立体几何中的向量方法【高考一轮复习总结】

即 F 到平面 SBC 的距离为
21 7.
由于 ED∥BC，所以 ED∥平面 SBC，E 到平面 SBC 的距离 d 也为
21 7.
设 AB 与平面 SBC 所成的角为 α，则 sinα＝EdB＝
21 7.
法二：以 C 为坐标原点，射线 CD 为 x 轴正半轴， 建立如图所示的空间直角坐标系 C－xyz. 则 D(1,0,0)，A(2,2,0)，B(0,2,0)． 又设 S(x，y，z)，则 x＞0，y＞0，z＞0. (1)证明： AS ＝(xБайду номын сангаас2，y－2，z)，BS ＝(x，y－2，z)， DS ＝(x－1，y，z)，
[例 3]四边形ABCD为正方形，PD⊥平面 ABCD PD∥QA，QA＝AB＝12PD (1)证明：平面 PQC⊥平面 DCQ； (2)求二面角 Q－BP－C 的余弦值．
解：以D为坐标原点，线段DA的长为 单位长度，射线DA为x轴的正半轴建 立空间直角坐标系D－xyz
(1)证明：依题意有Q(1,1,0)，C(0,0,1)，P(0,2,0)． 则 DQ ＝(1,1,0)， DC ＝(0,0,1)，PQ＝(1，－1,0)． 所以 PQ·DQ ＝0， PQ·DC ＝0. 即PQ⊥DQ，PQ⊥DC.故PQ⊥平面DCQ. 又PQ 平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ.
则l1∥l2⇔ v1∥v2 ⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R)． l1⊥l2⇔ v1⊥v2 ⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.
l3 l1
l2
1．直线a，b的方向向量分别为a＝(1，－1,2)，b＝(－2,2，－4)，
则( )
A．a∥b或a与b重合
B．a⊥b
C．a与b相交但不垂直
则nn··SSAC＝＝00，，
即

2x－2z＝0， 2y－2z＝0.
取 z＝ 2，得 n＝(2,2， 2)．
易知平面 ASD 的一个法向量为 DC ＝(0， 2，0)． 设二面角 C－AS－D 的大小为 θ，
则 cosθ＝ n·DC ＝ |n|| DC |
10 5.
即二面角 C－AS－D 的余弦值为
【2011山东理科】
1．(2012·六安月考)如图所示，已知正方形ABCD 和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝ 2， AF＝1，M是线段EF的中点． 求证：(1)AM∥平面BDE； (2)AM⊥平面BDF.
证明：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，
设 AC∩BD＝N，连接 NE. 则点 N、E 的坐标分别为
D．a与b异面但不垂直
解析：∵a＝(1，－1,2)，b＝(－2,2，－4)，∴b＝－2a， ∴a与b共线．即a∥ b或a与b重合．
(2)设直线l的方向向量为v＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为
n＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔ v⊥n ⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.
l⊥α⇔v∥n ⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)．
★第七节 立体几何中的向量方法★
预备知识：直线的方向向量、平面的法向量
z
B
2
o
A
y
x
实验幼儿园 高三数学组 徐美喆
一、利用直线的方向向量与平面的法向量，判定直线
与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直． (1)设直线l1的方向向量v1＝(a1，b1，c1)，l2的方向向量v2＝
(a2，b2，c2)．
由| AS |＝|BS |得
x－22＋y－22＋z2＝ x2＋y－22＋z2，
故x＝1.
由| DS |＝1得y2＋z2＝1，
又由| BS |＝2得x2＋(y－2)2＋z2＝4，
即y2＋z2－4y＋1＝0，故y＝12，z＝
3 2.
于是S(1，12， 23)， AS ＝(－1，－32， 23)， BS ＝(1，－32， 23)， DS ＝(0，12， 23)， DS ·AS ＝0， DS ·BS ＝0. 故DS⊥AS，DS⊥BS，又AS∩BS＝S， 所以SD⊥平面SAB.
(2)如图所示，以点 A 为坐标原点，建立空间 直角坐标系 A－xyz，则 A(0,0,0)，P(0,0,2)， B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)．∵AM⊥PD， PA＝AD，∴M 为 PD 的中点，∴M 的坐标 为(0,1,1)．∴ AC ＝(1,2,0)， AM ＝(0,1,1)， CD＝(－1,0,0)． 设平面 ACM 的一个法向量为 n＝(x，y，z)，
[例2] (2011·大纲版全国高考)如图，四棱 锥S－ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD， 侧面SAB为等边三角形．AB＝BC＝2， CD＝SD＝1. (1)证明：SD⊥平面SAB；(2)求AB与平面SBC所成的角的正弦值
解：法一(1)证明：取AB中点E，连接DE， 则四边形BCDE为矩形，DE＝CB＝2. 连接SE，则SE⊥AB，SE＝ 3. 又SD＝1，故ED2＝SE2＋SD2， 所以∠DSE为直角． 由AB⊥DE，AB⊥SE，DE∩SE＝E，得 AB⊥平面SDE，所以AB⊥SD. SD与平面SAB内的两条相交直线AB、SE都垂直． 所以SD⊥平面SAB.
