2020-2021学年山东省实验中学高二(上)期中数学试卷 (解析版)
2020-2021学年山东省实验中学高二（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题）.1．直线3x+2y﹣1＝0的一个方向向量是（）A．（2，﹣3）B．（2，3）C．（﹣3，2）D．（3，2）2．椭圆+＝1的离心率是（）A．B．C．D．3．两条平行直线2x﹣y+3＝0和ax﹣3y+4＝0间的距离为d，则a，d分别为（）A．a＝6，B．a＝﹣6＝﹣6，C．a＝﹣6，D．a＝6，4．如图，四棱锥P﹣OABC的底面是矩形，设，，，E是PC的中点，则（）A．B．C．D．5．空间直角坐标系O﹣xyz中，经过点P（x0，y0，z0）且法向量为的平面方程为A（x﹣x0）+B（y﹣y0）+C（z﹣z0）＝0，经过点P（x0，y0，z0）且一个方向向量为的直线l的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面α的方程为3x﹣5y+z﹣7＝0，经过（0，0，0）直线l 的方程为，则直线1与平面α所成角的正弦值为（）A．B．C．D．6．已知圆x2+y2﹣6x＝0，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A．1B．2C．3D．47．已知l，m是异面直线，A，B∈l，C，D∈m，AC⊥m，BD⊥m，AB＝2，CD＝1，则异面直线l，m所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°8．已知F1，F2是椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P 在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为（）A．B．C．D．二.多选题（共4小题）.9．过点P（2，3），并且在两轴上的截距相等的直线方程为（）A．x+y﹣5＝0B．2x+y﹣4＝0C．3x﹣2y＝0D．4x﹣2y+5＝0 10．已知曲线C：mx2+ny2＝1．（）A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在x轴上C．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为D．若m＝0，n＞0，则C是两条直线11．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0）若圆C 上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的可能取值为（）A．7B．6C．5D．812．已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，动点在椭圆上，∠F1PF2的平分线与x轴交于点M（m，0），则m的可能取值为（）A．1B．2C．0D．﹣1三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知平面α的一个法向量，平面β的一个法向量，若α⊥β，则y﹣x＝．14．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是线段DD1的中点，F是线段BB1的中点，则直线FC1到平面AB1E的距离为．15．已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，弦AB过点F1，若△ABF2的内切圆的周长为2π，A，B两点的坐标是（x1，y1）（x2，y2），则|y1﹣y2|＝．16．2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：Q （0，﹣3）是圆Q的圆心，圆Q过坐标原点O；点L、S均在x轴上，圆L与圆S的半径都等于2，圆S、圆L均与圆Q外切．已知直线l过点O．（1）若直线l与圆L、圆S均相切，则l截圆Q所得弦长为；（2）若直线l截圆L、圆S、圆Q所得弦长均等于d，则d＝．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为A（﹣1，4），B（﹣2，﹣1），C（2，3）．（Ⅰ）在△ABC中，求边AC中线所在直线方程；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的顶点D的坐标及边BC的长度；（Ⅲ）求△ABC的面积．18．（12分）已知△ABC的边AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6＝0，M（2，0）满足，点T（﹣1，1）在AC边所在直线上且满足．（1）求AC边所在直线的方程；（2）求△ABC外接圆的方程；（3）若动圆P过点N（﹣2，0），且与△ABC的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程．19．（12分）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记CM＝BN＝a（0＜a＜）．（Ⅰ）求MN的长；（Ⅱ）a为何值时，MN的长最小并求出最小值；（Ⅲ）当MN的长最小时，求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值．20．（12分）椭圆C1：的长轴长等于圆C2：x2+y2＝4的直径，且C1的离心率等于，已知直线l：x﹣y﹣1＝0交C1于A、B两点．（Ⅰ）求C1的标准方程；（Ⅱ）求弦AB的长．21．（12分）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形ABB1A1为菱形，∠AA1B1＝，平面ABB1A1⊥平面ABC，AB＝BC，AC＝，E为AC的中点．（Ⅰ）求证：B1C1⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）求平面EB1C1与平面BB1C1C所成角的大小．22．（12分）已知点A（1，0），点P是圆C：（x+1）2+y2＝8上的任意一点，线段PA的垂直平分线与直线CP交于点E．（Ⅰ）求点E的轨迹方程；（Ⅱ）过点A的直线l与轨迹E交于不同的两点M，N，则△CMN的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程；若不存在，请说明理由．参考答案一、单选题（共8小题）.1．直线3x+2y﹣1＝0的一个方向向量是（）A．（2，﹣3）B．（2，3）C．（﹣3，2）D．（3，2）解：依题意，（3，2）为直线的一个法向量，∴则直线的一个方向向量为（2，﹣3），故选：A．2．椭圆+＝1的离心率是（）A．B．C．D．解：椭圆+＝1，可得a＝3，b＝2，则c＝＝，所以椭圆的离心率为：＝．故选：B．3．两条平行直线2x﹣y+3＝0和ax﹣3y+4＝0间的距离为d，则a，d分别为（）A．a＝6，B．a＝﹣6＝﹣6，C．a＝﹣6，D．a＝6，解：根据两条平行直线2x﹣y+3＝0和ax﹣3y+4＝0，可得＝≠，可得a＝6，可得两条平行直线即6x﹣3y+9＝0和6x﹣3y+4＝0，故它们间的距离为d＝＝，故选：D．4．如图，四棱锥P﹣OABC的底面是矩形，设，，，E是PC的中点，则（）A．B．C．D．解：∵四棱锥P﹣OABC的底面是矩形，，，，E是PC的中点，∴＝+＝﹣+＝﹣+（+）＝﹣+（﹣+）＝﹣﹣+，故选：B．5．空间直角坐标系O﹣xyz中，经过点P（x0，y0，z0）且法向量为的平面方程为A（x﹣x0）+B（y﹣y0）+C（z﹣z0）＝0，经过点P（x0，y0，z0）且一个方向向量为的直线l的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面α的方程为3x﹣5y+z﹣7＝0，经过（0，0，0）直线l 的方程为，则直线1与平面α所成角的正弦值为（）A．B．C．D．解：∵平面α的方程为3x﹣5y+z﹣7＝0，∴平面α的一个法向量为＝（3，﹣5，1），∵经过（0，0，0）直线l的方程为，∴直线l的一个方向向量为＝（3，2，﹣1），设直线1与平面α所成角为θ，则sinθ＝|cos＜，＞|＝||＝||＝，∴直线1与平面α所成角的正弦值为．故选：B．6．已知圆x2+y2﹣6x＝0，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A．1B．2C．3D．4解：由圆的方程可得圆心坐标C（3，0），半径r＝3；设圆心到直线的距离为d，则过D（1，2）的直线与圆的相交弦长|AB|＝2，当d最大时弦长|AB|最小，当直线与CD所在的直线垂直时d最大，这时d＝|CD|＝＝2，所以最小的弦长|AB|＝2＝2，故选：B．7．已知l，m是异面直线，A，B∈l，C，D∈m，AC⊥m，BD⊥m，AB＝2，CD＝1，则异面直线l，m所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°解：由AC⊥m，BD⊥m，可得AC⊥CD，BD⊥CD，故可得＝0，＝0，∴＝（）•＝+||2+＝0+12+0＝1，∴cos＜，＞＝＝，∵与夹角的取值范围为[0，π]，故向量的夹角为60°，∴异面直线l，m所成的角等于60°．故选：C．8．已知F1，F2是椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P 在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为（）A．B．C．D．解：由题意可知：A（﹣a，0），F1（﹣c，0），F2（c，0），直线AP的方程为：y＝（x+a），由∠F1F2P＝120°，|PF2|＝|F1F2|＝2c，则P（2c，c），代入直线AP：c＝（2c+a），整理得：a＝4c，∴题意的离心率e＝＝．故选：D．二.多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.）9．过点P（2，3），并且在两轴上的截距相等的直线方程为（）A．x+y﹣5＝0B．2x+y﹣4＝0C．3x﹣2y＝0D．4x﹣2y+5＝0解：当直线经过原点时，直线的斜率为k＝，所以直线的方程为y＝x，即3x﹣2y＝0；当直线不过原点时，设直线的方程为x+y＝a，代入点P（2，3）可得a＝5，所以所求直线方程为x+y＝5，即x+y﹣5＝0．综上可得，所求直线方程为：x+y﹣5＝0或3x﹣2y＝0．故选：AC．10．已知曲线C：mx2+ny2＝1．（）A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在x轴上C．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为D．若m＝0，n＞0，则C是两条直线解：曲线C：mx2+ny2＝1．若m＞n＞0，方程化为，得＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上，故A 正确；B错误；若m＝n＞0，方程化为，则C是圆，其半径为，故C错误；若m＝0，n＞0，方程化为，即y＝，则C是两条直线，故D正确．故选：AD．11．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0）若圆C 上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的可能取值为（）A．7B．6C．5D．8解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1的圆心C（3，4），半径为1，∵圆心C到O（0，0）的距离为5，∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6，最小值为4，再由∠APB＝90°，可得以AB为直径的圆和圆C有交点，得PO＝|AB|＝m，即4≤m≤6，结合选项可得，m的值可能取6和5．故选：BC．12．已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，动点在椭圆上，∠F1PF2的平分线与x轴交于点M（m，0），则m的可能取值为（）A．1B．2C．0D．﹣1解：由椭圆方程可得F1（，0），F2（），由y1＞，可得＜x1＜，则直线PF1的方程为，即，直线PF2的方程为，即．∵M（m，0）在∠F1PF2的平分线，∴，①∵＝，＝，﹣＜m＜，∴①式转化为，即m＝，又＜x1＜，∴＜m＜．结合选项可得m的可能取值为1，0，﹣1，故选：ACD．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知平面α的一个法向量，平面β的一个法向量，若α⊥β，则y﹣x＝1．解：∵平面α的一个法向量，平面β的一个法向量，α⊥β，∴＝﹣x+y﹣1＝0，解得y﹣x＝1．故答案为：1．14．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是线段DD1的中点，F是线段BB1的中点，则直线FC1到平面AB1E的距离为．解：如图，取C1C的中点G，连接BG，可得BF∥C1G，BF＝C1G，则四边形BGC1F为平行四边形，∴C1F∥BG．连接EG，得EG∥CD∥AB，EG＝CD＝AB，则四边形ABGE为平行四边形，得BG∥AE，则FC1∥AE，∵AE⊂平面AB1E，FC1⊄平面AB1E，∴FC1∥平面AB1E，∴直线FC1到平面AB1E的距离等于F到平面AB1E的距离，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中的棱长为1，∴，AE＝，，则cos∠EAB1＝，∴sin，则＝．设F到平面AB1E的距离为h，由，得，即h＝．∴直线FC1到平面AB1E的距离为．故答案为：．15．已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，弦AB过点F1，若△ABF2的内切圆的周长为2π，A，B两点的坐标是（x1，y1）（x2，y2），则|y1﹣y2|＝．解：由椭圆，得a2＝25，b2＝16，∴a＝5，b＝4，c＝＝3，∴椭圆的焦点分别为F1（﹣3，0）、F2（3，0），设△ABF2的内切圆半径为r，∵△ABF2的内切圆周长为2π，∴r＝1，根据椭圆的定义，得|AB|+|AF2|+|BF2|＝（|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）＝4a＝20．∴△ABF2的面积S＝（|AB|+|AF2|+|BF2|）×r＝×20×1＝10，又∵△ABF2的面积S＝+＝×|y1|×|F1F2|+×|y2|×|F1F2|＝×（|y1|+|y2|）×|F1F2|＝3|y2﹣y1|（A、B在x轴的两侧），∴3|y1﹣y2|＝10，解得|y1﹣y2|＝．故答案为：．16．2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：Q （0，﹣3）是圆Q的圆心，圆Q过坐标原点O；点L、S均在x轴上，圆L与圆S的半径都等于2，圆S、圆L均与圆Q外切．已知直线l过点O．（1）若直线l与圆L、圆S均相切，则l截圆Q所得弦长为3；（2）若直线l截圆L、圆S、圆Q所得弦长均等于d，则d＝．解：（1）根据条件得到两圆的圆心坐标分别为（﹣4，0），（4，0），设公切线方程为y＝kx+m（k≠0）且k存在，则，解得k＝±，m＝0，故公切线方程为y＝±x，则Q到直线l的距离d＝，故l截圆Q的弦长＝2＝3；（2）设方程为y＝kx+m（k≠0）且k存在，则三个圆心到该直线的距离分别为：d1＝，d2＝，d3＝，则d2＝4（4﹣d12）＝4（4﹣d22）＝4（9﹣d32），即有（）2＝（）2，①4﹣（）2＝9﹣（）2，②解①得m＝0，代入②得k2＝，则d2＝4（4﹣）＝，即d＝，故答案为：3；．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为A（﹣1，4），B（﹣2，﹣1），C（2，3）．（Ⅰ）在△ABC中，求边AC中线所在直线方程；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的顶点D的坐标及边BC的长度；（Ⅲ）求△ABC的面积．解：（1）设AC边的中点为M，则M（，），∴直线BM斜率k＝＝，∴直线BM的方程为y+1＝（x+2），化为一般式可得9x﹣5y+13＝0，∴AC边中线所在直线的方程为：9x﹣5y+13＝0（2）设点D坐标为（x，y），由已知得M为线段BD中点，∴有，解得，∴D（3，8），∵B（﹣2，﹣1），C（2，3）∴；（3）由B（﹣2，﹣1），C（2，3）可得直线BC的方程为x﹣y+1＝0，∴点A到直线BC的距离d＝＝2，∴△ABC的面积S＝×4×2＝8．18．（12分）已知△ABC的边AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6＝0，M（2，0）满足，点T（﹣1，1）在AC边所在直线上且满足．（1）求AC边所在直线的方程；（2）求△ABC外接圆的方程；（3）若动圆P过点N（﹣2，0），且与△ABC的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程．解：（1）∵∴AT⊥AB，又T在AC上∴AC⊥AB，△ABC为Rt△ABC，又AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6＝0，所以直线AC的斜率为﹣3．又因为点T（﹣1，1）在直线AC上，所以AC边所在直线的方程为y﹣1＝﹣3（x+1）．即3x+y+2＝0．（2）AC与AB的交点为A，所以由解得点A的坐标为（0，﹣2），∵∴M（2，0）为Rt△ABC的外接圆的圆心又r＝．从△ABC外接圆的方程为：（x﹣2）2+y2＝8．（3）因为动圆P过点N，所以|PN|是该圆的半径，又因为动圆P与圆M外切，所以，即．故点P的轨迹是以M，N为焦点，实轴长为的双曲线的左支．因为实半轴长，半焦距c＝2．所以虚半轴长．从而动圆P的圆心的轨迹方程为．19．（12分）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记CM＝BN＝a（0＜a＜）．（Ⅰ）求MN的长；（Ⅱ）a为何值时，MN的长最小并求出最小值；（Ⅲ）当MN的长最小时，求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值．解：如图建立空间直角坐标系，A（1，0，0），C（0，0，1），F（1，1，0），E（0，1，0），∵CM＝BN＝a，∴M（，0，1﹣），N（，，0）．（Ⅰ）＝；（Ⅱ）＝，当a＝时，|MN|最小，最小值为；（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当M，N为中点时，MN最短，则M（，0，），N（，，0），取MN的中点G，连接AG，BG，则G（，，），∵AM＝AN，BM＝BN，∴AG⊥MN，BG⊥MN，∴∠AGB是平面MNA与平面MNB的夹角或其补角．∵，，∴cos＜＞＝＝．∴平面MNA与平面MNB夹角的余弦值是．20．（12分）椭圆C1：的长轴长等于圆C2：x2+y2＝4的直径，且C1的离心率等于，已知直线l：x﹣y﹣1＝0交C1于A、B两点．（Ⅰ）求C1的标准方程；（Ⅱ）求弦AB的长．解：（Ⅰ）由题意可得2a＝4，∴a＝2，∵，∴c＝1，∴b＝，∴椭圆C1的标准方程为：．（Ⅱ）联立直线l与椭圆方程，消去y得：7x2﹣8x﹣8＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，∴|AB|＝＝＝．21．（12分）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形ABB1A1为菱形，∠AA1B1＝，平面ABB1A1⊥平面ABC，AB＝BC，AC＝，E为AC的中点．（Ⅰ）求证：B1C1⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）求平面EB1C1与平面BB1C1C所成角的大小．【解答】（Ⅰ）证明：∵四边形ABB1A1为菱形，AB＝BC，AC＝，∴AC2＝AB2+BC2，得AB⊥BC，又平面ABB1A1⊥平面ABC，平面ABB1A1∩平面ABC＝AB，∴BC⊥平面ABB1A1，又B1C1∥BC，∴B1C1⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）取A1B1的中点O，A1C1的中点N，连接OA，ON，∵B1C1⊥平面ABB1A1，∴ON⊥平面ABB1A1，得ON⊥OA1，ON⊥OA，又四边形ABB1A1为菱形，，O是A1B1的中点，∴OA⊥A1B1，故OA1，ON，OA两两互相垂直．以O为坐标原点，分别以OA1、ON、OA所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，∴B1（﹣1，0，0），C1（﹣1，2，0），E1（﹣1，1，），B（﹣2，0，），由图可知，平面EB1C1的一个法向量为，设平面BB1C1C的一个法向量为，则，取z＝1，得．设平面EB1C1与平面BB1C1C所成角的大小为θ，则cosθ＝|cos＜＞|＝||＝，又∵θ∈（0，]，∴，故平面EB1C1与平面BB1C1C所成角的大小为．22．（12分）已知点A（1，0），点P是圆C：（x+1）2+y2＝8上的任意一点，线段PA的垂直平分线与直线CP交于点E．（Ⅰ）求点E的轨迹方程；（Ⅱ）过点A的直线l与轨迹E交于不同的两点M，N，则△CMN的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程；若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）由题意可知：|EP|＝|EA|，|CE|+|EP|＝2，∴|CE|+|EA|＝2＞|CA|＝2，∴点E的轨迹是以C，A为焦点的椭圆，且2a＝2，c＝1，∴其轨迹方程为．（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），不妨设y1＞0，y2＜0，由题意可知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x＝my+1，联立方程，消去x得：（m2+2）y2+2my﹣1＝0，则，，∴＝，∴＝＝＝，当且仅当即m＝0时，△CMN的面积取得最大值，此时直线l的方程为x＝1．。
