重点高中数学--空间向量之法向量求法及应用办法
法向量求法及应用方法
法向量求法及应用方法法向量是指与一些曲面上的每一点的切平面垂直的向量。
在三维空间中，法向量可以方便地描述曲面的几何特征和方向。
一、法向量的求法：1.平面的法向量：平面的法向量可以通过两个不平行的向量叉积得到。
设平面上两个向量为a和b，法向量n=a×b。
2.曲面的法向量：曲面的法向量可以通过曲面的方程求得。
常见的曲面方程包括参数方程、隐函数方程和显函数方程。
对于参数方程和隐函数方程，可以通过求偏导数来得到曲面的切向量，然后再将切向量进行标准化得到法向量。
例如，对于参数方程x=x(u,v)，y=y(u,v)，z=z(u,v)，法向量可以通过求∂(x,y,z)/∂(u,v)的叉积来得到。
而对于隐函数方程F(x,y,z)=0，可以通过对F(x,y,z)进行偏导数得到一个方程组，然后解这个方程组来得到法向量。
二、法向量的应用方法：1.曲面法向量的判定：通过计算曲面的法向量可以判断曲面的朝向和几何特征。
例如，在渲染图形时，可以通过曲面的法向量来决定光线对曲面的照射效果，以实现更真实的光影效果。
2.曲面法向量的插值和平滑：在计算机图形学中，通常需要对曲面进行插值和平滑处理。
曲面的法向量可以帮助我们在曲面上进行平滑采样。
例如，在曲面细分中，通过计算曲面的法向量来过滤掉尖锐的细分结果，使得细分结果更加平滑自然。
3.曲面的切平面和法向量的切线：对于空间曲线上的点，可以通过曲线的参数方程求得曲线的切线向量。
而对于空间曲面上的点，可以通过曲面的法向量和曲面上其中一点的切平面求得曲线的切向量。
切平面上的切向量和曲面的法向量垂直，并且与曲线相切。
4.计算曲面的面积和体积：曲面的法向量可以用来计算曲面的面积和体积。
对于平面，面积等于法向量的模长；对于曲面，可以通过对曲面分割成小区域然后计算每个小区域的法向量，并对法向量进行积分得到曲面的面积或体积。
5.平面和曲面的方程：法向量可以帮助我们确定平面和曲面的方程。
对于平面，通过平面上一点和法向量，可以得到平面的方程；对于曲面，通过曲面上一点和法向量，可以得到曲面的方程。
法向量的求法及其空间几何题的解答
状元堂一对一个性化辅导教案教师张敏科目数学时间2013 年6 月4日学生董洲年级高二学校德阳西校区授课内容空间法向量求法及其应用立体几何知识点与例题讲解难度星级★★★★教学内容上堂课知识回顾（教师安排）：1.平面向量的基本性质及计算方法2.空间向量的基本性质及计算方法本堂课教学重点：1.掌握空间法向量的求法及其应用2.掌握用空间向量求线线角，线面角，面面角及点面距3.熟练灵活运用空间向量解决问题得分：平面法向量的求法及其应用一、 平面的法向量1、定义：如果α⊥→a ，那么向量→a 叫做平面α的法向量。
平面α的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。
2、平面法向量的求法方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面α的法向量(,,1)n x y =[或(,1,)n x z =，或(1,,)n y z =]，在平面α内任找两个不共线的向量,a b 。
由n α⊥，得0n a ⋅=且0n b ⋅=，由此得到关于,x y 的方程组，解此方程组即可得到n 。
二、 平面法向量的应用1、 求空间角(1)、求线面角：如图2-1，设→n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条斜线，α∈A ，则AB 与平面α所成的角为： 图2-1-1:.||||arccos 2,2→→→→→→⋅⋅->=<-=AB n ABn AB n ππθ 图2-1-2:2||||arccos 2,ππθ-⋅⋅=->=<→→→→→→AB n AB n AB n(2)、求面面角:设向量→m ，→n 分别是平面α、β的法向量，则二面角βα--l 的平面角为：θβα→m图2-2→nθ→mα图2-3→nβ|,cos |sin ><=→→AB n θABα图2-1-2θC→n 图2-1-1αθB→nA C||||arccos,→→→→→→⋅⋅>==<n m nm n m θ（图2-2）;||||arccos,→→→→→→⋅⋅->==<n m nm n m πθ(图2-3)两个平面的法向量方向选取合适,可使法向量夹角就等于二面角的平面角。
高中数学--空间向量之法向量求法及应用方法
高中数学空间向量之--平面法向量的求法及其应用一、 平面的法向量1、定义：如果α⊥→a ，那么向量→a 叫做平面α的法向量。
平面α的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。
2、平面法向量的求法方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面α的法向量(,,1)n x y =[或(,1,)n x z =，或(1,,)n y z =]，在平面α内任找两个不共线的向量,a b 。
由n α⊥，得0n a ⋅=且0n b ⋅=，由此得到关于,x y 的方程组，解此方程组即可得到n 。
方法二：任何一个z y x ,,的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是z y x ,,的一次方程。
0=+++D Cz By Ax )0,,(不同时为C B A ，称为平面的一般方程。
其法向量),,(C B A n =→;若平面与3个坐标轴的交点为),0,0(),0,,0(),0,0,(321c P b P a P ,如图所示,则平面方程为:1=++czb y a x ,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。
方法三(外积法): 设 , 为空间中两个不平行的非零向量，其外积→→⨯b a 为一长度等于θsin ||||→→b a ，（θ为,两者交角，且πθ<<0），而与 , 皆垂直的向量。
通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由 的方向转为的方向时，大拇指所指的方向规定为→→⨯b a 的方向,→→→→⨯-=⨯a b b a 。
:),,,(),,,(222111则设z y x b z y x a ==→→⎝⎛=⨯→→21y y b a ,21z z 21x x - ,21z z 21x x⎪⎪⎭⎫21y y （注：1、二阶行列式:c a M =cb ad db-=；2、适合右手定则。
） 例1、 已知，)1,2,1(),0,1,2(-==→→b a ， 试求（1）：;→→⨯b a （2）：.→→⨯a bKey: (1) )5,2,1(-=⨯→→b a ;)5,2,1()2(-=⨯→→a b例2、如图1-1,在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，求平面AEF 的一个法向量n 。
高中数学理科基础知识讲解《87空间几何中的向量方法》教学课件
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√
√
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考点自诊
2.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN= ,则MN与平面BB1C1C的位置关系是( )A.斜交 B.平行C.垂直 D.MN在平面BB1C1C内
B
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考点自诊
3.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1,则AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为( )
[0,π]
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知识梳理
4.利用空间向量求距离(1)点到平面的距离 如图所示,已知AB为平面α的一条斜线段,n为平面α的法向量,则B到平面α的距离为(2)线面距、面面距均可转化为点面距进行求解.
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知识梳理
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知识梳理
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)直线的方向向量是唯一确定的. ( )(2)平面的单位法向量是唯一确定的. ( )(3)若两条直线的方向向量不平行,则这两条直线不平行. ( )(4)若空间向量a垂直于平面α,则a所在直线与平面α垂直. ( )(5)两条直线的方向向量的夹角就是这两条直线所成的角. ( )(6)已知向量m,n分别是直线l的方向向量和平面α的法向量,若cos <m,n>= ,则直线l与平面α所成的角为120°. ( )(7)已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成的二面角的大小为45°. ( )
|cos φ|
|cos φ|
--
知识梳理
(3)二面角①范围:二面角的取值范围是 . ②向量求法:若AB,CD分别是二面角α-l-β的两个面内与棱l垂直的异面直线,则二面角的大小就是向量 的夹角(如图①).设n1,n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α,β的法向量,则图②中向量n1与n2的夹角的补角的大小就是二面角的平面角的大小;而图③中向量n1与n2的夹角的大小就是二面角的平面角的大小.
3.2立体几何中的向量方法——法向量
(4)解方程组，取其中的一 个解，即得法向量。
例1： 已 知 A(0,2,3), B( 2,0， - 1), C ( 3， - 4,0) 求平面 ABC的 法 向 量 。
问题：如何运用向量法求法向量呢？
2014年11月7日星期五
法向量在立体几何中的妙用
1
前面，我们把
平面向量
推广到
空间向量
立体几何问题 研究的基本对象是点、直线、平面以及由它们组成 的空间图形 从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工 具在立体几何中的应用.
