高中数学--空间向量之法向量求法及应用方法
法向量求法及应用方法
法向量求法及应用方法法向量是指与一些曲面上的每一点的切平面垂直的向量。
在三维空间中，法向量可以方便地描述曲面的几何特征和方向。
一、法向量的求法：1.平面的法向量：平面的法向量可以通过两个不平行的向量叉积得到。
设平面上两个向量为a和b，法向量n=a×b。
2.曲面的法向量：曲面的法向量可以通过曲面的方程求得。
常见的曲面方程包括参数方程、隐函数方程和显函数方程。
对于参数方程和隐函数方程，可以通过求偏导数来得到曲面的切向量，然后再将切向量进行标准化得到法向量。
例如，对于参数方程x=x(u,v)，y=y(u,v)，z=z(u,v)，法向量可以通过求∂(x,y,z)/∂(u,v)的叉积来得到。
而对于隐函数方程F(x,y,z)=0，可以通过对F(x,y,z)进行偏导数得到一个方程组，然后解这个方程组来得到法向量。
二、法向量的应用方法：1.曲面法向量的判定：通过计算曲面的法向量可以判断曲面的朝向和几何特征。
例如，在渲染图形时，可以通过曲面的法向量来决定光线对曲面的照射效果，以实现更真实的光影效果。
2.曲面法向量的插值和平滑：在计算机图形学中，通常需要对曲面进行插值和平滑处理。
曲面的法向量可以帮助我们在曲面上进行平滑采样。
例如，在曲面细分中，通过计算曲面的法向量来过滤掉尖锐的细分结果，使得细分结果更加平滑自然。
3.曲面的切平面和法向量的切线：对于空间曲线上的点，可以通过曲线的参数方程求得曲线的切线向量。
而对于空间曲面上的点，可以通过曲面的法向量和曲面上其中一点的切平面求得曲线的切向量。
切平面上的切向量和曲面的法向量垂直，并且与曲线相切。
4.计算曲面的面积和体积：曲面的法向量可以用来计算曲面的面积和体积。
对于平面，面积等于法向量的模长；对于曲面，可以通过对曲面分割成小区域然后计算每个小区域的法向量，并对法向量进行积分得到曲面的面积或体积。
5.平面和曲面的方程：法向量可以帮助我们确定平面和曲面的方程。
对于平面，通过平面上一点和法向量，可以得到平面的方程；对于曲面，通过曲面上一点和法向量，可以得到曲面的方程。
用空间向量法求解立体几何问题典例及解析
用空间向量法求解立体几何问题典例及解析以多面体为载体，以空间向量为工具，来论证和求解空间角、距离、线线关系以及线面关系相关问题，是近年来高考数学的重点和热点，用空间向量解立体几何问题，极大地降低了求解立几的难度，很大程度上呈现出程序化思想。
更易于学生们所接受，故而执教者应高度重视空间向量的工具性。
首先，梳理一下利用空间向量解决立体几何的知识和基本求解方法 一：利用空间向量求空间角 (1)两条异面直线所成的夹角范围：两条异面直线所成的夹角的取值范围是 。
向量求法：设直线,a b 的方向向量为a,b ，其夹角为θ，则有cos ___________.θ= (2)直线与平面所成的角定义：直线与平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角。
范围：直线和平面所夹角的取值范围是 。
向量求法：设直线l 的方向向量为a ，平面的法向量为n ，直线与法向量所成角的余弦值为|cos |___________.θ=直线与平面所成的角为ϕ，则有sin ___________.ϕ=或在平面内任取一个向量m ，则|cos |___________.θ=.(3)二面角二面角的取值范围是 . 二面角的向量求法：方法一：在两个半平面内任取两个与棱垂直的向量，则这两个向量所成的 即为所求的二面角的大小；方法二：设1n ，2n 分别是两个面的 ，则向量1n 与2n 的夹角(或其补角)即为所求二面角的平面角的大小。