2020-2021学年二年级下册数学试题 - 期中试卷 青岛版(五四学制)(含解析)
2020-2021学年青岛五四版小学二年级下册数学期中试卷一．选择题（共8小题）1．一份试卷满分是100分，学生的得分不可能是（）A．90分B．106分C．100分2．最大的三位数比最小的三位数多（）A．99B．899C．9993．一枚一元的硬币的厚度约（）A．2克B．2毫米C．2厘米4．学校组织一、二年级学生到操场看演出，一年级有296人，二年级有308人，大约要准备多少个座位？（）A．500B．600C．7005．最大的三位数与最小的三位数的差是（）A．1099B．899C．9896．用两个边长是1分米的正方形纸片拼成一个长方形，这个长方形的周长是（）A．4分米B．6分米C．8分米7．780﹣（）的结果可以掷中右边的靶面．A．105B．135C．1608．将两根长度都是40厘米的铁棒焊接成一根（如图），焊接处共用去30毫米．焊接后的铁棒的长度是（）厘米．A．50B．74C．77二．填空题（共8小题）9．冷饮店有800个冰淇淋。
上年卖出235个，下午比上午多卖出108个。
下午卖出了个冰淇淋，这一天共卖出了个冰淇淋，还剩下个冰淇淋没有卖出。
10．李叔叔买了一架飞机模型，付给售货员250元，售货员将飞机模型价格中的“7”看成了“1”，找给李叔叔19元．算一算，一架飞机模型元，应找给李叔叔元．11．如图是用边长1厘米的小正方形组成的，它的周长是厘米。
12．笑笑用画图法计算122+77，她是先算，再算．13．算一算．（1）2米﹣8分米＝分米（2）1厘米+6毫米＝毫米（3）5千米﹣3000米＝米（4）37毫米﹣7毫米＝厘米14．量比较短的物体长度要求得精确时，可以用做单位．15．最小的四位数与最大的两位数的差是。
最大的两位数与最大的一位数的积是。
16．动脑筋：★＝；●＝．三．判断题（共5小题）17．820里有8个百2个十，也可以说有82个十．．18．李明身高132分米．．（判断对错）19．267+156＝513．（判断对错）20．4个完全相同的正方形可以拼成一个大正方形。
2020-2021学年山西省太原市高二上学期期中数学试卷(解析版)
2020-2021学年山西省太原市高二（上）期中数学试卷一、选择题（共12小题）.1．（3分）直线x﹣2y+6＝0的斜率为（）A．2B．﹣2C．D．﹣2．（3分）长方体的长、宽、高分别为，，1，且其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．3πB．6πC．12πD．24π3．（3分）已知A（0，0），B（1，1），直线l过点（2，0）且和直线AB平行，则直线l的方程为（）A．x﹣y﹣2＝0B．x+y﹣2＝0C．2x﹣y﹣4＝0D．2x+y﹣4＝0 4．（3分）圆（x﹣1）2+（y+2）2＝1的一条切线方程是（）A．x﹣y＝0B．x+y＝0C．x＝0D．y＝05．（3分）已知直线a，b，c满足a⊥b，a⊥c，且a⊂α，b，c⊂β，有下列说法：①a⊥β；②α⊥β；③b∥c．则正确的说法有（）A．3个B．2个C．1个D．0个6．（3分）直线x﹣2y+2＝0关于直线x＝1对称的直线方程是（）A．x+2y﹣4＝0B．2x+y﹣1＝0C．2x+y﹣3＝0D．2x+y﹣4＝0 7．（3分）在三棱锥A﹣BCD中，E，F分别为AC，AD的中点，设三棱锥A﹣BCD的体积为V1，四棱锥B﹣CDFE的体积为V2，则V1：V2＝（）A．4：3B．2：1C．3：2D．3：18．（3分）设x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值为（）A．8B．7C．2D．19．（3分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，不能证明AP⊥BC的条件是（）A．BC⊥平面APCB．BC⊥PC，AP⊥PCC．AP⊥PB，AP⊥PCD．AP⊥PC，平面APC⊥平面BPC10．（3分）已知半径为1的圆经过直线x+2y﹣11＝0和直线2x﹣y﹣2＝0的交点，那么其圆心到原点的距离的最大值为（）A．4B．5C．6D．711．（3分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1的中点为N，则异面直线AB1与CN 所成角的余弦值是（）A．B．C．D．012．（3分）在同一平面直角坐标系中，直线y＝k（x﹣1）+2和圆x2+y2﹣4x﹣2ay+4a﹣1＝0的位置关系不可能是（）A．①③B．①④C．②④D．②③二、填空题（共4小题）.13．（4分）空间直角坐标系中，已知点A（4，1，2），B（2，3，4），则|AB|＝．14．（4分）已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积为．15．（4分）已知圆C：x2+y2﹣2mx﹣4y+m2＝0（m＞0）被直线l：x﹣y+3＝0截得的弦长为2，则m＝．16．（4分）已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为，若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为．三、解答题（本大题共3小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（8分）已知直线l1经过点M（2，1），在两坐标轴上的截距相等且不为0．（1）求直线l1的方程；（2）若直线l2⊥l1，且过点M，求直线l2的方程．18．（10分）如图，P为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AC，BD为圆锥底面的两条直径，M为母线PD上一点，连接MA，MO，MC．（1）若M为PD的中点，证明：PB∥平面MAC；（2）若PB∥平面MAC，证明：M为PD的中点．19．（10分）已知圆C经过点A（0，1），B（2，1），M（3，4）．（1）求圆C的方程；（2）设点P为直线l：x﹣2y﹣1＝0上一点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为E，F．若∠EPF＝60°，求点P的坐标．四.（本小题满分10分）说明：请同学们在（20）、（21）两个小题中任选一题作答。
2020-2021学年数学三年级下册期中检测卷01(含详解)人教版
2020-2021学年人教版数学三年级下册期中检测卷01试卷满分：100分考试时间：100分钟姓名：__________ 班级：__________考号：__________题号一二三四五六总分评分一、选择题（共5题；每题1分，共5分）1. 下面竖式中虚线框所指的数表示的意思是（）。
A. 分掉了6个十B. 还剩下6个十C. 一共有6个十D. 一共有6个一2. 被除数的末尾有0，商的末尾（）有0。
A. 可能B. 一定C. 不可能3. 晚上面对北极星，这时我们的前面是（）方。
A. 东B. 南C. 西D. 北4. 三年级同学要参观科技馆，决定租车前往，要想计算租几辆车需要知道（）两个信息。
A. 三年级参观总人数，每车坐多少人B. 三年级参观总人数，有几辆车C. 科技馆可容纳的人数，每车坐多少人D. 全校总人数，每车坐几人5. 29×81的积是几位数？（）A. 两位数B. 三位数C. 四位数二、判断题（共5题；每题1分，共5分）6. 63÷3=84÷4。
（）7. 彬彬上学时向东南方向走，他放学回家时应向西北方向走（）8. 估算48×32的结果约是150。
（）9. 45×52的积大约是2400。
（）10. 两位数乘两位数的积可能是三位数，也可能是四位数。
三、填空题（共8题；每空1分，共25分）11. 在横线上填“<”“>”或“=”。
19×5+5________6×19 430×0 ________430+0 350×3×3________350×9800 克________ 8千克3000克________ 3千克2千克________ 1999克12. 傍晚，当你面对太阳，你的前面是________面，后面是________面，左面是________面，右面是________面。
13. 一个三位数除以9，商的最高位可能在________位上，也可能在________位上。
2020-2021学年重庆市高一上学期期中数学试题(解析版)
2020-2021学年重庆市高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{0,1,2}A =,则A 的子集个数为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．16【答案】C【分析】根据子集的个数为2n (n 为集合元素的个数),即可求得答案. 【详解】{0,1,2}A =.根据子集的个数为2,n (n 为集合元素的个数)∴A 的子集个数328=.故选:C ．【点睛】本题考查了求集合子集个数问题,解题关键是掌握子集概念,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.2．已知()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且2()()(1)f x g x x +=-，则(1)f -=（ ） A ．2 B ．2- C ．1 D ．1-【答案】A【分析】分别取1x =和1x =-，代入函数根据奇偶性得到答案. 【详解】()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，2()()(1)f x g x x +=-，取1x =得到(1)(1)0f g +=，即(1)(1)0f g ---=；取1x =-得到(1)(1)4f g -+-=； 解得(1)2f -= 故选：A【点睛】本题考查了根据函数奇偶性求函数值，意在考查学生对于函数性质的灵活运用. 3．2()4f x ax bx a =+-是偶函数，其定义域为[1,2]a a --，对实数m 满足2()(1)f x m ≤+恒成立，则m 的取值范围是（ ） A ．(,3][1,)-∞-+∞ B ．[3,1]- C ．(,1][3,)-∞-⋃+∞ D ．[1,3]-【答案】A【分析】根据奇偶性得到0b =，1a =-得到2()4f x x =-+，计算函数的最大值，解不等式得到答案.【详解】2()4f x ax bx a =+-是偶函数，其定义域为[1,2]a a --，则0b =，且()12a a -=--即1a =-，故2()4f x x =-+，()max ()04f x f ==故24(1)m ≤+，解得m 1≥或3m ≤- 故选：A【点睛】本题考查了根据函数奇偶性求参数，函数最值，解不等式，意在考查学生的综合应用能力.4．若,a b ，R c ∈，a b >，则下列不等式成立的是 A ．11a b< B ．22a b > C ．||||a cbc >D ．()()2222a c b c +>+【答案】D【分析】结合不等式的性质，利用特殊值法确定. 【详解】当1,1a b ==-排除A ，B 当0c 排除C 故选：D【点睛】本题主要考查了不等式的性质，特殊值法，还考查了特殊与一般的思想，属于基础题.5．已知函数)25fx =+，则()f x 的解析式为（ ）A ．()21f x x =+ B ．()()212f x x x =+≥C ．()2f x x =D ．()()22f x x x =≥【答案】B【分析】利用换元法求函数解析式.【详解】2t =,则2t ≥，所以()()()()2224t 251,2,f t t t t =-+-+=+≥即()21f x x =+()2x ≥.故选：B【点睛】本题考查利用换元法求函数解析式，考查基本分析求解能力，属基础题.6．已知()f x 是定义域为R 的奇函数,当0x >时,()223f x x x =--,则不等式()20f x +<的解集是A ．()() 5,22,1--⋃-B ．()(),52,1-∞-⋃-C ．()(,1)52,--⋃+∞D ．(),1()2,5-∞-⋃【答案】B【分析】根据函数奇偶性的性质，求出函数当0x <时，函数的表达式，利用函数的单调性和奇偶性的关系即可解不等式. 【详解】解：若0x <，则0x ->，∵当0x >时，()223f x x x =--，∴()223f x x x -=+-，∵()f x 是定义域为R 的奇函数，∴()223()f x x x f x -=+-=-，即2()23f x x x =--+，0x <.①若20x +<，即2x <-，由()20f x +<得，()()222230x x -+-++<，解得5x <-或1x >-，此时5x <-；②若20x +>，即2x >-，由()20f x +<得，()()222230x x +-+-<，解得31x -<<，此时21x -<<，综上不等式的解为5x <-或21x -<<. 即不等式的解集为()(),52,1-∞-⋃-. 故选：B.【点睛】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性的性质求出函数的解析式是解决本题的关键. 7．若函数()f x =R ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(0,4)B ．[0,2)C ．[0,4)D ．(2,4]【答案】C【分析】等价于不等式210ax ax ++>的解集为R, 结合二次函数的图象分析即得解. 【详解】由题得210ax ax ++>的解集为R, 当0a =时，1＞0恒成立，所以0a =.当0a ≠时，240a a a >⎧⎨∆=-<⎩，所以04a <<. 综合得04a ≤<.故选：C【点睛】本题主要考查函数的定义域和二次函数的图象性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8．设函数22,()6,x x x af x ax x a⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩是定义在R 上的增函数，则实数a 取值范围（ ）A ．[)2,+∞B ．[]0,3C ．[]2,3D ．[]2,4【答案】D【分析】画出函数22y x x =--的图象，结合图象及题意分析可得所求范围．【详解】画出函数22y x x =--的图象如下图所示，结合图象可得，要使函数()22,,6,,x x x a x ax x a ⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩是在R 上的增函数，需满足22226a a a a ≥⎧⎨--≥-⎩，解得24x ≤≤． 所以实数a 取值范围是[]2,4． 故选D ．【点睛】解答本题的关键有两个：（1）画出函数的图象，结合图象求解，增强了解题的直观性和形象性；（2）讨论函数在实数集上的单调性时，除了考虑每个段上的单调性之外，还要考虑在分界点处的函数值的大小关系． 二、多选题9．若0a >，0b >，且2a b +=，则下列不等式恒成立的是（ ）A 1B ．11ab≥ C ．222a b +≥ D ．112a b+≥【答案】BCD【分析】由条件可得12211112a a b a b a abb b ab ++=≥+==⇒≥⇒≥，结合2222()()a b a b ++，即可得出．【详解】因为0a >，0b >，所以12211112a a b a b a abb b ab ++=≥+≤==⇒≥⇒≥， 所以A 错，BD 对；因为22222()()(0)a b a b a b -+=-≥+，则22222()()2a b a b ++=，化为：222a b +，当且仅当1a b ==时取等号，C 对． 故选：BCD ．【点睛】本题考查了不等式的基本性质以及重要不等式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．给出下列命题，其中是错误命题的是（ ）A ．若函数()f x 的定义域为[0，2]，则函数(2)f x 的定义域为[0，4].B ．函数1()f x x=的单调递减区间是(,0)(0,)-∞+∞ C ．若定义在R 上的函数()f x 在区间(,0]-∞上是单调增函数，在区间(0,)+∞上也是单调增函数，则()f x 在R 上是单调增函数.D ．1x 、2x 是()f x 在定义域内的任意两个值，且1x <2x ，若12()()f x f x >，则()f x 减函数.【答案】ABC【分析】对于A ，由于()f x 的定义域为[0，2]，则由022x ≤≤可求出(2)f x 的定义域；对于B ，反比例函数的两个单调区间不连续，不能用并集符号连接；对于C ，举反例可判断；对于D ，利用单调性的定义判断即可【详解】解：对于A ，因为()f x 的定义域为[0，2]，则函数(2)f x 中的2[0,2]x ∈，[0,1]x ∈，所以(2)f x 的定义域为[0,1]，所以A 错误； 对于B ，反比例函数1()f x x=的单调递减区间为(,0)-∞和(0,)+∞，所以B 错误； 对于C ，当定义在R 上的函数()f x 在区间(,0]-∞上是单调增函数，在区间(0,)+∞上也是单调增函数，而()f x 在R 上不一定是单调增函数，如下图，显然，(1)(0)f f < 所以C 错误；对于D ，根据函数单调性的定义可得该选项是正确的， 故选：ABC11．若a ，b 为正数，则（ ）A ．2+aba bB ．当112a b+=时，2a b +≥C ．当11a b a b+=+时，2a b +≥D ．当1a b +=时，221113a b a b +≥++【答案】BCD【分析】利用基本不等式，逐一检验即可得解.【详解】解：对A ，因为+a b ≥2aba b≤+，当a b =时取等号，A 错误；对B ，()11111+=2+2=2222b a a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫++≥+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当a b =时取等号，B 正确；对C ，11=+=a ba b a b ab++，则1ab =，+2a b ≥=，当1a b ==时取等号，C 正确；对D ，()()()2222222211+111+111+b a a b a b a b a b a b a b b a ++⎛⎫+++=+++≥++ ⎪++⎝⎭2222()1a b ab a b =++=+=， 当12a b ==时取等号，即221113a b a b +≥++，D 正确.故选：BCD.【点睛】本题考查了基本不等式的应用，重点考查了运算能力，属中档题.12．已知连续函数f (x )对任意实数x 恒有f （x ＋y ）＝f (x )＋f （y ），当x ＞0时，f (x )＜0，f （1）＝－2，则以下说法中正确的是（ ） A ．f （0）＝0B ．f (x )是R 上的奇函数C ．f (x )在[－3，3]上的最大值是6D ．