高考球问题球的表面积和体积
球的表面积和体积公式关系
球的表面积和体积公式关系
标题，探究球的表面积和体积公式之间的关系。
在数学中，球体是一种非常基本的几何体，它的表面积和体积
是我们经常需要计算的量。
球的表面积和体积公式之间存在着一种
有趣的关系，通过探究这种关系，我们可以更深入地理解球体的性
质和数学公式之间的联系。
首先，让我们来回顾一下球的表面积和体积公式。
球的表面积
公式为4πr²，其中r为球的半径。
而球的体积公式为(4/3)πr³。
这两个公式分别描述了球体的外部和内部特征，表面积描述了球体
外部的面积，而体积描述了球体内部的容积。
有趣的是，这两个公式之间存在着一种简单而美妙的关系。
通
过对球的表面积公式进行微积分，我们可以推导出球的体积公式。
具体而言，我们可以通过对球体的表面积公式进行微分运算，得到
的结果恰好是球的体积公式。
这种关系揭示了球的表面积和体积之
间的内在联系，同时也展示了微积分在几何学中的应用。
这种关系的发现不仅仅是数学上的一个有趣发现，更重要的是，
它揭示了数学中不同概念之间的内在联系。
通过这种关系，我们可以更深入地理解球体的性质，同时也能够更加灵活地运用数学公式解决实际问题。
总之，球的表面积和体积公式之间存在着一种微妙的关系，通过对这种关系的探究，我们可以更深入地理解球体的性质，同时也能够更加灵活地运用数学公式解决实际问题。
这种关系不仅仅是数学上的一个有趣发现，更重要的是，它揭示了数学中不同概念之间的内在联系，为我们理解数学世界提供了更多的视角和启发。
球的表面积和体积
球的表面积和体积1．球的表面积公式：S球面＝4πR2(R为球半径) 2．球的体积公式：V球＝43πR3(R为球半径)球的表面积和体积的计算过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，已知此截面的面积为12π cm2，试求此球的表面积．若截面不过球的半径的中点，而是过半径上与球心距离为1的点，且截面与此半径垂直，若此截面的面积为π，试求此球的表面积和体积．球的表面积及体积的应用一个倒立圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在此容器内注入水并且放入一个半径为r 的铁球，这时水面恰好和球面相切，问将球从圆锥内取出后，圆锥内水面的高是多少？圆柱形容器的内壁底面半径为5 cm，两个直径为5 cm的玻璃小球都浸没于容器的水中，若取出这两个小球，则容器的水面将下降多少？有关球的切、接问题求棱长为a的正四面体P—ABC的外接球，内切球的体积．有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体各条棱都相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．一个球内有相距9 cm的两个平行截面，面积分别为49π cm2和400π cm2，求球的表面积．基础训练1．若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于( )A.12B．1C．2 D．32．用过球心的平面将一个球平均分成两个半球，则两个半球的表面积是原来整球表面积的________倍．3．过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，已知此截面的面积为48π cm 2，试求此球的表面积和体积．4．正方体的表面积与其外接球表面积的比为( )A ．3∶π B．2∶πC．1∶2π D．1∶3π5．(2013·温州高一检测)长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )A ．25π B．50πC．125π D．都不对4．把3个半径为R 的铁球熔成一个底面半径为R 的圆柱，则圆柱的高为( )A ．RB ．2RC ．3RD ．4R6．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．πa 2 B.73πa 2C.113πa 2 D ．5πa 2 7．圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径是________cm.提高训练．1.一只小球放入一长方体容器内，且与共点的三个面相接触．若小球上一点到这三个面的距离分别为4、5、5，则这只小球的半径是 （ ）A ．3或8B ．8或11C ．5或8D ．3或112.已知A 、B 、C 是球O 的球面上三点，三棱锥O ABC -的高为22,且ABC ∠=60º ，AB =2， BC =4，则球O 的表面积为( )A ． 24π B.32π C. 48π D.192π3.一几何体的三视图如右图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角形，直角边长为1，则该几何体外接球的表面积为（ ）A ．4πB ．π3C ．π2D ．π4. 将半径都为１的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为 ( ) A.3263+ B. 2+263 C. 4+263 D. 43263+5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的球面面积为（ ）A .5πB .12πC .20πD .8π6.【江西省抚州市临川一中2015届高三10月月考】已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中俯视图是边长为6的正三角形，若这个空间几何体存在唯一的一个内切球（与该几何体各个面都相切），则这个几何体的全面积是（ ）A ． 18B ．36C ． 45D ． 547.【浙江省重点中学协作体2015届第一次适应性训练】一几何体的三视图如右图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角形，直角边长为1，则该几何体外接球的表面积为（ ）A ． 4πB ．π3C ．π2D ．π8.【山西省大同市2015届高三学情调研测试】设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）A.2a πB. 237a πC. 2311a π D. 25a π9.【四川省成都实验外国语高2015届高三11月月考】某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的表面积为( )A .3πB .π4C .π2D .π2510. 【全国高考新课标（I ）理】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )A 、500π3cm 3 B 、866π3cm 3 C 、1372π3cm 3 D 、2048π3cm 311. 矩形ABCD 中，4,3,AB BC ==沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --,则四面体ABCD 的外接球的体积是( ) A.π12125 B.π9125 C.π6125 D.π3125 12.在半径为R 的球内放入大小相等的4个小球，则小球半径r 的最大值为（ ） A. (2－1)R B . (6－2)R C. 1 4R D. 1 3R13. 一个平面截一个球得到直径是6的圆面，球心到这个平面的距离是4，则该球的体积是 .14.三棱锥P ABC -的四个顶点均在同一球面上，其中ABC ∆是正三角形，PA ⊥平面ABC ，26PA AB ==，则该球的体积是 .15.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是16. 四棱锥ABCD P -的五个顶点都在一个球面上，且底面ABCD 是边长为1的正方形，ABCD PA ⊥，2=PA ，则该球的体积为 _ ．17. 过球O 表面上一点A 引三条长度相等的弦AB 、AC 、AD ，且两两夹角都为︒60，若球半径为R ，求弦AB 的长度．19. 【改编自浙江高考题】已知球O 的面上四点A 、B 、C 、D ，DA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，DA=AB=BC=3，求球O 的体积.20. 【改编自山东高考题】在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2，0DAB=60∠，E 为AB 的中点，将ADE ∆与BEC ∆分布沿ED 、EC 向上折起，使A B 、重合于点P ，求三棱锥P-DCE 的外接球的体积.21. 一个正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为3，五个顶点都在同一个球面上，求此球的表面积.22. 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的61，经过3个点的小圆的周长为π4，求这个球的半径．。
