平面的法向量与平面的向量表示
平面向量与平面的关系
平面向量与平面的关系平面向量是向量的一种形式，它的组成部分是一个起点和一个终点，可以用箭头来表示。
平面是二维的，由二维点的集合构成，其上的点可以用二维坐标表示。
本文将探讨平面向量与平面之间的关系及相关的性质。
一、平面向量的定义与性质平面向量可以表示为两个点之间的差向量。
设点A(x1, y1)和点B(x2, y2)是平面上的两个点，其联结的平面向量可以表示为AB = (x2 -x1, y2 - y1)。
平面向量具有以下性质：1. 平面向量的模：平面向量AB的模可以通过勾股定理求得，即|AB| = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2]。
2. 平面向量的加法：两个平面向量的加法可以通过将它们的对应分量相加得到。
设平面向量A(x1, y1)和平面向量B(x2, y2)，它们的和为A +B = (x1 + x2, y1 + y2)。
3. 平面向量的数量积：两个平面向量的数量积定义为它们对应分量的乘积的和。
设平面向量A(x1, y1)和平面向量B(x2, y2)，它们的数量积为A · B = x1x2 + y1y2。
4. 平面向量的夹角：设平面向量A和平面向量B不同时为零向量，它们的夹角θ可以由余弦定理求得，即cosθ = (A · B) / (|A| |B|)，从而可以计算出夹角的大小。
二、平面向量与平面之间的关系平面向量和平面之间有着密切的关系，我们将讨论以下几个方面：1. 平面上的平行向量：若两个平面向量的方向相同或相反，它们为平行向量。
若平面向量A(a, b)与平面向量B(x, y)平行，则存在实数k，使得a = kx，b = ky。
2. 平面上的法向量：设平面向量A(a, b)与平面向量B(x, y)垂直，则A为平面的法向量。
当且仅当a = -ky，b = kx时，平面向量A与平面向量B垂直。
3. 平面与平面之间的夹角：设平面P1的法向量为A(a1, b1)，平面P2的法向量为B(a2, b2)，则两个平面之间的夹角θ可以由以下公式计算得到：cosθ = (a1a2 + b1b2) / (|A| |B|)。
高二数学选修课件：3-2-2平面的法向量与平面的向量表示
人 教 B 版 数 学
第三章
空间向量与立体几何
[例 1]
如图， ABCD 是直角梯形， ∠ABC＝90° SA⊥ ，
人 教 B 版 数 学
1 平面 ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝2，求平面 SCD 与平 面 SAB 的法向量．
第三章
空间向量与立体几何
[分析] 解答本题可先建立空间直角坐标系，写出每
个平面内两个不共线向量的坐标，再利用待定系数法求出 平面的法向量．
人 教 B 版 数 学
[解析]
∵AD、AB、AS 是三条两两垂直的线段，
→ → → ∴以 A 为原点，以AD、AB、AS的方向为 x 轴，y 轴， 1 z 轴的正方向建立坐标系， A(0,0,0)， 2， 则 D( 0,0)， C(1,1,0)， → ＝(1，0,0)，是平面 SAB 的法向量， S(0,0,1)，AD 2 设平面 SCD 的法向量 n＝(1，λ，μ)，
第三章
空间向量与立体几何
人 教 B 版 数 学
第三章
空间向量与立体几何
人 教 B 版 数 学
第三章
空间向量与立体几何
1．知识与技能
掌握平面的法向量的概念及性质． 理解平面的向量表示． 2．过程与方法 用向量的观点认识平面、利用平面的法向量证明平行人ຫໍສະໝຸດ 教 B 版 数 学或垂直问题．
3．情感态度与价值观 培养学生转化的数学思想，增强应用意识．
第三章
空间向量与立体几何
人 教 B 版 数 学
第三章
空间向量与立体几何
重点：平面法向量的概念及性质． 难点：利用法向量法解决几何问题．
人 教 B 版 数 学
第三章
空间向量与立体几何
人 教 B 版 数 学
法向量1
A
B
x
F E
Dy
C
小结：
