线性代数电子教案(全套)
(完整版)线性代数教案(正式打印版)
第（1）次课授课时间（）基本内容备注第一节二、三阶行列式的定义一、二阶行列式的定义从二元方程组的解的公式,引出二阶行列式的概念。
设二元线性方程组⎩⎨⎧=+=+22222211212111bxaxabxaxa用消元法,当021122211≠-aaaa时,解得211222111212112211222112121221,aaaababaxaaaababax--=--=令2112221122211211aaaaaaaa-=,称为二阶行列式,则如果将D中第一列的元素11a,21a换成常数项1b,2b,则可得到另一个行列式,用字母1D表示,于是有2221211ababD=按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和：212221abab-,这就是公式（2）中1x的表达式的分子。
同理将D中第二列的元素a 12,a 22换成常数项b1,b2 ,可得到另一个行列式,用字母2D表示,于是有2121112babaD=按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和：121211baba-,这就是公式（2）中2x的表达式的分子。
于是二元方程组的解的公式又可写为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==DDxDDx2211其中0≠D例1.解线性方程组.1212232121⎪⎩⎪⎨⎧=+=-xxxx同样,在解三元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa时,要用到“三阶行列式”,这里可采用如下的定义.二、三阶行列式的定义设三元线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa用消元法解得定义设有9个数排成3行3列的数表333231232221131211aaaaaaaaa记333231232221131211aaaaaaaaaD=322113312312332211aaaaaaaaa++=332112322311312213aaaaaaaaa---,称为三阶行列式,则三阶行列式所表示的6项的代数和,也用对角线法则来记忆：从左上角到右下角三个元素相乘取正号,从右上角到左下角三个元素取负号,即例2. 计算三阶行列式243122421----=D.(-14)例3. 求解方程094321112=xx（32==xx或）例4. 解线性方程组.5573422⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-=++-zyxzyxzyx解先计算系数行列式573411112--=D069556371210≠-=----+-=第（ 2 ）次课授课时间（）第（ 3 ）次课授课时间（）基本内容备注第六节行列式按行（列）展开定义在n阶行列式中，把元素ija所处的第i行、第j列划去，剩下的元素按原排列构成的1-n阶行列式，称为ija的余子式，记为ijM；而ijjiijMA+-=)1(称为ij a的代数余子式.引理如果n阶行列式中的第i行除ija外其余元素均为零，即：nnnjnijnjaaaaaaaDΛΛMMMΛΛMMMΛΛ11111=.则：ijijAaD=.证先证简单情形：nnnnnaaaaaaaDΛMMMΛΛ212222111=再证一般情形：定理行列式等于它的任意一行（列）的各元素与对应的代数余子式乘积之和，即按行：()jiAaAaAajninjiji≠=+++02211Λ按列：()jiAaAaAanjnijiji≠=+++02211Λ证：（此定理称为行列式按行（列）展开定理）nnnniniinaaaaaaaaaDΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ2121112110+++++++++=nnnninnnnnninnnnninaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ211121121211211211112110+++=).,2,1(2211niAaAaAaininiiiiΛΛ=+++=例1：335111243152113------=D.解:例2:21122112----=OOOOnD解:21122112----=OOOOnD2112211121---=+++OOOOΛn rr1+=nDn.从而解得1+=nDn.例3．证明范德蒙行列式112112222121111---=nnnnnnnxxxxxxxxxDΛΛΛΛΛΛΛΛ()1i jn i jx x≥>≥=-∏.其中，记号“∏”表示全体同类因子的乘积.证用归纳法因为=-==1221211xxxxD()21i ji jx x≥>≥-∏所以，当2=n n=2时，（4）式成立.现设（4）式对1-n时成立，要证对n时也成立.