高中数学知识点精讲精析 球的表面积和体积
球的表面积和体积（1）将一个底面半径R 高为R 的圆柱中心挖去一个等底等高的圆椎.剩下的部分与一个半球用平面去割时处处面积相等.等出它们体积相等的结论.而那个被挖体的体积好求.就是半球体积了.V ＝2/3πR^3 .因此一个整球的体积为4/3πR^3 球是圆旋转形成的.圆的面积是S=πR^2，则球是它的积分，根据积分公式可求相应的球的体积公式是V=4/3πR^3（2）球的表面积公式，依照纬线把球分成许多个圆台，所有圆台侧面积之和即球的表面积：4πr2.例1.（04 年辽宁卷.10）设A .B .C .D 是球面上的四个点，且在同一平面内，AB =BC =CD =DA =3，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是（ ）A B C D解析：由已知可得，A .B .C .D 在球的一个小圆上.∵ AB =BC =CD =DA =3， ∴ 四边形ABCD 为正方形. ∴ 小圆半径点评：解答球体中相关计算，一定要牢记球的截面性质 R 2 = r 2 + h 2 ，体积和表面积公式.例2.推导球的表面积公式. 解析：设球O 的半径为R ，我们把球面任意分割为一些“小球面片”，它们的面积分别用表示，则球的表面积 以这些“小球面片”为底，球心为顶点的“小锥体”的体积和等于求的体积，这些“小锥体”可近似地看成棱锥，“ 小锥体”的底面积可近似地等于“小锥体”的底面积，球的半径R 近似地等于小棱锥的高.因此，第i 个小棱锥的体积，当“小锥体”的底面非常小时，“ 小锥体”的底面几乎是“平的”，于是球的体积为：π68π664π224π272323=r A.68)6(34346,)2()223(23222222所以选球的体积解得得由πππ===∴=+=+=R V R R R h r R ,,,,21i S S S ∆∆∆.21 +∆++∆+∆=i S S S S i S ∆i h i i i h V S 31∆⋅=（例2题图）点评：我们也可以类似以上极限分割，利用球的表面积公式推导球的体积公式. 若把半球中垂直于底面的半径OA 作n 等分，经过这些等分点，用一组平行于底面的平面把半球切割成n 层，每一层都近似于一个圆柱形的“薄圆片”， 这些“薄圆片”的体积之和就是半球的体积. 由于“薄圆片”近似于圆柱形状，它的体积近似于相应的圆柱的体积，从而把半球的体积化归为无限个圆柱的体积之和. 探究的关键都是先极限分割，然后求和.例3. A.B.C 是球面上三点，已知弦AB=18cm ，BC=24cm ，AC=30cm ，平面ABC 与球心O 的距离恰好为球半径的一半，求球的面积．（例3题图）解析：AB 2+BC 2=AC 2，ABC 为直角三角形， ABC 的外接圆O 1的半径r=15cm ， 因圆O 1即为平面ABC 截球O 所得的圆面，因此有R 2=（）2+152， R 2=300，S 球=4R 2=1200（cm 2）.∆∴∆∴2R ∴∴ππ。
球体的表面积和体积计算
球体的表面积和体积计算球体是一种简单而常见的几何图形，它具有很多独特的性质和特点。
在数学和物理学中，计算球体的表面积和体积是一个基本而重要的问题。
在本文中，我们将介绍如何准确计算球体的表面积和体积。
一、球体的表面积计算公式要计算球体的表面积，我们可以使用以下公式：S = 4πr²其中，S表示球体的表面积，π是圆周率（约为3.14159），r是球体的半径。
这个公式的推导过程较为复杂，我们可以简单解释一下。
我们可以将球体看作由无数微小的面元组成，每个面元都是一个微小的圆形。
球体的表面积就是这些微小圆形的面积之和。
而每个微小圆形的半径都等于球体的半径r，因此我们可以将每个微小圆形的面积表示为πr²。
最后，将所有的微小圆形面积之和即得到了球体的表面积。
二、球体的体积计算公式要计算球体的体积，我们可以使用以下公式：V = (4/3)πr³其中，V表示球体的体积，π是圆周率，r是球体的半径。
这个公式的推导也较为复杂，我们可以简单解释一下。
我们可以将球体看作无数个微小的圆柱体叠加而成。
每个微小圆柱体的体积可以表示为πr²h，其中h是圆柱体的高度，也就是球体半径r对应的微小圆柱体的高度。
由于球体是各向同性的，每个微小圆柱体的高度都等于r。
因此，我们将微小圆柱体的体积表示为πr²r，即πr³。
最后将所有微小圆柱体的体积之和即得到了球体的体积。
三、实例应用假设我们需要计算一个半径为5cm的球体的表面积和体积。
根据上述公式，我们可以按照以下步骤进行计算：1. 计算表面积：S = 4πr²= 4 × 3.14159 × 5²≈ 314.159 cm²2. 计算体积：V = (4/3)πr³= (4/3) × 3.14159 × 5³≈ 523.599 cm³因此，半径为5cm的球体的表面积约为314.159 cm²，体积约为523.599 cm³。
高考数学球的体积和表面积专题(附答案)
高考数学球的体积和表面积专题（附答案）一、单选题1.北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为 36000km （轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O ，半径r 为 6400km 的球，其上点A 的纬度是指 OA 与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为 α ，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为 S =2πr 2(1−cosα) （单位： km 2 ），则S 占地球表面积的百分比约为（ ）A. 26%B. 34%C. 42%D. 50%2.已知△ABC 是面积为 9√34 的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（ ）A. √3B. 32C. 1D. √32 3.已知 A,B,C 为球O 的球面上的三个点，⊙ O 1 为 △ABC 的外接圆，若⊙ O 1 的面积为 4π ， AB =BC =AC =OO 1 ，则球O 的表面积为（ ）A. 64πB. 48πC. 36πD. 32π4.若棱长为 2√3 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）A. 12πB. 24πC. 36πD. 144π5.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）A. 81π4 B. 16π C. 9π D. 27π4二、填空题6.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________．7.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________． 8.如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O 1O 2的体积为V 1 ， 球O 的体积为V 2 ， 则 V 1V 2 的值是________．9.长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为________． 10.已知三棱锥S ﹣ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径，若平面SCA ⊥平面SCB ，SA=AC ，SB=BC ，三棱锥S ﹣ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________．答案一、单选题1. C2. C3. A4. C5. A二、填空题6. √23π7. 9π28. 329. 14 π10. 36π。
球的表面积与体积题型讲解
2)球的体积比等于半径的立方比, 表面积之比等于半径的平方比.
