第九讲 火车型行程问题 学案
第九讲 火车行程问题
第九讲火车行程问题1、基本关系及基本现象同向行驶（1）追上（头尾齐）——超过（A长＋B长）÷（A速－B速）＝时间（2）头相齐——超过A长÷（A速－B速）＝时间（3）尾相齐——超过B长÷（A速－B速）＝时间相向行驶：（1）相遇——错过（A长＋B长）÷（A速＋B速）＝时间（2）头相齐——尾相齐A长÷（A速＋B速）＝时间（3）头尾齐——尾头齐（A长－B长）÷（A速＋B速）＝时间（4）尾头齐——两尾齐B长÷（A速＋B速）＝时间2、解决问题例：慢车车身长125米，车速每秒17米，快车车身长140米，车速每秒22米，慢车在前，快车在后面从追上到完全超过需要多少秒？据关系（1）可知：（125＋140）÷（22－17）＝53（秒）答：快车从追上到超过慢车需要53秒。
练：长150米的的火车以每秒18米的速度穿越一条长300米的隧道，问：火车穿越这条隧道（从入隧道开始到完全离开）需要多少秒？（150＋300）÷18＝25秒答：火车穿越这条隧道需要25秒。
例：一列火车通过一座长1260米的桥（车头上桥到车尾离开）用了60秒，它穿越长2010米的隧道，用了90秒，问：这列火车的车速和车身长各是多少？（2010－1260）÷（90－60）＝25米路程差时间差车速或25×60－1260＝240米，25×9－2010＝240米答：车速为每秒25米，车身长240米。
讲与练：两列火车相向而行，甲车每小时行36米，乙车每小时行54米，两车错车时，甲车上一乘客发现：从乙车车头经过他的车窗时开始到乙车车尾离开他的车窗时共用了14秒，求：乙车的车长？此题可以理解为：乘客以每小时36千米的速度与乙车以每小时54千米的速度，从同一起点同时作反向运动，因此，可用相遇问题的基本关系式解。
36000÷3600＝10（米）……甲每秒速54000÷3600＝15（米）……乙车速（10＋15）×14＝350（米）……乙车身长答：乙车车身长350米。
【名师课堂】“火车型”行程问题
【名师课堂】“火车型”行程问题“火车型”行程问题杨琼老师有关两列火车的相遇，追及问题，是行程问题中的一种。
在考虑速度、时间、路程三个量之间关系的同时，还必须注意到列车本身的长度。
因此，两列火车的“追及”、“相遇”这两个概念与“质点型”问题就不一样。
“火车型”的相遇，追及问题在解题时需要考虑运动着的物体的长度，其基本的数量关系与“质点型”的相遇与追及问题相同。
相遇问题的基本数量关系是：速度和×相遇时间=路程和追及问题的基本数量关系是：速度差×追及时间=路程差错车问题（火车相遇）错车问题就是一个火车与火车相遇问题，有三个量分别是“路程和”、“速度和”、“相遇时间”，根据画图知两列车“路程和=甲车长+乙车长”，三个量任意知道两个量，可以求出另一个量。
超车问题（火车追及）超车问题就是一个火车与火车追及问题，有三个量分别是“路程差”、“速度差”、“追及时间”，根据画图知两列车“路程差=甲车长+乙车长”，三个量任意知道两个量，可以求出另一个量。
总结-名师面对面-古人唱歌兼唱情，今人唱歌唯唱声。
欲说向君君不会，试将此语问杨琼。
一直从事数学教研教学相关工作。
她严格要求学生，尊重学生，发扬教学民主，使学生学有所得。
数学课上，她语调亲切，不断鼓励学生，调动学生对数学的学习兴趣，深受孩子们的喜爱。
姓名：杨琼任教学科：数学爱好：听音乐，打羽毛球人生格言：不为失败找借口，要为成功找方法。
最想对学生说的话：明天的你一定会感谢今天努力的自己。
希望孩子们在学习上不仅知其然还要知其所以然。
最想对新思维说的话：感谢您的培养，感谢您愿意给我机会成长，感恩有您！温馨提示。
北师大版 教师课件 火车行程问题
练3：一列快车长275米；一列慢车长230米，每秒行 25米，两车齐头并进，快车完全超过慢车用了11秒， 求快车的速度？
练4：一列快车的每秒行驶24米，一列慢车每秒行驶 16米，两列火车齐头并进，快车完全超过慢车用了 25秒，求快车的车长？
