直角三角形的性质2016-10-26
直角三角形的计算
直角三角形的计算直角三角形是指其中一个角度为90度的三角形。
在数学中，我们可以通过给定直角三角形的已知边长或角度来进行相关计算。
本文将介绍直角三角形的计算方法，包括三角函数、勾股定理和特殊直角三角形的性质。
一、三角函数的计算在直角三角形中，我们可以使用三角函数来计算各个角的正弦、余弦和正切值。
1. 正弦函数 sin正弦函数（sine）表示一个角的对边与斜边的比值。
在直角三角形中，我们可以通过已知斜边和对边的长度来计算正弦值。
例如，已知一个直角三角形的斜边长为5，对边长为3，我们可以计算出正弦值：sinA = 对边 / 斜边 = 3 / 5 = 0.62. 余弦函数 cos余弦函数（cosine）表示一个角的邻边与斜边的比值。
在直角三角形中，我们可以通过已知斜边和邻边的长度来计算余弦值。
例如，已知一个直角三角形的斜边长为5，邻边长为4，我们可以计算出余弦值：cosA = 邻边 / 斜边 = 4 / 5 = 0.83. 正切函数 tan正切函数（tangent）表示一个角的对边与邻边的比值。
在直角三角形中，我们可以通过已知对边和邻边的长度来计算正切值。
例如，已知一个直角三角形的对边长为3，邻边长为4，我们可以计算出正切值：tanA = 对边 / 邻边 = 3 / 4 = 0.75二、勾股定理的计算勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方等于两个直角边的平方之和。
我们可以利用勾股定理来求解直角三角形的边长。
假设直角三角形的两个直角边分别为a和b，斜边为c，勾股定理可以表示为：c² = a² + b²通过已知条件，我们可以反推出直角三角形的边长。
例如，已知一个直角三角形的直角边a为3，斜边c为5，我们可以计算出另一个直角边b的长度：b² = c² - a² = 5² - 3² = 25 - 9 = 16b = √16 = 4三、特殊直角三角形的性质在特定的直角三角形中，边长可以通过一些特殊性质直接计算。
直角三角形的性质与判定
直角三角形的性质与判定性质：(1)直角三角形的两个锐角互余。
(2)直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
(3)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
判定：(1)有两个锐角互余的三角形是直角三角形。
(2)如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
直角三角形全等判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
(“斜边、直角边”或“HL”)基础题1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是( ) A．120°B．90°C．60°D．30°2．已知a∥b，某学生将一直角三角板如图所示放置．如果∠1＝35°，那么∠2的度数为( )A．35°B．55°C．56°D．65°3．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为( )A．5 B．6 C．8 D．104．如图，数轴上点A表示的实数是．5．如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D.(1)求证：∠ACD＝∠B；(2)若AF平分∠CAB分别交CD，BC于点E，F，求证：∠CEF＝∠CFE.6．由下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是( )A．∠A＝37°，∠C＝53°B．∠A－∠C＝∠BC．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5 D．∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5 7．以下列各组数据为边长作三角形，其中能组成直角三角形的是( )A．5，12，13 .B．3，5，27C．6，9，14 . D．4，10，138．如图所示，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝4，BC＝3，CD＝12 5.(1)求AD的长；(2)求证：△ABC是直角三角形．9.已知CD是△ABC的边AB上的高．若CD＝3，AD＝1，AB＝2AC，则BC的长为．10．已知M，N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形11．如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC ＝BC＝3，则B′C的长为( )A．3 3 B．6 C．3 2 D.2112．如图，圆柱形玻璃杯高为14 cm，底面周长为32 cm，在杯内壁离杯底5 cm 的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为cm.(杯壁厚度不计)13．观察下列勾股数组：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…；a，b，c.根据你发现的规律，请写出：(1)当a＝19时，b，c的值是多少？(2)当a＝2n＋1时，求b，c的值．你能证明所发现的规律吗？。
