【精准解析】百师联盟2020届高三练习题二(全国卷)数学(理)试题
因为 a1 2, a2 5, a3 10 ，所以 a2 a1 3, a3 a2 5
所以 an1 an 3 n 1 2 2n 1
所以 an a1 a2 a1 a3 a2 an an1 2 3 5 2n 1 n2 1
所以
1 a2
2
1 a3
遇到困难要运用智慧、认真思考才能让问题迎刃而解的道理。如图 2 所示，乌鸦想喝水，发
现有一个锥形瓶，上面部分是圆柱体，下面部分是圆台，瓶口直径为 3 厘米，瓶底直径为 9
厘米，瓶口距瓶颈为 2
3
3 厘米，瓶颈到水位线距离和水位线到瓶底距离均为 2
3 厘米现将 1
颗石子投入瓶中，发现水位线上移 3 厘米，若只有当水位线到达瓶口时，乌鸦才能喝到水， 2
D. 170 元
【答案】C
【解析】
【分析】
设长方体容器的长为 xm ，宽为 ym ，侧面每平方米的造价为 a 元，则可得到 xy 4 ，然后该
容器的造价为： z 200xy 2x 2x 2y 2y a 800 x y 4a ，用基本不等式求出
最小值，然后即可解出 a 【详解】设长方体容器的长为 xm ，宽为 ym ，侧面每平方米的造价为 a 元
-1-
【解析】
【分析】
先求出 f x 1 2 f 1 x+1，然后令 x 1 求出 f 1 ，然后即可求出 f 2
x 【详解】因为 f (x) ln x x2 f (1) x
所以 f x 1 2 f 1 x+1
x
令 x 1时有 f 1 1 2 f 1 +1，所以f 1 2
百师联盟 2020 届高三练习题二（全国卷 II） 理科数学
注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本 试卷上无效 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间 120 分钟，满分 150 分 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.
以一颗石子的体积，就得乌鸦共需要投入的石子数量.
【详解】如图 1 所示， AB 9cm ， EF GH 3cm ， LO 3 3cm ，所以 A 60 ．原 水 位 线 直 径 CD 6cm ， 投 入 石 子 后 ， 水 位 线 直 径 IJ 5cm ， 则 由 圆 台 公 式 得 到 ，
所以 g(x) 在1, 上单调递增
所以 g x g 1 e2 1，所以 k e2 1
故选：D 【点睛】恒成立问题或者存在性问题，首选的方法是分离变量法，通过分离变量然后转化为 最值问题.
-8-
12.已知数列an 的前 n 项和为 Sn ，且 a1 2, a2 5, a3 10 ，又当 n 2 时，
所以 f ( f (1)) f 3 log2 8 3
故选：B
【点睛】本题考查的是分段函数的知识，较简单.
5.设 表示平面，m, n 是两条不同的直线，给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（ ） ①若 m ， n / /m ，则 n / / ②若 m ， n / /m ，则 n ③若 m ， n / / ，则 m n ④若 m / / ， n / / ，则 m // n
即 8 99 24 297 3, 4 ，则至少需要 4 颗石子．
91 3 8 91 91 24
故选：C．
-7-
【点睛】此题考查圆台、圆柱的体积计算，属于基础题.
11.已知函数 f (x) x e2x ，对 x 1, ，都有 f (x) kx 2 ，则实数 k 的取值范围是
（）
A. e2 1,
A. ①②
B. ②③
C. ③④
D. ①④
【答案】B
【解析】
【分析】
根据空间中直线与平面的相关定理逐一判断即可
【详解】若 m ， n / /m ，则 n / / 或 n ，故①错误 若 m ， n / /m ，则 n ，故②正确 若 m ， n / / ，则 m n ，故③正确 若 m / / ， n / / ，则 m, n 可以相交、平行、异面，故④错误
2
则 ðR
A
{x
|
1
x
3}， 2
故选：C．
【点睛】此题考查一元二次不等式的解法、集合的补集运算，属于基础题.
2.已知函数 f (x) 的导函数为 f (x) ，且满足 f (x) ln x x 2 f (1) x ，则 f (2) （ ）
A. 13 2
【答案】A
13
B.
2
15
C.