想想看，这节课我们都学到了什么？ 1、怎么求法向量？ 2、利用法向量证明平行与垂直问题
作业：练习册：47-48页
目标：
会求法向 量并用法 向量解题
请各位老师批评指正 谢谢
课前小测答案：
1、 a b x1x2 y1 y2 z1z2
2、a b 0
3、 E(1, 1 ,2) F 1 ,1,1
2、线面垂直性质定理： （1）垂直于同一平面的直线互相平行 （2）垂直面的直线，垂直面内所有直线
目标：
会求法向 量并用法 向量解题
3、线面平行判定定理：不在面内直线平行面内一条直线， 则线面平行
4、面面平行判定定理：两条相交直线平行于同一个 平面，则两个平面平行
新知教学
1、已知平面 ，如果向量 n 的基线与
即xy
y z
赋值：x 1 n (1,1,1)
步骤1-2-1
目标：
会求法向
（1）设 n x, y, z
量并用法 向量解题
（2）找出平面内不共
线向量 v1,v2
n
v1
0
n v2 0
（3）解方程组，赋值
应用1 ：ABCD是直角梯形，ABC SA 平面ABCD SA AB BC 1 AD
x2 y2 z2 1 法向量是否
n (1,1,1)
唯一？
思考：求平面ABC的单位法向量坐标
求法向量方法
设法向量 n x, y, z
AB （1，1，0） BC 0，1，1
n AB 0 n BC 0
x y 0 y z 0
平面的法向量和方向向量
平面的法向量和方向向量平面的法向量和方向向量是平面几何中的重要概念，它们在描述平面的性质和运动方向时起到了关键作用。
本文将分别介绍平面的法向量和方向向量，并探讨它们的应用和相关性质。
一、平面的法向量平面的法向量是指垂直于该平面的向量。
设平面P上有一条直线L，经过L上的两点A和B可以确定一条向量AB。
如果向量AB垂直于平面P，那么向量AB就是平面P的法向量。
平面的法向量有以下性质：1. 法向量与平面上任意两个垂直向量的内积为零。
设向量a和向量b是平面P上的两个垂直向量，向量n是平面P的法向量，则有a·n=0，b·n=0。
2. 平面上的两个垂直向量的内积为零时，它们是平面的法向量的倍数关系。
设向量a和向量b是平面P上的两个垂直向量，向量n是平面P的法向量，则有a·n=0，b·n=0，因此存在实数k，使得a=k·n，b=k·n。
3. 平面上的两个非零向量的叉积是平面的法向量的倍数。
设向量a 和向量b是平面P上的两个非零向量，向量n是平面P的法向量，则有向量a×b=k·n，其中k为实数。
平面的法向量在几何和物理学中有广泛的应用。
例如，在计算平面上的点到另一平面的距离时，可以利用平面的法向量来求解。
同时，在力学中，平面的法向量也被用来描述平面上的压力和力的作用方向。
二、平面的方向向量平面的方向向量是指平面上的一个非零向量，它表示了平面上的一个方向。
设平面P上有一条直线L，经过L上的两点A和B可以确定一条向量AB。
如果向量AB不是平面P的法向量，那么向量AB 就是平面P的方向向量。
平面的方向向量有以下性质：1. 平面上的两个非零向量的线性组合是平面的方向向量。
设向量a 和向量b是平面P上的两个非零向量，向量c=k1·a+k2·b，其中k1和k2为实数，则向量c是平面P的方向向量。
2. 平面上的两个方向向量的叉积是平面的法向量。
平面的法向量与平面的向量表示
返回
设平面A1BD的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)．
则nn11·AA11DB＝＝00，
－x1－z1＝0， y1－z1＝0.
令z1＝1，得x1＝－1，y1＝1.
所以平面A1BD的一个法向量为n1＝(－1，1，1)．
设平面CD1B1的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
则nn22··DD11CB1＝＝00， xy22－＋zy22＝＝00.，令y2＝1，得x2＝－1，z2＝1，
返回
[例2] 如图，在正方体ABCD－ A1B1C1D1中，E，F，M分别为棱BB1， CD，AA1的中点．
(1)证明：C1M∥平面ADE； (2)平面ADE⊥平面A1D1F.
