高中数学必修5解不等式习题精选精讲----均值定理的拓广
人教课标版(B版)高中数学必修5参考课件1-均值不等式的应用
错
教
易
学
误
教
辨
法
析
分
析
当
堂
双
课
基
前 自
第 2 课时 均值不等式的应用
达 标
主
导
课
学
后
知
能
课
检
堂
测
互
动
教
探
师
究
备
课
资
源
●三维目标 1．知识与技能 巩固均值不等式的简单应用． 2．过程与方法 能灵活构造均值不等式求最值成立的三个条件． 3．情感、态度与价值观 通过对均值不等式成立的条件的分析，养成严谨的科学态 度，勇于提出问题、分析问题的习惯．
【防范措施】 在运用均值不等式时，要特别注意等号成立 的条件，尤其是一个题目中多次使用均值不等式，等号成立的条 件必须相同，否则会造成错误．
【正解】 (x＋y)1x＋4y＝1＋4·xy＋yx＋4＝5＋4yx＋yx≥5＋2 4yx·yx＝9，
当且仅当 4·xy＝yx，即 y＝2x 时等号成立．
1．利用均值不等式求最值必须满足“一正、二定、 三相等”三个条件，并且和为定值，积有最大值；积为定 值，和有最小值．
【自主解答】
f(x)＝
xx2＋2＋43＋1＝
x2＋3＋1 x2＋3
＋
1＝
x2＋3＋
x21＋3＋1， 令 t＝ x2＋3(t≥ 3)，
则原函数变形为 y＝t＋1t ＋1，易证函数在区间[ 3，＋∞)上 是增函数．
所以当 t＝ 3时，y＝t＋1t ＋1 取得最小值433＋1. 所以当 t＝ 3，即 x＝0 时，f(x)＝ xx2＋2＋43＋1 取得最小值433＋
当 x＜0 时，x＋1x≤－2， ∴－12≤x＋1 1x＜0， ∴－1≤y＜0， 当且仅当 x＝1x(x<0)，即 x＝－1 时取等号； 当 x＝0 时，y＝0. 综上，可得函数 y＝x22＋x 1的值域为{y|－1≤y≤1}.
高中数学 第三章 不等式 3.2 均值不等式(第2课时)课件 b必修5b高二必修5数学课件
2021/12/8
第一页，共二十七页。
情境(qíngjìng)引入 导学
甲、乙两人在每个月里总是相约到一家小铺里去购买两次白
糖，假设白糖的价格是变化的，而他们的购买方式又不一样，甲
每一次总是购买 1 千克白糖，乙每一次只拿一元钱来购买白糖， 而不管购买多少，则这两种购糖方式哪一种更合算？
解：∵x，y 为正数，且 x＋2y＝1. ∴1x＋1y＝(x＋2y)(1x＋1y)＝3＋2xy＋yx≥3＋2 2，当且仅当2xy＝yx， 即当 x＝ 2－1，y＝1－ 22时等号成立． ∴1x＋1y的最小值为 3＋2 2.
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变式训练 1：设 a、b∈R＋，若 a＋b＝2，则1a＋1b的最小值等于
() A．1
B．3
C．2
D．4
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【解析】1a＋1b＝121a＋1b(a＋b) ＝1＋12ba＋ab≥2， 等号在 a＝b＝1 时成立.
【答案】C
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命题(mìng tí)方向2：拆项与配凑 例 2：求 y＝xx2＋＋14(x>－1)的值域．
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第八页，共二十七页。
解：y＝xx2＋＋14＝x＋12－x＋21x＋1＋5 ＝x＋1＋x＋5 1－2≥2 5－2 (x＋1>0)， 等号在 x＋1＝x＋5 1，即 x＝ 5－1 时成立， ∴函数的值域为[2 5－2，＋∞)．
2021/12/8
第九，求 y＝x2－x＋2x1－2的最小值． 解：∵x>－1，∴x＋1>0， ∴y＝x＋12－x＋41x＋1＋1 ＝(x＋1)＋x＋1 1－4≥2－4＝－2. 当且仅当 x＋1＝x＋1 1，即 x＝0 时，函数 y 取最小值－2.