问:若三个球的体积之比为1:8:27,
则它们的半径之比
.
(1) V1:V2=R13:R23; S1:S2=R12:R22.
(3) 解这类问题的关键:找到变化前后半径
的大小关系.
把垂直于底面的半径OA作n 等分，经过这些分点，用一组 平行于底面的平面把半球切割 成n层，每一层的几何体怎样？
R 2.
V 4 R3 4 23 32 ;
3
3
3
A
S 4R2 4 4 16.
O C
O
B
二、截面问题
例6.一球的球面面积为256πcm2，过此球的一条半径 的中点，作垂直于这条半径的截面，求截面圆的 面积.
48π
二、球与多面体的接、切
定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的内接多面体， 这个球是这个多面体的外接球。
D A
D A11
C B
O C1
B1
正方体的外接 球半径是体对 角线的一半
D A
D A1 1
C B
O C1
B1
正方体的棱切球
a
r2
2a 2
2a
1.球与正方体的“接切”问题
例3.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它 的各个顶点都在球O的球面上，问球O的表面积。
D
略 解 ：RtB1 D1 D中 :
a
r1
a 2
a
2
r2 2 a
a
r3
3a 2
a
球的表面积和体积
球的表面积和体积1．球的表面积公式：S球面＝4πR2(R为球半径) 2．球的体积公式：V球＝43πR3(R为球半径)球的表面积和体积的计算过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，已知此截面的面积为12π cm2，试求此球的表面积．若截面不过球的半径的中点，而是过半径上与球心距离为1的点，且截面与此半径垂直，若此截面的面积为π，试求此球的表面积和体积．球的表面积及体积的应用一个倒立圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在此容器内注入水并且放入一个半径为r的铁球，这时水面恰好和球面相切，问将球从圆锥内取出后，圆锥内水面的高是多少？圆柱形容器的内壁底面半径为5 cm，两个直径为5 cm的玻璃小球都浸没于容器的水中，若取出这两个小球，则容器的水面将下降多少？有关球的切、接问题求棱长为a的正四面体P—ABC的外接球，内切球的体积．有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体各条棱都相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．一个球内有相距9 cm的两个平行截面，面积分别为49π cm2和400π cm2，求球的表面积．基础训练1．若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于( )A.12B ．1C ．2D ．3 2．用过球心的平面将一个球平均分成两个半球，则两个半球的表面积是原来整球表面积的________倍．3．过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，已知此截面的面积为48π cm 2，试求此球的表面积和体积．4．正方体的表面积与其外接球表面积的比为( )A ．3∶π B．2∶πC．1∶2π D．1∶3π5．(2013·温州高一检测)长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )A ．25π B．50πC．125π D．都不对4．把3个半径为R 的铁球熔成一个底面半径为R 的圆柱，则圆柱的高为( )A ．RB ．2RC ．3RD ．4R6．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．πa 2B.73πa 2C.113πa 2 D ．5πa 2 7．圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径是________cm.提高训练．1.一只小球放入一长方体容器内，且与共点的三个面相接触．若小球上一点到这三个面的距离分别为4、5、5，则这只小球的半径是 （ ）A ．3或8B ．8或11C ．5或8D ．3或112.已知A 、B 、C 是球O 的球面上三点，三棱锥O ABC -的高为22,且ABC ∠=60º ，AB =2， BC =4，则球O 的表面积为( )A ． 24π B.32π C. 48π D.192π3.一几何体的三视图如右图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角形，直角边长为1，则该几何体外接球的表面积为（ ）A ．4πB ．π3C ．π2D ．π4. 将半径都为１的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为 ( ) A.3263+ B. 2+263 C. 4+263 D. 43263+5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的球面面积为（ ）A .5πB .12πC .20πD .8π6.【江西省抚州市临川一中2015届高三10月月考】已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中俯视图是边长为6的正三角形，若这个空间几何体存在唯一的一个内切球（与该几何体各个面都相切），则这个几何体的全面积是（ ）A ． 18B ．36C ． 45D ． 547.【浙江省重点中学协作体2015届第一次适应性训练】一几何体的三视图如右图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角形，直角边长为1，则该几何体外接球的表面积为（ ）A ． 4πB ．π3C ．π2D ．π8.【山西省大同市2015届高三学情调研测试】设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）A.2a πB.237a π C. 2311a π D. 25a π9.【四川省成都实验外国语高2015届高三11月月考】某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的表面积为( ) A .3π B .π4 C .π2 D .π2510. 【全国高考新课标（I ）理】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )A 、500π3cm 3 B 、866π3cm 3 C 、1372π3cm 3 D 、2048π3cm 311. 矩形ABCD 中，4,3,AB BC ==沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --,则四面体ABCD 的外接球的体积是( ) A.π12125 B.π9125 C.π6125 D.π3125 12.在半径为R 的球内放入大小相等的4个小球，则小球半径r 的最大值为（ ） A. (2－1)R B . (6－2)R C. 1 4R D. 1 3R13. 一个平面截一个球得到直径是6的圆面，球心到这个平面的距离是4，则该球的体积是 .14.