为此，设法把n D降阶；从第n行开始，后行减去前行的1x倍，有()()()()()()21311221331122222133111111nn nnn n nn nx x x x x xx x x x x x x x xDx x x x x x x x x---------=---LLLL L L LL（按第一列展开，并提出因子1xxi-）第（ 4 ）次课授课时间（）第（5）次课授课时间（）基本内容备注第一节矩阵一、矩阵的定义称m行、n列的数表mnmmnnaaaaaaaaaΛΛΛΛΛΛΛ212222111211为nm⨯矩阵，或简称为矩阵；表示为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mnmmnnaaaaaaaaaAΛΛΛΛΛΛΛ212222111211或简记为nmijaA⨯=)(,或)(ijaA=或n m A⨯；其中ij a表示A中第i行，第j列的元素。
线性代数电子教案
线性代数电子教案一、引言1.1 课程介绍线性代数的定义和意义课程目标和学习内容1.2 电子教案的特点互动性和趣味性自主学习和协作学习1.3 软件使用说明软件安装和运行功能介绍和操作指南二、行列式2.1 行列式的定义和性质行列式的概念行列式的计算规则2.2 行列式的计算方法按行(列)展开拉普拉斯展开2.3 克莱姆法则克莱姆法则的原理克莱姆法则的应用三、矩阵3.1 矩阵的定义和运算矩阵的概念和表示矩阵的加法和数乘3.2 矩阵的逆矩阵的逆的定义和性质矩阵的逆的计算方法3.3 矩阵的特殊类型单位矩阵对角矩阵零矩阵四、向量空间4.1 向量空间的概念向量空间的基本性质向量空间的子空间4.2 向量的线性相关性线性相关的定义和判定线性无关的性质和应用4.3 基底和坐标基底的概念和选择向量的坐标表示和转换五、线性方程组5.1 线性方程组的解法高斯消元法克莱姆法则5.2 齐次线性方程组齐次线性方程组的解集自由变量和特解5.3 非齐次线性方程组非齐次线性方程组的解法常数变易法和待定系数法六、特征值和特征向量6.1 特征值和特征向量的定义矩阵的特征值和特征向量的概念特征多项式的定义和求解6.2 特征值和特征向量的计算特征值和特征向量的求解方法矩阵的对角化6.3 特征值和特征向量的应用矩阵的相似对角化实对称矩阵和正交矩阵七、二次型7.1 二次型的定义和标准形二次型的概念二次型的标准形7.2 配方法和正定性配方法的应用二次型的正定性判定7.3 惯性定理和二次型的几何意义惯性定理的表述和证明二次型在几何上的意义八、向量空间的同构8.1 向量空间的同构概念同构的定义和性质同构的判定条件8.2 线性变换和矩阵线性变换的概念和性质线性变换与矩阵的关系8.3 线性变换的图像和核线性变换的图像线性变换的核（值域）九、特征空间和最小二乘法9.1 特征空间的概念特征空间的定义和性质特征空间的维数9.2 最小二乘法原理最小二乘法的定义和目标最小二乘法的应用9.3 最小二乘法在线性回归中的应用线性回归问题的最小二乘解回归直线的性质和分析十、线性代数在实际应用中的案例分析10.1 线性代数在工程中的应用结构力学中的矩阵方法电路分析中的节点电压和回路电流10.2 线性代数在计算机科学中的应用计算机图形学中的矩阵变换机器学习中的线性模型10.3 线性代数在其他学科中的应用物理学中的旋转和变换经济学中的线性规划十一、矩阵分解11.1 矩阵分解的概念矩阵分解的意义和目的矩阵分解的类型11.2 LU分解LU分解的定义和算法LU分解的应用和优点11.3 QR分解QR分解的定义和算法QR分解的应用和优点十二、稀疏矩阵12.1 稀疏矩阵的定义和性质稀疏矩阵的概念稀疏矩阵的存储和运算12.2 稀疏矩阵的应用稀疏矩阵在科学计算中的应用稀疏矩阵在数据挖掘中的应用12.3 稀疏矩阵的优化算法稀疏矩阵的压缩技术稀疏矩阵的快速运算算法十三、线性代数在图像处理中的应用13.1 图像处理中的线性代数概念图像的矩阵表示图像变换和滤波13.2 图像增强和复原图像增强的线性方法图像复原的线性模型13.3 图像压缩和特征提取图像压缩的线性算法图像特征提取的线性方法十四、线性代数在信号处理中的应用14.1 信号处理中的线性代数概念信号的矩阵表示和运算信号处理的基本算法14.2 信号滤波和降噪信号滤波的线性方法信号降噪的线性模型14.3 信号的时频分析信号的傅里叶变换信号的小波变换十五、线性代数的现代观点15.1 向量空间和线性变换的公理化向量空间和线性变换的公理体系向量空间和线性变换的分类15.2 内积空间和谱理论内积空间的概念和性质谱理论的基本原理15.3 线性代数在数学物理中的作用线性代数在微分方程中的应用线性代数在量子力学中的应用重点和难点解析本文档详细地介绍了线性代数的主要知识点，旨在帮助学生更好地理解和掌握线性代数的基础理论知识和应用能力。
线性代数电子教案1
第3节 非齐次线性方程组下面先讨论非齐次线性方程组解的结构。
对于非齐次线性方程组（4-1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⋯++⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯=+⋯++=+⋯++。
