立体几何中的向量方法(一)

3.2立体几何中的向量方法（一）学习目标 1.掌握空间点、线、面的向量表示.2.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量.3.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行问题．知识点一直线的方向向量与平面的法向量思考怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？答案(1)点：在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P的位置就可以用向量OP→来表示．我们把向量OP→称为点P的位置向量．(2)直线：①直线的方向向量：和这条直线平行或共线的非零向量．②对于直线l上的任一点P，存在实数t，使得AP→＝tAB→，此方程称为直线的向量参数方程．(3)平面：①空间中平面α的位置可以由α内两个不共线向量确定．对于平面α上的任一点P，a，b是平面α内两个不共线向量，则存在有序实数对(x，y)，使得OP→＝x a＋y b.②空间中平面α的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示．梳理(1)直线的方向向量和平面的法向量直线的方向向量能平移到直线上的非零向量，叫做直线的一个方向向量平面的法向量直线l⊥α，取直线l的方向向量n，叫做平面α的法向量设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则线线平行l∥m⇔a∥b⇔a＝k b (k∈R)线面平行l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝0面面平行α∥β⇔μ∥v⇔μ＝k v (k∈R)线线垂直l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0线面垂直l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ(k∈R)面面垂直α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v＝0知识点二思考(1)设v1＝(a1，b1，c1)，v2＝(a2，b2，c2)分别是直线l1，l2的方向向量．若直线l1∥l2，则向量v1，v2应满足什么关系．(2)若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量，则这两向量满足哪些条件可说明直线与平面平行？(3)用向量法处理空间中两平面平行的关键是什么？答案 (1)由直线方向向量的定义知若直线l 1∥l 2，则直线l 1，l 2的方向向量共线，即l 1∥l 2⇔v 1∥v 2⇔v 1＝λv 2(λ∈R )．(2) 可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直，进而确定线面是否平行． (3)关键是找到两个平面的法向量，利用法向量平行来说明两平面平行．梳理 利用空间向量解决平行问题时，第一，建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；第二，通过向量的运算，研究平行问题；第三，把向量问题再转化成相应的立体几何问题，从而得出结论.类型一 利用方向向量和法向量判定线面的位置关系例1 (1)设a ，b 分别是不重合的直线l 1，l 2的方向向量，根据下列条件判断l 1，l 2的位置关系： ①a ＝(4,6，－2)，b ＝(－2，－3,1)； ②a ＝(5,0,2)，b ＝(0,1,0)；(2)设μ，v 分别是不同的平面α，β的法向量，根据下列条件判断α，β的位置关系： ①μ＝(－1,1，－2)，v ＝(3,2，－12)；②μ＝(3,0,0)，v ＝(－2,0,0)；(3)设μ是平面α的法向量，a 是直线l 的方向向量，根据下列条件判断平面α与l 的位置关系：①μ＝(2,2，－1)，a ＝(－6,8,4)； ②μ＝(2，－3,0)，a ＝(8，－12,0)．解 (1)①∵a ＝(4,6，－2)，b ＝(－2，－3,1)， ∴a ＝－2b ，∴a ∥b ，∴l 1∥l 2.②∵a ＝(5,0,2)，b ＝(0,1,0)，∴a ·b ＝0，∴a ⊥b ， ∴l 1⊥l 2.(2)①∵μ＝(－1,1，－2)，v ＝⎝⎛⎭⎫3，2，－12， ∴μ·v ＝－3＋2＋1＝0，∴μ⊥v ，∴α⊥β. ②∵μ＝(3,0,0)，v ＝(－2,0,0)， ∴μ＝－32v ，∴μ∥v ，∴α∥β.(3)①∵μ＝(2,2，－1)，a ＝(－6,8,4)， ∴μ·a ＝－12＋16－4＝0， ∴μ⊥a ，∴l ⊂α或l ∥α.②∵μ＝(2，－3,0)，a ＝(8，－12,0)． ∴μ＝14a ，∴μ∥a ，∴l ⊥α.反思与感悟 利用直线的方向向量与平面的法向量判断直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系是直线的方向向量与平面的法向量的基本应用，解决此类问题时需注意以下几点：(1)能熟练的判断两向量的共线与垂直；(2)搞清直线的方向向量，平面的法向量和直线、平面位置关系之间的内在联系；(3)将向量问题转化为几何问题时的等价性． 跟踪训练1 根据下列条件，判断相应的线、面位置关系： (1)直线l 1与l 2的方向向量分别是a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)； (2)直线l 1与l 2的方向向量分别是a ＝(－2,1,4)，b ＝(6,3,3)； (3)平面α与β的法向量分别是μ＝(2，－3,4)，v ＝(4，－2,1)；(4)直线l 的方向向量，平面α的法向量分别是a ＝(0，－8,12)，μ＝(0,2，－3)． 