如何确定一个点、一条直线、一个平面 思考：
在空间的位置？
一、点的确定：
在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中 任意一点P的位置就可以用向量OP来表示。我们把 向量OP称为点P的位置向量。
对于平面 上的任一点 P , 存在有序实数对 ( x, y) ,使得
OP xa yb
除此之外, 还可以用垂直于平面的直线的 方向向量(这个平面的法向量)表示空间中平面 的位置.
平面的法向量：如果表示向量 n 的有向线段所在
直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ⊥ n，如果 么 向 量 叫做 ,记作 ⊥ n ，那 n 平面 的法向量 .
解:设平面 ABC 的一个法向量为 n ( x, y, z )
则 n ^ AB, n ^ AC .
祆 ( x , y , z )(2, - 2, - 4) = 0 镲 镲 \ 眄 镲 ( x , y , z )(3, - 6, - 3) = 0 镲 铑
AB = (2,- 2,- 4), AC = (3,- 6,- 3)
高中数学-空间向量的应用
第4讲空间向量的应用知识梳理1．空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点以及一个向量确定，这个向量叫做直线的方向向量．2．若直线l垂直于平面α，取直线l的方向向量a，则a⊥α，则a叫做平面α的法向量．3.(1)线线垂直：设直线l，m的方向向量分别为a，b，则l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0.(2)线面垂直：设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔a∥u⇔a＝k u，k∈R.(3)面面垂直：若平面α的法向量为u，平面β的法向量为ν，则α⊥β⇔u⊥ν⇔u·ν＝0.4．设两异面直线所成的角为θ，它们的方向向量分别为a，b，则cos θ＝|a·b||a||b|.5．设直线l与平面α所成的角为θ，直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos〈a，n〉|＝|a·n||a||n|.6．设二面角α－l－β的平面角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则|cos θ|＝|n1·n2| |n1||n2|.考点题型知识点1 直线的方向向量与平面的法向量【例1-1】（焦作期末）若点，在直线l上，则直线l的一个方向向量为A. B. C. D.【例1-2】（广州期末）设是直线l的方向向量，是平面的法向量，则A. B. C. 或 D. 或【变式训练1-1】（沙坪坝区校级模拟）若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则能使的是A. B.C. D.【变式训练1-2】（东阳市模拟）已知，，分别是平面，，的法向量，则，，三个平面中互相垂直的有A. 3对B. 2对C. 1对D. 0对知识点2 用空间向量研究直线、平面的平行关系【例2-1】（浙江模拟）已知在正四棱柱中，，，点E为的中点，点F为的中点．求证：．【例2-2】（柯城区校级模拟）如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面ABCD，且，点E是PD的中点．求证：平面AEC．【例2-3】（金华期末）如图，已知棱长为4的正方体中，M，N，E，F分别是棱，，，的中点，求证：平面平面EFBD．【变式训练2-1】（宿迁期末）如图，在长方体中，，，，点P在棱上，且，点S在棱上，且，点Q、R分别是棱、AE的中点．求证：．【变式训练2-2】（朝阳区期末）已知正方体的棱长为2，E，F分别是，的中点，求证：平面ADE；平面平面F.知识点3 用空间向量研究直线、平面的垂直关系【例3-1】（扬州期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，底面ABCD，且，M为PC的中点．求证：【例3-2】（上城区校级模拟）如图所示，在正方体中，E，F分别是，DC的中点，求证：平面F.【例3-3】（点军区校级月考）如图，在五面体ABCDEF中，平面ABCD，，，M为EC的中点，求证：平面平面CDE．【变式训练3-1】（三明模拟）已知空间四边形ABCD中，，，求证：．【变式训练3-2】（镇海区校级模拟）如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形且，，底面ABCD，E是AD的中点，F在PC上．F在何处时，平面PBC？【变式训练3-3】（未央区校级月考）在四面体ABCD中，平面BCD，，，，E，F分别是AC，AD的中点，求证：平面平面ABC．知识点4 用空间向量研究空间中的距离问题【例4-1】（海淀区校级期末）如图，已知正方形ABCD的边长为1，平面ABCD，且，E，F分别为AB，BC的中点．求点D到平面PEF的距离；求直线AC到平面PEF的距离．（房山区期末）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，【变式训练4-1】，，．求点D到平面PBC的距离；求点A到平面PBC的距离．知识点5 用空间向量研究空间中的夹角问题【例5-1】（宝山区校级期末）如图，ABCD为矩形，AB＝2，AD＝4，P A⊥面ABCD，P A＝3，求异面直线PB与AC所成角的余弦值．【例5-2】（常州期末）已知在正三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱长与底面边长相等，求AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值．【例5-3】（漳州三模）已知，P A⊥平面ABC，AC⊥BC，P A＝AC＝1，BC＝ 2.求二面角A－PB－C的余弦值．【变式训练5-1】（沭阳县期中）如图，在正四棱柱中，，，点M是BC 的中点．求异面直线与DM所成角的余弦值求直线与平面所成角的正弦值求平面与平面ABCD所成角的正弦值．A组-[应知应会]1.（杨浦区校级期中）若直线l的方向向量为0，，平面的法向量为0，，则A. B. C. D. l与斜交2. （安徽模拟）已知，，，则向量与向量的夹角为A. B. C. D.3. （闵行区校级模拟）已知四边形ABCD是直角梯形，，平面ABCD，，则SC与平面ABCD所成的角的余弦值为A. B. C. D.4. （贵阳模拟）在正方体中，棱长为a，M，N分别为和AC上的点，，则MN与平面的位置关系是A. 垂直B. 相交C. 平行D. 不能确定5.（温州期末）如图，在长方体中，，E为CD的中点，点P在棱上，且平面，则AP的长为A.B.C. 1D. 与AB的长有关6.（鼓楼区校级模拟）二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知，，，，则该二面角的大小为A. B. C. D.7.（和平区校级二模）如图所示，在正方体中，点P是棱AB上的动点点可以运动到端点A和B，设在运动过程中，平面与平面所成的最小角为，则A.B.C.D.8. （多选）（东阳市模拟）已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果，2，，2，，下列结论正确的有A. B.C. 是平面ABCD的一个法向量D.9.（江苏模拟）已知，，若，，且平面ABC，则y，等于________．10.（南通模拟）已知正三棱柱的各条棱长都相等，M是侧棱的中点，则向量与所成角的大小是．11.（清江浦区校级模拟）在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是正方形，且，G为的重心，则PG与底面ABCD所成角的正弦值为．12.（沭阳县期中）在四棱锥中，底面ABCD为矩形，侧棱底面ABCD，，E为PD的中点，点N在面PAC内，且平面PAC，则点N到AB的距离为__________13.（滨海新区模拟）如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，，底面ABCD，，则二面角的余弦值为________．14.（浦东新区校级月考）如图，在正方体中，E为的中点，求异面直线CE 与BD所成的角．15.（江宁区校级月考）如图，四边形ABCD是正方形，平面ABCD，，，，F为PD的中点．求证：；求证：平面PEC．16.（临泉县校级月考）正方体中，E，F分别是，CD的中点．求证：平面平面；在AE上求一点M，使得平面DAE．17. （兴宁区校级期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，且，平面ABCD．求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；在棱PD上是否存在一点E使得？若存在，求AE的长；若不存在，请说明理由．18. （沙坪坝区校级期末）如图，正三棱柱的底面边长是2，侧棱长是，D是AC的中点．求二面角的大小．在线段上是否存在一点E，使得平面平面若存在，求出AE的长若不存在，说明理由．1.（齐齐哈尔期末）如图，在圆锥SO中，A，B是上的动点，是的直径，M，N是SB的两个三等分点，，记二面角，的平面角分别为，，若，则的最大值是A. B. C. D.2.（如皋市期末）如图，在长方体中，E是的中点，点F是AD上一点，，，，动点P在上底面上，且满足三棱锥的体积等于1，则直线CP与所成角的正切值的最小值为________．。
2023年新高考数学一轮复习8-6 空间向量及其运算和空间位置关系(知识点讲解)含详解
