高一下期末数学试卷(及答案)
2022-2023学年广东省梅州市高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年广东省梅州市高一（下）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数z ＝（1+m ）+（2﹣m ）i （m ∈R ，i 为虚数单位）对应的点在第二象限内，则实数m 的取值范围是（ ） A ．﹣1＜m ＜2B ．m ＜﹣1C ．m ＞2D ．m ＜﹣1或m ＞22．已知|a →|=2，|b →|=3，且a →⊥b →，则|b →−a →|=（ ） A ．1B ．√5C ．√13D ．53．某水果店老板为了了解葡萄的日销售情况，记录了过去10天葡萄的日销售量（单位：kg ），结果如下：43，35，52，65，40，54，49，38，62，57．一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求，店长希望每天的葡萄尽量新鲜，又能60%地满足顾客的需求（在100天中，大约有60天可以满足顾客的需求），每天大约应进（ ）千克葡萄． A ．49B ．51C ．53D ．554．已知a ，b ，c 是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列结论正确的是（ ） A ．若a ⊥b ，a ⊥c ，则b ∥c B ．a ∥α，b ∥α，则a ∥bC ．若a ∥α，b ⊥a ，则b ⊥αD ．若a ⊂α，α∥β，则a ∥β5．十字测天仪广泛应用于欧洲中世纪晚期的航海领域，主要用于测量太阳等星体的方位，便于船员确定位置，如图1所示，十字测天仪由杆AB 和横档CD 构成，并且E 是CD 的中点，横档与杆垂直并且可在杆上滑动，十字测天仪的使用方法如下：如图2，手持十字测天仪，使得眼睛可以从A 点观察，滑动横档CD 使得A ，C 在同一水平面上，并且眼睛恰好能观察到太阳，此时视线恰好经过点D ，DE 的影子恰好是AE ．然后，通过测量AE 的长度，可计算出视线和水平面的夹角∠CAD （称为太阳高度角），最后通过查阅地图来确定船员所在的位置．若在一次测量中，AE ＝60，横档CD 的长度为30，则太阳高度角的正弦值为（ ） A ．417B ．817C ．1317D ．15176．在直角坐标系xOy 中，已知a →=(1，3)，b →=(3，1)，若∀t ∈R ，|a →−λb →|≤|a →−tb →|恒成立，则λ＝（ ）A ．13B ．23C ．25D ．357．如图，三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1中，底面ABC 是边长为6的正三角形，且AA 1＝A 1C 1＝C 1C ＝3，平面AA 1C 1C ⊥平面ABC ，则棱BB 1＝（ ）A ．3√62B ．3√3C ．3D ．3√28．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b ＝2，C =π3，则c 的取值范围为（ ） A ．(2，2√3)B ．(2√3，+∞)C ．(√3，2√3)D ．（2，+∞）二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
北京市第八中学2023-2024学年高一下学期期末练习数学试卷(含部分答案)
北京市第八中学2023-2024学年高一下学期期末练习数学试卷考试时间120分钟，满分150分一､选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知为虚数单位，复数为的共轭复数，则（ ）A.B. 5C. D. 42. 下列函数中，最小正周期为的偶函数是（ ）A.B. C.D. 3. 已知函数,满足,且在内恰有一个最大值点和一个最小值点,则的值为( )A. B. C. D. 4. 已知两条不同的直线，两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）A. 若，则 B. 若，则C. 若，则 D. 若，则5. 在中，角对边分别为，若，且，则（ ）A.B.C.D.6. 关于，对于甲、乙、丙、丁四人有不同判断，甲: 是第三象限角，乙：.丙: ，丁：不小于2，若这人只有一人判断错误，则此人是（ ）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁7. 已知，则“函数的图象关于轴对称”是“”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8. 若单位向量，，满足，（ ）的的i 2(2i),z =+z z 2i z +=πcos y x =2sin y x =sin 2y x =cos y x=()sin (0)f x x ωω=>3()(44f f ππ=3[]44ππ，ω1234,m n ,αβ//,,m n αβαβ⊂⊂//m n ,m n m α⊥⊥//n α,,n n m αβαβ⊥⋂=⊥m β⊥,,//n m m αβαβ⋂=⊂//m nABC V ,,A B C ,,a b c sin cos 2Bb Cc =||||CA CB CA CB +=- A =π6π3π4π2θθ1tan 2θ=tan 21θ>()tan θπ-()tan()f x x ϕ=+()f x y ()k k ϕπ=∈Z a b c 12a b ⋅=- b c ⋅= a c ⋅=A. 0B.C. 0或D. 0或9. 已知函数的部分图象如图所示，，则（ ）A. B. C. D. 10. 在棱长为1的正方体中，，E 是线段（含端点）上的一动点，①；②平面；③三棱锥的体积为定值；④与所成的最大角为.上述命题中正确的个数是（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 已知向量，若向量与垂直，则________.1212-()()πsin (002f x A x A ωϕωϕ=+>><，，()()5,02,D B A ，，0BC CD ⋅=()ππ66f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭()ππ36f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭()ππ66f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭()ππ63f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭1111ABCD A B C D -AC BD O = 1B C 1OE BD ⊥//OE 11AC D 1A BDE -OE 11A C 90︒(1,2),(,1)a b m =-= a b + am =12. 复数与复数在复平面内对应的点分别为，若为坐标原点，则的大小为__________.13. 在△中，角的对边分别是，若，，，则△的面积是 ▲ ．14. 写出一个同时满足下列两个条件的函数__________.①；②恒成立.15. 设函数，，有以下四个结论.①函数是周期函数：②函数的图像是轴对称图形：③函数的图像关于坐标原点对称：④函数存在最大值其中，所有正确结论的序号是___________.三､解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 已知．（1）若为锐角，求值；（2）求的值．17. 如图，在四棱锥中，是正方形，平面，分别是的中点.的12i -3i -,A B O AOB ∠ABC ,,A B C ,,a bc sin A C =30B = 2b =ABC ()f x =()π,2x f x f x ⎛⎫∀∈+=- ⎪⎝⎭R ()π,8x f x f ⎛⎫∀∈≥⎪⎝⎭R ()sin f x x π=()21gx x x =-+()()y f x g x =+()()y f x g x =-()()y f x g x =⋅()()f x yg x =sin(π)2cos αα-=απcos 3α⎛⎫+ ⎪⎝⎭πtan 24α⎛⎫-⎪⎝⎭P ABCD -ABCD PD ⊥,ABCD PD AB =,,E F G ,,PC PD BC（1）求证：；（2）求证：平面.18. 在中，.（1）求的大小；（2）再从下列三个条件中，选择两个作为已知，使得存在且唯一，求的面积.条件①：；条件②：③：.注：如果选择条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.19. 已知函数，且_____．从以下三个条件中任选一个，补充在上面条件中，并回答问题：过点函数图象与直线的两个相邻交点之间的距离为函数图象中相邻的两条对称轴之间的距离为．（1）求函数的单调递增区间；（2）设函数，则是否存在实数，使得对于任意，存在，成立若存在，求实数的取值范围若不存在，请说明理由．20. 如图，四棱锥中，平面∥是的中点.的PC AD ⊥PA P EFG ABC V ()sin cos 0b A a A C ++=B ∠ABC V ABC V b =AB 1cos 2A =-()22cos2sin cos sin (04)f x x x x x ωωωωω=+-<<①②③①;8π⎛⎝②()f x 0y +=;π③()f x 2π()f x ()2cos 23g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭m 1[0,]2x π∈2[0,]2x π∈()()21m g x f x =-m ;P ABCD -AD ⊥,ABP BC ,90,2,3,,AD PAB PA AB AD BC m E ∠===== PB（1）证明：平面；（2）若二面角的值；（3）若，在线段上是否存在一点，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由.21. 在由个实数组成的行列的数表中，表示第行第列的数（如图是一个3行3列的数表，），记.若满足，且两两不等，则称此表为“阶表”.记.032129341（1）请写出一个“2阶表”；（2）对任意一个“阶表”，若整数，且，求证：为偶数；（3）求证：不存“5阶表”.在⊥AE PBC C AE D --m 2m =ED F BF CE ⊥DF FE()2n n n ⨯≥n n ij a i j 11230,9a a ==()()12121,1i i in j j i j nj r a a a i n c a a a j n =+++≤≤=+++≤≤ {}()1,0,11,ij a i j n ∈-≤≤1212,,,,,,,n n r r r c c c n H {}1212,,,,,,,n n n H r r r c c c = H n H [],n n λ∈-n H λ∉λH北京市第八中学2023-2024学年高一下学期期末练习数学试卷 答案一､选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.【1题答案】【答案】A 【2题答案】【答案】A 【3题答案】【答案】D 【4题答案】【答案】D 【5题答案】【答案】A 【6题答案】【答案】D 【7题答案】【答案】B 【8题答案】【答案】D 【9题答案】【答案】A 【10题答案】【答案】A二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.【11题答案】【答案】【12题答案】【答案】7π4【13题答案】【14题答案】【答案】（答案不唯一）【15题答案】【答案】②④三､解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.【16题答案】【答案】（1（2）【17题答案】【答案】（1）证明略 （2）证明略【18题答案】【答案】（1） （2）略【19题答案】【答案】（1）； （2）存在，.【20题答案】【答案】（1）证明略 （2） （3）存在，【21题答案】【答案】（1）略 （2）证明略（3）证明略3πsin(2)4x -7π4B ∠=3[,](Z)88k k k ππππ-+∈[0,21m =2DF FE=。
2023-2024学年宁夏回族自治区银川一中高一下学期期末考试数学试卷+答案解析
2023-2024学年宁夏回族自治区银川一中高一下学期期末考试数学试卷❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，，，则的值为()A.4B.15C.7D.32.已知是三个不同的平面，是两条不同的直线，则下列命题正确的是()A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则3.如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为和，样本标准差分别为和，则()A.，B.，C.，D.，4.已知为随机事件，A与B互斥，B与C互为对立，且，则()A. B.C. D.5.如图，在直三棱柱中，，点D 为BC 的中点，则异面直线AD 与所成的角为()A. B. C. D.6.某兴趣小组有3名男生和2名女生，现从中选2人参加公益活动，则至少选中一名女生的概率为()A. B.C.D.7.已知的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且，，则面积的最大值为()A.B.C.D.8.《九章算术商功》：“斜解立方，得两壍堵.斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之棊，其形露矣.”即将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图所示为鳖臑，平面ABC ，，E ，F 分别在棱VB ，VC 上，且，若，则三棱锥外接球的体积为()A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.某市7天国庆节假期期间的楼房认购量单位：套与成交量单位：套的折线图如图所示，则以下说法错误的是()A.成交量的中位数是16B.日成交量超过日平均成交量的有1天C.认购量越大，则成交量就越大D.认购量的第一四分位数是10010.已知事件A，B相互独立，且，，则()A. B.C. D.11.已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，母线长为，则()A.圆台的高为2B.圆台的侧面积为C.圆台的体积为D.圆台的轴截面面积为12.如图，正方体的棱长为4，F是侧面上的一个动点含边界，点E在棱上，且，则下列结论正确的有()A.平面被正方体截得截面为三角形B.若，直线C.若F在上，的最小值为D.若，点F的轨迹长度为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023-2024学年安徽省六安一中高一(下)期末数学试卷+答案解析