三棱锥P ABC -的四个顶点均在同一球面上，其中ABC ∆是正三角形，PA ⊥平面ABC ，26PA AB ==，则该球的体积是 .15.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是16. 四棱锥ABCD P -的五个顶点都在一个球面上，且底面ABCD 是边长为1的正方形，ABCD PA ⊥，2=PA ，则该球的体积为 _ ．17. 过球O 表面上一点A 引三条长度相等的弦AB 、AC 、AD ，且两两夹角都为︒60，若球半径为R ，求弦AB 的长度．19. 【改编自浙江高考题】已知球O 的面上四点A 、B 、C 、D ，DA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，DA=AB=BC=3，求球O 的体积.20. 【改编自山东高考题】在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2，0DAB=60∠，E 为AB 的中点，将ADE ∆与BEC ∆分布沿ED 、EC 向上折起，使A B 、重合于点P ，求三棱锥P-DCE 的外接球的体积.21. 一个正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为3，五个顶点都在同一个球面上，求此球的表面积.22. 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的61，经过3个点的小圆的周长为π4，求这个球的半径．。
球的体积和表面积(附答案)
球得体积与表面积［学习目标］ 1、记准球得表面积与体积公式，会计算球得表面积与体积、2、能解决与球有关得组合体得计算问题、知识点一 球得体积公式与表面积公式1、球得体积公式V ＝４3πR ３(其中R 为球得半径）、 2、球得表面积公式S =４πＲ2、思考 球有底面吗？球面能展开成平面图形吗?答 球没有底面，球得表面不能展开成平面、知识点二 球体得截面得特点１、球既就是中心对称得几何体,又就是轴对称得几何体，它得任何截面均为圆，它得三视图也都就是圆、2、利用球半径、截面圆半径、球心到截面得距离构建直角三角形就是把空间问题转化为平面问题得主要途径、题型一 球得表面积与体积例１ （１)已知球得表面积为64π,求它得体积;（2)已知球得体积为错误!π,求它得表面积、解 (1)设球得半径为R ，则4πＲ2=64π,解得Ｒ=4，所以球得体积Ｖ＝错误!πR ３=错误!π·４3=错误!π、（２)设球得半径为R ,则错误!πR 3=错误!π,解得R ＝5,所以球得表面积Ｓ＝4πR ２＝4π×５2＝100π、跟踪训练1 一个球得表面积就是1６π,则它得体积就是（ )A、64π Ｂ、错误!C、32πD、错误!答案Ｄ解析设球得半径为R,则由题意可知4πR2=16π，故R=2、所以球得半径为2,体积V=错误!πR ３＝＼f(３2,3)π、题型二球得截面问题例２平面α截球O得球面所得圆得半径为1、球心Ｏ到平面α得距离为＼r(2)，则此球得体积为（）A、＼ｒ（6)π Ｂ、４错误!π C、4错误!π D、6错误!π答案 B解析如图，设截面圆得圆心为O′，M为截面圆上任一点,则OO′＝错误!,O′M=１、∴OM=错误!=错误!、即球得半径为３、∴Ｖ=错误!π(错误!)3＝4错误!π、跟踪训练2 已知长方体共顶点得三个侧面面积分别为3，错误!,错误!,则它得外接球表面积为__＿_＿_＿_、答案9π解析如图,就是过长方体得一条体对角线AB得截面，设长方体有公共顶点得三条棱得长分别为x,y,z,则由已知,得错误!解得错误!所以球得半径R＝错误!AB=错误!错误!=错误!,所以S球＝４πR2＝9π、题型三球得组合体与三视图例３ 某个几何体得三视图如图所示,求该几何体得表面积与体积、解 由三视图可知该几何体得下部就是棱长为2得正方体,上部就是半径为１得半球，该几何体得表面积为S =１2×4π×１2＋6×22－π×12=2４＋π、 该几何体得体积为V =2３+＼f （1,2)×43π×1３＝8＋＼f （2π,3)、 跟踪训练３ 有三个球，第一个球内切于正方体,第二个球与这个正方体各条棱相切,第三个球过这个正方体得各个顶点，求这三个球得表面积之比、解 设正方体得棱长为a 、①正方体得内切球球心就是正方体得中心，切点就是正方体六个面得中心，经过四个切点及球心作截面,如图（1)所示,则有2r 1＝a ，即r 1=错误!,所以S 1=4πr 错误!=πａ2、②球与正方体得得各棱得切点在每条棱得中点，过球心作正方体得对角面得截面,如图（2)所示,则2r2=错误!ａ,即r2＝错误!a,所以Ｓ2=4πr错误!＝2πa2、③正方体得各个顶点在球面上，过球心作正方体得对角面得截面,如图(3)所示,则有2r3=＼r(3）a,即r3＝错误!a，所以S3＝4πr错误!=3πａ2、综上可得S1∶S2∶S3＝１∶２∶３、轴截面得应用例4有一个倒圆锥形容器,它得轴截面就是一个正三角形，在容器内部放一个半径为r得铁球,并注入水,使水面没过铁球与球正好相切,然后将球取出，求这时容器中水得深度、分析分别表示出取出铁球前后水得体积→由水得体积不变建立等式→求出所求量、解如图，⊙O就是球得最大截面,它内切于△AＢC,球得半径为ｒ、设将球取出后，水平面在MN处，MN与CD交于点E、则ＤO＝r,ＡＤ=错误!r,AB=AC=ＢC=2错误!r，∴CD＝3r、由图形知V圆锥CE∶Ｖ圆锥CD＝错误!∶错误!=CＥ3∶ＣD3、又∵V圆锥ＣD＝＼f(π,3)（３r)2·3r＝3πｒ３，V圆锥CE＝Ｖ圆锥ＣD-V球Ｏ＝３πr3-错误!πr3=错误!πr3,∴错误!∶3πr3=CE3∶（3ｒ）3,∴ＣE=错误!r、∴球从容器中取出后，水得深度为错误!r、１、直径为6得球得表面积与体积分别就是()A、３6π，144π ﻩＢ、36π，3６πC、144π,3６πD、1４４π,144π2、若球得体积与其表面积数值相等,则球得半径等于（)Ａ、错误!B、1 C、2Ｄ、33、两个半径为1得实心铁球，熔化成一个球,这个大球得半径就是＿＿_＿_＿__、4、若球得半径由R增加为2R,则这个球得体积变为原来得_＿__＿＿_＿倍，表面积变为原来得＿＿______倍、5、某几何体得三视图如图所示,则其表面积为_____＿__、一、选择题1、设正方体得表面积为24,那么其外接球得体积就是( )A、错误!π Ｂ、错误!C、4错误!π D、3２错误!π２、一个正方体得八个顶点都在半径为1得球面上，则正方体得表面积为()A、8B、82Ｃ、８错误!Ｄ、４错误!3、两个球得半径之比为1∶3,那么两个球得表面积之比为( )A、1∶9 Ｂ、1∶27 C、1∶３D、1∶14、设正方体得表面积为24cm２,一个球内切于该正方体，那么这个球得体积就是（)A、６π cm３B、＼f（3２,3）π ｃm３C、＼ｆ(8,3)πcm3D、错误!π cm35、若与球外切得圆台得上、下底面半径分别为r,R,则球得表面积为(）A、4π(ｒ＋R)2ﻩＢ、4πr2Ｒ２Ｃ、4πＲｒD、π（R+ｒ)26、已知底面边长为１，侧棱长为＼r(２)得正四棱柱得各顶点均在同一球面上,则该球得体积为()A、错误!B、4πC、2π Ｄ、错误!