不等式()232()(3)4f x f x f x -<+的解集为213x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣ 【答案】ABC【分析】根据函数()f x 对任意实数x 恒有()()()f x y f x f y +=+，令0x y ==，可得(0)0f =，判断奇偶性和单调性，即可判断选项；【详解】解：对于A ，函数()f x 对任意实数x 恒有()()()f x y f x f y +=+， 令0x y ==，可得(0)0f =，A 正确；对于B ，令x y =-，可得(0)()()0f f x f x =+-=，所以()()f x f x =--， 所以()f x 是奇函数；B 正确；对于C ，令x y <，则()()()()()f y f x f y f x f y x -=+-=-， 因为当x ＞0时，f (x )＜0，所以()0f y x -<，即()()0f y f x -<， 所以()f x 在()()0,,,0+∞-∞均递减， 因为()0f x <，所以()f x 在R 上递减；12f ，可得(1)2f -=；令1y =，可得()()12f x f x +=-()24f =-， ()36f =-；()3(3)6f f =--=，()f x ∴在[3-，3]上的最大值是6，C 正确；对于D ，由不等式2(3)2()(3)4f x f x f x -<+的可得2(3)()()(3)4f x f x f x f x <+++， 即2(3)(23)4f x f x x <++，4(2)f =-，2(3)(23)(2)f x f x x f ∴<++-，则2(3)(52)f x f x <-，2352x x ∴>-，解得：23x <或1x >； D 不对；故选：ABC ．【点睛】本题主要考查函数求值和性质问题，根据抽象函数条件的应用，赋值法是解决本题的关键． 三、填空题13．函数y _________. 【答案】[]2,5【分析】先求出函数的定义域，再结合复合函数的单调性可求出答案. 【详解】由题意，2450x x -++≥，解得15x -≤≤，故函数y []1,5-.函数y =二次函数245u x x =-++的对称轴为2x =，在[]1,5-上的增区间为[)1,2-，减区间为[]2,5，故函数y []2,5. 故答案为：[]2,5.【点睛】本题考查复合函数的单调性，考查二次函数单调性的应用，考查学生的推理能力，属于基础题.14．奇函数f (x )在(0,)+∞内单调递增且f （1）＝0，则不等式()01f x x >-的解集为________． 【答案】{|1x x >或01x <<或1x <-}．【分析】根据题意，由函数()f x 的奇偶性与单调性分析可得当01x <<时，()0f x <，当1x >时，()0f x >，当10x -<<时，()0f x >，当1x <-时，()0f x <，而不等式()01f x x >-等价于1()0x f x >⎧⎨>⎩或1()0x f x <⎧⎨<⎩；分析可得答案．【详解】解：根据题意，()f x 在(0,)+∞内单调递增，且f （1）0=， 则当01x <<时，()0f x <，当1x >时，()0f x >，又由()f x 为奇函数，则当10x -<<时，()0f x >，当1x <-时，()0f x <， 不等式()01f x x >-，等价于1()0x f x >⎧⎨>⎩或1()0x f x <⎧⎨<⎩；解可得：1x >或01x <<或1x <-； 即不等式()01f x x >-的解集为{|1x x >或01x <<或1x <-}． 故答案为：{|1x x >或01x <<或1x <-}． 15．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，则函数1f x y +=__________． 【答案】(-1，1)【分析】先求()1f x +的定义域为()1,-+∞，再求不等式组21340x x x >-⎧⎨--+>⎩的解集可以得到函数的定义域．【详解】由题意210340x x x +>⎧⎨--+>⎩，解得11x -<<，即定义域为()1,1-．【点睛】已知函数()f x 的定义域D ，()g x 的定义域为E ，那么抽象函数()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域为不等式组()x Eg x D ∈⎧⎨∈⎩的解集．16．定义：如果函数()y f x =在区间[],a b 上存在00()x a x b <<，满足0()()()f b f a f x b a-=-，则称0x 是函数()y f x =在区间[],a b 上的一个均值点．已知函数2()1f x x mx =-++在区间[]1,1-上存在均值点，则实数m 的取值范围是________. 【答案】(0,2).【详解】试题分析：由题意设函数2()1f x x mx =-++在区间[1,1]-上的均值点为，则0(1)(1)()1(1)f f f x m --==--，易知函数2()1f x x mx =-++的对称轴为2m x =，①当12m≥即2m ≥时，有0(1)()(1)f m f x m f m -=-<=<=，显然不成立，不合题意；②当12m≤-即2m ≤-时，有0(1)()(1)f m f x m f m =<=<-=-，显然不成立，不合题意；③当112m -<<即22m -<<时，（1）当20m -<<有0(1)()()2m f f x f <≤，即214m m m <≤+，显然不成立；（2）当0m =时， 0()0f x m ==，此时01x =±，与011x -<<矛盾，即0m ≠；（3）当02m <<时，有0(1)()()2mf f x f -<≤，即214m m m -<≤+，解得02m <<，综上所述得实数m 的取值范围为(0,2).【解析】二次函数的性质. 四、解答题17．已知集合{}22|430,|03x A x x x B x x -⎧⎫=-+≤=>⎨⎬+⎩⎭（1）分别求A B ,R R A B ⋃（）；（2）若集合{|1},C x x a A C C =<<⋂=,求实数a 的取值范围． 【答案】（1）(2,3]A B ⋂=,(,2](3,)R R A B ⋃=-∞⋃+∞（2）3a ≤【分析】（1）化简集合,,A B 根据交集定义,补集定义和并集定义,即可求得答案; （2）由A C C =,所以C A ⊆,讨论C =∅和C ≠∅两种情况,即可得出实数a 的取值范围．【详解】（1）集合{}2|430[1,3]A x x x =-+≤=∴(,1)(3,)RA =-∞⋃+∞,[3,2]RB =-∴(2,3]A B ⋂=,(,2](3,)RR A B ⋃=-∞⋃+∞,（2）A C C =∴ 当C 为空集时,1a ≤∴ 当C 为非空集合时,可得 13a ≤＜综上所述:a 的取值范围是3a ≤．【点睛】本题考查了不等式的解法,交集和补集的运算,解题关键是掌握集合的基本概念和不等式的解法,考查了计算能力,属于基础题.18．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，已知当0x ≤时，()243f x x x =++.（1）求函数()f x 的解析式；（2）画出函数()f x 的图象，并写出函数()f x 的单调递增区间； （3）求()f x 在区间[]1,2-上的值域.【答案】（1）()2243,043,0x x x f x x x x ⎧-+>=⎨++≤⎩； （2）见解析； （3）[]1,3-.【分析】（1）设x ＞0，则﹣x ＜0，利用当x≤0时，f （x ）=x 2+4x+3，结合函数为偶函数，即可求得函数解析式；（2）根据图象，可得函数的单调递增区间；（3）确定函数在区间[﹣1，2]上的单调性，从而可得函数在区间[﹣1，2]上的值域． 【详解】（1）∵函数()f x 是定义在R 上的偶函数∴对任意的x ∈R 都有()()f x f x -=成立∴当0x >时，0x -<即()()()()224343f x f x x x x x =-=-+-+=-+∴ ()2243,043,0x x x f x x x x ⎧-+>=⎨++≤⎩（2）图象如右图所示函数()f x 的单调递增区间为[]2,0-和[)2,+∞. （写成开区间也可以）（3）由图象，得函数的值域为[]1,3-.【点睛】本题考查函数的解析式，考查函数的单调性与值域，考查数形结合的数学思想，属于中档题．19．若二次函数()f x 满足11,()22f x f x x R ⎛⎫⎛⎫+=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,且(0)1,(1)3f f =-=．（1）求()f x 的解析式;（2）若函数()(),()g x f x ax a R =-∈在3,2x ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦上递减,3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上递增,求a 的值及当[1,1]x ∈-时函数()g x 的值域.【答案】（1）2()1f x x x =-+（2）2a =,值域为[1,5]-． 【分析】（1）设二次函数的解析式为2()(),0f x ax bx c a =++≠,由11,()22f x f x x R ⎛⎫⎛⎫+=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得()f x 对称轴为12x =,结合条件,即可求得答案;（2）根据增减性可知32x =为函数()g x 的对称轴,即可得到a 的值,而根据()g x 在[1,1]x ∈-上递减可得出()g x 在[1,1]x ∈-上的值域．【详解】（1）设二次函数的解析式为2()(),0f x ax bx c a =++≠二次函数()f x 满足11,()22f x f x x R ⎛⎫⎛⎫+=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴二次函数()f x 的对称轴为:12x =． ∴122b a -=,可得:=-b a ——① 又(0)1f =,∴(0)1f c ==,可得:1c =．(1)3f -=．即:13a b -+=,可得:2a b -=——②由①②解得: 1,1a b ==-∴()f x 的解析式为2()1f x x x =-+．（2） 函数()(),()g x f x ax a R =-∈()g x 在3,2x ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦上递减,3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上递增． ∴()g x 的对称轴为32x =, 即:1322a +=．解得:2a =． ∴2()31g x x x =-+．()g x 在3,2x ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦上递减, ∴()g x 在[1,1]x ∈-上递减,则有:在[1,1]x ∈-上,min ()(1)1g x g ==-．函数()g x 在[1,1]x ∈-上的值域为[1,5]-【点睛】本题考查了待定系数法的运用以及对称轴的形式,根据增减性判断函数的对称轴及在区间上值域问题,解题关键是掌握二次函数的基础知识,考查了分析能力和计算能力,本题属中档题．20．已知函数24()x ax f x x++=为奇函数. （1）若函数()f x 在区间,2m m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（0m >）上为单调函数，求m 的取值范围； （2）若函数()f x 在区间[]1,k 上的最小值为3k ，求k 的值.【答案】（1）4m ≥或02m <≤；（2【分析】（1）函数()f x 为奇函数，可知对定义域内所有x 都满足()()f x f x -=-，结合解析式，可得0ax =恒成立，从而可求出a 的值，进而可求出()f x 的解析式，然后求出函数()f x 的单调区间，结合()f x 在区间,2m m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（0m >）上为单调函数，可求得m 的取值范围；（2）结合函数()f x 的单调性，分12k <≤和2k >两种情况，分别求出()f x 的最小值，令最小值等于3k ，可求出k 的值.【详解】（1）由题意，函数()f x 的定义域为()(),00,-∞+∞，因为函数()f x 为奇函数，所以对定义域内所有x 都满足()()f x f x -=-，即()()2244x a x x ax x x-+-+++=--， 整理可得，对()(),00,x ∈-∞+∞，0ax =恒成立，则0a =， 故244()x f x x x x +==+. 所以()f x 在()0,2上单调递减，在[)2,+∞上单调递增，又函数()f x 在区间,2m m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（0m >）上为单调函数，则2m ≤或22m ≥，解得4m ≥或02m <≤.（2）()f x 在()0,2上单调递减，在[)2,+∞上单调递增，若12k <≤，则()()min 43f x f k k k k ==+=，解得k =12k <≤，只有k =合题意；若2k >，则()()min 42232f x f k ==+=，解得43k =，不满足2k >，舍去.故k 【点睛】本题考查函数的奇偶性，考查函数单调性的应用，考查了函数的最值，利用对勾函数的单调性是解决本题的关键，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 21．已知二次函数2()(0)f x ax x a =+≠.（1）当0a <时，若函数y a 的值；（2）当0a >时，求函数()()2||g x f x x x a =---的最小值()h a .【答案】（1）-4；（2）()0,1,a a h a a a a ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩ 【分析】（1）当0a <时，函数y 而可求出a 的值； （2）当0a >时，求出()g x 的表达式，分类讨论求出()g x 的最小值()h a 即可.【详解】（1）由题意，()0f x ≥，即()200ax x a +≥<，解得10x a≤≤-，即函数y 定义域为10,a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 又当0a <时，函数()2f x ax x =+的对称轴为12x a =-，21111222(4)f a a aa a ⎛⎫= ⎪⎝-=-⎭--，故函数y⎡⎢⎣，函数y1a -=4a =-. （2）由题意,0a >，2()||g x ax x x a =---，即()()22()2,,x a x ax g a a x a x ax -+≥-<⎧⎪=⎨⎪⎩， ①当01a <≤，则10a a≥>， x a ≥时，2min 1111(2)()()()g x g a a a a a a a-+=-==， x a <时，min ()(0)g x g a ==-， 若1a a a -≥-1a ≤≤， 若1a a a -<-，解得0a <<即0a <<min 1()g x a a =-1a ≤≤时，min ()g x a =-. ②当1a >时，1a a <， x a ≥时，33min ())2(g x g a a a a a a ==-+=-，x a <时，min ()(0)g x g a ==-，因为3a a a ->-，所以1a >时，min ()g x a =-.综上，函数()g x 的最小值()0,1,a a h a a a a ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩. 【点睛】本题考查函数的定义域与值域，考查二次函数的性质，考查函数的最小值，考查分类讨论的数学思想，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题.22．定义在R 上的函数()f x 满足:①对一切x ∈R 恒有()0f x ≠；②对一切,x y R ∈恒有()()()f x y f x f y +=⋅；③当0x >时，()1f x >，且(1)2f =；④若对一切[,1]∈+x a a (其中0a <)，不等式()224(2||2)f x a f x +≥-恒成立.(1)求(2),(3)f f 的值；(2)证明:函数()f x 是R 上的递增函数；(3)求实数a 的取值范围.【答案】（1）4，8（2）证明见解析（3）(,-∞ 【分析】1）用赋值法令1,1x y ==求解.（2）利用单调性的定义证明，任取12x x <，由 ()()()f x y f x f y +=⋅，则有()()()2211f x f x x f x =-，再由条件当0x >时，()1f x > 得到结论.（3）先利用()()()f x y f x f y +=⋅将4(2||2)-f x 转化为(2||)f x ，再将()22(2||)+≥f x a f x 恒成立，利用函数()f x 是R 上的递增函数，转化为222||≥+x a x 恒成立求解.【详解】（1）令1,1x y == 所以(2)(1)(1)4f f f =⋅=所以(3)(2)(1)8f f f =⋅=（2）因为()()()f x y f x f y +=⋅任取12x x <因为当0x >时，()1f x >所以()211f x x ->所以()()12f x f x <，所以函数()f x 是R 上的递增函数，（3）因为()4(2||2)2(2||2)[2(2||2)](2||)-=-=+-=f x f f x f x f x又因为()224(2||2)f x a f x +≥-恒成立且函数()f x 是R 上的递增函数，所以222||≥+x a x ，[,1]∈+x a a (其中0a <)恒成立所以222||+≥-a x x 若对一切[,1]∈+x a a (其中0a <)，恒成立.当11a ≤-+ ，即2a ≤-时()()2max 143=+=---g x g a a a所以2243≥---a a a ，解得2a ≤-当21a -<≤-时，()max 1g x =解得21a -<≤-当10a -<≤，()()(){}max max ,1=+g x g a g a所以222≥--a a a 且221≥-+a a解得1a -<≤-综上：实数a 的取值范围(,-∞ 【点睛】本题主要考查了抽象函数的求值，单调性及其应用，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于难题.。
山东省潍坊市2020-2021学年高二上学期期中考试物理试题(含答案解析)
高二物注意事项： 1 .答题前，考生先将自己的学校、姓名、班级、座号、考号填涂在相应位置。
2 .选择题答案必须使用2B 铅笔（按填涂样例）正确填涂；非选择题答案必须使 用0.5毫米黑色签字笔书写，绘图时，可用2B 铅笔作答，字体工整、笔迹清楚。
3 .请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草 稿纸、试题卷上答题无效。
保持卡面清洁，不折叠、不破损。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。
1 .我国是全球第一快递大国。
快递在运输易碎物品时，经常用泡沫塑料做填充物，这 是为了减小在搬运过程中A.物品受到的冲量B.物品的动量C.物品的动量变化量D.物品的动量变化率2 .四个定值电阻连成如图所示的电路。
此、R c 的规格为“6V6W”，A 八时的规格为“6V12W”。
将该电路接在输出电压的恒压电源上，贝IJA.乙的功率最大，为6W用 Rs r-1=3—1 R D B. % 的功率最小，为 0. 67WI -H =H 4 I-[=^~ C.七的功率最小，为L33WD. %的功率最大，为12W卜 U （＞ 3.甲、乙两物体质量分别为叫和“2,两物体碰撞前后运动的位移随时间变化的人一 图像如图所示，则在碰撞前 作A.乙的动能大吟 ___________ B.甲的动能大IZ C.乙的动量大 ----------- ；UcD.甲的动量大 4 .已知通电长宜导线产生的磁场中某点的磁感应强度与电流强度/成正比，与该点到直 导试卷类型：A2020. 11线的距离「成反比。
现有三根平行的通电长直导线4、C、。
，其中4、C导线中的电流大小为乙，。
导线中的电流大小为心。
与导线垂直的截面内的B点与4、C组成等腰直角三角形，。
处在4c的中点，电流方向如图，此时笈处的磁感应强度为零, 则下列说法正确的是A.27. = A I /B.@ =Z2C..4导线所受的磁场力向左D.若移走。
2020-2021学年山东省泰安市宁阳一中高二(上)期末数学试卷 (解析版)