二：利用空间向量求空间距离 （1）点面距离的向量公式平面α的法向量为n ，点P 是平面α外一点，点M 为平面α内任意一点，则点P 到平面α的距离d 就是 ，即d =||||MP ⋅n n . （2）线面、面面距离的向量公式平面α∥直线l ，平面α的法向量为n ，点M ∈α、P ∈l ，平面α与直线l 间的距离d 就是MP 在向量n 方向射影的绝对值，即d = .平面α∥β，平面α的法向量为n ，点M ∈α、P ∈β，平面α与平面β的距离d 就是MP 在向量n 方向射影的绝对值，即d =||||MP ⋅n n . （3）异面直线的距离的向量公式设向量n 与两异面直线a 、b 都垂直，M ∈a 、P ∈b ，则两异面直线a 、b 间的距离d 就是MP 在向量n 方向射影的绝对值，即d =||||MP ⋅n n .三：利用空间向量解证平行、垂直关系1：①所谓直线的方向向量，就是指 的向量，一条直线的方向向量有 个。
空间向量及应用课件-2024届高三数学一轮复习
2
构成基底，排除D；C：若c，a＋b，a－b共面，则c＝λ(a＋b)＋μ(a－b)＝(λ＋μ)a
＋(λ－μ)b，则a，b，c共面，与{a，b，c}为空间向量的一组基底相矛盾，故c，a
＋b，a－b可以构成空间向量的一组基底，C正确．故选C.
3．(教材改编)已知a＝(2，－1，2)，b＝(－4，2，x)，且a∥b，则x
＝________．
－4
解析：∵a∥b，
−4
2
x
∴ ＝ ＝ ，
2
−1 2
∴x＝－4.
4．(易错)已知a＝(2，1，－3)，b＝(－1，2，3)，c＝(7，6，λ)，若
a，b，c三向量共面，则λ＝(
)
A．9
B．－9
C．－3
D．3
答案：B
解析：∵a，b，c三向量共面，
∴存在实数m，n，使得c＝ma＋nb，
u1∥u2⇔∃λ∈R，使得
(a1________________
，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)
u1⊥u2⇔u1·u2＝
a1a2＋b1b2＋c1c2＝0
0⇔________________
u⊥n⇔u·n＝
直线l的方向向量为u＝ l∥α(l⊄α)
a1a2＋b1b2＋c1c2＝0
0⇔__________________
方向向量．
(2)平面的法向量：直线l⊥α平面，取直线l的方向向量a，称向量a为
平面α的法向量．
(3)方向向量和法向量均不为零向量且不唯一．
6．空间位置关系的向量表示
位置关系
l1∥l2
直 线 l1 ， l2 的 方 向 向 量
分别为u1＝(a1，b1，c1)，
u2＝(a2，b2，c2)
空间立体几何坐标法向量法求线面交点坐标-概述说明以及解释
空间立体几何坐标法向量法求线面交点坐标-概述说明以及解释1.引言1.1 概述空间立体几何是数学中的一个重要分支，它研究三维空间中的几何结构和性质。
在空间立体几何中，线和面是两个基本的几何元素，线面交点坐标的求解是一个常见且重要的问题。
本文主要介绍了两种方法来求解线面交点的坐标：坐标法和向量法。
通过这两种方法，可以方便地求解线面交点的坐标，进而解决一些实际问题。
通过本文的学习，读者将能够掌握空间立体几何中线面交点坐标的求解方法，为进一步深入学习和应用空间几何提供了基础。
同时，本文还将探讨线面交点坐标的应用和展望，展示其在现实生活中的重要性和价值。
1.2 文章结构:本文主要分为引言、正文和结论三部分。
引言部分将从概述、文章结构和目的三个方面介绍本文的主要内容和研究背景。
正文部分将分为三个小节，首先是关于空间立体几何概念的介绍，接着是详细讨论如何利用坐标法求解线面交点坐标的方法，最后则是向量法求解线面交点坐标的具体过程。
结论部分将总结本文的主要观点和研究成果，探讨该方法的应用前景，并进行最终的结语。