，m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212*********, 记⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯=mn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋯=n x x x x 21，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋯=m b b b b 21.则线性方程组(4-1)可记为Ax=b.齐次线性方程组（4-5）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⋯++⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯=+⋯++=+⋯++.00,0221122221211212111n mn m m nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a ， 可记为Ax=0.我们把方程组（4-5）称为与方程组（4-1）对应的齐次线性方程组。
非齐次线性方程组（4-1）的解有下面性质：性质1 设1η=x 及1η=x 都是方程组（4-1）的解，则21ηη-=x 是其对应的齐次方程组（4-5）的解.证 0)(2121=-=-=-b b A A A ηηηη,即21μη-=x 是（4-5）的解.性质2 设η=x 是(4-1)的解,ξ=x 是(4-5)的解,则ηξ+=x 是(4-1)的解.证 b b A A A =+=+=+0)(ηξηξ,即ηξ+=x 是(4-1)的解.由性质1知,若求得(4-1)的一个解特*η,则(4-1)的任一解x 总可以表示为)(*η-=x x +*η=*ηξ+，其中*ηξ-=x 为方程组（4-5）的解，即方程组（4-1）的任一解都可以表示为它的一个特定解*η与它对应的齐次方程组的解的和。
又若方程组（4-5）的通解为：r n r n k k k x --+⋯++=ξξξ2211.则方程组（4-1）的任意解总可以表示为：*2211ηξξξ++⋯++=--r n r n k k k x 。
线性代数教案全(同济大学第六版)
线性代数教案第（1）次课授课时间（）基本内容备注第一节二、三阶行列式的定义一、二阶行列式的定义从二元方程组的解的公式,引出二阶行列式的概念。
设二元线性方程组⎩⎨⎧=+=+22222211212111bxaxabxaxa用消元法,当021122211≠-aaaa时,解得211222111212112211222112121221,aaaababaxaaaababax--=--=令2112221122211211aaaaaaaa-=,称为二阶行列式 ,则如果将D中第一列的元素11a,21a换成常数项1b,2b ,则可得到另一个行列式,用字母1D表示,于是有2221211ababD=按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和：212221abab-,这就是公式（2）中1x的表达式的分子。
同理将D中第二列的元素a 12,a 22换成常数项b1,b2 ,可得到另一个行列式,用字母2D表示,于是有2121112babaD=按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和：121211baba-,这就是公式（2）中2x的表达式的分子。
于是二元方程组的解的公式又可写为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==DDxDDx2211其中0≠D例1.解线性方程组.1212232121⎪⎩⎪⎨⎧=+=-xxxx同样,在解三元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa时,要用到“三阶行列式”,这里可采用如下的定义.二、三阶行列式的定义设三元线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa用消元法解得定义设有9个数排成3行3列的数表333231232221131211aaaaaaaaa记333231232221131211aaaaaaaaaD=322113312312332211aaaaaaaaa++=332112322311312213aaaaaaaaa---,称为三阶行列式,则三阶行列式所表示的6项的代数和,也用对角线法则来记忆：从左上角到右下角三个元素相乘取正号,从右上角到左下角三个元素取负号,即例2. 计算三阶行列式243122421----=D.(-14)例3. 求解方程094321112=xx（32==xx或）例4. 