轨 迹
轨字的基本解释
轨字的基本解释
1. “轨”字呀，有轨道的意思呢，就像火车要在铁轨上跑，那才稳当呀！你想想，要是火车不在轨道上，那得多危险啊！
2. “轨”也能表示规范、准则呢，好比我们做人得有自己的道德轨范，不然不就乱套了吗？你说是不是呀！
3. 哎呀，“轨”还有秩序的含义哟！一个社会要有良好的秩序轨道，大家才能和谐相处呀，这多重要啊！
4. 嘿，“轨”字还可以和轨迹联系起来呀，我们人生的轨迹不就是一步步走出来的嘛，这多有意思呀！
5. 你们看，“轨”不就是一种引导吗？就像老师引导学生在知识的轨道上前进，这是多么伟大的事情呀！
6. 哇，“轨”其实也象征着一种稳定呢，就像行星沿着自己的轨道稳定运行，这不是很神奇吗？
7. 哈哈，“轨”字还有规律的意味呀，世间万物都有自己的轨律，我们得去发现它呀！
8. 呀，“轨”不就是给我们指明方向的嘛，就像指南针为我们指引轨道方向一样，多关键呀！
9. 哎哟喂，“轨”也意味着一种约束呢，我们不能脱离正确的轨道呀，不然会出问题的哦！
10. 嘿嘿，“轨”字其实包含了好多道理呢，就像我们要沿着正确的人生轨道前行，才能收获美好呀！
我的观点结论就是：“轨”字虽然简单，但其含义丰富且重要，我们要好好理解和运用它呀！。
轨迹方程的求法
5.动点M(x,y)满足 x - 12 y - 32 3 x 4 y - 1 则点M轨迹是
( D)
5
(A)圆
(B)双曲线
(C)椭圆
(D)抛物线
6. 函 数 y=x2+(2m+1)x+m2-1(m∈R) 的 图 象 的 顶 点 轨 迹 方程是____4_x_-_4_y_-_3_=_0_______.
3.与圆x2+y2-4x=0外切，且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方 程是_y_2_=_8_x_(_x_＞__0_)或__y_=_0_(_x_＜__0_)_.
4.△ABC的顶点为A(0，-2)，C(0，2)，三边长a、b、c成等
差数列，公差d＜0；则动点B的轨迹方程为_____________
__x_2_____y_2____1___y____0_，. x 0
7.已知线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑
动，|AB|=3，点P是AB上一点，且|AP|=1，则点P的
轨迹方程是________x_4_2___y_2___1________
89.，则过动原椭点圆的中动心椭的圆轨的迹一方个程焦为点_为_x_F_-(_112_，__20_)_，_y_长2__轴_49_长_ 为
AP∶PB= 2∶l两部分，当A点在y轴上运动时， B点在x轴上运动，求动点P的轨迹方程。
解：设动点P（x，y），AB和x轴的夹角为θ ，
|θ
|≤
2
，作PM⊥x于M,
PN⊥y轴于N
∵|AB|= a, | AP | 2
| PB | 1
∴|AP|=
2
3 a,
|PB|=
1 3
a
船舶操纵性与耐波性总结
船舶操纵性：是指船舶按照驾驶者的意图保持或改变其运动状态的性能，即船舶能保持或改变其航速、航向和位置的能力。
航向稳定性：表示船舶在水平面内的运动受扰动而偏离平衡状态，当扰动完全消除后能保持其原有平衡状态的性能。
回转性：表示船舶在一定舵角作用下作圆弧运动的性能。
转首性：表示船舶应舵转首并迅速进入新的稳定状态的性能. 运动稳定性与机动性制约：小舵角下的航向保持性 、中舵角下的航向机动性 、大舵角下的紧急规避性固定与运动坐标系的关系：漂角：速度V 与OX 轴正方向的夹角β。
舵角：舵与OX 轴之间的夹角δ。
舵速角：重心瞬时速度矢量与O 0X 0轴之间的夹角ψ0。
线性水动力导数意义：船舶作匀速直线运动，在其他参数不变时，改变某一运动参数所引起的作用于船舶的水动力或矩对该参数的变化率。
水动力导数：Xu= Yu= 通常可称对线速度分量u 的导数为线性速度导数．如：Xu 等。
