立体几何中的向量方法求夹角
专题8.8 立体几何中的向量方法(二)—求空间角与距离(重难点突破)(解析版)
专题8.7 立体几何中的向量方法（二）求空间角与距离一、考纲要求1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题；2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.二、考点梳理考点一 异面直线所成的角设a ，b 分别是两异面直线l 1，l 2的方向向量，则a 与b 的夹角β l 1与l 2所成的角θ范围 (0，π) ⎝⎛⎦⎤0，π2 求法cos β＝a ·b|a ||b |cos θ＝|cos β|＝|a ·b ||a ||b |考点二 求直线与平面所成的角设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈a ，n 〉|＝|a ·n ||a ||n |.考点三 求二面角的大小(1)如图①，AB ，CD 是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝__〈AB →，CD →〉.(2)如图②③，n 1，n 2 分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos 〈n 1，n 2〉|，二面角的平面角大小是向量n 1与n 2的夹角(或其补角). 【特别提醒】1.线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a 与平面的法向量n 所成角的余弦值的绝对值，即sin θ＝|cos 〈a ，n 〉|，不要误记为cos θ＝|cos 〈a ，n 〉|.2.二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α，β的法向量n 1，n 2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，来确定二面角与向量n 1，n 2的夹角是相等，还是互补.三、题型分析例1. （黑龙江鹤岗一中2019届期末）如图，在空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，则OA 与BC 所成角的余弦值为( )A.3－225B.2－26C.12D.32【答案】A【解析】因为BC →＝AC →－AB →，所以OA →·BC →＝OA →·AC →－OA →·AB →＝|OA →||AC →|cos 〈OA →，AC →〉－|OA →||AB →|cos 〈OA →，AB →〉＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝－162＋24. 所以cos 〈OA →，BC →〉＝OA →·BC →|OA →||BC →|＝24－1628×5＝3－225.即OA 与BC 所成角的余弦值为3－225.【变式训练1-1】、（天津新华中学2019届高三质检）如图所示，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面为平行四边形，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC 1的长； (2)求证：AC 1⊥BD ；(3)求BD 1与AC 夹角的余弦值.【解析】(1) 记AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°， ∴a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝12.|AC 1→|2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝1＋1＋1＋2×⎝⎛⎭⎫12＋12＋12＝6， ∴|AC →1|＝6，即AC 1的长为 6. (2)证明 ∵AC 1→＝a ＋b ＋c ，BD →＝b －a ，∴AC 1→·BD →＝(a ＋b ＋c )·(b －a )＝a ·b ＋|b |2＋b ·c －|a |2－a ·b －a ·c ＝b ·c －a ·c ＝|b ||c |cos 60°－|a ||c |cos 60°＝0.∴AC 1→⊥BD →，∴AC 1⊥BD .(3)解 BD 1→＝b ＋c －a ，AC →＝a ＋b ，∴|BD 1→|＝2，|AC →|＝3， BD 1→·AC →＝(b ＋c －a )·(a ＋b )＝b 2－a 2＋a ·c ＋b ·c ＝1.∴cos 〈BD 1→，AC →〉＝BD 1→·AC →|BD 1→||AC →|＝66.∴AC 与BD 1夹角的余弦值为66.例2、（2018年天津卷）如图，且AD =2BC ，,且EG =AD ，且CD =2FG ，，DA =DC =DG =2.