2023-2024学年安徽省六安一中高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数为纯虚数，则复数z的共轭复数为()A. B.2024i C. D.2025i2.已知向量，若，则()A. B. C.1 D.23.已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是()A.，，B.，，C.，，D.，，4.某不透明的袋中有3个红球，2个白球，它们除颜色不同，质地和大小都完全相同.甲、乙两同学先后从中各取一个球，先取的球不放回，则他们取到不同颜色球的概率为()A. B. C. D.5.已知样本数据，，，…，的平均数为x，方差为，若样本数据，，，…，的平均数为，方差为，则平均数()A.1B.C.2D.6.已知，，，则M到直线AB的距离为()A. B. C.1 D.7.PA，PB，PC是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线PC与平面PAB所成角的正弦值是()A. B. C. D.8.中国古代数学瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上、下底面均为扇环形的柱体扇环是指圆环被扇形截得的部分现有一个如图所示的曲池，其中底面ABCD，底面扇环所对的圆心角为，扇环对应的两个圆的半径之比为1：2，，，E是的中点，则异面直线BE与所成角的余弦值为()A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.2021年11月10日，中国和美国在联合国气候变化格拉斯哥大会期间发布《中美关于在21世纪20年代强化气候行动的格拉斯哥联合宣言》以下简称《宣言》承诺继续共同努力，并与各方一道，加强《巴黎协定》的实施，双方同意建立“21世纪20年代强化气候行动工作组”，推动两国气候变化合作和多边进程．为响应《宣言》要求，某地区统计了2020年该地区一次能源消费结构比例，并规划了2030年一次能源消费结构比例，如图所示：经测算，预估该地区2030年一次能源消费量将增长为2020年的倍，预计该地区()A.2030年煤的消费量相对2020年减少了B.2030年天然气的消费量是2020年的5倍C.2030年石油的消费量相对2020年不变D.2030年水、核、风能的消费量是2020年的倍10.下列对各事件发生的概率判断正确的是()A.某学生在上学的路，上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为B.三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，，，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为C.从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是D.设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率是11.如图，已知正方体的棱长为1，P为底面ABCD内包括边界的动点，则下列结论正确的是()A.不存在点P，使平面B.三棱锥的体积为定值C.若，则P点在正方形底面ABCD内的运动轨迹长为D.若点P是AD的中点，点Q是的中点，过P，Q作平面平面，则平面截正方体的截面面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
云南省大理白族自治州2023-2024学年高一下学期7月期末考试 数学含答案
2023~2024学年下学期大理州普通高中质量监测高一数学试卷（答案在最后）（全卷四个大题，共19个小题，共4页；满分150分，考试用时120分钟）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号等在答题卡上填写清楚，并认真核准条形码上的相关信息，在规定的位置贴好条形码.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3.非选择题用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.第I 卷（选择题，共58分）一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若复数()32i iz =-，则z =（）A.25B.5C.D.22.设全集U =R ，集合{}{}13,0,1,2,3,4,5A x x B =-<≤=，则()U B A ⋂=ð（）A.{4,5}B.{0,4,5}C.{3,4,5}D.{0,1,3,4,5}3.已知向量()4,3a = ，则与向量a 同向的单位向量的坐标为（）A.34,55⎛⎫-⎪⎝⎭B.43,55⎛⎫⎪⎝⎭C.43,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭ D.34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭4.设l 是直线，α，β是两个不同平面，则下面命题中正确的是（）A.若//l α，l //β，则//αβB.若//l α，l β⊥，则αβ⊥C .若l β⊥，αβ⊥，则//l αD.若//l α，αβ⊥，则l β⊥5.已知5sin cos θθ=，则23sin sin cos θθθ-=（）A.15-B.15C.113-D.1136.抛掷一枚质地均匀的硬币n 次，记事件A =“n 次中既有正面朝上又有反面朝上”，事件B =“n 次中至多有一次正面朝上”，下列说法不正确的是（）A.当2n =时，()12P A =B.当2n =时，()34P B =C.当3n =时，()34P A =D.当4n =时，()34P A =7.如图，在ABC 中，点O 是BC 边的中点，过点O 的直线分别交射线,AB AC 于不同的两点,M N .设,AB mAM AC nAN ==，则mn 的最大值为（）A.12B.1C.D.28.设函数()f x 的定义域为,(1)2y f x =-+R 为奇函数，(2)y f x =-为偶函数，若(2024)5f =-，则(2)f -=（）A.1B.1- C.0D.3-二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.设函数()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（）A.()f x 的最小正周期为πB.()f x 的图象关于直线π6x =对称C.()f x 的一个零点为π6x =-D.()f x 的最大值为110.已知ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，则下列结论正确的是（）A.若A B >，则a b>B.若sin sin A B >，则cos cos A B <C.若ABC 是锐角三角形，则222a b c +<D.若sin cos sin cos A A B B =，则ABC 是等腰三角形11.如图，一块边长为4m 的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，下列说法正确的是（）A.当2m x =时，正四棱锥的侧面积为28mB.当2m x =时，正四棱锥的体积为3m 3C.当2m x =时，正四棱锥的外接球半径为m 6D.当2m x =时，若加装正方形的底盖，则在封闭的正四棱锥容器内所能装下最大的球的半径是3m 2第II 卷（非选择题，共92分）三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.设向量()()1,2,,1a b m =-= ，若向量2a b + 与2a b - 平行，则m =__________.13.平均数､中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关.在下图分布形态中，,,a b c 分别对应这组数据的中位数､平均数和众数，则,,a b c 的大小关系为__________.14.周末，小华到崇圣寺三塔景区进行研学活动，他准备测量主塔——千寻塔的高度.如图，小华身高1.7米，他站的地点A 和千寻塔塔底O 在同一水平线上，他直立时，测得塔顶M 的仰角23MCE ∠= （点E 在线段MO 上，CE MO ⊥.忽略眼睛到头顶之间的距离，下同）.他沿线段AO 向塔前进100米到达点B ，在点B 直立时，测得塔顶M 的仰角48MDE∠= ，则可求得塔高MO 为__________米（参考数据sin23sin48sin25⎛⎫= ⎪⎝⎭0.68）；若塔顶端包含一个塔尖MN ，且MN 约8米，小华在线段AO 间走动到点P 时，他直立看塔尖MN 的视角最大（即MQN ∠最大），则此时他距离塔身的距离（即QE ）为__________米.四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15.某校全体学生参加消防安全知识竞赛，其成绩全部在60分至100分之间.将数据分成4组：[)[)[)[]60,70,70,80,80,90,90,100，并整理得到如下频率分布直方图：（1）现需了解学生消防安全知识的实际运用水平，用按比例分配的分层随机抽样方法抽取40名学生进行现场问答，则每个区间分别应抽取多少名学生；（2）现需根据学生知识竞赛成绩制定评价标准，评定成绩较高的前20%的学生为优秀，成绩在平均分及其以上但达不到优秀的学生为良好，请根据频率分布直方图估计良好的最低分数线和优秀的最低分数线.（精确到0.1).16.已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且__________.从以下条件中选择一个填入横线后再解答.①222sin sin sin sin sin 0A B C B C ---=；②()2sin cos cos 2sin sin sin sin A B C B C A B C -=+.（1）求角A ；（2）若6,a b c =+=，求ABC 的面积.17.如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，4,,SA SB E F ==分别是,SC BD 的中点，平面SAB ⊥平面ABD .（1）求证：EF //平面SAB ；（2）求直线SA 与BD 所成角的余弦值.18.已知函数()()e e 2x x f x x --=∈R ，函数()()e e 2x xg x x -+=∈R .（1）试判断函数()f x 的奇偶性与单调性（不需证明，写出结论即可），并根据性质求解关于x 的不等式()()2310f x f x +->；（2）类比同角三角函数的平方关系，研究下列问题①已知()11f a =，求()g a 的值；②()()2,[]3x f x m g x ∈-⋅>-R 恒成立，求实数m 的取值范围.19.如图，设,Ox Oy 是平面内相交成(0π)αα<<的两条射线，21,e e分别为,Ox Oy 同向的单位向量，若向量12OP xe ye =+，则把有序数对(),x y 叫做向量在斜坐标系xOy α-中的坐标，记为(),OP x y = .（1）在斜坐标系π3xOy -中，()2,3OM = ，求OM ；（2）在斜坐标系xOy α-中，()()2,1,1,1OP OQ ==- ，且OP 与OQ 的夹角π3θ=.①求α；②,A B 分别在射线,Ox Oy 上，3,,AB E F =为线段AB 上两点，且16AE AB = ，12AF AB = ，求OE OF⋅的最小值及此时OB 的大小.2023~2024学年下学期大理州普通高中质量监测高一数学试卷（全卷四个大题，共19个小题，共4页；满分150分，考试用时120分钟）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号等在答题卡上填写清楚，并认真核准条形码上的相关信息，在规定的位置贴好条形码.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3.非选择题用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.第I 卷（选择题，共58分）一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若复数()32i iz =-，则z =（）A.25B.5C.D.2【答案】C 【解析】【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简，再计算其模.【详解】因为()232i i 2i 3i 23i z =-=-+=+，所以z ==故选：C.2.设全集U =R ，集合{}{}13,0,1,2,3,4,5A x x B =-<≤=，则()U B A ⋂=ð（）A.{4,5}B.{0,4,5}C.{3,4,5}D.{0,1,3,4,5}【答案】A 【解析】【分析】先利用补集的概念求出U A ð，然后利用交集运算求解即可.【详解】由{}13A x x =-<≤可得{1U A x x =≤-ð或3}x >，又{}0,1,2,3,4,5B =，所以(){}4,5U A B ⋂=ð.故选：A.3.已知向量()4,3a = ，则与向量a同向的单位向量的坐标为（）A.34,55⎛⎫-⎪⎝⎭B.43,55⎛⎫⎪⎝⎭C.43,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭ D.34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】由向量a 的坐标除以向量a 的模，可得与向量a同向的单位向量的坐标.【详解】向量()4,3a =，5a = ，所以与向量a同向的单位向量为43,55a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选：B4.设l 是直线，α，β是两个不同平面，则下面命题中正确的是（）A.