立体几何中向量法常用公式.
高中数学立体几何向量公式
高中数学立体几何向量公式
在三维空间中，向量有着相应的公式。
第一个公式是向量a加向量b，即a+b=a+b。
这表示将两个向量相加，得到一个新的向量。
下一个公式是a×b，它表示两个向量的点积，这意味着它们的方向是相反的，但它们的大小是不同的。
还有另一个公式叫平行向量，它表示两个向量具有相同的方向。
它可以写成：a∥b，这意味着它们之间的另一个角度被视为0度。
另外，向量也有一个公式，它可以用来描述两个向量的向量积，这是一个形状向量，表示另一个向量的方向或大小与其相似。
最后，还有一个叫作法向量的公式，它表示了一个向量和一个平面的关系，这被用来描述法线的方向，它可以写为n=b-a。
总而言之，立体几何中向量的公式涉及加减、点积和叉积等内容，是高中学习数学中十分重要的一部分。
了解并掌握这些公式有助于学生更好地理解数学知识，更好的运用到学习中去。
立体几何中的向量方法-距离的向量计算方法
向量的叉乘
总结词
叉乘是向量的另一种重要运算，表示垂直于原向量的新向量。
详细描述
叉乘是将两个向量a和b相乘，得到一个新的向量c。叉乘的定义为c=a×b，其 中c的大小为|a||b|sinθ，方向垂直于原平面，右手定则确定其方向。叉乘的结果 是一个向量，满足反交换律，即a×b=-b×a。
03
距离的向量计算方法
详细描述
数乘是将一个数k与一个向量a相乘，得到一个新的向量ka。数乘满足结合律和分配律，即k(a+b)=ka+kb， (k+l)a=ka+la。
向量的点乘
总结词
点乘是向量的另一种重要运算，表示两个向量的夹角和大小 关系。
详细描述
点乘是将两个向量a和b相乘，得到一个标量。点乘的定义为 a·b=|a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的大小，θ表示 向量a和b的夹角。点乘的结果是一个标量，满足交换律和分配 律。
路径。
空间定位问题
要点一
总结词
利用向量的线性组合和向量模长的性质，确定空间中点的 位置。
要点二
详细描述
空间定位问题需要确定空间中某点的位置。通过向量的线 性组合和向量模长的性质，可以构建方程组，求解出点的 坐标。这种方法在解决空间几何问题时非常有效。
空间关系判断问题
总结词
利用向量的数量积、向量积和混合积等性质，判断点、 线、面之间的位置关系。
利用向量计算点到直线的最短距离
• 点到直线的最短距离可以通过向量投影的方法计算，将点投影到直线上，然后求投影点到直线上任一点的距离。
利用向Байду номын сангаас计算点到平面的最短距离
• 点到平面的最短距离可以通过向量投影的方法计算，将点 投影到平面上，然后求投影点到平面上任一点的距离。
第八篇 第7讲 立体几何中的向量方法(一)
抓住3个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
(2)解
→ → PC＝(0,1，－ 2)，CD＝(2，－ 1， 0)．
设平面 PCD 的法向量 n＝ (x， y， z)， → n· PC＝ 0， 则 → CD＝ 0， n·
y－ 2z＝ 0， 即 2x－ y＝ 0.
不妨令 z＝ 1，可得 n＝ (1,2,1)． 可取平面 PAC 的法向量 m＝ (1,0,0)． m· n 1 6 30 于是 cos 〈 m， n〉 ＝ ＝ ＝ ， 从而 sin 〈 m， n〉 ＝ . |m||n| 6 6 6 30 所以二面角 APCD 的正弦值为 . 6
②设直线 l 的方向向量为 v，平面 α 的法向量为 u，则 l⊥α
v∥u . ⇔ _____ u1⊥u2 ③设平面 α 和 β 的法向量分别为 u1 和 u2，则 α⊥β⇔ ______
u2＝0 ＝ 0. ⇔u ________ 1·
抓住3个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
3．点面距的求法 如图， 设 AB 为平面 α 的一条斜线段， n 为平面 α 的法向量， 则 B 到平面 α → |AB· n| |n| 的距离 d＝ _______.