（I ）若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：；（II ）求二面角的正弦值；（III ）若点P 在线段DG 上，且直线BP 与平面ADGE 所成的角为60°，求线段DP 的长.【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)；(Ⅲ).【解析】依题意，可以建立以D 为原点， 分别以，，的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向的空间直角坐标系（如图），可得D （0，0，0），A （2，0，0），B （1，2，0），C （0，2，0），E （2，0，2），F （0，1，2），G （0，0，2），M （0，，1），N （1，0，2）．（Ⅰ）依题意=（0，2，0），=（2，0，2）．设n0=(x，y，z)为平面CDE的法向量，则即不妨令z=–1，可得n0=（1，0，–1）．又=（1，，1），可得，又因为直线MN平面CDE，所以MN∥平面CDE．（Ⅱ）依题意，可得=（–1，0，0），，=（0，–1，2）．设n=（x，y，z）为平面BCE的法向量，则即不妨令z=1，可得n=（0，1，1）．设m=（x，y，z）为平面BCF的法向量，则即不妨令z=1，可得m=（0，2，1）．因此有cos<m，n>=，于是sin<m，n>=．所以，二面角E–BC–F的正弦值为．（Ⅲ）设线段DP的长为h（h∈［0，2］），则点P的坐标为（0，0，h），可得．易知，=（0，2，0）为平面ADGE的一个法向量，故，由题意，可得=sin60°=，解得h=∈［0，2］．所以线段的长为.【变式训练2-1】、（吉林长春市实验中学2019届高三模拟）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，过点E作EF⊥PB于点F.求证：(1)PA ∥平面EDB ； (2)PB ⊥平面EFD .【证明】以D 为坐标原点，射线DA ，DC ，DP 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz .设DC ＝a .(1)连接AC 交BD 于点G ，连接EG .依题意得A (a,0,0)，P (0,0，a )，C (0，a,0)，E ⎝⎛⎭⎫0，a 2，a 2. 因为底面ABCD 是正方形，所以G 为AC 的中点故点G 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，0，所以PA ―→＝(a,0，－a )，EG ―→＝⎝⎛⎭⎫a2，0，－a 2， 则PA ―→＝2EG ―→，故PA ∥EG .而EG ⊂平面EDB ，PA ⊄平面EDB ，所以PA ∥平面EDB . (2)依题意得B (a ，a,0)，所以PB ―→＝(a ，a ，－a )．又DE ―→＝⎝⎛⎭⎫0，a 2，a 2， 故PB ―→·DE ―→＝0＋a 22－a 22＝0，所以PB ⊥DE ，所以PB ⊥DE .由题可知EF ⊥PB ，且EF ∩DE ＝E ，所以PB ⊥平面EFD .例3、如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点．已知AB ＝2，AD ＝22，PA ＝2，求异面直线BC 与AE 所成的角的大小．【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，22，0)，E(1，2，1)，AE →＝(1，2，1)，BC →＝(0，22，0)．设AE →与BC →的夹角为θ，则cosθ＝AE →·BC →|AE →|·|BC →|＝42×22＝22，所以θ＝π4，所以异面直线BC 与AE 所成的角的大小是π4.【变式训练3-1】、 如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA 1B 1C 1，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为________．【答案】55【解析】 不妨令CB ＝1，则CA ＝CC 1＝2，可得C(0，0，0)，B(0，0，1)，C 1(0，2，0)，A(2，0，0)，B 1(0，2，1)，所以BC 1→＝(0，2，－1)，AB 1→＝(－2，2，1)，所以cos 〈BC 1→，AB 1→〉＝BC 1→·AB 1→|BC 1→|·|AB 1→|＝4－15×9＝15＝55＞0，所以BC 1→与AB 1→的夹角即为直线BC 1与直线AB 1的夹角，所以直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为55.