若//l α，l //β，则//αβB.若//l α，l β⊥，则αβ⊥C.若l β⊥，αβ⊥，则//l αD.若//l α，αβ⊥，则l β⊥【答案】B 【解析】【分析】由线面平行，线面垂直，面面平行，面面垂直的性质逐项判断即可；【详解】A ：若//l α，l //β，则//αβ或相交，故A 错误；B ：若//l α，l β⊥，由线面平行和垂直的性质可得αβ⊥，故B 正确；C ：若l β⊥，αβ⊥，则//l α或l ⊂α，故C 错误；D ：若//l α，αβ⊥，则,l β相交或l //β或l β⊂，故D 错误；故选：B.5.已知5sin cos θθ=，则23sin sin cos θθθ-=（）A.15-B.15 C.113-D.113【答案】C 【解析】【分析】首先求出tan θ，再根据平方关系及同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得.【详解】因为5sin cos θθ=，显然cos 0θ≠，所以sin 1tan cos 5θθθ==，所以2222223sin sin cos 3tan tan 3sin sin cos sin cos tan 1θθθθθθθθθθθ---==++221135513151⎛⎫⨯-⎪⎝⎭==⎛⎫+ -⎪⎝⎭.故选：C6.抛掷一枚质地均匀的硬币n 次，记事件A =“n 次中既有正面朝上又有反面朝上”，事件B =“n 次中至多有一次正面朝上”，下列说法不正确的是（）A.当2n =时，()12P A =B.当2n =时，()34P B =C.当3n =时，()34P A =D.当4n =时，()34P A =【答案】D 【解析】【分析】分2n =和3,4n n ==的情况分别考虑四个选项.【详解】当2n =时，A 表示一正一反，故()1112222P A =⨯⨯=，故A 正确；B 表示两个正面，此时()()11311224P B P B =-=-⨯=，故B 正确；当3n =时，A 表示既有正面朝上又有反面朝上，故()()11111222234P A P A =-=-⨯⨯⨯=，故C 正确；当4n =时，A 表示既有正面朝上又有反面朝上，故()()1111112282227P A P A =-=-⨯⨯⨯⨯=，故D 错误.故选：D.7.如图，在ABC 中，点O 是BC 边的中点，过点O 的直线分别交射线,AB AC 于不同的两点,M N .设,AB mAM AC nAN ==，则mn 的最大值为（）A.12B.1C.2D.2【答案】B 【解析】【分析】根据三点,,O M N 共线求得,m n 的等量关系式，结合基本不等式求得mn 的最大值.【详解】根据题意，1,2BO OC BO BC =∴=，所以1111(),2222AO AB BO AB BC AB BA AC AB AC =+=+=++=+ 又,AB mAM AC nAN ==，所以,1122AO mAM nAN =+ 因为三点,,O M N 共线，所以122m n+=，即2m n +=，由图可知，0,0m n >>，所以2=+≥m n mn ，当且仅当1m n ==时取等号，所以1,mn mn ≤的最大值为1.故选：B.8.设函数()f x 的定义域为,(1)2y f x =-+R 为奇函数，(2)y f x =-为偶函数，若(2024)5f =-，则(2)f -=（）A.1B.1- C.0D.3-【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，利用奇偶函数的定义，结合赋值法思想求出函数()f x 的周期即可求出(2)f -.【详解】由函数(1)2y f x =-+是R 上的奇函数，得(1)2(1)2f x f x --+=---，即(1)(1)4f x f x --+-=-，则(2)()4f x f x --+=-，由(2)y f x =-为偶函数，得(2)(2)f x f x --=-，于是(2)()4f x f x -+=-，显然有()(2)4f x f x ++=-，因此(2)(2)f x f x +=-，即(4)()f x f x +=，函数()f x 的周期为4，由(2024)5f =-，得(0)5f =-，又(2)(0)4f f -+=-，所以(2)4(0)1f f -=--=.故选：A【点睛】方法点睛：抽象函数的奇偶性、对称性、周期性常有以下结论①()()()f x a f b x f x +=-⇒关于2a bx +=轴对称，②()()()2f x a f b x c f x ++-=⇒关于,2a b c +⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，③()()()f x a f x b f x +=+⇒的一个周期为T a b =-，④()()()f x a f x b f x +=-+⇒的一个周期为2T a b =-.二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.设函数()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（）A.()f x 的最小正周期为πB.()f x 的图象关于直线π6x =对称C.()f x 的一个零点为π6x =-D.()f x 的最大值为1【答案】AC 【解析】【分析】根据()()sin f x A x ωϕ=+的性质逐一判断即可.【详解】2ππ2T ==，故A 正确；2π2sin 63f π⎛⎫== ⎪⎝⎭π6x =不是对称轴，故B 错误；π2sin 006f ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，所以π6x =-是()f x 的一个零点，故C 正确；因为振幅2A =，所以()f x 的最大值为2，故D 错误.故选：AC.10.已知ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，则下列结论正确的是（）A.若A B >，则a b>B.若sin sin A B >，则cos cos A B<C.若ABC 是锐角三角形，则222a b c +<D.若sin cos sin cos A A B B =，则ABC 是等腰三角形【答案】AB【解析】【分析】根据大角对大边判断A ，由正弦定理及余弦函数的性质判断B ，利用余弦定理判断C ，利用二倍角公式判断D.【详解】对于A ：因为A B >，根据大角对大边可得a b >，故A 正确；对于B ：因为sin sin A B >，由正弦定理可得a b >，所以A B >，由cos y x =在()0,π上单调递减，所以cos cos A B <，故B 正确；对于C ：若ABC 是锐角三角形，则222cos 02a b c C ab+-=>，所以222a b c +>，故C 错误；对于D ：若sin cos sin cos A A B B =，则sin2sin2A B =，又(),0,πA B ∈，所以()2,20,2πA B ∈，所以22A B =或2π2A B =-，所以A B =或π2A B +=，所以ABC 是等腰三角形或直角三角形，故D 错误.故选：AB11.如图，一块边长为4m 的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，下列说法正确的是（）A.当2m x =时，正四棱锥的侧面积为28m B.当2m x =时，正四棱锥的体积为343m 3C.当2m x =时，正四棱锥的外接球半径为3m 6D.当2m x =时，若加装正方形的底盖，则在封闭的正四棱锥容器内所能装下最大的球的半径是3m 2【答案】ABC【解析】【分析】画出正四棱锥P ABCD -，对于A ，四棱锥的侧面积为4PBC S ，对于B ，求出四棱锥的高PG ，可求出其体积，对于C ，设正四棱锥的外接球的球心为O ，则O 在PG 上，由22OP OA OG AG ==+可求出外接球的半径，对于D ，利用等体积法可求出正四棱锥容器内所能装下最大的球的半径.【详解】用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器如图所示为正四棱锥P ABCD -，对于A ，当2x =时，则2AB BC CD AD ====，设E 为BC 的中点，连接PE ，则,2PE BC PE ⊥=，所以四棱锥的侧面积为2144228m 2PBC S =⨯⨯⨯= ，所以A 正确，对于B ，设AC BD G ⋂=，连接,PG GE ，则PG ⊥平面ABCD ，1GE =，所以22413PG PE GE =-=-=所以四棱锥P ABCD -的体积为31122m 333ABCD S PG ⋅=⨯⨯=正方形，所以B 正确，对于C ，设正四棱锥的外接球的球心为O ，则O 在PG 上，连接OA ，设外接的半径为R ，则,,OA OP R OG R AG ====在Rt OAG △中，222OA OG AG =+，所以)222R R =-+，解得m 6R =，所以C 正确，对于D ，设在封闭的正四棱锥容器内所能装下最大的球的半径为r ，则此球与正四棱锥的每一个面都相切，则11(4)33PBC ABCD ABCD S S r S PG +=⋅ 正方形正方形，所以1(4224)2r ⨯⨯⨯+=，解得m 3r =，所以D 错误，故选：ABC第II 卷（非选择题，共92分）三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.设向量()()1,2,,1a b m =-= ，若向量2a b + 与2a b - 平行，则m =__________.【答案】12-##0.5-【解析】【分析】分别求出向量2,2a b a b +- 的坐标，进而根据平面向量平行的坐标运算即可求出m 的值；【详解】因为向量()()1,2,,1,2(12,4),2(2,3)a b m a b m a b m =-=+=-+-=-- ，若向量2a b + 与2a b -平行，所以0(12)3(2)4m m ---+-⨯=⨯，解得12m =-.故答案为：12-.13.平均数､中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关.在下图分布形态中，,,a b c 分别对应这组数据的中位数､平均数和众数，则,,a b c 的大小关系为__________.【答案】c a b<<【解析】【分析】利用数据往右拖尾，即平均数大于中位数，再利用众数是用最高矩形的中点值来估计，可以判断众数小于中位数，这样即可作出判断.【详解】根据直方图矩形高低以及数据的分布趋势判断，可得出结论：众数是最高矩形的中点横坐标，因此众数在第二列的中点处.因为直方图第一、二、三、四列高矩形较多，且在右边拖尾低矩形有三列，所以中位数大于众数，右边拖尾的有三列，所以平均数大于中位数，因此有c a b <<.故答案为：c a b <<.14.周末，小华到崇圣寺三塔景区进行研学活动，他准备测量主塔——千寻塔的高度.如图，小华身高1.7米，他站的地点A 和千寻塔塔底O 在同一水平线上，他直立时，测得塔顶M 的仰角23MCE ∠= （点E 在线段MO 上，CE MO ⊥.忽略眼睛到头顶之间的距离，下同）.他沿线段AO 向塔前进100米到达点B ，在点B 直立时，测得塔顶M 的仰角48MDE ∠= ，则可求得塔高MO 为__________米（参考数据sin23sin48sin25⎛⎫= ⎪⎝⎭0.68）；若塔顶端包含一个塔尖MN ，且MN 约8米，小华在线段AO 间走动到点P 时，他直立看塔尖MN 的视角最大（即MQN ∠最大），则此时他距离塔身的距离（即QE ）为__________米.【答案】①.69.7②.【解析】【分析】根据题意在DMC 中，由正弦定理可求CM 的值，进而求解ME 的值，即可根据MO ME OE =+即可计算MO ；设QE x =，利用两角差的正切公式，基本不等式可求tan MQN ∠的最大值，即可求解.【详解】因为23MCE ∠= ，48MDE ∠= ，所以25DMC ∠= ，在DMC 中，100m CD =，由正弦定理得，()100sin sin sin 25sin 180CD CM CM DMC CDM MDE ︒︒=⇒=∠∠-∠，所以()100sin 18048100sin 48sin 25sin 25CM ︒︒︒︒︒-==，100sin 48sin 23sin 1000.6868m sin 25ME CM MCE ︒︒︒⋅∴=∠==⨯=， 1.7m OE =所以68 1.769.7MO ME OE =+=+=.因为8MN =，所以60NE =，设()m QE x =，68tan ME MQE x x ∠==，60tan NE NQE x x∠==，所以()tan tan tan tan 1tan tan MQE NQE MQN MQE NQE MQE NQE ∠-∠∠=∠-∠==+∠⋅∠68608686068601x x x x x x -=≤⨯+⋅+，当且仅当6860x x ⨯=，即x =时，MQN ∠最大，所以QE =.故答案为：69.7；.四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15.某校全体学生参加消防安全知识竞赛，其成绩全部在60分至100分之间.将数据分成4组：[)[)[)[]60,70,70,80,80,90,90,100，并整理得到如下频率分布直方图：（1）现需了解学生消防安全知识的实际运用水平，用按比例分配的分层随机抽样方法抽取40名学生进行现场问答，则每个区间分别应抽取多少名学生；（2）现需根据学生知识竞赛成绩制定评价标准，评定成绩较高的前20%的学生为优秀，成绩在平均分及其以上但达不到优秀的学生为良好，请根据频率分布直方图估计良好的最低分数线和优秀的最低分数线.（精确到0.1).【答案】（1）区间[60,70)中应抽4人，区间[70,80]中应抽6人，[80,90)中应抽18人，区间[90,100]中应抽12人（2）良好的最低分数线84.5分，优秀的最低分数线为93.3分【解析】【分析】（1）根据分层抽样按比例得出每个区间分别抽取学生人数；（2）利用平均数和概率公式计算良好的最低分数线和优秀的最低分数线.【小问1详解】依题意，设四个区间人数依次为：a b c d ,,,，则:::2:3:9:6a b c d =所以区间[60,70)中应抽24042396⨯=+++人，区间[70,80]中应抽6人，[80,90)中应抽18人，区间[90,100]中应抽12人.