法向量在立体几何解题中的应用
法向量在立体几何中的应用分类解析
法向量在立体几何中的应用分类解析一、法向量在解决立体几何问题方面用着广泛的应用，下面我们就来详细总结下法向量在立体几何方面的各种应用吧。
1.用法向量证明空间几何中的平行关系⑴线线平行。
设直线12,l l 的方向向量分别是a b 、，则要证明1l ∥2l ，只需证明a ∥b ，即()a kb k R =∈.⑵线面平行。
设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l ∥α，只需证明a u ⊥，即0a u ⋅=.⑶面面平行。
若平面α的法向量为u ，平面β的法向量为v ，要证α∥β，只需证u ∥v ，即证u v λ=.2. 用向量方法判定空间的垂直关系⑴线线垂直。
设直线12,l l 的方向向量分别是a b 、，则要证明12l l ⊥，只需证明a b ⊥，即0a b ⋅=. ⑵线面垂直设直线l 的方向向量是a ，平面α内的两个相交向量分别为m n 、，若0,.0a m l a n α⎧⋅=⎪⊥⎨⋅=⎪⎩则 ⑶面面垂直若平面α的法向量为u ，平面β的法向量为v ，要证αβ⊥，只需证u v ⊥，即证0u v ⋅=.3. 利用向量求空间角。
⑴求异面直线所成的角已知,a b 为两异面直线，A ，C 与B ，D 分别是,a b 上的任意两点，,a b 所成的角为θ，则cos .AC BD AC BDθ⋅=⑵求直线和平面所成的角求法：设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为u ，直线与平面所成的角为θ，a 与u 的夹角为ϕ， 则θ为ϕ的余角或ϕ的补角的余角.即有：cos s .in a u a uϕθ⋅==⑶求二面角二面角的平面角是指在二面角βα--l 的棱上任取一点O ，分别在两个半平面内作射线l BO l AO ⊥⊥,，则AOB ∠为二面角βα--l 的平面角.如图：求法：设二面角l αβ--的两个半平面的法向量分别为m n 、，再设m n 、的夹角为ϕ，二面角l αβ--的平面角为θ，则二面角θ为m n 、的夹角ϕ或其补角.πϕ- 根据具体图形确定θ是锐角或是钝角： 如果θ是锐角，则cos cos m n m nθϕ⋅==， 即arccosm n m nθ⋅=；如果θ是钝角，则cos cos m nm nθϕ⋅=-=-， 即arccos m n m n θ⎛⎫⋅ ⎪=-⎪⎝⎭. 4. 利用向量求空间距离点A 到平面α的距离（1）.若点P 为平面α外一点，点M 为平面α内任一点，平面α的法向量为n ，则P 到平面α的距离就等于MP 在法向量n 方向上的投影的绝对值.即cos ,d MP n MP=n MP MP n MP⋅=⋅n MP n⋅=(2). 直线a 与平面α之间的距离当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等。
法向量在立体几何解题中的应用
龙源期刊网
法向量在立体几何解题中的应用
作者：魏庆鼎
来源：《理科考试研究·高中》2013年第08期
高中数学教材引进了向量知识以后，为我们解决数学问题提供了一套全新的方法——向量法.向量法在解决求立几中的角和距离两大问题中，是行之有效的方法，它解决了以前旧版教
材立几中的这两个难点.在旧版教材中，运用几何法解决这两类问题，要通过“作”、“证”、“求”，既要有较强的空间想象能力，又要求学生对空间中，线、面之间的判定、性质等定理非常熟悉并能熟练应用，对学生，特别是中下水平的学生是一大难点.而现在向量法则很好解决
了这个难点，所以它对人们研究立几问题有着普及的意义.同时向量法对立几中的线面平行和
线面垂直、面面垂直和面面平行等位置关系的证明，也非常简便.