例2：一列快车长275米，每秒行35米；一列慢车 长230米，每秒行25米，两车齐尾并进，快车完 全超过慢车需要多长时间？
练2：一人沿铁路旁步行，迎面驶来一列火车，经过 他身边用了15秒，火车的速度32米/秒，火车长600 米，这个人每秒走多少米？
练3：东东沿铁路旁步行迎面驶来一列火车，东东的 速度5米/分钟火车的速度25米/分钟，火车从他身边 经过用了20分，火车长多少米？
例2、一辆客车以每分72米的速度沿铁路旁的 公路行驶，进行中，客车司机发现对面驶来 一列火车，速度是每分54米，这列火车从他 身边驶过共用了8分。求这列火车长。
火 车 行 程
火车相遇问题
例1、一人沿铁路旁步行，迎面驶来一列火 车，人的速度2米/分钟，火车的速度38米/ 分钟，火车长200米，火车从他身边经过需 要多长时间？
练1：亮亮沿铁路旁步行，迎面驶来一列火车，亮亮 的速度5米/分钟，火车的速度25米/分钟，火车长 150米，火车从他身边经过需要多长时间？
练1：一列快车长180，每秒行25米；一列慢车长170 米，每秒行20米，两车齐尾并进，快车完全超过慢 车需要多长时间？
练2：一列快车长286米，每秒行35米；一列慢车长 294米，两车齐尾并进，快车完全超过慢车用了14秒， 求慢车的速度？
练3：一列快车长240米；一列慢车长220米，每秒行 25米，两车齐尾并进，快车完全超过慢车用了20秒， 求快车的速度？
火车齐头齐尾并进问题
行程问题教案
行程问题教案教案标题：行程问题教案教学目标：1.学生能够了解和理解行程问题的概念，并能够运用所学的数学知识解决相关问题；2.学生能够分析和解决实际生活中与行程有关的问题，并运用合理的数学方法解决。
教学准备：1.教师准备：a.展示板、黑板或白板；b.教学课件或教学PPT；c.行程问题的实际案例和相关资料。
2.学生准备：a.课本或相关学习资料；b.笔和纸。
教学步骤：1.导入（10分钟）：a.引入行程问题的概念，例如解释行程问题在生活中的应用，如旅行、班车时刻表等；b.通过一个生活实例或简单的问题，引发学生思考与行程问题相关的数学概念。
2.讲解行程问题的基本概念（15分钟）：a.解释行程问题的定义和实际应用；b.介绍行程问题中常用的相关术语，如速度、时间、距离等；c.通过示意图或实际案例，讲解行程问题的解题思路。
3.解决简单行程问题（20分钟）：a.给学生提供一些简单的行程问题，例如"A和B两地相距60公里，A以每小时30公里的速度向B方向出发，B以每小时20公里的速度向A方向出发，问两地相遇需要多长时间？"；b.引导学生思考并用合适的数学方法解决问题；c.对学生的解题过程进行指导和讲解。
4.提高和拓展（15分钟）：a.给学生提供一些复杂的行程问题，如考虑不同的速度、不同的方向等；b.引导学生推广和拓展所学的方法，解决更加复杂的行程问题；c.鼓励学生思考实际生活中的行程问题，并设计解决方案。
5.总结（5分钟）：a.回顾本节课所学的行程问题的主要概念和解题方法；b.提醒学生在实际生活中遇到行程问题时应该如何运用所学的数学知识。
6.作业布置：a.要求学生完成课堂练习册中关于行程问题的习题；b.鼓励学生寻找和制定自己感兴趣的行程问题，并尝试解决。
教学反思：本教案通过明确教学目标、引导学生理解行程问题概念、分层次地进行问题解决和扩展，提高了学生对行程问题解决方法的掌握和应用能力。
同样重要的是，教案中将实际生活示例与数学知识结合，让学生理解数学的应用意义，增强了学习的趣味性。
《火车行程问题》课件
城市轨道交通规 划是城市规划的 重要组成部分， 涉及到城市交通、 土地利用、环需要考虑到城 市人口、经济、 环境等因素，制 定出合理的线路 布局和站点设置。
城市轨道交通规划 需要综合考虑各种 交通方式，如地铁、 轻轨、有轨电车等， 制定出合理的换乘 方案和交通衔接方 案。
提高能源效率：火车 行程问题可以提高能 源效率，减少能源消 耗，有助于实现可持 续发展目标。
促进经济发展：火车 行程问题可以促进经 济发展，提高人民生 活水平，有助于实现 可持续发展目标。