高中数学第三章不等式3.2均值不等式2课件新人教B版必修5
2019/9/14
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谢谢欣赏！
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4
编后语
做笔记不是要将所有东西都写下，我们需要的只是“详略得当“的笔记。做笔记究竟应该完整到什么程度，才能算详略得当呢？对此很难作出简单回答。 课堂笔记，最祥可逐字逐句，有言必录；最略则廖廖数笔，提纲挈领。做笔记的详略要依下面这些条件而定。
讲课内容——对实际材料的讲解课可能需要做大量的笔记。 最讲授的主题是否熟悉——越不熟悉的学科，笔记就越需要完整。 所讲授的知识材料在教科书或别的书刊上是否能够很容易看到——如果很难从别的来源得到这些知识，那么就必须做完整的笔记。 有的同学一味追求课堂笔记做得“漂亮”，把主要精力放在做笔记上，常常为看不清黑板上一个字或一句话，不断向四周同学询问。特意把笔记做得很
1
2
6
变式1、求函数 f (x)
相x应的
x4x值2 2。(x
0)的最大值以及
解：
x2
1
1
f (x)
x4
2
x2
2 x2
2
2
2 4
x 4 2, f (x)max
2 4
变式2、求函数 f (x) x2 x 4 (x 1)
的最大值以
x x1
及相应的 值。
求它的横、纵坐标之积的最大值，以及此时点 P 坐标。
2 (1, 2)
2、已知
x
2,
y
4,
xy
32，求
log2
x 2
log2
y 4
的最大值，以及相应的 x, y值。
必修5B版_第3章不等式_3.2均值不等式_课件2
ab ab 2
ab ab 2
例1．（1）一个矩形的面积为100m2，问这个矩形的 长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多 少？ 分析：在题中，矩形的长与宽的乘积是一个常数，求长 与宽的和的2倍的最小值 解：设矩形的长、宽分别为x(m)，y(m)，依题意有 xy=100(m2)，
2 2
均值定理：
如果a,
b∈R+，那么
ab 2
ab
（当且仅当a=b 时，式中等号成立）
因为 ( a )2 ( b )2 2 a b 证明： 所以
a b 2 ab
ab 2 ab
ab 2 ab
即：
当且仅当a=b时
ab 为a，b 的算术平均数， 称 2
称
ab 为a，b 的几何平均数。
当且仅当x=y时，式中等号成立， 此时x=y=9， 答：当这个矩形的长与宽都是9m时，它的面积 最大，最大值是81m2
规律：
两个正数的和为常数时，它们的积有最大值。
小结： 知识：均值定理及其成立的条件，及其均 值定理 的应用 方法：一正，二定，三相等。 思想：类比和数形结合的思想。 作业： 基础题：课本 第77页A组 1. 提高题：课本 第77页A组 3.4 研究题：设正数a、b,试尽可能多的给出 含有a和b的两个元素的不等式．
注意：1．适用的范围：a, b 为非负数.
2．语言表述：两个非负数的算术平均数不小
于它们的几何平均数。
3.我们把不等式
称为基本不等式
ab ab(a≥0,b≥0) 2
a b 看做两个正数a，b 的等差中项， 把 2 ab 看做正数a，b的等比中项，
那么上面不等式可以叙述为： 两个正数的等差中项不小于它们的等比中项。 还有没有其它的证明方法证明上面的基本不等 式呢?
高中数学第三章不等式第17课时均值不等式课件新人教B版必修5【优质ppt版本】
式，对于“当且仅当……时，取‘＝’号”这句话的含义一定要有一
个正确的理解．
(6)在推导两个不等式：a2＋b2≥2ab与a＋2 b≥ ab时，我们知道，
他们是由不等式的意义、性质及比较法推出的，因此，凡是用这两个
不等式解答的问题，也都能由不等式的意义、性质及比较法来解.