空间向量的引入使立体几何的解题变得直观、易懂.而“法向量”的灵活应用，给解决空间问题提供了一个很方便、实用的工具，会使我们在高考中快捷地解决立体几何问题.以下是本人
在教学过程中总结出来的关于“法向量”在立体几何中的一些应用.现把教学中得到的这些方法进行归类，供同行参考.
4.用法向量求二面角平面角的大小
求二面角的平面角的大小可先求出两个平面的法向量；则两法向量的夹角与二面角的平面角相等或互补.此时，观察二面角的平面角为锐角还是钝角，视情况而定.
（注：在证明面面平行或面面垂直时，也可采用此法.如两面的法向量共线，即两平面平行；如两平面的法向量垂直，即两平面垂直）从以上的一些例题中，我们不难看出“法向量”这一特殊工具在立体几何的解题中的优越性.但在具体做题中，我们还应对不同的题型选择更便
捷的方法去做，视自己对知识掌握的情况而定.。
无敌法向量在空间立体几何中的应用
形 ＣＥＦ所在 的平面互相 垂直，ＣＥ 上 Ｃ ，ＥＦ ／ ／ＡＣ ， ＡＢ ＝ ２ ． ＣＥ ＝ ＥＦ ＝
（ ）求证 ： Ｆ ／ 平面 ＤＥ ； Ｉ ／
ｎ＝（ ，２ ２１ ） ，
设Ｆ 是 棱Ｃ ｌ ｌ 上的点 Ｄ ，则Ｆ（１） ０ １，又 ｔ ，， ｔ ） ，１ （ Ｂ （ ０ ） 所以 １ （一 ，０ ｌ ， １， Ｂ Ｆ＝ ｔ １ ， １， １）
么这 条 直线和 这个 平面 平行 。
Ｉ Ｂｌ ０ ・Ａ ＝
Ｉ ・ ＢＥ ＝０
２ 如 果直 线 的方 向向量与 平 面的法 向量 平行 ，那么 这条 直 、 线 与这个 平面 垂直 。
（００高考北京 理 ｌ ２１ ６题 ）如 图，正方形 Ｃｌ 和 四边 Ｄ
得 ：以：ｚ ｉ ，： 则 ｛＋。｛令， 一 ＝ １ ｚ ： ｚ所 ＝ ’ ｚ ＋ ：
Ａ Ｄ—Ａ ｃｌ 中。Ｅ是 ＢＣ ｌ ＤＩ 棱ＤＤｌ 中点。 的
（Ｉ 在 Ｉ） 棱ｃ Ｄ 上 存在一 Ｉ ｌ 是否 点Ｆ ， Ｆ ∥ 使 平面
Ａｌ ＢＥ ？证明你 的结论 。
中被同学亲切的称为一 无敌法 向量。 本文将举例说明法向量的
几 种重 要应 用类 型 ，供参考 。
一
＝ Ｓ
，
ｌ ・ Ｅ ＝０ ｍ Ｂ
，● ● ●● ● ●● ● ● 、 ●● ● ●● ●●
得
得
…
【
， 设平 面 Ｃ ＭＮ 的 法
．
一
１ — 五 向 量 为２ Ｙ ＝（，，）
一
，
则 １厂
得ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
西 Ｊ ｑｒ０ ￣ｑ 一 ４２
－
。
＇
。
，● ●●●— ● ●１ ●【 ● ● ｚ，● ●２ ●
向量方法在立体几何教学中的应用
方 向向量 ， 那么ａ ／ ／ ｂ ／ ／ ∥ｋ ．
根 据 实 数 与 向量 的 积 的 定 义
二、 利 用 向量 证 明 垂直 问题 向量 解决 解 析几 何 问题 最理 想 的情 形是 题 中有 “ 垂直” ， “ 垂 直” 可 以 在结 论 中 ， 也 可 以在条 件 中 ， 此 时用 向量 的优 越 性非 常
｛ ． Ｅ ＝ ０
ＭＮ・ ＡＢ ＝（ ａ — ｔ ， ０， 一 ｔ ） ・ （ ０， ａ ， ０） ＝ ０
．
Ｌ的 方 向 向量 ＝（ １ ０ ， ６ ）
．
’ ＝ ２
・ ．
．
Ｌ ∥Ｌ ２