提高社会福利：火车 行程问题可以提高社 会福利，改善人民生 活质量，有助于实现 可持续发展目标。
建立数学模型：根据问题描述，建立数学模型，如时间、距离、速度等变量之间 的关系。
求解模型：利用数学方法求解模型，如代数、微积分等。
验证模型：通过实际数据验证模型的准确性和可行性。
优化模型：根据实际情况对模型进行优化，以提高求解效率和准确性。
调度原则：安全、高效、经济 调度方式：集中调度、分散调度、混合调度 调度内容：列车运行计划、列车运行图、列车运行调整 调度工具：调度系统、调度软件、调度设备
解决方案：优化地铁线路规划， 提高地铁运营效率，降低运营 成本，提高乘客满意度
解决方案：优化列车运行图， 提高运输能力
问题背景：某铁路枢纽运输 能力不足，影响运输效率
实施效果：运输能力提高， 运输效率提升
案例分析：某铁路枢纽运输能 力优化问题的具体案例分析
背景：某跨国铁 路通道建设面临 诸多挑战，如地 形复杂、气候多 变、技术难度大
城市轨道交通规 划需要综合考虑 城市未来的发展 需求，制定出合 理的线路扩展和 站点增设方案。
01
线路规划：考虑地形、地质、环境等因素，优化线 路走向和站点设置
火车行程问题
火车行程问题一、复习旧知我们在研究一般的行程问题时，是不考虑汽车等物体的本身长度的，因为这类物体的长度很小，可以忽略不计。
可是如果要研究火车的行程问题，因车身有一定的长度，一般有一百多米，就不能忽略不计了。
火车行程问题，我们也研究一般行程问题中的相遇问题和追及问题。
火车相遇问题一般研究两列火车相向运行，从车头相遇到车尾相离的有关问题，一般又叫错车问题。
火车的追及问题一般研究快车车头与慢车车尾相遇，到快车车尾离开慢车车头的有关问题，一般又叫超车问题。
两列火车相向而行，从两车车头相遇到两车车尾相离，这段时间共行的路程就是两车车身之长的和，相向而行的速度就是两车的速度和，这里的相遇时间就是指两车从相遇到相离的时间，又叫错车时间。
错车时间=（甲车身长+乙车身长）÷（甲车速+乙车速）两列火车同向而行，慢车在前，快车在后，从快车车头追上慢车车尾到快车车尾离开慢车车头，要追及的路程就是两车车身之长的和，追及的速度就是两车的速度差，追及时间就是指快车从遇到慢车到超出慢车所需的时间，又叫超车时间。
超车时间=（甲车身长+乙车身长）÷（甲车速-乙车速）二、新课讲解例1、两列火车在双轨轨道上相向行驶，一列慢车，车身长130米，车速是每秒30米，一列快车，车身长150米，车速是每秒40米，两列火车从车头相遇到车尾相离用了多少秒？分析：两车车头相遇到车尾相离，两车一共行驶的路程就是两车车身长的和，求错车时间，就要用两列火车车身之长和除以两车的速度和。
例2、一列慢车车身长120米，车速是每秒15米；一列快车车身长132米，车速是每秒30米。
慢车在前面行驶，快车与它同向行驶，从后面追上到完全超过需要多少秒？分析：快车从追上到超过慢车时，要比慢车多行快、慢两车车身长之和，而每秒钟快车要比慢车多行30-15=15（米），用两车身长之和除以两车的速度差，就得超车时间。
三、课堂练习1、两列火车，车身长都是180米，从北京、南京两地相对开出，车速都是每小时90千米，两列火车从相遇到相离，要几秒？2、从南京到上海的铁路上，一列慢车车身长150米，每秒行驶28米，一列快车车身长120米，每秒钟行驶34米，慢车在前面行驶，快车从追上到完全超过慢车需要多少秒？四、过关检测1、慢车长90米，速度是每秒20米。
【小学数学】小学五年级奥数趣味学习——火车行程问题
火车行程问题两列火车错车用的时间是：(A的车身长+B的车身长)÷(A车的速度+B车的速度)两列火车超车用的时间是：(A的车身长+B的车身长)÷(A车的速度-B车的速度)(注：A车追B车)火车过桥问题；可用下面的关系式求火车通过的时间：(列车长度+桥的长度)÷列车速度火车通过两座桥；或通过一座桥；隧道；车头走过的长度是：桥长+火车长或隧道长+火车长其中火车长一样；比较长和隧道长；再比较所用的时间的差；就又求出火车的速度以及车身长。