专题8.6 空间向量及其运算和空间位置关系（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1．考查空间向量的概念及运算，凸显数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象的核心素养．2．考查空间向量的应用，凸显逻辑推理、数学运算、直观想象的核心素养．【知识点展示】1．平行(共线)向量与共面向量2①a∥b时，θ＝__0或π__，θ＝__0__时，a与b同向；θ＝__π__时，a与b反向．②a ⊥b ⇔θ＝__π2__⇔a ·b ＝0．③θ为锐角时，a ·b __>__0，但a ·b >0时，θ可能为__0__；θ为钝角时，a ·b __<__0，但a ·b <0时，θ可能为__π__．④|a ·b |≤|a |·|b |，特别地，当θ＝__0__时，a ·b ＝|a |·|b |，当θ＝__π__时，a ·b ＝－|a |·|b |．⑤对于实数a 、b 、c ，若ab ＝ac ，a ≠0，则b ＝c ；对于向量a 、b 、c ，若a ·b ＝a ·c ，a ≠0，却推不出b ＝c ，只能得出__a ⊥(b －c )__．⑥a ·b ＝0⇒/ a ＝0或b ＝0，a ＝0时，一定有a ·b ＝__0__．⑦不为零的三个实数a 、b 、c ，有(ab )c ＝a (bc )成立，但对于三个向量a 、b 、c ，(a ·b )c __≠__a (b ·c )，因为a ·b 是一个实数，(a ·b )c 是与c 共线的向量，而a (b ·c )是与a 共线的向量，a 与c 却不一定共线． 3．空间向量基本定理(1)如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝__x a ＋y b ＋z c __．(2)如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么所有空间向量组成的集合就是{p|p ＝x a ＋y b ＋z c ，x ，y ，z ∈R }，这个集合可看作是由向量a 、b 、c 生成的，我们把{__a ，b ，c __}叫做空间的一个基底，a 、b 、c 都叫做__基向量__，空间任何三个__不共面__的向量都可构成空间的一个基底，同一(相等)向量在不同基底下的坐标__不同__，在同一基底下的坐标__相同__． 4．空间向量的正交分解及其坐标表示设e 1、e 2、e 3为有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量(我们称它们为单位正交基底)．以e 1、e 2、e 3的公共起点O 为原点，分别以__e 1，e 2，e 3__的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系O －xyz ．对于空间任意一个向量p 一定可以把它平移，使它的__起点__与原点O 重合，得到向量OP →＝p ，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x e 1＋y e 2＋z e 3．我们把x 、y 、z 称作向量p 在单位正交基底e 1、e 2、e 3下的坐标，记作p ＝ (x ，y ，z )． 5.用向量描述空间平行关系设空间两条直线l 、m 的方向向量分别为a ＝(a 1，a 2，a 3)、b ＝(b 1，b 2，b 3)，两个平面α，β的法向量分别为u ＝(u 1，u 2，u 3)，v ＝(v 1，v 2，v 3)，则有如下结论：6. 用向量证明空间中的垂直关系①设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔v 1·v 2＝0.②设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α⇔v∥u . ③设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β⇔u 1⊥u 2⇔u 1·u 2＝0. 7.共线与垂直的坐标表示设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ∥b ⇔a ＝λb ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R)，a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0(a ，b 均为非零向量)．【常考题型剖析】题型一：空间向量的运算例1.（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若AB a =，AD b =，1AA c =，则BM =（ ）A ．1122a b c -+B ．1122a b c ++C ．1122a b c --+D ．1122-++a b c例2. （2022·全国·高三专题练习）如图，OABC 是四面体，G 是ABC 的重心，1G 是OG 上一点，且14OG OG =，则（ ）A ．1111666OG OA OB OC =++B ．1OG =111121212OA OB OC ++ C ．1OG =111181818OA OB OC ++ D ．1OG =111888OA OB OC ++例3.（安徽·高考真题（理））在正四面体O －ABC 中，,,OA a OB b OC c ===，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE ＝______________(用,,a b c 表示)． 【方法技巧】用基向量表示指定向量的方法(1)结合已知向量和所求向量观察图形．(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中．(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来． 题型二：共线(共面)向量定理的应用例4.（2023·全国·高三专题练习）以下四组向量在同一平面的是（ ） A ．()1,1,0、()0,1,1、()1,0,1 B ．()3,0,0、()1,1,2、()2,2,4 C ．()1,2,3、()1,3,2、()2,3,1D ．()1,0,0、()0,0,2、()0,3,0例5.（2022·广西桂林·模拟预测（文））如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的中心为O ，则下列结论中①OA +OD 与OA 1+OD 1是一对相反向量；②OB -OC 1与OC -OB 1是一对相反向量；③OA 1+OB 1+OC 1+OD 1与OD +OC +OB +OA 是一对相反向量； ④OC -OA 与OC 1-OA 1是一对相反向量． 正确结论的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4例6.（2020·全国·高三专题练习）已知O 、A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 为空间的9个点（如图所示），并且OE kOA =，OF kOB =，OH kOD =，AC AD mAB =+，EG EH mEF =+．求证：（1）A 、B 、C 、D 四点共面，E 、F 、G 、H 四点共面； （2）//AC EG ． 【总结提升】证明三点共线和空间四点共面的方法比较题型三：空间向量数量积及其应用例7.（广东·高考真题（理））已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成60的是（ ） A ．()1,1,0-B ．()1,1,0-C ．()0,1,1-D ．()1,0,1-例8.（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱P A 的长为2，且P A 与AB 、AD 的夹角都等于60°，M 是PC 的中点，设AB a =，AD b =，c AP =.（1）试用a ，b ，c 表示向量BM ；（2）求BM 的长.例9. （2020·全国·高三专题练习）已知向量(2,1,2)a =-，(1,0,1)c =-，若向量b 同时满足下列三个条件：①1a b ⋅=-；①3b =；①b 与c 垂直.（1）求2a c +的模； （2）求向量b 的坐标. 【总结提升】空间向量数量积的应用题型四：利用空间向量证明平行例10.（2021·全国·高三专题练习）如图，在四面体ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点.（1）求证：E ，F ，G ，H 四点共面；（2）求证：//BD 平面EFGH ；（3）设M 是EG 和FH 的交点，求证：对空间任意一点O ，有()14OM OA OB OC OD =+++. 例11.（2020·全国·高三专题练习（理））如图所示，平面P AD ①平面ABCD ，ABCD 为正方形，①P AD 是直角三角形，且P A ＝AD ＝2，E ，F ，G 分别是线段P A ，PD ，CD 的中点.求证：（1）PB //平面EFG ； （2）平面EFG //平面PBC . 【规律方法】利用空间向量证明平行的方法 1.线线平行:证明两直线的方向向量共线2.线面平行:①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行3.面面平行:①证明两平面的法向量为共线向量；②转化为线面平行、线线平行问题 题型五：利用空间向量证明垂直例12.（2022·河南·宝丰县第一高级中学模拟预测（文））如图，O ，1O 是圆柱底面的圆心，1AA ，1BB ，1CC均为圆柱的母线，AB 是底面直径，E 为1AA 的中点．已知4AB =，BC =(1)证明：1AC BC ⊥；(2)若1AC BE ⊥，求该圆柱的体积．例13．（2022·全国·高三专题练习）已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1上的动点．（1）求证：A 1E ⊥BD ；（2）若平面A 1BD ⊥平面EBD ，试确定E 点的位置．例14．（2020·全国·高三专题练习）直四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，90ABC ∠=︒，E 、F 分别为棱AB 、11B C 上的点，2AE EB =，112C F FB =.求证：（1）//EF 平面11AAC C ；（2）线段AC 上是否存在一点G ，使面EFG ⊥面11AAC C .若存在，求出AG 的长；若不存在，请说明理由. 【规律方法】利用空间向量证明垂直的方法1.线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零2.线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示3.面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示专题8.6 空间向量及其运算和空间位置关系（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1．考查空间向量的概念及运算，凸显数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象的核心素养．2．考查空间向量的应用，凸显逻辑推理、数学运算、直观想象的核心素养．【知识点展示】1．平行(共线)向量与共面向量2①a∥b时，θ＝__0或π__，θ＝__0__时，a与b同向；θ＝__π__时，a与b反向．②a ⊥b ⇔θ＝__π2__⇔a ·b ＝0．③θ为锐角时，a ·b __>__0，但a ·b >0时，θ可能为__0__；θ为钝角时，a ·b __<__0，但a ·b <0时，θ可能为__π__．