对横向速度分量v 的导数为位置导数，如：Yv 、Nv 等。
对回转角速度r 的导数为旋转导数，如：Nr 、Yr 等。
对各加速度分量和角加速度分量的导数为加速度导数Xu 。
，对舵角δ的导数为控制导数，如：Y δ等。
稳定性：对处于定常运动状态的物体(或系统)，若受到极小的外界干扰作用而偏离原定常运动状态；当干扰去除后，经过一定的过渡过程，看是否具有回复到原定常运动状态的能力。
若能回复，则称原运动状态是稳定的。
直线稳定性：船舶受到瞬时扰动以后，重心轨迹最终恢复成为一条直线,但航向发生了变化。
方向稳定性：船舶受到的瞬时扰动消失以后，重心轨迹最终成为原航线平行的另一直线。
位置稳定性：船舶受到瞬时扰动，当扰动消失以后，重心轨迹最终恢复成为与原来航线的延长线。
稳定衡准数:C=-Y V (mx G u 1-N r )+N V （mu 1-Y r ）；C>0 表示船舶在水平面的运动具有直线稳定性；C<0 则不具有直线稳定性。
影响航向稳定性的因素：(1)为改善其航向稳定性，应使Nr 、Yv 二者的负值增加，从C 的表达式可见，此二者之乘积的正值就越大，显然有利于改善稳定性。
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轨的拼音：guǐ
轨的笔顺：一フ丨一ノフ
轨的部首：车
轨的笔画：6
轨的结构：左右结构
轨的英文：track,rut,path
轨的繁体字：軌
轨的同音字：匦、簋、、癸、、匭、、攱、姽、蟡
轨的组词：音轨、天轨、窄轨、有轨、轨迹、轨度、途轨、并轨、单轨、卧轨、车轨、前轨
轨的成语：轨物范世、闭门埽轨、同文共轨、不轨不物、如出一轨、纳民轨物、八纮同轨
轨的意思：
一、一定的路线：轨迹。
轨辙（车轮行过留下来的痕迹，喻已往有人走过的道路或做过的事情）。
二、车子两轮之间的距离，其宽度为古制八尺，后引申为车辙。
三、应遵循的规则：轨度（dù）（法度）。
轨范（规范，楷模）。
步入正轨。
轨的诗句：
一、君不见纲珠垂{上竹下轨}影重重《颂一百则》
二、剗除霸轨《导引·剗除霸轨》
三、衰翁扫轨欲垂车《次韵龚养正病中见寄》
四、扶世纳夷轨《十月十九日小酌分韵得里字》
五、川陆殊涂轨《豫章行》
六、天上人间立高轨《送從吉禅者》
七、与世殊轨辙《次韵答黄与迪》
八、盍少循轨则《秋晚杂书三十首》
九、不但五星循轨《水调歌头·九金增宋重》
十、只此登仙真轨则《减字木兰花·居家学道》
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高中物理确定带电粒子在磁场中运动轨迹的四种方法(最新整理)
确定带电粒子在磁场中运动轨迹的四种方法 带电粒子在匀强磁场中作圆周运动的问题是高考的热点，这些考题不仅涉及到洛伦兹力作用下的动力学问题，而且往往与平面图形的几何关系相联系，成为考查学生综合分析问题、运用数字知识解决物理问题的难度较大的考题。
但无论这类问题情景多么新颖、设问多么巧妙，其关键一点在于规范、准确地画出带电粒子的运动轨迹。
只要确定了带电粒子的运动轨迹，问题便迎刃而解。
现将确定带电粒子运动轨迹的方法总结如下： 一、对称法 带电粒子如果从匀强磁场的直线边界射入又从该边界射出，则其轨迹关于入射点和出射点线段的中垂线对称，且入射速度方向与出射速度方向与边界的夹角相等（如图1）；带电粒子如果沿半径方向射入具有圆形边界的匀强磁场，则其射出磁场时速度延长线必过圆心（如图2）。
利用这两个结论可以轻松画出带电粒子的运动轨迹，找出相应的几何关系。
例1．如图3所示，直线MN上方有磁感应强度为B的匀强磁场。
正、负电子同时从同一点O以与MN成30°角的同样速度v射入磁场（电子质量为m，电荷为e），它们从磁场中射出时相距多远？射出的时间差是多少？ 解析：正、负电子的半径和周期是相同的。
只是偏转方向相反。