2
D. 15 2
2
，则
g(x)
2e 2 x
x e2x x2
2
令 h(x) 2e2x x e2x 2 ，则 h(x) 4e2x x 2e2x 2e2x 4e2x x 0
所以 h(x) 在1, 上单调递增
所以 h(x) h1 2e2 e2 2 e2 2 0 ，所以 g(x) 0
1.已知实数集 R ，集合 A x | 2x2 x 3 0 ，则 ðR A （ ）
A.
(,
1)
3 2
,
B.
1,
3 2
C.
1,
3 2
D.
(,
1]
3 2
,
【答案】C
【解析】
【分析】
先解不等式
2x2
x
3
0得
x
3 2
或
x
1 ，从而得到集合
A
，由此可得集合
A
的补集.
【详解】 A x 2x 3 x 1 0 x x 3 或x 1 ，
-2-
4.设 f (x) log22x(1x2 1,1x),x1 1，则 f ( f (1)) 的值为（
）
A. 2
B. 3
C. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出 f 1 ，然后即可求出 f ( f (1))
D. 5
【详解】因为 f (x) log22x(1x2 1,1x),x1 1
所以 f 1 22 1 3
所以 f x 1 4x+1
x
所以 f 2 1 8+1 13
2
2
故选：A
【点睛】本题考查的是导数的运算，较简单.
3.如图是某校高三某班甲、乙两位同学前六次模拟考试的数学成绩，则下列判断正确的是
（）
A. x甲 x乙 ，甲比乙成绩稳定
B. x甲 x乙 ，乙比甲成绩稳定
C. x甲 x乙 ，甲比乙成绩稳定
an2 3an+1 +3an an1 0 ， 即 an2 an+1 + an an1 2 an1 an ， 然 后 得
an1 an 2n 1
，
然
后
得
an n2 1
，
然
后
1 a2
2
1 a3
2
...
1 ak1
2
ak
1
2
1 2
1
1 2
1 k
k
1 1
，然后解出不等式即可.
sin 2
sin 2
8
8
9
故选：A
【点睛】要熟悉 sin cos 与 sin cos 的关系，即
sin cos 2 1 2sin cos 1 sin 2 .
8.已知向量 AB (1, 2) ， BC (4, 1) ，则向量 AC 在向量 BA 方向上的投影为（ ）
A. 2 5 5
【答案】C
D. x甲 x乙 ，乙比甲成绩稳定
【答案】D
【解析】
【分析】
分别计算甲、乙两人成绩的平均数与方差，即可得出正确的结论.
【详解】
x甲
126
，
x乙
126
，
S甲2
748 6
，
S乙2
318 6
，因为
S甲2
S乙2
，所以乙比甲成绩
稳定，
故选：D．
【点睛】此题考查利用茎叶图中的数据计算平均数与方差，属于基础题.
V石子
1 3
MN
CN 2 IM 2 CN IM
91 3 cm3 ．同理，空瓶体积是由空瓶圆台加圆 24
柱体得到，即
V空瓶
V空圆台
V圆柱体
1 3
LN
CN 2 EL2 CN EL
EL2 KL
63 3 8
36 3 8
99 3 8
cm3
，则需要石子的个数
V空瓶 V石子
，
99 3
Sn1
3Sn
3Sn1
Sn2
m
0 恒成立，则使得
1 a2
2
1 a3
2
...
1 ak 1
2
ak
1
2
17 30
成立的正整数 k 的最小值为（ ）
A. 4
B. 5
【答案】B
C. 6
D. 7
【解析】
【分析】
由 Sn1 3Sn 3Sn1 Sn2 m 0 得 Sn2 3Sn1 3Sn Sn1 m 0 ， 两 式 相 减 得
B. e2 1,
C. , e2 1
D.
, e2 1
【答案】D
【解析】
【分析】
由 f (x) kx 2, x 1, 得 k 1 e2x 2 ，然后利用导数求出右边的最小值即可.