突破3个考向
揭秘3年高考
→ → → ∴PB＝(2,0，－2)，FE＝(0，－1,0)，FG＝(1,1，－1)， → → → 设PB＝sFE＋tFG，即(2,0，－2)＝s(0，－1,0)＋t(1,1，－1)， t＝2， ∴t－s＝0， －t＝－2， → → → 解得 s＝t＝2.∴PB＝2FE＋2FG，
3 2 1 ＋ h2× 5 2
抓住3个考点
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用向量法解答这类题要做到以下几点： ①建系要恰当，建系前必须证明图形中有从同一点出发
空间向量与立体几何公式
空间向量与立体几何公式一、空间向量1、空间向量是一种简单的数学表达形式，表示一组相同类型数据成员之间的关系。
它可以描述空间中的每个点与另一个点之间的连接情况，而连接情况是由三个不同的坐标表示的。
换言之，空间向量就是描述空间中一个点到另一个点的方向及距离，作为一种数学实体而存在的。
2、空间向量可以用一个有向箭头来表示，并用数学记号标注出来。
通常来说，它的数学记号是表示坐标系中的另一个点在第一个点的坐标上的偏移量，如a→b表示b点在a点上的偏移量。
3、空间向量形式可以表示一条从原点到某个点的路径，通过它可以确定在x、y和z轴上的平移量，即偏移量，从而避免了我们有时在空间中运行物体时会误解运动方向的困难。
从更宏观的角度来说，空间向量可以用来表示以位置、速度和加速度等。
二、立体几何公式1、立体几何是几何学分支之一，它学习的内容是空间中的点、线、面和体的特性、关系及其变化规律，其中关于立体图形的内容被称为立体几何。
立体几何的定义是关于空间中的点、线、面和体的研究，以及它们之间的关系，其中主要考虑的就是位置、形状、大小以及一般的空间概念。
2、立体几何公式包括：立体几何定义、立体几何变换、立体几何性质、其他立体几何相关概念以及三角几何相关公式。
例如，立体几何定义涉及的公式有：空间中的点的位置关系（a-b=c），线的距离关系（L=1/2×Z1×Z2），面的面积关系（S=1/2×Z1×Z2×cosX），以及球体表面积（S=4×π×R2）等公式。
3、另外，立体几何公式还包括三角几何公式，它主要涉及到角度、正弦、余弦、正切、反正切等相关公式。
这些公式用来解决各种形状三角形以及其他更复杂的立体图形以及相关空间距离关系的问题。
高中数学立体几何向量法归纳
B
练习
D1F (0,1, 2)
D
E C
AE D1F 0, DA D1F 0 AE D1F, DA D1F D1F 平面AED 平面A1FD 平面AED
F
Y
A
B X
或证明两平面的法向量垂直
练习
如图，直三棱柱ABC A1B1C1中，CA CB 1，
BCA 90O，棱AA1 2，M、N分别是A1B1、AA1的
n
α
5、平面法向量的求法
设a=( x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平面α内的两个不共 线的非零向量,由直线与平面垂直的判定定理知,若 n⊥a且n⊥b,则n⊥α.换句话说,若n·a = 0且n·b = 0, 则n⊥α.可按如下步骤求出平面的法向量的坐标
1、假设平面法向量的坐标为n=(x,y,z).
6、中点坐标公式 7、重心坐标公式
x
x1
x2 2
y
y1 y2 2
z
z1
z2 2
x
x1
x2 3
x3
y
y1
y2 3
y3
z
z1
z2 3
z3
8、直线与直线所成角公式
cos | AB CD |
| AB | | CD |
9、直线与平面所成角公式
sin | PM n |
| PM || n |
二、基本公式：
1、两点间的距离公式（线段的长度）
AB AB x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2
2、向量的长度公式（向量的模）
a
2
a
x2 y2 z2
3、向量的坐标运算公式
若 a (x1, y1, z1) b (x2, y2, z2) 那么
立体几何证明的向量公式和定理证明
立体几何证明的向量公式和定理证明立体几何中的向量公式和定理证明非常多，下面仅列举其中几个常见的向量公式和定理的证明。
1.向量叉乘的模长公式证明：对于两个三维向量A=(a1,a2,a3)和B=(b1,b2,b3)，它们的叉乘C=A×B定义为C=(a2b3-a3b2,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1)。