２ ． 直 线 与 平 面 平 行 可 转 化 为 直 线 的方 向 向量 与 平 面 的 法 向 量 的垂 直 ． 也 可 用 共 面 向量 定 理 证 明线 面 平 行 问 题 ． 如 图 所 示 ， 已知 正 方 形 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 和正方形Ａ Ｂ Ｅ Ｆ 所 在 平 面 互 相垂直 ， Ｍ， Ｎ 分 别 是 对 角 线Ａ Ｃ和Ｂ Ｆ 上 的 动 点 ，且 Ａ Ｍ＝ Ｆ Ｎ， 求
丽寸 上蕊 Ｎ Ｉ ＭＮ上Ａ Ｂ
２ ． 线 面垂 直 问题 ． 如图所示 ， 在 正方 体Ａ Ｂ Ｃ Ｄ — Ａ ． Ｂ ． Ｃ ． Ｄ 中， Ｏ 为Ａ Ｃ 与Ｂ Ｄ 的 交
证： ＭＮ ／ ／ 平面Ｂ Ｅ Ｃ ．
本 题 可 建 空 间 直 角 坐 标 系求 解 ， 利 用坐标运算解决 问题． 这样处理比较直观， 便 于 理 解 掌握 ． 如图所示 ， 以点 Ａ为 原 点 ， 以Ａ Ｆ ， Ａ Ｂ， Ａ Ｄ 所在 直线分别为ｘ 轴， ｙ 轴， ｚ 轴 的 正 方 向建 立 空 间 直 角 坐标 系Ａ — ｘ ｙ ｚ ． 设Ａ Ｂ ＝ ａ ， 则点 Ｂ 、 Ｃ、 Ｅ、 Ｆ 的坐 标分别 为 （ ０ ， ａ ， ０ ） ， （ ０ ， ａ ， ａ ） ，
向量在立体几何中的几点应用
向量在立体几何中的几点应用向量在立体几何中的几点应用在数学中，向量是一个有大小和方向的量，它在几何中的应用非常广泛。
在立体几何中，向量也有着重要的应用，下面就来谈谈它的一些应用。
1.向量的叉积向量的叉积在立体几何中有着广泛的应用。
它定义了一个向量和一个法向量，这使得它适用于区分面积和体积，这是立体几何中很重要的概念。
在计算立体几何的体积时，有时需要利用向量的叉积。
例如，在计算一个四棱锥的体积时，可以用其底面上的两个向量构成一个平面向量，然后将这个平面向量与第五个顶点所在的向量做叉积，便可以得到该四棱锥的体积。
这个方法非常简单，而且不需要用到具体的高度或底面积这样的参数，因此，在计算体积时十分方便。
另一个例子是，在求解两条直线的交点时可以使用向量的叉积。
如果已知两个直线所在的平面，可以将它们所在的向量取叉积，便可以得到一个垂直于两条直线所在平面的向量，从而可以得到它们的交点。
这个方法也非常简单，而且不需要求解方程组，因此在计算交点时比较方便。
2.向量的点积向量的点积在立体几何中也有着很重要的应用。
它可以用来计算向量的夹角，从而在计算三角形的面积或四面体的体积等问题时十分方便。
例如，在计算三角形的面积时，可以用两个边向量之间的夹角及其对顶点到该边的距离来计算。
这就用到了向量的点积。
在计算四面体的体积时，我们可以用面积乘以高度来计算，而面积可以使用向量的叉积计算，高度可以用向量的点积计算。
这种方法比基本的平行六面体法更直观，更方便。
3.平面与直线的向量表示在立体几何中，我们经常需要对平面和直线进行求交、平移、旋转等处理。
而这些处理都可以使用向量的表示法来简化。
例如，在求解平面与直线的交点时，如果已知平面和直线的法向量，我们就可以用向量的点积求出它们之间的夹角，从而计算出交点。
这个方法比纯粹的代数方法更加便捷、直观。
再例如，在计算平面和直线的平移时，可以用向量的加减法来表示平移后的位置。