④|a ·b |≤|a |·|b |，特别地，当θ＝__0__时，a ·b ＝|a |·|b |，当θ＝__π__时，a ·b ＝－|a |·|b |．⑤对于实数a 、b 、c ，若ab ＝ac ，a ≠0，则b ＝c ；对于向量a 、b 、c ，若a ·b ＝a ·c ，a ≠0，却推不出b ＝c ，只能得出__a ⊥(b －c )__．⑥a ·b ＝0⇒/ a ＝0或b ＝0，a ＝0时，一定有a ·b ＝__0__．⑦不为零的三个实数a 、b 、c ，有(ab )c ＝a (bc )成立，但对于三个向量a 、b 、c ，(a ·b )c __≠__a (b ·c )，因为a ·b 是一个实数，(a ·b )c 是与c 共线的向量，而a (b ·c )是与a 共线的向量，a 与c 却不一定共线． 3．空间向量基本定理(1)如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝__x a ＋y b ＋z c __．(2)如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么所有空间向量组成的集合就是{p|p ＝x a ＋y b ＋z c ，x ，y ，z ∈R }，这个集合可看作是由向量a 、b 、c 生成的，我们把{__a ，b ，c __}叫做空间的一个基底，a 、b 、c 都叫做__基向量__，空间任何三个__不共面__的向量都可构成空间的一个基底，同一(相等)向量在不同基底下的坐标__不同__，在同一基底下的坐标__相同__． 4．空间向量的正交分解及其坐标表示设e 1、e 2、e 3为有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量(我们称它们为单位正交基底)．以e 1、e 2、e 3的公共起点O 为原点，分别以__e 1，e 2，e 3__的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系O －xyz ．对于空间任意一个向量p 一定可以把它平移，使它的__起点__与原点O 重合，得到向量OP →＝p ，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x e 1＋y e 2＋z e 3．我们把x 、y 、z 称作向量p 在单位正交基底e 1、e 2、e 3下的坐标，记作p ＝ (x ，y ，z )． 5.用向量描述空间平行关系设空间两条直线l 、m 的方向向量分别为a ＝(a 1，a 2，a 3)、b ＝(b 1，b 2，b 3)，两个平面α，β的法向量分别为u ＝(u 1，u 2，u 3)，v ＝(v 1，v 2，v 3)，则有如下结论：6. 用向量证明空间中的垂直关系①设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔v 1·v 2＝0.②设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α⇔v∥u . ③设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β⇔u 1⊥u 2⇔u 1·u 2＝0. 7.共线与垂直的坐标表示设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ∥b ⇔a ＝λb ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R)，a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0(a ，b 均为非零向量)．【常考题型剖析】题型一：空间向量的运算例1.（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若AB a =，AD b =，1AA c =，则BM =（ ）A ．1122a b c -+B ．1122a b c ++C ．1122a b c --+D ．1122-++a b c【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的运算法则和空间向量基本定理相关知识求解即可. 【详解】由题意得，()()1111111111121222112BM BB B D AA A D A B AA AD A b c B a =+=+--+=+-=+.故选：D例2. （2022·全国·高三专题练习）如图，OABC 是四面体，G 是ABC 的重心，1G 是OG 上一点，且14OG OG =，则（ ）A ．1111666OG OA OB OC =++B ．1OG =111121212OA OB OC ++ C ．1OG =111181818OA OB OC ++ D ．1OG =111888OA OB OC ++【答案】B 【解析】 【分析】利用向量加法减法的几何意义并依据空间向量基本定理去求向量1OG 【详解】连接AG 并延长交BC 于N ，连接ON ，由G 是ABC 的重心，可得23AG AN =，()12ON OB OC =+ 则()()2221112=3332333AG AN ON OA OB OC OA OB OC OA ⎡⎤=-=+-=+-⎢⎥⎣⎦ 则()1111112444333OG OG OA AG OA OB OC OA ⎛⎫==+=++- ⎪⎝⎭111121212OA OB OC =++故选：B例3.（安徽·高考真题（理））在正四面体O －ABC 中，,,OA a OB b OC c ===，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE ＝______________(用,,a b c 表示)．【答案】111244a b c ++【解析】 【详解】因为在四面体O ABC -中，,,,OA a OB b OC c D ===为BC 的中点，E 为AD 的中点，()1222OA OD O OE A OD ∴=+=+()111222a OB OC =+⨯+()1111124244a b c a b c =++=++ ，故答案为111244a b c ++. 【方法技巧】用基向量表示指定向量的方法(1)结合已知向量和所求向量观察图形．(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中．(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来． 题型二：共线(共面)向量定理的应用例4.（2023·全国·高三专题练习）以下四组向量在同一平面的是（ ） A ．()1,1,0、()0,1,1、()1,0,1 B ．()3,0,0、()1,1,2、()2,2,4 C ．()1,2,3、()1,3,2、()2,3,1 D ．()1,0,0、()0,0,2、()0,3,0【答案】B 【解析】 【分析】利用共面向量的基本定理逐项判断可得出合适的选项. 【详解】对于A 选项，设()()()1,1,00,1,11,0,1m n =+，所以，110n m m n =⎧⎪=⎨⎪+=⎩，无解；对于B 选项，因为()()()2,2,403,0,021,1,2=⋅+，故B 选项中的三个向量共面；对于C 选项，设()()()1,2,31,3,22,3,1x y =+，所以，2133223x y x y x y +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，无解；对于D 选项，设()()()1,0,00,0,20,3,0a b =+，所以，013020b a =⎧⎪=⎨⎪=⎩，矛盾.故选：B.例5.（2022·广西桂林·模拟预测（文））如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的中心为O ，则下列结论中①OA +OD 与OA 1+OD 1是一对相反向量；②OB -OC 1与OC -OB 1是一对相反向量；③OA 1+OB 1+OC 1+OD 1与OD +OC +OB +OA 是一对相反向量； ④OC -OA 与OC 1-OA 1是一对相反向量． 正确结论的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A 【解析】 【分析】由向量的加减运算对各个选项进行检验即可. 【详解】设E,F 分别为AD 和A 1D 1的中点，①OA +2OD OE =与1OA +12OD OF =不是一对相反向量，错误； ②OB -11OC C B =与OC -11OB B C =不是一对相反向量，错误；③OA 1+OB 1+OC 1+()1OD OC OD OA OB OC OD OA OB =----=-+++是一对相反向量,正确； ④OC -OA AC =与OC 1-111OA AC =不是一对相反向量,是相等向量，错误． 即正确结论的个数为1个故选：A例6.（2020·全国·高三专题练习）已知O 、A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 为空间的9个点（如图所示），并且OE kOA =，OF kOB =，OH kOD =，AC AD mAB =+，EG EH mEF =+．求证：（1）A、B、C、D四点共面，E、F、G、H四点共面；AC EG．（2）//【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）证明出AC、AB、AD为共面向量，结合AC、AB、AD有公共点可证得A、B、C、D四点共面，同理可证得E、F、G、H四点共面；AC EG．（2）证得EG k AC=，再由EG和AC无公共点可证得//【详解】（1）因为AC AD mAB=+，所以，AC、AB、AD为共面向量，因为AC、AB、AD有公共点A，故A、B、C、D四点共面，因为EG EH mEF=+，则EG、EH、EF为共面向量，因为EG、EH、EF有公共点E，故E、F、G、H四点共面；（2）OE kOA=，=，OF kOB=，OH kOD()EG EH mEF OH OE m OF OE=+=-+-()()()=-+-=+=+=，//k OD OA km OB OA k AD kmAB k AD mAB k AC∴，AC EGAC EG.因为AC、EG无公共点，故//【总结提升】证明三点共线和空间四点共面的方法比较题型三：空间向量数量积及其应用例7.（广东·高考真题（理））已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成60的是（ ） A ．()1,1,0- B ．()1,1,0- C ．()0,1,1- D ．