03880_八年级数学上册《直角三角形的性质》课件
45°-45°-90°三角形性质
角度关系
在45°-45°-90°三角形中，两个 锐角均为45°，还有一个直角为
90°。
边长关系
对于45°-45°-90°三角形，若设 直角边长度为a，则另一条直角 边长度也为a，斜边长度为√2a
。
应用场景
在解决与45°-45°-90°三角形相 关的问题时，可以利用这些性质
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实例分析与解题技巧
2024/1/26
实例分析
通过具体题目分析，展示如何利 用AA相似条件和三边比例关系判 断直角三角形相似。
解题技巧
总结在解题过程中需要注意的问 题和技巧，如正确运用勾股定理 、灵活运用相似条件等。
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直角三角形中特殊角度计算
2024/1/26
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30°-60°-90°三角形性质
等。
HL全等条件只适用于直角三角 形，不能用于其他类型的三角形
。
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SAS与ASA在直角三角形中应用
要点一
SAS（Side-Angle-Side）全等 条件在直角…
如果两个直角三角形的两条边和它们之间的夹角对应相等 ，那么这两个直角三角形全等。
要点二
ASA（Angle-Side-Angle）全 等条件在直…
拓展到解三角形
学习如何使用已知信息（如角度或边长）来解三角形，包括使用正 弦定理、余弦定理等。
实际应用与问题解决
尝试将直角三角形的性质应用于实际问题解决中，如测量、建筑和 物理等领域。
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THANKS
感谢观看
2024/1/26
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测量距离
在航海、地理等领域，可以利用直角三角形计算 两点之间的距离，如利用经纬度计算地球上两点 之间的距离。
11-直角三角形性质与判定
题型一：直角三角形两锐角互余【例1】在直角三角形中，有一个锐角为520，那么另一个锐角度数为；【例2】如图，AD是Rt△ABC的斜边BC上的高．(1)写出图中与∠B互余的角；(2)图中互余的角有几对，请你一一写出来．题型二：直角三角形斜边中线等于斜边的一半【例3】已知：如图，AD是△ABC的角平分线，BE⊥AD交AD的延长线于E,F是AB边的中点．求证：EF∥AC．【例4】如图，已知∠C =90°，∠A=38°，点D是AB的中点，CF=AD，求∠E的度数．题型三：直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半【例5】如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠A=30°,CD是AB边上的高．写出图中线段间存在2倍关系的等式．【例6】如图，AD ∥BC,AD =12BC,CE 垂直平分AB ，垂足为E ．求证：∠1=∠2=∠3．【巩固练习】 填空题：1．在Rt △ABC 中，∠A=90°，∠B =0'7413，则∠C=_____________________. 2．如图，CD 是Rt △ABC 斜边上的中线，则图中相等的锐角是____________________.3． 在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，BD ⊥ AC ，∠C=30°,AB=4，则DC=___________. 4．等腰三角形顶角的平分线的长等于腰长的一半，则这个等腰三角形的顶角等于__________. 5．直角三角形斜边上的中线等于3. 5cm ，斜边上的高等于2.4cm ，则这个直角三角形的面积等于__________________2cm ． 解答题：1．在△ABC 中，AB=AC=10，∠BAD=∠DAC=60°，BD=53.求：ABC S ∆．2．已知，如图在△ABC 中，∠ACB=90°，D 是AC 上任意一点，DE ⊥AB 于E ，M 、N 分别是BD 、CE 的中点．求证：MN ⊥ CE3.已知，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB=8cm ，D 为AB 中点，DE ⊥AC 于E ，∠A=30°，求BC ，CD 和DE 的长4.已知：等边△ABC 中， D 为BC 边上的中点，DE ⊥AC 于E.求证：AC CE 41=.∆中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线于点E，4．如图，在ABCEF⊥AB于点F，EG⊥AC交AC的延长线于点G，求证：BF=CG。