【小问2详解】平均分为0.0110650.01510750.04510850.03109584.5⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，所以良好的最低分数线84.5分由频率分布直方图易得，[]90,100的频率为0.03100.3⨯=，所以成绩优秀的最低分数线落在区间[]90,100中，不妨记为0x ，故()01000.030.2x -⨯=，解得093.3x ≈，所以成绩优秀的最低分数线为93.3分16.已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且__________.从以下条件中选择一个填入横线后再解答.①222sin sin sin sin sin 0A B C B C ---=；②()2sin cos cos 2sin sin sin sin A B C B C A B C -=+.（1）求角A ；（2）若6,a b c =+=，求ABC 的面积.【答案】（1）2π3（2）【解析】【分析】（1）若选①，则利用正弦统一成边的形式，再利用余弦定理可求得答案；若选②，利用三角函数恒等变换公式化简可求得答案；（2）对b c +=bc ，从而可求出三角形的面积.【小问1详解】选①，由222sin sin sin sin sin 0A B C B C ---=，得：222b c bc a ++=，所以222b c a bc +-=-，由余弦定理2221cos 222b c a bc A bc bc +--===-，又0πA <<，所以2π3A =.选②，由2sin cos cos 2sin sin sin sin()ABC B C A B C -=+，得2sin (cos cos sin sin )sin A B C B C A -=，所以2sin cos()sin A B C A +=，因为sin 0A ≠，所以1cos()2B C +=，所以1cos 2A =-，又0πA <<，所以2π3A =.【小问2详解】因为222()248b c b c bc +=++=，所以22482b c bc +=-，因为2π3A =，所以由余弦定理得222222cos a b c bc A b c bc =+-=++，所以2236bc b c -=+，所以48236bc bc -=-，故12bc =，所以11sin 12222ABC S bc A ==⨯⨯= 17.如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，4,,SA SB E F ==分别是,SC BD 的中点，平面SAB ⊥平面ABD .（1）求证：EF //平面SAB ；（2）求直线SA 与BD 所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）只需由中位线定理证明//EF SA ，再结合线面平行的判定定理即可得解；（2）通过平行的传递性将原问题转换为：求EF 与BD 所成的角即为BFE ∠或其补角的余弦值，再结合解三角形相关知识进行求解即可.【小问1详解】如图，因为点F 是正方形ABCD 的对角线BD 的中点，所以,,A F C 三点共线，连结AC ，点F 是对角线,AC BD 的交点，所以F 是AC 的中点，因为E 是SC 的中点，所以//EF SA ，又因为EF ⊄平面SAB ，SA ⊂平面SAB ，所以EF //平面SAB ，【小问2详解】连结BE ，由于平面SAB ⊥平面ABCD ，且平面SAB 平面ABCD AB =，BC AB ⊥，且BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面SAB ，SB ⊂平面SAB ，所以BC SB ⊥，又因为4,2SB BC ==，所以SC =，则12BE SC ==又122EF SA ==，12BF BD ==，异面直线SA 与BD 所成的角为EF 与BD 所成的角即为BFE ∠或其补角，在BEF △中，222cos28BF EF BE BFE BF EF +-∠==⨯⨯，所以异面直线SA 与BD 所成角的余弦值为8.18.已知函数()()e e 2x x f x x --=∈R ，函数()()e e 2x x g x x -+=∈R .（1）试判断函数()f x 的奇偶性与单调性（不需证明，写出结论即可），并根据性质求解关于x 的不等式()()2310f x f x +->；（2）类比同角三角函数的平方关系，研究下列问题①已知()f a =，求()g a 的值；②()()2,[]3x f x m g x ∈-⋅>-R 恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()f x 为奇函数，在R 上为增函数；1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.（2）①m <.【解析】【分析】（1）由奇偶性与单调性的性质即可解出不等式；（2）①观察函数()f x 和()g x 的结构，结合题干提示，计算()()22g x f x ⎡⎤⎡⎤-⎣⎦⎣⎦的值，从而得到()f x 和()g x 的关系式，继而求出()g a 的值；②利用①小问中()f x 和()g x 的关系式，将题干不等式转化为关于()g x 的不等式.结合()g x 的定义和基本不等式得到m 的取值范围.【小问1详解】由题意可知，()f x 的定义域为R ，定义域关于原点对称，()()e e 2x x f x f x ---==-，所以()f x 为奇函数；因为e x y =在R 上单调递增，e x y -=在R 上单调递减，()f x 在R 上为增函数；由()()2310f x f x +->，所以()()()231=13f x f x f x >---，由于()f x 在R 上单调递增，所以213x x >-，解得15x >，所以x 的解集是1,5∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【小问2详解】①()()222222e 2e e 2e 144x x x xg x f x --++-+⎡⎤⎡⎤-=-=⎣⎦⎣⎦.由()f a =()2[]12g a =，而()0g a >，所以()g a =.②由①可知()()221f x g x ⎡⎤⎡⎤=-⎣⎦⎣⎦，所以()()213g x m g x ⎡⎤--⋅>-⎣⎦，即()()22g x m g x ⎡⎤+>⋅⎣⎦，因为e e 2()122x x g x -+=≥=，当e 1x =即0x =时等号成立，所以()1g x ≥.故()2()g x m g x +>.而()2()g x g x +≥()g x =时等号成立，所以m <.19.如图，设,Ox Oy 是平面内相交成(0π)αα<<的两条射线，21,e e 分别为,Ox Oy 同向的单位向量，若向量12OP xe ye =+ ，则把有序数对(),x y 叫做向量在斜坐标系xOy α-中的坐标，记为(),OP x y = .（1）在斜坐标系π3xOy -中，()2,3OM = ，求OM ；（2）在斜坐标系xOy α-中，()()2,1,1,1OP OQ ==- ，且OP 与OQ 的夹角π3θ=.①求α；②,A B 分别在射线,Ox Oy 上，3,,AB E F =为线段AB 上两点，且16AE AB = ，12AF AB = ，求OE OF ⋅ 的最小值及此时OB 的大小.【答案】（1（2）①2π3②最小值为154-，OB =【解析】【分析】（1）由向量数量积的定义以及运算律直接运算即可求解；（2）①分别得出OP =，OQ = ，121e e OP OQ ⋅=-⋅ ，然后列方程求解即可；②得出()2219234OE OF m n ⋅=+- ，再结合正弦定理、余弦定理得出222m n +的最小值以及何时取最小值，即可求解.【小问1详解】因为()2,3OM = ，则1223OM e e =+ ，2212112222(23)412913619e e e e e OM e =+=++=+⋅= ，所以OM = ；【小问2详解】①因为()122,12OP e e ==+ ，()121,1OQ e e =-=-，OP =，OQ = ，()()121212*********OP OQ e e e e e e e e e e ⋅=+⋅-=--⋅+⋅=-⋅ ，则1cos 2OP OQ OP OQθ⋅== ，化简并整理得()21212210e e e e ⋅-⋅-= ，解得121cos 2e e α=-⋅= 或12cos 1e e α==⋅ （舍去，因为0πα<<），则2π3α=；②依题意设1OA me = ，2OB ne =，因为F 为AB 中点，则1211112222OF OA OB me ne =+=+ ，同理()1211516666OE OA AE OA AB OA AO OB me ne =+=+=++=+ ，则()()22222212121156531212OE OF m e n e mne e m n mn ⋅=++⋅=+- ，在OAB 中，2π,33AOB AB ∠==，依据余弦定理得229m n mn +-=-，所以()()2222119842721234OE OF m n m n ⋅=+-=+- 在OAB 中，2π,33AOB AB ∠==，由正弦定理32πsin sin sin 3OA OB OBA OAB ==∠∠，设OAB β∠=，则OB n β==，π3OA m β⎛⎫==- ⎪⎝⎭，2222π2π1cos 22122sin sin 121cos 2332m n ββββ⎡⎤⎡⎤-⎛⎫⎛⎫+=-+=⨯-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦312sin 222β⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，π03β⎛⎫<< ⎪⎝⎭，所以，当π4β=时，222m n +取最小值18-OE OF ⋅取最小值154-，OB n β===.【点睛】关键点点睛：第（2）问②的关键是得出()2219234OE OF m n ⋅=+- ，再结合正弦定理、余弦定理得出222m n +的最小值以及何时取最小值，由此即可顺利得解.。
2023-2024学年广西壮族自治区柳州市高一下学期期末质量检测数学试卷+答案解析
2023-2024学年广西壮族自治区柳州市高一下学期期末质量检测数学试卷❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某市市场监管局为了了解饮料的质量，从该市区某超市在售的50种饮料中抽取了30种饮料，对其质量进行了检查.在这个问题中，30是()A.总体B.个体C.样本D.样本量2.矩形的直观图是()A.正方形B.矩形C.三角形D.平行四边形3.下列说法中正确的是()A.随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率B.在n次随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有确定性C.随着试验次数n的增大，一个随机事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率D.在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和不一定等于14.已知圆锥的侧面展开图是半径为6，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为()A. B. C. D.5.国家队射击运动员小王在某次训练中10次射击成绩单位：环如下：6，5，9，6，4，8，9，8，7，5，则这组数据的第60百分位数为()A. B.7 C. D.86.欧拉恒等式为虚数单位，e为自然对数的底数被称为数学中最奇妙的公式.它是复分析中欧拉公式的特例：当自变量时，，得根据欧拉公式，复数在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限7.如图，在中，，P为CD的中点，则()A. B. C. D.8.如图，在正四面体ABCD中，点E是线段AD上靠近点D的四等分点，则异面直线EC与BD所成角的余弦值为()A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知复数，，则下列说法正确的是()A.若是实数，则与的虚部互为相反数B.若且，则，在复平面内对应的点关于实轴对称C.若，则D.若，则10.已知m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列说法正确的是()A.若，，则B.若，，，则C.若，，则D.若，，，则11.口袋中装有大小质地完全相同的白球和黑球各2个，从中不放回的依次取出2个球，事件“取出的两球同色”，事件“第一次取出的是白球”，事件“第二次取出的是白球”，事件“取出的两球不同色”，则()A. B.A与B相互独立C.A与C相互独立D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
河北邯郸2024年高一下学期期末质检数学试题+答案