()1,0,1-【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：对于A 选项中的向量()11,0,1a =-，11111cos ,22a a a a a a ⋅-〈〉===-⋅⋅，则1,120a a 〈〉=；对于B 选项中的向量()21,1,0a =-，22211cos ,22a a a a a a ⋅〈〉===⋅，则2,60a a 〈〉=；对于C 选项中的向量()30,1,1a =-，2321cos ,22a a a a a a ⋅-〈〉===-⋅，则2,120a a 〈〉=；对于D 选项中的向量()41,0,1a =-，此时4a a =-，两向量的夹角为180.故选B.例8.（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱P A 的长为2，且P A 与AB 、AD 的夹角都等于60°，M 是PC 的中点，设AB a =，AD b =，c AP=.（1）试用a ，b ，c 表示向量BM ； （2）求BM 的长.【答案】（1）111222a b c -++；（2）2【解析】 【分析】（1）将AD BC =，BP AP AB =-代入1()2BM BC BP =+中化简即可得到答案；（2）利用22||BM BM =，结合向量数量积运算律计算即可. 【详解】（1）M 是PC 的中点，1()2BM BC BP ∴=+.AD BC =，BP AP AB =-，1[()]2BM AD AP AB ∴=+-，结合AB a =，AD b =，c AP =，得1111[()]2222BM b c a a b c =+-=-++.（2）1AB AD ==，2PA =， ||||1a b ∴==，||2c =.AB AD ⊥，60PAB PAD ∠=∠=︒， 0a b ∴⋅=，21cos601a c b c ⋅=⋅=⨯⨯︒=.由（1）知111222BM a b c =-++，()2222211112222224BM a b c a b c a b a c b c ⎛⎫∴=-++=++-⋅-⋅+⋅⎪⎝⎭13(114022)42=⨯++--+=，6||2BM ∴=即BM 例9. （2020·全国·高三专题练习）已知向量(2,1,2)a =-，(1,0,1)c =-，若向量b 同时满足下列三个条件：①1a b ⋅=-；①3b =；①b 与c 垂直. （1）求2a c +的模；（2）求向量b 的坐标. 【答案】（1）1；（2）(2,1,2)b =-或(2,1,2)b =---. 【解析】 【分析】（1）求出2a c +的坐标，即可求出2a c +的模；（2）设(,,)b x y z =，则由题可知22222190x y z x y z x z +-=-⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩，解出即可得出．【详解】解：（1）∵()2,1,2a =-，()1,0,1c =-， ∴()20,1,0a c +=， 所以21a c += ；（2）设(),,b x y z =，则由题可知222221,9,0,x y z x y z x z +-=-⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩解得2,1,2,x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩或2,1,2,x y z =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩ 所以()2,1,2b =-或()2,1,2b =---. 【总结提升】空间向量数量积的应用题型四：利用空间向量证明平行例10.（2021·全国·高三专题练习）如图，在四面体ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点.（1）求证：E ，F ，G ，H 四点共面；（2）求证：//BD 平面EFGH ；（3）设M 是EG 和FH 的交点，求证：对空间任意一点O ，有()14OM OA OB OC OD =+++. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意得出EF HG =可证；（2）通过证明//HE BD 可得；（3）可得四边形EFGH 为平行四边形，M 为EG 中点，即可证明. 【详解】（1）E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点， 12EF AC ∴=，12HG AC =，EF HG ∴=，又E ，F ，G ，H 四点不共线，故E ，F ，G ，H 四点共面； （2）E ，H 分别是AB ，AD 的中点， 12HE DB ∴=，//HE DB ∴，//HE BD ∴， HE ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ，∴//BD 平面EFGH ；（3）由（1）知四边形EFGH 为平行四边形，M ∴为EG 中点， E ，G 分别是AB ，CD 的中点， 11111()()()()22224OM OE OG OA OB OC OD OA OB OC OD ⎡⎤∴=+=+++=+++⎢⎥⎣⎦. 例11.（2020·全国·高三专题练习（理））如图所示，平面P AD ①平面ABCD ，ABCD 为正方形，①P AD 是直角三角形，且P A ＝AD ＝2，E ，F ，G 分别是线段P A ，PD ，CD 的中点.求证：（1）PB //平面EFG ；（2）平面EFG //平面PBC .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1）平面P AD ⊥平面ABCD ，且ABCD 为正方形，构建空间直角坐标系A -xyz ，并确定A ，B ，C ，D ，P ，E ，F ，G 的坐标，法一：求得(0,1,0),(1,2,1)EF EG ==-，即可确定平面EFG 的一个法向量n ，又0PB n ⋅=有n PB ⊥，则 PB //平面EFG 得证； 法二：由(2,0,2)PB =-，(0,1,0)FE =-，(1,1,1)FG =-，可知22PB FE FG =+，根据向量共面定理即有PB ，FE 与FG 共面，进而可证PB //平面EFG ；（2）由（1）有(0,1,0),(0,2,0)EF BC ==即2BC EF =，可得BC //EF ，根据线面平行的判定有EF //平面PBC ，GF //平面PBC ，结合面面平行的判定即可证平面EFG //平面PBC .【详解】（1）因为平面P AD ⊥平面ABCD ，且ABCD 为正方形，所以AB ，AP ，AD 两两垂直.以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (2,2,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)，E (0,0,1)，F (0,1,1)，G (1,2,0). 法一：(0,1,0),(1,2,1)EF EG ==- 设平面EFG 的法向量为(,,)n x y z =，则00n EF n EG ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即020y x y z =⎧⎨+-=⎩,令z ＝1，则(1,0,1)n =为平面EFG 的一个法向量， ∵(2,0,2)PB =-，∴0PB n ⋅=，所以n PB ⊥， ∵PB ⊄平面EFG ， ∴PB //平面EFG .法二：(2,0,2)PB =-，(0,1,0)FE =-，(1,1,1)FG =-. 设PB sFE tFG =+，即(2,0,－2)＝s (0,－1,0)＋t (1,1,－1)，所以202t t s t =⎧⎪-=⎨⎪-=-⎩解得s ＝t ＝2.∴22PB FE FG =+，又FE 与FG 不共线，所以PB ，FE 与FG 共面.∵PB ⊄平面EFG ，∴PB ∥平面EFG .（2）由（1）知：(0,1,0),(0,2,0)EF BC ==，∴2BC EF =，所以BC //EF .又EF ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以EF //平面PBC ，同理可证GF //PC ，从而得出GF //平面PBC .又EF ∩GF ＝F ，EF ⊂平面EFG ，GF ⊂平面EFG ，∴平面EFG //平面PBC .【规律方法】利用空间向量证明平行的方法1.线线平行:证明两直线的方向向量共线2.线面平行:①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行3.面面平行:①证明两平面的法向量为共线向量；②转化为线面平行、线线平行问题题型五：利用空间向量证明垂直例12.（2022·河南·宝丰县第一高级中学模拟预测（文））如图，O ，1O 是圆柱底面的圆心，1AA ，1BB ，1CC均为圆柱的母线，AB 是底面直径，E 为1AA 的中点．已知4AB =，BC =(1)证明：1AC BC ⊥；(2)若1AC BE ⊥，求该圆柱的体积．【答案】(1)见解析(2)【解析】【分析】（1）通过线面垂直证明线线垂直（2）建立空间直角坐标系，根据垂直条件解出圆柱的高(1)连结AC ，可知AC BC ⊥1CC ⊥平面ABC 1CC BC ∴⊥1CC AC C =BC ∴⊥平面1ACC1BC AC ∴⊥(2)如图，以C 为原点，1,,CA CB CC 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系设圆柱的高为h可得1(2,0,0),(0,0,),(2,0,)2h A B C h E1(2,0,),(2,)2h AC h BE =-=-由题意得21402h AC BE ⋅=-+=，解得h =故圆柱的体积2V πr h ==例13．（2022·全国·高三专题练习）已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1上的动点．（1）求证：A 1E ⊥BD ；（2）若平面A 1BD ⊥平面EBD ，试确定E 点的位置．【答案】（1）证明见解析；（2）E 为CC 1的中点.【解析】【分析】以D 为原点，DA 、DC 、DD 1为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系.（1）计算10A E BD →→⋅=即可证明；（2）求出面A 1BD 与面EBD 的法向量，根据法向量垂直计算即可．【详解】以D 为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图，设正方体的棱长为a ，则A (a ，0，0)，B (a ，a ，0)，C (0，a ，0)，A 1(a ，0，a )，C 1(0，a ，a )．