1.3 目的:本文旨在介绍如何利用空间立体几何中的坐标法和向量法来求解线面交点坐标的方法。
通过深入讨论这两种方法的原理和步骤，我们希望读者能够更加深入地理解空间几何中的相关概念，并能够灵活运用这些方法解决实际问题。
通过掌握线面交点坐标求解的技巧，读者能够提升空间几何解题的效率和准确性，同时也能够为进一步学习和研究提供一定的参考和指导。
希望本文能够为读者提供一定的启发和帮助，让大家在空间几何学习中取得更好的成绩和收获。
2.正文2.1 空间立体几何概念空间立体几何是几何学中研究三维空间中图形与几何体的一门学科，是平面几何的延伸和拓展。
在空间立体几何中，我们不再局限于研究平面上的图形，而是考虑到三维空间中的物体和结构。
在空间立体几何中，我们研究的主要对象包括点、线、面和体。
点是空间中的一个位置，用于确定空间中的一个具体位置；线是由无数个点按照一定规律连成的直线段；面是由无数个点和线按照一定规律组成的平面图形；而体则是由无数个面组成的一个三维实体。
法向量1
A
B
x
F E
Dy
C
小结：
想想看，这节课我们都学到了什么？ 1、怎么求法向量？ 2、利用法向量证明平行与垂直问题
作业：练习册：47-48页
目标：
会求法向 量并用法 向量解题
请各位老师批评指正 谢谢
课前小测答案：
1、 a b x1x2 y1 y2 z1z2
2、a b 0
3、 E(1, 1 ,2) F 1 ,1,1
2、线面垂直性质定理： （1）垂直于同一平面的直线互相平行 （2）垂直面的直线，垂直面内所有直线
目标：
会求法向 量并用法 向量解题
3、线面平行判定定理：不在面内直线平行面内一条直线， 则线面平行
4、面面平行判定定理：两条相交直线平行于同一个 平面，则两个平面平行
新知教学
1、已知平面 ，如果向量 n 的基线与
即xy
y z
赋值：x 1 n (1,1,1)
步骤1-2-1
目标：
会求法向
（1）设 n x, y, z
量并用法 向量解题
（2）找出平面内不共
线向量 v1,v2
n
v1
0
n v2 0
（3）解方程组，赋值
应用1 ：ABCD是直角梯形，ABC SA 平面ABCD SA AB BC 1 AD
x2 y2 z2 1 法向量是否
n (1,1,1)
唯一？
思考：求平面ABC的单位法向量坐标
求法向量方法
设法向量 n x, y, z
AB （1，1，0） BC 0，1，1
n AB 0 n BC 0
x y 0 y z 0
课件 1.4空间向量的应用-高中数学选择性必修1
证明：
z
以B为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
设
A(0,
0,
a)，则易得
B(0,
0,
0)，C
23a，
23a，0，D(0,
3a, 0)，
E
43a，
43a，2a，Байду номын сангаас(0，
23a，2a)，
故―AB→＝(0, 0,
－a)，―BC→＝
23a，
23a，0.
y x
设平面ABC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
证明：
如图以 D 为坐标原点，DA、DC、DD1 所在的直线分别 为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系.设棱长为 2，
―BG→＝(－2, 0, 1)，―BD→＝(－2, －2, 0)，
y
设平面GBD的一个法向量为n＝(x，y，z)，
x
则― ―BBGD→ →··nn＝ ＝00， ， ∴－ －22xx＋ －2z＝y＝0，0，
z O1
由已知得 A －12，0，0，B 21，0，0，C 0， 23，0，
O
N 0， 23，14，B1 21，0，1，
x
y
∵M为BC中点，
∴M41， 43，0.