先确定圆心，画出半径和轨迹（如图4），由对称性知：射入、射出点和圆心恰好组成正三角形。
所以两个射出点相距s=2r=，由图还看出经历时间相差，所以解此题的关键是找圆心、找半径和用对称。
例2．如图5所示，在半径为r的圆形区域内，有一个匀强磁场。
一带电粒子以速度v0从M点沿半径方向射入磁场区，并由N点射出，O点为圆心。
当∠MON＝120°时，求：带电粒子在磁场区的偏转半径R及在磁场区中的运动时间。
解析：分别过M、N点作半径OM、ON的垂线，此两垂线的交点O'即为带电粒子作圆周运动时圆弧轨道的圆心，如图6所示。
由图中的几何关系可知，圆弧MN所对的轨道圆心角为60°，O、O'的边线为该圆心角的角平分线，由此可得带电粒子圆轨道半径为R=r/tan30°=又带电粒子的轨道半径可表示为：故带电粒子运动周期： 带电粒子在磁场区域中运动的时间 二、旋转圆法 在磁场中向垂直于磁场的各个方向发射速度大小相同的带电粒子时，带电粒子的运动轨迹是围绕发射点旋转的半径相同的动态圆（如图7），用这一规律可快速确定粒子的运动轨迹。
利用“瓜豆原理”模型分析轨迹问题
利用 瓜豆原理 模型分析轨迹问题陈礼弦(贵州省贵安新区普贡中学ꎬ贵州贵安新区５６１１１３)摘㊀要:文章立足于初中数学教学实践ꎬ针对轨迹问题这一中考难点ꎬ利用 瓜豆原理 模型巧妙分析轨迹问题的求解思路ꎬ目的在于帮助初中数学教师及学生找到应对轨迹问题的正确思路ꎬ提高学生分析问题和解决问题的能力ꎬ进而提升其数学核心素养.关键词:初中数学ꎻ轨迹问题ꎻ 瓜豆原理 模型中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２４)１１－００１７－０３收稿日期:２０２４－０１－１５作者简介:陈礼弦(１９７１.１２ )ꎬ男ꎬ贵州省清镇人ꎬ本科ꎬ高级教师ꎬ从事初中数学教学研究.㊀㊀在初中数学教学中ꎬ轨迹问题是教学的难点ꎬ也是核心素养重点考查对象.根据笔者多年的教学经验ꎬ引导学生弄清楚 瓜豆原理 模型ꎬ利用其分析轨迹问题ꎬ会收到事半功倍的效果.瓜豆原理 是一种数学问题的形象描述ꎬ即若两动点到某定点的距离比是定值ꎬ夹角是定角ꎬ则两动点的运动路径相同.其中ꎬ主动点叫作 瓜 ꎬ从动点叫作 豆 .如果 瓜 在直线上运动ꎬ那么 豆 的运动轨迹也是直线ꎻ如果 瓜 在圆周上运动ꎬ那么 豆 的运动轨迹也是圆.这种主从联动轨迹问题被称为 瓜豆原理 或 瓜豆模型 ꎬ在某一个特殊位置ꎬ就是我们要解决的轨迹问题[１].１模型一㊀动点在直线上运动这类问题的基本特点是主动点在直线上运动ꎬ从动点的运动轨迹也是直线.其结论主要有两个:一是主动点和从动点所在直线的夹角是一个定值ꎻ二是主动点和从动点轨迹长度之比值是一个定值.１.１模型分析例１㊀如图１ꎬＧ为线段ＥＦ一动点ꎬＤ为定点ꎬ连接ＤＧꎬ取ＤＧ中点Ｈꎬ当点Ｇ在ＥＦ运动时ꎬ画出点Ｈ的运动轨迹.㊀㊀图１㊀例１题图㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图２㊀例１解析图解析㊀如图２ꎬ线段ＩＪ即为点Ｈ运动的轨迹ꎬ理由如下:连接ＤＥꎬＤＦ.因为当点Ｇ在点Ｅ处时ꎬ点Ｈ在点Ｉ处ꎬ当点Ｇ在点Ｆ处时ꎬ点Ｈ在点Ｊ处ꎬ所以点Ｉ是ＤＥ的中点ꎬ点Ｊ是ＤＦ的中点ꎬ所以ＩＪʊＥＦꎬ所以ＩＪ＝１２ＥＦꎬ所以ＩＪＥＦ＝１２ꎬ所以在运动过程中ꎬ主动点Ｇ和从动点Ｈ所在的直线ＤＧ和ＤＨ的夹角是０ʎ(定值)ꎬ主动点Ｇ和从动点Ｈ的轨迹长之比值是１２(定值).从而可知主动点Ｇ运动的轨迹是线段ꎬ从动点Ｈ运动的轨迹也是线段.例２㊀如图３ꎬәＤＥＦ是等腰直角三角形ꎬøＥＤＦ＝９０ʎ且ＤＥ＝ＤＦꎬ当点Ｅ在线段ＭＮ上运动时ꎬ画出点Ｆ的运动轨迹.解析㊀如图４ꎬ线段ＦᶄＦᵡ即为点Ｆ的轨迹.取点Ｆ的起始位置Ｆᶄ和终点位置Ｆᵡꎬ连接即得点Ｆ轨迹为线段ＦᶄＦᵡ.