2，z＝－1. ∴n＝(2，－2,1)即为平面 BDEF 的一个法向量.
【解】 设正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 2， 则 D(0,0,0)， B(2,2,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，E(1,0,2) → ＝(－2,2,0)为平 (1)连 AC，因为 AC⊥平面 BDD1B1，所以AC 面 BDD1B1 的一个法向量．
→ ＝(2,2,0)，DE → ＝(1,0,2)． (2)DB 设平面 BDEF 的一个法向量为 n＝(x，y，z)． → ＝0 n· DB ∴ → n · DE ＝0，
【自主解答】
以点 A 为原点，AD、AB、AS 所在的直线分
别为 x 轴、 y 轴、 z 轴， 建立如图所示的坐标系， 则 A(0,0,0)， B(0,1,0)，
1 C(1,1,0)，D2，0，0，S(0,0,1)．
→ ＝(0,0,1)是平面 ABCD 的一个法 (1)∵SA⊥平面 ABCD， ∴AS 向量． ∵AD⊥AB，AD⊥SA，∴AD⊥平面 SAB，
-----直线的方向向量与平面的法向量
1、点的位置向量
在空间中，我们取一定 点O作为基点， 那么空间中任意一点 P的位置就可以用 向量OP来表示。我们把向量 OP称为 点P的位置向量。
P
A
2、直线的方向向量
空间中任意一条直线 l的位置可以由 l上 一个定点A以及一个定方向确定。
P
a
B
A
AP t AB
x 2 y 4z 0 2 x 4 y 3z 0
依题意,有 n AB 0且n AC 0 ,即
高中数学3.2立体几何中的向量方法课件-(共43张PPT)
，即14x＋ 43y＋12z＝0
，
令 y＝2，则 z＝－ 3，∴n＝(0,2，－ 3)．
∵ PD ＝0，23 3，－1，显然 PD ＝
3 3 n.
26
∵ PD ∥n，∴ PD ⊥平面 ABE，即 PD⊥平面 ABE.
探究提高 证明线面平行和垂直问题，可以用 几何法，也可以用向量法，用向量法的关键在 于构造向量，再用共线向量定理或共面向量定 理及两向量垂直的判定定理。若能建立空间直 角坐标系，其证法较为灵活方便.
7
r 平面的法向量：如果表示向量 n的有向线段所在
直线垂直于r平面 ，则称r这个向量垂直于平r
面 ,记作 n⊥ ，如果 n⊥ ，那 么 向 量n
叫做平面 的法向量.
r
l
给定一点Ar 和一个向量 n,那么 过点A,以向量 n 为法向量的平面是
r 完全确定的.
n
几点注意：
1.法向量一定是非零向量;
17
题型分类 深度剖析
题型一 利用空间向量证明平行问题 例 1 如图所示，在正方体 ABCD—A1B1C1D1
中，M、N 分别是 C1C、B1C1 的中点．求证： MN∥平面 A1BD.
18
证明 方法一 如图所示，以 D 为原点，DA、DC、DD1 所在
直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的
1，得
x
1 2
y 1
r n
(
1
,
1,1),
2
10
思考2：
因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的 位置，所以我们应该可以利用直线的方向向量与平 面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、 夹角等位置关系.你能用直线的方向向量表示空间两 直线平行、垂直的位置关系以及它们之间的夹角吗？ 你能用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的 位置关系以及它们二面角的大小吗？
13—立体几何中的向量方法
13—立体几何中的向量方法向量是几何学中非常重要的概念之一，它可以用来描述空间中的方向和大小。
在立体几何中，向量方法被广泛应用于解决各种问题，例如计算向量的模、方向角、点到直线的距离等等。
本文将详细介绍立体几何中的向量方法，包括向量的基本概念、加减乘除、数量积、向量积等内容。
一、向量的基本概念在立体几何中，我们通常用箭头表示一个向量，表示向量的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
两个向量相等意味着它们的大小和方向都相同。
向量的模表示向量的大小，一般用，AB，表示，表示点A到点B的距离，也表示向量的大小。
二、向量的加减乘除1.向量的加法：向量的加法按照平行四边形法则进行，即将一个向量的起点与另一个向量的终点相连，新向量的起点为第一个向量的起点，终点为第二个向量的终点。
用数学表示为A+B=C，C的起点为A的起点，终点为B的终点。
2.向量的减法：向量的减法等价于将减去的向量取反再进行加法，即A-B=A+(-B)。
其中，-B表示B的方向相反，大小相同的向量。
3. 向量的数量积：两个向量的数量积等于向量的模的乘积与两个向量之间的夹角的余弦值的乘积，即A·B=，A，B，cosθ。
其中，θ为两个向量之间的夹角。
4. 向量的向量积：两个向量的向量积等于一个新的向量，其方向垂直于原来两个向量所在的平面，大小等于两个向量的模的乘积与夹角的正弦值的乘积，即A×B=，A，B，sinθn。
其中，n为右手定则确定的垂直于平面的方向。
三、应用实例1.计算向量的模：给定一个向量A=(-3,4,5)，可以计算其模为，A，=√((-3)^2+4^2+5^2)=√50。
2. 计算向量的方向角：给定一个向量A=(-3,4,5)，可以计算其方向角为α=arccos(-3/√50)，β=arccos(4/√50)，γ=arccos(5/√50)。
3.计算点到直线的距离：给定一点P(x,y,z)和一直线l，可以通过向量的方法计算点P到直线l的距离。
立体几何中的向量方法
图③
热点考向一
线面关系的证明
例1
在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90° ，BC＝2，
CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D、F、G分别为CC1、 C1B1、C1A1的中点． 求证：(1)B1D⊥平面ABD； (2)平面EGF∥平面ABD.