【变式训练3-2】、如图，已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1，平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，∠ABC ＝90°，∠BAC ＝30°，A 1A ＝A 1C ＝AC ，E ，F 分别是AC ，A 1B 1的中点． (1)证明：EF ⊥BC ；(2)求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值．【解析】 (1)证明：连接A 1E ，因为A 1A ＝A 1C ，E 是AC 的中点，所以A 1E ⊥AC . 又平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，A 1E ⊂平面A 1ACC 1， 平面A 1ACC 1∩平面ABC ＝AC ，所以A 1E ⊥平面ABC .如图，以点E 为原点，分别以射线EC ，EA 1为y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系E -xyz . 不妨设AC ＝4，则A 1(0,0,23)，B (3，1,0)，B 1(3，3,23)，F ⎝⎛⎭⎫32，32，23，C (0,2,0)． 因此，EF ―→＝⎝⎛⎭⎫32，32，23，BC ―→＝(－3，1,0)．由EF ―→·BC ―→＝0得EF ⊥BC .(2)设直线EF 与平面A 1BC 所成角为θ.由(1)可得BC ―→＝(－3，1,0)，A 1C ―→＝(0,2，－23)．设平面A 1BC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．由⎩⎪⎨⎪⎧BC ―→·n ＝0，A 1C ―→·n ＝0，得⎩⎨⎧－3x ＋y ＝0，y －3z ＝0.取n ＝(1, 3，1)，故sin θ＝|cos 〈EF ―→，n 〉|＝|EF ―→·n ||EF ―→|·|n |＝45，∴cos θ＝35.因此，直线EF 与平面A 1BC 所成的角的余弦值为35.。
3.2.4立体几何中的向量方法求夹角
C
个面内与棱l垂直的异面直线,则二面角 D
Al
的大小就是向量A B C与D 的夹角(如图
(1))
n1 , n2
l
,
②设 是二面角n 1 n 2 的法向量,则向量 与
的两个面 的夹角(或其补
n 1 (1)
n2
角)就是二面角的平面角的大小(如图(2))
l
(2)
例2 正三棱柱 ABC A 1B1C1中，D是AC的 中点，当AB1 BC 1时，求二面角DBC 1C 的余弦值。
因为△ABC是正三角形，所以AO⊥ BC，
因为在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1， 所以AO⊥平面BCC1B1.2分 取B1C1中点为O1，以O为原点， O→B ， O→O1 ， O→A 为x，y，z轴 的正方向建立空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2， 3)，A(0,0， 3)，B1(1,2,0).4分
C1
B1
A1
C D
B A
以C为原点建立空间直角坐标系 C-x yz CC1B 在坐标平面yoz中 ∴可取 n＝(1,0,0)为面 CC1B的法向量
设面 C1BD 的一个法向量为m(x, y,z) 同法一，可求 B(0,1,0)
31
2
D(
4
, ,0) 4
C1 (0,0,
) 2
∴
C1D(
3,1, 44
空间“角度”问题
ZPZ
复习引入
1.异面直线所成角
设直线l,m的方向向量分别为a,b
ab
若两直线l , m
所成的角为(0≤ ≤ ), 则
2
cos
ab
l
立体几何求线线角的方法
立体几何求线线角的方法立体几何是数学中的一个重要分支，它研究的是空间中的图形、体积和角度等概念。
其中，线线角是立体几何中的一个重要概念，它描述了两条直线之间的夹角。
本文将介绍几种求解线线角的方法。
方法一：使用向量法求解线线角向量是立体几何中常用的工具之一，它可以用来描述空间中的方向和大小。
在求解线线角时，我们可以利用向量的夹角来求解。
我们需要确定两条直线的方向向量。
假设直线L1的方向向量为a，直线L2的方向向量为b。
那么，直线L1和L2之间的夹角θ可以通过以下公式求解：θ = arccos(|a·b| / (|a|·|b|))其中，|a·b|表示向量a和向量b的点积，|a|和|b|分别表示向量a和向量b的模。
通过计算向量的点积和模，我们可以得到直线L1和L2之间的夹角θ。
方法二：使用三角函数法求解线线角三角函数是数学中常用的函数之一，它可以用来描述角度之间的关系。
在求解线线角时，我们可以利用三角函数的性质来求解。
假设直线L1和L2之间的夹角为θ。
我们可以利用正弦定理来求解θ，该定理表示：sin(θ) = |AB| / |AC|其中，|AB|表示直线L1和L2之间的距离，|AC|表示直线L1上一个点到直线L2的垂直距离。
通过计算这两个距离，我们可以得到夹角θ的值。
方法三：使用平行四边形法求解线线角平行四边形是立体几何中的一个重要概念，它可以用来描述两条直线之间的关系。