因为主动点Ｅ和从动点Ｆ所在直线７１图３㊀例２题图㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图４㊀例２解析图ＤＥ和ＤＦ的夹角为９０ʎꎬ易证әＭＮＤɸәＦᶄＦᵡＤꎬ主动点Ｅ和从动点Ｆ的轨迹长之比值等于ＭＮʒＦᶄＦᵡ＝１ꎬ所以点Ｅ㊁Ｆ的轨迹是同一图形.１.２模型应用例３㊀如图５ꎬ矩形ＤＥＦＧ中ꎬＤＥ＝３ꎬＤＧ＝４ꎬ点Ｈ在边ＤＧ上且ＤＨʒＨＧ＝１ʒ３.动点Ｉ从点Ｄ出发ꎬ沿ＤＥ运动到点Ｅ停止.过点Ｈ作ＨＫʅＨＩ交射线ＥＦ于点Ｋꎬ设Ｊ是线段ＨＫ的中点.求在点Ｉ运动的整个过程中ꎬ点Ｊ运动的路径的长.图５㊀例３题图㊀㊀㊀㊀㊀图６㊀例３解析图解析㊀如图６ꎬ当Ｉ与Ｄ重合时ꎬ点Ｋ与Ｋᶄ重合ꎬ此时点Ｊ在Ｊᶄ处ꎬ当点Ｉ与Ｅ重合时ꎬＫ与Ｋᵡ重合ꎬ点Ｊ在Ｊᵡ处ꎬ点Ｊ的运动轨迹是线段ＪᶄＪᵡ.因为ＤＧ＝４ꎬＤＨʒＨＧ＝１ʒ３ꎬ所以ＤＨ＝１ꎬＨＧ＝３.在ＲｔәＤＥＨ中ꎬＤＨ＝１ꎬＤＥ＝３ꎬ所以ＨＥ＝ＤＨ２＋ＤＥ２＝１＋９＝１０.因为ＤＧ//ＥＦꎬ所以øＤＨＥ＝øＨＥＫᵡꎬ又因为øＤ＝øＥＨＫᵡ＝９０ʎꎬ所以әＤＨＥ~әＨＥＫᵡꎬ所以ＨＥＥＫᵡ＝ＤＨＨＥꎬ所以ＥＫᵡ＝１０ˑ１０＝１０.又因为ＥＫᶄ＝ＤＨ＝１ꎬ所以ＫᶄＫᵡ＝ＥＫᵡ－ＥＫᶄ＝９ꎬ所以ＪᶄＪᵡ＝１２ＫᶄＫᵡ＝９２ꎬ所以点Ｊ的运动路径的长为９２.２模型二㊀动点在圆周上运动这类问题的基本特点是主动点在圆周上运动ꎬ从动点的运动轨迹也是圆.其结论主要有两个:一是主㊁从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角是定值ꎻ二是主㊁从动点与定点的距离之比值等于两圆心到定点的距离之比值.２.１模型分析例４㊀如图７ꎬＦ是☉Ｄ上一个动点ꎬＥ为定点ꎬ连接ＥＦꎬＧ为ＥＦ的中点ꎬ当点Ｆ在☉Ｄ上运动时ꎬ画出点Ｇ的运动轨迹.㊀图７㊀例４题图㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图８㊀例４解析图解析㊀如图８ꎬ☉Ｃ是点Ｇ的运动轨迹.连接ＥＤꎬ取ＥＤ的中点Ｃꎬ连接ＣＧꎬ以Ｃ为圆心ꎬＣＧ为半径作☉Ｃꎬ所以点Ｆ在☉Ｄ上运动时ꎬ点Ｇ在☉Ｃ上运动.即☉Ｃ是点Ｇ的运动轨迹.因为主㊁从动点与定点连线的夹角øＦＥＧ等于两圆心与定点连线的夹角øＤＥＣꎬ是定值０ʎ.又因为主㊁从动点与定点的距离ＦＥ㊁ＧＥ之比值等于两圆心到定点的距离ＤＥ㊁ＣＥ之比值ꎬ也等于两圆半径ＤＦ㊁ＣＧ之比值ꎬ是定值.从而可知主动点Ｆ在圆周上运动ꎬ从动点Ｇ的运动轨迹也是圆.例５㊀如图９ꎬＭ是☉Ｄ上一个动点ꎬＢ为定点ꎬ连接ＢＭꎬ在ＢＭ的上方以ＢＭ为边作等边әＢＣＭ.当点Ｍ在☉Ｄ上运动时ꎬ画出点Ｃ的运动轨迹.㊀图９㊀例５题图㊀㊀㊀㊀㊀㊀图１０㊀例５解析图解析㊀如图１０ꎬ点Ｃ的运动轨迹是以点Ｅ为圆心的圆ꎬ理由如下:点Ｃ满足øＭＢＣ＝６０ʎꎬＢＭ＝ＢＣꎬ点Ｃ的圆心Ｅ满足øＤＢＥ＝６０ʎꎬＢＥ＝ＢＤꎬ且ＥＣ＝ＤＭꎬ可确定圆Ｅ的位置ꎬ任意时刻均有әＢＭＤɸәＢＣＥꎬ可以理解ＢＥ是由ＢＤ旋转得到ꎬ故圆Ｅ是由圆Ｄ旋转得到的ꎬ旋转角度与缩放比例均与ＢＭ与ＭＣ的位置和数量关系有关.例６㊀如图１１ꎬＦ是☉Ｃ上一动点ꎬＥ为定点ꎬ８１连接ＥＦꎬ以ＥＦ为斜边在ＥＦ上方作等腰直角三角形ＥＦＤ.当点Ｆ在☉Ｃ上运动时ꎬ画点Ｄ的轨迹.图１１㊀例６题图㊀㊀㊀㊀㊀㊀图１２㊀例６解析图解析㊀如图１２ꎬ点Ｄ的轨迹为以点Ｇ为圆心ꎬ２２ＣＦ长为半径的圆.Ｄ点满足øＦＥＤ＝４５ʎꎬＥＦ:ＥＤ＝２ʒ１ꎬ故Ｄ点轨迹是一个圆.连接ＥＣꎬ构造øＧＥＣ＝４５ʎ且ＥＣʒＥＧ＝２ʒ１.Ｇ点即为Ｄ点轨迹圆圆心ꎬ此时任意时刻均有әＥＣＦʐәＥＧＤ.即可确定点Ｄ的轨迹圆.所以点Ｄ的轨迹为以点Ｇ为圆心ꎬ２２ＣＦ长为半径的圆.２.２模型应用例７㊀如图１３ꎬ☉Ｅ的直径ＢＣ＝４ꎬＤ为☉Ｅ上的动点ꎬ连接ＢＤꎬＦ为ＢＤ的中点ꎬ若点Ｄ在圆上运动一周ꎬ求点Ｆ经过的路径长.图１３㊀例７题图㊀㊀㊀㊀㊀㊀图１４㊀例７解析图解析㊀如图１４ꎬ因为主㊁从动点与定点连线ＤＢ㊁ＦＢ的夹角等于两圆心与定点连线ＥＢ㊁ＧＢ的夹角ꎬ且是０ʎꎬ为定值ꎬ又因为主㊁从动点与定点的距离ＤＢ㊁ＦＢ之比值等于两圆心到定点的距离ＥＢ㊁ＧＢ之比值ꎬ也等于两圆半径ＥＢ㊁ＧＢ之比值ꎬ是定值１２.