高中数学第2章数列2_1数列学案苏教版必修5

2.1 数列1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．(难点) 2．理解数列的通项公式及简单应用．(重点) 3．数列与集合、函数等概念的区别与联系．(易混点)[基础·初探]教材整理1 数列的概念与分类 阅读教材P 31，完成下列问题． 1．数列的概念按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每个数都叫做这个数列的项．项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．2．数列的表示方法数列的一般形式可以写成a 1，a 2，a 3，…，a n ，…，简记为{a n }，其中a 1称为数列{a n }的第1项(或称为首项)，a 2称为第2项，…，a n 称为第n 项．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数列1,2,3,5,7可表示为{1,2,3,5,7}．( )(2)数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列．( )(3)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1n 的第5项为15.( )(4)数列0,2,4,6，…是无穷数列．( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)√ 教材整理2 数列的通项公式阅读教材P 32～P 33的有关内容，完成下列问题． 1．数列与函数的关系数列可以看成以正整数集N *(或它的有限子集{1,2，…，k })为定义域的函数a n ＝f (n )，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值．2．数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．数列可以用通项公式来描述，也可以通过列表或图象来表示．1．数列1,3,5,7,9，…的一个通项公式可以是________．【解析】 1,3,5,7,9，…的一个通项公式可以是a n ＝2n －1，n ∈N *. 【答案】 a n ＝2n －1，n ∈N *2．若数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －2，则a 5＝________. 【解析】 ∵a n ＝3n －2，∴a 5＝3×5－2＝13. 【答案】 13[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________[小组合作型]根据数列的前n 项写出通项公式写出下列数列的一个通项公式．(1)12，2，92，8，252，…； (2)9,99,999,9 999，…；(3)22－11，32－23，42－35，52－47，…；(4)－11×2，12×3，－13×4，14×5，….【精彩点拨】 观察―→归纳a n 与n 的关系―→验证结论―→得出答案【自主解答】 (1)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：12，42，92，162，252，…，所以它的一个通项公式为a n ＝n 22(n ∈N *)．(2)各项加1后，变为10,100,1 000,10 000，….此数列的通项公式为10n，可得原数列的通项公式为a n ＝10n －1(n ∈N *)．(3)数列中每一项由三部分组成，分母是从1开始的奇数列，可用2n －1表示；分子的前一部分是从2开始的自然数的平方，可用(n ＋1)2表示，分子的后一部分是减去一个自然数，可用n 表示，综上，原数列的通项公式为a n ＝n ＋12－n 2n －1(n ∈N *)．(4)这个数列的前4项的绝对值都等于项数与项数加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是a n ＝(－1)n1nn ＋1(n ∈N *)． 用观察法求数列的通项公式的一般规律1．一般数列通项公式的求法2．对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)k处理符号问题． 3．对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等．[再练一题]1．写出下列数列的一个通项公式． (1)3,5,9,17,33，…； (2)12，34，78，1516，3132，…； (3)23，－1，107，－179，2611，－3713，…. 【导学号：】【解】 (1)中3可看做21＋1,5可看做22＋1,9可看做23＋1,17可看做24＋1,33可看做25＋1，….所以a n ＝2n＋1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列为21,22,23,24，…， 所以a n ＝2n－12n .(3)偶数项为负而奇数项为正，故通项公式必含因式(－1)n ＋1，观察各项绝对值组成的数列，从第3项到第6项可见，分母分别由奇数7,9,11,13组成，而分子则是32＋1,42＋1,52＋1,62＋1，按照这样的规律第1,2两项可分别改写为12＋12＋1，－22＋12×2＋1，所以a n ＝(－1)n ＋1n 2＋12n ＋1.