x
【详解】由 f (x) kx 2, x 1, 得 k 1 e2x 2
x
2020年高考全国卷Ⅱ数学(理)试卷及答案详解,
2020年高考全国卷Ⅱ数学（理）试卷一、选择1. 已知集合U={−2,−1,0,1,2,3},A={−1,0,1},B={1,2}，则∁U(A∪B)= ( )A. {−2,3}B. {−2,2,3}C. {−2,−1,0,3}D. {−2,−1,0,2,3}2. 若α为第四象限角，则( )A.cos2α>0B.cos2α<0C.sin2α>0D. sin2α<03. 在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天新订单是1600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天积压订单及当日订单配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者( )A.10名B.18名C.24名D.32名4. 北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块5. 若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x−y−3=0的距离为( )A.√55B. 2√55C.3√55D.4√556. 数列{a n}中，a1=2，a m+n=a m a n.若a k+1+a k+2+⋯+a k+10=215−25，则k= ()A.2B.3C.4D.57. 如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为( )A.EB.FC.GD.H8. 设O为坐标原点，直线x=a与双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点.若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为() A.4 B.8 C.16 D.329. 设函数f(x)=ln|2x+1|−ln|2x−1|，则f(x)( )A.是偶函数，且在(12,+∞)单调递增B.是奇函数，且在(−12,12)单调递减C.是偶函数，且在(−∞,−12)单调递增D.是奇函数，且在(−∞,−12)单调递减10. 已知△ABC是面积为9√34的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为()A.√3B.32C.1 D.√3211. 若2x−2y<3−x−3−y，则( )A. ln(y−x+1)>0B.ln(y−x+1)<0C.ln|x−y|>0D.ln|x−y|<012. 0−1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列a 1a 2⋯a n ⋯满足a i ∈{0,1}(i =1,2,⋯)，且存在正整数m ，使得a i+m =a i (i =1, 2, ⋯)成立，则称其为0−1周期序列，并称满足a i+m =a i (i =1, 2, ⋯)的最小正整数m 为这个序列的周期.对于周期为m 的0−1序列a 1a 2⋯a n ⋯,C (k )=1m∑a i m i=1a i+k (k =1, 2, ⋯, m −1)是描述其性质的重要指标.下列周期为5的0−1序列中，满足C (k )≤15(k =1,2,3,4)的序列是( ) A.11010⋯ B.11011⋯ C.10001⋯ D.11001⋯二、填空题已知单位向量a →，b →的夹角为45∘，ka →−b →与a →垂直，则k =________.4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名学生，则不同的安排方法有________种．设复数z 1,z 2满足|z 1|=|z 2|=2，z 1+z 2=√3+i ，则|z 1−z 2|=________.设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内． p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行. p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l . 则下列命题中所有真命题的序号是________.①p 1∧p 4 ；②p 1∧p 2 ；③¬p 2∨p 3 ； ④¬p 3∨¬p 4. 三、解答题△ABC 中， sin 2A −sin 2B −sin 2C =sin B sin C . (1)求A ；(2)若BC =3，求△ABC 周长的最大值．某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加，为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x i ,y i )(i =1,2,⋯,20)，其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得∑x i 20i=1=60 ，∑y i 20i=1=1200， ∑(x i −x ¯)220i=1=80， ∑(y i −y ¯)220i=1=9000，∑(x i −x ¯)20i=1(y i −y ¯)=800.