整理法向量的快速求法
法向量的求法归纳
故n =
a1 a2 三阶行列式 b1 b2 c1 c2
a2 b2 c2
a3 b b3 = a1 2 c2 c3
b3 b b b b − a2 1 3 + a3 1 2 展开得到 c31 2 1 2 3 3 1 2 1 2 3 ,− , i− j+ k = −9i + 7 j − 3k 即 n = ( −9, 7, −3) ，也即 n = 0 −3 1 −3 1 0 0 −3 1 −3 1 0
6 + 3x + 1 = 0 ⇒
x=−
7 7 即 n = 3, − ,1 调 3 3
整为 n = ( 9, −7,3) 可以借助线性运算产生 0 ； 若两个向量有 0 在同一个位置， 则直接得到法向量， 特例： 若两个向量均没有 0 出现， 此时平面为坐标平面 例： （1） a = (1, 2,3) ， b = ( 2,3,1) ，则 2a − b = ( 0,1,5 ) ，可设 n = ( x,5, −1) 后用 n ⋅ a = 0 得到 x = −7 （2） a = (1, 2, 0 ) ， b = ( 3, −1, 0 ) ，则 n = ( 0, 0,1)
法 2：行列式法（高等数学方法） 定义：二阶行列式
⇒
x = 3z 7 y=− z 3
取 z = 3 ，则 x = 9 ， y = −7 ， 故 n = ( 9, −7,3)
a c
b d
= ad − bc
a3 b3 = a1b2 c3 + a2b3c1 + a3b1c2 − a3b2 c1 − a2b1c3 − a1b3c2 c3 i j k 由 AB = ( 2,3,1) ， AC = (1, 0, −3) 得 n = 2 3 1 = −9i + j − 3k + 6 j = −9i + 7 j − 3k = ( −9, 7, −3) 1 0 −3
法向量的快速求法
法向量的快速求法
法向量的快速求法可以通过以下方法实现：
1. 对于平面上的一个向量，其法向量可以通过求其逆时针旋转90度得到，即将向量(x,y)变为(-y,x)。
2. 对于三维空间中的一个向量，其法向量可以通过向量积（又称为叉积）求得。
设a和b是两个不共线的向量，则它们的向量积a×b是一个向量，其大小等于以a和b为邻边所构成的平行四边形的面积，方向垂直于这个平行四边形，满足右手定则。
向量积的计算公式为：
a ×
b = (aybz −azby,azbx −axbz,axby −aybx)
其中，aybx表示a向量y分量与b向量x分量相乘。
3. 对于曲面上的一个点P，其法向量可以通过求其切平面的法向量得到。
曲面的切平面包含该点的所有切线，其法向量指向切平面凸出的一侧。
切平面的法向量可以通过对曲面方程求偏导数得到。
平面法向量坐标的快速求法人教版
空间直角坐标系中平面法向量的三种求法某某第八中学 谭武昌近几年高考立体几何解答题的设计，注意了求解方法既可用传统的几何方法解决，又可用向量方法处理，在求异面直线所成角、直线与平面的所成角、二面角的大小以及点到平面的距离时，向量方法都有标准的公式，这些公式对学生的空间想象能力要求相对不高，因此，师生逐渐重视空间向量方法的应用，但是，在完成解答的过程中，正确求出法向量的坐标是关键，下面总结三种常见的求法向量坐标的方法，希望大家在比较中掌握这一重要技能。
1． 方程法利用直线与平面垂直的判定定理构造三元一次方程组，由于有三个未知数，两个方程，要设定一个变量的值才能求解，这是一种基本的方法，师生容易接受，但运算稍繁，要使法向量简洁，设值可灵活，法向量有无数个，它们是共线向量，取一个就可以。
例1向量a 、b 是平面α内的两个不共线的向量，()3,2,1=a ，)1,1,2(-=b ，求平面α的一个法向量n 的坐标。
解：设),,(z y x n =，那么由a n ⊥，b n ⊥得⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00b n a n 即⎩⎨⎧=-+=++02032z y x z y x 不妨设1=z ，得⎩⎨⎧=+-=+1233y x y x ， ⎪⎩⎪⎨⎧-==3735y x 取)1,37,35(-=n 2．矢量积公式111(,,)a x y z =，222(,,)b x y z =，111111222222(,,)y z x z x y a b y z x z x y ⨯=-， 其中行列式11122122y z y z y z y z =-，法向量取与向量a b ⨯共线的即可。