【证明】
(1)以B为坐标原点，BA、BC、BB1所在的直线分别
图① (3)二面角的求法 ①利用向量求二面角的大小，可以不作出平面角，如图②所示， 〈m，n〉即为所求二面角的平面角．
图②
②对易于建立空间直角坐标系的几何体，求二面角的大小时， 可以利用这两个平面的法向量的夹角来求． 如图③所示，二面角 α－l－β，平面 α 的法向量为 n1，平面 β 的 法向量为 n2， 〈n1，n2〉＝θ，则二面角 α－l－β 的大小为 θ 或 π－θ.
4.利用空间向量求距离 计 算两点之 间的距 离和线 段的长度 是几何 度量最 基本的运 算．任何距离问题都可转化为求两点之间的距离． (1)向量法 用已知向量表示未知向量，求得未知向量模的平方，从而求得 线段的长(即两点间距离)． (2)坐标法 建立适当的空间直角坐标系，确定两点的坐标，运用空间两点 间距离公式，求得两点间距离．
【点评】
求空间角(异面直线所成的角，直线与平面所成的
角，二面角)一直是高考的热点，如果用几何法求需要作出这些角的 平面角，对空间想象能力要求高．而用向量法求解时，只需利用公 式．通过简单的向量运算即可解决，显示了向量这一工具巨大的作 用．求二面角时，可以利用法向量求．
2．(2011天津)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中， H是正方形AA1B1B的中心，AA1＝2 2， C1H⊥平面AA1B1B，且C1H＝ 5. (1)求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值； (2)求二面角A－A1C1－B1的正弦值； (3)设N为棱B1C1的中点，点M在平面AA1B1B内，且MN⊥平面 A1B1C1，求线段BM的长．
立体几何中的向量方法
§3.2立体几何中的向量方法（2）1. 掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题； .105107，找出疑惑之处. 复习1：已知1a b ∙= ，1,2a b == ，且2m a b =+ ，求m.复习2：什么叫二面角？二面角的大小如何度量？二面角的范围是什么？二、新课导学※ 学习探究探究任务一：用向量求空间线段的长度问题：如何用向量方法求空间线段的长度？新知：用空间向量表示空间线段，然后利用公式a = 求出线段长度.试试：在长方体''''ABC D A B C D -中，已知'1,2,1AB BC CC ===,求'AC 的长.反思：用向量方法求线段的长度，关键在于把未知量用已知条件中的向量表示. ※ 典型例题例1 如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A 为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？变式1：上题中平行六面体的对角线1BD 的长与棱长有什么关系？变式2：如果一个平行六面体的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于α, 那么由这个平行六面体的对角线的长可以确定棱长吗?探究任务二：用向量求空间图形中的角度例2如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处.从A，B到直线l（库底与水坝的交线）的距离,A CB D分别为,a b，C D的长为c，AB的长为d.求库底与水坝所成二面角的余弦值.变式：如图，60︒的二面角的棱上有,A B两点，直线,A CB D分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于,===,求C D的长.A B已知4,6,8AB AC BD※动手试试练1. 如图，已知线段AB在平面α内，线段A Cα⊥，D Dα⊥，线段BD⊥AB，线段'∠= ，如果AB＝a，AC＝BD＝b，求C、D间的距离.DBD'30练2. 如图，M 、N 分别是棱长为1的正方体''''ABC D A B C D -的棱'BB 、''B C 的中点．求异面直线MN 与'C D 所成的角.三、总结提升※ 学习小结1.求出空间线段的长度：用空间向量表示空间线段，然后利用公式a = ；2. 空间的二面角或异面直线的夹角，都可以转化为 利用公式cos ,a b a b a b ⋅=⋅ 求解.※ 知识拓展解空间图形问题时,可以分为三步完成:（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题(还常建立坐标系来辅助)；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；“翻译”成相应的几何意义.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 已知()()1,02,1,1,3A B -，则AB = .2. 已知1cos ,2a b =- ，则,a b的夹角为 . 3. 