邯郸市2023—2024学年第二学期期末质量检测高一数学班级__________姓名__________注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级和考号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.有三组数据（1）5，5，5，6，6，6，7，7，7；（2）4，4，5，5，6，7，7，8，8；（3）3，3，3，3，6，9，9，9，9.设它们的方差依次为222123,,s s s ，则（ ） A.222123s s s >> B.222132s s s >> C.222132s s s << D.222123s s s <<2.在复平面内，非零复数z 满足i z z =（i 为虚数单位），则复数z 对应的点在（ ） A.一､三象限 B.二､四象限C.实轴上（除原点外）D.坐标轴上（除原点外）3.已知向量(),1ab =，且()23a b b +⋅= ，则向量a与向量b 的夹角为（ ）A.π6 B.π4C.π3D.π24.已知ABC 的顶点坐标分别是())(,,0,A BC −，则sin C =（ ）D.5.设,αβ是两个平面，,m l 是两条直线，则下列命题为假命题的是（ ） A.若α∥,,m l βαβ⊥⊥，则m ∥lB.若,,m l m l αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥C.若α∥,,m m βα⊂∥l ，则l ∥βD.若m ∥,,l m l α⊥∥β，则αβ⊥6.在ABC 中，60,2A AB AC ∠==，平面内一点O 满足OA OB OC == ，则向量OC 在向量AB 上的投影向量为（ ）A.14AB AB C.14AB − D.AB7.在三棱锥S ABC −中，SA ⊥平面,4,6ABC ABAC BC ===，若该三棱锥的体积为球的表面积为（ ） A.256π7 B.368π7C.48πD.32π 8.甲､乙两人各有一枚质地均匀的硬币，甲抛掷2次，乙抛掷3次，事件M =“甲抛掷的两次中第一次正面朝上”，事件N =“甲抛掷的两次硬币朝上的面相同”，事件S =“甲得到的正面数比乙得到的正面数少”，则下列说法正确的是（ ）A.M N ⊆B.()()()P M N P M P N ∪=+C.()()P S P N <D.()()P S P M =二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求､全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，9.已知非零向量,,a b c，下列说法错误的是（ ） A.若a a b b ⋅=⋅，则a b =±B.若a b a b +=+，则a b a b ⋅=C.若()2,1,1a b==，且a∥b ，则a =D.若()3,4a =，则与a垂直的单位向量的坐标为43,55 −10.已知复数,z w 均不为0，则下列式子正确的是（ ） A.20z B.zw w z=C.2z z z +=D.11.在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin :sin :sin 4:5:6,A B C D =为线段AC 上一点，则下列判断正确的是（ ） A.ABC 为钝角三角形B.ABC 的最大内角是最小内角的2倍C.若D 为AC 中点，则:BD AC =D.若ABD CBD ∠∠=，则::5BD AC =三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某校高一年级有1250人，全年级学生的近视率为60%，男生中有390人近视.学校医务室计划通过抽样的方法估计高一年级所有近视学生的平均度数.现从近视的学生中通过按比例分配的分层随机抽样的方法得到容量为100的样本，样本中男生的平均度数为300度，女生的平均度数为350度，则估计高一年级近视学生的平均度数为__________度.13.在如图所示的圆锥中，AB 为底面圆O 的直径，C 为 AB 的中点，24AB OP ==，则异面直线AP 与BC 所成角的余弦值为__________.14.已知,OA OB 是同一平面内一组不共线的向量，对于平面内任意向量OP，有且只有一对实数,x y 使OP xOA yOB =+ ，且当,,P A B 共线时，有1x y +=.同样，在空间中若三个向量,,OA OB OC不共面，那么对任意一个空间向量OP，存在唯一的在度实数组(),,x y z ，使得OP xOA yOB zOC =++ ，目当,,,P A B C 共面时，有1x y z ++=.如图，在四棱锥P ABCD −中，BC ∥,2AD AD BC =，点E 是棱PD 的中点､PC 与平面ABE 交于F 点，设PF xPA yPB zPE =++，则PFPC=__________；2y z x +−=__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）为响应“强化学校体育工作，推动学生文化学习和体育锻炼协调发展”的号召，现从某学校随机抽取了100名学生，获得了他们一周体育运动的时间（单位：h ），将数据绘制成如图所示的频率分布直方图.（1）求频率分布直方图中的a ，并估计该校学生一周体育运动时间的平均数；（2）为鼓励同学们积极参加体育运动，学校计划对一周运动时间较长的前30%同学给予奖励，若小华一周体育运动时间为9.4小时，他能否获得奖励？请说明理由. 16.（本小题满分15分）如图，在直三棱柱111A B C ABC −中，2,ABAC D ==为BC 的中点.（1）证明：1A B ∥平面1AC D ；（2）若三棱柱111A B C ABC −的体积为AB BC =，求直线1AC 与平面11BCC B 所成角的正弦值. l 7.（本小题满分15分）如图，在平面四边形ABCD 中，设,,,sin cos BC a AB c AC b a CBA BAC ∠∠====.（1）求sin BAC ∠，（2）若,22AB AC CD AD ===，求ADC ∠为何值时，平面四边形ABCD 的面积最大？ 18.1（本小题满分17分）龙年春晚精彩的魔术表演激发了人们探秘魔术的热情，小明从一幅扑克牌中挑出10和K 共8张牌（每个数字四个花色：红桃（红色）､方块（红色）､黑桃（黑色）､梅花（黑色））.现从8张牌中依次取出2张，抽到一张红10和一张红K 即为成功.现有三种抽取方式，如下表： 方式① 方式② 方式③抽取规则 有放回依次抽取不放回依次抽取按数字等比例分层抽取成功概率1p 2p 3p（1）分别求出在三种不同抽取方式下的成功概率； （2）若三种抽取方式小明各进行一次， （i ）求这三次抽取中至少有一次成功的概率；（ii ）设在三种方式中仅连续两次成功的概率为p ，那么此概率与三种方式的先后顺序是否有关？如果有关，什么样的顺序使概率p 最大？如果无关，请给出简要说明. 19.（本小题满分17分）如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面,ABCD PD DC =，点H 在棱PC 上.（1）证明：平面HAB ⊥平面PAD ； （2）当13CH CP =时，求二面角H DB C −−的正切值； （3）过H 且与,PB CD 都平行的平面α分别交,,BC PD BD 于,,Q M N ，若3PD =，当H 在线段PC 的两个三等分点之间运动时（含三等分点），求四边形MHQN 面积的取值范围.邯郸市2023—2024学年第二学期期未质量检测高一数学参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案DACACCBDACDBDBCD1.D 解析：由对称性可知三组数据的平均数相等，再结合数据的集中与离散程度可知选D. [命题意图]考查方差的意义.2.A 解析：设i z a b =+，由已知得i z z =，即()i i i i,a b a b b a a b +=−=+∴=，故选A. [命题意图]考查复数的运算及几何意义.3.C 解析：(()2,2,22cos ,||4cos ,13a a a b b a b a b b a b =∴=∴+⋅=+=+=，1cos ,2a b ∴= ，又[]π,0,π,,3a b a b ∈∴=，故选C.[命题意图]考查向量的数量积.4.A 解析：方法一：由())(2,0,,0,A BC −，知4,AB AC BC ==定理知222cos 2AC BC AB ACB AC BC∠+−==⋅，所以sin ACB ∠=A.方法二：如图，由())(,,0,A BC −，知π,sin 4ACOBCO BCO∠∠∠==，()sin sin sin cos cos sin ACB ACO BCO ACO BCO ACO BCO∠∠∠∠∠∠∠∴=+=+=，故选A.[命题意图]考查余弦定理及同角三角函数关系. 5.C 解析：C 中由α∥,m βα⊂可得m ∥β，当m ∥l 且满足l β⊂时，不满足l ∥β，故C 错误.[命题意图]考查空间直线､平面间的位置关系. 6.C 解析：在ABC 中，由余弦定理知222,,BC AC BC AB ABC =∴+= 为直角三角形，又OA OB OC == ，故外心O 是斜边AB 的中点，AOC ∴ 为正三角形，由投影向量的几何意义，向量OC 在向量AB 上的投影向量为14AB −，故选C.[命题意图]考查投影向量的定义.7.B 解析：如图，将三棱锥S ABC −补成三棱柱SDE ABC −，则三棱锥S ABC −和三棱柱SDE ABC −的外接球相同，设12,O O 分别为ABC 和SDE 的外心，则三棱柱SDE ABC −的外接球球心O 为12O O 的中点，连接1AO 并延长交BC 于点F ，则F 为BC 的中点，连接AO ，因为AB AC =，所以,sin AFAF BC ABC AB ∠⊥=12sin ACAO ABC ∠==，所以1AO =1132S ABCV BC AF SA −=×⋅⋅=可得4SA =，则222111922,7OO AO AO OO ==+=，则外接球的表面积2368π4π7S AO =⋅=，故选B.[命题意图]考查几何体的体积，外接球等综合问题.8.D 解析：用()1,2i x i =表示甲第i 次抛掷的结果，那么甲抛掷两次的结果可以用()12,x x 表示.用1表示正面向上，0表示反面向上，则样本空间()()()(){}()(){}Ω0,0,0,1,1,0,1,1,1,0,1,1,{(0M N ===，()0),1,1}，故A ，B 错误；对于事件S ，方法一：借助表格列举如下，()0,0,0()0,0,1()0,1,0()1,0,0()1,1,0()1,0,1()0,1,1()1,1,1()0,0√√√√√√√()0,1 √ √ √ √()1,0 √ √ √ √()1,1√()74411322P S +++∴==，又()()12P M P N ==，所以C 错误，D 正确，故选D.方法二：设事件T =“甲得到的反面数比乙得到的反面数少”，则()()P S P T =，下证事件S 与事件T 对立.若事件S 与事件T 同时发生，那么甲的正面数和反面数都比乙的少，那么甲抛的次数至少比乙少两次，与题目矛盾；若事件S 与事件T 都不发生，那么甲的正面数和反面数都不比乙的少，那么甲抛的次数不比乙少，与题目矛盾；故事件S 与事件T 对立，()()12P S P T ∴==，故选D. [命题意图]考查事件的互斥与相互独立的定义，考查古典概型概率的计算.9.ACD 解析：若a a b b ⋅=⋅ ，即22||a b = ，则a b = ，故A 错误；由a b a b +=+ 知,a b 同向共线，则a b a b ⋅=，故B 正确；由a∥b ，设(),a b λλλ== ，又222,4,a a λλλ=∴+=∴=∴=或(a ，故C 错误；设与a垂直的单位向量的坐标为(),x y ，则221,340,x y x y +=+=解得4,535x y = =− 或4,53,5x y=− =故D 错误，故选ACD.[命题意图]考查向量数量积与模的运算､向量的共线与垂直的坐标运算.10.BD 解析：设i z =，则22i 10z ==−<，故A 错误；由复数的模的性质zw z ww zz==，故B 正确；设1i z =+，则1i,||2z z z =−+=，而2z =，故C 错误；222||||||||z z z z z z z ===，又2222||||||||||||z z z z z z z z z ====，故D 正确，故选BD. [命题意图]考查复数及模的运算性质.11.BCD 解析：由题知内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，由正弦定理可知::4:5:6a b c =，不妨设4a m =，则5,6b m c m =，对于A ，由上知c 为最大边，故C 为最大角，由余弦定理知1cos 08C =>，故C 为锐角，所以ABC 为锐角三角形，故A 错误；对于B ，由上知A 为最小角，且3cos 4A =，又1cos 8C =，知3cos 24C =，且,A C 均为锐角，则2C A =，故B 正确；对于C,2BD BA BC =+，平方得()22222222222242cos 2279,2a c b BD c a ac ABC c a ac a c b m BD ac ∠+−=++=++⋅=+−=∴=，又5AC m =，故::10BD AC =，故C 正确；对于D ，由9cos 16B =得sin B =，又29cos 12sin 216B B =−=，所以sin 2B =，由ABCBCD BAD S S S =+ ，即()1146sin 46sin 222Bm m B m m BD ×××=×+××，故BD =，故D 正确，故选BCD. [命题意图]考查三角函数､正余弦定理､解三角形､三角形中线､角平分线的应用.12.324 解析：高一年级女生近视人数为125060%390360×−=，则高一年级近视学生的平均度数为390360300350324750750×+×=. [命题意图]考查分层随机抽样的平均数. 13.12解析：方法一：如图，连接AC ，分别取,PB AC 的中点,D E ，连接,,OD OE DE ，则OD ∥,PA OE ∥BC ，则DOE ∠或其补角为异面直线AP 与BC 所成角，作DF AB ⊥于点F ，连接EF ，由C 为 AB 的中点可得AC BC =，且AC BC ⊥，而4AB =，则3,45AC BC AE AFBAE ∠===== ，由余弦定理可得11,2EF DF OP DE OE OD ===2221cos 22OD OE DE DOE OD OE ∠+−==−⋅，则异面直线AP 与BC 所成角的余弦值为12.方法二：如图，连接,AC PC ，分别取,AC PC 的中点,D E ，连接,,OD DE OE ，则DE ∥,PA OD ∥BC ，则ODE ∠或其补角为PA 与BC 所成角，1122DE PA OD BC ===，Rt POC 中，12OE PC ==，则ODE 为等边三角形，则60ODE ∠= ，即异面直线AP 与BC 所成角的余弦值为12.[命题意图]考查异面直线所成的角. 14.23；2 解析：方法一：1,22z PF xPA yPB zPE xPA yPB PD PC AC AP AB BC AP AB AD AP =++=++=−=+−=+− ，()()111222PB PA PD PA AP PA PB PD =−+−−=−++又,,P F C 三点共线，即存在实数λ，使得PF PC λ= ，故11,,222z x y λλλ=−==，又1x y z ++=，所以23λ=，故1222,,,,223333PF x y z y z x PC λ=−==∴==+−=. 方法二：过P 作l ∥AD ，延长AE 交l 于点.G AD ∥,BC AD ∥,l BC ∴∥l ，连接BG ，与PC 的交点即为21,2,,32PF PG PG AD PE AD PF F PC AC AP AB BC AP AB AD AP FC BC AD BC ED BC PC ∴==⋅=⋅=∴==−=+−=+− ()()111,222PB PA PD PA AP PA PB PD =−+−−=−++ 22113322PF PC PA PB PD ∴==−++ 122221,222333333PA PB PE y z x =−++∴+−=+−×−= . 