知识点2 均值定理
已知x，y都为正数，则有 (1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值s42；
＝4
＝ax即x＝ 2a时等号成立，∴ 2a＝3，a＝36. 答案：(1)D (2)36
a ，当且仅当4x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
类型三 基本不等式的实际应用 【例3】 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉 6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其它费用为平均 每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元． (1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的 总费用最少？ (2)某提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨 时，其价格可享受9折优惠，问该厂是否考虑利用此优惠条件？ 请说明理由．
思维启迪：平均每天所支付的总费用＝x天支付天的数总x 费用， 根据题意列出函数式，利用基本不等式求解．
解析：(1)设该厂应每x天购买一次面粉，其购买量为6x吨，由题
意知，面粉的保管等其他费用为3[6x＋6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6×1]
＝3×x6x2＋6＝9x(x＋1)， 设平均每天所支付的总费用为Y1元，则 Y1＝9xx＋1x＋900＋1800×6
[类题通法] 1．在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下思路和 方法： (1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函 数； (2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值 或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)写出正确答案．
人教B版高中数学必修5课件 3.2均值不等式课件(人教B)
人民教育出版社 高二|必修五
解：设每批购入电视机x台，全年费用为y元，保管费与每批
电视机总价值的比例系数为k，则
y 3600 400 2000k，x 当x=400时，y=43600代入上式得 x
y 3600 400 100x 24000 x2 240x 1440 0
x
∴(x-120)2≤0 ∴x=120
人民教育出版社 高二|必修五
注 意 式 中 等 号 成 立 的 条 件
基础知识
（4）两个正数的平方平均值：
（5）两个正数的调和平均值：
关系：
a2 b2 a b ab 2
2
2
11
ab
平方、 算术、 几何、调和
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注 意 式 中 等 号 成 立 的 条 件
基础知识
（6）不等式的变形：
基础训练
1.设x+3y－2=0，则函数z=3x+27y+3的最小值是
11
A. 3 B.3+2 2 C.6
D.9
D
2.若t∈(0,1］,则
t
2
t
有最小值
A.2 2
B
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3.已知a,b是正数且a+b=1，求
y
1
1 a
1
1 b
的最小值
解：（法一）
y 1 1 1 1 1 a b 1 a b 2 b 2 a a b a b a b
k 1 20
答：每批进货120台，资金够用。
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课堂小结
知识要点： 1. 几个平均值之间的关系及应用 2.基本不等式在几何、代数及实际应用三方面的意义
均值不等式知识点讲解及习题
第三节：基本不等式1、基本不等式：（1）如果a、b是正数，那么（当且仅当a=b时取“=”）（2）对基本不等式的理解：a＞0，b＞0，a,b的算术平均数是a+b/2，几何平均数是_________.叙述为：两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数2、基本不等式的推广：注意：用基本不等式求最值的要点是：一正、二定、三相等三个正数的均值不等式：n个正数的均值不等式：3、四种均值的关系两个正数a、b的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是：4. 最值定理设x＞0,y＞0,由x+y≥（1）若积xy=P(定值），则和x+y有最小值；（2）若和x+y=S(定值），则积xy有最大值即:积定和最小，和定积最大.（不等式的证明）例1、证明基本不等式（跟踪训练）例2、（跟踪训练）例3、若x＞0,y＞0,x+y=1. 求证:（跟踪训练）若a、b、c是不全相等的正数，求证：（利用基本不等式求最值）例3、（跟踪训练1）（跟踪训练2）若x、y∈ , 则x+4y=1,求x.y的最大值例4、若正数a,b满足求a+b的最小值（跟踪训练1）若正实数x,y满足xy=2x+y+6,求xy的最小值。
（跟踪训练2）设x、y均为正数，且求xy的最小值。