通项公式的简单应用n n 2(1)写出数列的前3项；(2)判断45是否为{a n }中的项？3是否为{a n }中的项？ 【精彩点拨】 (1)令n ＝1,2,3求解即可； (2)令a n ＝45或a n ＝3解n 便可．【自主解答】 (1)在通项公式中依次取n ＝1,2,3，可得{a n }的前3项分别为：1,6,15. (2)令2n 2－n ＝45，得2n 2－n －45＝0， 解得n ＝5或n ＝－92(舍去)，故45是数列{a n }中的第5项． 令2n 2－n ＝3，得2n 2－n －3＝0，解得n ＝－1或n ＝32，即方程没有正整数解，故3不是数列中的项．1．如果已知数列的通项公式，只要将相应项数代入通项公式，就可以写出数列中的指定项．2．判断某数是否为数列中的一项，步骤如下： (1)将所给的数代入通项公式中； (2)解关于n 的方程；(3)若n 为正整数，说明所给的数是该数列的项；若n 不是正整数，则不是该数列的项． [再练一题]2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－21n2(n ∈N *)．(1)0和1是不是数列{a n }中的项？如果是，那么是第几项？(2)数列{a n }中是否存在连续且相等的两项？若存在，分别是第几项？【解】 (1)令a n ＝0，得n 2－21n ＝0，∴n ＝21或n ＝0(舍去)，∴0是数列{a n }中的第21项．令a n ＝1，得n 2－21n2＝1，而该方程无正整数解， ∴1不是数列{a n }中的项．(2)假设存在连续且相等的两项为a n ，a n ＋1， 则有a n ＝a n ＋1， 即n 2－21n2＝n ＋12－21n ＋12，解得n ＝10，所以存在连续且相等的两项，它们分别是第10项和第11项．[探究共研型]数列的性质探究1 (小)项？ 【提示】 可以借助函数的性质求数列的最大(小)项，但要注意函数与数列的差异，数列{a n }中，n ∈N *.探究2 如何定义数列{a n }的单调性？【提示】 对于数列的单调性的判断一般要通过比较a n ＋1与a n 的大小来判断，若a n ＋1>a n ，则数列为递增数列，若a n ＋1<a n ，则数列为递减数列．设数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2＋kn (n ∈N *)．数列{a n }是单调递增的，求实数k的取值范围．【精彩点拨】 利用二次函数的单调性，求得k 的取值范围． 【自主解答】 ∵a n ＝n 2＋kn ，其图象的对称轴为n ＝－k2，∴当－k2≤1，即k ≥－2时，{a n }是单调递增数列．另外，当1<－k2<2且⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2－1<2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2，即－3<k <－2时，{a n }也是单调递增数列(如图所示)． ∴k 的取值范围是(－3，＋∞)．1．函数的单调性与数列的单调性既有联系又有区别，即数列所对应的函数若单调则数列一定单调，反之若数列单调，其所对应的函数不一定单调．2．求数列的最大(小)项，还可以通过研究数列的单调性求解，一般地，若⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≤a n ，a n ＋1≤a n ，则a n 为最大项；若⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≥a n ，a n ＋1≥a n ，则a n 为最小项．[再练一题]3．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝－2n 2＋9n ＋3(n ∈N *)，求它的最大项.【导学号：】【解】 由题意知，－2n 2＋9n ＋3＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫n －942＋1058.由于函数f (x )＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －942＋1058在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，94上是增函数，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫94，＋∞上是减函数，故当n ＝2时，f (n )＝－2n 2＋9n ＋3取得最大值13，所以数列{a n }的最大项为a 2＝13.[构建·体系]1．已知下列数列：(1)2 010,2 012,2 014,2 016,2 018； (2)0，12，23，…，n －1n ，…；(3)1，12，14，…，12n －1，…；(4)1，－23，35，…，－1n －1·n 2n －1，…；(5)1,0，－1，…，sin n π2，…；(6)9,9,9,9,9,9.其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________．