π７、如图,有一个水平放置得透明无盖得正方体容器，容器高8 cm,将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为６cｍ,如果不计容器厚度，则球得体积为（）A、错误!cm３B、错误!cm3Ｃ、错误!cm３ﻩD、错误!cm3二、填空题８、一个几何体得三视图(单位：ｍ)如图所示，则该几何体得体积为＿__＿____ m3、9、已知一个正方体得所有顶点在一个球面上、若球得体积为＼ｆ(９π,2),则正方体得棱长为＿＿___、10、正四棱锥得顶点都在同一球面上,若该棱锥得高为４,底面边长为２，则该球得表面积就是__＿_____、11、圆柱形容器内盛有高度为8 ｃｍ得水,若放入三个相同得球（球得半径与圆柱得底面半径相同)后,水恰好淹没最上面得球(如图所示),则球得半径就是＿_＿___ｃｍ、三、解答题12、如图所示，半径为Ｒ得半圆内得阴影部分以直径AB所在直线为轴,旋转一周得到一几何体,求该几何体得表面积、（其中∠BＡC＝３0°)13、一个高为16得圆锥内接于一个体积为972π得球,在圆锥内又有一个内切球，求：（１)圆锥得侧面积;(2)圆锥得内切球得体积、当堂检测答案1、答案 B解析 球得半径为3，表面积Ｓ＝４π·3２＝36π,体积Ｖ=＼ｆ(4,3)π·33=36π、2、答案 Ｄ解析 设球得半径为Ｒ,则4πR 2＝43πR 3，所以Ｒ＝3、 ３、答案 ＼r(3,2）解析 设大球得半径为R ，则有错误!πR 3=2×错误!π×１３,R ３＝２,∴R ＝３2、4、答案 8 4解析 球得半径为Ｒ时,球得体积为V 1＝错误!πR 3,表面积为Ｓ1＝4πR 2,半径增加为2R 后，球得体积为V ２=错误!π(2R ）３=错误!πR 3,表面积为Ｓ2=4π（2R )2＝1６πR 2、所以＼f(V 2,V 1)=错误!＝8,错误!=错误!＝4,即体积变为原来得8倍,表面积变为原来得４倍、5、答案 ３π解析 由三视图可知，该几何体为一个半径为1得半球，其表面积为半个球面面积与截面面积得与,即＼f(1,2)×4π＋π＝3π、 课时精练一、选择题1、答案 Ｃ解析 由题意可知，6ａ２＝2４，∴ａ＝２、设正方体外接球得半径为Ｒ,则＼r(3)a＝2R,∴R＝错误!,∴V球＝错误!πＲ３=4错误!π、2、答案 A解析∵球得半径为1,且正方体内接于球,∴球得直径即为正方体得对角线，即正方体得对角线长为２、不妨设正方体得棱长为a,则有3ａ2=4,即ａ2＝错误!、∴正方体得表面积为6ａ2=6×错误!＝8、3、答案A解析由表面积公式知,两球得表面积之比为R错误!∶Ｒ错误!=１∶9、4、答案 D解析由正方体得表面积为24 cm2，得正方体得棱长为2 ｃm,故这个球得直径为2cm,故这个球得体积为＼f(４,3）π cm3、5、答案C解析方法一如图，设球得半径为r1，则在Ｒｔ△ＣDＥ中,DE＝２r1,CE=R－ｒ,DＣ=R＋r、由勾股定理得4r错误!=(Ｒ＋ｒ)2-（R－ｒ)2,解得r1＝错误!、故球得表面积为S球＝４πr 错误!＝4πＲr、方法二如图,设球心为O,球得半径为r1,连接ＯA，OB,则在Ｒt△AOB中,OＦ就是斜边ＡB 上得高、由相似三角形得性质得ＯF2＝ＢF·ＡF＝Rｒ,即ｒ错误!＝Rr，故r1＝错误!,故球得表面积为S球＝4πRr、6、答案Ｄ解析∵正四棱柱得底面边长为1，侧棱长为错误!,∴正四棱柱得体对角线得长为错误!＝2、又∵正四棱柱得顶点在同一球面上,∴正四棱柱体对角线恰好就是球得一条直径，∴球得半径Ｒ＝１、故球得体积为V＝错误!πR3=错误!π、7、答案 A解析利用球得截面性质结合直角三角形求解、如图，作出球得一个截面,则MＣ＝8－6=2(cm),BM＝＼f（１,2）AB＝错误!×8＝4(cｍ)、设球得半径为R cｍ,则R2=OM2+MB2＝（R-2)２＋42,∴Ｒ＝５,∴V球＝错误!π×5３=错误!(ｃm3）、二、填空题8、答案9π+18解析将三视图还原为实物图后求解、由三视图知,几何体下面就是两个球，球半径为错误!；上面就是长方体,其长、宽、高分别为6、3、１,所以V=错误!π×错误!×2＋１×3×6＝9π＋18、9、答案错误!解析先求出球得半径，再根据正方体得体对角线等于球得直径求棱长、设正方体棱长为ａ，球半径为R，则错误!πR3=错误!π，∴Ｒ＝错误!,∴错误!a＝3,∴a=错误!、10、答案错误!π解析由已知条件可知,球心在正四棱锥得高所在得直线上、设球得半径为Ｒ,球心为O,正四棱锥底面中心为E,则OE=|4-R｜，所以(４-R）2＋（错误!）2＝R２,解得Ｒ＝错误!、所以球得表面积S＝4πＲ2=＼ｆ（８1π,4）、１１、答案4解析设球得半径为ｒ，则圆柱形容器得高为６r,容积为πr２×６r＝６πr3,高度为8 cｍ得水得体积为8πｒ2，3个球得体积与为3×错误!πr３=4πr３，由题意得６πr3-8πr２＝４πr３,解得r ＝４(cｍ)、三、解答题12、解如图所示,过Ｃ作CO1⊥AB于O１、在半圆中可得∠BCＡ=90°,∠BＡC＝30°，ＡB=２Ｒ,∴AC=错误!Ｒ,BC＝Ｒ,CO１＝错误!Ｒ，∴S球＝4πR2，=π×错误!R×错误!R＝错误!πR2,=π×错误!Ｒ×R＝错误!πR２,∴S几何体表=S球+＋＝错误!πＲ2＋错误!πＲ2＝错误!πR2、故旋转所得几何体得表面积为错误!πR2、１3、解（1）如图作轴截面，则等腰三角形CAB内接于⊙O,⊙Ｏ1内切于△ABC、设⊙O得半径为Ｒ，由题意,得错误!πR3=972π，所以R3＝72９，Ｒ=9,所以CE＝１8、已知ＣD=16,所以ED＝2、连接AＥ,因为ＣＥ就是直径，所以ＣＡ⊥AE,所以CA2＝CＥ·CD＝１８×1６＝288，所以CA＝12错误!,因为AB⊥CD,所以AD2=CD·DE＝16×２＝32，所以AD=4错误!,Ｓ圆锥侧＝π×4＼r（2）×１２＼r(2）＝9６π、(2）设内切球O1得半径为r，因为△AＢC得周长为2×(12错误!+４错误!)＝3２错误!，所以S△ABC=错误!ｒ·3２错误!＝错误!×8错误!×１6,解得r＝4,所以内切球O1得体积Ｖ球＝错误!πr3＝错误!π、。
球的表面积和体积
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------球的表面积和体积球的表面积和体积 1．球的表面积公式：S 球面＝4R 2 (R 为球半径) 2．球的体积公式：V 球＝ 43 R3 ( R为球半径) 球的表面积和体积的计算过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，已知此截面的面积为 12 cm 2 ，试求此球的表面积．若截面不过球的半径的中点，而是过半径上与球心距离为 1 的点，且截面与此半径垂直，若此截面的面积为，试求此球的表面积和体积．球的表面积及体积的应用一个倒立圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在此容器内注入水并且放入一个半径为 r的铁球，这时水面恰好和球面相切，问将球从圆锥内取出后，圆锥内水面的高是多少？圆柱形容器的内壁底面半径为 5 cm，两个直径为 5 cm 的玻璃小球都浸没于容器的水中，若取出这两个小球，则容器的水面将下降多少？有关球的切、接问题求棱长为 a 的正四面体 PABC 的外接球，内切球的体积．有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体各条棱都相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．一个球内有相距 9 cm 的两个平行截面，面积分别为 49 cm 2 和 400 cm 2 ，求球的表面积．基础训练 1．若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于( ) A. 12 B．