解线性方程组.5573422⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-=++-zyxzyxzyx解先计算系数行列式573411112--=D069556371210≠-=----+-=再计算321,,DDD第（ 2 ）次课授课时间（）第（ 3 ）次课授课时间（）基本内容备注第5节行列式按行（列）展开定义在n阶行列式中，把元素ija所处的第i行、第j列划去，剩下的元素按原排列构成的1-n阶行列式，称为ij a的余子式，记为ijM；而ijjiijMA+-=)1(称为ij a的代数余子式.引理如果n阶行列式中的第i行除ija外其余元素均为零，即：nnnjnijnjaaaaaaaD11111=.则：ijijAaD=.证先证简单情形：nnnnnaaaaaaaD212222111=再证一般情形：定理行列式等于它的任意一行（列）的各元素与对应的代数余子式乘积之和，即按行：()jiAaAaAajninjiji≠=+++02211按列：()jiAaAaAanjnijiji≠=+++02211证：（此定理称为行列式按行（列）展开定理）nnnniniinaaaaaaaaaD2121112110+++++++++=nnnninnnnnninnnnninaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa211121121211211211112110+++=).,2,1(2211niAaAaAaininiiii=+++=例1：335111243152113------=D.解:例2:21122112----=nD解: 21122112----=n D 211221100121---=+++nr r1+=n D n .从而解得 1+=n D n .例3．证明范德蒙行列式112112222121111---=n nn n nnn x x x x x x x x x D()1i j n i j x x ≥>≥=-∏.其中，记号“∏”表示全体同类因子的乘积.证 用归纳法因为 =-==1221211x x x x D ()21i j i j x x ≥>≥-∏ 所以，当2=n n=2时，（4）式成立.现设（4）式对1-n 时成立，要证对n 时也成立.为此，设法把nD 降阶；从第n 行开始，后行减去前行的1x 倍，有()()()()()()213112213311222221331111110000n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x D x x x x x x x x x ---------=---（按第一列展开，并提出因子1x x i -）行列式一行（列）的各元素与另一行（列）对应第（ 4 ）次课授课时间（）第（5）次课授课时间（）基本内容备注第一节矩阵一、矩阵的定义称m行、n列的数表mnmmnnaaaaaaaaa212222111211为nm⨯矩阵，或简称为矩阵；表示为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211或简记为nmijaA⨯=)(,或)(ijaA=或n m A⨯；其中ij a表示A中第i行，第j列的元素。
(完整word版)线性代数教案
线性代数课程教案学院、部系、所授课教师课程名称线性代数课程学时45学时实验学时教材名称年月日线性代数课程教案授课类型 理论课 授课时间 3 节授课题目（教学章节或主题）：第一章 行列式§1 二阶与三阶行列式 §2 全排列及其逆序数 §3 n 阶行列式的定义 §4 对换本授课单元教学目标或要求：1. 会用对角线法则计算2阶和3阶行列式。
2. 知道n 阶行列式的定义。
本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）： 基本内容：行列式的定义 1. 计算排列的逆序数的方法设12n p p p 是1,2,,n 这n 个自然数的任一排列，并规定由小到大为标准次序。
先看有多少个比1p 大的数排在1p 前面，记为1t ； 再看有多少个比2p 大的数排在2p 前面，记为2t ； ……最后看有多少个比n p 大的数排在n p 前面，记为n t ； 则此排列的逆序数为12n t t t t =+++。
2. n 阶行列式1212111212122212()12(1)n n n n t p p np p p p n n nna a a a a a D a a a a a a ==-∑其中12n p p p 为自然数1,2,,n 的一个排列，t 为这个排列的逆序数，求和符号∑是对所有排列12()n p p p 求和。
n 阶行列式D 中所含2n 个数叫做D 的元素，位于第i 行第j 列的元素ij a ，叫做D 的(,)i j 元。
3. 对角线法则：只对2阶和3阶行列式适用1112112212212122a a D a a a a a a ==-111213212223112233122331132132313233132231122133112332a a a D a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ==++---重点和难点：理解行列式的定义行列式的定义中应注意两点：(1) 和式中的任一项是取自D 中不同行、不同列的n 个元素的乘积。
《线性代数电子教案》课件