例5、若x,y,z∈，x－2y+3z=0, 则的最小值为_________.（跟踪训练）若直线2ax－by+2=0(a＞b＞0）始终平分圆的周长，则的最小值为_________.例6、已知a、b都是正实数，且满足求4a+b的最小值（跟踪训练）设x,y满足约束条件若目标函数z=ax+by（a>0,b>0）的最大值为12，求的最小值（利用均值不等式判断不等式的成立）例7、设a＞0，b＞0，则下列不等式中不成立的是（）A. B.C. D.（跟踪训练）下列不等式不一定成立的是 ( )。
人教B版高中数学必修5课件 3.2均值不等式课件2
课堂小结
知识要点： （1）重要不等式和基本不等式的条件及结构 特征 （2）基本不等式在几何、代数及实际应用三 方面的意义
思想方法技巧： （1）数形结合思想、“整体与局部” （2）配凑等技巧
基础知识
（6）不等式的变形：
a2 b2 (a b)2
2
2
a, b 的取值范围 a,b R
注 意 式 中 等
3.2均值不等式
1.预备定理：若a,b∈R,则a2 + b2 ≥2ab （当且仅当a = b时，等号成立）
2.平均值定理：若a, b∈R+, 则 a + b ≥ ab 2
（当且仅当a = b时，等号成立）
3. 注意：两个不等式的适用范围不同;
问题：a > 0,当a取什么值，a + 1 的值 a
最小？最小值是多少？
x2
能力训练
(1) y x 4r 2 x2 , x 0,2r 的最大值
(2) y x2 1 3x0 x 1 的最小值
3
(3) y 3x2 1x 1 的最小值
x 1
能力训练
(4).若正数a,b满足ab=a+b+3,求ab的取值范围
解： ab a b 3b a 3 a 0,b 0a 1
应用 a b ab(a,b R ) 求最值时, 2
注意验证：一正 、二定 、三相等
例2.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其 容积为4800m3,深为3m,如果池底每1m2的造 价为150元，池壁每1m2的造价为120元， 问怎样设计水池能使总造价最低？ 最低总造价是多少元？
练习:
某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200m2 的三级污水处理池（平面图如上图）。如果池四 周围墙建造单价为400元/m，中间两道隔墙建造 单价为248元/m，池底建造单价为80元/m2，水 池所有墙的厚度忽略不计，试设计污水处理池的 长和宽，使总造价最低，并求出最底造价。
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均值定理的拓广在高中数学教材中，均值不等式几乎涉及高中数学的所有章节，且在每年的高考题中常考常新，其题型主要以大小判断、求最值、求参数的取值范围以及最值时刻等几个方面出现，在高考的考试说明中也明确地要求学生能熟练地掌握均值不等式的适用条件及适用情境。
高中教材中对均值定理的叙述是：（1）定理：如果a 、b 是正数，那么ab ba ≥+2（当且仅当a=b 时取“＝”号） （2）定理：如果a 、b 、c 是正数，那么33abc c b a ≥++（当且仅当a=b=c 时取“＝”号） 我们称2b a +（3c b a ++）为a 、b （a 、b 、c ）的算术平均数，称ab （3abc ）为a 、b(a 、b 、c)的几何平均数，因而这一定理又可叙述为“两个（或三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
”事实上，由数学归纳法可把这一定理拓广为“n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数” 。
用均值不等式求函数的最大（小）值是高中数学的一个重点，在运用均值定理求函数的最大（小）值时，往往需要掌握“凑”（凑项、凑因子）的技巧，其目的（一）是创造一个应用不等式的情境；（二）是使等号成立的条件。
例1．边长为c b a ,,的三角形，其面积等于41，而外接圆半径为1，若c b a t c b a S 111,++=++=，则S 与t 的大小关系是（ ） A. t S >B. t S =C. t S <D.不确定（1986年全国高中数学联赛题）解：在三角形中，由正弦定理和面积公式可得C C R C sin 2sin 2==，又∵41sin 21==C ab S ，∴1=abc ∴ab ac bc cb a t ++=++=111∴)()()(2ac bc bc ab ac ab t +++++=S c b a bc a abc c ab 2)(2222222=++=++≥∵1====R c b a 不可能成立故上式取不到等号，∴S t >即t S <，故选C例2．若正数b a ,满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是 （1999年全国高考题第15题）解：∵+∈R b a ,，∴ab b a 2=+，∴323+≥++=ab b a ab ∴032≥--ab ab ，∴0)1)(3(≥+-ab ab ∴1-≤ab （舍去）或3≥ab ∴3≥ab然而有些题由于解析式自然，从形态上看根本凑不出定值，或虽凑出定值而其等号又不能成立，对于这样的题目，学生往往为很难用甚至不能用均值定理而感到束手无策。
这时就常需对函数式作“添、裂、配、凑”变形，使其完全满足均值定理要求的“正、定、等”条件后方可用之，故对变形能力的要求较高。
但若把均值定理拓广为下述“含参均值定理”，那么便可避免复杂变形的情况。
含参均值定理的叙述是： 如果a,b,c +∈R ,参数+∈R 21,λλ，那么（1）ab b a λλ2)(22≥+（当且仅当b a =λ时取“＝”号）； （2）ab b a 2≥+λ（当且仅当b a =时取“＝”号）； （3）321213abc c b a λλλλ≥++（当且仅当c b a ==21λλ时取“＝”号）。