(1)求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；(2)求样本(x i,y i)(i=1,2,⋯,20)的相关系数（精确到0.01）；(3)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．附：相关系数：r=∑(x−x¯)n(y−y¯)√∑(xi−x)2ni=1∑(y i−y)2ni=1√2≈1.414.已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合.C1的中心与C2的顶点重合，过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=43|AB|.(1)求C1的离心率；(2)设M是C1与C2的公共点.若|MF|=5，求C1与C2的标准方程.如图已知三棱柱ABC−A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．(1)证明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥面EB1C1F.(2)设O为△A1B1C1的中心，若AO//面EB1C1F，且AO=AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值．已知函数f(x)=sin2x sin2x.(1)讨论f(x)在(0,π)上的单调性；(2)证明：|f(x)|≤3√38；(3)证明：sin2x sin22x sin24x⋯sin22n x≤3n4n.已知曲线C1,C2的参数方程分别为C1：{x=4cos2θ，y=4sin2θ(θ为参数)，C2：{x=t+1t，y=t−1t(t为参数).(1)将C1，C2的参数方程化为普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程.已知函数f(x)=|x−a2|+|x−2a+1|.(1)当a=2时，求不等式f(x)≥4的解集；(2)若f(x)≥4，求a的取值范围.参考答案与试题解析2020年高考全国卷Ⅱ数学（理）试卷一、选择1.【答案】A【考点】交、并、补集的混合运算【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意可知A∪B={−1,0,1,2}，故∁U(A∪B)={−2,3}.故选A.2.【答案】D【考点】任意角的三角函数【解析】此题暂无解析【解答】解：∵α为第四象限角，∴−π+2kπ<α<2kπ，2∴−π+4kπ<2α<4kπ，∴2α是第三或第四象限角，∴当2α在第三象限时，cos2α<0，当2α在第四象限时，cos2α>0，故A，B错误；无论2α在第三还是在第四象限，都有sin2α<0.故选D.3.【答案】B【考点】生活中概率应用【解析】此题暂无解析【解答】解：因为公司可以完成配货1200份订单，则至少需要志愿者为：1600+500−1200=18名.50故选B.4.【答案】C【考点】等差数列的前n项和等差数列的性质等差数列【解析】此题暂无解析【解答】解：设每一层有n环，由题可知从内到外每环之间构成等差数列，公差d=9，a1=9.由等差数列性质知S n，S2n−S n，S3n−S2n成等差数列，且(S3n−S2n)−(S2n−S n)=n2d，则9n2=729，解得n=9，则三层共有扇形面石板为S3n=S27=27a1+27×262×9=3402块. 故选C.5.【答案】B【考点】点与圆的位置关系点到直线的距离公式【解析】此题暂无解析【解答】解：设圆心为(a,a)，则半径为a，圆过点(2,1)，则(a−2)2+(a−1)2=a2，解得a=1或a=5，所以圆心坐标为(1,1)或(5,5)，圆心(1,1)到直线的距离是d=5=2√55，圆心(5,5)到直线的距离是d=√5=2√55.故选B.6.【答案】C【考点】等比数列的前n项和等比关系的确定【解析】此题暂无解析【解答】解：a m+n=a m a n，取m=1，则a1+n=a1a n. 又a1=2，所以a n+1a n=2，所以{a n}是首项，公比均为2等比数列，则a n=2n，所以a k+1+a k+2+⋯+a k+10=2k+1(1−210)1−2=2k+1⋅210−2k+1=215−25，解得k=4.故选C.7.【答案】A【考点】由三视图还原实物图【解析】此题暂无解析【解答】解：该几何体是两个长方体拼接而成，如图所示，显然所求点对应的为E点.故选A.8.【答案】B【考点】直线与双曲线结合的最值问题双曲线的渐近线【解析】此题暂无解析【解答】解：双曲线C:x 2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的两条渐近线分别为y=±bax，则容易得到|DE|=2b，则S△ODE=ab=8. 又因为c2=a2+b2≥2ab=16，即c≥4，焦距2c≥8.故选B.9.【答案】D【考点】函数奇偶性的判断复合函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解：函数f(−x)=ln|−2x+1|−ln|−2x−1|=ln|1−2x|−ln|2x+1|=−f(x)，∴f(x)为奇函数.