解 (1)∵a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3) ∴a ＝－13b ，∴a ∥b ，∴l 1∥l 2.(2)∵a ＝(－2,1,4)，b ＝(6,3,3)，∴a ·b ≠0且a ≠k b (k ∈R )，∴a ，b 既不共线也不垂直，即l 1与l 2相交或异面，但不垂直． (3)∵μ＝(2，－3,4)，v ＝(4，－2,1)， ∴μ·v ≠0且μ≠k v (k ∈R )，∴μ与v 既不共线也不垂直，即α和β相交但不垂直． (4)∵a ＝(0，－8,12)，μ＝(0,2，－3)， ∴μ＝－14a ，∴μ∥a ，即l ⊥α. 类型二 求平面的法向量例2 如图，ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，求平面SCD 与平面SBA 的法向量．解 ∵AD 、AB 、AS 是三条两两垂直的线段，∴以A 为原点，以AD →、AB →、AS →的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立坐标系，则A (0,0,0)，D ⎝⎛⎭⎫12，0，0，C (1,1,0)，S (0,0,1)，AD →＝⎝⎛⎭⎫12，0，0是平面SAB 的法向量，设平面SCD 的法向量n ＝(1，λ，u )， 则n ·DC →＝(1，λ，u )·⎝⎛⎭⎫12，1，0＝12＋λ＝0， ∴λ＝－12.n ·DS →＝(1，λ，u )·⎝⎛⎭⎫－12，0，1＝－12＋u ＝0， ∴u ＝12，∴n ＝⎝⎛⎭⎫1，－12，12. 综上，平面SCD 的方向量为n ＝(1，－12，12)，平面SBA 的法向量为AD →＝(12，0,0)．反思与感悟 设直线l 的方向向量为μ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量υ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ⊥α⇔μ∥υ⇔μ＝k ν⇔a 1＝ka 2，b 1＝kb 2，c 1＝kc 2，其中k ∈R ， 平面的法向量的求解方法：①设出平面的一个法向量为 n ＝(x ，y ，z )，②找出(或求出)平面内的两个不共线的向量的坐标： a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)，③依据法向量的定义建立关于x ，y ，z 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0， ④解方程组，取其中的一个解，即得法向量，由于一个平面的法向量有无数多个，故可在方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量．跟踪训练2 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求证DB 1→是平面ACD 1的一个法向量． 证明 设正方体的棱长为1，分别以DA →，DC →，DD 1→为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系， 则DB 1→＝(1,1,1)，AC →＝(－1,1,0)，AD 1→＝(－1,0,1)， 于是有DB 1→·AC →＝0， 所以DB 1→⊥AC →， 即DB 1⊥AC ， 同理DB 1⊥AD 1， 又AC ∩AD 1＝A ，所以DB 1⊥平面ACD 1，从而DB 1→是平面ACD 1的一个法向量． 类型三 利用空间向量证明平行关系例3 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 、F 分别是BB 1、DD 1的中点，求证： (1)FC 1∥平面ADE ；(2)平面ADE ∥平面B 1C 1F . 证明 (1)建立如图所示空间直角坐标系Dxyz ，则有D (0,0,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2,2)，E (2,2,1)，F (0,0,1)，B 1(2,2,2)， 所以FC →1＝(0,2,1)，DA →＝(2,0,0)，AE →＝(0,2,1)． 设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的法向量， 则n 1⊥DA →，n 1⊥AE →，即⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DA →＝2x 1＝0，n 1·AE →＝2y 1＋z 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，z 1＝－2y 1，令z 1＝2，则y 1＝－1，所以n 1＝(0，－1,2)． 因为FC →1·n 1＝－2＋2＝0，所以FC →1⊥n 1. 又因为FC 1⊄平面ADE ，所以FC 1∥平面ADE .(2)因为C 1B →1＝(2,0,0)，设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的一个法向量．由n 2⊥FC →1，n 2⊥C 1B→1，得⎩⎪⎨⎪⎧n 2·FC →1＝2y 2＋z 2＝0，n 2·C 1B →1＝2x 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，z 2＝－2y 2.