直角三角形常考的10个易错点浅析
直角三角形常考的10个易错点浅析1. 直角三角形的性质性质1：直角三角形两锐角互余.性质2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.性质3：直角三角形中30o所对的直角边等于斜边的一半.2. 直角三角形的判定判定1：有两个角互余的三角形是直角三角形.判定2：一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形.3. 直角三角形的性质勾股定理：如果直角三角形的两直角边为a 和b ，斜边为 c ，那么222c b a =+.4. 直角三角形的判定勾股定理逆定理：如果三角形三边长a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形.5. 直角三角形全等的判断：斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边公理”或“H L ”）6. 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.7. 角平分线的性质定理的逆定理：角平分线性质定理： 角平分线上的点到角的两边的距离相等. 易错点1 忽略了运用直角三角形的性质的前提条件在运用直角三角形的性质时，它的前提是在直角三角形中.如果三角形不是直角三角形，那么这些性质就不存在了，所以运用时要注意前提条件。
例题1 如图，在△ABC 中，CD 是AB 边上的高，∠A =60°，则∠BCD 的度数为（ ）A .30°B .60°C .90°D .无法确定【错解】B【错因】在本题中没有指明△ABC 是直角三角形，故不能利用直角三角形的性质进行计算。
错解中想当然地认为△ABC 是直角三角形，然后利用了直角三角形的性质，进而造成错解。
【正解】D例题2 如图，在△ABC 中，∠ABC =75°，从顶点B 引射线BD 与CA 交于D 点，使∠CDB =30°，BD =AD 。
求证：AD =2BC 。
【错解】在△BCD 中，∵∠CDB =30°，∴BC =12BD 。
∵BD =AD ，∴BC =12AD ，即AD =2BC 【错因】在本题中没有指明∠C =90O，故不能直接利用直角三角形的性质进行计算。
[直角三角形的性质及判定]三角形的定义性质
![[直角三角形的性质及判定]三角形的定义性质](https://img.taocdn.com/s3/m/5dc31acd6e1aff00bed5b9f3f90f76c661374cb6.png)
[直角三角形的性质及判定]三角形的定义性质篇一: 三角形的定义性质定义由三条边首尾相接组成的内角和为180°的封闭图形叫做三角形三角形的内角和三角形的内角和为180度；三角形的一个外角等于另外两个内角的和；三角形的一个外角大于其他两内角中的任一个角。
：⑴直角三角形两个锐角互余；⑵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；⑶在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.；⑷在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°；c.钝角三角形：有一个角大于90度。
d.证明全等时可用HL方法按角分a.锐角三角形：三个角都小于90度。
b.直角三角形：有一个角等于90度。
c.钝角三角形：有一个角大于90度。
按边分不等腰三角形；等腰三角形。
解直角三角形：勾股定理，只适用于直角三角形a+b=c, 其中a和b分别为直角三角形两直角边，c为斜边。
勾股弦数是指一组能使勾股定理关系成立的三个正整数。
比如：3，4，5。
他们分别是3，4和5的倍数。
常见的勾股弦数有：3，4，5；6，8，10；5,12,13;10,24,26;等等三角形的性质1.三角形的任何两边的和一定大于第三边，由此亦可证明得三角形的任意两边的差一定小于第三边。
[］2.三角形内角和等于180度3.等腰三角形的顶角平分线，底边的中线，底边的高重合，即三线合一。
4.直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方--勾股定理。
直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
5.三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和。
6.一个三角形最少有2个锐角。
7.三角形的角平分线:三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段。
8.等腰三角形中，等腰三角形顶角的平分线平分底边并垂直于底边。
9.勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a,b,c有下面关系那么这个三角形就一定是直角三角形。
直角三角形知识点
直角三角形知识点直角三角形是一种特殊的三角形，其内部包含一个90度的直角。
本文将介绍直角三角形的定义、性质、勾股定理以及一些相关的例题。
一、直角三角形的定义直角三角形是指一个三角形内部有一个角度是90度的三角形。