正参数21,λλ由“值定，可等”确定。
这样可使原来不能同时成立的条件得到满足，从而求出最值。
例1．求函数)210()21(2<<x x x y -=的最大值。
解：设)21())(1(,022x x y -=λλλ>则3232]31)22()[1(]3)21(2)[1(+-=-+≤x x x y λλλλ当且仅当022,21=--=λλx x 即31,1==x λ时取等号，此时271max =y 。
若所含因子仅幂次不同，则不需增加参数的个数。
例2．求)10)(1(2<<t t t y -=的最大值。
解：设0,021>>λλ则32122121]3)1()1()[1(])1()1([1()1)(1(tt t t t t t t t y +-++≤⋅-⋅+=-+=λλλλλλλλ3212121]3)()1()[1(λλλλλλ+++-=t当且仅当01,)1()1(2121=+-=-=+λλλλt t t 即33,213,21321=+=-=t λλ时取等号，此时932max =y 。
类似地可求得函数)20(cos sin 2π<<x x x y =的最大值为932。
用上面的方法还可解决某些如i i i ki i i a i in N a x n m m x n mi ,,0,0()(1∈+≥+∑=>不同号，,2,1=i …)k 一类函数的最值问题。
例3．求函数)),0(0(cos 3sin 443π∈+=x x y 的最小值。
解：设0,021>>λλ，)()cos 3()sin 2sin 2(2124133λλλλ+-++++=x x x y则)(cos 32sin 432142361λλλλ+-+≥x x y)(cos 32sin 432122231λλλλ+-+=x x当且仅当23142313243,cos 3,sin 2λλλλ===x x 即215sin ,25329,45221-=-=-=x λλ时取等号，此时可求得2755max -=y 。
依照上例还可拓广为求某些形如x b x a y n m cos sin +=与N n m R b a x b x a y n m ∈∈+=+,,,(cos sin 且)2,≥n m 的函数的最值问题。
当函数的解析式变量多、项数多、系数无一定规律时，如果直接用均值定理求其最大（小）值一般较为困难，此时便可通过“设参、定参”，并把表达式进行适当的化分或重组，创设使用含参均值定量的情景，然后利用含参均值定理加以解决。
例4．已知02≥+yz xy ，求yzxy z y x +++2222的最小值。
解：设0,021>>λλ∵yz z y xy y x 2222122122,22λλλλ≥+≥+ ∴xy y x 2)1(2121≥+λλ (1)yz z y 2)21(22222≥+λλ………………(2) 由(1)＋(2)得yz xy z y x +≥+++2)21()21(2222221λλλλ，为使该式左端作为目标函数的分子，须令22112121λλλλ=+=，解得251=λ，于是有yz xy z y x +≥++2)(2221λ，故55252121222==≥+++λyz xy z y x ，即yz xy z y x +++2222的最小值为552。
例5．（1997年全国高考题第22题）甲、乙两地相距S 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过C 千米/小时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v （千米/时）的平方成正比，比例系数为b ；固定部分为a 元。
(1)把全程运输成本y （元）表示为速度v （千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域； （2）为了使全程运输成本最小，汽车以多大速度行驶？解：（1）依题意可知：汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为vS，全程运输成本为：)(2bv v a S v S bv v S a y +=⋅+⋅=，故所求函数及其定义域为：],0(),(c v bv vaS y ∈+=。
(2)若c b a ≤，∵ab bv v a bv v a 22=⋅≥+（当且仅当b av =时取等号）∴b a v =bav =时，ab S y 2max =。
若c ba>，设a <<λ0，∵)(v a v bv v a bv λλ-++=+， ∴c a b v a b v a bv λλλλ-+≥-+≥+22，当且仅当c v vbv ==,λ即2,bc c v ==λ时两处等号同时成立， ∴c v =时，bv v +λ取得最小值，此时)(min bc caS y +=。
综上，为使全程运输成本最小，当c b a ≤时，行驶速度为b a v =千米/小时；当c ba>时，行驶速度为c v =千米/时。
由以上各处例子可以看出，在均值定理中适当地增加参数，使其拓广为含参均值定理，可使条件与结论间的联系得以加强，使均值定理的应用更加如虎添翼，更简捷明快地解决某些难度较大的函数最值问题。