1C．2 D．3 2．用过球心的平面将一1/ 5个球平均分成两个半球，则两个半球的表面积是原来整球表面积的________倍． 3．过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，已知此截面的面积为 48 cm 2 ，试求此球的表面积和体积． 4．正方体的表面积与其外接球表面积的比为( ) A．3∶ B．2∶C．1∶2D．1∶3 5．(2019温州高一检测)长方体的一个顶点上三条棱长分别是 3,4,5，且它的 8 个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( ) A．25 B．50C．125 D．都不对 4．把 3 个半径为 R 的铁球熔成一个底面半径为R 的圆柱，则圆柱的高为( ) A．RB．2RC．3R D．4R 6．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( ) A．a 2 B. 73a2 C. 113a 2 D．5a 2 7．圆柱形容器内盛有高度为 8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径是________cm. 提高训练． 1.一只小球放入一长方体容器内，且与共点的三个面相接触．若小球上一点到这三个面的距离分别为 4、5、5，则这只小球的半径是（） A．3或 8 B．8 或 11 C．5 或 8 D．3 或 11 2.已知 A 、 B 、 C是球 O 的球面上三点，三棱锥 O ABC 的高为 2 2 ,且 ABC =60 ，AB =2， BC =4，则球 O 的表面积为( ) A． 24 B. 32C. 48D. 192 3.一几何体的三视图如右图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角形，直角边长为 1，则该几何体外接球的表面积为（） A． 4 B． 3 C． 2 D． 4. 将半径都为---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------１的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为 ( ) A.3 2 63+ B. 2+2 63 C. 4+2 63 D. 43 2 63+ 5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的球面面积为（） A.5 B.12 C.20 D.8 6.【江西省抚州市临川一中 2019 届高三 10 月月考】已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中俯视图是边长为 6的正三角形，若这个空间几何体存在唯一的一个内切球（与该几何体各个面都相切），则这个几何体的全面积是（） A． 18 B．36 C． 45 D． 54 7.【浙江省重点中学协作体 2019 届第一次适应性训练】一几何体的三视图如右图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角形，直角边长为 1，则该几何体外接球的表面积为（）A． 4 B． 3 C． 2 D． 8.【山西省大同市 2019 届高三学情调研测试】设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为 a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（） A.2a B. 237a C. 2311a D.25 a 9.【四川省成都实验外国语高 2019 届高三 11 月月考】某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为 1 的正方形，则此四面体的外接球的表面积为( ) A. 3 B. 4C. 2D. 25 10. 【全国高考新课标（I）理】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6cm，3/ 5如果不计容器的厚度，则球的体积为( ) A、 5003cm 3 B、8663cm 3 C、 13723cm 3 D、 20483cm 3 11. 矩形 ABCD 中，4, 3, AB BC = = 沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面角 B AC D ,则四面体 ABCD 的外接球的体积是( ) A. 12125 B. 9125 C.6125 D. 3125 12.在半径为 R 的球内放入大小相等的 4 个小球，则小球半径 r 的最大值为（） A. ( 2－1)R B . ( 6－2)R C. 1 4 R D. 1 3 R 13. 一个平面截一个球得到直径是 6 的圆面，球心到这个平面的距离是4，则该球的体积是 . 14.三棱锥 P ABC 的四个顶点均在同一球面上，其中 ABC 是正三角形， PA 平面 ABC ， 2 6 PA AB = = ，则该球的体积是 . 15.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是 16. 四棱锥 ABCD P 的五个顶点都在一个球面上，且底面 ABCD 是边长为 1 的正方形， ABCD PA ， 2 =PA ，则该球的体积为 _ ． 17. 过球 O 表面上一点 A 引三条长度相等的弦 AB 、 AC 、 AD ，且两两夹角都为 60 ，若球半径为 R ，求弦 AB 的长度． 19. 【改编自浙江高考题】已知球 O 的面上四点 A、B、C、D， DA ABC 平面， AB BC ， DA=AB=BC=3 ，求球 O 的体积. 20. 【改编自山东高考题】在等腰梯形 ABCD中， AB=2DC=2 ，0DAB=60 ， E 为 AB 的中点，将 ADE 与 BEC 分布沿 ED 、 EC 向上折起，使 A B 、重合于点 P ，求三棱锥 P-DCE的外接球的体积. 21. 一个正四棱锥的底面边长为 2，侧棱长为---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 3 ，五个顶点都在同一个球面上，求此球的表面积. 22. 球面上有3 个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的61，经过 3 个点的小圆的周长为 4 ，求这个球的半径．5/ 5。
高三数学 立体几何的难点突破 1球的体积、表面积 试题