用这一方法解答例1，先把平面内的两个向量坐标对齐写⎪⎩⎪⎨⎧-==)1,1,2()3,2,1(b a 蒙住第一列，把后两列看成一个二阶行列式，计算531)1(2-=⨯--⨯就是向量a b ⨯的x 坐标，蒙住第二列，把前后两列看成一个二阶行列式，计算732)1(1-=⨯--⨯，取7-的相反数7作为a b ⨯的y 坐标，蒙住第三列，把前两列看成一个二阶行列式，计算32211-=⨯-⨯作为z 坐标，所以)3,7,5(--=⨯b a ，可以取)3,7,5(--=n ，它与前面方程法求得的)1,37,35(-=n 是共线向量。
行列式求法向量的计算方法
行列式求法向量的计算方法
首先，我们需要明确一点，行列式与法向量是两个不同的概念。
行列式是一个数学表达式，而法向量是几何概念，通常用于描述平面或空间中的方向。
然而，在某些情况下，我们可以使用行列式来计算与特定向量垂直的法向量。
具体来说，如果我们有一个向量v和一个矩阵A，我们可以使用以下公式来计算与v垂直的法向量：
\(n = \frac{v^T \times A \times v}{v^T \times v}\)
其中，\(v^T\)表示v的转置，\(\times\)表示矩阵乘法。
这个公式的含义是：首先，我们计算向量v和矩阵A的乘积，得到一个新的矩阵\(v^T \times A\)。
然后，我们计算这个新矩阵与向量v的点积，得到
一个标量。
最后，我们将这个标量除以向量v的模的平方，得到最终的法向量n。
需要注意的是，这个公式只适用于向量v不为零的情况。
如果向量v为零，我们需要使用其他方法来计算法向量。
平面的法向量
平面的法向量
平面法向量的求法：1.在平面内找两个不共线的向量2.待求的法向量与这两个向量各做数量积为零就可以确定出法向量了.3.为方便运算，提取公因数，若其中含有未知量x,为x代值即可得到一个最简单的法向量。
普通平面法向量的具体步骤：（待定系数法）1、建立恰当的直角坐标系2、设平面法向量n=（x，y，z）3、在平面内找出两个不共线的向量，记为a=（a1，a2, a3）b=（b1，b2，b3）4、根据法向量的定义建立方程组①n·a=0 ②n·b=0。
空间直角坐标系中平面法向量的三种求法：一、方程法，利用直线与平面垂直的判定定理构造三元一次方程组，由于有三个未知数，两个方程，要设定一个变量的值才能求解，这是一种基本的方法，但运算稍繁，要使法向量简洁，设值可灵活，法向量有无数个，它们是共线向量，取一个就可以。
二、矢量积公式。
三、双0速算法：如果空间直角坐标系中的点在坐标轴上，那么就有两个坐标为0，点在坐标平面上，就会有一个坐标为0，同理，如果向量与坐标轴平行，则向量就有两个坐标为0，向量与坐标平血平行，向量就有一个坐标为0，有的学生在实践中发现，两个向量的六个坐标中，只要出现2个0,就可以快速求得法向量，有点“十字相乘法”快速分解二次三项式的味道，而且正确率高，在考试中作用明显。
扩展资料：高中法向量更快求法：叉乘，造0法。
叉乘口诀：掐头去尾，交叉相乘再相减。
造0法：构造0时，加减乘除都行。
法向量的算法与举例
法向量的算法与举例摘要高中数学中的向量作为沟通代数与几何的桥梁，大大简化了几何问题的运算量。
然而在高中数学体系中，几何占有很重要的地位，有些几何问题用常规的方法去解决往往比较繁杂，而运用向量能使过程得到大大的简化。
[1]用向量法解决几何问题有着思路清晰、过程简洁的优点。
[2]在立体几何中常用法向量来解决距离问题，夹角问题，于是求法向量又是一个新问题。
如果能够掌握平面法向量的快速求法，那么在解决立体几何问题中一定会有事半功倍之效。
关键词：法向量；矩阵；行列式；速算一、法向量的定义如果向量平面，那么向量叫做平面的法向量。
由定义可知，法向量并不是唯一的，以致只要是与平面互相垂直的向量都可以作为平面的法向量。
二、法向量的算法1、待定系数法求法向量与举例在给定的空间直角坐标系中，设平面的法向量 [或，或 ]，在平面内任找两个不共线的向量。
由，得且，由此得到关于的方程组，解此方程组即可得到 .具体步骤如下：①联立方程②消元求解③得出结论举例：如果，那么与的法向量为?解：设，因为，，则，，得，①-②得，，取，，（注意：给其中一个字母取一个不为零的值）。
例1 如图，在四棱锥S－ABCD中，S A⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，S A ＝AB＝2，∠BAD＝60°，E是PA的中点．(1)求证：直线S C∥平面BDE；证明设AC∩BD＝O.因为∠BAD＝60°，AB＝2，底面ABCD为菱形，s所以BO＝1，AO＝CO＝，AC⊥BD.如图，以O为坐标原点，以OB，OC所在直线分别为x轴，y 轴，过点O且平行于S A的直线为z轴，建立空间直角坐标系O－xyz，则S(0，－，2)，A(0，－，0)，B(1,0,0)，C(0，，0)，D(－1,0,0)，E(0，－，1)．