所以是点Ｄ在☉Ｅ上运动ꎬ点Ｆ的运动轨迹也是圆.如图１４ꎬ当点Ｄ在点Ｃ处时ꎬ点Ｆ在点Ｅ处ꎬ当点Ｄ在点Ｂ处时ꎬ点Ｆ在点Ｂ处ꎬ所以ＥＢ是这个圆的直径ꎬ这个圆是☉Ｇ.又因为ＢＣ＝４ꎬ所以ＥＢ＝２ꎬ所以ＧＢ＝１ꎬ所以ｒ＝１ꎬ所以☉Ｇ的周长为２πｒ＝２πꎬ所以点Ｆ经过的路径长是２π.例８㊀如图１５ꎬＦＧ＝３ꎬ☉Ｆ的半径为１ꎬＥ为☉Ｆ上的动点ꎬ连接ＥＧꎬ在ＥＧ上方作一个等边三角形ＥＧＨꎬ连接ＦＨ.求ＦＨ的最大值.解析㊀如图１６ꎬ以ＦＧ为边在ＦＧ上方构造等边三角形әＦＧＩꎬ连接ＩＨꎬ以点Ｉ为圆心ꎬＩＨ为半径作圆Ｉ.因为主㊁从动点与定点连线ＥＧ㊁ＨＧ的夹角等于两圆心与定点连线ＦＧ㊁ＩＧ的夹角ꎬ且是６０ʎ为定值.又因为主㊁从动点与定点的距离ＥＧ㊁ＨＧ之比值等于两圆心到定点的距离ＦＧ㊁ＩＧ之比值ꎬ也等于两圆半径ＦＥ㊁ＩＨ之比值ꎬ是定值１.因为øＦＧＥ＝６０ʎ－øＥＧＩꎬøＩＧＨ＝６０ʎ－øＥＧＩꎬ所以øＦＧＥ＝øＩＧＨ.又因为ＦＧ＝ＩＧꎬＥＧ＝ＨＧꎬ所以әＦＧＥɸәＩＧＨꎬ所以ＩＨ＝ＦＥ＝１.从而可知点Ｈ运动的轨迹是以点Ｅ为圆心㊁１为半径的圆ꎬ当Ｆ㊁Ｉ㊁Ｈ三点共线且Ｈ在ＦＩ的延长线上时ꎬＦＨ的最大值为ＦＩ＋ＩＨ＝３＋１＝４ꎬ此时点Ｈ在点Ｈᶄ处.图１５㊀例８题图㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图１６㊀例８解析图３结束语在解决轨迹问题时ꎬ要结合图形进行分析ꎬ主动点和从动点运动的轨迹是否属于 瓜豆原理 .如果主动点和从动点运动的轨迹属于 瓜豆原理 ꎬ就可以利用主动点在直线上运动ꎬ从动点的运动轨迹也是直线或主动点在圆周上运动ꎬ从动点的运动轨迹也是圆解决轨迹问题[２].参考文献:[１]熊长菊ꎬ张进.例谈瓜豆原理中动点轨迹最值问题的求解策略[Ｊ].数理化学习(初中版)ꎬ２０２２(６):５－９.[２]丁羽.初三学生动点轨迹问题的解决障碍及教学对策研究[Ｄ].广州:广州大学ꎬ２０２２.[责任编辑:李㊀璟]９１。
高中数学「求轨迹方程」知识点梳理+例题精练,建议收藏~
专题51曲线与方程-求轨迹方程【热点聚焦与扩展】纵观近几年的高考试题，高考对曲线与方程的考查，主要有以下两个方面：一是确定的轨迹的形式或特点；二是求动点的轨迹方程，同时考查到求轨迹方程的基本步骤和常用方法.一般地，命题作为解答题一问，小题则常常利用待定系数法求方程或利用方程判断曲线类别.本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明求点的轨迹方程问题的常见解法.1、求点轨迹方程的步骤：（1）建立直角坐标系（2）设点：将所求点坐标设为(),x y ，同时将其他相关点坐标化（未知的暂用参数表示）（3）列式：从已知条件中发掘,x y 的关系，列出方程（4）化简：将方程进行变形化简，并求出,x y 的范围2、求点轨迹方程的方法（1）直接法：从条件中直接寻找到,x y 的关系，列出方程后化简即可（2）代入法：所求点(),P x y 与某已知曲线()00,0F x y =上一点()00,Q x y 存在某种关系，则可根据条件用,x y 表示出00,x y ，然后代入到Q 所在曲线方程中，即可得到关于,x y 的方程（3）定义法：从条件中能够判断出点的轨迹为学过的图形，则可先判定轨迹形状，再通过确定相关曲线的要素，求出曲线方程.常见的曲线特征及要素有：①圆：平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹直角→圆：若AB AC ⊥，则A 点在以BC 为直径的圆上确定方程的要素：圆心坐标(),a b ，半径r②椭圆：平面上到两个定点的距离之和为常数（常数大于定点距离）的点的轨迹确定方程的要素：距离和2a ，定点距离2c③双曲线：平面上到两个定点的距离之差的绝对值为常数（小于定点距离）的点的轨迹注：若只是到两定点的距离差为常数（小于定点距离），则为双曲线的一支确定方程的要素：距离差的绝对值2a ，定点距离2c④抛物线：平面上到一定点的距离与到一定直线的距离（定点在定直线外）相等的点的轨迹确定方程的要素：焦准距：p .