球的体积、外表积1.1 球的体积【例1】两个半径为1的铁球，熔化成一个大球，这个大球的半径为( )A ．2 B. 2 C.32 D.1234【解析】设大球半径为r ，那么43πr 3＝2×4π3，∴r ＝32，应选C.【评注】球的体积公式为：V=43πr 3，设半径列方程求半径即可.【变式1】利用正方体的对角线长等于其外接球的直径求正方体的棱长〔2021〕一个正方体的所有顶点在一个球面上. 假设球的体积为92π, 那么正方体的棱长为 .1.3【解析】设球半径为R ， 球的体积为34932=R ππ，∴R=32，又由球的直径与其内接正方体对角线的相等知正方体的对角线长为3，那么棱长为3.【变式2】一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图如下图(图中三个四边形都是边长为2的正方形)，那么该几何体外接球的体积为________．2.43π【解析】依题意可知，新的几何体的外接球也就是原正方体的外接球，所求外接球的直径就是正方体的体对角线；∴2R ＝23(R 为球的半径)，∴R ＝3，∴球的体积V ＝43πR 3＝43π.【变式3】利用球截面圆圆心与球心连线与截面垂直的性质求球的半径用与球心间隔 为1的平面去截球，所得的截面面积为π，那么球的体积为( ) A.8π3 B.82π3 C ．82π D.32π33.B 【解析】 S 圆＝πr 2＝1，而截面圆圆心与球心的间隔 d ＝1，∴球的半径为R ＝r 2＋d 2＝ 2.∴V ＝43πR 3＝82π3，应选B. 1.2 球的外表积【例2】如图是一个无盖器皿的三视图，正视图、侧视图和俯视图中的正方形边长为2，正视图、侧视图中的虚线都是半圆，那么该器皿的外表积是 ．【解析】该器皿的外表积可分为两局部：去掉一个圆的正方体的外表积1s 和半球的外表积2s ， 21622124s ππ=⨯⨯-⨯=- 2214122s ππ=⨯⨯= ， 故1224s s s π=+=+. 【评注】由三视图求外表积与体积，关键是正确分析原图形的几何特征.【变式1】〔2021·高考文科〕某几何体的三视图如下图, 那么其外表积为 .1.3π【解析】综合三视图可知几何体是一个半径r=1的半个球体,其外表积= πππ342122=+⋅r r . 1.3 正方体的外接球、内切球和棱切球【例3】 有三个球和一个正方体,第一个球与正方体各个面内切,第二个球与正方体各条棱相切,第三个球过正方体各顶点,那么三个球面积之比为 ．【解析】设正方体棱长为a,那么有内切球半径12a R =;棱切球其直径为正方体各面上的对角线长,那么有222R a =; 外接球直径为正方体的对角线长,∴有332R a =, 所以面积之比为()()2221:2:31:2:3=.【评注】 正方体的内切球：截面图为正方形EFHG 的内切圆，如下图．设正方体的棱长为a ，那么内切球半径|OJ |＝r ＝a 2；正方体的棱切球：|GO |＝R ＝22a ；正方体的外接球：那么|A 1O |＝R ′＝32a .用构造法易知：棱长为a 的正四面体的外接球半径为64a . 【变式1】构建正方体求解三棱锥有关问题假设正三棱锥P —ABC 的三条侧棱两两垂直，那么该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为 .1.()3:13-.【解析】设正三棱锥侧棱长为a ，纳入正方体中易知外接球半径为,23a 体积63a V =，内切球球心将正三棱锥分成四个高为内切球半径的三棱锥，那么()3221332,6324a a V r a ⎡⎤==⨯+∴⎢⎥⎣⎦33,6r a -=31:3R r -∴=. 【变式2】构建正方体利用等积法求点到面的间隔正三棱锥P －ABC ，点P ，A ，B ，C 都在半径为3的球面上．假设PA ，PB ，PC 两两互相垂直，那么球心到截面ABC 的间隔 为________．2.33【解析】由条件可知，以PA ，PB ，PC 为棱可以补充成球的内接正方体，故而PA 2＋PB 2＋PC 2＝()2R 2，由PA ＝PB ＝PC, 得到PA ＝PB ＝PC ＝2, V P －ABC ＝V A －PBC ⇒13h ·S △ABC ＝13PA ·S △PBC, 得到h ＝233，故而球心到截面ABC 的间隔 为R －h ＝33.【变式3】构建正方体求解正四面体的外接球的体积三棱锥BCD A -的所有棱长都为2，那么该三棱锥外接球的体积是________. 3.32π 【解析】如图构造正方体FBEC ANDM -，那么∵三棱锥BCD A -的所有棱长都为2，∴该正方体的棱长为1，∴三棱锥BCD A -的外接球半径：R=23.故所求3433()322V ππ==球. 【变式4】通过等价转化求解正方体的内切球的截面圆面积如图，球O 是棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的内切球，那么平面ACD 1截球O 的截面面积为( )A.π6B.π3C.66πD.33π 4.A 【解析】：根据正方体的几何特征知，平面ACD 1是边长为2的正三角形，且球与以点D 为公一共点的三个面的切点恰为三角形ACD 1三边的中点，故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，由图得△ACD 1内切圆的半径是22×tan30°＝66，故所求的截面圆的面积是π×⎝ ⎛⎭⎪⎫662＝π6.【例4】 (2021) 直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上．假设AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，那么球O 的半径为 ．【解析】∵AB ⊥AC ，且AA 1⊥底面ABC ，将直三棱柱补成内接于球的长方体，那么长方体的对角线l ＝ 32＋42＋122＝2R ，R ＝132.【评注】利用底面为直角三角形的直三棱柱补成长方体求外接球半径,长方体的模型可以使抽象问题详细化.【变式1】利用三棱两两垂直的四面体补成长方体求解在四面体ABCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，AB=3,AD=2,AC=5，那么该四面体外接球的外表积为 ． 1.π12 【解析】由球的对称性及,,AB AC AD 两两垂直可以补形为长方体ABD C DC A B ''''-,长方体的对称中心即为球心, ∴222235423R AB AC AD =++=++=，∴ ()24312S ππ== .【变式2】如图，在三棱锥O ABC -中，三条棱,,OA OB OC 两两垂直，且OA OB OC >>，分别经过三条棱,,OA OB OC 作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为123,,S S S ，那么123,,S S S 的大小关系为________________．2.123S S S <<【解析】 由题意OC OB OA ,,两两垂直，可将其放置在以O 为一顶点的长方体中，设三边OC OB OA ,,分别为c b a >>，从而易得22121c b a S +=，22221c a b S +=，22321b a c S +=，∴()()()222222222222221414141b a c c b a b c a b a S S -=+-+=-，又b a >，∴02221>-S S ，即21S S >．同理，用平方后作差法可得32S S >．∴123S S S <<．【变式3】利用特殊的四棱锥补成长方体求解 点P A B C D ，，，，是球O 外表上的点，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为2326PA =,那么△OAB 的面积为3.33【解析】∵点P A B C D ，，，，是球O 外表上的点，PA ⊥平面ABCD ， ∴点A B CO C O A B D EFP A B C D ，，，，为球O 内接长方体的顶点，球心O 为长方体对角线的中点.∴△OAB 的面积是该长方体对角面面积的14. ∵23,26AB PA ==，∴6PB =,∴1=236=334OAB S ∆⨯⨯. 