《线性代数电子教案》PPT课件第一章：线性代数简介1.1 线性代数的意义和应用解释线性代数的概念和重要性探讨线性代数在工程、物理、计算机科学等领域的应用1.2 向量和空间定义向量及其几何表示介绍向量的运算，如加法、减法、数乘和点积1.3 矩阵和矩阵运算介绍矩阵的定义和基本性质探讨矩阵的运算，如加法、减法、数乘和乘法第二章：线性方程组2.1 线性方程组的定义和性质解释线性方程组的含义和基本性质探讨线性方程组的解的存在性和唯一性2.2 高斯消元法介绍高斯消元法的原理和步骤演示高斯消元法的具体操作过程2.3 矩阵的逆定义矩阵的逆及其性质探讨矩阵的逆的求法和应用第三章：矩阵的特征值和特征向量3.1 特征值和特征向量的定义解释特征值和特征向量的概念探讨特征值和特征向量的性质和关系3.2 矩阵的特征值和特征向量的求法介绍求解矩阵的特征值和特征向量的方法演示求解矩阵的特征值和特征向量的具体过程3.3 矩阵的对角化定义矩阵的对角化及其条件探讨矩阵对角化的方法和应用第四章：向量空间和线性变换4.1 向量空间的概念和性质解释向量空间的概念和基本性质探讨向量空间的基、维数和维度4.2 线性变换的定义和性质定义线性变换及其性质探讨线性变换的矩阵表示和特征值4.3 线性变换的图像和应用介绍线性变换的图像和性质探讨线性变换在图像处理等领域的应用第五章：行列式和矩阵的秩5.1 行列式的定义和性质解释行列式的概念和基本性质探讨行列式的计算方法和性质5.2 矩阵的秩的定义和性质定义矩阵的秩及其性质探讨矩阵的秩的求法和应用5.3 矩阵的逆和行列式的关系探讨矩阵的逆和行列式之间的关系演示利用行列式和矩阵的秩解决实际问题的方法第六章：二次型和正定矩阵6.1 二次型的定义和性质解释二次型的概念和基本性质探讨二次型的标准形和判定方法6.2 矩阵的正定性和二次型的应用定义正定矩阵及其性质探讨正定矩阵的判定方法和应用6.3 二次型的最小二乘法介绍最小二乘法的原理和步骤演示最小二乘法在实际问题中的应用第七章：特征值和特征向量的应用7.1 特征值和特征向量在控制理论中的应用探讨特征值和特征向量在控制理论中的重要作用演示利用特征值和特征向量分析线性系统的稳定性7.2 特征值和特征向量在信号处理中的应用解释特征值和特征向量在信号处理中的重要性探讨利用特征值和特征向量进行信号降噪等处理的方法7.3 特征值和特征向量在图像处理中的应用介绍特征值和特征向量在图像处理中的作用演示利用特征值和特征向量进行图像降维和特征提取的方法第八章：向量空间的同构和商空间8.1 向量空间的同构定义向量空间的同构及其性质探讨同构的判定方法和性质8.2 向量空间的商空间解释向量空间的商空间的概念和性质探讨商空间的构造和运算规则8.3 向量空间的同构和商空间的应用探讨向量空间的同构和商空间在数学和物理学中的应用演示利用同构和商空间解决实际问题的方法第九章：线性代数在优化问题中的应用9.1 线性代数在线性规划中的应用解释线性规划问题的概念和基本性质探讨利用线性代数方法解决线性规划问题的方法9.2 线性代数在非线性优化中的应用介绍非线性优化问题的概念和基本性质探讨利用线性代数方法解决非线性优化问题的方法9.3 线性代数在机器学习中的应用解释机器学习中的线性代数方法探讨利用线性代数方法进行数据降维、特征提取和模型构建的方法第十章：总结和拓展10.1 线性代数的核心概念和定理总结线性代数的核心概念和定理强调其在数学和科学研究中的重要性10.2 线性代数的拓展学习和研究方向介绍线性代数的拓展学习和研究方向鼓励学生积极探索线性代数的应用和创新10.3 线性代数的练习和参考资源提供线性代数的练习题和解答推荐相关的参考书籍和在线资源，供学生进一步学习和参考重点和难点解析重点一：向量和空间的概念及运算向量是线性代数的基本元素，其运算包括加法、减法、数乘和点积。
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线性代数教案一、教学目标通过本节课的学习，学生应能够：1. 了解线性代数的基本概念和相关术语；2. 理解线性方程组和矩阵的概念、性质和运算规则；3. 掌握矩阵的基本运算，包括矩阵的加法、数乘和矩阵乘法；4. 能够求解线性方程组，并应用到实际问题中。
二、教学重点与难点1. 教学重点：线性方程组和矩阵的概念及其运算规则；2. 教学难点：矩阵乘法的理解和应用。
三、教学过程1. 导入（5分钟）引入线性代数的概念，向学生介绍线性方程组和矩阵的相关背景知识，并激发学生的学习兴趣。
2. 理论讲解（20分钟）2.1 线性方程组的定义和解法- 介绍线性方程组的概念以及线性方程组的解的定义；- 分析线性方程组解的情况：无解、唯一解和无穷解；- 通过实例讲解线性方程组解的求解方法。
2.2 矩阵的定义和性质- 介绍矩阵的基本概念和符号表示方法；- 讲解矩阵的加法、数乘以及矩阵乘法的规则；- 引导学生理解矩阵乘法的几何意义。
3. 实例分析与练习（25分钟）3.1 线性方程组的求解实例- 给出一些线性方程组的实际问题，引导学生运用所学知识解决；- 指导学生使用矩阵运算进行线性方程组的求解。
3.2 矩阵运算实例- 给出一些矩阵的实际运用问题，让学生通过实例进行练习；- 帮助学生熟练掌握矩阵的加法、数乘和矩阵乘法。