令z 2＝2，得y 2＝－1，所以n 2＝(0，－1,2)， 因为n 1＝n 2，所以平面ADE ∥平面B 1C 1F .反思与感悟 利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题．跟踪训练3 如图，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，PB 与底面成的角为45°，底面ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，P A ＝BC ＝12AD ＝1，问在棱PD 上是否存在一点E ，使CE ∥平面P AB ？若存在，求出E 点的位置；若不存在，说明理由．解 分别以AB ，AD ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， ∴P (0,0,1)，C (1,1,0)，D (0,2,0)， 设E (0，y ，z )，则PE →＝(0，y ，z －1)，PD →＝(0,2，－1)， ∵PE →∥PD →，∴y (－1)－2(z －1)＝0，①∵AD →＝(0,2,0)是平面P AB 的法向量， 又CE →＝(－1，y －1，z )，CE ∥平面P AB ， ∴CE →⊥AD →，∴(－1，y －1，z )·(0,2,0)＝0. ∴y ＝1，代入①得z ＝12，∴E 是PD 的中点，∴存在E 点，当点E 为PD 中点时，CE ∥平面P AB .1．若A (－1,0,1)，B (1,4,7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为( ) A ．(1,2,3) B ．(1,3,2) C ．(2,1,3) D ．(3,2,1)答案 A解析 因为AB →＝(2,4,6)，所以与AB →共线的非零向量都可以作为直线l 的方向向量．2．已知直线l 1的方向向量a ＝(2，－3,5)，直线l 2的方向向量b ＝(－4，x ，y )，若两直线l 1∥l 2，则x ，y 的值分别是( ) A ．6和－10 B ．－6和10 C ．－6和－10 D ．6和10答案 A解析 由两直线l 1∥l 2，得两向量a ，b 平行，即2－4＝－3x ＝5y ，所以x ，y 的值分别是6和－10.3．若μ＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是( ) A ．(0，－3,1) B ．(2,0,1) C ．(－2，－3,1) D ．(－2,3，－1)答案 D解析 能作为平面α的法向量的向量与μ＝(2，－3,1)共线，(－2,3，－1)＝－μ.4．若直线l ∥α，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为⎝⎛⎭⎫1，12，2，则m 为( ) A ．－4 B ．－6 C ．－8 D ．8 答案 C解析 ∵l ∥α，平面α的法向量为⎝⎛⎭⎫1，12，2， ∴(2，m,1)·⎝⎛⎭⎫1，12，2＝0. ∴2＋12m ＋2＝0.∴m ＝－8.5．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，平面ACD 1的一个法向量为________． 答案 (1,1,1)(答案不唯一)解析 不妨设正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系，则各点坐标为：A (1,0,0)，C (0,1,0)，D 1(0,0,1)，设平面ACD 1的一个法向量a ＝(x ，y ，z )，则a ·AC →＝0, a ·AD →1＝0.因为AC →＝(－1,1,0)，AD →1＝(－1,0,1)，所以 ⎩⎪⎨⎪⎧(－1)·x ＋1·y ＋0·z ＝0，(－1)·x ＋0·y ＋1·z ＝0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x －z ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ，x ＝z ，不妨取x ＝1，a ＝(1,1,1)．(注：答案不唯一，只要与所给答案共线都对)(1)空间中一条直线的方向向量有无数个．(2)方向向量在判断线线、线面位置关系时起到重要的作用．(3)线段中点的向量表达式：对于AP →＝tAB →，当t ＝12时，我们就得到线段中点的向量表达式．设点M 是线段AB 的中点，则OM →＝12(OA →＋OB →)，这就是线段AB 中点的向量表达式．(4)利用待定系数法求平面的法向量，求出向量的横、纵、竖坐标是具有某种关系的，而不是具体的值，可设定某个坐标为常数，再表示其他坐标． (5)证明线面平行的方法①设n 是平面α的一个法向量，v 是直线l 的方向向量，则v ⊥n 且l 上至少有一点A ∉α，则l ∥α.②根据线面平行的判定定理：“如果平面外直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行”，要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量．③根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线向量确定的平面必定平行，因此要证明平面外一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可． (6)证明面面平行的方法①面面平行的证明可转化为线面平行的证明，即如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一平面，那么这两个平面平行．