在求解线线角时，我们可以利用平行四边形的性质来求解。
假设直线L1和L2之间的夹角为θ。
我们可以构造一个平行四边形，其中两边分别为直线L1和L2，另外两边分别为直线L1上的一条边和直线L2上的一条边。
根据平行四边形的性质，我们知道平行四边形的对角线相交于一点，且对角线相互平分。
因此，我们可以通过构造平行四边形，找到对角线的交点，从而求解出夹角θ的值。
方法四：使用投影法求解线线角投影是立体几何中常用的工具之一，它可以用来描述空间中的投影关系。
空间向量与立体几何之夹角的计算
若直线l与平面的夹角为夹角为
1当0
rr u, a
时， =
r r u, a ，
2
2
0，2
l
，则
u a 此时：sin
sin
2
rr u, a
rr
= cos
rr u, a
ua rr
ua
2当
rr u, a
时， =
rr u, a
，
2
2
此时：sin
sin
rr u, a
2
l a
= cos
（1） 求证： 直B线1O 面MAC （2）求二面角B1 MA C 的余弦值
D1
C1
A1 M
B1
D O
A
C B
rr a, b
=
rr ab rr
ab
rr
ab
ab
a
l cos = r r
a b
b
m
b
a
l m
练习一：P45 1 ur
已知直u线ur l1的方向向量为s1=(1,-1,1)，直线l2的方向 向量为s2 =(-1,2,0)，求两条直线夹角的余弦值
2. 平面间的夹角
二面角定义：从一条直线出发的两个
2
rr
设平面和的法向量分别为u和v，若两个平面的
夹角为，则
1当0
rr u, v
时， =
rr u, v
，此时：cos
cos
rr u, v
rr
=
uv rr
2
uv
u 注意法向量的方向：一进一出，两平面的夹角等于法向量夹角 v
2当
rr u, v
时， =
3.2立体几何中的向量方法-夹角
0
题型一：利用空间向量求线线角、线面角
【例 1】(2010· 课标全国)如图，已知四棱椎 P－ABCD 的底 面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为 H，PH 是四棱锥的高，E 为 AD 中点． (1)证明：PE⊥BC； (2)若∠APB＝∠ADB＝60° ，求直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值． 解：以 H 为原点，HA，HB，HP 分别为 x，y，z 轴， 线段 HA 的长为单位长，建立空间直角坐标系如图， 则 A(1,0,0)B(0,1,0)． (1)证明：设 C(m,0,0)， P(0,0，n)(m<0，n>0)，
※注：由于两条直线所成的角，线面角都是锐角或 直角，因此可直接通过绝对值来表达，故可直接求 出，而二面角的范围是[0，π]，有时比较难判断二面 角是锐角还是钝角，因为不能仅仅由法向量夹角余 弦的正负来判断，故这是求二面角的
题型一：利用空间向量求线线角、线面角 空间中的角 题目如下：
【例 1】(2010· 课标全国)如图，已知四棱椎 P－ABCD 的底 面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为 H，PH 是四棱锥的高，E 为 AD 中点． (1)证明：PE⊥BC； (2)若∠APB＝∠ADB＝60° ，求直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值． 解：以 H 为原点，HA，HB，HP 分别为 x，y，z 轴， 线段 HA 的长为单位长，建立空间直角坐标系如图， 则 A(1,0,0)B(0,1,0)． (1)证明：设 C(m,0,0)， P(0,0，n)(m<0，n>0)，
0
2012•山东18题
由已知线线平行关系 面EFG//面ABCD.由EA 面ABCD EA 面EFG. Z E Z F Z G, 设G （x，， 0 z），AC=m，AD=n D(0，n，， 0) C （m，0,0） n 1 1 m M (0， ，， 0) B(m， -n，。又 0) EG // AC EG // AC （x，0,0）（ = ，0,0）。 2 2 2 2 m m m n x=（ ，0,z） G （ ，0,z） GM （- ， ，）。可表示出 -z AE =（0，， 0 z）， 2 2 2 2 AB =(m， -n，。由共面向量定理：只要 0) GM =p AE +q AB （）（p，q为未知数）即可。 m n 把（）代入整理 （- ， ，）（ -z = 0，0,pz） +(qm， -qn， 0)=(qm， -qn，pz) 2 2 m n 1 - =qm， =-qn， -z=pz q=- ，p=-1。故成立！ 2 2 2
空间向量与立体几何(角度问题)教学设计
空间向量与立体几何(角度问题)教学设计空间向量与立体几何（角度问题）教学设计一、学习目标：1．能借助空间几何体内的位置关系求空间的夹角；2．能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。