4. 拓展延伸（15分钟）通过引导学生思考，结合线性代数在实际问题中的应用，进一步拓展学生的知识面。
5. 归纳总结（10分钟）对本节课所学内容进行总结，强化学生对线性代数的理解和掌握。
四、教学评价1. 在教学过程中，观察学生的学习状态，及时给予指导和帮助；2. 布置相关习题，检验学生对所学知识的掌握情况；3. 根据学生的表现进行评价，及时给予反馈和指导。
五、教学资源准备1. 教材和课件；2. 相关实例分析的教学素材；3. 学生练习题、作业等。
总结：通过本节课的教学，学生能够理解线性代数的基本概念和相关术语，掌握线性方程组和矩阵的运算规则，并能够应用所学知识解决实际问题。
线性代数电子教案
3.三阶行列式定义:式的左边称为三阶行列式（3-th determinant ），通常也记为∆.在∆中,横的称为行（row ），纵的称为列（column ），其中a ij （i ，j =1，2，3）是数，称它为此行列式的第i 行第j 列的元素.式的右边称为三阶行列式的展开式.利用二阶行列式可以把展开式写成:323122211333312321123332232211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +-= 若记 3332232211a a a a M =, 3331232112a a a a M =, 3231222113a a a a M =, 111111)1(M A +-=, 122112)1(M A +-=, 133113)1(M A +-=则有 131312121111333231232221131211A a A a A a a a a a a a a a a ++==∆ 其中 j A 1称为元素j a 1的代数余子式(algebraic complement minor)(3,2,1=j ),j M 1称为元素j a 1的余子式(complement minor),它是∆中划去元素j a 1所在的行、列后所余下的元素按原位置组成的二阶行列式.4.三元线性方程组的解法:引进了三阶行列式, 对于三元线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 的解就可写成: ∆∆=11x ∆∆=22x ∆∆=33x .称也为方程组（1—4）的系数行列式,它是由未知数的所有系数组成的行列式, j ∆(j =1,2,3)是将∆的第j 列换成常数列而得到的三阶行列式。
5.三阶行列式对角线法则计算法则:如图1—1.例1 计算三阶行列式312213332112322311322113312312332211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++=。
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编制 主讲
林淑容
四川农业大学生命科学与理学院
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第0章 前 言 第一章 行 列 式 第二章 矩 阵
第三章 n维向量及其线性相关性
第四章 线性方程组 第五章 二 次 型
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第0章 前 言
☞本课程的性质、作用和任务 ☞学习线性代数的具体要求、重点和难点 ☞线性代数的学习方法
4、线性方程组
(1)切实理解消去法和矩阵的初等变换的关系，熟悉高斯消 去法； (2)理解和掌握矩阵的秩，会用初等变换及行列式来求秩； (3)牢固掌握线性方程组有解的判别定理； (4)正确理解和掌握齐次及非齐次线性方程组解的结构；
重点是矩阵的初等变换、线性方程组的解法 及有解判定法。
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本课程的性质、作用和任务
一、关于《线性代数》 线性代数基本上是讨论矩阵与和矩阵结合
的有限维向量空间及其线性变换理论的一门学 科。它的主要理论成熟于十九世纪，而其第一 块基石，二、三元线性方程组的解法，则早在 两千年前，即见于我国古代数学名著《九章算 术》，这使我们引以自豪。
学习线性代数的具体要求、重点和难点
4、对称矩阵与二次型
(1)掌握二次型的概念及二次型与对称矩阵之间的一一对应关系； (2)掌握二次型经非退化线性变换后仍为二次型； (3)理解二次型的标准形及掌握化二次型为标准形的方法； (4)理解实数域上二次型的标准形（规范形）唯一性及意义； (5)掌握正定二次型的概念，并掌握其判别法； (6)深刻理解矩阵的相似、特征值、特征向量的概念，并掌握求矩 阵特征多项式、特征值、特征向量的理论步骤和方法以及可对角 化的条件。
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学习线性代数的具体要求、重点和难点
（3）理解向量空间的定义，理解向量空间的基、维数的 概念，掌握内积的概念。