2020-2021学年山东省泰安市宁阳一中高二（上）期末数学试卷一、单项选择题（共8小题）.1．抛物线的准线方程是（）A．B．C．D．2．若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则能使l∥α的是（）A．＝（1，2，1），＝（1，0，1）B．＝（0，1，0），＝（0，3，0）C．＝（1，﹣2，3），＝（﹣2，2，2）D．＝（0，2，1），＝（﹣1，0，﹣1）3．已知双曲线，则（）A．双曲线C的焦距为B．双曲线C的虚轴长是实轴长的6倍C．双曲线与双曲线C的渐近线相同D．直线y＝3x与双曲线C有公共点4．以点（3，﹣1）为圆心，且与直线x﹣3y+4＝0相切的圆的方程是（）A．（x﹣3）2+（y+1）2＝20B．（x﹣3）2+（y+1）2＝10C．（x+3）2+（y﹣1）2＝10D．（x+3）2+（y﹣1）2＝205．如图所示，在四面体O﹣ABC中，，，，点M在OA上，且＝2，N为BC的中点，则＝（）A．﹣+B．﹣++C．D．6．已知四棱锥P﹣ABCD中，，，，则点P到底面ABCD的距离为（）A．B．C．1D．27．已知数列{a n}中，a1＝2，a n＝1﹣（n≥2），则a2021等于（）A．﹣1B．﹣C．D．28．已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1，F2，P，Q分别是它们在第一象限和第三象限的交点，且∠QF2P＝60°，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则等于（）A．4B．2C．2D．3二、多项选择题（共4小题）.9．点P在圆C1：x2+y2＝1上，点Q在圆C2：x2+y2﹣6x+8y+24＝0上，则（）A．|PQ|的最小值为0B．|PQ|的最大值为7C．两个圆心所在的直线斜率为﹣D．两个圆相交弦所在直线的方程为6x﹣8y﹣25＝010．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，截面BDE 与直线PC平行，与PA交于点E，则下列判断正确的是（）A．E为PA的中点B．PB与CD所成的角为C．BD⊥平面PACD．三棱锥C﹣BDE与四棱锥P﹣ABCD的体积之比等于1：411．已知数列{a n}为等差数列，其前n项和为S n，且2a1+4a3＝S7，则以下结论正确的有（）A．a14＝0B．S14最小C．S11＝S16D．S27＝012．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，抛物线的准线过双曲线的左焦点，A，B分别是双曲线C的左，右顶点，点P 是双曲线C的右支上位于第一象限的动点，记PA，PB的斜率分别为k1，k2，则下列说法正确的是（）A．双曲线C的渐近线方程为y＝±2xB．双曲线C的方程为C．k1k2为定值D．存在点P，使得k1+k2＝2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．设直线l1：ax+3y+12＝0，直线l2：x+（a﹣2）y+4＝0．当a＝时，l1⊥l2．14．已知向量＝（1，1，0），＝（﹣1，0，2），且k+与2﹣的夹角为钝角，则实数k的取值范围为．15．以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为．16．在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有﹣段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里：驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：需日相逢．四、填空题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知直线l过点，且其倾斜角是直线的倾斜角的．（1）求直线l的方程；（2）若直线m与直线l平行，且点P到直线m的距离是3，求直线m的方程．18．已知圆C的圆心在直线y＝﹣2x上，且过点（2，﹣1），（0，﹣3）．（1）求圆C的方程；（2）已知直线l经过原点，且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程．19．在①S4＝20，②S3＝2a3，③3a3﹣a4＝b2，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．问题：已知等差数列{a n}的前n项和为S n，{b n}是各项均为正数的等比数列，a1＝b4，_____，b2＝8，b1﹣3b3＝4是否存在正整数k，使得数列的前k项和？若存在，求k的最小值；若不存在，说明理由．20．如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．（1）证明：PO⊥平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且二面角M﹣PA﹣C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值．21．我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方公里，其中70%是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造为绿洲，同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠，设从今年起第n年绿洲面积为a n万平方公里．（1）求第n年绿洲面积a n与上一年绿洲面积a n﹣1（n≥2）的关系；（2）判断是否是等比数列，并说明理由；（3）至少经过几年，绿洲面积可超过60%？（lg2＝0.3010）22．已知椭圆的离心率为，且点在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）设动直线l过椭圆C的右焦点F，且与椭圆C交于A，B两点．在x轴上是否存在定点Q，使得恒成立？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、单项选择题（共8小题）.1．抛物线的准线方程是（）A．B．C．D．解：因为抛物线的标准方程为：x2＝4y，焦点在y轴上；所以：2p＝，即p＝，所以：＝，∴准线方程y＝﹣，故选：A．2．若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则能使l∥α的是（）A．＝（1，2，1），＝（1，0，1）B．＝（0，1，0），＝（0，3，0）C．＝（1，﹣2，3），＝（﹣2，2，2）D．＝（0，2，1），＝（﹣1，0，﹣1）解：直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则能使l∥α，只要满足即可，对于A：，对于B：、对于C：，对于D：．故选：C．3．已知双曲线，则（）A．双曲线C的焦距为B．双曲线C的虚轴长是实轴长的6倍C．双曲线与双曲线C的渐近线相同D．直线y＝3x与双曲线C有公共点解：由题意知，a＝1，b＝，∴c＝＝，∴双曲线C的焦距为2c＝2，即选项A错误；双曲线C的虚轴长为2b＝2，实轴长为2a＝2，∴虚轴长是实轴长的倍，即选项B 错误；双曲线C的渐近线方程为y＝±x，双曲线的渐近线方程为y＝±x，即选项C正确；联立，得x2＝﹣2，无解，∴直线y＝3x与双曲线C没有公共点，即选项D错误．故选：C．4．以点（3，﹣1）为圆心，且与直线x﹣3y+4＝0相切的圆的方程是（）A．（x﹣3）2+（y+1）2＝20B．（x﹣3）2+（y+1）2＝10C．（x+3）2+（y﹣1）2＝10D．（x+3）2+（y﹣1）2＝20解：r＝＝，所求圆的方程为（x﹣3）2+（y+1）2＝10．故选：B．5．如图所示，在四面体O﹣ABC中，，，，点M在OA上，且＝2，N为BC的中点，则＝（）A．﹣+B．﹣++C．D．解：连接ON，∵N是BC的中点，∴＝，∵＝2，∴＝，∴＝＝﹣＝﹣++，故选：B．6．已知四棱锥P﹣ABCD中，，，，则点P到底面ABCD的距离为（）A．B．C．1D．2解：四棱锥P﹣ABCD中，，，，设平面ABCD的法向量为＝（x，y，z），则，可得，不妨令x＝3，则y＝12，z＝4，可得＝（3，12，4）；则，在平面ABCD法向量上的射影就是这个四棱锥的高h，所以h＝|||cos＜，＞|＝||＝＝2；所以该四棱锥的高为2．故选：D．7．已知数列{a n}中，a1＝2，a n＝1﹣（n≥2），则a2021等于（）A．﹣1B．﹣C．D．2解：∵数列{a n}中，a1＝2，a n＝1﹣（n≥2），∴a2＝1﹣＝，a3＝1﹣＝﹣1，a4＝1﹣（﹣1）＝2，∴数列{a n}是以3为周期的周期数列，∵2021＝3×673+2，∴a2021＝a2＝．故选：C．8．已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1，F2，P，Q分别是它们在第一象限和第三象限的交点，且∠QF2P＝60°，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则等于（）A．4B．2C．2D．3解：设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长为a2，P在双曲线的右支上，根据椭圆及双曲线的定义可得|PF1|+|PF2|＝2a1，|PF1|﹣|PF2|＝2a2，可得|PF1|＝a1+a2，|PF2|＝a1﹣a2，设|F1F2|＝2c，∠QF2P＝60°，四边形F1PF2Q是平行四边形，所以，∠F1PF2＝120°，在△PF1F2中由余弦定理得，4c2＝（a1+a2）2+（a1﹣a2）2﹣2（a1+a2）（a1﹣a2）cos 120°，化简得3a12+a22＝4c2，该式可化为：，结合e1＝，e2＝，∴则＝4．故选：A．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020-2021 学年高二上学期期中考试英语试卷(新高考)(山东版)听力部分
2020—2021学年高二上学期期中考试英语试卷（新高考）（山东版）听力注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
做题时，先将答案标在试卷上。
录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。
第一节（共5小题；每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1. Why is it hard to see Tom?A. He is busy this semester.B. He quit the tennis team.C. He moved somewhere else.2. Who is the most famous film star in the man’s ey es?A. Joan.B. Miss Green.C. Austen.3. At what time does the second film start?A. 6:45.B. 8:15.C. 8:20.4. What does the man suggest the woman do?A. Keep on trying.B. Leave the cake there.C. Learn cooking from him.5. What does the woman imply?A. The party should have ended sooner.B. They don’t need to cook food today.C. The man has to spend much time cleaning.第二节（共15题；每小题1.5分，满分22.5分）听下面5段对话或独白。
2022-2023北京人大附中高一(上)期中数学试卷【答案版】
2022-2023学年北京市人大附中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）1．下列表示同一集合的是（ ）A ．M ＝{（3，2）}，N ＝{（2，3）}B ．M ＝{（x ，y ）|y ＝x }，N ＝{y |y ＝x }C ．M ＝{1，2}，N ＝{2，1}D ．M ＝{2，4}，N ＝{（2，4）}2．以下函数中是偶函数且在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（ ）A ．y =1x 2B ．y =1xC ．y ＝x 2D ．y ＝x 3．函数f(x)=x x 2+1的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．4．若x 1+x 2＝3，x 12+x 22＝5，则以x 1，x 2为根的一元二次方程是（ ）A ．x 2﹣3x +2＝0B ．x 2+3x ﹣2＝0C ．x 2+3x +2＝0D ．x 2﹣3x ﹣2＝05．已知a ＞b ＞c ，则下列说法一定正确的是（ ）A ．ab ＞bcB ．|a |＞|b |＞|c |C ．ac 2＞bc 2D ．2a ＞b +c6．若命题“∃x ∈R ，一元二次不等式x 2+mx +1＜0”为假命题，则实数m 的取值范围（ ）A ．m ≤﹣2或m ≥2B ．﹣2＜m ＜2C ．m ＜﹣2或m ≥2D ．﹣2≤m ≤27．定义域与对应法则称为函数的两个要素．下列各对函数中，图象完全相同的是（ ）A ．f(x)=(√x)2与g （x ）＝xB ．f(x)=x 4−1x 2+1与g （x ）＝x 2﹣1C ．f(x)=√x 2与g （x ）＝xD ．f(x)=√x x 与g （x ）＝1 8．“ab ＞0”是“b a +a b ≥2”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 9．设函数f （x ）=x+3x+1，则下列函数中为奇函数的是（ ）A ．f （x ﹣1）﹣1B ．f （x ﹣1）+1C ．f （x +1）﹣1D ．f （x +1）+110．人大附中学生计划在实验楼门口种植蔬菜，现有12米长的围栏，准备围成两边靠墙（墙足够长）的菜园，若P处有一棵树（不考虑树的粗细）与两墙的距离分别是2m和am（0＜a≤10），设此矩形菜园ABCD的最大面积为u，若要求将这棵树围在菜园内（包括边界），则函数u＝f（a）（单位：m2）的图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分请把结果填在答题纸上的相应位置）11．函数f(x)=√3−xx的定义域为．12．马上进入红叶季，香山公园的游客量将有所增加，现在公园采取了“无预约，不游园”的措施，需要通过微信公众号提前预约才能进入公园．根据以上信息，“预约”是“游园”的条件．（填充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要或者既不充分也不必要）．13．已知一元二次方程（a﹣2）x2+4x+3＝0有一正根和一负根，则实数a的取值范围为．14．已知函数f(x)=2x−1，g（x）＝kx+2（k＞0），若∀x1∈[2，3]，∃x2∈[﹣1，2]，使f（x1）＝g（x2）成立，则实数k的取值范围是．．15．函数f（x）＝ax2﹣（a+1）x+1，x∈(−12，12)，若f（x）在定义域上满足：①没有奇偶性；②不单调；③有最大值，则a的取值范围是．三、解答题（本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）16．（10分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|ax﹣1≥0}．（1）当a＝2时，求A∩B与A∪B；（2）若_____，求实数a的取值范围．请从①A∩B＝A；②∀x∈A，x∉B；③“x∈B”是“x∈A”的必要条件；这三个条件中选择一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）17．（12分）设函数f（x）＝2x2﹣ax+4（a∈R）．（1）当a＝9时，求不等式f（x）＜0的解集；（2）若不等式f（x）≥0对∀x∈（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．18．（13分）已知函数f(x)=x2+a(a∈R)．x（1）判断f（x）的奇偶性并证明；（2）若a＝2，判断f（x）在[1，+∞）的单调性，并用单调性定义证明．一、选择题（共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）19．已知集合A ＝{x |﹣5＜x ＜﹣3}，B ＝{x |2a ﹣3＜x ＜a ﹣2}，若A ∪B ＝A ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[1，+∞）B ．{﹣1}C ．[1，+∞）∪{﹣1}D ．R20．已知x ＞0，y ＞0，(√x)3+2022√x =a ，(√y −2)3+2022(√y −2)=−a ，则x +y 的最小值是（ ）A ．1B ．√2C ．2D ．421．f （x ）＝x （x +1）（x +2）（x +3）的最小值为（ ）A ．﹣1B ．﹣1.5C ．﹣0.9375D ．前三个答案都不对22．若集合A 的所有子集中，任意子集的所有元素和均不相同，称A 为互斥集．若A ＝{a ，b ，c }⊆{1，2，3，4，5}，且A 为互斥集，则1a +1b +1c 的最大值为（ ） A ．116 B ．1312 C ．74 D ．4760二、填空题（共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题纸上的相应位置．）23．关于x 的方程x (x−1)=(k−2x)(x 2−x)的解集中只含有一个元素，k ＝ ．24．已知k ≥0，函数y ={−x +k +1，x ≥02−x+k，x ＜0有最大值，则实数k 的取值范围是 ． 25．对于集合A ，称定义域与值域均为A 的函数y ＝f （x ）为集合A 上的等域函数．①若A ＝{1，2}，则A 上的等域函数有 个；②若∃A ＝[m ，n ]，使f （x ）＝a （x ﹣1）2﹣1为A 上的等域函数，a 的取值范围是 ．三、解答题（本小题15分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答䋈写在答题纸上的相应位置．）26．（15分）对于正整数集合A ，记A ﹣{a }＝{x |x ∈A ，x ≠a }，记集合X 所有元素之和为S （X ），S （∅）＝0．若∃x ∈A ，存在非空集合A 1、A 2，满足：①A 1∩A 2＝∅；②A 1∪A 2＝A ﹣{x }；③S （A 1）＝S （A 2）称A 存在“双拆”．若∀x ∈A ，A 均存在“双拆”，称A 可以“任意双拆”．（1）判断集合{1，2，3，4}和{1，3，5，7，9，11}是否存在“双拆”？如果是，继续判断可否“任意双拆”？（不必写过程，直接写出判断结果）；（2）A ＝{a 1，a 2，a 3，a 4，a 5}，证明：A 不能“任意双拆”；（3）若A 可以“任意双拆”，求A 中元素个数的最小值．2022-2023学年北京市人大附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）1．下列表示同一集合的是（）A．M＝{（3，2）}，N＝{（2，3）}B．M＝{（x，y）|y＝x}，N＝{y|y＝x}C．M＝{1，2}，N＝{2，1}D．M＝{2，4}，N＝{（2，4）}解：对于A，集合M，N表示的点坐标不同，故A错误，对于B，集合M表示点集，集合N表示数集，故B错误，对于C，由集合的无序性可知，M＝N，故C正确，对于D，集合M表示数集，集合N表示点集，故D错误．故选：C．2．以下函数中是偶函数且在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（）A．y=1x2B．y=1x C．y＝x2D．y＝x解：y=1x2是偶函数，在区间（0，+∞）上单调递减，满足题意，A正确；y=1x是奇函数，不正确；y＝x2在区间（0，+∞）上是增函数；不正确；y＝x是奇函数，不正确．故选：A．3．函数f(x)=xx2+1的图象大致是（）A．B．C．D．解：函数f(x)=xx2+1的定义域为R，f（﹣x）=−xx2+1=−f（x），可得f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，可排除选项C；当x＞0时，f（x）＞0，可排除选项A、D．故选：B ．4．若x 1+x 2＝3，x 12+x 22＝5，则以x 1，x 2为根的一元二次方程是（ ）A ．x 2﹣3x +2＝0B ．x 2+3x ﹣2＝0C ．x 2+3x +2＝0D ．