[思路点拨] 建立空间坐标系．求出平面ADE与平 面A1D1F的法向量求解．
返回
[精解详析] (1)以 D 为原点， 向量 DA、DC 、DD1 的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立坐标 系如图，设正方体的棱长为 1.
返回
1．平面的法向量 已知平面α，如果向量n的基线与平面α 垂直 ，则向 量n叫做平面α的法向量或说向量n与平面α正交． 2．平面的向量表示式 设A是空间任一点，n为空间内任一非零向量，适合条 件 ·n＝0的点M构成的图形是过点A并且与向量n垂直 的 平面 ， AM ·n＝0 通常称为一个平面的向量表示式．
∵m·C1M ＝(0，－1，2)·(1，－1，－12)＝0＋1－1＝0，
∴C1M ⊥m. 又C1M 平面ADE，∴C1M∥平面ADE.
返回
(2)由D1(0，0，1)，A1(1，0，1)，F(0，
1 2
，0)得
D1 A1
＝
(1，0，0)， D1F ＝(0，12，－1)，
法向量与平面的向量表示
3.2.2平面的法向量与平面的向量表示
A 组
1.已知四面体ABCD ，棱AB AC =，棱DB DC =，点M 为棱BC 的中点，在图中指出，哪两点确定的位置向量是平面ADM 的法向量？哪两个平面互相垂直？为什么？
2.已知正方体''''ABCD A B C D -，写出平面ABC 和平面'AB C 的一个法向量。
4.如图，已知PO ⊥平面ABC ，AC BC =,D 为AB 的中点，求证：AB PC ⊥。
5.如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，且PA ⊥底面AC ，如果BC PB ⊥，求证ABCD 是矩形。
6.已知(3A ，0，0)，(0B ，4，0)，(0C ，0，5)，求平面ABC 的单位法向量。
7.已知正方体''''ABCD A B C D -，分别写出两个对角面的一个法向量，并证明两个对角面互相垂直。
8.已知四面体ABCD 的棱AB CD ⊥，AC BD ⊥，求证：AD BC ⊥。
B 组
9.直四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 是矩形，121 3.AB AD AA ===，， M 是BC 的中点.在1DD 上是否存在一点N ，使1MN DC ⊥？。
课件1：3.2.2平面的法向量与平面的向量表示
令 z1＝1，得 x1＝a－1， ∴n1＝(a－1,0,1). 设平面 C1DE 的一个法向量为 n2＝(x2，y2，z2)，
三垂线定理及其逆定理
求平面的法向量
如图 3－2－10，ABCD 是直角梯形，∠ABC＝90°， SA⊥平面 ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝12，求平面 SCD 的法 向量．
【思路探究】 先确定平面 SCD 内的两个不共线向量，比 如D→C，S→C，再设出平面的法向量为 n＝(x，y，z)，构造方程组 求解．
∵P→D＝0，2 3 3，－1，显然P→D＝
3 3 n.
∴P→D∥n，∴P→D⊥平面 ABE，
即 PD⊥平面 ABE.
利用空间向量解决探索性问题 (12 分)在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E 是棱 BC 的中点，试在棱 CC1 上求一点 P，使得平面 A1B1P⊥平面 C1DE.
图 3－2－13
D→A＝(2,0,0)，A→E＝(0,2,1)．
(1)设 n1＝(x1，y1，z1)是平面 ADE 的法向量，
则 n1⊥D→A，n1⊥A→E，
即 n1·D→A＝2x1＝0， n1·A→E＝2y1＋z1＝0，
得xz11＝＝－0，2y1，
令 z1＝2，则 y1＝－1， 所以 n1＝(0，－1,2)．
因为F→C1·n1＝－2＋2＝0，所以F→C1⊥n1. 又因为 FC1⊄平面 ADE，所以 FC1∥平面 ADE.