设E (0，a ，e )(0≤e ≤a )．（1）1A E →＝(－a ，a ，e －a )，BD →＝(－a ，－a ，0)，1A E BD →→⋅＝a 2－a 2＋(e －a )·0＝0， ∴1A E BD →→⊥，即A 1E ⊥BD ；（2）设平面A 1BD ，平面EBD 的法向量分别为1n →＝(x 1，y 1，z 1)，2n →＝(x 2，y 2，z 2)．∵DB →＝(a ，a ，0)，1DA →＝(a ，0，a )，DE →＝(0，a ，e )∴10n DB →→⋅=， 110n DA →→⋅=， 20n DB →→⋅=，10n DE →→⋅=. ∴11110,0,ax ay ax az +=⎧⎨+=⎩, 22220,0.ax ay ay ez +=⎧⎨+=⎩ 取x 1＝x 2＝1，得1n →＝(1，－1，－1)，2n →＝(1，－1，a e)．由平面A 1BD ⊥平面EBD 得1n →⊥2n →. ∴2－a e＝0，即e ＝2a . ∴当E 为CC 1的中点时，平面A 1BD ⊥平面EBD .例14．（2020·全国·高三专题练习）直四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，90ABC ∠=︒，E 、F 分别为棱AB 、11B C 上的点，2AE EB =，112C F FB =.求证：（1）//EF 平面11AAC C ；（2）线段AC 上是否存在一点G ，使面EFG ⊥面11AAC C .若存在，求出AG 的长；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，AG =【解析】【分析】（1）以1A 为原点，11A D ，11A B ，1A A 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系：根据向量的坐标可得11113EF A A AC =-+，由此可证//EF 平面11AAC C ； （2）将问题转化为线段AC 上是否存在一点G ，使EG AC ⊥，则问题不难求解.【详解】（1）如图所示：以1A 为原点，11A D ，11A B ，1A A 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系：则1(0,0,0)A ，1(0,2,0)B ，1(2,2,0)C ，设(0,0,)A a ，则4(0,,)3E a ，2(,2,0)3F ， 所以22(,,)33EF a =-，1(0,0,)A A a =，11(2,2,0)AC =， 因为11113EF A A AC =-+，所以EF ，1A A ，11AC 共面，又EF 不在平面11AAC C 内， 所以//EF 平面11AAC C（2）线段AC 上存在一点G ，使面EFG ⊥面11AAC C ，且3AG =，证明如下：在三角形AGE 中，由余弦定理得EG ===， 所以222AG EG AE +=，即EG AG ⊥，又1A A ⊥平面ABCD ，EG ⊂平面ABCD ，、所以1A A EG ⊥，而1AG A A A ⋂=，所以EG ⊥平面11AAC C ，因为EG ⊂平面EFG ，所以EFG ⊥面11AAC C ，【规律方法】利用空间向量证明垂直的方法1.线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零2.线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示3.面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示。
高中数学新教材选择性必修第一册第一章《1.4空间向量
第一章 1.4.1空间向量的应用1.掌握空点、、面的向量表示间线.线与义会数2.理解直的方向向量平面的法向量的意；用待定系法求平面的法向量.证线与线线与与问3.能用向量法明直直、直平面、平面平面的平行题.知识点一 直线的方向向量与平面的法向量怎样来线间思考 用向量表示点、直、平面在空中的位置？(2)直：线①直的方向向量：和直平行或共的非零向量线这条线线.②于直对线l 上的任一点P ，存在实数t ，使得AP ―→＝t AB ―→，此方程直称为线的向量方程参数.答案 (1)点：在空中，我取一定点间们O 作基点，那空中任意一点为么间P 的位置就可以用向量OP ―→表示来.我把向量们OP ―→点称为P 的位置向量.(3)平面：①空中平面间α的位置可以由α不共向量确定内两个线.于平面对α上的任一点P ，a ，b 是平面α不共向量内两个线，存在有序则实数对(x ，y )，使得OP ―→＝x a ＋y b .②空中平面间α的位置可以用垂直于平面的直的方向向量表示还线.梳理 (1)直的方向向量和平面的法向量线直的方线向向量能平移到直上的线_____向量，叫做直的一方向向线个量平面的法向量直线l ⊥α，取直线l 的____________，叫做平面α的法向量非零方向向量n(2)空中平行系的向量表示间关直设线l ，m 的方向向量分别为a ，b ，平面α，β的法向量分别为μ，v ，则平行线线l ∥m ⇔_____⇔a ＝k b (k ∈R )面平行线l ∥α⇔a ⊥μ⇔_____＝0面面平行α∥β⇔μ∥v ⇔____________垂直线线l ⊥m ⇔a ⊥b ⇔_______面垂直线l ⊥α⇔a ∥μ⇔___________面面垂直α⊥β⇔μ⊥v ⇔________a ∥b a ·μμ＝k v (k ∈R )a ·b ＝0a ＝k μ(k ∈R )μ·v ＝0知识点二 利用空间向量处理平行问题思考 (1)设v1＝(a1，b1，c1)，v2＝(a2，b2，c2)分是直别线l1，l2的方向向量.若直线l1∥l2，向量则v1，v2足什系应满么关.答案 由直方向向量的定知若直线义线l1∥l2，直则线l1，l2的方向向量共，即线l1∥l2⇔v1∥v2⇔v1＝λv2(λ∈R).(2)若已知平面外一直的方向向量和平面的法向量，向量足线则这两满哪条说线与些件可明直平面平行？线与进线答案 可探究直的方向向量平面的法向量是否垂直，而确定面是否平行.处间两关键么(3)用向量法理空中平面平行的是什？关键两个来说两.答案 是找到平面的法向量，利用法向量平行明平面平行类型一 利用方向向量和法向量判定线面的位置关系例1 (1)设a，b分是不重合的直别线l1，l2的方向向量，根据下列件判条断l1，l2的位置系：关①a＝(4,6，－2)，b＝(－2，－3,1)；②a＝(5,0,2)，b＝(0,1,0)；解 ①∵a＝(4,6，－2)，b＝(－2，－3,1)，∴a＝－2b，∴a∥b，∴l1∥l2.②∵a＝(5,0,2)，b＝(0,1,0)，∴a·b＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2.∴μ·v ＝－3＋2＋1＝0，∴μ⊥v ，∴α⊥β.②∵μ＝(3,0,0)，v ＝(－2,0,0)，∴μ＝－32v ，∴μ∥v ，∴α∥β.(2)设μ，v 分是不同的平面别α，β的法向量，根据下列件判条断α，β的位置系：关①μ＝(－1,1，－2)，v ＝(3,2，－12)； ②μ＝(3,0,0)，v ＝(－2,0,0)；解①∵μ＝(－1,1，－2)，v ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3，2，－12，(3)设μ是平面α的法向量，a 是直线l 的方向向量，根据下列件判平条断面α与l 的位置系：关①μ＝(2,2，－1)，a ＝(－6,8,4)；②μ＝(2，－3,0)，a ＝(8，－12,0).解 ①∵μ＝(2,2，－1)，a ＝(－6,8,4)，∴μ·a ＝－12＋16－4＝0，∴μ⊥a ，∴l ⊂α或l ∥α.②∵μ＝(2，－3,0)，a ＝(8，－∴μ＝14a ，∴μ∥a ，∴l ⊥α.跟踪训练1 根据下列件，判相的、面位置系：条断应线关(1)直线l 1与l 2的方向向量分是别a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)；解 ∵a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)∴a ＝－13b ，∴a ∥b ，∴l 1∥l 2.(2)直线l1与l2的方向向量分是别a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)；解 ∵a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)，∴a·b≠0且a≠k b(k∈R)，∴a，b不共也不垂直，既线即l1与l2相交或面，但不垂直异.别μ＝(2，－3,4)，v＝(4，－2,1)；(3)平面α与β的法向量分是解 ∵μ＝(2，－3,4)，v＝(4，－2,1)，∴μ·v≠0且μ≠k v(k∈R)，既线α和β相交但不垂直.∴μ与v不共也不垂直，即(4)直线l 的方向向量，平面α的法向量分是别a ＝(0，－8,12)，μ＝(0,2，－3).解 ∵a ＝(0，－8,12)，μ＝(0,2，－3)， ∴μ＝－14a ，∴μ∥a ，即l ⊥α.类型二 求平面的法向量例2 如，图ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，求平面SCD 平面与SBA 的法向量.平面设SCD 的法向量n ＝(1，λ，u )，解 ∵AD 、AB 、AS 是三垂直的段，条两两线∴以A 原点，以为AD ―→、AB ―→、AS ―→的方向分别为x ，轴y ，轴z 轴的正方向建立坐系，标则A (0,0,0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，0，0，C (1,1,0)，S (0,0,1)，AD ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，0，0是平面SAB 的法向量，则n ·DC ―→＝(1，λ，u )·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，1，0＝12＋λ＝0，∴λ＝－12. n ·DS ―→＝(1，λ，u )·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，0，1＝－12＋u ＝0， ∴u ＝12，∴n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，－12，12. 上，综平面SCD 的方向量为n ＝(1，－12，12)，平面SBA 的法向量为AD ―→＝(12，0,0).跟踪训练2 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求证DB 1―→是平面ACD 1的一法向量个.