x 2﹣3x ﹣2＝0解：∵x 1+x 2＝3，x 12+x 22＝5，∴2x 1x 2=(x 1+x 2)2−(x 12+x 22)=9﹣5＝4，解得x 1x 2＝2，∵x 1+x 2＝3，x 1x 2＝2，∴x 1，x 2为根的一元二次方程是x 2﹣3x +2＝0．故选：A ．5．已知a ＞b ＞c ，则下列说法一定正确的是（ ）A ．ab ＞bcB ．|a |＞|b |＞|c |C ．ac 2＞bc 2D ．2a ＞b +c解：因为a ＞b ＞c ，则a ＞b 且a ＞c ，所以a +a ＞b +c ，即2a ＞b +c ，故D 正确，当b ＜0时，ab ＜bc ，故A 错误，当a ＝﹣1，b ＝﹣2，c ＝﹣3时，|a |＜|b |＜|c |，故B 错误，当c ＝0时，ac 2＝bc 2，故C 错误，故选：D ．6．若命题“∃x ∈R ，一元二次不等式x 2+mx +1＜0”为假命题，则实数m 的取值范围（ ）A ．m ≤﹣2或m ≥2B ．﹣2＜m ＜2C ．m ＜﹣2或m ≥2D ．﹣2≤m ≤2 解：由题意可知，“∀x ∈R ，一元二次不等式x 2+mx +1≥0”为真命题，所以Δ＝m 2﹣4≤0，解得﹣2≤m ≤2，故选：D ．7．定义域与对应法则称为函数的两个要素．下列各对函数中，图象完全相同的是（ ）A ．f(x)=(√x)2与g （x ）＝xB ．f(x)=x 4−1x 2+1与g （x ）＝x 2﹣1 C ．f(x)=√x 2与g （x ）＝xD ．f(x)=√x x 与g （x ）＝1解：对于A ，f （x ）的定义域为[0，+∞），g （x ）的定义域为R ，故A 错误，对于B ，f(x)=x 4−1x 2+1=x 2﹣1，g （x ）＝x 2+1，f （x ）与g （x ）的定义域，值域，映射关系均相同， 故f （x ）与g （x ）图象完全相同，故B 正确，对于C ，f （x ）的值域为[0，+∞），g （x ）的值域为R ，故C 错误，对于D ，f （x ）的定义域为{x |x ≠0}，g （x ）的定义域为R ，故D 错误．故选：B ．8．“ab ＞0”是“b a +a b ≥2”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解：由ab ＞0可得{a ＞0b ＞0或{a ＜0b ＜0， 当{a ＞0b ＞0时，由基本不等式可得b a +a b ≥2，当a ＝b 时，等号成立； 当{a ＜0b ＜0时，b a ＞0，a b ＞0，由基本不等式可得b a +a b ≥2，所以充分性满足； 当b a +a b ≥2时，设t =b a ，则有t +1t ≥2，由对勾函数的性质可得t ＞0，即b a ＞0，可得ab ＞0，所以必要性满足．故“ab ＞0”是“b a +a b ≥2”的充要条件．故选：C ．9．设函数f （x ）=x+3x+1，则下列函数中为奇函数的是（ ） A ．f （x ﹣1）﹣1 B ．f （x ﹣1）+1C ．f （x +1）﹣1D ．f （x +1）+1 解：因为f （x ）=x+3x+1=1+2x+1的图象关于（﹣1，1）对称，则f （x ﹣1）﹣1的图象关于原点对称，即函数为奇函数．故选：A ．10．人大附中学生计划在实验楼门口种植蔬菜，现有12米长的围栏，准备围成两边靠墙（墙足够长）的菜园，若P 处有一棵树（不考虑树的粗细）与两墙的距离分别是2m 和am （0＜a ≤10），设此矩形菜园ABCD 的最大面积为u ，若要求将这棵树围在菜园内（包括边界），则函数u ＝f （a ）（单位：m 2）的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．解：由题意，设CD ＝x ，则AD ＝12﹣x ，所以矩形菜园ABCD 的面积S ＝x （12﹣x ）＝﹣x 2+12x ＝﹣（x ﹣6）2+36，因为要将这棵树围在菜园内，所以{x ≥212−x ≥a，解得：2≤x ≤12﹣a ， 当12﹣a ＞6，也即0＜a ＜6时，在x ＝6处矩形菜园ABCD 的面积最大，最大面积u ＝S max ＝36，当12﹣a ≤6，也即6≤a ≤10时，在x ＝12﹣a 处矩形菜园ABCD 的面积最大，最大面积u ＝S max ＝a （12﹣a ），综上：u ＝f （a ）={36，0＜a ＜6a(12−a)，6≤a ＜10， 根据函数解析式可知，选项B 符合．故选：B ．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分请把结果填在答题纸上的相应位置）11．函数f(x)=√3−x x 的定义域为 （﹣∞，0）∪（0，3] ．解：因为f(x)=√3−x x， 所以{3−x ≥0x ≠0，解得x ≤3且x ≠0， 即函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，3]．故答案为：（﹣∞，0）∪（0，3]．12．马上进入红叶季，香山公园的游客量将有所增加，现在公园采取了“无预约，不游园”的措施，需要通过微信公众号提前预约才能进入公园．根据以上信息，“预约”是“游园”的 充分必要 条件．（填充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要或者既不充分也不必要）． 解：园采取了“无预约，不游园”的措施，意思就是说：游园的前提时预约，只有预约了才可以游园，不预约就不能游园．所以：“预约”是“游园”的 充分必要条件．故答案为：充分必要．13．已知一元二次方程（a ﹣2）x 2+4x +3＝0有一正根和一负根，则实数a 的取值范围为 （﹣∞，2） ． 解：一元二次方程（a ﹣2）x 2+4x +3＝0有一正根和一负根，所以{a −2≠0Δ=16−12(a −2)＞03a−2＜0，解得a ＜2， 即实数a 的取值范围为（﹣∞，2）．故答案为：（﹣∞，2）．14．已知函数f(x)=2x−1，g （x ）＝kx +2（k ＞0），若∀x 1∈[2，3]，∃x 2∈[﹣1，2]，使f （x 1）＝g （x 2）成立，则实数k 的取值范围是 [1，+∞） ．解：已知函数f(x)=2x−1，g （x ）＝kx +2（k ＞0），若∀x 1∈[2，3]，∃x 2∈[﹣1，2]，使f （x 1）＝g （x 2）成立，因为函数f(x)=2x−1在x ∈[2，3]上单调递减，所以f （x ）max ＝f （2）＝2，f （x ）min ＝f （3）＝1，可得f （x 1）∈[1，2]，又因为g （x ）＝kx +2（k ＞0）在x ∈[﹣1，2]上单调递增，所以g （x ）max ＝g （2）＝2k +2，g （x ）min ＝g （﹣1）＝﹣k +2，所以g （x 2）∈[﹣k +2，2k +2]，若x 1∈[2，3]，∃x 2∈[﹣1，2]，使f （x 1）＝g （x 2）成立，所以[1，2]⊆[﹣k +2，2k +2]，所以{−k +2≤12k +2≥2⇒⇒{k ≥1k ≥0，所以k ≥1． 实数k 的取值范围是：[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．15．函数f （x ）＝ax 2﹣（a +1）x +1，x ∈(−12，12)，若f （x ）在定义域上满足：①没有奇偶性；②不单调；③有最大值，则a 的取值范围是 (−∞，−1)∪(−1，−12) ．解：由①可知，a +1≠0，即a ≠﹣1；由③可知，a ＜0；由②可知，−12＜a+12a＜12，即−1＜a+1a＜1，又a＜0，则a＜a+1＜﹣a，解得a＜−1 2；综上，实数a的取值范围为(−∞，−1)∪(−1，−12 )．故答案为：(−∞，−1)∪(−1，−12 )．三、解答题（本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）16．（10分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|ax﹣1≥0}．（1）当a＝2时，求A∩B与A∪B；（2）若_____，求实数a的取值范围．请从①A∩B＝A；②∀x∈A，x∉B；③“x∈B”是“x∈A”的必要条件；这三个条件中选择一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）解：（1）当a＝2时，A＝{1，2，3}，B＝{x|x≥12 }，A∩B＝{1，2，3}，A∪B＝{x|x≥12}；（2）若选①A∩B＝A，则A⊆B，当a＝0时，B＝∅，不符合题意，当a＜0时，B＝{x|x≤1a}，不合题意；当a＞0时，B＝{x|x≥1a}，则1a≤1，解得a≥1，故a的取值范围为{a|a≥1}；若选②∀x∈A，x∉B；当a＝0时，B＝∅，符合题意，当a＜0时，B＝{x|x≤1a}，符合题意；当a＞0时，B＝{x|x≥1a}，则1a＞3，解得0＜a＜1 3，故a的取值范围为{a|a＜13 }；③若选“x∈B”是“x∈A”的必要条件，则A⊆B，当a＝0时，B＝∅，不符合题意，当a ＜0时，B ＝{x |x ≤1a}，不合题意；当a ＞0时，B ＝{x |x ≥1a }，则1a ≤1， 解得a ≥1，故a 的取值范围为{a |a ≥1}．17．（12分）设函数f （x ）＝2x 2﹣ax +4（a ∈R ）．（1）当a ＝9时，求不等式f （x ）＜0的解集；（2）若不等式f （x ）≥0对∀x ∈（0，+∞）恒成立，求实数a 的取值范围．解：（1）函数f （x ）＝2x 2﹣ax +4（a ∈R ），当a ＝9时，f （x ）＜0，即2x 2﹣9x +4＜0，整理得（2x ﹣1）（x ﹣4）＜0，解得12＜x ＜4， 故所求不等式的解集为(12，4)；（2）f （x ）≥0对∀x ∈（0，+∞）恒成立，即2x 2﹣ax +4≥0在x ∈（0，+∞）上恒成立，即a ≤2x +4x 在x ∈（0，+∞）上恒成立，即a ≤(2x +4x )min ，又2x +4x ≥2√2x ×4x =4√2（当且仅当2x =4x 即x =√2时，取“＝“）． 所以a ≤4√2，故实数a 的取值范围为(−∞，4√2]．18．（13分）已知函数f(x)=x 2+a x (a ∈R)．（1）判断f （x ）的奇偶性并证明；（2）若a ＝2，判断f （x ）在[1，+∞）的单调性，并用单调性定义证明．解：（1）当a ＝0时，f （x ）＝x 2为偶函数，当a ≠0时，f （x ）＝x 2+a x 为非奇非偶函数；证明如下：当a ＝0时，f （x ）＝x 2，则f （﹣x ）＝（﹣x ）2＝x 2，即f （x ）为偶函数，当a ≠0时，f （x ）＝x 2+a x ，则f （﹣x ）＝（﹣x ）2−a x =x 2−a x ≠±f （x ），即为非奇非偶函数； （2）a ＝2时，f （x ）=x 2+2x ，设1≤x 1＜x 2，则x 1﹣x 2＜0，x 1+x 2−2x 1x 2＞0，则f （x 1）﹣f （x 2）=x 12−x 22+2x 1−2x 2=（x 1﹣x 2）（x 1+x 2−2x 1x 2）＜0， 所以f （x 1）＜f （x 2），故f （x ）在[1，+∞）单调递增． 一、选择题（共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）19．已知集合A ＝{x |﹣5＜x ＜﹣3}，B ＝{x |2a ﹣3＜x ＜a ﹣2}，若A ∪B ＝A ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[1，+∞）B ．{﹣1}C ．[1，+∞）∪{﹣1}D ．R解：∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，①B ＝∅时，2a ﹣3≥a ﹣2，解得a ≥1；②B ≠∅时，{a ＜12a −3≥−5a −2≤−3，解得a ＝﹣1；∴综上可得，a 的取值范围是a ≥1或a ＝﹣1．故选：C ．20．已知x ＞0，y ＞0，(√x)3+2022√x =a ，(√y −2)3+2022(√y −2)=−a ，则x +y 的最小值是（） A ．1 B ．√2 C ．2 D ．4解：设f （t ）＝t 3+2022t ，函数定义域为R ，f （﹣t ）＝（﹣t ）3+2022×（﹣t ）＝﹣t 3﹣2022t ＝﹣f （t ），∴f （t ）是奇函数，∀t 1＜t 2，有t 13＜t 23，则f （t 1）﹣f （t 2）＝t 13+2022t 1﹣（t 23+2022t 2）＜0，即f （t 1）＜f （t 2）． ∴函数f （t ）是增函数，由x ＞0，y ＞0，(√x)3+2022√x =a ，(√y −2)3+2022(√y −2)=−a ，所以√x +√y −2＝0，可得√x +√y =2，两边同时平方再利用基本不等式，有4＝x +y +2√xy ≤2（x +y ），当且仅当x ＝y ＝1时取等号，所以x +y 的最小值为2，故选：C ．21．f （x ）＝x （x +1）（x +2）（x +3）的最小值为（ ）A ．﹣1B ．﹣1.5C ．﹣0.9375D ．前三个答案都不对解：y ＝x （x +1）（x +2）（x +3）＝[x （x +3）][（x +1）（x +2）]＝（x 2+3x ）[（x 2+3x ）+2]，令a ＝x 2+3x ＝（x +32）2−94≥−94．y ＝a 2+2a ＝（a +1）2﹣1，∵a ≥−94，∴a ＝﹣1时，y 有最小值﹣1．故选：A ．22．若集合A 的所有子集中，任意子集的所有元素和均不相同，称A 为互斥集．若A ＝{a ，b ，c }⊆{1，2，3，4，5}，且A 为互斥集，则1a +1b +1c 的最大值为（ ） A ．116 B ．1312 C ．74 D ．4760解：∵A 为{1，2，3}，{1，2，4}，[1，2，5}，{1，3，4}，{1，3，5}，{1，4，5}，{2，3，4}，{2，3，5}，{2，4，5}，{3，4，5}，且A 为互斥集，∴A 为{1，2，4}，{1，2，5}，{1，3，5}，{2，3，4}，{2，4，5}，{3，4，5}，要想1a +1b +1c 取得最大值，则a ，b ，c 要最小， 此时a ，b ，c ∈{1，2，4}，令a ＝1，b ＝2，c ＝4，则1a +1b +1c =11+12+14=74． 故选：C ．二、填空题（共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题纸上的相应位置．）23．关于x 的方程x (x−1)=(k−2x)(x 2−x)的解集中只含有一个元素，k ＝ ﹣1或0或3 ．解：∵x (x−1)=(k−2x)(x 2−x)的解集中只含有一个元素，∴x ﹣1≠0，且 x =k−2x x， ∴x ≠0，且 x 2+2x ﹣k ＝0有一个实数根，结合x ≠0且x ≠1，可得k ＝﹣1或k ＝0或k ＝3．故答案为：﹣1或0或3．24．已知k ≥0，函数y ={−x +k +1，x ≥02−x+k，x ＜0有最大值，则实数k 的取值范围是 [1，+∞） ． 解：因为k ≥0，函数y ={−x +k +1，x ≥02−x+k，x ＜0有最大值， 易知x ≥0时，f （x ）＝﹣x +k +1单调递减，故此时f （x ）≤f （0）＝k +1；当x ＜0时，f （x ）=2−x+k 单调递增，结合x →0﹣时，f （x ）→2k，所以由题意只需k +1≥2k 即可，解得k ≥1，或k ≤﹣2（舍），故k 的取值范围为[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．25．对于集合A ，称定义域与值域均为A 的函数y ＝f （x ）为集合A 上的等域函数．①若A ＝{1，2}，则A 上的等域函数有 2 个；②若∃A ＝[m ，n ]，使f （x ）＝a （x ﹣1）2﹣1为A 上的等域函数，a 的取值范围是 {a |−18＜a ＜0或0＜a ≤1} ．解：定义域与值域均为A 的函数y ＝f （x ）为集合A 上的等域函数，（1）所以若 f （x ）＝x ，则 f （1）＝1，f （2）＝2，所以f （x ）＝x 的定义域与值域均为A ＝{1，2}，同理若f （1）＝2，f （2）＝1，也满足题意，所以A 上的等域函数有2个；若a ＜0，则f （x ）＝a （x ﹣1）2﹣1≤﹣1＜0，因此 n ＜0，从而f （x ）在[m ，n ]上单调递增，{f(m)=m f(n)=n， 所以f （x ）＝a （x ﹣1）2﹣1＝x 有两个不等的负实根，即方程ax 2﹣（2a +1）x +a ﹣1＝0有2个不等的负实根，所以{ Δ=(2a +1)2−4a(a −1)＞0x 1+x 2=2a+1a ＜0x 1x 2=a−1a ＞0，解得−18＜a ＜0； 若a ＝0，则f （x ）＝﹣1，不合题意；a ＞0 时，①若m ≤1≤n ，则f （x ）min ＝﹣1，因此m ＝﹣1，f （﹣1）＝4a ﹣1，f （n ）＝a （n ﹣1）2﹣1，若1≤n ≤3，则n ＝f （﹣1）＝4a ﹣1，令1≤4a ﹣1≤3，解得12≤a ≤1， 若n ＞3，则f （n ）＝n ，所以方程f （x ）＝a （x ﹣1）2﹣1＝x 有大于3的实数根，即方程ax 2﹣（2a +1）x +a ﹣1＝0有大于3的实数根，即Δ＝（2a +1）2﹣4a （a ﹣1）≥0，解得a ≥−18， 所以a ＞0时，x =2a+1±√8a+12a ，令2a+1+√8a+12a＞3，解得√8a +1＞4a ﹣1， 当4a ﹣1≤0时，即0＜a ≤14时，不等式显然成立，当a ＞14时，8a +1＞（4a ﹣1）2，解得0＜a ＜1，所以14＜a ＜1，所以0＜a ＜1满足题意， 综上，0＜a ≤满足题意；下面讨论a ＞1时是否存在[m ，n ]满足题意，②若n ≤1，则 f （x ）在[m ，n ]上是减函数，因此{f(m)=n f(n)=m，显然m ＝f （n ）≥﹣1， 令{a(m −1)2−1=n a(n −1)2−1=m，相减得a （m +n ﹣2）＝﹣1，即m ＝2−1a −n ，n ＝2−1a −m ， 因此有{a(m −1)2−1=2−1a −m a(n −1)2−1=2−1a −n ， 设g （x ）＝a （x ﹣1）2﹣1﹣（2−1a −x ）＝0在[﹣1，1]上有两个不等实根，整理得g （x ）＝ax 2﹣（2a ﹣1）x +a +1a −3，a ＞1时，由于g （1）=1a −2＜0，因此方程g （x ）＝0一个根大于1，一根小于1，不合要求； ③若1≤m ＜n ，则f （x ）在[m ，n ]上是增函数，因此{f(m)=m f(n)=n，即f （x ）＝a （x ﹣1）2﹣1＝x 在[1，+∞）上有两个不等实根， 即方程ax 2﹣（2a +1）x +a ﹣1＝0 在[1，+∞）上有两个不等实根，设h （x ）＝ax 2﹣（2a +1）x +a ﹣1，则h （1）＝﹣2＜0，所以h （x ）＝0 的两根一个大于1，一个小于1，不合题意，综上，a 的取值范围是{a |−18＜a ＜0或0＜a ≤1}．故答案为：2；{a |−18＜a ＜0或0＜a ≤1}．三、解答题（本小题15分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答䋈写在答题纸上的相应位置．）26．（15分）对于正整数集合A ，记A ﹣{a }＝{x |x ∈A ，x ≠a }，记集合X 所有元素之和为S （X ），S （∅）＝0．若∃x ∈A ，存在非空集合A 1、A 2，满足：①A 1∩A 2＝∅；②A 1∪A 2＝A ﹣{x }；③S （A 1）＝S （A 2）称A 存在“双拆”．若∀x ∈A ，A 均存在“双拆”，称A 可以“任意双拆”．（1）判断集合{1，2，3，4}和{1，3，5，7，9，11}是否存在“双拆”？如果是，继续判断可否“任意双拆”？（不必写过程，直接写出判断结果）；（2）A ＝{a 1，a 2，a 3，a 4，a 5}，证明：A 不能“任意双拆”；（3）若A 可以“任意双拆”，求A 中元素个数的最小值．解：（1）对集合{1，2，3，4}，{1，2，3，4}﹣{4}＝{1，2，3}，且1+2＝3，∴集合{1，2，3，4}可以双拆，若在集合中去掉元素1，∵2+3≠4，2+4≠3，3+4≠2，∴集合{1，2，3，4}不可“任意双拆”；若集合{1，3，5，7，9，11}可以“双拆”，则在集合{1，3，5，7，9，11}去除任意一个元素形成新集合B，若存在集合B1，B2，使得B1∩B2＝∅，B1∪B2＝B，S（B1）＝S（B2），则S（B）＝S（B1）+S（B2）＝2S（B1），即集合B中所有元素之和为偶数，事实上，集合B中的元素为5个奇数，这5个奇数和为奇数，不合题意，∴集合{1，3，5，7，9}不可“双拆”．（2）证明：设a1＜a2＜a3＜a4＜a5．反证法：如果集合A可以“任意双拆”，若去掉的元素为a1，将集合{a2，a3，a4，a5}分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有a2+a5＝a3+a4，①，或a5＝a2+a3+a4，②，若去掉的是a2，将集合{a1，a3，a4，a5}分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有a1+a5＝a3+a4，③，或a5＝a1+a3+a4，④，由①﹣③可得a1＝a2，矛盾；由②﹣③得a1＝﹣a2，矛盾；由①﹣④可得a1＝﹣a2，矛盾；由②﹣④可得a1＝a2，矛盾．∴A不能“任意双拆”；（3）设集合A＝{a1，a2，a3，•，a n}，由题意可知S（A）﹣a i（i＝1，2，•，n）均为偶数，∴a i（i＝1，2，•，n）均为奇数或偶数，若S（A）为奇数，则a i（i＝1，2，•，n）均为奇数，∵S（A）＝a1+a2+•+a n，∴n为奇数，若S（A）为偶数，则a i（i＝1，2，•，n）均为偶数，此时设a i＝2b i，则{b1，b2，b3，•，b n}可任意双拆，重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“任意双拆”集，此时各项之和也是奇数，则集合A中元素个数n为奇数，当n＝3时，由题意知集合A＝{a1，a2，a3}不可“任意双拆”，当n＝5时，集合A＝{a1，a2，a3，a4，a5}不可“任意双拆”，∴n≥7，当n＝7时，取集合A＝{1，3，5，7，9，11，13}，∵3+5+7+9＝11+13，1+9+13＝5+7+11，1+3+5+77＝7+13，1+9+11＝3+5+13，3+7+9＝1+5+13，1+3+5+9＝7+11，则集合A可“任意双拆”，∴集合A中元素个数n的最小值为7．。