的中点，N 为 BC 的中点．
证明：直线 MN∥平面 OCD. 【思路探究】 只需建系证明M→N·n
平面向量的法向量和单位向量
平面向量的法向量和单位向量平面向量是二维空间中的线段，它具有方向和大小。
在平面向量中，存在着一些特殊的向量，比如法向量和单位向量。
本文将从法向量和单位向量两个方面进行探讨。
一、法向量在平面向量中，法向量是与给定向量垂直的向量，通常用n表示。
对于平面向量a=(a1,a2)，其法向量可以表示为n=(-a2,a1)，或者n=(a2,-a1)。
法向量的方向垂直于给定向量，并且具有相同的大小。
法向量在几何学中有着重要的应用，比如在计算两个向量的夹角时，常常使用法向量来进行计算。
法向量还可以用来表示平面的法线方向，从而帮助求解平面几何中的问题。
二、单位向量单位向量是指长度为1的向量，表示为u。
在二维空间中，单位向量通常表示为u=(cosθ,sinθ)，其中θ为向量与x轴的夹角。
单位向量的大小为1，表示方向而不表示大小。
单位向量在向量运算中起着非常重要的作用。
在计算两个向量的夹角时，可以使用单位向量来表示向量的方向，从而简化计算。
单位向量还常用于表示力的方向，以及在物理学中描述物体的位移和速度方向。
结论平面向量中的法向量和单位向量是非常重要的概念，它们在几何学和向量运算中都具有重要的应用价值。
法向量可以帮助我们求解向量的垂直方向，单位向量则可以帮助我们统一向量的方向，并简化向量运算的复杂度。
深入理解和应用法向量和单位向量，有助于提升数学和物理学等相关学科的学习成绩，同时也为解决实际问题提供了便利。
愿本文对读者有所启发，帮助大家更好地理解平面向量的法向量和单位向量。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1．确定平面的法向量通常有两种方法： (1)利用几何体中已知的线面垂直关系； (2)用待定系数法，设出法向量，根据它和α内不共线 两向量的垂直关系建立方程组进行求解．由于一个平面 的法向量有无数个，故可从方程组的解中取一个最简单 的作为平面的法向量． 2．用空间向量处理平行问题的常用方法： (1)线线平行转化为直线的方向向量平行． (2)线面平行转化为直线的方向向量与平面法向量垂直．
返回
(2)三垂线定理： 如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平 面内的 射影垂直，则它也和这条斜线垂直． (3)三垂线定理的逆定理： 如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直， 则它也和这条斜线在平面内的 射影垂直．
返回
1．用向量法证明线线、线面、面面之间的垂直关系， 主要是找出直线的方向向量、平面的法向量之间的关系， 因此求直线的方向向量及平面的法向量是解题关键．
证明：以D为原点，建立如图所示的空间 直角坐标系，设正方体的棱长为1，则 A1(1，0，1)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)， B1(1，1，1)，C(0，1，0)，D(0，0，0)．所以 A1D ＝ (－1，0，－1)， A1B ＝(0，1，－1)， D1B1 ＝(1，1， 0)， D1C ＝(0，1，－1)．
返回
4．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中 点，求证：平面AED⊥平面A1FD1. 证明：如图，建立空间直角坐标系Dxyz.
返回
[例3] 在正方体ABCDA1B1C1D1 中，求证：A1C⊥平面BDC1.
[思路点拨] 根据正方体中的垂直关系，找到A1C 在平面ABCD和平面CDD1C1内的射影，由三垂线定理 证明BD⊥A1C，C1D⊥A1C.
返回
3．两平面平行、垂直的判定 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则 ①α∥β或α与β重合 ⇔ n1∥；n2 ②α⊥β⇔ n1⊥n⇔2 n1.n2=．0 4．正射影与三垂线定理 (1)正射影： 已知平面α和一点A，过点A作α的垂线l与α相交于点 A′，则A′就是点A在平面α内的 正射影，简称 射影．
证明：连接DO1、BO1、AO2、CO2. ∵O1是△BCD的垂心，∴DO1⊥BC. 又AO1⊥平面BCD，∴BC⊥AD(三垂 线定理)． ∵BC是平面ACD的斜线，BO2⊥平面ACD，CO2是BC 在平面ACD内的射影， ∴CO2⊥AD(三垂线定理的逆定理)．同理，AO2⊥CD. 故O2是△ACD的垂心．
(1)l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0； (2)l⊥α⇔a∥u⇔(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)； (3)α∥β⇔u∥v⇔(a2，b2，c2)＝m(a3，b3，c3)； (4)α⊥β⇔u⊥v⇔u·υ＝0⇔a2a3＋b2b3＋c2c3＝0.