②利用平面的法向量，证明面面平行，即如果a ⊥平面α，b ⊥平面β，且a ∥b ，那么α∥β.一、选择题1．若直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(2,4，－4)，b ＝(－6,9,6)，则( ) A ．l 1∥l 2B ．l 1⊥l 2C ．l 1与l 2相交但不垂直D ．以上均不正确答案 B解析 ∵a·b ＝－12＋36－24＝0.∴a ⊥b ，∴l 1⊥l 2.2．已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若a ∥b ，则λ与μ的值可以分别是( ) A ．2，12 B ．－13，12 C ．－3,2 D ．2,2答案 A解析 由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧ λ＋16＝22λ，2μ－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝2，μ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－3，μ＝12.3．已知平面α内两向量a ＝(1,1,1)，b ＝(0,2，－1)且c ＝m a ＋n b ＋(4，－4,1)．若c 为平面α的法向量，则m ，n 的值分别为( ) A ．－1,2 B ．1，－2 C ．1,2 D ．－1，－2 答案 A解析 c ＝m a ＋n b ＋(4，－4,1)＝(m ，m ，m )＋(0,2n ，－n )＋(4，－4,1)＝(m ＋4，m ＋2n －4，m －n ＋1)，由c 为平面α的法向量，得⎩⎪⎨⎪⎧ c ·a ＝0，c ·b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝2.4．直线l 的方向向量为s ＝(－1,1,1)，平面α的法向量为n ＝(2，x 2＋x ，－x )，若直线l ∥平面π，则x 的值为( )A ．－2B ．－ 2 C. 2 D ．±2 答案 D解析 ∵l ∥平面α，∴s ⊥n ，即s ·n ＝0.∴(－1,1,1)·(2，x 2＋x ，－x )＝0，即－2＋x 2＋x －x ＝0， ∴x ＝±2.5．设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为b ，若a ·b ＝0，则( ) A ．l ∥α B ．l ⊂α C ．l ⊥α D ．l ⊂α或l ∥α答案 D解析 当a ·b ＝0时，l ⊂α或l ∥α.6．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不能确定 答案 B解析 以C 1为坐标原点，分别以C 1B 1，C 1D 1，C 1C 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系． 因为A 1M ＝AN ＝23a ， 所以M ⎝⎛⎭⎫a ，23a ，a 3， N ⎝⎛⎭⎫23a ，23a ，a .所以MN →＝⎝⎛⎭⎫－a 3，0，23a . 又C 1(0,0,0)，D 1(0，a,0)， 所以C 1D →1＝(0，a,0)． 所以MN →·C 1D →1＝0， 所以MN →⊥C 1D →1.因为C 1D →1是平面BB 1C 1C 的法向量，且MN ⊄平面BB 1C 1C ， 所以MN ∥平面BB 1C 1C . 二、填空题7．已知A (4,1,3)，B (2,3,1)，C (3,7，－5)，点P (x ，－1,3)在平面ABC 内，则x 的值为________． 答案 11解析 ∵点P 在平面ABC 内， ∴存在实数k 1，k 2， 使AP →＝k 1AB →＋k 2AC →，即(x －4，－2,0)＝k 1(－2,2，－2)＋k 2(－1,6，－8)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2k 1＋6k 2＝－2，k 1＋4k 2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－4，k 2＝1.∴x －4＝－2k 1－k 2＝8－1＝7， 即x ＝11.8．已知l ∥α，且l 的方向向量为(2，－8,1)，平面α的法向量为(1，y,2)，则y ＝________. 答案 12解析 ∵l ∥α，∴l 的方向向量(2，－8,1)与平面α的法向量(1，y,2)垂直，∴2×1－8×y ＋2＝0，∴y ＝12.9．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k )，若α∥β，则k ＝________. 答案 4解析 由α∥β得1－2＝2－4＝－2k ，解得k ＝4.三、解答题10．已知A ⎝⎛⎭⎫0，2，198，B ⎝⎛⎭⎫1，－1，58，C ⎝⎛⎭⎫－2，1，58是平面α内的三点，设平面α的法向量a ＝(x ，y ，z )，求x ∶y ∶z 的值．解 AB →＝⎝⎛⎭⎫1，－3，－74，AC →＝⎝⎛⎭⎫－2，－1，－74， 由⎩⎪⎨⎪⎧a ·AB →＝0，a ·AC →＝0，得⎩⎨⎧x －3y －74z ＝0，－2x －y －74z ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝23y ，z ＝－43y ，则x ∶y ∶z ＝23y ∶y ∶⎝⎛⎭⎫－43y ＝2∶3∶(－4)． 11．已知空间四边形ABCD ，P ，Q 分别是△ABC 和△BCD 的重心，求证：PQ ∥平面ACD . 