当x∈(12，+∞)时，f(x)=ln(2x+1)−ln(2x−1)=ln2x+12x−1=ln(1+22x−1)，单调递减；当x∈(−12,12)时，f(x)=ln(2x+1)−ln(1−2x)，单调递增；当x∈(−∞,−12)时，f(x)=ln(−2x−1)−ln(1−2x)=ln2x+12x−1=ln(1+22x−1)，单调递减.故选D.10.【答案】C【考点】三角形的面积公式三角形五心球的体积和表面积【解析】此题暂无解析【解答】解：设ABC的外接圆圆心为O1，记OO1=d，圆O1的半径为r，球O半径为R，等边三角形△ABC的边长为a，则S△ABC=√34a2=9√34，可得a=3，所以r=√3=√3.由题知球O的表面积为16π，则R=2，由R2=r2+d2，易得d=1，即O到平面ABC的距离为1. 故选C.11.【答案】A【考点】利用导数研究函数的单调性函数单调性的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：2x−3−x<2y−3−y，设f(x)=2x−3−x，则f′(x)=2x ln2+3−x ln3>0，∴函数f(x)在R上单调递增，∵f(x)<f(y)，所以x<y，则y−x+1>1，∴ln(y−x+1)>0.故选A.12.【答案】C【考点】函数新定义问题数列的求和【解析】此题暂无解析【解答】解：对于A选项，C(1)=15∑a i5i=1a i+1=15(1+0+0+0+0)=15，C(2)=15∑a i5i=1a i+2=15(0+1+0+1+0)=25>15，不满足，排除；对于B选项，C(1)=15∑a i5i=1a i+1=15(1+0+0+1+1)=35>15，不满足，排除；对于C选项，C(1)=15∑a i5i=1a i+1=15(0+0+0+0+1)=15，C(2)=15∑a i5i=1a i+2=15(0+0+0+0+0)=0，C(3)=15∑a i5i=1a i+3=15(0+0+0+0+0)=0，C(4)=15∑a i5i=1a i+4=15(1+0+0+0+0)=15，满足；对于D选项，C(1)=15∑a i5i=1a i+1=15(1+0+0+0+1)=25>0，不满足，排除.故选C．二、填空题【答案】√22向量的数量积判断向量的共线与垂直 平面向量数量积 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：∵ 单位向量a →，b →的夹角为45∘， ∴ a →⋅b →=|a →|⋅|b →|⋅cos 45∘=√22. ∵ ka →−b →与a →垂直， ∴ (ka →−b →)⋅a →=k −√22=0，∴ k =√22. 故答案为：√22.【答案】36【考点】排列、组合及简单计数问题 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由题意可得，不同的安排方法有C 42A 33=36种. 故答案为：36. 【答案】2√3【考点】 复数的模 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由题设z 1=a +bi ，则z 2=(√3−a)+(1−b )i ， 故 |z 1|2=a 2+b 2=4， |z 2|2=(√3−a)2+(1−b )2 =a 2+b 2−2√3a −2b +4=4， 则|z 1−z 2|2=(2a −√3)2+(2b −1)2 =4a 2+4b 2−4√3a −4b +4=2(a 2+b 2)+2(a 2+b 2−2√3a −2b)+4 =2×4+4=12， 故|z 1−z 2|=2√3. 故答案为：2√3.①③④【考点】逻辑联结词“或”“且”“非”命题的真假判断与应用空间中直线与平面之间的位置关系空间中直线与直线之间的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】解：对于p1：可设l1与l2相交，所得平面为α．若l3与l1相交，则交点A必在α内，同理，与l2交点B在α内，故直线AB在α内，即l3在α内，故p1为真命题．对于p2：过空间中任意三点，若三点共线，可形成无数多平面，故p2为假命题．对于p3：空间中两条直线的位置关系有相交、平行、异面，若不相交，可能平行，也可能异面，故p3为假命题．对于p4：若m⊥α，则m垂直于平面α内的所有直线，因为直线l⊂平面α，故m⊥l，故p4为真命题．综上可知：①p1∧p4为真命题；②p1∧p2为假命题，③¬p2∨p3为真命题；④¬p3∨¬p4为真命题．故答案为：①③④ .三、解答题【答案】解：(1)在△ABC中，设内角A,B,C的对边分别为a,b,c，∵sin2A−sin2B−sin2C=sin B sin C，由正弦定理得，a2−b2−c2=bc，即b2+c2−a2=−bc，由余弦定理得，cos A=b2+c2−a22bc =−12.∵0<A<π，∴A=2π3.(2)由(1)知A=2π3，因为BC=3，即a=3，由余弦定理得，a2=b2+c2−2bc cos A，∴9=b2+c2+bc=(b+c)2−bc.由基本不等式√bc≤b+c2知bc≤(b+c)24，结合上式得9=(b+c)2−bc≥34(b+c)2, (b+c)2≤12，∴b+c≤2√3，当且仅当b=c=√3时取等号，∴△ABC周长的最大值为3+2√3.