∴―M→N·―A→B 1＝－14＋0＋14＝0.
应用探究
【例】如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，
G为CC1的中点. 求证：A1O⊥平面GBD. z
∴u＝12，∴n＝1，－12，12.
综上，平面 SCD 的法向量为 n＝(1，－12，12)， 平面 SBA 的法向量为―AD→＝(12，0,0).
y x
知识海洋
用向量法判断垂直关系
法向量的妙用
法向量的妙用现行高中数学教科书第二册（下B ）第九章提到了法向量的定义：如果向量⊥平面α，那么向量叫做平面α的法向量。
但是对于法向量在立体几何中的运用却没有详细介绍，其实灵活运用法向量去求解某些常见的立几问题如“求点到平面的距离”、“求异面直线间的距离”、“求直线与平面所成的角”、“求二面角的大小”、“证明两平面平行或垂直”等是比较简便的，现介绍如下：一、求点到平面的距离设A 是平面α外一点，AB 是α的一条斜线，交平面α于点B ，而是平面α的法向量，那么向量在方向上的正射影长就是点A 到平面α的距离h ， 所以|||cos<，||n ※例1：已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是B 1C 1和C 1D 1的中点，求点A 1到平面DBEF 的距离。
解：如图建立空间直角坐标系，＝（1，1，0） ，＝（0，21，1）， 1DA ＝（1，0，1）设平面DBEF 的法向量为n ＝（x ，y ，z ），则有：⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0即 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+021z y y x 令x ＝1, y=－1, z=21, 取＝（1，－1，21），则A 1到平面DBEF 的距离||1n =1 注：此题A 1在平面DBEF 的射影难以确定，给求解增加难度，若利用（※）式求解，关键是求出平面DBEF 的法向量。
这里根据线面垂直的判定定理，设＝（x ，y ，z ），通过建立方程组求出一组特解。
二、求异面直线间的距离假设异面直线a 、b ，平移直线a 至a*且交b 于点A ，那么直线a*和b 确定平面α，且直线a ∥α，设n 是平面α的法向量，那么n ⊥a ，n ⊥b 。
所以异面直线a 和b 的距离可以转化为求直线a 上任一点到平面α的距离，方法同例1。
例2：已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，求直线DA 1和AC 间的距离。
解：如图建立空间直角坐标系，则AC ＝（－1，1，0），1DA ＝（1，0，1） 连接A 1C 1，则A 1C 1∥AC,设平面A 1C 1D 的法向量为n ＝（x ，y ，z ）,由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅001DA n AC n 可解得n ＝（1，1，－1），又1AA ＝（0，0，1） 所以点A 到平面A 1C 1D 的距离为||1n =33，即直线DA 1和AC 间的距离为33。
法向量的算法与举例
法向量的算法与举例摘要高中数学中的向量作为沟通代数与几何的桥梁，大大简化了几何问题的运算量。
然而在高中数学体系中，几何占有很重要的地位，有些几何问题用常规的方法去解决往往比较繁杂，而运用向量能使过程得到大大的简化。
[1]用向量法解决几何问题有着思路清晰、过程简洁的优点。
[2]在立体几何中常用法向量来解决距离问题，夹角问题，于是求法向量又是一个新问题。
如果能够掌握平面法向量的快速求法，那么在解决立体几何问题中一定会有事半功倍之效。
关键词：法向量；矩阵；行列式；速算一、法向量的定义如果向量平面，那么向量叫做平面的法向量。