证明 连接AP 并延长交BC 于点E ， 连接ED ，易知Q 在线段ED 上， ∵P ，Q 分别是△ABC 和△BCD 的重心， ∴PQ →＝EQ →－EP →＝13ED →－13EA →＝13(ED →－EA →) ＝13AD →， ∴PQ →∥AD →，即PQ ∥AD ，又AD ⊂平面ACD ，PQ ⊄平面ACD ， ∴PQ ∥平面ACD .12．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求证：平面A 1BD ∥平面CD 1B 1.证明 以D 为原点，分别以向量DA →、DC →、DD 1→的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系．设棱长为1，则A 1(1,0,1)，B (1,1,0)，D 1(0,0,1)，B 1(1,1,1)，C (0,1,0)，D (0,0,0)， ∴A 1D →＝(－1,0，－1)，A 1B →＝(0,1，－1)， D 1B 1→＝(1,1,0)，D 1C →＝(0,1，－1)，设平面A 1BD 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·A 1D →＝0，n 1·A 1B →＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧－x 1－z 1＝0，y 1－z 1＝0，令z 1＝1， 得x 1＝－1，y 1＝1.∴平面A 1BD 的一个法向量为n 1＝(－1,1,1)． 设平面CD 1B 1的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·D 1B 1→＝0，n 2·D 1C →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝0，y 2－z 2＝0，令y 2＝1，得x 2＝－1，z 2＝1， ∴n 2＝(－1,1,1)．∴n 1＝n 2， 即n 1∥n 2.∴平面A 1BD ∥平面CD 1B 1.13．已知：四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，且P A ＝AB ＝2，∠ABC ＝60°，BC ，PD 的中点分别为E ，F .在线段AB 上是否存在一点G ，使得AF ∥平面PCG ？若存在，指出G 在AB 上的位置并给以证明；若不存在，请说明理由．解 由题意知P A ⊥平面ABCD ，又因为底面ABCD 是菱形，得AB ＝BC 且∠ABC ＝60°，所以△ABC 是正三角形，连接AE ，又因为E 是BC 的中点，由正三角形的性质有BC ⊥AE ，知AE ，AD ，AP 彼此两两垂直，以点A 为坐标原点，以AE ，AD ，AP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系． 因为P A ＝AB ＝2，故A (0,0,0)，B (3，－1,0)，C (3，1,0)，P (0,0,2)，F (0,1,1)．假设在线段AB 上存在点G ，使得AF ∥平面PCG ， 则AG →＝λAB →(0<λ≤1)， 因为AB →＝(3，－1,0)， 所以AG →＝λAB →＝(3λ，－λ，0)． 因为P A →＝(0,0，－2)，所以PG →＝P A →＋AG →＝(3λ，－λ，－2)，PC →＝(3，1，－2)． 设平面PCG 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PG →＝0，n ·PC →＝0， 得n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋13(λ－1)，1，λλ－1. 因为AF →＝(0,1,1)，且AF →·n ＝0， 解得λ＝12.故当G 为线段AB 的中点时，有AF ∥平面PCG .3.2立体几何中的向量方法（一）(学生版)学习目标 1.掌握空间点、线、面的向量表示.2.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量.3.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行问题．知识点一直线的方向向量与平面的法向量思考怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？答案(1)点：在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P的位置就可以用向量OP→来表示．我们把向量OP→称为点P的位置向量．(2)直线：①直线的方向向量：和这条直线平行或共线的非零向量．②对于直线l上的任一点P，存在实数t，使得AP→＝tAB→，此方程称为直线的向量参数方程．(3)平面：①空间中平面α的位置可以由α内两个不共线向量确定．对于平面α上的任一点P，a，b是平面α内两个不共线向量，则存在有序实数对(x，y)，使得OP→＝x a＋y b.②空间中平面α的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示．