3、探究题型，掌握解法。
二、重难点：向量法在立体几何中求空间的夹角应用。
探究题型，掌握解法。
三、学情分析：本节内容是高考热点问题，需要学生做到非常熟练。
在平时的学习中，学生已经对该几类问题有所认识，本堂课重点在于让学生体会空间角度与向量角度之间的差异，培养学生养成良好的答题习惯。
四、教学过程本节课为高三复习课，所以从开始直奔主题，从回顾旧知开始直接进入例题讲解、课堂练习、方法提炼、课堂小结，重点在于提炼解决类型题的方法并配合相应例题进行巩固，提高课堂效率。
设计意图我们都已经学过空间向量，在空间中如何将点线面的位置量化？回顾旧知，让学生理解空间坐标系的作用在于量化点线面位置①点→空间直角坐标系下点的坐标②线→直线的方向向量③面→平面上一的一点、平面的法向量直线的方向向量→直线上任意两点坐标之差平面的法向量→①设；②找；③列；④求。
所谓平面的法向量，就是指所在的直线与的向量，显然一个平面的法向量有多个，它们是向量．明确点、线、面如何用空间直角坐标系里的坐标进行标示明确方向向量与平面法向量的求法，回顾旧知识。
因为在后续问题中，求已知平面的法向量会多次出现，在此再次回顾法向量为何能确定一个平面，让学生加深对平面法向量的认识。
在空间中，给定一个点A和一个向量a，那么以向量a为法向量且经过点A的平面是．二：几个空间角的范围(1)异面直线所成的角θ：0<θ≤π2；(2)直线与平面所成的角θ：0≤θ≤π2；(3)二面角θ：0≤θ≤π.回顾空间角的范围，先从范围的角度与向量与向量的夹角范围进行比较，强调两者的不同三、利用向量求空间角1．两条异面直线所成角的求法设两条异面直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为θ，则cosφ＝|cosθ|＝(其中φ为异面直线a，b所成的角)．2．直线和平面所成的角的求法如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sinφ＝|cosθ|＝ .3．求二面角的大小(1)如图①，AB、CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝．结合图像，让学生更直观地了解到线面所成的角与直线方向向量同平面法向量之间所成的角存在的区别与联系，从而找到适当的方法进行调整结合图像，让学生更直观地了解到二面角与直线方向向量同平面法向量之(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的小大θ＝．求空间角：设直线l1，l2的方向向量分别为a，b，平面α、β的法向量分别为n，m.①异面直线l1与l2所成的角为θ，则cosθ＝|a·b||a||b|.②直线l1与平面α所成的角为θ，则sinθ＝|a·n||a||n|.③平面α与平面β所成的二面角为θ，则|cosθ|＝|n·m||n||m|.、间所成的角存在的区别与联系，从而找到适当的方法进行调整通过之前的对比，分析清楚空间角与向量角之间存在的差异后，找寻适当的方法去解决差异，从而统一解题方法。
立体几何求夹角方法总结
立体几何求夹角方法总结立体几何体现了空间中物体的立体形态，它的重要性在于能够帮助人们更好地理解三维物体，并求出它们之间的夹角，这在数学、物理等领域都有着广泛的应用。
本文将总结出常见的几何求夹角方法，供读者参考。
方法一：向量求夹角向量是几何学中的常用概念，它由矢量和标量组成。
可以通过计算两个向量之间的夹角，得到它们之间的几何夹角。
具体做法如下：1. 求出待求夹角的两个向量；2. 根据向量的标准公式求出它们的数量积；3. 分别计算出两个向量的长度；4. 将数量积和长度带入余弦定理求出夹角。
方法二：平面法线求夹角在三维空间中，可以通过平面的法线向量来计算两个平面之间的夹角。
具体做法如下：1. 求出待求夹角的两个平面的法线向量；2. 根据向量的标准公式求出它们的数量积；3. 分别计算出两个平面的法线向量的长度；4. 将数量积和长度带入余弦定理求出夹角。
方法三：点法线求夹角与平面法线类似，我们也可以通过点和法线向量计算两个平面之间的夹角。
具体做法如下：1. 求出待求夹角的两个平面的任意一点坐标和两个平面的法线向量；2. 根据向量的标准公式求出它们的数量积；3. 分别计算出两个平面的法线向量的长度；4. 将数量积和长度带入余弦定理求出夹角。
方法四：球面三角学法求夹角该方法适用于计算球面上两个点或两个平面之间的夹角，方法稍微复杂。
具体做法如下：1. 求出待求夹角的两个点或平面的经纬度坐标；2. 根据球面三角学公式求出两个点之间的夹角或两个平面之间的夹角；3. 将弧度转化为角度，得到最终的夹角。
综上所述，立体几何求夹角的方法有计算向量之间的夹角、平面法线之间的夹角、点法线之间的夹角和球面三角学法求夹角。
每种方法都有其适用范围和计算步骤，要根据实际情况选择合适的方法进行计算。