由定义可知，法向量并不是唯一的，以致只要是与平面互相垂直的向量都可以作为平面的法向量。
二、法向量的算法1、待定系数法求法向量与举例在给定的空间直角坐标系中，设平面的法向量 [或，或 ]，在平面内任找两个不共线的向量。
由，得且，由此得到关于的方程组，解此方程组即可得到 .具体步骤如下：①联立方程②消元求解③得出结论举例：如果，那么与的法向量为?解：设，因为，，则，，得，①-②得，，取，，（注意：给其中一个字母取一个不为零的值）。
例1 如图，在四棱锥S－ABCD中，S A⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，S A ＝AB＝2，∠BAD＝60°，E是PA的中点．(1)求证：直线S C∥平面BDE；证明设AC∩BD＝O.因为∠BAD＝60°，AB＝2，底面ABCD为菱形，s所以BO＝1，AO＝CO＝，AC⊥BD.如图，以O为坐标原点，以OB，OC所在直线分别为x轴，y 轴，过点O且平行于S A的直线为z轴，建立空间直角坐标系O－xyz，则S(0，－，2)，A(0，－，0)，B(1,0,0)，C(0，，0)，D(－1,0,0)，E(0，－，1)．(1)设平面BDE的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，因为BE＝(－1，－，1)，BD＝(－2,0,0)，由得令z1＝，得y1＝1，所以n1＝(0,1，)．又＝(0,2，－2)，所以·n1＝0＋2－2＝0，即⊥n1，又，所以S C∥平面BDE.例 2 如图，在直三棱柱ADE—BCF中，面ABFE和面ABCD都是正方形且互相垂直，M为AB的中点，O为DF的中点．运用向量方法证明：(1)OM∥平面BCF；(2)平面MDF⊥平面EFCD.解：（1）略( 2)建系如右图，设平面MDF与平面EFCD的一个法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)．∵DF＝(1，－1,1)，DM＝，DC＝(1,0,0)，由n1·DF＝n1·DM＝0，得解得令x1＝1，则n1＝.同理可得n2＝(0,1,1)．∵n1·n2＝0，∴平面MDF⊥平面EFCD.1.行列式法求法向量与举例向量＝(x，y，z )，＝(x，y，z )是平面内的两个不共线向量，则向量＝(y z－y z，－(x z－x z )，x y－x y )是平面的一个法向量.如果用二阶行列式表示，则＝(，－， ) ，这更便于记忆和计算.（注：1、行列式:；2、纵坐标前边要加一个负号）.具体步骤：①竖着列出平面内的两个不共线向量②算出法向量的三个坐标（要算横坐标，就把已知两个向量的横坐标那一列遮起来用纵坐标和竖坐标求，其它坐标相同的求法）③得到平面的法向量。
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高中数学空间向量之--平面法向量得求法及其应用
一、平面得法向量
１、定义:如果,那么向量叫做平面得法向量。
平面得法向量共有两大类(从方向上分),无数条。
2、平面法向量得求法
方法一(内积法):在给定得空间直角坐标系中,设平面得法向量[或,或］,在平面内任找两个不共线得向量。
由,
得且,由此得到关于得方程组,解此方程组即可得到。
方法二:任何一个得一次次方程得图形就是平面;反之,任何一个平面得方程就是得一次方程。
,称为平面得一般
方程。
其法向量;若平面与3个坐标轴得交点为,如图所示,则平面方程为:,称此方程为平面得截距式方程,把它化
为一般式即可求出它得法向量。
方法三(外积法): 设 , 为空间中两个不平行得非零向量,其外积为一长度等于,(θ为,两者交角,且),而与,
皆垂直得向量。
通常我们采取「右手定则」,也就就是右手四指由得方向转为得方向时,大拇指所指得方向规
定为得方向,。
(注:1、二阶行列式: ;２、适合右手定则、)
例1、Array试求