(将合理的序号填在横线上)【解析】 (1)是有穷递增数列； (2)是无穷递增数列⎝⎛⎭⎪⎫因为n －1n ＝1－1n ； (3)是无穷递减数列；(4)是摆动数列，也是无穷数列； (5)是摆动数列，也是无穷数列； (6)是常数列，也是有穷数列．【答案】 (1)(6) (2)(3)(4)(5) (1)(2) (3) (6) (4)(5) 2．数列2,3,4,5，…的一个通项公式为________．【解析】 这个数列的前4项都比序号大1，所以它的一个通项公式为a n ＝n ＋1. 【答案】 a n ＝n ＋1 3．下列有关数列的表述： ①数列的通项公式是唯一的；②数列0,1,0，－1与数列－1,0,1,0是相同的数列； ③数列若用图象表示，它是一群孤立的点； ④数列中的数是按一定次序排列的． 其中说法正确的是________．【解析】 如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式，但一个数列可以没有通项公式，也可以有几个通项公式，如：数列1，－1,1，－1，1，－1，…的通项公式可以是a n ＝(－1)n ＋1，也可以是a n ＝cos(n－1)π，故①错；由数列的概念知数列0,1,0，－1与数列－1,0,1,0是不同的数列，故②错；易知③④是正确的．【答案】 ③④4．用火柴棒按图2­1­1的方法搭三角形：图2­1­1按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数a n 与所搭三角形的个数n 之间的关系式是________.【导学号：】【解析】 a 1＝3，a 2＝3＋2＝5，a 3＝3＋2＋2＝7，a 4＝3＋2＋2＋2＝9，…，∴a n ＝2n ＋1.【答案】 a n ＝2n ＋15．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝4n 2＋3n(n ∈N *)，(1)写出此数列的前3项；(2)试问110和1627是不是它的项？如果是，是第几项？【解】 (1)a 1＝412＋3×1＝1，a 2＝422＋3×2＝25，a 3＝432＋3×3＝29.(2)令4n 2＋3n ＝110，则n 2＋3n －40＝0，解得n ＝5或n ＝－8. 又n ∈N *，故n ＝－8舍去，所以110是数列{a n }的第5项．令4n 2＋3n ＝1627，则4n 2＋12n －27＝0，解得n ＝32或n ＝－92. 又n ∈N *，所以1627不是数列{a n }的项．我还有这些不足：(1)_________________________________________________ (2)_________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_________________________________________________ (2)_________________________________________________学业分层测评(六) (建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．将正整数的前5个数排列如下：①1,2,3,4,5；②5,4,3,2,1；③2,1,5,3,4；④4,1,5,3,2. 那么可以称为数列的有________．【解析】 由数列定义，①②③④均为按一定次序排列的一列数，故均为数列． 【答案】 ①②③④2．数列1,3,6,10，x,21,28，…中x 的值是________．【解析】 观察数列的特点可知，从第2项起，每一项与前一项的差分别为2,3,4，…，依次增加1，故x 为15.【答案】 153．下列各式能成为数列1,3,6,10，…的一个通项公式的是________． ①a n ＝n 2－n ＋1；②a n ＝n n －12；③a n ＝n n ＋12；④a n ＝n 2＋1.【解析】 令n ＝1,2,3,4，分别代入①②③④检验即可．排除①②④，从而确定答案为③.【答案】 ③4．数列的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1，n 为奇数，2n －2，n 为偶数，则a 2·a 3等于________．【解析】 由a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1，n 为奇数，2n －2，n 为偶数，得a 2＝2，a 3＝10，所以a 2·a 3＝20. 【答案】 205．已知数列2，5，22，11，…，则25是这个数列的第________项.【导学号：】【解析】 数列的通项为a n ＝3n －1. ∵25＝20＝3×7－1， ∴25是数列的第7项． 【答案】 76．根据下列4个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图形中有________个点．(1) (2) (3) (4)图2­1­2【解析】 由图形可得，图形中的点数为1,4,9,16，…，则其通项公式为a n ＝n 2， 故第n 个图形中的点数为n 2. 【答案】 n 27．若数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n，则a 2n ＝______，a 2a 3＝________. 