注：确定F 位置的方法不唯一.[命题意图]考查立体几何与向量的综合运用.15.解：（1）（0.010.020.070.170.070.040.01)21,0.11a a +++++++×=∴= 该校学生一周体育运动时间的平均数的估计值为10.0230.0450.1470.3490.22110.14130.08150.028.08×+×+×+×+×+×+×+×=.（2）不能. ()0.220.30.020.080.14168289.459.40.2211−−+++×=+≈>. 故小华不能获得奖励.[命题意图]考查频率分布直方图及平均数､百分位数的计算.16.解：（1）证明：如图，连接1AC 交1AC 于点O ，连接OD ，则OD 为1ABC 的中位线，OD ∴∥1A B ，又OD ⊂平面11,AC D A B ⊄平面11,AC D A B ∴∥平面1AC D .（2）2AB AC BC === ，111114ABC A B C ABC S V AA −∴===∴= ，D 为BC 的中点，AD BC ∴⊥，又1BB ⊥平面1,ABC BB AD ∴⊥，又1,BB BC B AD ∩=∴⊥平面11BCC B ， 1AC D ∠∴为直线1AC 与平面11BCC B 所成角，1AC =，又AD =11sin AD AC D AC ∠∴=.[命题意图]考查线面平行的判定和线面角.17.解：（1）由已知及正弦定理知sin sin cos BAC CBA CBA BAC ∠∠∠∠⋅=⋅， 因为sin 0CBA ∠≠，故tan BAC ∠=， 又0πBAC ∠<<，所以π3BAC ∠=，所以sin BAC ∠=. （2）由（1）知π3BAC ∠=，又AB AC =，故ABC 为等边三角形， 设(),0,πADC∠θθ=∈. 11sin sin 22ADC ABC ABCD S S S CD AD AB AC BAC θ∠=+=⋅⋅+⋅⋅ 平面四边形221121sin sin 22AC AC θθ=×××+×=+， 在ADC 中，由余弦定理知2222cos 54cos AC CD AD CD AD θθ=+−⋅⋅=−，所以πsin 2sin 3ABCD S θθθ ==+−平面四边形， 又ππ2π,333θ −∈− ，所以当ππ32θ−=，即5π6θ=时，平面四边形ABCD 的面积最大，2+. [命题意图]考查正余弦定理解三角形､三角形面积公式､三角函数求最值.18.解：（1）设方式①的样本空间为1Ω，方式②的样本空间为2Ω，方式③的样本空间为3Ω， 则()()()123Ω8864,Ω8756,Ω444432n n n =×==×==×+×=， 设事件A =“抽到一张红10和一张红K ”，{A =（红桃10，红桃K ），（红桃10，方块K ），（方块10，红桃K ），（方块10，方块K ），（红桃K ，红桃10），（方块K ，红桃10），（红桃K ，方块10），（方块K ，方块10），故()()()()()()123123818181,,Ω648Ω567Ω324n A n A n A p p p n n n =========. （每个2分） （2）（i ）记三次抽取至少有一次成功为事件B ，则()()()()12376371111187416p B p p p =−−−−=−××=. （ii ）有关，按方式②③①或①③②抽取概率最大.方法一：设三次抽取成功的概率分别为,,a b c （即,,a b c 为123,,p p p 不同顺序的一个排列）， 则()()()112p ab c a bc b a c abc =−+−=+−，又()()()321312213123,p p p p p p p p p p p p >>∴+>+>+， 故此概率与三种方式的先后顺序有关，按方式②③①或①③②抽取概率最大. 方法二：若按①②③的顺序，13711574874112p =×+××=， 同理①③②②①③､②③①､③①②③②①顺序下的概率分别为1391395,,,,224224224224112，（每个顺序的 概率值1分）故此概率与三种方式的先后顺序有关，按方式②③①或①③②抽取概率最大.[命题意图]考查古典概型，相互独立事件及其概率运算.19.解：①证明：PD ⊥ 平面,ABCD PD AB ∴⊥，在正方形ABCD 中，,,AB AD PD AD D AB ⊥∩=∴⊥平面PAD ， AB ⊂ 平面HAB ，∴平面HAB ⊥平面PAD .（2）如图，在平面PCD 内过点H 作HG CD ⊥于点G ，则HG ∥PD ， 又PD ⊥平面,ABCD HG ∴⊥平面ABCD ，过G 作GE BD ⊥于点E ，连接HE ，HE BD ∴⊥，则GEH ∠为二面角H BD C −−的平面角，连接AC 交BD 于点O ，则有23GEDG PH OC CD CP ===， 设PD a =，易得OC =，则GE =，tan GH GEH GE ∠∴=（3）PB ∥平面MHQN ，平面MHQN ∩平面PBC HQ =， PB ∴∥HQ ，同理PB ∥,MN HQ ∴∥MN ， 又CD ∥平面MHQN ，同理可得MH ∥NQ ，即四边形MHQN 为平行四边形.方法一：sin MHQN S MH MN HMN ∠∴=⋅ ， PB ∥,MN MH ∥,sin sin AB HMN PBA ∠∠∴=， sin MHQN S MH MN PBA ∠∴=⋅，而sin PA PBA PB∠== 设1233PH PC λλ = ，则MH λ=，)1,1HQ CH MN HQ PB PCλλ==−∴==− ，)2212MHQN S λλλ ∴−−−+ .又12,33MHQN S λ ∴∈ . 方法二：如图，延长QN 交AD 于点F ，连接MF ，由（1）得AB ⊥平面,PAD QF ∥AB ， QF ∴⊥平面,,MHQN PAD QF MF S MH MF ∴⊥∴=⋅ ， 设1233PH PC λλ =，又3,3PD PM MH λ=∴==， 则33,33MD DF CQ λλ=−==−，)1MF λ−，))221312MHQN S λλλλλ ∴=⋅−−−−+又12,33MHQN S λ ∴∈ . [命题意图]考查面面垂直的判定､二面角以及线面平行的性质.。
云南省楚雄州2023-2024学年高一下学期7月期末考试 数学含答案
楚雄州中小学2023—2024学年下学期期末教育学业质量监测高一年级数学试卷（答案在最后）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：人教A 版必修第一册至必修第二册．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.4i -在复平面内对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知集合{}{}290,1233M x x N x x x =-<=->，则M N ⋂=（）A.()3,2-B.()3,0-C.()0,3 D.()2,33.将函数()()sin 42f x x =+图象上所有点的横坐标变为原来的12，得到函数()g x 的图象，则()g x =（）A.()sin 84x + B.()sin 82x +C.()sin 22x + D.()sin 21x +4.某商品3〜5月份在甲、乙、丙、丁四个地区的销量如下图所示，则在这四个地区中该商品3〜5月份销量方差最小的为（）A.甲地区B.乙地区C.丙地区D.丁地区5.已知0.320.3log 3,2,log 2a b c -===，则（）A.c b a <<B.<<b c aC.<<c a bD.a b c<<6.已知ππ2cos cos 443αα⎛⎫⎛⎫-=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos2α=（）A.13 B.29-C.79D.79-7.如图，ABC 为正三角形，,ABE BCF 与CAD 是三个全等的三角形，若3,72BE AD CF BC EF DE FD ====，则DEF 的面积为（）A.2B.4C.23D.38.已知函数()f x mx x =的图象经过点()3,27，则关于x 的不等式()()16150f x f x +->的解集为（）A.(),3-∞ B.()3,+∞ C.()3,5 D.()5,+∞二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数z 满足()2i 5i z -=，则（）A.z 的虚部为2B.5z =C.5z z ⋅= D.1z +为纯虚数10.已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则（）A.()1π3sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B.()f x 在4π,3π3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减C.直线17π6x =-是()f x 图象的一条对称轴D.()f x 在5π17π,36⎛⎫⎪⎝⎭上的取值范围为,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭11.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,E 是棱CD 的中点，则（）A.向量AE 在AB 方向上的投影向量为12ABB.异面直线AE 与1BCC.三棱锥11D A CC -外接球的表面积为8πD.直线1BC 与平面11AC D 所成角的正弦值为63三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若实数,a b 满足2240a b +=，则ab 的最大值为___________．13.已知正四棱台的上底面边长为21，则该正四棱台的下底面边长为___________，该正四棱台的体积为___________．14.已知函数()ππsin (0)33f x x x ωωω⎫⎫⎛⎛=++> ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭在π0,3⎡⎤⎢⎣⎦上恰有2个零点，则ω的取值范围为___________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知平面向量,,a b c满足()()3,4,,8,4a b c λ==-= ．（1）若//a b，求λ的值；（2）若()()210a c a c +⊥+ ，求向量a 与c 夹角的大小．16.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ．已知()()()sin sin sin c a C A b B A -+=-．（1）求角C 的大小；（2）若b =，求sin c B 的值；（3）若4,a b D =为AB 的中点，求CD 的长．17.某工厂计划对该工厂生产的某类产品进行深加工，以推进该类产品的升级．该工厂随机抽取某生产线上一段时间内生产的100件产品，对其质量（单位：g ）进行统计，并将样本数据分为[)[)[)[)[)[]45,55,55,65,65,75,75,85,85,95,95,105六组，得到如下频率分布直方图．（1）试估计样本数据的60%分位数；（2）从样本数据在[)[]85,95,95,105内的产品中采用分层随机抽样的方法抽取5件产品作为产品深加工方案制定的分析样例，再从被抽取的这5件产品中随机抽取2件产品作为深加工的标准样例，求标准样例中恰有1件产品的质量在[]95,105内的概率；（3）若规定质量在[]95,105内的产品为优等品，用频率估计概率，从该生产线上随机抽取2件产品，求抽取到的产品中至少有1件优等品的概率．18.某大型商超每天以每公斤1元的价格从蔬菜批发行购进若干公斤青菜，然后以每公斤2元的价格出售．如果当天卖不完，那么剩下的青菜当作福利分给有需要的员工（1）若该商超一天购进800公斤青菜，求当天出售青菜的利润y （单位：元）关于当天青菜需求量x （单位：公斤）的函数解析式（2）该商超记录了100天青菜的日需求量（单位：公斤），整理得到下表．日需求量x 770780790800820830频数51020352010（ⅰ）假设该大型商超在这100天内每天购进800公斤青菜，求这100天出售青菜的日利润（单位：元）的平均数；（ⅱ）若该大型商超一天购进800公斤青菜，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于780元的概率．19.在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面,,8,6ABCD AB AD AB AD PA ⊥===，平面PBC⊥平面,,PAC M N 分别为,PB PD 的中点．（1）证明：//MN 平面ABCD ．（2）证明：BC AC ⊥．（3）若二面角C PB A --的正切值为533，求三棱锥C PAD -的体积．楚雄州中小学2023—2024学年下学期期末教育学业质量监测高一年级数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：人教A 版必修第一册至必修第二册．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.4i -在复平面内对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】根据其几何意义确定所在象限即可.【详解】4i -在复平面内对应的点()41-,在第四象限,故选：D.2.已知集合{}{}290,1233M x x N x x x =-<=->，则M N ⋂=（）A.()3,2-B.()3,0-C.()0,3 D.()2,3【答案】A 【解析】【分析】求得集合,M N ，结合集合交集的定义运算，即可求解.【详解】依题意得{}{}{}{}{}29033,123312332M x x x x N x x x x x x x x =-<=-<<=-<=-<=<，则{}32M N x x ⋂=-<<，故选：A ．3.将函数()()sin 42f x x =+图象上所有点的横坐标变为原来的12，得到函数()g x 的图象，则()g x =（）A.