Ｋey: (
例2、
求平面A
二、
1、
(1)
A
图2-１
图2—1
(2)
(图
(图２
两个平
得平面
平面而言向内;在图2—3中,得方向对平面而言向内,得方向对平面而言向内。
我们只要用两个向量得向量积(简称“外积”,满足“右手定则")使得两个半平面得法向量一个向内一个向外,则这两个半平面得法向量得夹角即为二面角得平面角。
2、 求空间距离
(1)、异面直线之间距离:
方法指导:如图2－4,①作直线a 、b 得方向向量、, 求a 、b 得法向量,即此异面直线a 、b 得公垂线得方向向量; ②在直线a 、b 上各取一点A 、Ｂ,作向量;
③求向量在上得射影ｄ,则异面直线a 、b 间得距离为 ,其中
(2)、点到平面得距离:
方法指导:如图2－5,若点B 为平面α外一点,点A 为平面α内任一点,平面得法向量为,则点P 到 平面α得距离公式为 (3)、直线与平面间得距离:
方法指导:如图2-6,直线与平面之间得距离: ,其中。
就是平面得法向量 (４)、平面与平面间得距离:
方法指导:如图2－7,两平行平面之间得距离: ,其中。
就是平面、得法向量。
3、 证明
(1)、证明线面垂直:在图2-8中,向就是平面得法向量,
a 得方向向量,证明平面得法向量与直线所在向量共线()。
(2)、证明线面平行:在图2—9中,向就是平面得法向量,线ａ得方向向量
,证明平面得法向量与直线所在向量垂直()。
(3)、证明面面垂直:在图２—10中,就是平面得法向量,面得法向量,证明两平面得法向量垂直()
(4)、证明面面平行:在图2—11中, 向就是平面得法向量,量,证明两平面得法向量共线()。
三、高考真题新解
1、(２０0５全国I,18)(本大题满分12分)
已知如图3－1,四棱锥P —ABCD 得底面为直角梯形,AB ∥DC,底面A ＢＣＤ,
且ＰＡ=AD=DC=ＡB=1,M 就是PB 得中点
(Ⅰ)证明:面ＰＡD ⊥面PC Ｄ; (Ⅱ)求ＡC 与PB 所成得角;
(Ⅲ)求面ＡＭC 与面BMC 所成二面角得大小
解:以A 点为原点,以分别以AD,A Ｂ,AP 为x 轴,ｙ轴,z 轴,建立空间直角坐标系A-xyz 如图所示. ,,设平面P ＡD 得法向量为 ,,设平面PCD 得法向量为 ,,即平面P ＡＤ平面PCD 、 ,,
,,设平在AMC 得法向量为。
又,设平面PCD 得法向量为、 、
面AMC 与面BMC 所成二面角得大小为。
2、(2０0６年云南省第一次统测19题) (本题满分12分) 如图3—2,在长方体ＡB ＣD —A 1B 1C １D 1中, 已知AB ＝A Ａ1=ａ,B C ＝a ,M 就是A Ｄ得中点。
(Ⅰ)求证:AD ∥平面A １BC ;
(Ⅱ)求证:平面Ａ１MC ⊥平面Ａ１B Ｄ１; (Ⅲ)求点Ａ到平面A 1MC 得距离、
解:以Ｄ点为原点,分别以DA,ＤC,DD 1为x 轴,ｙ轴,z 轴,建立空间直角坐标系D －xyz 如图所示。
,,设平面Ａ1BC 得法向量为 又,,,即ＡＤ／/平面A 1B Ｃ. ,,设平面A 1MC 得法向量为: , 又,,设平面A 1B Ｄ1得法向量为: , ,,即平面A １MC 平面Ａ1BD 1、 设点A 到平面A 1MC 得距离为ｄ, 就是平面A 1MC 得法向量, 又,A 点到平面A １MC 得距离为:、
四、 用空间向量解决立体几何得“三步曲”
图
图3-1 C
D
M
A
P
B
(1)、建立空间直角坐标系(利用现有三条两两垂直得直线,注意已有得正、直条件,相关几何知识得综合运用,建立右手系),用空间向量表示问题中涉及得点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题;(化为向量问题) (２)、通过向量运算,研究点、直线、平面之间得位置关系以及它们之间距离与夹角等问题;(进行向量运算) (3)、把向量得运算结果“翻译”成相应得几何意义。
(回到图形问题)。