【变式4】利用半球的内接正方体补成球的长方体求解半球内有一个内接正方体，那么这个半球的体积与正方体的体积之比为( )A.5π∶6 B ．6π∶2 C．π∶2 D ．5π∶124.B 【解析】 将半球补成整个球，同时把原半球的内接正方体再补接一个同样的正方体，构成的长方体恰好是球的内接长方体，那么这个长方体的体对角线就是它的外接球的直径．设正方体的棱长为a ，球的半径为R ，那么(2R )2＝a 2＋a 2＋(2a )2，即R ＝62a . ∴V 半球＝12×43πR 3＝23π⎝ ⎛⎭⎪⎫62a 3＝62πa 3，V 正方体＝a 3. ∴V 半球∶V 正方体＝62πa 3∶a 3＝6π∶2. 【变式5】利用半球的内接三棱柱运用截面圆性质求解(2021·统考)如图，直三棱柱ABC A 1B 1C 1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB ＝AC ，侧面BCC 1B 1是半球底面圆的内接正方形，那么侧面ABB 1A 1的面积为( )A ．2B ．1 C. 2 D.225.C.【解析】由题意知，球心在侧面BCC 1B 1的中心O 上，BC 为截面圆的直径，∴∠BAC ＝90°，△ABC 的外接圆圆心N 是BC 的中点，同理△A 1B 1C 1的外心M 是B 1C 1的中心．设正方形BCC 1B 1的边长为x ，Rt△OMC 1中，OM ＝x 2，MC 1＝x 2，OC 1＝R ＝1(R 为球的半径)，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＝1，即x ＝2，那么AB ＝AC ＝1，∴11A ABB S 矩形＝2×1＝ 2.【例5】 正四面体的内切球、与棱相切的球、外接球的三类球的半径比为 ．【解析】设正四面体的棱长为1，外接球和内切球半径依次为,R r ，由正四面体三个球心重合及其特征， 6R r =+,其体积为1633V =,另一面1343V r =⨯,那么内切球和外接球的半径比1：3，6 而与棱相切的球直径为对棱的间隔2，那么内切球、与各棱都相切的球、外接球的半径之比为 61263)::()33444=. 【变式1】利用正四面补成正方体求解体积正四面体ABCD 的外接球的体积为34π，那么正四面体ABCD 的体积是_____. 1. 83.【解析】由于外接球的体积为34434333r r πππ∴=∴=，故其内接正方体的棱长为2，故正方体体积为8，正四面体的体积为1833V =正方体.【变式2】利用正四面体的高与外接球半径的关系求球的外表积正四面体的四个顶点都在同一个球面上，且正四面体的高为4，那么这个球的外表积是________．2.36π【解析】正四面体的外接球半径R 为其高的34，且正四面体的高为4，那么R ＝3 ，S ＝4πR 2＝36π.【变式2】利用正四面体补成正方体求解的球心角半径为1的球面上的四点D C B A ,,,是正四面体的顶点，那么A 与B 两点与球心连线的夹角余弦值为 ．2.13-.【解析】设正四面体棱长a 2，将其纳入正方体中,其正方体棱长a ，所求角为对角面内两条对角线的夹角为APB ∠，AP=BP=a AB a 2,23=，由余弦定理314322432cos 222-=⨯-⨯=∠a a a APB .【变式3】利用正四面体补成正方体求异面直线所成的角如图，正四面体A-BCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，那么EF 与CD 所成的角等于 〔 〕A ．45° B．90° C ．60° D．30°3.A 【解析】如图，将正四面体补形为正方体，答案就脱口而出，应该选A.【变式4】利用长方体的性质确定折叠四面体的外接球球心(2021·四校联考)将长、宽分别为4和3的长方形ABCD 沿对角线AC 折起，得到四面体A BCD ，那么四面体A BCD 的外接球的体积为________．4. 【解析】 设AC 与BD 相交于O ，折起来后仍然有OA ＝OB ＝OC ＝OD ，∴外接球的半径r ＝32＋422＝52，从而体积V ＝4π3×⎝ ⎛⎭⎪⎫523＝125π6. 【变式5】(2021·一模)一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球O 的球面上，那么该圆锥的体积与球O 的体积的比值为________．5． 932【解析】 设等边三角形的边长为2a ，那么V 圆锥＝13·πa 2·3a ＝33πa 3； 又R 2＝a 2＋(3a －R )2，所以R ＝233a ，故 V 球＝4π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫233a 3＝323π27a 3，那么其体积比F E DC B A FED C BAD CB A O O 为932. 【变式6】利用正六棱柱的对称性求外接球的体积一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。
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【误解】若直接做三棱锥的外接球，会无从下手，不易求解．
E
P
C
B
球的表面积和体积
知识要点
推导方法：
分割
求近似值求精确值• 源自曲为直 • 化整为零•极限思想
dR r
正方体的外接球：若正方体的棱长为 a ，它的所有顶点都在球 O 的表面上， 这个球就称为正方体的外接球，球的半径为 R 3 a ．
2
D A
D1 A1
C B O
C1 B1
O
其它的几何体与球构成的组合体，如长方体的外接球、直三棱柱的外接球、正四面体的外接 球和内切球的半径与棱长的关系也可类似求得．
图 2 所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到
的最大球的半径等于（ B ）
A．1
B．2
C．3
D．4
技巧传播
解决与球相关的问题关键是找到球心的位置，求出球的半径．求半径时利用特征直角三角 形．
在求球和多面体的组合问题中球的半径时，通常设出球的半径，用解方程的思想求解．
陷阱规避
例．（黑龙江佳木斯一中高三调研试卷（理））已知正三棱锥 P ABC ，点 P，A，B，C 都在半径为 3 的球面上，若 PA，PB，PC 两两互相垂直，则球心到截面 ABC 的距离为____________.
典题剖析
例题 1. （湖南文）如右图是某几何体的三视图，则该几何体的 体积为（ D ） A．9π＋42 B．36π＋18 C．92π＋12 D．92π＋18
例题 2.（新课标 I 理）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8cm，将一个球放在容器
口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为（ A ）
A．5030πcm3
B．8636πcm3
C．13732πcm3
D．20438πcm3
【点评】本题考查球的截面圆的性质及球的体积公式．
例题 3．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，则该球的表面积为（ A ）
A． 81 4
B． 16
C． 9
D． 27 4
例题 4．（湖南卷理）一块石材表示的几何体的三视图如