梳理(1)直线的方向向量和平面的法向量直线的方向向量能平移到直线上的非零向量，叫做直线的一个方向向量平面的法向量直线l⊥α，取直线l的方向向量n，叫做平面α的法向量设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则线线平行l∥m⇔a∥b⇔a＝k b (k∈R)线面平行l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝0面面平行α∥β⇔μ∥v⇔μ＝k v (k∈R)线线垂直l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0线面垂直l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ(k∈R)面面垂直α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v＝0知识点二思考(1)设v1＝(a1，b1，c1)，v2＝(a2，b2，c2)分别是直线l1，l2的方向向量．若直线l1∥l2，则向量v1，v2应满足什么关系．(2)若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量，则这两向量满足哪些条件可说明直线与平面平行？(3)用向量法处理空间中两平面平行的关键是什么？答案 (1)由直线方向向量的定义知若直线l 1∥l 2，则直线l 1，l 2的方向向量共线，即l 1∥l 2⇔v 1∥v 2⇔v 1＝λv 2(λ∈R )．(2) 可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直，进而确定线面是否平行． (3)关键是找到两个平面的法向量，利用法向量平行来说明两平面平行．梳理 利用空间向量解决平行问题时，第一，建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；第二，通过向量的运算，研究平行问题；第三，把向量问题再转化成相应的立体几何问题，从而得出结论.类型一 利用方向向量和法向量判定线面的位置关系例1 (1)设a ，b 分别是不重合的直线l 1，l 2的方向向量，根据下列条件判断l 1，l 2的位置关系： ①a ＝(4,6，－2)，b ＝(－2，－3,1)； ②a ＝(5,0,2)，b ＝(0,1,0)；(2)设μ，v 分别是不同的平面α，β的法向量，根据下列条件判断α，β的位置关系： ①μ＝(－1,1，－2)，v ＝(3,2，－12)；②μ＝(3,0,0)，v ＝(－2,0,0)；(3)设μ是平面α的法向量，a 是直线l 的方向向量，根据下列条件判断平面α与l 的位置关系：①μ＝(2,2，－1)，a ＝(－6,8,4)； ②μ＝(2，－3,0)，a ＝(8，－12,0)．反思与感悟 利用直线的方向向量与平面的法向量判断直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系是直线的方向向量与平面的法向量的基本应用，解决此类问题时需注意以下几点：(1)能熟练的判断两向量的共线与垂直；(2)搞清直线的方向向量，平面的法向量和直线、平面位置关系之间的内在联系；(3)将向量问题转化为几何问题时的等价性．跟踪训练1 根据下列条件，判断相应的线、面位置关系： (1)直线l 1与l 2的方向向量分别是a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)； (2)直线l 1与l 2的方向向量分别是a ＝(－2,1,4)，b ＝(6,3,3)； (3)平面α与β的法向量分别是μ＝(2，－3,4)，v ＝(4，－2,1)；(4)直线l 的方向向量，平面α的法向量分别是a ＝(0，－8,12)，μ＝(0,2，－3)．类型二 求平面的法向量例2 如图，ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，求平面SCD 与平面SBA 的法向量．反思与感悟 设直线l 的方向向量为μ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量υ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ⊥α⇔μ∥υ⇔μ＝k ν⇔a 1＝ka 2，b 1＝kb 2，c 1＝kc 2，其中k ∈R ， 平面的法向量的求解方法：①设出平面的一个法向量为 n ＝(x ，y ，z )，②找出(或求出)平面内的两个不共线的向量的坐标： a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)，③依据法向量的定义建立关于x ，y ，z 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0， ④解方程组，取其中的一个解，即得法向量，由于一个平面的法向量有无数多个，故可在方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量．跟踪训练2 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求证DB 1→是平面ACD 1的一个法向量．类型三 利用空间向量证明平行关系例3 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 、F 分别是BB 1、DD 1的中点，求证： (1)FC 1∥平面ADE ；(2)平面ADE ∥平面B 1C 1F .反思与感悟 利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题．跟踪训练3 如图，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，PB 与底面成的角为45°，底面ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，P A ＝BC ＝12AD ＝1，问在棱PD 上是否存在一点E ，使CE∥平面P AB？