若曲线位置位于标准位置（即标准方程的曲线），则通过准线方程或焦点坐标也可确定方程（4）参数法：从条件中无法直接找到,x y 的联系，但可通过一辅助变量k ，分别找到,x y 与k 的联系，从而得到,x y 和k 的方程：()()x f k y g k =⎧⎪⎨=⎪⎩，即曲线的参数方程，消去参数k 后即可得到轨迹方程.【经典例题】例1．（2020·四川内江·高三三模）已知点()2,0A -、()3,0B ，动点(),P x y 满足2PA PB x ⋅=，则点P 的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线例2．（2020·广东深圳三模·）当点P 在圆221x y +=上变动时，它与定点()3,0Q -的连线PQ 的中点的轨迹方程是（）A．()2234x y ++=B．()2231x y -+=C．()222341x y -+=D．()222341x y ++=例3．（2020·江西新余四中高三三模）如图：在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是1B C 的中点，动点M 在其表面上运动，且与平面11A DC 的距离保持不变，运行轨迹为S ，当M 从P 点出发，绕其轨迹运行一周的过程中，运动的路程x 与11l MA MC MD =++之间满足函数关系()l f x =，则此函数图像大致是（）A．B．C．D．例4．（2020·上海市嘉定区第一中学高三三模）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是平面11ADD A 上一点，且满足ADP △为正三角形．点M 为平面ABCD 内的一个动点，且满足MP MC =．则点M 在正方形ABCD 内的轨迹为（）A．B．C．D．例5．（2020·辽宁高三三模）已知半径为r 的圆M 与x 轴交于,E F 两点，圆心M 到y 轴的距离为d .若d EF =，并规定当圆M 与x 轴相切时0EF =，则圆心M 的轨迹为()A．直线B．圆C．椭圆D．抛物线例6．（2020·安徽庐阳·合肥一中高三三模）已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，1AB =，以M 为圆心的圆过A ，B 两点，且与直线210y -=相切，若存在定点P ，使得当A 运动时，MA MP -为定值，则点P 的坐标为（）A．104⎛⎫ ⎪⎝⎭，B．102⎛⎫ ⎪⎝⎭，C．14⎛⎫- ⎪⎝⎭0，D．102，⎛⎫- ⎪⎝⎭例7．（2020·东湖·江西师大附中高三三模）设过点(),P x y 的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于,A B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若2BP PA = ，且1OQ AB ⋅= ，则点P的轨迹方程是（）A．()223310,02x y x y +=>>B．()223310,02x y x y -=>>C．()223310,02x y x y -=>>D．()223310,02x y x y +=>>例8．（2016·山西运城·高三三模）已知为平面内两定点,过该平面内动点作直线的垂线,垂足为.若,其中为常数,则动点的轨迹不可能是（）A．圆B．椭圆C．抛物线D．双曲线【精选精练】1．（2020·广东普宁·高三三模）与圆及圆都外切的圆的圆心在（）A．一个椭圆上B．