3[1].2.3立体几何中的向量方法求夹角、距离
![3[1].2.3立体几何中的向量方法求夹角、距离](https://img.taocdn.com/s3/m/d17c80e8b84ae45c3b358cf7.png)
若二面角 l 的大小为 (0 ,) 则
ur r
ur r
一进一出： cos cos m, n 同进同出：cos cos m, n
2
例4、如图，ABCD是一直角梯形，ABC 900 , SA 平面ABCD,
SA AB BC 1, AD 1 ,求面SCD与面SBA所成的二面角的余弦值。 2
解：建立空直角坐系A - xyz如所示,
z
A (0,0,0),C (- 1,1,0),D(0, 1 ,0), S(0,0,1)
S
易知，面SBA的法向量n1
2 AD
CD
(1,
1
,0),
SD
(0,
1
,1)
(0,
1 2
,0),
x
A
B Dy
C
2
2 uur
uur uuur uur uuur
设平面 SCD的法向量n2 (x, y, z), 由n2 CD, n2 SD, 得：
Duu(u4r,0,0)，E(2,u4uu,r0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)．
EF
设平面
(2, 2, 0), EG (2, r4, 2), EFG 的一个法向量为 n ( x,
y,
z
)x
D
C
Q r uuur r n EF，n
r n
(
1
,
3
1 3
uEuGuruu2ur2x x24y y02 Z ,1) ,BE (2, 0, 0)
uuur uuur uuur uuur Q AA EA, AA AF
解:如图1,不妨设 AB AA1 AD 1 ，
D1
C1
BAD BAA1 DAA1 60
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[策略点睛]
[规范作答] 如图所示，取BC中点 O，连结AO.
因为△ABC是正三角形，所以AO⊥ BC，
因为在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1， 所以AO⊥平面BCC1B1.2分 取B1C1中点为O1，以O为原点， O→B ， O→O1 ， O→A 为x，y，z轴 的正方向建立空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2， 3)，A(0,0， 3)，B1(1,2,0).4分
成的角. (2)范围:
(0,
2
]
(3)向量求法:设直线a、b的方向向量为 a, b ,其夹角
为
,则有
cos
|
cos
|
|
|ab| a||b|
(4)注意:两异面直线所成的角可以通过这两条直线的
方向向量的夹角求得,当两方向向量的夹角是钝角时,
应取其补角作为两异面直线所成的角.
例2 Rt ABC中，BCA 900,现将 ABC沿着
3 , 1 , 44
2) 2
DB ( 3 , 3 ,0) z 44
由 C1D m, DB m 得
C1
B1
31 2
C1D m
4
x y 4
2
z 0,
DB m 3 x 3 y 0 44
A1
解得 x 3y 6 z 所以，可取m (3, 3, 6)
30 10
[题后感悟] 如何用坐标法求异面直线所成的 角？
(1)建立适当的空间直角坐标系；
(2)找到两条异面直线的方向向量的坐标形式；
(3)利用向量的夹角公式计算两直线的方向向 量的夹角；
(4)结合异面直线所成角的范围得到异面直线 所成的角．
2、二面角
①方向向量法 将二面角转化为二面角的两个面的
1
11
F1( 2 , 0, a), D1( 2 , 2 ,1)
所以：
AF1
(
1 2
,
0,1),
F1C1 z
A1
D1 C
A
B1 By
x BD1
(1 2
,
1 2
,1)
cos
AF1,
BD1
|
AF1 BD1 AF1 || BD1
|
1 1 4 5 3
30 . 10
42
所以
BD1与
AF1所成角的余弦值为
方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）
的夹角。如图（2），设二面角 l 的大小为
其中AB l, AB ,CD l,CD
cos cos AB,CD ABCD
B
AB CD
A
C
D
L
2、二面角
②法向量法如将图，二向面量角转n化为，二m面角 的两，个面的法向量的夹角。 则二面角 l 的大小 ＝〈m, n 〉
x y 2
yz 2
0 0ຫໍສະໝຸດ x z
y 2 y 2
任取n2 (1, 2,1)
cos
n1, n2
|
n1 n2 n1 || n2
|
6 3
即所求二面角得余弦值是 6 3
如图所示，正三棱柱
ABC－A1B1C1的所有棱长都 为2，D为CC1的中点，求二 面角A－A1D－B的余弦值．
SA 平面ABCD, SA AB BC 1, AD 1 ,求面SCD 2
与面SBA所成二面角的余弦值.