返回
3．在正方体ABCDA1B1C1D1中，求证：平面A1BD∥平面 CD1B1.
返回
5．正三棱锥PABC中，求证：BC⊥PA.
证明：在正三棱锥PABC中，P在底 面ABC内的射影O为正三角形ABC的 中心，连接AO，则AO是PA在底面A BC内的射影，且BC⊥AO，所以BC ⊥PA.
返回
6．在空间四边形ABCD中，A在平面BCD内的射影O1是 △BCD的垂心，试证明B在平面ACD内的射影O2必是 △ACD的垂心．
返回
1．平面的法向量 已知平面α，如果向量n的基线与平面α 垂直 ，则向 量n叫做平面α的法向量或说向量n与平面α正交． 2．平面的向量表示式 设A是空间任一点，n为空间内任一非零向量，适合条 件 ·n＝0的点M构成的图形是过点A并且与向量n垂直 的 平面 ， AM ·n＝0 通常称为一个平面的向量表示式．
返回
[例2] 如图，在正方体ABCD－ A1B1C1D1中，E，F，M分别为棱BB1， CD，AA1的中点．
(1)证明：C1M∥平面ADE； (2)平面ADE⊥平面A1D1F.
[思路点拨] 建立空间坐标系．求出平面ADE与平 面A1D1F的法向量求解．
返回
[一点通] 设直线l的方向向量a＝(a1，b1，c1)，平面α的 法向量u＝(a2，b2，c2)，平面β的法向量v＝(a3，b3，c3)，且 l⊄α，α与β不重合，则
返回
[精解详析] 在正方体中，AA1⊥ 平面ABCD，所以AC是A1C在平面ABCD 内的射影，又AC⊥BD，所以BD⊥A1C. 同理D1C是A1C在平面CDD1C1内的射影． 所以C1D⊥A1C.又C1D∩BD＝D，所以A1C⊥平面BDC1.
返回
[一点通] (1)三垂线定理及其逆定理主要用于证明空间两条直线 的垂直问题．对于同一平面内的两直线垂直问题也可用“平 移法”，将其转化为空间两直线的垂直问题，用三垂线定理 证明． (2)当图形比较复杂时，要认真观察图形，证题的思维 过程是“一定二找三证”，即“一定”是定平面和平面内的直 线，“二找”是找平面的垂线、斜线和斜线在平面内的射影， “三证”是证直线垂直于射影或斜线．
第
三
章
3.2
理解教材新知
空 3.2.2
间 平面
向
的法
把握热
量
向量
点考向
与 与平
考点一 考点二 考点三
立 面的
体 向量
应用创新演练
几 表示
何
返回
3．2.2 平面的法向量与平面的向量表示
返回
若l1，l2是两条不同的直线，α、β是两个不同的平 面，且l1⊥α，l2⊥β.
问题1：若l1∥l2，则α与β有什么位置关系？ 提示：α∥β. 问题2：若l1⊥l2，则α、β什么位置关系？ 提示：α⊥β.
则该平面的一个法向量为
()
A．(1，－1，1)
B．(2，－1，1)
C．(－2，1，1)
D．(－1，1，－1)
解析：显然a与b不平行，设平面的法向量为n＝(x，y，z)，
则有ab··nn＝ ＝00
2x＋3y＋z＝0， 5x＋6y＋4z＝0.
令z＝1，得x＝－2，y＝1.
∴n＝(－2，1，1)． 答案：C
2．一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可以 根据需要进行选取，一个平面的所有法向量共线．
返回
返回
[例1] 已知点A(1，0，0)、B(0，2，0)、C(0，0，3)， 求平面ABC的一个法向量．
[思路点拨]
返回
[一点通] 利用待定系数法求法向量的解题步骤： 返回
1．已知平面内的两个向量a＝(2，3，1)，b＝(5，6，4)，