若M 、N 分别是棱长为1的正方体''''ABC D A B C D -的棱''',A B BB 的中点,那么直线,AM C N 所成的角的余弦为（ ） A.2 10 C.35 D.25 4. 将锐角为60︒边长为a 的菱形ABC D 沿较短的对角线折成60︒的二面角，则,A C B D 间的距离是（ ）A.32a 2 C.34a 45.正方体''''ABC D A B C D -中棱长为a ，'13AM AC =,N 是'B B 的中点，则M N 为（ ）A.66631.如图，正方体''''-的棱长为1，ABC D A B C DM N分别是''',BB B C的中点，求：,⑴'MN CD所成角的大小；,⑵,M N AD所成角的大小；⑶A N的长度.§3.2立体几何中的向量方法（3）1. 进一步熟练求平面法向量的方法；2. 掌握向量运算在几何中如何求点到平面的距离和两异面直线间距离的计算方法；3. 熟练掌握向量方法在实际问题中的作用.复习1：已知)()1,1,2C，试求平面ABC的一个法向量.A B()1,2,0,0,1,1,复习2：什么是点到平面的距离？什么是两个平面间距离？二、新课导学※ 学习探究探究任务一：点到平面的距离的求法 问题：如图A ,α∈空间一点P 到平面α的距离为d ,已知平面α的一个法向量为n ,且AP 与n 不共线,能否用AP 与n 表示d ?分析:过P 作PO ⊥α于O ,连结OA ,则 d =|PO |=||cos .PA APO ⋅∠∵PO ⊥α,,n α⊥ ∴PO ∥n . ∴cos ∠APO=|cos ,PA n 〈〉 | ∴D. =|PA ||cos ,PA n 〈〉 | =|||||cos ,|||PA n PA n n ⋅⋅〈〉 =||||PA n n ⋅新知：用向量求点到平面的距离的方法：设A ,α∈空间一点P 到平面α的距离为d ,平面α的一个法向量为n，则 D. =||||PA n n ∙试试：在棱长为1的正方体''''ABC D A B C D -中，求点'C 到平面''A BCD 的距离.反思：当点到平面的距离不能直接求出的情况下，可以利用法向量的方法求解.※ 典型例题例1 已知正方形ABCD 的边长为4，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2，求点B 到平面EFG 的距离.变式：如图,ABC D 是矩形,PD ⊥平面A B C D ,PD D C a ==,AD =,M N 、分别是A D P B、的中点,求点A 到平面M N C 的距离.小结：求点到平面的距离的步骤：⑴ 建立空间直角坐标系，写出平面内两个不共线向量的坐标；⑵ 求平面的一个法向量的坐标；⑶ 找出平面外的点与平面内任意一点连接向量的坐标；⑷ 代入公式求出距离.探究任务二：两条异面直线间的距离的求法例 2 如图，两条异面直线,a b 所成的角为θ，在直线,a b 上分别取点',A E 和,A F ,使得'A A a ⊥,且 'AA b ⊥.已知',,A E m AF n EF l ===，求公垂线'A A 的长.变式：已知直三棱柱111A B C A B C ─的侧棱14AA =,底面ABC △中, 2AC BC ==，且90BC A ∠= ,E 是AB 的中点,求异面直线C E 与1AB 的距离.A PD C BM N小结：用向量方法求两条异面直线间的距离，可以先找到它们的公垂线方向的一个向量n ，再在两条直线上分别取一点,A B ，则两条异面直线间距离n AB d n∙=求解.三、总结提升※ 学习小结1.空间点到直线的距离公式2.两条异面直线间的距离公式※ 知识拓展用向量法求距离的方法是立体几何中常用的方法.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 在棱长为1的正方体''''ABC D A B C D -中，平面''A B B A 的一个法向量为 ；2. 在棱长为1的正方体''''ABC D A B C D -中，异面直线'A B 和'CB 所成角是 ；3. 在棱长为1的正方体''''ABC D A B C D -中，两个平行平面间的距离是 ；4. 在棱长为1的正方体''''ABC D A B C D -中，异面直线'A B 和'CB 间的距离是 ；5. 在棱长为1的正方体''''ABC D A B C D -中，点O 是底面''''A B C D 中心，则点O 到平面''A CDB 的距离是 .1. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点M 是棱1AA 中点，点O 是1BD 中点，求证：O M 是异面直线1AA 与1BD 的公垂线，并求O M 的长.2. 如图，空间四边形O ABC各边以及,O A BC的中点，A CB O的长都是1，点,D E分别是边,连结D E.⑴计算D E的长；⑵求点O到平面ABC的距离.。
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4.两个平面所成的角θ
n1 n2
思考：
(1)两平面所成角与
二面角一样吗？
(2)θ的范围；
[0, ]
2
(3)θ与 n1,n2 的关系.