解：(1)证明：因为EA⊥平面ABC，AC 平面ABC，所 以EA⊥AC，即ED⊥AC. 又因为AC⊥AB，AB∩ED＝A， 所以AC⊥平面EBD. 因为BD 平面EBD， 所以AC⊥BD.
(2)如图，以D为原点，建立空间直角坐标系，则B(2,2,2)， A(0,0，2)，C(2，－2,2)，D(0,0,0)． 设n＝(x，y，z)是平面BCD的法向量， 因为BC ＝(0，－4,0)， 所以nn··BDCB＝＝00，. 即－ 2x＋4y＝2y＋0，2z＝0. 取z＝－1，则n＝(1,0，－1)是平面BCD的一个法向量．
AC ＝(0,2 3，0)， BE ＝(－3， 3，2)，
cos〈 AC ， BE 〉＝ |
AC ·BE ＝ AC ||BE | 2
36×4＝ 43，
即异面直线BE与AC所成的角的余弦值为 43.
【2012山东理科】
四边形ABCD是等腰梯，AB∥CD， ∠DAB=60°，FC⊥平面ABCD， AE⊥BD，CB=CD=CF （Ⅰ）求证：BD⊥平面AED （Ⅱ）求二面角F-BD-C的余弦值
法向量 n
(3)设平面α的法向量n1＝(a1，b1，c1)，
方向向量 V
β的法向量为n2＝(a2，b2，c2)，
则α∥β⇔ n1∥n2， α⊥β⇔ n1⊥n2 .
二.利用方向向量和法向量解决空间的夹角问n2 题 n1 （1）两直线的夹角 （2）直线与平面的夹角
（3）二面角的大小【余弦值】 z
例 3．已知向量 m，n 分别是直线 l 和平面 α 的H 方向向量、法G向量，
AB·a ＝ AB |·|a|
21 7.
故AB与平面SBC所成的角的正弦值为
21 7.
3.在四棱锥 P－ABCD中，底面ABCD是矩形， PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2， AB＝1，BM⊥PD于点M. (1)求证：AM⊥PD； (2)求直线CD与平面ACM所成角的余弦值．
解：(1)证明：∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD， ∴PA⊥AB. ∵AB⊥AD，AD∩PA＝A， ∴AB⊥平面PAD. ∵PD 平面PAD，∴AB⊥PD， ∵BM⊥PD，AB∩BM＝B， ∴PD⊥平面ABM. ∵AM 平面ABM，∴AM⊥PD.
＝ 3
9 2×3
2＝12，即〈PD，BC 〉＝60°，于是直线 PD 与 BC
所成的角等于 60°.
例：四棱锥 S－ABCD 的底面是正方形， SD⊥平面 ABCD，SD＝2，AD＝ 2 则二面角 C－AS－D 的余弦值为________
【整理此题至资料上】
解析：如图，以 D 为原点建立空间直角坐标系 D－xyz. 则 D(0,0,0)，A( 2，0,0)，B( 2， 2，0)，C(0， 2，0)，S(0,0,2)， 得 SA＝( 2，0，－2)， SC ＝(0， 2，－2)． 设平面 ACS 的一个法向量为 n＝(x，y，z)，
( 22， 22，0)、(0,0,1)．
∴ NE ＝(－ 22，－ 22，1)．
又点A、M的坐标分别是(
2，
2，0)、( 22， 22，1)，
∴ AM ＝(－ 22，－ 22，1)．
∴ NE ＝ AM 且NE与AM不共线．
∴NE∥AM.
又∵NE 平面BDE，AM 平面BDE.
∴AM∥平面BDE.
(2)由(1)知 AM ＝(－ 22，－ 22，1)， ∵D( 2，0,0)，F( 2， 2，1)， ∴ DF ＝(0， 2，1)． ∴ AM ·DF ＝0.∴ AM ⊥ DF . 同理 AM ⊥BF .又 DF∩BF＝F， ∴AM⊥平面 BDF.
由 n⊥ AC ，n⊥ AM 可得xy＋＋z2＝y＝0 0 ， 令 z＝1，得 x＝2，y＝－1.∴n＝(2，－1,1)． 设直线 CD 与平面 ACM 所成的角为 α，
则
sinα＝||CCDD|·|nn||＝
6 3.
∴cosα＝ 33，即直线 CD 与平面 ACM 所成角的余弦值为 33.
若
cos〈m，n〉＝－12，则
l
E
与α
2
所成的角为
K
F
A．30°
B．60°
()
C．120°
D．150° o
C
y
A
B
x
例题：P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD， BA⊥AD，PA⊥平面ABCD，AB＝AP＝AD＝3，CD＝6 (1) 求PD与BC所成的角（2）求二面角C-PB-A的余弦值
可取 m＝(1,1,1)，所以 cos〈m，n〉＝－
15 5.
故二面角 Q－BP－C 的余弦值为－
15 5.