这种向量的表示法非常简单、直观，因此在计算中能够提高效率。
例谈法向量在立体几何计算与证明中的运用
平 面 、
例 １ 如 图， ． 在正方体 ＡＢＣＤ —Ａ ｉ Ｃｉ 中 ， 、 Ｂｉ Ｄｉ Ｅ Ｆ 分别是 Ｂｉ ＣＤ 的中 点， 明面 ＡＥＤ 、 证 ｊ面 ｉ Ｌ 。 ＿ Ｆ Ｄｌ
证明 ： 建立如图空间直角坐标系Ｄ—ｘｚ，设正方体的 ｙ 棱长为 １ ，则Ａ １ ， ） Ａ（，， 。 （ ０ ０， ０１ ， １ ）
驯
，
，
， （＇ ’ ， Ｄ１ ０１ 。 ）
＿（ ｏ ０， ． －（ ０ ０ ＤＥ＿（，’ １ ，） ， １ ，） ， Ｏ１１ ， ４ ￣ — １ １
，
－（ ０
，
）
收稿 日期 ：２ ０ —０ ０ ６ ３—２ ３
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ・８ ・ ８
维普资讯
第 ３期
一
由
） ，
：
与
ｓｎ ｉ
＝
ｌ ＦＡ
，ｌ
＝３
＝
・ ５ｌ ｌ √ Ｙ
５
．
与平
Ｄ１ 所 。。
，一
为 ａ ｃ ｉ ｒｓ ｎ 。 ５
・８ ・ ９
维普资讯
延 边教育 学院学报
２０ 生 ０６
ｌ
Ｅ＝（， ， １ ， ０２ 一 ） 设ｎ ｘ ，） （ ， 二 是平面ＡＤｉ Ｉ Ｅ的法向 量，
Ｉ Ｄ，， ， ｆ ＝０ 一 Ａ ＝０ ２ ， 得 二 ０ Ｉ＝（， ， ） ，１ ０ｙ ２ （ ｌ ・ ＝０ 【 １ 二 ｕ ， Ｅ ， －一 ， ２Ａ
向 量 的 引入 ，在 很 大程 度 上避 开 了思 维 的 高强 度 转 换 和 各 种 辅 助 线 的 添 加 ，代 之 以 空 间 向量
的计 算与证 明 ，使 思路 变得顺畅 ，充分显 示 出其独特 的优势 ．
3.2立体几何中的向量方法——法向量
(4)解方程组，取其中的一 个解，即得法向量。
例1： 已 知 A(0,2,3), B( 2,0， - 1), C ( 3， - 4,0) 求平面 ABC的 法 向 量 。
问题：如何运用向量法求法向量呢？
2014年11月7日星期五
法向量在立体几何中的妙用
1
前面，我们把
平面向量
推广到
空间向量
立体几何问题 研究的基本对象是点、直线、平面以及由它们组成 的空间图形 从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工 具在立体几何中的应用.
如何确定一个点、一条直线、一个平面 思考：
在空间的位置？
一、点的确定：
在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中 任意一点P的位置就可以用向量OP来表示。我们把 向量OP称为点P的位置向量。
对于平面 上的任一点 P , 存在有序实数对 ( x, y) ,使得
OP xa yb
除此之外, 还可以用垂直于平面的直线的 方向向量(这个平面的法向量)表示空间中平面 的位置.
平面的法向量：如果表示向量 n 的有向线段所在
直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ⊥ n，如果 么 向 量 叫做 ,记作 ⊥ n ，那 n 平面 的法向量 .
解:设平面 ABC 的一个法向量为 n ( x, y, z )
则 n ^ AB, n ^ AC .