()sin 84x +B.()sin 82x +C.()sin 22x + D.()sin 21x +【答案】B 【解析】【分析】根据三角函数的变换规则判断即可.【详解】将函数()()sin 42f x x =+图象上所有点的横坐标变为原来的12得到()()sin 82g x x =+．故选：B4.某商品3〜5月份在甲、乙、丙、丁四个地区的销量如下图所示，则在这四个地区中该商品3〜5月份销量方差最小的为（）A.甲地区B.乙地区C.丙地区D.丁地区【答案】D 【解析】【分析】根据题意，由方差的计算公式代入计算，即可得到结果.【详解】由图可得，丁地区销量最稳定，所以丁地区销量的方差最小．故选：D5.已知0.320.3log 3,2,log 2a b c -===，则（）A.c b a <<B.<<b c aC.<<c a bD.a b c<<【答案】A 【解析】【分析】根据对数函数和指数函数的单调性比较大小.【详解】因为2log y x =在(0,)+∞上单调递增，且234<<，所以222log 2log 3log 4<<，所以21log 32<<，即12a <<，因为2x y =在R 上递增，且0.30-<，所以0.300221-<<=，即01b <<，因为0.3log y x =在(0,)+∞上单调递减，且12<，所以0.30.3log 1log 2>，所以0.3log 20<，即0c <，所以c b a <<.故选：A 6.已知ππ2cos cos 443αα⎛⎫⎛⎫-=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos2α=（）A.13 B.29-C.79D.79-【答案】C 【解析】【分析】根据两角和与差的余弦公式以及二倍角公式即可求解.【详解】由ππcos cos 443αα⎛⎫⎛⎫-=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得cos sin cos sin 22223αααα+=-+，3α=，即22117sin ,cos212sin 12339ααα⎛⎫==-=-⨯= ⎪⎝⎭．故选：C.7.如图，ABC 为正三角形，,ABE BCF 与CAD 是三个全等的三角形，若3,72BE AD CF BC EF DE FD ====，则DEF 的面积为（）A.2B.4C.23D.3【答案】D 【解析】【分析】由条件推理得到正三角形DEF ，根据线段比例关系，设出3BE x =，求得,BF FC ,利用余弦定理求得x 的值，即可计算得到.【详解】因,ABE BCF 与CAD 是三个全等的三角形，则得AEB BFC CDA ∠=∠=∠,即得60DEF DFE FDE ∠=∠=∠= ,故120BFC ∠= ．又3,2BE AD CF EF DE FD ===设3(0)BE x x =>，则2,3EF x FC x ==.由余弦定理得22(3)(5)491cos1202352x x x x +-==-⨯⨯，解得x =1，则2EF =，所以DEF 的面积为23234⨯=．故选：D .8.已知函数()f x mx x =的图象经过点()3,27，则关于x 的不等式()()16150f x f x +->的解集为（）A.(),3-∞ B.()3,+∞ C.()3,5 D.()5,+∞【答案】B 【解析】【分析】代入点坐标求得m 的值，分别判断函数的单调性和奇偶性，将()()16150f x f x +->恒等变换为()()()41515f x f x f x >--=-，最后利用函数单调性即可求解.【详解】由题意知()327f =，解得3m =，所以()3f x x x =，即()223,03,0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，易得()f x 在R 上单调递增．因为()()33f x x x x x f x -=--=-=-，所以()f x 为奇函数．又()()164f x f x =，故()()16150f x f x +->等价于()()()41515f x f x f x >--=-，则415x x >-，解得3x >.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题主要考查函数的单调性和奇偶性在求解抽象不等式中的应用，属于难题.解题关键在于对抽象不等式的处理，其一，要利用函数()f x 解析式将()16f x 化成()4f x ，其二，利用奇偶性处理负号，其三，根据单调性去掉函数符号.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数z 满足()2i 5i z -=，则（）A.z 的虚部为2B.5z =C.5z z ⋅=D.1z +为纯虚数【答案】ACD 【解析】【详解】先求出12i z =-+，借助于相关概念即可判断各选项.根据题意可得()()()5i 2i 5i12i 2i 2i 2i z +===-+--+，对于A ，显然12i z =-+的虚部为2，故A 正确；对于B ，由12i z =-+可得，z ==B 错误；对于C ，因12i,z =--则2||5z z z ⋅==，故C 正确；对于D ，12i z +=为纯虚数，故D 正确．故选：ACD .10.已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则（）A.()1π3sin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭B.()f x 在4π,3π3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减C.直线17π6x =-是()f x 图象的一条对称轴D.()f x 在5π17π,36⎛⎫ ⎪⎝⎭上的取值范围为3332,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】BCD【解析】【分析】根据图象求出A 、ω、ϕ可判断A ；求出1π212-x 范围，根据正弦函数的单调性可判断B ；求出17π6f ⎛⎫- ⎪⎝⎭可判断C ；求出1π212-x 的范围可得17ππsin 1212⎛⎫-- ⎪⎝⎭的范围可得答案.【详解】对于A ，由图可得()3,A f x =的最小正周期为7ππ44π66⎛⎫⨯-=⎪⎝⎭，则2π4πω=，解得12ω=，将π,06⎛⎫⎪⎝⎭代人()13sin 2f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭中，得π3sin 012ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()ππ12k k ϕ+=∈Z ，解得()π12k k πϕ=-+∈Z ．因为π2ϕ<，所以π12ϕ=-，则()1π3sin 212f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故A 错误．对于B ，由4π,3π3x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，得1π7π17π,2121212x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，因为7π17ππ3π,,121222⎛⎫⎛⎫⊆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在4π,3π3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，故B 正确．对于C ，因为17π17ππ3π3sin 3sin 3612122f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以直线17π6x =-是()f x 图象的一条对称轴，故C 正确．对于D ,由5π17π,36x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得1π3π4π,21243x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，所以π<sin 22122⎛⎫--< ⎪⎝⎭x，π<3sin 22122⎛⎫--< ⎪⎝⎭x ，所以()f x的取值范围为,22⎛⎫-⎪⎝⎭，故D 正确．故选：BCD .11.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,E 是棱CD 的中点，则（）A.向量AE 在AB 方向上的投影向量为12AB B.异面直线AE 与1BC所成角的余弦值为5C.三棱锥11D A CC -外接球的表面积为8πD.直线1BC 与平面11AC D所成角的正弦值为3【答案】AD【解析】【分析】利用投影向量可判断A ，连接11,DE A D ，易得1D AE ∠即为异面直线AE 与1BC 所成的角，即可求出B ，三棱锥11D A CC -的外接球即为正方体1111ABCD A B C D -的外接球即可求出C ，连接1BD ，可得11C BD ∠即是直线1BC 与平面11AC D 所成的角，即可求解.【详解】对A ，因为E 是棱CD 的中点，所以向量AE 在AB 方向上的投影向量为12AB ，A 正确；对B ，连接11,DE A D ，由正方体的性质可知，11//BC AD ，由等角定理易得1D AE ∠即为异面直线AE 与1BC所成的角，易得11D A D E AE ==1cos 5D AE ∠==，B 错误；对C ，三棱锥11D A CC -的外接球即为正方体1111ABCD A B C D -的外接球，易得外接球的半径为4442=11D A CC -外接球的表面积为24π12π⨯=，C 错误；对D ，连接1BD ，因为几何体1111ABCD A B C D -为正方体，体对角线垂直于没有公共点的面对角线，可得1111111,BD A C BD A D BD DC ⊥⊥⊥，，由线面垂直的判定定理可得1BD ⊥平面11AC D ，设直线1BC 与平面11AC D 所成的角为θ，则1111sin cos 3BC C BD BD θ=∠===，D 正确．故选：AD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若实数,a b 满足2240a b +=，则ab 的最大值为___________．【答案】20【解析】【分析】根据题意，由基本不等式代入计算，即可得到结果.【详解】根据题意可得22402a b ab +=≥，得20ab ≤，当且仅当a b ==或a b ==-时，等号成立，故ab 的最大值为20．故答案为：2013.已知正四棱台的上底面边长为21，则该正四棱台的下底面边长为___________，该正四棱台的体积为___________．【答案】①.4②.283##193【解析】【分析】利用勾股定理求出下底面的边长，利用棱台的体积公式计算可得体积.【详解】设该正四棱台下底面的边长为a ，则2132⎛-+= ⎪⎝⎭，解得4a =，故该正四棱台的体积为(1282244133⨯+⨯+⨯=．故答案为：①4；②283.14.已知函数()ππsin (0)33f x x x ωωω⎫⎫⎛⎛=++> ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭在π0,3⎡⎤⎢⎣⎦上恰有2个零点，则ω的取值范围为___________．【答案】[)4,7【解析】【分析】化简得到()2π2sin 3f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭，求得2π3x ω+的范围后，根据零点个数可构造不等式组求得结果.【详解】由题意可得()ππ2π2sin 2sin 333f x x x ωω⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．由π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得2π2ππ2π,3333x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦．因为()f x 在π0,3⎡⎤⎢⎣⎦上恰有2个零点，所以π2π2π3π33ω≤+<，解得47ω≤<．故答案为：[)4,7四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知平面向量,,a b c 满足()()3,4,,8,4a b c λ==-= ．（1）若//a b，求λ的值；（2）若()()210a c a c +⊥+ ，求向量a 与c 夹角的大小．【答案】（1）6λ=-（2）2π3．【解析】【分析】（1）根据向量平行的坐标表示求参；（2）先根据垂直结合向量的模长求出10a c ⋅=- ，最后根据夹角公式计算即可.【小问1详解】根据题意可得()384λ⨯-=，解得6λ=-．【小问2详解】由()()210a c a c +⊥+ ，得()()22210220100a c a c a a c a c c +⋅+=+⋅+⋅+= ．因为5a == ，所以210210a c +⋅= ，所以10a c ⋅=-，所以101cos ,542a c a c a c ⋅-===-⨯ ，又[],0,πa c ∈ ，所以2π,3a c = ．16.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,abc ．已知()()()sin sin sin c a C A b B A -+=-．（1）求角C 的大小；（2）若b =，求sin c B 的值；（3）若4,a b D =为AB 的中点，求CD 的长．【答案】（1）π6C =（2）2（3）2【解析】【分析】（1）由条件根据正弦定理和余弦定理化简，从而可得出答案；（2）根据正弦定理即可求解；（3）由向量可得()12CD CA CB =+ ，由向量求模公式即可求解.【小问1详解】由()()()sin sin sin c a C A b B A -+=-，得()()()c a c a b b -+=-，即222222,c a b a b c -=+-，所以222cos 222a b c C ab ab +-===，因为()0,πC ∈，所以π6C =．【小问2详解】根据正弦定理sin sin c b C B =，可得πsin sin sin 62c B b C ===．【小问3详解】由题意可得()12CD CA CB =+ ，则2CD = ．17.