若存在，求出E点的位置；若不存在，说明理由．1．若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为() A．(1,2,3) B．(1,3,2)C．(2,1,3) D．(3,2,1)2．已知直线l 1的方向向量a ＝(2，－3,5)，直线l 2的方向向量b ＝(－4，x ，y )，若两直线l 1∥l 2，则x ，y 的值分别是( ) A ．6和－10 B ．－6和10 C ．－6和－10 D ．6和103．若μ＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是( ) A ．(0，－3,1) B ．(2,0,1) C ．(－2，－3,1) D ．(－2,3，－1)4．若直线l ∥α，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为⎝⎛⎭⎫1，12，2，则m 为( ) A ．－4 B ．－6 C ．－8 D ．85．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，平面ACD 1的一个法向量为________．(1)空间中一条直线的方向向量有无数个．(2)方向向量在判断线线、线面位置关系时起到重要的作用．(3)线段中点的向量表达式：对于AP →＝tAB →，当t ＝12时，我们就得到线段中点的向量表达式．设点M 是线段AB 的中点，则OM →＝12(OA →＋OB →)，这就是线段AB 中点的向量表达式．(4)利用待定系数法求平面的法向量，求出向量的横、纵、竖坐标是具有某种关系的，而不是具体的值，可设定某个坐标为常数，再表示其他坐标． (5)证明线面平行的方法①设n 是平面α的一个法向量，v 是直线l 的方向向量，则v ⊥n 且l 上至少有一点A ∉α，则l ∥α.②根据线面平行的判定定理：“如果平面外直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行”，要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量．③根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线向量确定的平面必定平行，因此要证明平面外一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可． (6)证明面面平行的方法①面面平行的证明可转化为线面平行的证明，即如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一平面，那么这两个平面平行．②利用平面的法向量，证明面面平行，即如果a ⊥平面α，b ⊥平面β，且a ∥b ，那么α∥β.一、选择题1．若直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(2,4，－4)，b ＝(－6,9,6)，则( ) A ．l 1∥l 2B ．l 1⊥l 2C ．l 1与l 2相交但不垂直D ．以上均不正确2．已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若a ∥b ，则λ与μ的值可以分别是( ) A ．2，12 B ．－13，12 C ．－3,2 D ．2,23．已知平面α内两向量a ＝(1,1,1)，b ＝(0,2，－1)且c ＝m a ＋n b ＋(4，－4,1)．若c 为平面α的法向量，则m ，n 的值分别为( ) A ．－1,2 B ．1，－2 C ．1,2 D ．－1，－24．直线l 的方向向量为s ＝(－1,1,1)，平面α的法向量为n ＝(2，x 2＋x ，－x )，若直线l ∥平面π，则x 的值为( )A ．－2B ．－ 2 C. 2 D ．±25．设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为b ，若a ·b ＝0，则( ) A ．l ∥α B ．l ⊂α C ．l ⊥α D ．l ⊂α或l ∥α6．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不能确定二、填空题7．已知A (4,1,3)，B (2,3,1)，C (3,7，－5)，点P (x ，－1,3)在平面ABC 内，则x 的值为________．8．已知l ∥α，且l 的方向向量为(2，－8,1)，平面α的法向量为(1，y,2)，则y ＝________.9．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k )，若α∥β，则k ＝________.三、解答题10．已知A ⎝⎛⎭⎫0，2，198，B ⎝⎛⎭⎫1，－1，58，C ⎝⎛⎭⎫－2，1，58是平面α内的三点，设平面α的法向量a ＝(x ，y ，z )，求x ∶y ∶z 的值．11．已知空间四边形ABCD ，P ，Q 分别是△ABC 和△BCD 的重心，求证：PQ ∥平面ACD .12．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求证：平面A 1BD ∥平面CD 1B 1.13．已知：四棱锥P－ABCD中，P A⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，且P A＝AB＝2，∠ABC ＝60°，BC，PD的中点分别为E，F.在线段AB上是否存在一点G，使得AF∥平面PCG？若存在，指出G在AB上的位置并给以证明；若不存在，请说明理由．。