解简单的不等式1解不等式：(x 2－x+1)(x+1)(x －4)(6－x)>0 解：对于任何实数x ，x 2－x+1>0恒成立，所以原不等式等价于：(x+1)(x －4)(6－x)>0 ∴(x+1)(x －4)(x －6)<0所以原不等式的解为：x<－1或4<x<6 2 解不等式：1213435222----x x x x ≤0解：原不等式即)4)(34()3)(12(-+-+x x x x ≤0 它相当于43-≠x 4≠x (2x+1)(x-3)(4x+3)(x-4)≤0∴43-＜x≤21-或3≤x ＜4 3 解不等式：|x －5|－|2x+3|<1 解法一：①当x≤23-时，5－x+2x+3<1 x<－7 ②当23-<x<5时， 5－x －2x －3<1 31>∴x此时不等式的解为：)5,31(),31()5,23(=+∞- ③当x≥5时，x －5－2x －3<1, x>－9, ∴x≥5 由①②③可知原不等式的解集为：[)+∞--∞,5)5,31()7,( 即x<－7或x>31。
解法二：原不等式化为:|x －5|<|2x+3|+1两边平方得：x 2－10x+25<4x 2+12x+10+2|2x+3|即：2|2x+3|>－3x 2－22x+15∴4x+6>－3x 2－22x+15 3x+26x －9>0 ∴x<－9或x>31或4x+6<3x 2+22x －15 x 2+6x －7>0 ∴ x<－7或x>1∴原不等式的解集为：),1()7,(),31()9,(+∞--∞+∞--∞ 即：x<－7或x>31 4 已知不等式0)(6)23(<-++b a x b a 与不等式01)1(322<+-++-a a x a a 同解，解不等式0)3(2)2(3>-+-a b x b a 。
解：R a ∈，012>+-a a ∴ 01)1(322<+-++-a a x a a 的解为31-<x∴ )(6)23(b a x b a --<+中0)23(>+b a ∴ 解b a b a x 23)(6+--< 由题意b a b a 23)(631+--=-∴ 043>=b a 代入所求：062>--b bx ∴ 3-<x5 (1998年全国高考)设a≠b ，解关于x 的不等式 a 2x+b 2(1-x)≥[ax+b(1-x)]2.解析 将原不等式化为 (a 2-b 2)x-b 2≥(a -b)2x 2+2(a-b)bx+b 2， 移项，整理后得 (a-b)2(x 2-x)≤0， ∵a≠b 即(a-b)2>0， ∴x 2-x≤0， 即 x(x-1)≤0. 解此不等式，得解集 {x|0≤x≤1}. 6 (1995年全国高考)x x 283312-->⎪⎭⎫ ⎝⎛ 的解集是________________.解析 这是一个指数不等式，基本解法是化为同底的指数形式，然后利用指数函数的单调性转化为整式不等式. 原不等式即x x 2)8(332--->，也就是x 2-2x-8<0，解得-2<x<4.故原不等式的解集为{x| -2<x<4}.7 (北京2003年春招)解不等式：.1)1(log )2(log 21221-->--x x x解析 这是一个对数不等式，基本解法是化为同底的对数形式，然后利用对数函数的单调性转化为整式不等式.原不等式变形为)22(log )2(log 21221->--x x x .所以，原不等式3230,203,01,0)1)(2(22201,02222<<⇔⎩⎨⎧<<>⇔⎪⎩⎪⎨⎧<->->+-⇔⎪⎩⎪⎨⎧-<-->->--⇔x x x x x x x x x x x x x x .故原不等式的解集为}32|{<<x x .8 解不等式x 21log 3-＞1log 21-x解析 这是个无理不等式，基本解法是去根号化为整式不等式，怎样去根号？一般有三种情况，一是⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥⇔>)()(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f ；二是⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥≥<⇔>)()(0)(0)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x f x g x g x f 或；三是⎪⎩⎪⎨⎧<≥≥⇔<)()(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f .原不等式等价于(Ⅰ)⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-≥->01log 0log 302121x x x 或（Ⅱ）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-≥-≥-≥->221212121)1(log log 301log 0log 30x x x x x解(Ⅰ)得⎪⎩⎪⎨⎧〈〉1log 021x x ∴x ＞21 (Ⅱ)得⎪⎩⎪⎨⎧〈≤〉2log 1021x x ∴41＜x ≤21 故原不等式的解集为｛x ｜x ＞41｝. 9 已知f (x )=1,0,1,0,x x ≥⎧⎨-<⎩,则不等式x +(x +2)·f (x +2)≤5的解集是__________.解析 这是个分段函数型不等式，基本解法是转化为若干个不等式组.原不等式等价于⎩⎨⎧≤⋅++≥+51)2(02x x x 或⎩⎨⎧≤-++<+5)1)(2(02x x x ，解得232≤≤-x 或2-<x ，故原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤23x x ，填]23,(-∞.解含参不等式例1 解不等式：0)1(2>++-a x a x ，a ∈R分析：这是基本的一元二次不等式，左边x 2–(a+1)x+a 可分解为(x –a)(x –1)，下面关键的就是要比较a 与1的大小关系，因此以a 与1的大小为分类的标准，分三种情形讨论就可以了。