n1
n2
n1,n2 或
cos
cos
n1, n2
|
n1 n2 n1 || n2
|
5.点(直线、平面)到平面的距离
n
●
B
●A
思考：
B到平面的距离与直 线AB和平面所成角之 间有何关系?
C
E
C1
(2)求二面角A-B1E-A1的大小 (3)试在AE上找一点M,使得BM与B1C1所成角是60o
练习2：
A
如图,三棱柱ABC-A1B1C1所有棱长为2，
AA1⊥平面ABC,D是CC1中点.
C
求：
(1)异面直线AB1与BD所成角的大小； (2)AB1与平面A1BD所成角的大小； B (3)二面角A-A1D-B的余弦值; (4)C到平面A1BD的距离.
可先求出平面α的法向量n与直线l的方向向量v的夹 角．则sinθ＝|cos<n,v>|.
(3)求二面角α—l—β的大小θ(结合图形判断是锐二面角 还是钝二面角)
可先求出两个平面的法向量n1，n2所成的角． 则θ＝<n1,n2>或π－<n1,n2>． |cosθ|＝|cos<n1,n2>|
若两个平面所成角为θ，则cosθ＝|cos<n1,n2>|
A1
D
C1
B1
五、小结
1．利用向量法求空间角和空间距离， 建系和写出点的坐标是关键。公式要理 解地记清楚。
2．角的计算与度量总要进行转化，这 体现了转化与化归的思想，主要将空 间角转化为平面角或两向量的夹角．
B●
n
d
A
d | AB | sin
d | AB | sin | AB | | AB n | | AB n |
| AB || n | | n |
几个夹角公式的比较
(1)求两异面直线a、b的夹角θ，须求出它们方向向量 v1，v2的夹角，则cosθ＝|cos<v1,v2>|
(2)求直线l与平面α所成的角θ
直线EF和AM所成角的余弦值为⅓，若存在求出M点
坐标，若不存在，请说明理由; (3)求直线EF和平面PBD所成角的正弦值的范围.
DY
C
三、练习
练习1：
A
A1
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中
BC=1,BB1=2,AB= 2 ,BC⊥CC1，
AB⊥侧面BB1C1C,E是CC1中点. 求：
B
B1
(1)求直线AB与平面A1BC1 所成角的正弦值.
二、例题
例1 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E为AD中点.
求: (1)异面直线A1C和BE所成角的余弦值； (2)直线A1C和平面BD1E所成角的正弦值; (3)平面BD1E和平面AA1D1D所成角的余弦值. (4)B1到平面BD1E的距离.
D1 Z
C1
A1
D E A
X
B1
Y
C
空间几何量的计算—— 向量法在求空间角和距离中的应用
一、复习
1.两个向量的数量积
ab | a || b | cos a,b
变形： cos a,b a b
| a || b |
思考： a,b 的范围？ [0, ]
2.异面直线所成的角θ
●
B ●A
●
C
●
D
思考：
(1)θ的范围；
(0, ]
2
(2)θ与 AB,CD 的关系.
B
B
ACΒιβλιοθήκη DDCA
AB,CD 或
cos
cos AB,CD AB CD | AB || CD |
3.直线和平面所成的角θ
n
●B
思考：
●A (1)θ的范围；
[0, ] 2
(2)θ与 AB,n 的关系.
B
B
n
A
A
n
AB, n
2
或
2
sin cos AB,n AB n
| AB || n |
B
PZ
例2
E
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD A 是正方形，PA⊥底面AC，PA=AD=2,
E是线段PD上的点，F是线段AB上的点， F
且PE:ED=BF:FA=t (t>0).
B
X
(1)若t=1,设Q是PC中点，求证：正方形ABCD内 存在一点N，使得QN⊥平面CEF； (2)若t=1,线段PC上是否存在一点M使得