双曲线的一支上C．一条抛物线D．一个圆上2．（2020·上海高三三模）在平面直角坐标系内，到点()1,2A 和直线l ：30x y +-=距离相等的点的轨迹是（）A．直线B．抛物线C．椭圆D．双曲线3．（2020·全国高考真题）在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点，若=1AC BC ⋅，则点C 的轨迹为（）A．圆B．椭圆C．抛物线D．直线4．（2020·辽宁沈阳·高三三模）已知椭圆22184x y +=，点A ，B 分别是它的左，右顶点.一条垂直于x 轴的动直线l 与椭圆相交于P ，Q 两点，又当直线l 与椭圆相切于点A 或点B 时，看作P ，Q 两点重合于点A 或点B ，则直线AP 与直线BQ 的交点M 的轨迹方程是（）A．22184y x -=B．22184x y -=C．22148y x -=D．22148x y -=5．如图，在平面直角坐标系中，()1,0A 、()1,1B 、()0,1C ，映射将平面上的点(),P x y 对应到另一个平面直角坐标系上的点()222,P xy x y '-，则当点沿着折线运动时，在映射的作用下，动点P '的轨迹是（）A．B．C．D．6．（2020·四川成都七中高三三模）正方形1111ABCD A B C D -中，若12CM MC =，P 在底面ABCD 内运动，且满足1DP CPD P MP=，则点P 的轨迹为（）A．圆弧B．线段C．椭圆的一部分D．抛物线的一部分7．（2020·天水市第一中学高三三模）动点A 在圆221x y +=上移动时，它与定点()3,0B 连线的中点的轨迹方程是（）A．22320x y x +++=B．22320x y x +-+=C．22320x y y +++=D．22320x y y +-+=8．（2020·北京市陈经纶中学高三三模）古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点A 、B 距离之比是常数λ(0,1)λλ>≠的点M 的轨迹是圆.若两定点A 、B 的距离为3，动点M 满足||2||MA MB =，则M 点的轨迹围成区域的面积为（）.A．πB．2πC．3πD．4π9．（2020·内蒙古包头·高三三模）已知定点,A B 都在平面α内，定点,,P PB C αα∉⊥是α内异于,A B 的动点，且PC AC ⊥，那么动点C 在平面α内的轨迹是（）A．圆，但要去掉两个点B．椭圆，但要去掉两个点C．双曲线，但要去掉两个点D．抛物线，但要去掉两个点10．如图所示，已知12,F F 是椭圆()2222:10x y a b a b Γ+=>>的左，右焦点，P 是椭圆Γ上任意一点，过2F 作12F PF ∠的外角的角平分线的垂线，垂足为Q ，则点Q 的轨迹为（）A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线11．（2020·北京房山·高三三模）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为棱AB 的中点，动点P 在平面11BCC B 及其边界上运动，总有1AP D M ⊥，则动点P 的轨迹为（）A．两个点B．线段C．圆的一部分D．抛物线的一部分12．（2020·四川内江·高三三模）已知平面内的一个动点P 到直线l ：x ＝433的距离与到定点F0）的距离之比为3，点11,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设动点P 的轨迹为曲线C ，过原点O 且斜率为k （k ＜0）的直线l 与曲线C 交于M 、N 两点，则△MAN 面积的最大值为（）C．22D．1。
轨迹问题再探究（圆轨问题）主从联动模型
轨迹问题再探究（圆轨问题）主从联动模型专注陕西中考数学研究关注刘⽼师微信公众号“龙哥与数学”，和你⼀起挑战中考数学，冲刺名校。