某工厂计划对该工厂生产的某类产品进行深加工，以推进该类产品的升级．该工厂随机抽取某生产线上一段时间内生产的100件产品，对其质量（单位：g ）进行统计，并将样本数据分为[)[)[)[)[)[]45,55,55,65,65,75,75,85,85,95,95,105六组，得到如下频率分布直方图．（1）试估计样本数据的60%分位数；（2）从样本数据在[)[]85,95,95,105内的产品中采用分层随机抽样的方法抽取5件产品作为产品深加工方案制定的分析样例，再从被抽取的这5件产品中随机抽取2件产品作为深加工的标准样例，求标准样例中恰有1件产品的质量在[]95,105内的概率；（3）若规定质量在[]95,105内的产品为优等品，用频率估计概率，从该生产线上随机抽取2件产品，求抽取到的产品中至少有1件优等品的概率．【答案】（1）73.75g（2）35（3）0.1164【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图估计样本数据的60%分位数.（2）求出5件产品中两个指定区间内的产品数，再利用列举法求出古典概率.（3）求出优等品率，再利用对立事件的概率公式计算即得.【小问1详解】由频率分布直方图知，样本数据在[45,65)的频率为0.180.210.39+=，在[45,75)的频率为0.63，则样本数据的60%分位数(65,75)x ∈，于是0.39(65)0.0240.6x +-⨯=，解得73.75x =，所以样本数据的60%分位数约为73.75g.【小问2详解】样本数据在[)85,95内的产品被抽取的件数为0.09530.060.09⨯=+，记为,,A B C ，样本数据在[]95,105内的产品被抽取的件数为0.06520.060.09⨯=+，记为,,a b 则从被抽取的这5件产品中随机抽取2件产品的情况有：()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A C A a A b B C B a B b C a C b a b ，共10种，其中标准样例中恰有1件产品的质量在[]95,105内的情况有6种．所以标准样例中恰有1件产品的质量在[]95,105内的概率为63105=．【小问3详解】依题意，从该生产线上随机抽取1件产品，该件产品为优等品的概率为0.006100.06⨯=，则抽取到的产品中至少有1件优等品的概率为10.940.940.1164-⨯=．18.某大型商超每天以每公斤1元的价格从蔬菜批发行购进若干公斤青菜，然后以每公斤2元的价格出售．如果当天卖不完，那么剩下的青菜当作福利分给有需要的员工（1）若该商超一天购进800公斤青菜，求当天出售青菜的利润y （单位：元）关于当天青菜需求量x （单位：公斤）的函数解析式（2）该商超记录了100天青菜的日需求量（单位：公斤），整理得到下表．日需求量x770780790800820830频数51020352010（ⅰ）假设该大型商超在这100天内每天购进800公斤青菜，求这100天出售青菜的日利润（单位：元）的平均数；（ⅱ）若该大型商超一天购进800公斤青菜，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于780元的概率．【答案】（1）()[)2800,0,800,800,800,.x x y x ∞⎧-∈⎪=⎨∈+⎪⎩（2）（ⅰ）789元；（ⅱ）0.85【解析】【分析】（1）由题意可知需要对x 进行分类讨论，很容易得到函数解析式；（2）（ⅰ）根据分层计算出不同日需求量的利润即可求解；（ⅱ）以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率即可求解.【小问1详解】当800x ≥时，()80021800y =⨯-=；当0800x <<时，218002800y x x =-⨯=-．故y 关于x 的函数解析式为()[)2800,0,800,800,800,.x x y x ∞⎧-∈⎪=⎨∈+⎪⎩【小问2详解】（i ）这100天有5天的日利润为2770800740⨯-=元，10天的日利润为2780800760⨯-=元，20天的日利润为2790800780⨯-=元，65天的日利润为800元，所以这100天出售青菜的日利润的平均数为5102065740760780800789100100100100⨯+⨯+⨯+⨯=元．（ⅱ）若当天的利润不少于780元，则当日需求量不少于790公斤故当天的利润不少于780元的概率为0.20.350.20.10.85+++=．19.在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面,,8,6ABCD AB AD AB AD PA ⊥===，平面PBC ⊥平面,,PAC M N 分别为,PB PD 的中点．（1）证明：//MN 平面ABCD ．（2）证明：BC AC ⊥．（3）若二面角C PB A --的正切值为3，求三棱锥C PAD -的体积．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）48【解析】【分析】（1）连接BD ，证明MN BD ∥，由线线平行证线面平行即得；（2）过A 作AH PC ⊥交PC 于H ，证AH ⊥平面PBC 得AH BC ⊥，由PA ⊥平面ABCD 得PA BC ⊥，可证BC ⊥平面PAC ，即得BC AC ⊥；（3）过C 作CF AB ⊥交AB 于F ,证CF ⊥平面PAB ，作FE PB ⊥交PB 于E ，连接CE ，证FEC ∠即为二面角C PB A --的平面角，由题设3EF x =，通过两组三角形相似求出25x =即得.【小问1详解】如图，连接BD ．因为,M N 分别为,PB PD 的中点，所以MN 为PBD △的中位线，则MN BD ∥．因为MN ⊄平面,ABCD BD ⊂平面ABCD ，所以//MN 平面ABCD ．【小问2详解】如图，过A 作AH PC ⊥交PC 于H ．因平面PBC ⊥平面PAC ，平面PBC ⋂平面PAC PC =，AH ⊂平面PAC ，故AH ⊥平面PBC ．因为BC ⊂平面PBC ，所以AH BC ⊥．因为PA ⊥平面,ABCD BC ⊂平面ABCD ，所以PA BC ⊥．因为PA AH A ⋂=，所以BC ⊥平面PAC ，又AC ⊂平面PAC ，所以BC AC ⊥．【小问3详解】如图3，过C 作CF AB ⊥交AB 于F ，过F 作FE PB ⊥交PB 于E ，连接CE ．因PA ⊥平面ABCD ，CF ⊂平面ABCD ,则CF PA ⊥,因,,AB PA A AB PA ⋂=⊂平面PAB ,故得CF ⊥平面PAB .因PB ⊂平面PAB ,则CF PB ⊥．因为,FE PB FE CF F ⊥= ，,FE CF ⊂平面CEF ,所以PB ⊥平面CEF .又CE ⊂平面CEF ，则PB CE ⊥，则FEC ∠即为二面角C PB A --的平面角，依题意，tan 3FC FEC EF ∠==．设3EF x =，则FC =．因为8,6AB PA ==，所以10PB =．由BEF BAP △∽△，得BF EF PB PA =，即3106BF x =，则5,85BF x AF x ==-．又由BFC CFA △∽△，得BF FCCF FA =，即85x =-，解得25x =．2856,5AF =-⨯=因CF //AD ,则ACD 的面积为11862422AD AF ⨯⨯=⨯⨯=，故1624483C PAD P CAD V V --==⨯⨯=．【点睛】关键点点睛：本题主要考查线面垂直的判定和二面角的几何求法，属于难题.解题关键在于充分利用面面垂直的性质和线面垂直的判定定理，结合图形执果索因即可；对于二面角的求法，一般是先找到平面的垂线，再由垂足向棱作垂线,连线后即可证得其平面角.。
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17．若
x
y
10 =2， 10 =3，则
103x﹣y =
6 分 .共 36 分 . ； ?R（ A ） =
．
18．若扇形的半径为 π，圆心角为 120°，则该扇形的弧长等于 19．函数 （f x）=cos2x﹣ sin2x +2sinxcosx（ x∈R）的最小正周期为
．
；面积等于 ，单调递减区间为
C．
D．
【考点】 运用诱导公式化简求值． 【分析】 把所求式子中的角 150°变为 180°﹣ 30°，利用诱导公式 数值即可求出值． 【解答】 解： cos150° =cos =﹣ cos30°
） ，4 ]
15．若直角△ ABC 内接于单位圆 O，M 是圆 O 内的一点， 若 | | = ，则 | + + | 的最大值是 （ ）
A． + 1 B． + 2 C．
+1 D．
+2
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二、填空题：本大题共 8 个小题，每小题
16．若集合 A= { x| x2﹣ x ≥0} ，则 A=
D． { 0} ∈ M
【分析】 根据集合中元素的确定性解答． 【解答】 解：由题意，集合 M 中含有三个元素 0， 1， 2．
∴ A 选项 1∈ M ，正确； B 选项 2?M ，错误； C 选项 3∈ M ，错误， D 选项 { 0} ∈ M ，错误；
故选： A ．
2．若关于 x 的不等式 mx﹣ 2＞ 0 的解集是 { x| x＞ 2} ，则实数 m 等于（
20．设 α、β∈（ 0， π），sin （α+β）= ， tan = ，则 tanα=
， tanβ=
21．在矩形 ABCD 中， AB=2AD=2 ，若 P 为 DC 上的动点，则 ? ﹣
的最小值为
22．不等式 lg （x2+100）≥ 2a+siny 对一切非零实数 x ，y 均成立，则实数 a 的取值范围为
）
A ．﹣ 1 B ．﹣ 2 C． 1 D ． 2
3． cos150°的值等于（
）
A．
B．
C．
D．
4．函数 f（ x）=ln
的定义域是（
）
A ．（﹣ 1， 1） B ． [ ﹣ 1， 1] C ．[ ﹣ 1， 1）
5．若 3x=2，则 x= （
）
D ．（﹣ 1， 1]
A ． lg3﹣ 1g2 B．lg2 ﹣ 1g3 C．
23．函数 f（ x） =（ x2﹣ax+2a） ln（ x+1）的图象经过四个象限，则实数 a 的取值范围为
三、解答题：本大题共 2 小题，共 719 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
.
24．在△ ABC 中， | | =c，| | =b．
（Ⅰ）若 b=3， c=5， sinA= ，求 | | ；
）
A ．﹣ 1 B ．﹣ 2 C． 1 D ． 2
【考点】 不等关系与不等式．
【分析】 利用一元一次不等式的解法即可得出．
【解答】 解：∵关于 x 的不等式 mx﹣ 2＞ 0 的解集是 { x| x＞ 2} ，
∴ m＞ 0，
，因此
，解得 m=1 ．
故选： C．
3． cos150°的值等于（
）
A．
B．
． ．
．
． ． ．
（Ⅱ）若 | | =2， 与 的夹角为 ，则当 | | 取到最大值时，求△ ABC 外接圆的面积．
25．设函数 f （x ） =x 2+bx+c（ a≠ 0，b， c∈ R），若 f （ 1+x） =f （ 1﹣ x）， f（ x ）的最小值为﹣ 1． （Ⅰ）求 f（ x）的解析式； （Ⅱ）若函数 y= | f（ x） | 与 y=t 相交于 4 个不同交点，从左到右依次为 A ， B， C， D，是否存在实数 得线段 | AB | ， | BC| ， | CD| 能构成锐角三角形，如果存在，求出 t 的值；如果不存在，请说明理由．
D．
6．设向量 =（ x， 1）， =（ 1， y），若 ? =0 ，则（
）
A．| | ＞| |
B．| | ＜| |
C． | | =| | D ． =
7．设 x0 为方程 2x+x=8 的解．若 x 0∈（ n，n+1）（ n∈ N * ），则 n 的值为（
）
A． 1 B．2 C．3 D．4
8．要得到函数 f （ x） =2sin（2x﹣ ）的图象，只需将函数 g（ x） =2sin（ 2x+ ）的图象（
A ．最大值是 1，最小值是﹣ 1 B ．最大值是 1，最小值是﹣
C．最大值是 2，最小值是﹣ 2 D ．最大值是 2，最小值是﹣ 1
11．若 a＞ 0 且 a≠ 1，则函数 y=ax 与 y=log a（﹣ x）的图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
12．设 G 是△ ABC 的重心， a， b，c 分别是角 A ，B，C 所对的边，若 a +b +c = ，则△ ABC 的形状 是（ ）
高一下期末数学试卷 (及答案 )
一、选择题：本大题共 15 小题，每小题 3 分，共 45 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题
目要求的 .
1．设集合 M= { 0， 1，2} ，则（
）
A ． 1∈M B．2?M C．3∈ M D． { 0} ∈ M
2．若关于 x 的不等式 mx﹣ 2＞ 0 的解集是 { x| x＞ 2} ，则实数 m 等于（
）
A ．向右平移 个单位 B ．向左平移 个单位
C．向右平移 个单位 D ．向左平移 个单位
9．已知向量 ， 满足 | | =4， | | =3，且（ 2 ﹣ 3 ） ?（ 2 + ） =61 ，则向量 ， 的夹角为（
）
A ． 30° B ． 60° C． 120°D ． 150°
10．当
时，函数 f （ x） =sinx + cosx 的（ ）
t ，使
高一（下）期末数学试卷
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参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共 15 小题，每小题 3 分，共 45 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题
目要求的 .
1．设集合 M= { 0， 1，2} ，则（
）
A ． 1∈M B．2?M C．3∈ M 【考点】 元素与集合关系的判断．
A ．直角三角形 C．钝角三角形
B ．等边三角形 D ．等腰直角三角形
2
13．若不等式 sin x﹣ asinx+2≥ 0 对任意的 x∈（ 0， ] 恒成立，则实数 a 的最大值是（
）
A．2 B．
C．2 D．3
14．函数 f（ x） =（
+
+2）（
+1）的值域是（
A ． [ 2+ ， 8] B ． [ 2+ ， +∞） C． [ 2，+∞） D． [ 2+