2021-2022学年山东省淄博实验中学、齐盛高级中学高一上学期期中考试数学试题(解析版)
山东省淄博实验中学、齐盛高级中学2021-2022学年高一上学期期中考试数学试题一、选择题（本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．已知全集U＝{2，3，4，5}，集合M＝{2，3}，N＝{3，4}，则∁U M∩N＝（）A．{5}B．{1，2}C．{4}D．{1，2，3，4}2．下列每组函数是同一函数的是（）A．f（x）＝1，g（x）＝x0B．函数和C．f（x）＝，g（x）＝D．函数f（x）＝x和3．已知a，b∈R，则“a＜b”是“a3＜b3”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件4．已知函数f（x）＝2x+x3﹣8的零点x0∈（m﹣1，m），则整数m的值为（）A．﹣1B．0C．1D．25．幂函数f（x）＝（m2﹣4m+4）在（0，+∞）为增函数，则m的值为（）A．1或3B．1C．3D．26．把函数f（x）＝ln|x﹣a|的图像向左平移2个单位长度，所得函数在（0，+∞）单调递增，则a的最大值为（）A．1B．2C．3D．47．已知函数是R上的单调函数，那么实数a的取值范围为（）A．（0，1）B．（1，3）C．〖，2）D．8．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f（x）为减函数，则不等式的解集为（）A．B．C．D．二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的2分，有选错得0分）9．在a＞b＞0的条件下，下列不等式一定成立的是（）A．ac2＞bc2B．C．a2＞ab＞b2D．10．若实数a，b满足log a2＜log b2，则下列关系中可能成立的有（）A．0＜b＜a＜1B．0＜a＜1＜b C．a＞b＞1D．0＜b＜1＜a11．设函数f（x）定义域为R，对于给定的正数k，定义函数，若函数f（x）＝，则（）A．B．在（0，1）上单调递减C．为偶函数D．最大值为112．意大利画家列奥纳多•达•芬奇（1452.4﹣1519.5）的画作《包银貂的女人》中，女士脖颈上悬挂的黑色珍珠项链与主人相互映衬呈现出不一样的美与光泽，达•芬奇提出固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数〖解析〗式：，其中a为悬链线系数，cosh x 称为双曲线余弦函数，其表达式，相应地，双曲正弦函数的函数表达式为．则下列关于双曲正、余弦函数结论正确的是（）A．cosh2x﹣sinh2x＝1B．cosh（x+y）＝cosh x cosh y﹣sinh x sinh yC．sinh（x+y）＝sinh x cosh y+cosh x sinh yD．y＝cosh x为偶函数，且存在最小值三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．计算＝．14．函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝e x+x，则f（x）在R上的〖解析〗式为．15．设f（x）＝2x2+bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（1，5），f（x）＝；若对于x ∈〖1，2〗，不等式f（x）≤2+t有解，则实数t的取值范围为．16．已知函数f（x）＝，若方程f（x）＝a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则﹣x3（x1+x2）+的取值范围是．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知集合P＝{x|a+1≤x≤2a+1}，Q＝{x|x2﹣3x﹣10≤0}．（1）若a＝2，求（∁R P）∩Q；（2）命题q：“∀x∈P，使得x∈Q”是真命题，求实数a的取值范围．18．（12分）已知函数y＝ax2+4x+c（a，c∈N）满足：①当x＝1时，y＝8；②当x＝2时，14＜y＜17．（1）求a，c的值；（2）若对任意的t∈〖﹣2，2〗，不等式y+tx﹣1＞4x+t恒成立，求实数x的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）＝2•4x﹣a•2x+1．（1）当a＝3时，求不等式f（x）≤0的解集；（2）求函数f（x）在〖0，1〗上的最小值．20．（12分）已知函数．（1）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并利用定义证明；（2）解不等式f（x2+x+3）+f（﹣2x2+4x﹣7）＞0．21．（12分）2021年新冠肺炎仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”变异毒株、拉姆达”变异毒株，尽管我国抗疫取得了很大的成绩，疫情也得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然艰巨，日常防护依然不能有丝毫放松．在让日常防护中，口罩是必不可少的防护用品．已知某口罩的固定成本为200万元，每生产x万箱，需另投入成本p（x）万元，x为年产量（单位：万箱）；已知p（x）＝．通过市场分析，如若每万箱售价400万元时，该厂年内生产的商品能全部售完．（利润＝销售收入﹣总成本）（1）求年利润与y（万元）关于年产量x（万箱）的函数关系式；（2）求年产量为多少万箱时，该口罩生产厂家所获得年利润最大．22．（12分）定义在上的函数f（x）满足：对任意的都有，且当时，f（x）＞0．（1）判断f（x）在上的单调性并证明；（2）求实数t的取值集合，使得关于x的不等式在上恒成立．▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁一、选择题（本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．C〖解析〗∵全集U＝{2，3，4，5}，集合M＝{2，3}，N＝{3，4}，∴∁U M＝{4，5}，则∁U M∩N＝{4}．故选：C．2．D〖解析〗对于A，f（x）＝1的定义域R，g（x）＝x0＝1的定义域为{x|x≠0}，两函数的定义域不同，不是同一函数；对于B，f（x）＝＝|x|定义域为R，g（x）＝＝x的定义域为〖0，+∞），两函数的定义域不同，不是同一函数；对于C，f（x）＝的定义域为（﹣∞，〗∪〖3，+∞），g（x）＝•＝的定义域为〖3，+∞），两函数的定义域不同，不是同一函数；对于D，f（x）＝x，定义域为R，g（x）＝＝x，定义域为R，两函数定义域相同，对应关系也相同，是同一函数．故选：D．3．C〖解析〗因为函数y＝x3为增函数，由a＜b，所以a3＜b3，故“a＜b”是“a3＜b3”的充分条件，由a3＜b3，所以a＜b，故“a＜b”是“a3＜b3”的必要条件，故“a＜b”是“a3＜b3”的充要条件．故选：C．4．D〖解析〗函数f（x）＝2x+x3﹣8，因为f（1）＝2+1﹣8＝﹣5＜0，f（2）＝4+8﹣8＝4＞0，又函数f（x）在R上为单调递增函数，所以存在唯一的零点x0∈（1，2），又零点x0∈（m﹣1，m），所以m＝2．故选：D．5．B〖解析〗幂函数f（x）＝（m2﹣4m+4）在（0，+∞）为增函数，∴，解得，所以m的值为1．故选：B．6．B〖解析〗把函数f（x）＝ln|x﹣a|的图像向左平移2个单位长度，得到函数g（x）＝ln|x+2﹣a|，则函数g（x）在（a﹣2，+∞）单调递增，又因为所得函数在（0，+∞）单调递增，所以a﹣2≤0，即a≤2．所以a的最大值为2．故选：B．7．C〖解析〗函数，若f（x）在R上为单调递增函数，则，解得；若f（x）在R上为单调递减函数，则，无解．综上所述，实数a的取值范围为．故选：C．8．C〖解析〗根据题意，函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）为减函数，则在〖0，+∞）上，f（x）为增函数，则不等式⇔f（|log3（2x﹣5）|）＞f（log38）⇔|log3（2x﹣5）|＞log38，必有log3（2x﹣5）＞log38或log3（2x﹣5）＜﹣log38，则有2x﹣5＞8或0＜2x﹣5＜，解可得：＜x＜或x＞，即不等式的解集为{x|＜x＜或x＞}，故选：C．二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的2分，有选错得0分）9．BC〖解析〗对于A，令c＝0，则ac2＝bc2，故A错误，对于B，∵a＞b＞0，∴＞0，∴，故B正确，对于C，∵a＞b＞0，∴a2﹣ab＝a（a﹣b）＞0，ab﹣b2＝b（a﹣b）＞0，即a2＞ab＞b2，故C正确，对于D，令a＝2，b＝1，满足a＞b＞0，当c＝1时，，故D错误．故选：BC．10．ABC〖解析〗∵log a2＜log b2，∴log a2﹣log b2＝﹣＝＜0，即＜0，若0＜b＜a＜1，则ln b＜ln a＜0，故＜0成立，故选项A正确；若0＜a＜1＜b，则ln a＜0＜ln b，故＜0成立，故选项B正确；若a＞b＞1，则ln a＞ln b＞0，故＜0成立，故选项C正确；若0＜b＜1＜a，则ln b＜0＜ln a，故＞0成立，故选项D错误；故选：ABC．11．BCD〖解析〗当k＝时，（x）＝，在同一坐标系画出图象如图所示：由图可知，函数（x）在（0，1）上单调递减，函数（x）为偶函数，最大值为1．故选：BCD．12．ACD〖解析〗对于A：cosh2x﹣sinh2x＝＝1，故A正确；对于B：cosh x cosh y﹣sinh x sinh y＝﹣•＝＝cosh（x﹣y），故B错误；对于C：sinh x cosh y+cosh x sinh y＝+＝＝sinh（x+y），故C正确；对于D：cosh（﹣x）＝＝cosh x，故函数为偶函数，由于e x+e﹣x＝e x+≥2，故cosh x ＝≥1（当且仅当x＝0时，等号成立），故D正确．故选：ACD．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．〖解析〗原式＝（）++2lg3÷lg3﹣1＝++2﹣1＝．故〖答案〗为：．14．〖解析〗当x＝0时，f（0）＝0，当x＜0时，﹣x＞0，则f（﹣x）＝e﹣x﹣x，又∵f（x）为奇函数，∴f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣e﹣x+x，∴．15．2x2﹣12x+10；〖﹣8，+∞）〖解析〗因为不等式f（x）＜0的解集是（1，5），所以1和5是方程2x2+bx+c＝0的解，所以，解得b＝﹣12，c＝10，所以f（x）＝2x2﹣12x+10．对于x∈〖1，2〗，不等式f（x）≤2+t有解，即t≥2x2﹣12x+8对于x∈〖1，2〗有解，设g（x）＝2x2﹣12x+8，x∈〖1，2〗，则g（x）在〖1，2〗内单调递减，最小值为g（x）min＝g（2）＝8﹣24+8＝﹣8，所以实数t的取值范围是〖﹣8，+∞）．故〖答案〗为：2x2﹣12x+10；〖﹣8，+∞）．16．（5，〗〖解析〗作函数图象如图，可以判断0＜a≤1，﹣1≤x1＜﹣＜x2≤0，且x1+x2＝﹣1，根据对数的性质，x3x4＝1，且≤x3＜1＜x4≤2，故﹣x3（x1+x2）+＝x3+，且≤x3＜1，又由函数y＝x+在〖，1）递减，可知所求取值范围为（5，〗．故〖答案〗为：（5，〗．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．解：∵Q＝{x|x2﹣3x﹣10≤0}＝{x|﹣2≤x≤5}；（1）当a＝2时，P＝{x|3≤x≤5}，∴∁R P＝{x|x＜3或x＞5}，∴（∁R P）∩Q＝{x|﹣2＜x＜3}；（2）∵“∀x∈P，使得x∈Q”是真命题，∴P⊆Q，当P＝∅时，a+1＞2a+1，解得a＜0；当P≠∅时，，解得0≤a≤2，综上当“∀x∈P，使得x∈Q”是真命题时a的取值范围是（﹣∞，2〗．18．解：（1）函数y＝ax2+4x+c（a，c∈N），因为当x＝1时，y＝8，当x＝2时，14＜y＜17，所以，解得，因为a，c∈N，所以a＝1，c＝3；（2）由（1）可知，y＝x2+4x+3，对任意的t∈〖﹣2，2〗，不等式y+tx﹣1＞4x+t恒成立，即x2+tx+2﹣t＞0对任意的t∈〖﹣2，2〗恒成立，令g（t）＝（x﹣1）t+x2+2，则g（t）min＞0，所以，即，解得x＜﹣2或x＞0，综上所述，实数x的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）．19．解：（1）令t＝2x，所以f（x）≤0⇔2t2﹣3t+1≤0，所以≤t≤1⇒≤2x≤1，解得﹣1≤x≤0，于是f（x）≤0的解集为{x|﹣1≤x≤0}．（2）令t＝2x∈〖1，2〗，令g（t）＝2t2﹣at+1＝2（t﹣）2+1﹣，①当≤1时，即a≤4，g（t）在〖1，2〗上单调递增，则g（t）min＝g（1）＝3﹣a，②当1＜＜2时，即4＜a＜8，g（t）min＝g（）＝1﹣，③当≥2时，即a≥8，g（t）在〖1，2〗上单调递减，则g（t）min＝g（2）＝9﹣2a，综上，f（x）min＝．20．解：（1）函数在（1，+∞）上单调递减．证明：设1＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝ln﹣ln＝ln•，由•﹣1＝＞0，可得•＞1，所以ln•＞0，即有f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），所以f（x）在（1，+∞）上单调递减；（2）由＞0，解得x＞1或x＜﹣1，定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），关于原点对称，f（﹣x）+f（x）＝ln+ln＝ln＝0，所以f（x）为奇函数．不等式f（x2+x+3）+f（﹣2x2+4x﹣7）＞0即为f（x2+x+3）＞﹣f（﹣2x2+4x﹣7）＝f（2x2﹣4x+7），而x2+x+3＝（x+）2+＞1，2x2﹣4x+7＝2（x﹣1）2+5＞1，由f（x）在（1，+∞）上单调递减，可得x2+x+3＜2x2﹣4x+7，即为x2﹣5x+4＞0，解得x＞4或x＜1．所以原不等式的解集为{x|x＜1或x＞4}．21．解：（1）当0≤x＜60时，y＝400x﹣＝﹣+40x﹣200，当x≥60时，y＝400x﹣410x﹣+3000﹣200＝，故y关于x的函数〖解析〗式为．（2）当0≤x＜60时，y＝＝，故当x＝40时，y取得最大值600，当x≥60时，y＝＝＝1000，当且仅当，即x＝90时，y取得最大值1000，综上所述，当x＝90时，y取得最大值1000，故年产量为90万箱时，该口罩生产厂家所获得年利润最大．22．解：（1）令x＝y＝0，则，得f（0）＝0，再令y＝﹣x，则，∴f（x）+f（﹣x）＝0，∴f（x）为奇函数，对任意，令x＝x1，y＝﹣x2，则，∵当时，f（x）＞0，∴f（x1﹣x2）＞0，1+f（x1）f（x2）＞0，从而f（x1）﹣f（x2）＞0，∴f（x）在上的单调递增．（2）∵f（x）为奇函数，∴，∵f（x）在上的单调递增，且f（0）＝0，∴f（x）在上单调递增，由题意得及在上恒成立，∴，得；，，得，∴，即实数t的取值集合为{}．山东省淄博实验中学、齐盛高级中学2021-2022学年高一上学期期中考试数学试题一、选择题（本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．已知全集U＝{2，3，4，5}，集合M＝{2，3}，N＝{3，4}，则∁U M∩N＝（）A．{5}B．{1，2}C．{4}D．{1，2，3，4}2．下列每组函数是同一函数的是（）A．f（x）＝1，g（x）＝x0B．函数和C．f（x）＝，g（x）＝D．函数f（x）＝x和3．已知a，b∈R，则“a＜b”是“a3＜b3”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件4．已知函数f（x）＝2x+x3﹣8的零点x0∈（m﹣1，m），则整数m的值为（）A．﹣1B．0C．1D．25．幂函数f（x）＝（m2﹣4m+4）在（0，+∞）为增函数，则m的值为（）A．1或3B．1C．3D．26．把函数f（x）＝ln|x﹣a|的图像向左平移2个单位长度，所得函数在（0，+∞）单调递增，则a的最大值为（）A．1B．2C．3D．47．已知函数是R上的单调函数，那么实数a的取值范围为（）A．（0，1）B．（1，3）C．〖，2）D．8．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f（x）为减函数，则不等式的解集为（）A．B．C．D．二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的2分，有选错得0分）9．在a＞b＞0的条件下，下列不等式一定成立的是（）A．ac2＞bc2B．C．a2＞ab＞b2D．10．若实数a，b满足log a2＜log b2，则下列关系中可能成立的有（）A．0＜b＜a＜1B．0＜a＜1＜b C．a＞b＞1D．0＜b＜1＜a11．设函数f（x）定义域为R，对于给定的正数k，定义函数，若函数f（x）＝，则（）A．B．在（0，1）上单调递减C．为偶函数D．最大值为112．意大利画家列奥纳多•达•芬奇（1452.4﹣1519.5）的画作《包银貂的女人》中，女士脖颈上悬挂的黑色珍珠项链与主人相互映衬呈现出不一样的美与光泽，达•芬奇提出固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数〖解析〗式：，其中a为悬链线系数，cosh x 称为双曲线余弦函数，其表达式，相应地，双曲正弦函数的函数表达式为．则下列关于双曲正、余弦函数结论正确的是（）A．cosh2x﹣sinh2x＝1B．cosh（x+y）＝cosh x cosh y﹣sinh x sinh yC．sinh（x+y）＝sinh x cosh y+cosh x sinh yD．y＝cosh x为偶函数，且存在最小值三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．计算＝．14．函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝e x+x，则f（x）在R上的〖解析〗式为．15．设f（x）＝2x2+bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（1，5），f（x）＝；若对于x ∈〖1，2〗，不等式f（x）≤2+t有解，则实数t的取值范围为．16．已知函数f（x）＝，若方程f（x）＝a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则﹣x3（x1+x2）+的取值范围是．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知集合P＝{x|a+1≤x≤2a+1}，Q＝{x|x2﹣3x﹣10≤0}．（1）若a＝2，求（∁R P）∩Q；（2）命题q：“∀x∈P，使得x∈Q”是真命题，求实数a的取值范围．18．（12分）已知函数y＝ax2+4x+c（a，c∈N）满足：①当x＝1时，y＝8；②当x＝2时，14＜y＜17．