(1)设平面BDE的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，因为BE＝(－1，－，1)，BD＝(－2,0,0)，由得令z1＝，得y1＝1，所以n1＝(0,1，)．又＝(0,2，－2)，所以·n1＝0＋2－2＝0，即⊥n1，又，所以S C∥平面BDE.例 2 如图，在直三棱柱ADE—BCF中，面ABFE和面ABCD都是正方形且互相垂直，M为AB的中点，O为DF的中点．运用向量方法证明：(1)OM∥平面BCF；(2)平面MDF⊥平面EFCD.解：（1）略( 2)建系如右图，设平面MDF与平面EFCD的一个法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)．∵DF＝(1，－1,1)，DM＝，DC＝(1,0,0)，由n1·DF＝n1·DM＝0，得解得令x1＝1，则n1＝.同理可得n2＝(0,1,1)．∵n1·n2＝0，∴平面MDF⊥平面EFCD.1.行列式法求法向量与举例向量＝(x，y，z )，＝(x，y，z )是平面内的两个不共线向量，则向量＝(y z－y z，－(x z－x z )，x y－x y )是平面的一个法向量.如果用二阶行列式表示，则＝(，－， ) ，这更便于记忆和计算.（注：1、行列式:；2、纵坐标前边要加一个负号）.具体步骤：①竖着列出平面内的两个不共线向量②算出法向量的三个坐标（要算横坐标，就把已知两个向量的横坐标那一列遮起来用纵坐标和竖坐标求，其它坐标相同的求法）③得到平面的法向量。
法向量的求法和其应用
法向量的求法和其应用第一篇：法向量的求法和其应用平面法向量的求法及其应用引言：本节课介绍平面法向量的三种求法,并对平面法向量在高中立体几何中的应用作归纳和总结。
其中重点介绍外积法求平面法向量的方法，因为此方法比内积法更具有优越性,特别是在求二面角的平面角方面。
此方法的引入，将对高考立体几何中求空间角、求空间距离、证明垂直、证明平行等问题的解答变得快速而准确，那么每年高考中那道12分的立体几何题将会变得更加轻松。
一、平面的法向量→→1、定义：如果a⊥α，那么向量a叫做平面α的法向量。
平面α的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。
2、平面法向量的求法ρρϖ方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面α的法向量n=(x,y,1)[或n=(x,1,z)，或n=(1,y,z)]，在平ρρρρρρρ面α内任找两个不共线的向量a,b。
由n⊥α，得n⋅a=0且n⋅b=0，由此得到关于x,y的方程组，解此方程组即可ρ得到n。
方法二：任何一个x,y,z的一次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是x,y,z的一次方程。
→Ax+By+Cz+D=0(A,B,C不同时为0)，称为平面的一般方程。
其法向量n=(A,B,C);若平面与3个坐标轴的交点为P1(a,0,0),P2(0,b,0),P3(0,0,c),如图所示,则平面方程为:为一般式即可求出它的法向量。
xa+yb+zc=1,称此方程为平面的截距式方程，把它化方法三(外积法): 设 , 为空间中两个不平行的非零向量，其外积a⨯b 为一长度等于|a||b|sinθ，（θ→→→→为,两者交角，且0<θ<π），而与, 皆垂直的向量。
通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由→的方向转为→的方向时，大拇指所指的方向规定为a⨯b的方向,a⨯b=-b⨯a。
→→→→→→→→x1z1x1y1⎫⎛y1z1⎪,-,设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则:a⨯b=yx2z2x2y2⎪⎝2z2⎭（注：1、二阶行列式:M=→→acbd=ad-cb；2、适合右手定则。
(完整版)整理法向量的快速求法
法向量的快速求法在数学考试过程中，大部分同学往往因为时间不够而没法做完一份完整的试卷，有些同学也因为时间不够，计算速度加快而出现计算错误等原因导致失分，所以能够简便而快速的算出结果是很多同学梦寐以求的。
用向量方法做立几题，必须会的一种功夫是求平面的法向量。
不少理科同学为经常算错平面的法向量而苦恼，下面介绍一种快速求平面的法向量方法。
新教材对平面几何的要求，重点在于求平面的法向量，常见的待定系数法解方程组，运算量大，学困生容易算错，最简单快捷的方法是行列式法。