轨迹问题再探索---圆轨模型导读在前⾯的学习中，我们已经认识了轨迹，知道在初中阶段，我们会遇到两种轨迹问题，⼀它们分别对应不同的知识点。
圆弧上的点到定点的距离等于定个是圆弧，⼀个是线段。
它们分别对应不同的知识点。
圆弧上的点到定点的距离等于定个是圆弧，⼀个是线段。
长，线段上的点到直线的距离也等于定长。
但是在实际的考查过程中，我们往往不是事先知道动点所形成的轨迹。
⽽需要我们结合题⽬中的条件，来分析出问题是不是轨迹问题，是哪种轨迹问题，它们常见的处理⽅法⼜是什么呢？在随后的讲解中，将逐步为⼤家揭开谜底。
敬请您的期待。
⾸先我们先给轨迹下个定义，简单的说就是：动点在空间或者平⾯内移动，它所通过的全部路径叫做这个点的轨迹。
我们在理解这个定义时，可从下列⼏个⽅⾯考虑：(1)符合⼀定条件的动点所形成的图形，或者说，符合⼀定条件的点的全体所组成的集合，叫做满⾜该条件的点的轨迹。
(2)凡在轨迹上的点都符合给定的条件，这叫做轨迹的纯粹性(也叫做必要性)。
(3)另外凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件，也就是符合给定条件的点必在轨迹上，这叫做轨迹的完备性(也叫做充分性)。
我们要记住两点：平⾯轨迹⼀般是曲线，空间轨迹⼀般是曲⾯。
常见的平⾯内点的轨迹1.到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆⼼，定长为半径的圆。
2.到已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线。
3.到已知⾓的两边距离相等的点的轨迹，是这个⾓的⾓平分线。
4.到直线L的距离等于定长D的点的轨迹，是平⾏于这条直线，并且到这条直线的距离等于定长的的两条直线。
5.到两条平⾏线距离相等的点的轨迹，是和这两条平⾏线平⾏且距离相等的⼀条直线。
6.到两定点距离和等于常数(⼤于两定点的距离)的点的轨迹是以两定点为焦点的椭圆。
7.到两定点的距离的差的绝对值等于常数(⼩于两定点的距离)的点的轨迹，是以两定点为焦点的双曲线。
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轨 迹
初恋打来电话，我没有接着，晚上发现未接，回了。没有什么太
多的话，直奔主题，借给她200万。我也没有更多的反应，可以，什
么时候还？？？6个月后。我回绝了，突然的借款„„我冷静了下来。
她很久很久没有电话了，3年多吧，虽然我们在一个城市，但彼此没
有什么见面，我也不太关心她的生活了，我有我的家庭，有我的事业，
她也是！我不再影响她的生活，我曾经苦苦的追过她，然而她的父母
打散了我们，当初说我是农村的，我发誓我要比许许多多的城里人过
得好。“苦心人、天不负”，我做到了，26岁，我就当上了交通局
办公室主任，同时分管两条主要收费公路，当时是很多人羡慕的工作，
她的母亲找到了我的母亲，希望我能成为她的女婿，我的母亲征求了
我的意见，婉拒了！不是我不爱她，也不是我记恨着她的母亲，是因
为我们走的路不一样了，她大学毕业后一直在读书，读研时就准备考
博了，看她的阵势，博士是迟早的事，由她去吧，它没有错，我的错！
博士读完了，在大学任教，很好的职业，但她基本上没有什么社会经
验，遇到了很多很多的麻烦事，它找我帮她，我也曾经无数次的帮助
过她，我感觉得到，她依然还爱着我！但我不能了，我帮她，太纯粹
了，一点异样的感觉都没有，我一直认为我应该送她到结婚为止！
我远离了她，因为我应该有自己的生活了！
我远离了她，因为她居然主动进攻了！她非要„„„我有病，我逃跑
了！我怎么能，因为我与她肯定没有结果，我只把她当成兄弟伙，你
说把女人当成兄弟伙，是什么概念！我伤太她自尊了，一个女博士呀，
她几乎要杀掉我！！！！
我们再也没有见过面了！