重点是利用初等变换方法求出线性代数方程 组的通解。难点是判断向量组的线性相关性和如 何求向量组的极大线性无关向量组和向量组的秩。
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学习线性代数的具体要求、重点和难点
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本课程的性质、作用和任务
由于线性代数在数学、力学、物理学和技术 科学中有各种重要应用，因而它现在还在各种代 数分枝中占居首要地位。
不仅如此，该学科所体现的几何观念与代 数方法之间的联系，从具体概念抽象出来的公 理化方法，以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳 综合等，对强化人们的数学训练，增益科学智 能都是非常有用的。
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本课程的性质、作用和任务
2、特殊与一般
就我们研究问题来说，或者说就我们
的认识来看，总是由认识个别和特殊的事物，逐步地扩大
到认识一般的事物。数学更不例外。对于解析几何中的二
次曲线、二次曲面的标准形研究问题，是我们大家所熟知
的问题，而且有它明显的几何直观意义。对于这样一个问
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学习线性代数的具体要求、重点和难点 重点是化二次型为标准形和正定二次型的性质。 难点是惯性定理及正交法。
4、教材体系 不同教本采用不同体系，如线性方 程组、行列式、矩阵----，各书出现的先后不同， 起的作用就不一样，这给初学者阅读参考书时增加 了困难。
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学习线性代数的具体要求、重点和难点 1、行列式 (1)掌握n阶行列式的概念；
(2)会运用行列式性质降阶和三角化并能综合运用，熟练 地计算数字行列式，并初步掌握计算字母行列式； (3)掌握克莱姆法则，并会用它们来解线性方程组。
重点是行列式的性质与计算。难点是n阶字 母行列式的计算。
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学习线性代数的具体要求、重点和难点
2、矩 阵
(1)熟练掌握矩阵的代数运算及性质； (2)掌握可逆矩阵的概念及其判别条件； (3)掌握矩阵乘积行列式与秩的定理； (4)掌握初等矩阵的概念及其与初等变换的关系，初等 矩阵与可逆矩阵的关系及其用初等变换求逆矩阵的理 论与方法。
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本课程的性质、作用和任务
时至今日，多种专业人员都需要学习线性代 数，还出于一个重要原因：随着科学技术的迅速发 展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要更 进一步研究多个变量之间的关系。各种实际问题 (不少是非线性的)大多数情况下，可以线性化，而 由于电子计算机科学的高度发展，线性化的问题又 可计算出来。线性代数正是解决这些问题的有力工 具。所以这门学科身价百倍，正保其青春活力。
重点是矩阵的乘积运算及求逆矩阵。
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学习线性代数的具体要求、重点和难点
3、n维向量及其线性相关性
（1）理解n维向量的概念及运算规则，清楚了解向量组的线 性相关性的定义，会判断向量组的线性相关性，准确理解向 量组的极大线性无关向量组和向量组的秩的概念，会求向量 组的最大线性无关向量组和向量组的秩； （2）掌握齐次线性方程组有非零解的充要条件，非齐次线 性方程组有解的充要条件，理解齐次线性方程组的基础解系 的概念，正确理解并掌握线性代数方程组解的性质及解的结 构，能够利用初等变换方法求出线性代数方程组的通解。
题，我们怎样抽象到n维空间的一个一般问题呢？这在线
性代数理论，就产生了有关二次型的研究。在二次型的研
究方法中，我们采用了解析几何中二次曲线、二次曲面化
标准形的一些具体的直观的科学与理学院
本课程的性质、作用和任务
3、计算与论证 计算是按一定公式、法则机械地进 行的。多数人容易学会；而探索一个论证要不断进 行分析综合，弄不好便走错路。线性代数中大量需 要论证，而且用到刚学过的比较抽象的概念。
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本课程的性质、作用和任务
1、具体与抽象 线性代数运用所谓公理化的研究 方法，即把数学对象归类，从不同质的具体事物 或过程中抽取共同的量的关系，作为最基本的公 理、性质(定义)，再从这里出发，采取统一的观 点与方法，进行演绎推理等等，揭示和研究其新 的性质。例如向量空间这个概念，就是从大量实 例中抽象出来的。可以说，抽象程度越高，则概 括程度越强，适用范围就越广，但也就不容易理 解深透。