结论：向量a r ＝(x 1，y 1，z 1)，b r＝(x 2，y 2，z 2)是平面α内的两个不共线向量，则向量n r＝(y 1z 2－y 2z 1，－(x 1z 2－x 2z 1)，x 1y 2－x 2y 1)是平面α的一个法向量.如果用二阶行列式表示，则n r ＝(1122y z y z ，－1122x z x z ，1122x y x y ) ，这更便于记忆和计算.结论证明（用矩阵与变换知识可以证明，此处略去），但你可以验证 n r一定满足0m a m b ⎧•=⎪⎨•=⎪⎩u r r ur r ⇔1112220x x y y z z x x y y z z ++=⎧⎨++=⎩； 而且∵a r 、b r 不共线，∴n r 一定不是0r.怎样用该结论求平面的法向量呢？举例说明.例、向量a r ＝(1，2，3)，b r＝(4，5，6)是平面α内的两个不共线向量，求平面α的法向量解：设平面α的法向量为n r＝(x ，y ，z )，则00n a n b ⎧•=⎪⎨•=⎪⎩r r r r ⇒2304560x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩ 令z ＝1，得n r＝(1，－2，1).注意：① 一定按上述格式书写，否则易被扣分.② n r的计算可以在草稿纸上完成，过程参照右边“草稿纸上演算过程”.而在运算的过程中往往会碰到在一个平面中的两个向量的坐标中会有一个坐标轴的数字为0，这时候也可以用下面这种方法来运算。
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法向量的快速求法
在数学考试过程中，大部分同学往往因为时间不够而没法做完一份完整的试卷，有些同学也因为时间不够，计算速度加快而出现计算错误等原因导致失分，所以能够简便而快速的算出结果是很多同学梦寐以求的。
用向量方法做立几题，必须会的一种功夫是求平面的法向量。
不少理科同学为经常算错平面的法向量而苦恼，下面介绍一种快速求平面的法向量方法。
新教材对平面几何的要求，重点在于求平面的法向量，常见的待定系数法解方程组，运算量大，学困生容易算错，最简单快捷的方法是行列式法。
结论：向量a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)是平面α内的两个不共线向量，则向量n ＝(y 1z 2－y 2z 1，－(x 1z 2－x 2z 1)，x 1y 2－x 2y 1)是平面α的一个法向量.
如果用二阶行列式表示，则
n ＝(
1122y z y z ，－1
122x z x z ，1
12
2
x y x y ) ，这更便
于记忆和计算.
结论证明（用矩阵与变换知识可以证明，此处略去），但你可以验证 n 一定满足
m a m b ⎧•=⎪⎨
•=⎪⎩⇔111222
0x x y y z z x x y y z z ++=⎧⎨++=⎩； 而且∵a 、b 不共线，∴n 一定不是0.
怎样用该结论求平面的法向量呢？举例说明. 例、向量a ＝(1，2，3)，b ＝(4，5，6)是平面
α内的两个不共线向量，求平面α的法向量
解：设平面α的法向量为n ＝(x ，y ，z )，
则0
n a n b ⎧•=⎪⎨•=⎪⎩⇒2304560x y z x y z ++=⎧⎨
++=⎩ 令z ＝1，得n ＝(1，－2，1).
注意：
① 一定按上述格式书写，否则易被扣分. ② n 的计算可以在草稿纸上完成，过程参照
右边“草稿纸上演算过程”.
a ＝(1，2，
b ＝(4，5，交叉相乘的差就是求y 时，a 、b 的纵坐标就不参与运算，a ＝(1，2，b ＝(4，5，6)
交叉相乘的差的时，a 、b 的竖坐标就不参与运算，a ＝(1，2，b ＝(4，5，6)
交叉相乘的差就是
∴n ＝(－3，6
而在运算的过程中往往会碰到在一个平面中的两个向量的坐标中会有一个坐标轴的数字为0，这时候也可以用下面这种方法来运算。
向量a ＝(x 1，y 1，0 )，b ＝(x 2，y 2，z 2)是平面α内的两个不共线向量，设平面α的法向量为n ，先由0=⋅n a ，直接设),,(11n z x y -=或),,(11n z x y -=；再通过0=⋅，可得等式022112=+-z z y x y x n 或022112=++-z z y x y x n ，从而求得n z ，再根据需要将法向量n 化简。
例、 向量a ＝(1，2，3)，b ＝(4，5，0)是平面α内的两个不共线向量，求平面α的法向量。
解：∵向量b 中含有一个0，
∴设),4,5(z n -=或),4,5(z n -=，由0=⋅n a 得034215=⋅+⋅+⋅-z 或03)4(215=⋅+-⋅+⋅z 求得1-=z 或1=z 。
设)1,4,5(--=n 或)1,4,5(-=n
此方法有一定局限性，当平面中的两个向量坐标中都找不到0的时候，此方法就难以用上。