根据向量的定义，我们有C，^2=(a2b3-a3b2)^2+(a3b1-a1b3)^2+(a1b2-a2b1)^2=(a2^2b3^2-2a2a3b2b3+a3^2b2^2)+(a3^2b1^2-2a1a3b1b3+a1^2b3^2)+(a1^2b2^2-2a1a2b1b2+a2^2b1^2)=a2^2b3^2+a3^2b1^2+a1^2b2^2-2a2a3b2b3-2a1a3b1b3-2a1a2b1b2+a3^2b2^2+a1^2b3^2+a2^2b1^2-2a1a2b1b2-2a2a3b2b3+a1^2b2^2=a1^2(b2^2+b3^2)+a2^2(b1^2+b3^2)+a3^2(b1^2+b2^2)-2(a1a2b1b2+a2a3b2b3+a1a3b1b3)=a1^2，B，^2+a2^2，B，^2+a3^2，B，^2-2(a1a2b1b2+a2a3b2b3+a1a3b1b3)=(a1^2+a2^2+a3^2)，B，^2=，A，^2，B，^2因此，可以得出，C， = ，A × B， = ，A，B，sinθ，其中θ为A和B的夹角。
2.向量线性组合的余子定理证明：设有n个非零向量v1, v2, ..., vn，如果它们的线性组合为零向量，即存在一组不全为零的实数c1, c2, ..., cn，使得c1v1 + c2v2 + ...+ cnvn = 0，则对于其中任意一个向量，它的余子向量与其余子式满足如下关系：v1 × (v2 × ... × vn) = (v1 · vn) (v2 × ... × vn) -(v1 · vn-1)(v2 × ... × vn-1)vn为了证明上述关系，我们可以使用向量叉乘的定义进行展开计算。
二面角向量法公式
二面角向量法公式在咱们学习立体几何的时候，有一个很重要的概念——二面角向量法公式。
这玩意儿可真是个厉害的工具，能帮咱们解决不少难题呢！先来说说啥是二面角。
想象一下，你有两块板子，它们斜着靠在一起，形成的那个“夹角”就是二面角。
要想准确算出这个角的大小，二面角向量法公式就派上用场啦。
公式是这样的：cosθ = |(n1·n2) / (|n1| × |n2|)| ，这里的 n1 和 n2 是两个平面的法向量。
可别被这一堆符号吓到，咱们慢慢捋一捋。
法向量又是啥呢？简单说，就是和平面垂直的向量。
比如说，有一个平面，你总能找到一个向量，它直直地立在这个平面上，那它就是法向量。
我记得我之前教过一个学生，叫小李。
这孩子呀，刚开始接触二面角向量法公式的时候，那叫一个迷糊。
有一次上课，我在黑板上写了一道例题，让大家试着用公式算一下二面角。
小李坐在那儿，抓耳挠腮，半天没动静。
我走过去一看，他连法向量都还没找对。
我就耐心地跟他说：“小李呀，你看这个平面的方程，先把它的系数找出来，然后设法向量是（x，y，z），根据垂直的条件列出方程组，就能求出法向量啦。
”小李似懂非懂地点点头，又埋头苦算了起来。
经过几次这样的耐心指导，小李终于慢慢掌握了窍门。
后来有一次小测验，碰到一道二面角的题目，他刷刷刷几下就把法向量求出来，然后顺利地用公式算出了二面角的大小。
看到他那自信满满的样子，我心里也特别欣慰。
那咱们再回到这个公式。
计算的时候，一定要注意向量的点乘和模长的计算，可别马虎。
有时候一个小数字算错了，整个结果就全错啦。
而且呀，用这个公式的时候，要先判断二面角是锐角还是钝角。
这就需要咱们对图形有一个清晰的认识。
比如说，如果两个法向量的方向都是从二面角内部指向外部，那算出的余弦值就是二面角的余弦值；如果一个从内部指向外部，一个从外部指向内部，那算出的余弦值的相反数才是二面角的余弦值。
总之，二面角向量法公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们多做几道题，多琢磨琢磨，就能熟练掌握，让它成为咱们解决立体几何问题的有力武器。
立体几何中的向量方法(距离问题)
化为向量问题
D1 A1 D A 图1
B B1
C1
依据向量的加法法则， AC1 AB AD AA1
进行向量运算
C
AC1 ( AB AD AA1 ) 2
2 2 2
2
AB AD AA1 2( AB AD AB AA1 AD AA1 )
由 A1 AB A1 AD BAD 且 AB AD AA1 H 在 AC上.
AC ( AB BC )2 1 1 2cos 60 3
2
D1 A1 B1 H D B
C1
C
A
AC 3
AA1 AC AA1 ( AB BC ) AA1 AB AA1 BC cos60 cos60 1.
即 a 2 3 x 2 2(3 x 2 cos ) x
1 a 3 6cos
∴ 这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长.
思考(3)本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少? 分析：面面距离转化为点面距离来求
解： 过 A1点作 A1 H 平面 AC 于点 H . 则 A1 H 为所求相对两个面之间 的距离 .
A1 B1 D C D1 C1
(3)本题的晶体中相对的两个平面之间的距离 A B 是多少? (提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求点到平 面的距离或两点间的距离）
思考(1)分析: BD BA BC BB 1 1 其中 ABC ABB1 120 ， B1 BC 60
空间“距离”问题
复习回顾：
1.异面直线所成角：
C