【解析】 ∵a n ＝3－2n，∴a 2n ＝3－22n，a 2a 3＝3－223－23＝15. 【答案】 3－22n158．已知数列{a n }的通项公式a n ＝n －98n －99(n ∈N *)，则数列{a n }的前30项中，最大项和最小项分别是________．①a 10，a 9；②a 1，a 9；③a 1，a 30；④a 9，a 30. 【解析】 通项公式变形为：a n ＝n －99＋99－98n －99＝1＋99－98n －99，显然当n ＝10和n ＝9时，a n 分别取最大值和最小值． 【答案】 ① 二、解答题9．已知数列{a n }中，a 1＝3，a 10＝21，通项a n 相应的函数是一次函数． (1)求数列{a n }的通项公式，并求出a 2 017；(2)若{b n }是由a 2，a 4，a 6，a 8，…组成，试归纳{b n }的一个通项公式． 【解】 (1)由题意可设a n ＝kn ＋b ， 又a 1＝3，a 10＝21，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝3，10k ＋b ＝21，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝1，∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *)，a 2 017＝2×2 017＋1＝4 035.(2)∵{b n }是由{a n }的偶数项组成， ∴b n ＝a 2n ＝2×2n ＋1＝4n ＋1(n ∈N *)．10．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝9n 2－9n ＋29n 2－1(n ∈N *)． (1)求这个数列的第10项；(2)98101是不是该数列中的项，为什么？ (3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内． 【解】 (1)a n ＝9n 2－9n ＋29n 2－1＝3n －13n －23n －13n ＋1＝3n －23n ＋1.令n ＝10，得第10项a 10＝2831.(2)令3n －23n ＋1＝98101，得9n ＝300.此方程无正整数解，故98101不是该数列中的项．(3)证明：因为a n ＝3n －23n ＋1＝3n ＋1－33n ＋1＝1－33n ＋1，又n ∈N *，所以0<33n ＋1<1. 所以0<a n <1，所以数列中的各项都在区间(0,1)内．[能力提升]1．数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N *都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5的值为______.【导学号：】【解析】 由a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2， ∴a 1a 2＝4，a 1a 2a 3＝9，∴a 3＝94，同理a 5＝2516，∴a 3＋a 5＝6116.【答案】6116图2­1­32．如图2­1­3，五角星魅力无穷，一动点由A 处按图中数字由小到大的顺序依次运动，当第一次运动结束回到A 处时，数字为6，按此规律无限运动，则数字2 016应在________处．【解析】 设a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，a 4＝4，a 5＝5，a 6＝1分别对应点A ，B ，C ，D ，E ，A ，故动点运动的周期为5，∵a 2 016＝a 2 015＋1＝a 5×403＋1＝a 1＝1，故应在A 处． 【答案】 A3．已知数列{a n }满足a m ·n ＝a m ·a n (m ，n ∈N *)，且a 2＝3，则a 8＝________. 【解析】 由a m ·n ＝a m ·a n ，得a 4＝a 2·2＝a 2·a 2＝9，a 8＝a 2·4＝a 2·a 4＝3×9＝27.【答案】 274．设函数f (x )＝log 2x －log x 2(0<x <1)，数列{a n }满足f (2a n )＝2n (n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)判断数列{a n }的单调性． 【解】 (1)由f (x )＝log 2x －log x 2， 可得f (2a n )＝a n －1a n＝2n ，所以a 2n －2na n －1＝0，解得a n ＝n ±n 2＋1. 因为0<x <1，所以0<2a n <1，所以a n <0. 故a n ＝n －n 2＋1. (2)法一：(作商比较)文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持. a n ＋1a n ＝n ＋1－n ＋12＋1n －n 2＋1＝n ＋n 2＋1n ＋1＋n ＋12＋1<1.因为a n <0，所以a n ＋1>a n .故数列{a n }是递增数列． 法二：(作差比较)a n ＋1－a n ＝n ＋1－n ＋12＋1－n ＋n 2＋1＝n 2＋1＋1－n 2＋2n ＋2＝2n 2＋1－n n 2＋1＋1＋n 2＋2n ＋2>0. 所以数列{a n }是递增数列．。