快速求平面的法向量

快速求平面的法向量

用向量方法做立几题，必须会的一种功夫是求平面的法向量。不少理科同学为经常算错平面的法向量而苦恼，下面介绍一种快速求平面的法向量方法，简直就是秒杀。

结论：向量a r ＝(x 1，y 1，z 1)，b r

＝(x 2，y 2，z 2)是平面α内的两个不共线向量，则向量 n r

＝(y 1z 2－y 2z 1，－(x 1z 2－x 2z 1)，x 1y 2－x 2y 1)是平面α的一个法向量.

如果用二阶行列式表示，则

n r ＝(1

12

2

y z y z ，－

112

2

x z x z ，

112

2

x y x y ) ，这更便

于记忆和计算.

结论证明（用矩阵与变换知识可以证明，此处

略去），但你可以验证 n r

一定满足0

m a m b ⎧•=⎪⎨•=⎪⎩u r r u

r r ⇔111222

00x x y y z z x x y y z z ++=⎧⎨++=⎩； 而且∵a r 、b r 不共线，∴n r 一定不是0r

.

怎样用该结论求平面的法向量呢？举例说明.

例、向量a r ＝(1，2，3)，b r

＝(4，5，6)是平

面α内的两个不共线向量，求平面α的法向量

解：设平面α的法向量为n r

＝(x ，y ，z )，

则00n a n b ⎧•=⎪⎨•=⎪⎩r r r r ⇒2304560x y z x y z ++=⎧⎨

++=⎩ 令z ＝1，得n r

＝(1，－2，1).

注意：

① 一定按上述格式书写，否则易被扣分.

② n r

的计算可以在草稿纸上完成，过程参照右边“草稿纸上演算过程”.