（1）求a，c的值；（2）若对任意的t∈〖﹣2，2〗，不等式y+tx﹣1＞4x+t恒成立，求实数x的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）＝2•4x﹣a•2x+1．（1）当a＝3时，求不等式f（x）≤0的解集；（2）求函数f（x）在〖0，1〗上的最小值．20．（12分）已知函数．（1）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并利用定义证明；（2）解不等式f（x2+x+3）+f（﹣2x2+4x﹣7）＞0．21．（12分）2021年新冠肺炎仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”变异毒株、拉姆达”变异毒株，尽管我国抗疫取得了很大的成绩，疫情也得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然艰巨，日常防护依然不能有丝毫放松．在让日常防护中，口罩是必不可少的防护用品．已知某口罩的固定成本为200万元，每生产x万箱，需另投入成本p（x）万元，x为年产量（单位：万箱）；已知p（x）＝．通过市场分析，如若每万箱售价400万元时，该厂年内生产的商品能全部售完．（利润＝销售收入﹣总成本）（1）求年利润与y（万元）关于年产量x（万箱）的函数关系式；（2）求年产量为多少万箱时，该口罩生产厂家所获得年利润最大．22．（12分）定义在上的函数f（x）满足：对任意的都有，且当时，f（x）＞0．（1）判断f（x）在上的单调性并证明；（2）求实数t的取值集合，使得关于x的不等式在上恒成立．▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁一、选择题（本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．C〖解析〗∵全集U＝{2，3，4，5}，集合M＝{2，3}，N＝{3，4}，∴∁U M＝{4，5}，则∁U M∩N＝{4}．故选：C．2．D〖解析〗对于A，f（x）＝1的定义域R，g（x）＝x0＝1的定义域为{x|x≠0}，两函数的定义域不同，不是同一函数；对于B，f（x）＝＝|x|定义域为R，g（x）＝＝x的定义域为〖0，+∞），两函数的定义域不同，不是同一函数；对于C，f（x）＝的定义域为（﹣∞，〗∪〖3，+∞），g（x）＝•＝的定义域为〖3，+∞），两函数的定义域不同，不是同一函数；对于D，f（x）＝x，定义域为R，g（x）＝＝x，定义域为R，两函数定义域相同，对应关系也相同，是同一函数．故选：D．3．C〖解析〗因为函数y＝x3为增函数，由a＜b，所以a3＜b3，故“a＜b”是“a3＜b3”的充分条件，由a3＜b3，所以a＜b，故“a＜b”是“a3＜b3”的必要条件，故“a＜b”是“a3＜b3”的充要条件．故选：C．4．D〖解析〗函数f（x）＝2x+x3﹣8，因为f（1）＝2+1﹣8＝﹣5＜0，f（2）＝4+8﹣8＝4＞0，又函数f（x）在R上为单调递增函数，所以存在唯一的零点x0∈（1，2），又零点x0∈（m﹣1，m），所以m＝2．故选：D．5．B〖解析〗幂函数f（x）＝（m2﹣4m+4）在（0，+∞）为增函数，∴，解得，所以m的值为1．故选：B．6．B〖解析〗把函数f（x）＝ln|x﹣a|的图像向左平移2个单位长度，得到函数g（x）＝ln|x+2﹣a|，则函数g（x）在（a﹣2，+∞）单调递增，又因为所得函数在（0，+∞）单调递增，所以a﹣2≤0，即a≤2．所以a的最大值为2．故选：B．7．C〖解析〗函数，若f（x）在R上为单调递增函数，则，解得；若f（x）在R上为单调递减函数，则，无解．综上所述，实数a的取值范围为．故选：C．8．C〖解析〗根据题意，函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）为减函数，则在〖0，+∞）上，f（x）为增函数，则不等式⇔f（|log3（2x﹣5）|）＞f（log38）⇔|log3（2x﹣5）|＞log38，必有log3（2x﹣5）＞log38或log3（2x﹣5）＜﹣log38，则有2x﹣5＞8或0＜2x﹣5＜，解可得：＜x＜或x＞，即不等式的解集为{x|＜x＜或x＞}，故选：C．二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的2分，有选错得0分）9．BC〖解析〗对于A，令c＝0，则ac2＝bc2，故A错误，对于B，∵a＞b＞0，∴＞0，∴，故B正确，对于C，∵a＞b＞0，∴a2﹣ab＝a（a﹣b）＞0，ab﹣b2＝b（a﹣b）＞0，即a2＞ab＞b2，故C正确，对于D，令a＝2，b＝1，满足a＞b＞0，当c＝1时，，故D错误．故选：BC．10．ABC〖解析〗∵log a2＜log b2，∴log a2﹣log b2＝﹣＝＜0，即＜0，若0＜b＜a＜1，则ln b＜ln a＜0，故＜0成立，故选项A正确；若0＜a＜1＜b，则ln a＜0＜ln b，故＜0成立，故选项B正确；若a＞b＞1，则ln a＞ln b＞0，故＜0成立，故选项C正确；若0＜b＜1＜a，则ln b＜0＜ln a，故＞0成立，故选项D错误；故选：ABC．11．BCD〖解析〗当k＝时，（x）＝，在同一坐标系画出图象如图所示：由图可知，函数（x）在（0，1）上单调递减，函数（x）为偶函数，最大值为1．故选：BCD．12．ACD〖解析〗对于A：cosh2x﹣sinh2x＝＝1，故A正确；对于B：cosh x cosh y﹣sinh x sinh y＝﹣•＝＝cosh（x﹣y），故B错误；对于C：sinh x cosh y+cosh x sinh y＝+＝＝sinh（x+y），故C正确；对于D：cosh（﹣x）＝＝cosh x，故函数为偶函数，由于e x+e﹣x＝e x+≥2，故cosh x ＝≥1（当且仅当x＝0时，等号成立），故D正确．故选：ACD．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．〖解析〗原式＝（）++2lg3÷lg3﹣1＝++2﹣1＝．故〖答案〗为：．14．〖解析〗当x＝0时，f（0）＝0，当x＜0时，﹣x＞0，则f（﹣x）＝e﹣x﹣x，又∵f（x）为奇函数，∴f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣e﹣x+x，∴．15．2x2﹣12x+10；〖﹣8，+∞）〖解析〗因为不等式f（x）＜0的解集是（1，5），所以1和5是方程2x2+bx+c＝0的解，所以，解得b＝﹣12，c＝10，所以f（x）＝2x2﹣12x+10．对于x∈〖1，2〗，不等式f（x）≤2+t有解，即t≥2x2﹣12x+8对于x∈〖1，2〗有解，设g（x）＝2x2﹣12x+8，x∈〖1，2〗，则g（x）在〖1，2〗内单调递减，最小值为g（x）min＝g（2）＝8﹣24+8＝﹣8，所以实数t的取值范围是〖﹣8，+∞）．故〖答案〗为：2x2﹣12x+10；〖﹣8，+∞）．16．（5，〗〖解析〗作函数图象如图，可以判断0＜a≤1，﹣1≤x1＜﹣＜x2≤0，且x1+x2＝﹣1，根据对数的性质，x3x4＝1，且≤x3＜1＜x4≤2，故﹣x3（x1+x2）+＝x3+，且≤x3＜1，又由函数y＝x+在〖，1）递减，可知所求取值范围为（5，〗．故〖答案〗为：（5，〗．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．解：∵Q＝{x|x2﹣3x﹣10≤0}＝{x|﹣2≤x≤5}；（1）当a＝2时，P＝{x|3≤x≤5}，∴∁R P＝{x|x＜3或x＞5}，∴（∁R P）∩Q＝{x|﹣2＜x＜3}；（2）∵“∀x∈P，使得x∈Q”是真命题，∴P⊆Q，当P＝∅时，a+1＞2a+1，解得a＜0；当P≠∅时，，解得0≤a≤2，综上当“∀x∈P，使得x∈Q”是真命题时a的取值范围是（﹣∞，2〗．18．解：（1）函数y＝ax2+4x+c（a，c∈N），因为当x＝1时，y＝8，当x＝2时，14＜y＜17，所以，解得，因为a，c∈N，所以a＝1，c＝3；（2）由（1）可知，y＝x2+4x+3，对任意的t∈〖﹣2，2〗，不等式y+tx﹣1＞4x+t恒成立，即x2+tx+2﹣t＞0对任意的t∈〖﹣2，2〗恒成立，令g（t）＝（x﹣1）t+x2+2，则g（t）min＞0，所以，即，解得x＜﹣2或x＞0，综上所述，实数x的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）．19．解：（1）令t＝2x，所以f（x）≤0⇔2t2﹣3t+1≤0，所以≤t≤1⇒≤2x≤1，解得﹣1≤x≤0，于是f（x）≤0的解集为{x|﹣1≤x≤0}．（2）令t＝2x∈〖1，2〗，令g（t）＝2t2﹣at+1＝2（t﹣）2+1﹣，①当≤1时，即a≤4，g（t）在〖1，2〗上单调递增，则g（t）min＝g（1）＝3﹣a，②当1＜＜2时，即4＜a＜8，g（t）min＝g（）＝1﹣，③当≥2时，即a≥8，g（t）在〖1，2〗上单调递减，则g（t）min＝g（2）＝9﹣2a，综上，f（x）min＝．20．解：（1）函数在（1，+∞）上单调递减．证明：设1＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝ln﹣ln＝ln•，由•﹣1＝＞0，可得•＞1，所以ln•＞0，即有f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），所以f（x）在（1，+∞）上单调递减；（2）由＞0，解得x＞1或x＜﹣1，定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），关于原点对称，f（﹣x）+f（x）＝ln+ln＝ln＝0，所以f（x）为奇函数．不等式f（x2+x+3）+f（﹣2x2+4x﹣7）＞0即为f（x2+x+3）＞﹣f（﹣2x2+4x﹣7）＝f（2x2﹣4x+7），而x2+x+3＝（x+）2+＞1，2x2﹣4x+7＝2（x﹣1）2+5＞1，由f（x）在（1，+∞）上单调递减，可得x2+x+3＜2x2﹣4x+7，即为x2﹣5x+4＞0，解得x＞4或x＜1．所以原不等式的解集为{x|x＜1或x＞4}．21．解：（1）当0≤x＜60时，y＝400x﹣＝﹣+40x﹣200，当x≥60时，y＝400x﹣410x﹣+3000﹣200＝，故y关于x的函数〖解析〗式为．（2）当0≤x＜60时，y＝＝，故当x＝40时，y取得最大值600，当x≥60时，y＝＝＝1000，当且仅当，即x＝90时，y取得最大值1000，综上所述，当x＝90时，y取得最大值1000，故年产量为90万箱时，该口罩生产厂家所获得年利润最大．22．解：（1）令x＝y＝0，则，得f（0）＝0，再令y＝﹣x，则，∴f（x）+f（﹣x）＝0，∴f（x）为奇函数，对任意，令x＝x1，y＝﹣x2，则，∵当时，f（x）＞0，∴f（x1﹣x2）＞0，1+f（x1）f（x2）＞0，从而f（x1）﹣f（x2）＞0，∴f（x）在上的单调递增．（2）∵f（x）为奇函数，∴，∵f（x）在上的单调递增，且f（0）＝0，∴f（x）在上单调递增，由题意得及在上恒成立，∴，得；，，得，∴，即实数t的取值集合为{}．。
2022-2023学年山东省实验中学高二上学期12月月考数学试题(解析版)
2022-2023学年山东省实验中学高二上学期12月月考数学试题一、单选题1．O 、A 、B 、C 为空间四点，且向量OA 、OB 、OC 不能构成空间的一个基底，则下列说法正确的是（ ）A ．OA 、OB 、OC 共线 B ．OA 、OB 共线 C ．OB 、OC 共线D ．O 、A 、B 、C 四点共面【答案】D【解析】根据向量OA 、OB 、OC 不能构成空间的一个基底知向量共面，即可得出结论. 【详解】因为O 、A 、B 、C 为空间四点，且向量OA 、OB 、OC 不能构成空间的一个基底， 所以OA 、OB 、OC 共面， 所以O 、A 、B 、C 四点共面， 故选：D2．抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+，则p =（ ） A ．1 B ．2C．D ．4【答案】B【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得p 的值. 【详解】抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，其到直线10x y -+=的距离：d == 解得：2p =(6p =-舍去). 故选：B.3．与曲线2211636x y +=共焦点，且与双曲线22146x y -=共渐近线的双曲线的方程为（ ） A ．221128y x -=B ．221812y x -=C ．221128x y -=D ．221812x y -=【答案】A【分析】先由与椭圆共焦点得到220c =，且焦点在y 轴上，从而巧设所求双曲线为()22046x y λλ-=<，利用222c a b =+即可得解.【详解】因为曲线2211636x y +=为椭圆，焦点在y 轴上，且2361620c =-=，又因为所求双曲线与双曲线22146x y -=共渐近线，所以设所求双曲线为()22046x y λλ-=<，即22164y x λλ-=--，则26420c λλ=--=，解得2λ=-， 所以所求双曲线为221128y x -=.故选：A.4．《九章算术》是我国古代的一本数学名著.全书为方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九章，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题.在第六章“均输”中有这样一道题目：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为：“现有五个人分5钱，每人所得成等差数列，且较多的两份之和等于较少的三份之和，问五人各得多少？”在此题中，任意两人所得的最大差值为多少？（ ） A ．13B ．23C ．16D ．56【答案】B【分析】设每人分到的钱数构成的等差数列为{}n a ，公差0d >，由题意可得，12345a a a a a ++=+，55S =，结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解．【详解】解：设每人分到的钱数构成的等差数列为{}n a ，公差0d >， 由题意可得，12345a a a a a ++=+，55S =， 故113327a d a d +=+，15105a d +=， 解可得，123a =，16d =， 故任意两人所得的最大差值243d =． 故选：B ．【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式在实际问题中的应用，属于基础题． 5．设公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()6353a a a =+，则117S S =（ ） A ．117B ．227C ．337D ．667【答案】D【分析】先利用等差公数的通项公式得到15130a d +=，再利用等差公数的前n 项和公式即可得解. 【详解】因为{}n a 是公差不为零的等差数列，()6353a a a =+，所以()1115324a d a d a d +=+++，得15130a d +=， 令()50d k k =≠，则113a k =-，则所以()()()()1111711111011115111325111266276737131572772a d a d k k S S a d k k a d ⨯++-+⨯=====⨯+-+⨯+. 故选：D.6．已知圆22()()1x a y b -+-=经过原点，则圆上的点到直线2y x =+距离的最大值为（ ） A ．22 B ．22+ C ．21+ D ．2【答案】B【分析】由题意画图，数形结合可知2=21+1OB =，当圆心(,)a b 在C 处时，点(,)a b 到直线2y x =+的距离最大，进而可求结果.【详解】如图：22()()1x a y b -+-=圆心为(,)a b ，经过原点，可得221a b += 则圆心(,)a b 在单位圆221x y +=上，原点(0,0)到直线2y x =+的距离为=21+1OB 延长BO 交221x y +=于点C ，以C 为圆心，OC 为半径作圆C ，BC 延长线交圆C 于点D ， 当圆心(,)a b 在C 处时，点(,)a b 到直线2y x =+的距离最大为2+1OB 此时，圆22()()1x a y b -+-=上点D 到直线2y x =+的距离最大为22OB 故选：B【点睛】关键的点睛：由题意画图，数形结合可得，点D 到直线2y x =+的距离最大是解题的关键.本题考查了作图能力，数形结合思想，运算求解能力，属于一般题目.7．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的两个焦点为1F 、2F ，点M ，N 在C 上，且123F F MN =，12F M F N ⊥，则双曲线C 的离心率为（ ）ABC ．2D 【答案】D【分析】根据123F F MN =，12F M F N ⊥，由双曲线对称性可知，直线1F M 与2F N 交于y 轴上一点P ，且12PF F △为等腰直角三角形，可得N 的坐标，分别求出12,NF NF ，再根据双曲线的定义即可得出答案.【详解】解：因为123F F MN =，12F M F N ⊥，由双曲线对称性可知，直线1F M 与2F N 交于y 轴上一点P ， 且12PF F △为等腰直角三角形， 所有1OP OF c ==，如图，则2,33c c N ⎛⎫⎪⎝⎭，()1,0F c -，()2,0F c ，所以1NF ==，23NF ==，则122NF NF a -==，即a =，则c e a === 故选：D.8．伦敦奥运会自行车赛车馆有一个明显的双曲线屋顶，该赛车馆是数学与建筑完美结合造就的艺术品，若将如图所示的双曲线屋顶的一段近似看成离心率为52的双曲线222:1(0)y C x a a -=>上支的一部分，点F 是C 的下焦点，若点P 为C 上支上的动点，则PF 与P 到C 的一条渐近线的距离之和的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【分析】先根据已知条件求出双曲线方程，则可求出焦点坐标和渐近线方程，上焦点为15)F ，则由双曲线的定义可得1124PF PF a PF =+=+，由双曲线的对称性取一条渐近线2y x =，设P 到2y x =的距离为d ，则将问题转化为求出14PF d ++，而1PF d +的最小值为15)F 到渐近线2y x=的距离，从而可求得答案【详解】因为双曲线222:1(0)y C x a a -=>5，215a +=24a =，则 双曲线方程为2214y x -=，5c =所以下焦点(0,5)F -，渐近线方程为2y x =±， 设上焦点为15)F ，则1124PF PF a PF =+=+，由双曲线的对称性，不妨取一条渐近线为2y x =，设P 到2y x =的距离为d ，则PF 与P 到C 的一条渐近线的距离之和为14PF d PF d +=++，因为1PF d +的最小值为1F 到渐近线2y x =1=，所以14PF d PF d +=++的最小值为415+=，即PF 与P 到C 的一条渐近线的距离之和的最小值为5， 故选：D二、多选题9．已知数列{n a }的前n 项和为211n S n n =-，则下列说法正确的是（ ）． A ．{}n a 是递增数列 B ．{}n a 是递减数列C ．122n a nD ．数列{}n S 的最大项为5S 和6S【答案】BCD【分析】根据211n S n n =-，利用二次函数的性质判断D ，利用数列通项和前n 项和关系求得通项公式判断ABC.【详解】解：因为22111211124n S n n n ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭，所以数列{}n S 的最大项为5S 和6S ，故D 正确；当1n =时，110a =，当2n ≥时，由211n S n n =-，得()()211111n S n n -=---，两式相减得：212n a n =-+， 又110a =，适合上式， 所以212n a n =-+，故C 正确；因为120n n a a --=-<，所以{}n a 是递减数列，故A 错误，B 正确； 故选：BCD10．设等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，若11m m a a a +-<<-（m ∈*N ，且2m ≥），则必定有（ ） A ．0m S > B ．0m S <C ．10m S +>D ．10m S +<【答案】AD【分析】根据等差数列求和公式即可判断. 