人坐在列车上往窗外看另一列车；相当人在一定时间内走过一座桥。
例1：一列慢车；车身长120米；车速是每秒15米；一列快车车身长160米；车速是每秒20米；两车在双轨轨道上相向而行；从车头相遇到车尾相离要用多少秒钟？解答：(120+160)÷(15+20)=280÷35=8(秒)答：两车从车头相遇到车尾相离用8秒钟。
例2：一列火车长150米；每秒行20米；全车通过一座450米长的大桥；需多长时间？解：(150+450)÷20=30(秒)答：需要30秒。
例3：一列客车通过860米长的大桥；需要45秒钟；用同样速度穿过620米长的隧道需要35秒钟；求这列客车行驶的速度及车身的长度各多少米。
解：这列客车每秒行驶：(860－620)÷(45－35)=240÷10=24(米)这列客车的车身长：24×45－860=1080-860=220(米)答：这列客车每秒行驶24米；车身长220米。
例4：某小学三、四年级学生共528人；排成四路纵队去看电影；队伍进行的速度是每分25米；前后两人都相距1米；现在队伍要走过一座桥；整个队伍从上桥到离桥共需16分；这座桥走多少米？解：队伍长：1×(528÷4-1)=131(米)队伍行进的路程：25×16=400(米)桥长：400－131=269(米)答：这座桥长269米。
火车行程问题
小初衔接课程（数学学科）编写——负责人：×××1．有关火车的行程问题◆内容梳理关火车过桥，火车过隧道，两列火车车头相遇到车尾相离等问题，也是一种行程问题。
在考虑速度、时间和路程三种数量关系时，必须考虑火车的长度。
如果有些问题不容易一下看出来运动过程中的数量关系，可以利用作图或演示的方法来帮助解决。
解题规律：（桥长＋车长）÷速度＝时间（桥长＋车长）÷时间＝速度速度×时间＝桥长＋车长◆学生问题1. 火车与普通汽车都是相遇和追击的问题，为什么还要加上车身的长度？学生不理解火车的通过与汽车通过的区别。
2.当火车要通过一个物体时，什么时候要考虑这个物体的长度，什么时候不用考虑，在计算时有什么区别？（1）当一列火车通过一个静止且长度可以忽略的物体时如何计算？（如：人、电线杆等）（2）当一列火车通过一个静止且长度不可忽略的物体时如何计算？（如：隧道、桥梁、静止的火车）（3）当一列火车与一个长度可以忽略的物体产生的行程问题（相向和追击）时如何计算？（4）当一列火车与一个长度不可忽略的物体（如另一列火车）产生的行程问题（相向和追击）时如何计算？◆指导建议1．初次遇到火车的行程问题，在固有思维的影响下，通过“速度×时间=路程”这一数量关系来计算，是十分正常的。
我们的问题解决也是围绕这一基本公式来展开的。
同时，在火车的行程问题中以计算通过时间为主。
2.小学阶段的学生空间想象能力有所欠缺，所以我们可以通过动画或者实物演示来让学生明白“通过”应该是指从火车头相遇到火车尾离开这个过程。
可利用火车模型或者其他长方体的木块、石块等，还能借助画图的方式，总之用最直观的方式来演示从而彻底明白火车长度在行程问题中的特殊性。
3.要明白火车的行程问题一定要搞清楚所通过的物体是静止还是运动？长度需不需要考虑？所以我将火车的行程问题分为以下四类。
（1）静止物体、长度忽略如：电线杆、树、静止的人火车长÷火车速度=时间（2）静止物体、长度不可忽略如：桥梁、隧道、静止的火车（火车长+物体长）÷火车速度=时间(3)运动物体、长度忽略如：汽车、自行车、运动的人(a)相遇火车长÷（火车速度+物体速度）=时间(b)追击火车长÷（火车速度-物体速度）=时间火车长÷（物体速度-火车速度）=时间(4)运动物体、长度不可忽略如：火车、较长的货车(a)相遇（火车长+物体长）÷（火车速度+物体速度）(b)追击（火车长+物体长）÷（火车速度-物体速度）（火车长+物体长）÷（物体速度-火车速度）◆例题解析【例 1】一列火车长120米，它以每秒24米的速度在铁轨上行驶，途中经过一棵古树，问这列火车经过这棵古树需要多长时间？【思路点拨】首先我们要分析火车经过古树的情况。