证明 正方体的设棱长为1，同理DB 1⊥AD 1，又AC ∩AD 1＝A ，所以DB 1⊥平面ACD 1， 分以别DA ―→，DC ―→，DD 1―→位正交基底建立如所示的空直角坐系，为单图间标 则DB 1―→＝(1,1,1)，AC ―→＝(－1,1,0)，AD 1―→＝(－1,0,1)，于是有DB 1―→·AC ―→＝0， 所以DB 1―→⊥AC ―→，即DB 1⊥AC ，而从DB ―→是平面ACD 的一法向量个.类型三 利用空间向量证明平行关系例3 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E、F分是别BB1、DD1的中点，求：证(1)FC1∥平面ADE；证明 建立如所示空直角坐系图间标Dxyz ，有则D (0,0,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2,2)，E (2,2,1)，F (0,0,1)，B 1(2,2,2)，所以FC ―→1＝(0,2,1)，DA ―→＝(2,0,0)，AE ―→＝(0,2,1).设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的法向量，则n 1⊥DA ―→，n 1⊥AE ―→，即⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DA ―→＝2x 1＝0，n 1·AE ―→＝2y 1＋z 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，z 1＝－2y 1，令z 1＝2，则y 1＝－1，所以n 1＝(0，－1,2).因为FC ―→1·n 1＝－2＋2＝0，所以FC ―→1⊥n 1.又因为FC 1⊄平面ADE ，所以FC 1∥平面ADE .(2)平面ADE ∥平面B 1C 1F .令z 2＝2，得y 2＝－1，所以n 2＝(0，－1,2)，因为n 1＝n 2，证明 因为C 1B ―→1＝(2,0,0)，设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的一法向量个.由n 2⊥FC ―→1，n 2⊥C 1B ―→1，得⎩⎪⎨⎪⎧n 2·FC ―→1＝2y 2＋z 2＝0，n 2·C1B ―→1＝2x 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，z 2＝－2y 2.跟踪训练3 如，四图棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，PB 底与面成的角为45°，底面ABCD 直角梯形，为∠ABC ＝∠BAD ＝90°，P A ＝BC ＝ AD ＝1，在问棱PD 上是否存在一点E ，使CE ∥平面P AB ？若存在，求出E 点的位置；若不存在，明理由说.12解 分以别AB ，AD ，AP 为x ，轴y ，轴z 建立空直角坐系，轴间标∴P (0,0,1)，C (1,1,0)，D (0,2,0)，∴存在E 点，点当E 为PD 中点，时CE ∥平面设E (0，y ，z )，则PE ―→＝(0，y ，z －1)，PD ―→＝(0,2，－1)，∵PE ―→∥PD ―→，∴y (－1)－2(z －1)＝0， ①∵AD ―→＝(0,2,0)是平面P AB 的法向量，又CE ―→＝(－1，y －1，z )，CE ∥平面P AB ， ∴CE ―→⊥AD ―→，∴(－1，y －1，z )·(0,2,0)＝0.∴y ＝1，代入①得z ＝12，∴E 是PD 的中点，1.若A (－1,0,1)，B (1,4,7)在直线l 上，直则线l 的一方向向量个为( )A.(1,2,3)B.(1,3,2)C.(2,1,3)D.(3,2,1)A 解析 因为AB ―→＝(2,4,6)，所以与AB ―→共的非零向量都可以作直线为线l 的方向向量.2.已知直线l 1的方向向量a ＝(2，－3,5)，直线l 2的方向向量b ＝(－4，x ，y )，若直两线l 1∥l 2，则x ，y 的分是值别( )A.6和－10B.－6和10C.－6和－10D.6和10解析 由直两线l 1∥l 2，得向量两a ，b 平行，A 即2－4＝－3x ＝5y ，所以x ，y 的值分是别6和－10.解析 能作平面为α的法向量的向量与μ＝(2，－3,1)共，线(－2,3，－1)＝－μ.D 3.若μ＝(2，－3,1)是平面α的一法向量，下列向量中能作平面个则为α的法向量的是( )A.(0，－3,1) B.(2,0,1)C.(－2，－3,1)D.(－2,3，－1)C 4.若直线l ∥α，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，12，2，则m 为( )A.－4B.－6C.－8D.8解析 ∵l ∥α，平面α的法向量为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，12，2，∴(2，m,1)·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，12，2＝0.∴2＋12m ＋2＝0.∴m ＝－8.解析 不妨正方体的设棱长为1，建立空直角坐系，间标各点坐：则标为A (1,0,0)，C (0,1,0)，D 1(0,0,1)，平面设ACD 1的一法向量个a ＝(x ，y ，z )，5.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，平面ACD 1的一法向量个为________.则a ·AC ―→＝0, a ·AD ―→1＝0.因为AC ―→＝(－1,1,0)，AD ―→1＝(－1,0,1)，所以 ⎩⎪⎨⎪⎧ (－1)·x ＋1·y ＋0·z ＝0，(－1)·x ＋0·y ＋1·z ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x －z ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ，x ＝z ，不妨取x ＝1，a ＝(1,1,1).(注：答案不唯一，只要与所给答案共线都对)规律与方法(1)空中一直的方向向量有无间条线数个.(2)方向向量在判、面位置系起到重要的作用断线线线关时.(4)利用待定系法求平面的法向量，求出向量的、、坐是具有数横纵竖标某系的，而不是具体的，可定某坐常，再表示其他坐种关值设个标为数标.(3)段中点的向量表式：于线达对AP ―→＝t AB ―→，当t ＝12，我就得到段中时们线点的向量表式达.点设M 是段线AB 的中点，则OM ―→＝12(OA ―→＋OB ―→)，就是这段线AB 中点的向量表式达.(5)明面平行的方法证线个v是直线l的方向向量，则v⊥n且l上①设n是平面α的一法向量，至少有一点A∉α，则l∥α.线与内条线线“如果平面外直平面的一直平行，②根据面平行的判定定理：么这条线这个”，要明一直和一平面平行，也可证条线个那直和平面平行内个与线线.以在平面找一向量已知直的方向向量是共向量个两个线③根据共面向量定理可知，如果一向量和不共的向量是共面向么这个与这两个线证量，那向量不共向量确定的平面必定平行，因此要明平面外一直和一平面平行，只要明直的方向向量能条线个证这条线够内两个线线.用平面不共向量性表示即可(6)明面面平行的方法证证转为线证个内两条①面面平行的明可化面平行的明，即如果一平面的线别么这两个.相交直分平行于另一平面，那平面平行②利用平面的法向量，明面面平行，即如果证a⊥平面α，b⊥平面β，且a∥b，那么α∥β.第一章 1.4.2空间向量的应用断简单线线线关.1.能用向量法判一些、面、面面垂直系语线与线线与与2.能用向量言表述直直、直平面、平面平面的垂直关.系证间线关关.3.能用向量方法明空面垂直系的有定理知识点一 向量法判断线线垂直思考 若直线l 1的方向向量为μ1＝(1,3,2)，直线l 2的方向向量为μ2＝(1，－1,1)，那直是否垂直？用向量法判直垂直的一般方法么两线断两条线是什？么答案 l 1与l 2垂直，因为μ1·μ2＝1－3＋2＝0，所以μ1⊥μ2，又μ1，μ2是直的方向向量，所以两线l 1与l 2垂直.(2)判直的方向向量的量是否零，若量零，直垂断两线数积为数积为则两线直，否不垂直则.判直是否垂直的方法：断两条线(1)在直上分取点两线别两A 、B 与C 、D ，计算向量AB ―→与CD ―→的坐，若标AB ―→·CD ―→＝0，直垂直，否不垂直则两线则.知识点二 向量法判断线面垂直梳理 直设线l 的方向向量为a ＝(a 1，a 2，a 3)，直线m 的方向向量为b ＝(b 1，b 2，b 3)，则l ⊥m ⇔____＝0⇔__________________a·b a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0思考 若直线l 的方向向量为μ1＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2，43，1，平面α的法向量为μ2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3，2，32，直则线l 平面与α的位置系是的？如何用向量法判直平面的位置关怎样断线与系？关判直平面的位置系的方法：断线与关(1)直的方向向量平面的法向量共线与线⇒l ⊥α.(2)直的方向向量平面的法向量垂直线与⇒直平面平行或直在平面线与线内.(3)直的方向向量平面的相交直的方向向量垂直线与内两线⇒l ⊥α 答案 垂直，因为μ1＝23μ2，所以μ1∥μ2，即直的方向向量平面的法向量线与平行，所以直线l 平面与α垂直.梳理 直设线l的方向向量a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量μ＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔a∥μ⇔____________.a＝kμ(k∈R)知识点三 向量法判断面面垂直思考 平面α，β的法向量分别为μ1＝(x1，y1，z1)，μ2＝(x2，y2，z 2)，用向量坐法表示平面标两α，β垂直的系式是什？关么答案 x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.梳理 若平面α的法向量为μ＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为ν＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔μ⊥ν⇔μ·ν＝0⇔__________________.a1a2＋b1b2＋c1c2＝0类型一 证明线线垂直例1 已知正三柱棱ABC —A 1B 1C 1的各都棱长为1，M 是底面上BC 的边中点，N 是侧棱CC 1上的点，且CN ＝14CC 1.