【详解】∵11m m a a a +-<<-， ∴10m a a +>，110m a a ++<， ∴()102m m a a m S +⨯=>,()()111102m m a a m S +++⨯+=<,故选：AD.11．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中不正确的是（ ）A ．1126AC =B ．BD ⊥平面1ACCC ．向量1B C 与1AA 的夹角是60°D ．直线1BD 与AC 6【答案】AC【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算和数量积运算，对选项中的命题分析，判断正误即可． 【详解】解：对于111:A AC AB BC CC AB AD AA =++=++， ∴22221111222AC AB AD AA AB AD AD AA AD AA =+++⋅+⋅+⋅363636266cos60266cos60266cos60216=+++⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒=，所以1||21666AC A 错误； 对于:B 11()()AC BD AB AD AA AD AB ⋅=++⋅-22110AB AD AB AD AB AD AA AD AA AB =⋅-+⋅+⋅--⋅=，所以10AC DB ⋅=，即1AC DB ⊥，2222()()0AC BD AB AD AD AB AD AB AD AB ⋅=+⋅-==--=，所以0AC BD ⋅=，即AC BD ⊥，因为1AC AC A ⋂=，1,AC AC ⊂平面1ACC ，所以BD ⊥平面1ACC ，选项B 正确；对于C ：向量1B C 与1BB 的夹角是18060120︒-︒=︒，所以向量1B C 与1AA 的夹角也是120︒，选项C 错误；对于11:D BD AD AA AB =+-，AC AB AD =+所以()2222211111222BD AD AA AB AD AA AB AD AA AD AB AA AB =+-=+++⋅-⋅-⋅，1||36BD ∴= 同理，可得||63AC =11()()18183636181836AC BD AD AA AB AB AD ⋅=+-⋅+=+-++-=，所以111cos ||||63AC BD BD AC AC BD ⋅<⋅>==⋅，所以选项D 正确． 故选：AC ．12．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 交C 于不同的A ，B 两点，则下列说法正确的是（ ）A ．若点()3,1Q ，则||AQ AF +的最小值是4B ．3OA OB ⋅=-C ．若12AF BF ⋅=，则直线AB 的斜率为D ．4||AF BF +的最小值是9 【答案】ABD【分析】对于A ，过点A 作C 的准线的垂线，垂足为A '，则利用抛物线的定义结合图形求解即可，对于B ，设直线AB 的方程为1x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，将直线方程代入抛物线方程中，消去x ，利用根据与系数的关系，从而可求出OA OB ⋅的值，对于C ，由12AF BF ⋅=，可得AF BF ⋅()()211112x x =++=，化简后将选项B 中的式子代入可求出m 的值，从而可求出直线的斜率，对于D ，根据选项B 中的式子可求得111AF BF +=，则4AF BF +()114AF BF AF BF ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭化简后利用基本不等式可求得结果【详解】由题意知，C 的准线方程为=1x -，焦点F （1，0），过点A 作C 的准线的垂线，垂足为A '，则||AQ AF AQ AA +='+，故||||AQ AF +的最小值是点Q 到C 的准线的距离，即为4，故A 正确；设直线AB 的方程为1x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，由241y xx my ⎧=⎨=+⎩得2440y my --=．所以124y y =-，124y y m +=，221212144y y x x =⋅=，()21212242x x m y y m +=++=+， 所以OA OB ⋅=1212143x x y y +=-=-，故B 正确； 若||6AF BF ⋅=，又11AF x =+，21BF x =+，所以AF BF ⋅()()1211x x =++()22111x x x x =+++2142112m =+++=，解得2m =AB 的斜率为1k m =22==C 错误； 11AF BF +211111x x =+++()()12211111x x x x +++=++21122121x x x x x x ++=+++1=，所以4AF BF +()114AF BF AF BF ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭45+5249BF AF AF BF =+≥+=，当且仅当3||2AF =，3BF =时，等号成立，故D 正确，故选：ABD ．三、填空题13．已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，且38S =，67S =，则459a a a ++⋯+=________． 【答案】78-【解析】由题意及等比数列前n 项和的性质知3S ，63S S -，96S S -成等比数列，解得9S 的值，45993a a a S S +++=-，代入计算即可．【详解】根据由题意知3S ，63S S -，96S S -成等比数列，即8，78-，97S -成等比数列，所以()29(1)87S -=-，解得9178S =．所以45993177888a a a S S +++=-=-=-．故答案为：78-14．已知向量()0,2,2a =-，向量()6,3,1b =，则向量a 在向量b 方向上的投影为____________．【答案】1-【分析】代入向量投影的计算公式即可求出结果. 【详解】因为()0,2,2a =-，()6,3,1b =，所以()0623214a b ⋅=⨯-⨯+⨯=-，22a =，4b =， 所以向量a 在b 方向上的投影数量为4cos ,14a b a b a a b a a bb⋅⋅-⋅=⋅===-⋅. 故答案为：1-.15．在平面直角坐标系xOy 中，直线20mx y -+=与曲线y =数m 的取值范围是__________． 【答案】3,14⎛⎤⎥⎝⎦【分析】做出曲线y 20mx y -+=过定点()02，，数形结合即可求出结果.【详解】由题意可知，曲线y ()1,0-，半径为1的圆的上半部分（含端点），则直线20mx y -+=与曲线y 20mx y -+=过定点()02，，可考虑临界状态，即直线与半圆相切时或直线经过点()2,0-， 当过点()2,0-时，2020m --+=，即1m =，当直线20mx y -+=20211m m --+=+，解得34m =，数形结合可知有两个不同的公共点时实数m 的取值范围为3,14⎛⎤⎥⎝⎦．故答案为：3,14⎛⎤⎥⎝⎦.四、双空题16．已知椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在C 上，直线PF 2与y 轴交于点Q ，点P 在线段2F Q 上，1QPF 的内切圆的圆心为I ，若12IF F △为正三角形，则12F PF ∠=___________，C 的离心率的取值范围是___________．【答案】 603π︒＃＃ 132⎛ ⎝⎭【分析】设A 为上顶点，点P 位于第一象限，作212BF F F ⊥交椭圆于点B 如图所示，则()1211112F PF QF P FQP QF I FQI ∠=∠+∠=∠+∠，即可求解，又因为点P 位于点A 与B 之间，所以121260F BF F AF ∠<︒<∠，利用正切值即可求解离心率范围．【详解】设A 为上顶点，点P 位于第一象限，作212BF F F ⊥交椭圆于点B ，则2,b B c a ⎛⎫⎪⎝⎭如图所示：依题意得()121111223060F PF QF P FQP QF I FQI ∠=∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒ 依题意得点P 位于点A 与B 之间，故121260F BF F AF ∠<︒<∠所以122tan tan 60tan tan 30F BF OAF ∠<︒⎧⎨∠>︒⎩，则22333cb ac b ⎧<⎪⎪⎨⎪⎪>⎩ 化为2323012e e e ⎧+-<⎪⎨>⎪⎩，解得1323e << 故答案为：60︒，13,23⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭五、解答题17．已知()1,4,5a =-，()2,3,2b =-，点()3,2,3A --，()2,3,2B --． (1)求2a b +的值．(2)在线段AB 上，是否存在一点E ，使得OE b ⊥？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．（O 为坐标原点） 【答案】(1)13(2)存在，152015,,777E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】（1）利用空间向量的线性运算及模的运算公式即可得解；（2）利用空间向量共线定理得到OE 关于λ的关系式，再由空间向量垂直的坐标表示求得λ，从而得到点E 的坐标.【详解】（1）因为()1,4,5a =-，()2,3,2b =-，所以()()()()()221,4,52,3,22,8,102,32,20,5,1a b -+-=-+-=-+=⨯，则23201a b =++.（2）假设线段AB 上存在一点E ，使得OE b ⊥，则设()01AE AB λλ=≤≤， 因为()3,2,3A --，()2,3,2B --，所以()()()2,3,23,2,31,1,1AB ----=-=--， 又因为OE OA AE AB λ-==，所以()()(),,3,2,33,2,3OE AB OA λλλλλλλ=+=--+--=----+， 因为OE b ⊥，()2,3,2b =-，所以()()()2332230λλλ--+--+-+=，解得67λ=，满足01λ≤≤， 所以6661520153,2,3,,777777OE ⎛⎫⎛⎫=----+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即152015,,777E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以线段AB 上存在一点E ，使得OE b ⊥，且152015,,777E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.18．已知{}n a 是公差为d 的等差数列，其前n 项和是n S ，且25517,35a a S +==. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若11,1,2,n n n b n a a +==，求数列{}n b 的前n 项和n T ； 【答案】（1）32n a n =-；（2）31+nn . 【分析】（1）由题设有11251751035a d a d +=⎧⎨+=⎩求1a 、d ，写出{}n a 的通项公式；（2）应用裂项相消法，求{}n b 的前n 项和n T 即可.【详解】（1）由题意，25151251751035a a a d S a d +=+=⎧⎨=+=⎩，解得113a d =⎧⎨=⎩，∴1(1)32n a a n d n =+-=-. （2）由111111()(32)(31)33231n n n b a a n n n n +===--+-+， ∴12111111...(1...)34473231n n T b b b n n =+++=⨯-+-++--+11(1)33131nn n =⨯-=++. 19．如图，四边形ABCD 为平行四边形，120BCD ∠=︒，四边形ACFE 为矩形，且FC ⊥平面ABCD ，12AD FC AB ==.（1）证明：平面ACFE ⊥平面BCF ；（2）若M 为EF 的中点，求平面ABM 与平面BCF 所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）详见解析；（2）21919. 【分析】（1）由题可得AC ⊥BC ，AC ⊥CF ，利用线面垂直的判定定理可得AC ⊥平面BCF ，再利用面面垂直的判定定理可证； （2）利用坐标法即求.【详解】∵四边形ABCD 为平行四边形，120BCD ∠=︒， ∴∠CBA =60°又12AD BC AB ==，∴在△ACB 中，∠ACB =90°，即AC ⊥BC ， 又FC ⊥平面ABCD ， ∴AC ⊥CF ，又BCCF C =，∴AC ⊥平面BCF ，又AC ⊂平面ACFE ， ∴平面ACFE ⊥平面BCF .（2）如图以C 为原点建立空间直角坐标系，设AB =2，则AD =1，CF =1，AC =3，∴3(3,0,0),(0,1,0),((0,0,0),(0,0,1)A B M C F ， 则3(3,1,0),(2AB AM =-=-， 设平面ABM 的法向量(,,)m x y z =，∴00m AB m AM ⎧⋅=⎨⋅=⎩，∴00y x z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩令2x =，则(2,23,m =，平面BCF 的法向量可取(3,0,0)n CA ==，∴cos ,412m n mn m n ⋅===+ ∴平面ABM 与平面BCF . 20．已知数列{}n a 是等差数列，且12312a a a ++=，816a =.(1)若数列{}n a 中依次取出第2项，第4项，第6项，…，第2n 项，按原来顺序组成一个新数列{}n b ，试求出数列{}n b 的通项公式；(2)令3nn n c b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n S .【答案】(1)4n b n =，*n ∈N ；(2)()12133n n S n +=-⋅+.【分析】(1)利用等差数列性质求出数列{}n a 公差及通项公式，由2n n b a =求解作答. (2)由(1)的结论求出n c ，再用错位相减法计算作答.【详解】（1）等差数列{}n a 中，2123312a a a a =++=，解得24a =，公差28282a d a -==-， 则()()224222n a a n d n n =+-=+-⨯=，因此，2224n a n n =⨯=， 依题意，24n nb a n ==，所以数列{}n b 的通项公式4n b n =，*n ∈N .（2）由(1)知，343n nn n c b n =⋅=⋅，则()21438344343n nn S n n -=⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅， 因此，()2313438344343n n n S n n +=⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅，()()231113243333434(13)413363143nn n n n n n S n n n +++--=+++⋅⋅⋅+-⋅-⋅=--⋅=⨯-1(42)36n n +=--⋅-，所以()12133n n S n +=-+.21．如图，设点,A B 在x 轴上，且关于原点O 对称．点P 满足1tan 2,tan 2PAB PBA ∠=∠=，且PAB 的面积为20．（Ⅰ）求点P 的坐标；（Ⅱ）以,A B 为焦点，且过点P 的椭圆记为C ．设00(,)M x y 是C 上一点，且013x -<<，求0y 的取值范围．【答案】（Ⅰ）(3,4)-；（Ⅱ）[25,4)(4,25]--．【分析】（Ⅰ）设(,0),(,0)A c B c -，根据点P 满足1tan 2,tan 2PAB PBA ∠=∠=，得到直线PA 的方程为2()y x c =+，直线PB 的方程为1()2y x c =--，两方程联立用c 表示点P 的坐标，再根据PAB 的面积为20，由1||||202P S AB y =⋅=求得c 即可.（Ⅱ）由（Ⅰ）得(5,0),(5,0)A B -，P (3,4)-，从而由1(||)2a PA PB =+求得a ，进而得到椭圆C 的方程，然后根据013x -<<求解. 【详解】（Ⅰ）如图所示：设(,0),(,0)A c B c -，则直线PA 的方程为2()y x c =+，直线PB 的方程为1()2y x c =--．由2(),1(),2y x c y x c =+⎧⎪⎨=--⎪⎩ 解得3,54.5c x c y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以34(,)55c cP -． 故PAB 的面积214||||25P S AB y c =⋅=．所以24205c =， 解得5c =．所以点P 的坐标为(3,4)-． （Ⅱ）由（Ⅰ）得(5,0),(5,0)A B -．所以PAPB 设以,A B 为焦点且过点P 的椭圆方程为2222:1x y C a b +=．则1(||)2a PA PB =+=22220b a c =-=，所以椭圆C 的方程为2214520x y +=． 所以220014520x y +=， 即220020(1)45x y =-．因为013x -<<，所以209x <≤． 所以21620y <≤． 所以0y的取值范围是[4)(4,25]--．22．已知O 为坐标原点,1F ,2F 分别是双曲线C ：22221x y a b -=（0a >,0b >）的左, 右焦点,126F F =,若直线10x y --=与双曲线C 点的右支有公共点P . (1)求C 的离心率的最小值;(2)当双曲线C 的离心率最小时,直线():2l y k x =+()0k ≠与C 交于M ,N 两点,求OMONk k k k +的值.【答案】(2)10【分析】(1) 由于3c =,所以离心率的最小值即为求a 的最大值,连接1PF ,2PF ,要使双曲线C 的离心率最小,只需a 最大,即122a PF PF =-最大,求出()23,0F 关于直线10x y --=的对称点为A ,连接PA ,1F A ,则12112a PF PF PF PA F A =-=-≤即可求出a 最大值,进而求出离心率最小值;(2)由(1)可得离心率最小值时的,a b ,可得双曲线方程,联立直线与双曲线方程,设M ,N 两点坐标,求出,OM ON k k ,代入上式即可.【详解】（1）解:由题知126F F =,()()123,03,0F F ∴-，,设2F 关于直线10x y --=的对称点为(),A x y , 则11331022yx x y ⎧⨯=-⎪⎪-⎨+⎪--=⎪⎩, 解得12x y =⎧⎨=⎩, 故()1,2A ,连接1PF ,2PF ,PA ,1F A , 则2PF PA =, 则122a PF PF =-1PF PA =- 1F A ≤==,故ac e a ∴=≥=故双曲线C ; （2）由(1)知双曲线C, 此时2a b ==,双曲线方程为22154x y -=,联立得()222154y k x x y ⎧=+⎪⎨-=⎪⎩, 消去y 并整理得()2222452020200k xk x k ----=,则有2450k -≠且()()()()222222044520208040k k k k ∆=-+⨯-+=->,即204k ≤<且245k ≠, 设()11,M x y ,()22,N x y ,则21222045k x x k +=-,2122202045k x x k +=--, 则12121111OM ONy y k k x x +=+1212x x y y =+ 122112x y x y y y +=()()()()12212122222x kx k x kx k k x x +++=++()()1212212122224kx x k x x k x x x x ++=+++⎡⎤⎣⎦222222222202020224545202020244545k k k k k k k k k k k ⎛⎫+⨯-+⨯ ⎪--⎝⎭=⎛⎫+-+⨯+ ⎪--⎝⎭ 10k=, 1101OMON OM ON k k k k k k k ⎛⎫∴+=+= ⎪⎝⎭. 【点睛】思路点睛:本题考查双曲线性质以及直线与双曲线的位置关系,属于难题,常用的解决直线与圆锥曲线位置关系的思路为:(1)设直线方程(注意斜率存在不存在以及斜率为0的情况),设交点坐标, (2)联立直线与圆锥曲线方程,(3)设为不求,韦达定理(注意判别式的正负), (4)列出满足题意的方程,进行化简.。