祆 ( x , y , z )(2, - 2, - 4) = 0 镲 镲 \ 眄 镲 ( x , y , z )(3, - 6, - 3) = 0 镲 铑
AB = (2,- 2,- 4), AC = (3,- 6,- 3)
立体几何中的法向量
立体几何中的法向量现行高中数学教科书第二册（下B）第九章提到了法向量的定义：如果向量⊥平面α，那么向量a叫做平面α的法向量。
但是对于法向量在立体几何中的运用却没有详细介绍，其实灵活运用法向量去求解某些常见的立几问题如“求点到平面的距离”、“求异面直线间的距离”、“求直线与平面所成的角”、“求二面角的大小”、“证明两平面平行或垂直”等是比较简便的，现介绍如下：一、求点到平面的距离设A是平面α外一点，AB是α的一条斜线，交平面α于点B，而n是平面α的法向量，那么向量BA在n方向上的正射影长就是点A到平面α的距离h，所以h==（1）例1：已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是B1C1和C1D1的中点，求点A1到平面DBEF的距离。
解：如图建立空间直角坐标系，＝（1，1，0），＝（0，21，1），1DA＝（1，0，1）设平面DBEF的法向量为n＝（x，y，z），则有：n0=⋅DB即x＋y＝0=⋅21y＋z＝0令x＝1, y=－1, z=21, 取n＝（1，－1，21），则A1到平面DBEF的距离1==h注：此题A1在平面DBEF的射影难以确定，给求解增加难度，若利用（1）式求解，关键是求出平面DBEF的法向量。
法向量的求解有多种，可直接利用向量积，在平面内找两个不共线的向量，例如DB和DF，那么n＝DB×DF。
但高中教材未曾涉及向量积，这里根据线面垂直的判定定理，设＝（x，y，z），通过建立方程组求出一组特解。
二、求异面直线间的距离假设异面直线a、b，平移直线a至a*且交b于点A，那么直线a*和b确定平面α，且直线a∥α，设是平面α的法向量，那么⊥，⊥。
所以异面直线a和b的距离可以转化为求直线a 上任一点到平面α的距离，方法同例1。
例2：已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1解：如图建立空间直角坐标系，则AC ＝（－1，1，0），1DA ＝（1，0，1） 连接A 1C 1，则A 1C 1∥AC,设平面A 1C 1D 的法向量为n ＝（x ，y ，z ）,0=⋅由 可解得＝（1，1，－1），又1AA ＝（0，0，1）01=⋅DA所以点A 到平面A 1C 1D 的距离为33==h ，即直线DA 1和AC 间的距离为33。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
法向量在立体几何解题中的应用
一、 法向量的概念 如果一个向量所在直线垂直于一个平面，则该向量是这个平面的一个法向量。
二、 法向量的作用
1、 证明线面平行 取和直线平行的向量，验证该向量和法向量的数量积是否为零。
2 、 证明面面垂直 验证两个平面的法向量的数量积是否为零。
3、求直线和直线所成的角 若直线AB 、CD 所成的角是α，cos α=|,cos |><CD AB |
|||CD AB CD AB = 4 、 求直线和平面所成的角
如图，已知PA 为平面α的一条斜线，n 为平面α的一个法向量，过P 作平面α的垂线PO ，连结OA 则∠PAO 为斜线PA 和平面α所成的角记为θ，易得
|||||
||
|sin PA n PA n =
==θ
5 、求点到平面的距离 如图点P 为平面外一点，点A 为平面内的任一点，平面的法向量为n ,过点P 作平面
α的垂 线PO ，记∠OPA=θ，则点P
|||
|||||n PA n PA n PA n PA ==
6 、求二面角的大小如图在二面角βα--l 中，n 1和n 2分别为平面α和β的法向量，若二面角βα--l 的大小为θ
，则|||cos |=θ=||||2121n n n n (依据两平面法向量的方向或实际图形来确定θ是锐角或是钝角)。