S
B
C
AD
例3 如所示， A B C D 是一直角梯形，A B C = 900,
SA 平面ABCD, SA AB BC 1, AD 1 ,求面SCD
与面SBA所成二面角的余弦值.
C1
B1
A1
C D
B A
以C为原点建立空间直角坐标系 C-xyz CC1B 在坐标平面yoz中 ∴可取 n＝(1,0,0)为面 CC1B 的法向量
设面 C1BD 的一个法向量为m (x, y, z) 同法一，可求 B(0,1,0)
D(
3 , 1 ,0) 44
C1 (0,0,
2) 2
∴ C1D (
C
个面内与棱l垂直的异面直线,则二面角 D
Al
的大小就是向量AB C与D 的夹角(如图
(1))
n1 , n2
l
,
②设 是二面角n1 n2 的两个面 的法向量,则向量 与 的夹角(或其补
n1 (1)
n2
角)就是二面角的平面角的大小(如图(2))
l
(2)
例2 正三棱柱 ABC A1B1C1 中，D是AC的 中点，当AB1 BC1时，求二面角D BC1 C 的余弦值。
∴二面角
D
2 BC1
C
的大n小方等向朝于面〈外m，,mn〉方向朝
面内，属于“一进一出”C
∴
cos〈
m,
n〉=
m m
n的 量n 情 夹况 角3，3二2面角等22于法x向
D
By A
2
即二面角 D BC1 C 的余弦值为 2
例3 如所示，A B C D 是一直角梯形，A B C = 900,
m, n
m
n
注意法向量的方向：同进 同出，二面角等于法向量 夹角的补角；一进一出， 二面角等于法向量夹角
L
uv
若二面角 l 的大小为 (0 ,) 则 cos .
uv
3.二面角
(1)范围: [0, ]
(2)二面角的向量求法:
B
①若AB、CD分别是二面角 l 的两
2
z
S
解：建立空直角坐系A - xyz如所示,
B
C
A (0,0,0), C (- 1,1,0), D (0,1 , 0), S(0,0,1)
2
易知面SBA的法向量n1
AD
x
(0,
A
1
, 0)
D
y
CD (1, 1 , 0), SD (0, 1 , 1) 2
2
2
设平面SCD的法向量n2 (x, y, z), 由n2 CD, n2 SD,得：
平面ABC的法向量平移到A1B1C1位置，已知
BC CA CC1，取A1B1、A1C1的中点D1、F1，
求BD1与AF1所成的角的余弦值.
F1C1
B1
A1
D1 C
B
A
解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系 C xyz
如图所示，设 CC1 1 则：
A(1,0,0), B(0,1,0),
空间“角度”问题
ZPZ
复习引入
1.异面直线所成角
设直线l, m 的方向向量分别为a, b
ab
若两直线
l
,
m
所成的角为
(0
≤
≤
2
)
,
则
cos
ab
l
a
m
l
a
b m
空间三种角的向量求解方法
1.两条异面直线所成的角
(1)定义:设a,b是两条异面直线,过空间任一点O作直线
a ′∥a, b ′∥b,则a ′, b ′所夹的锐角或直角叫a与b所