求：证AB 1⊥MN .证明 设AB 中点为O ，作OO 1∥AA 1.以O 坐原点，为标OB 为x ，轴OC 为y ，轴OO 1为z 建立如所示的空直角坐系轴图间标. ∵M 为BC 中点，由已知得A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，0，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，32，0， N ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，32，14，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，0，1，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14，34，0. ∴MN ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－14，34，14，AB ―→1＝(1,0,1)，∴MN ―→·AB ―→1＝－14＋0＋14＝0. ∴MN ―→⊥AB ―→1，∴AB 1⊥MN .跟踪训练1 已知如，在直三柱图棱ABC—A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4，求：证AC ⊥BC 1.证明 ∵直三柱棱ABC －A 1B 1C 1底面三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，∴AC 、BC 、C 1C 垂直两两.如，以图C 坐原点，为标CA 、CB 、CC 1所在直分线别为x 、轴y 、轴z 建立空直角坐系轴间标.则C (0,0,0)，A (3,0,0)，C 1(0,0,4)，B (0,4,0)，∵AC ―→＝(－3,0,0)，BC ―→1＝(0，－4,4)，∴AC ―→·BC ―→1＝0.∴AC ⊥BC 1.类型二 证明线面垂直例2 如所示，在正方体图ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点.求：证A1O⊥平面GBD.证明 方法一 如以图D 坐原点，为标DA 、DC 、DD 1所在的直分线别为x ，轴y ，轴z 建立空直角坐系轴间标.正方体设棱长为2，则O (1,1，0)，A 1(2,0,2)，G (0,2,1)，B (2,2,0)，D (0,0,0)，∴OA 1⊥平面GBD . ∴OA ―→1＝(1，－1,2)，OB ―→＝(1,1,0)，BG ―→＝(－2,0,1)，而OA ―→1·OB ―→＝1－1＋0＝0，OA ―→1·BG ―→＝－2＋0＋2＝0.∴OA ―→1⊥OB ―→，OA ―→1⊥BG ―→，即OA 1⊥OB ，OA 1⊥BG ，而OB ∩BG ＝B ，平面设GBD 的一法向量个为n ＝(x ，y ，z )，令x ＝1，得z ＝2，y ＝－1，∴平面GBD 的一法向量个为(1，－1,2)， ∴A 1O ―→∥n ，∴A 1O ⊥平面GBD .方法二 同方法一建系后，BG ―→＝(－2,0,1)，BD ―→＝(－2，－2,0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ BG ―→·n ＝0，BD ―→·n ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋z ＝0，－2x －2y ＝0，然显A 1O ―→＝(－1,1，－2)＝－n ，跟踪训练2 如，方体图长ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，点P为DD1的中点.求：直证线PB1⊥平面P AC.证明 如建系，图C (1,0,0)，A (0,1,0)，P (0,0,1)，B 1(1,1,2)，PC ―→＝(1,0，－1)，P A ―→＝(0,1，－1)，PB ―→1＝(1,1,1)，B 1C ―→＝(0，－1，－2)，B 1A ―→＝(－1,0，－2).PB ―→1·PC ―→＝(1,1,1)·(1,0，－1)＝0，所以PB ―→1⊥PC ―→，即PB 1⊥PC .又PB ―→1·PA ―→＝(1,1,1)·(0,1，－1)＝0，所以PB ―→1⊥P A ―→，即PB 1⊥P A .又P A ∩PC ＝P ，所以PB 1⊥平面P AC .类型三 证明面面垂直例3 在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝证90°，∠ADB＝30°，E、F分是别AC、AD的中点，求：平面BEF⊥平面ABC.证明 以B 原点建立如所示的空直角坐系，为图间标平面设ABC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，设A (0,0，a )，易得则B (0,0，0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32a ，32a ，0，D (0，3a,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫34a ，34a ，a 2，F (0，32a ，a 2)， 故AB ―→＝(0,0，－a )，BC ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32a ，32a ，0.则⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·AB ―→＝0，n 1·BC ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －az 1＝0，x 1＋y 1＝0，设n2＝(x2，y2，z2)平面为BEF的一法向量，个取x1＝1，∴n1＝(1，－1,0)平面为ABC的一法向量个.同理可得n2＝(1,1，－3).∵n1·n2＝(1，－1,0)·(1,1，－3)＝0，∴平面BEF⊥平面ABC.。
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精心整理
高中数学空间向量之--平面法向量的求法及其应用
一、 平面的法向量
1、定义：如果α⊥→
a ，那么向量→
a 叫做平面α的法向量。
平面α的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。
2、平面法向量的求法
方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面α的法向量(,,1)n x y =[或(,1,)n x z =，或
(1,,
n y z =，得0n a ⋅=且0n b ⋅=，由此得到关
于,x y 的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是z y ,的一次方程。
Ax ),C B ;若平面与31=c
z
,称此方法三(
为空间中两个不平行的非零向量，其外积θsin |||→
b ，（θ为皆垂直的向量。
通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由的方向转为的方向时，大拇指所指的方向规定为→
→⨯-a b 。
(1设x a =→
（注：1例1、 已知，)1,2,1(),0,1,2(-==→
→
b a ， 试求（1）：;→
→
⨯b a （2）：.→
→⨯a b Key:(1))5,2,1(-=⨯→
→
b a ;)5,2,1()2(-=⨯→
→
a b
例2、如图1-1,在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -求平面AEF 的一个法向量n 。
)
2,2,1(:=⨯=→
→
→
AE AF n key 法向量
二、
1、 (1)、AB 图图(2),→=<m θ,→=<m θ的方向对平面α而言向外，→
n 的方向对平面β而言向内；在图2-3中，→
m 的方向对平面α而言向内，
→
n 的方向对平面β而言向内。
我们只要用两个向量的向量积（简称“外积”，满足“右手定则”）
使得两个半平面的法向量一个向内一个向外，则这两个半平面的法向量的夹角即为二面角βα--l 的平面角。
2、 求空间距离
（1）、异面直线之间距离:
方法指导：如图2-4,①作直线a 、b 的方向向量→
a 、→
b ，
求a 、b 的法向量→
n ，即此异面直线a 、b 的公垂线的方向向量； ②在直线a 、b 上各取一点A 、B ，作向量→
AB ；
③求向量→
AB 在→n 上的射影d ，则异面直线a 、b 间的距离为
=
d （2（3AB n d ⋅=
，其中（4）、平面与平面间的距离方法指导：如图=
d 。
n 是平面α3、（1（2线（3面
（4）、证明面面平行：在图2-11中,→m 向是平面α的法向量，→
n 是平面β的法向量，证明两平面的法向量共线（→
→=n m λ）。
三、高考真题新解
1、（
已知如图=∠DAB 中点
（Ⅱ）求解:以A .
).(→
AP I →
DC 又=∙∴→→n m ).(II →
).(III 又=→CB ,∴<→
→n m ∴面AMC 与面BMC 所成二面角的大小为)3arccos(-.]3
arccos [-π或
2、(2006年云南省第一次统测19题)(本题满分12分) 如图3-2，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， 已知AB ＝AA 1＝a ，B C a ，M 是AD 的中点。
(Ⅰ)求证：AD ∥平面A 1BC ； (Ⅱ)求证：平面A 1MC ⊥平面A 1BD 1； (Ⅲ)求点A 到平面A 1MC 的距离。
解:以D 点为原点,分别以DA,DC,DD 1为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系D-xyz 如图所示.
图
3-2
).(I )0,0,2(a BC -=→
,),,0(1a a BA -=→
,设平面A 1BC 的法向量为)2,2,0(221a a BA BC n =⨯=→
→
→
又)0,0,2(a AD -=→ ,0=∙∴→→AD n ,→
→⊥∴n AD ,即AD//平面A 1BC.
).(II ),0,22(a a MC =→
,)0,,2
2
(1a a MA -=→,设平面A 1MC 的法向量为:)2
2,22,
(2
221a a a MA MC m -=⨯=→
→→, 又),,2(1a a a BD --=→
,),,0(1a a BA -=→
,设平面A 1BD 1的法向量为:)2,2,0(2211a a BA BD n =⨯=→
→
→
,
=∙∴→→n m ).(III m =→
→
又MA =→ 四、 (1)（2）、（进（3。