在直角三角形中，较长的边称为斜边，与直角相邻的边称为直角边。
直角三角形的性质与常规三角形有着显著的不同。
二、直角三角形的性质1. 直角三角形中，直角边的长度相等。
2. 根据勾股定理，直角三角形中的斜边长度等于直角边长度的平方和的平方根。
3. 直角三角形的三个角度之和等于180度。
三、勾股定理勾股定理是直角三角形中最重要的定理之一，也是直角三角形应用最为广泛的原理。
勾股定理表述如下：直角三角形中，斜边的平方等于直角边的平方和。
公式表示为：c² = a² + b²其中，c表示斜边的长度，a和b分别表示直角三角形的两个直角边的长度。
勾股定理在日常生活中有许多应用，例如测量直角三角形的边长，计算三角形的角度等。
四、直角三角形的应用举例1. 求斜边长度：根据已知直角边的长度，可以利用勾股定理求出斜边的长度。
2. 求角度大小：已知两个直角边的长度，可以利用三角函数中的正弦、余弦和正切等函数求出各个角度的大小。
3. 判断三角形是否为直角三角形：通过测量三个角度的大小，如果发现其中一个角度为90度，则可以判断为直角三角形。
五、例题解析1. 已知一个直角三角形的直角边长为3cm和4cm，求斜边的长度。
根据勾股定理，斜边的长度c = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5cm。
2. 已知一个直角三角形的斜边长为10cm，直角边的长度为6cm，求另一个直角边的长度。
根据勾股定理，直角边的长度a或b = √(c² - 直角边的长度²) = √(10² - 6²) = √(100 - 36) = √64 = 8cm。
直角三角形的性质
直角三角形的性质直角三角形是一种特殊的三角形，除了具有一般三角形的性质外，还有一些特殊的性质。
以下是一些直角三角形的性质：1.直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
这是勾股定理的一种表现，也就是说，如果直角三角形的两个直角边长度分别为a和b，斜边长度为c，那么a² + b² = c²。
2.在直角三角形中，两个锐角互余。
也就是说，如果一个锐角为α，那么另一个锐角就是90° - α。
3.直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
这是直角三角形斜边中线定理，也就是说，如果斜边长度为c，那么斜边上的中线长度就是c/2。
4.直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。
5.直角三角形垂心位于直角顶点。
这是指直角三角形三条高的交点位于直角顶点。
6.直角三角形的内切圆半径等于两直角边之和减去斜边的差的一半。
也就是说，如果直角三角形的两个直角边长度分别为a和b，斜边长度为c，那么内切圆半径r = (a + b - c) / 2。
7.直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影比例中项。
8.直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
由此，直角三角形两条直角边的平方比等于它们在斜边上的射影比。
9.含有30°角的直角三角形三边之比为1:根号3:2。
10.含有45°角的直角三角形三边之比为1:1:根号2。
以上都是直角三角形的一些基本性质，这些性质在解决与直角三角形相关的问题时非常有用。
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课题：24.2直角三角形的性质
学习目标：
1、掌握定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”以及应用
2、培养利用辅助线证明有关几何问题的能力
3、通过图形变换的学习，发现并提出问题，培养我们的创新精神和创造能力 学习重点：直角三角形斜边上的中线性质定理的应用 学习难点：直角三角形性质的灵活应用 【复习提问，引入课题】
同学们，通过前面的学习，我们学到了直角三角形有哪些性质？ 结合右图，分别用文字语言和几何语言表示出来。
【师生互动，共同理解】
1、如图，在Rt △ABC 中,∠C=90°，点D 在斜边AB 上， 且BD=CD 求证：AD=CD
2、如图，在Rt △ABC 中,∠C=90°，CD 为斜边AB 上的中线。
求证：CD=
2
1AB
【接受任务，完成挑战】
1、 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，D 、E 、F 分别是 AB 、BC 、CA 的中点，若CD=8cm,求EF 的长度。
2、如图，△ABC 中，AB=AC ，∠ABD=∠CBD ， BD ⊥DE 于D ，DE 交BC 于E
求证：CD= 21
BE
3、如图，AB 、CD 相交于点O ，且BD=BO ，CA=CO E 、F 、M 分别为0D 、OA 、BC 的中点。
求证：ME=MF
【自主小结，反思提升】
本节课学到了哪些知识？谈谈你的收获？
【巩固提高，完成作业】
1、 练习：完成《学习指导》87页4、5、6、8、10题
2、 作业：完成教材第120页复习题第1、2、3题
D
A
A
A
A
B。