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第九讲火车型行程问题
通常，在行程中所涉及的运动物体（如人或车）是不考虑本身长度的。
但火车（或一支队伍）的长度较长，不能忽略不计。
从“追上”到“超过”，就是一个追及过程。
在此过程中，二者的路程之差为
A车长+B车长
从“相遇”到“错过”，这是一个相遇过程。
在此过程中，二者的路程之和为
A车长+B车长
理解了这两个隐藏条件，我们再做这类似题时，就可以把它当作一般行程问题来做了。
例1、长150米的火车以每秒18米的速度穿越一条长300米的隧道，问：火车穿越隧道（从进入到完全离开）要用多少时间？
练习：1、长130的列车，以每秒16米的速度行驶，通过一条隧道用了48秒，问：这条隧道长多少米？
例2、慢车车长125米，车速为每秒17米；快车车长140米，车速为每秒22米。
慢车在前面行驶，快车从后面追上到完全超过慢车需要多少时间？
练习：甲火车长250米，车速每秒16米；乙车长140米，车速每秒21米。
乙车从后面追上到完全超越甲车需要多少秒？
例3、一列火车通过一座长1260米的桥（车头上桥至车尾完全离桥）用了60秒，它以相同速度穿越长2010米的隧道用了90秒。
问：这列火车的车速和车身长各是多少？
练习：一列火车通过长为450米的大桥用了23秒，从车头到车尾经过一位铁路边的扳道工人用了8秒（工人的身宽忽略不计）。
这列火车的速度和车身长度各是多少？
例4、两列火车相向而行。
甲车每小时行36千米，乙车每小时行54千米。
两车错车时，甲车上一乘客发现：从乙车车头经过他的车窗时开始到乙车车尾经过他车窗时共用14秒。
求乙车的车长。
练习：
1、快车每秒行18米，慢车每秒行10米。
现两列火车同时同方向齐头行进，经过10秒后，快车超过慢车；如果两车车尾相齐行进，则7秒后，快车超过慢车。
求两列火车的车身长度各是多少米？
例5、某小学528人排成4路纵队去看电影，队伍的速度是每分钟25米，前后两人都相距1米。
现在队伍要走过一大桥，整个队伍上桥到离桥共需16分钟。
问：这座桥长多少米？
练习：
1、有346名同学排成2路纵队去参观。
队伍行进的速度是每分钟23米，前后两人相距1米。
现在队伍要通过一座长度为702米的大桥，求整个队伍从上桥到下桥共用多少时间？
例6、快慢两列火车相向而行，快车的车长是50米，慢车的车长是80米，快车的速度是慢车速度的2倍，如果坐在慢车上的人看到快车驶过窗口的时间是5秒，那么坐在快车上人看到慢车驶过窗口用的时间是几秒？
练习：
1、小明坐在行驶的客车上，发现从迎面来的货车用了6秒钟才通过他的窗口，而小明通过一座180米的大桥用了12秒。
已知货车长168米，求货车每秒行多少米？
课外作业：
1、长135米的列车以每秒12米的速度行驶，后面开来一辆长126米的另一辆列车，每秒17米。
求后车超越前车共用时多少秒？
2、两列火车，各长270米，同时以54千米/小时的速度相对开出。
求两车错车用时几秒钟？
3、某车经过一根电线杆用了9秒，通过468米的铁路桥用了35秒。
求列车长度。
4、长90米的列车以每小时54千米的速度行驶，它追上并超过长度为50米
的列车用了14秒。
如果这两列车相向而行，那么它们错车要用多少时间？
5、一列火车通过一座长456米的桥需要80秒，用同样的速度通过一条长399
米的隧道需要77秒。
求这列火车的速度和长度。
6、快慢两车的长度分别为150米、200米，它们相向行驶在平行的轨道上，若坐在慢车上的人看到快车驶过窗口的时间是6秒，那么坐在快车上的人看到慢车驶过窗口所用的时间是多少？
7、某列车先通过一条长342米的隧道用了23秒，接着通过一条长234米的
隧道用了17
秒。
然后列车与另一列长为75米，速度为每秒24米的列车错车而过，问：从车头相遇到车尾离开共需多少秒？（在此过程中，车速度保持不变。
两条铁路平行）。