【考点】基本不等式在最值问题中的应用正弦定理【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)在△ABC中，设内角A,B,C的对边分别为a,b,c，∵sin2A−sin2B−sin2C=sin B sin C，由正弦定理得，a2−b2−c2=bc，即b2+c2−a2=−bc，由余弦定理得，cos A=b2+c2−a22bc =−12.∵0<A<π，∴A=2π3.(2)由(1)知A=2π3，因为BC=3，即a=3，由余弦定理得，a2=b2+c2−2bc cos A，∴9=b2+c2+bc=(b+c)2−bc.由基本不等式√bc≤b+c2知bc≤(b+c)24，结合上式得9=(b+c)2−bc≥34(b+c)2,(b+c)2≤12，∴b+c≤2√3，当且仅当b=c=√3时取等号，∴△ABC周长的最大值为3+2√3.【答案】解：(1)由题意可知，1个样区这种野生动物数量的平均数=120020=60，故这种野生动物数量的估计值=60×200=12000；(2)由参考公式得，r=∑(x i−x¯)ni=1(y i−y¯)√∑(xi−x)2ni=1∑(y i−y)2ni=1=√80×9000=6√2≈0.94；(3)由题意可知，各地块间植物覆盖面积差异很大，因此在调查时，先确定该地区各地块间植物覆盖面积大小并且由小到大排序，每十个分为一组，采用系统抽样的方法抽取20个地块作为样区进行样本统计．【考点】众数、中位数、平均数相关系数收集数据的方法此题暂无解析【解答】解：(1)由题意可知，1个样区这种野生动物数量的平均数=120020=60，故这种野生动物数量的估计值=60×200=12000；(2)由参考公式得，r=∑(x i−x¯)ni=1(y i−y¯)√∑(xi−x)2ni=1∑(y i−y)2ni=1=√80×9000=6√2≈0.94；(3)由题意可知，各地块间植物覆盖面积差异很大，因此在调查时，先确定该地区各地块间植物覆盖面积大小并且由小到大排序，每十个分为一组，采用系统抽样的方法抽取20个地块作为样区进行样本统计．【答案】解：(1)F为C1的焦点，且AB⊥x轴，∴F(c,0)，|AB|=2b2a，设C2的标准方程为y2=2px(p>0)，∵F为C2的焦点，且AB⊥x轴，∴F(p2,0).由抛物线的定义可得，|CD|=2p．∵|CD|=43|AB| .C1与C2焦点重合，∴{c=p2，2p=43×2b2a，消去p得：4c=8b 23a，∴3ac=2b2，∴3ac=2a2−2c2，设C1的离心率为e，则2e2+3e−2=0，∴e=12或e=−2(舍)，故C1的离心率为12.(2)由(1)知a=2c，b=√3c，p=2c．∴C1:x24c2+y23c2=1，C2:y2=4cx，联立两曲线方程，消去y得3x2+16cx−12c2=0，∴(3x−2c)(x+6c)=0，∴x=23c或x=−6c(舍).从而|MF|=x+p2=23c+c=53c=5，∴c=3，∴C1与C2的标准方程分别为x236+y227=1，y2=12x.【考点】圆锥曲线的综合问题椭圆的离心率抛物线的标准方程抛物线的定义椭圆的标准方程【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)F为C1的焦点，且AB⊥x轴，∴F(c,0)，|AB|=2b2a，设C2的标准方程为y2=2px(p>0)，∵F为C2的焦点，且AB⊥x轴，∴F(p2,0).由抛物线的定义可得，|CD|=2p．∵|CD|=43|AB| .C1与C2焦点重合，∴{c=p2，2p=43×2b2a，消去p得：4c=8b 23a，∴3ac=2b2，∴3ac=2a2−2c2，设C1的离心率为e，则2e2+3e−2=0，∴e=12或e=−2(舍)，故C1的离心率为12.(2)由(1)知a=2c，b=√3c，p=2c．∴C1:x24c2+y23c2=1，C2:y2=4cx，联立两曲线方程，消去y得3x2+16cx−12c2=0，∴(3x−2c)(x+6c)=0，∴x=23c或x=−6c(舍).从而|MF|=x+p2=23c+c=53c=5，∴c=3，∴C1与C2的标准方程分别为x236+y227=1，y2=12x.【答案】(1)证明：∵M，N分别为BC，B1C1的中点，底面为正三角形，∴B1N=BM，四边形BB1NM为矩形，A1N⊥B1C1，∴BB1//MN，而AA1//BB1，MN⊥B1C1，∴AA1//MN.又∵MN∩A1N=N，∴B1C1⊥面A1AMN.∵B1C1⊂面EB1C1F，∴面A1AMN⊥面EB1C1F.(2)∵三棱柱上下底面平行，平面EB1C1F与上下底面分别交于B1C1，EF，∴EF//B1C1//BC.∵AO//面EB1C1F，AO⊂面AMNA1，面AMNA1∩面EB1C1F=PN，∴AO//PN，四边形APNO为平行四边形，而O为正三角形的中心，AO=AB，∴A1N=3ON，AM=3AP,PN=BC=B1C1=3EF.由(1)知直线B1E在平面A1AMN内的投影为PN，直线B1E与平面A1AMN所成角即为等腰梯形EFC1B1中B1E与PN所成角.在等腰梯形EFC1B1中，令EF=1，过E作EH⊥B1C1于H，则PN=B1C1=EH=3，B1H=1，B1E=√10，sin∠B1EH=B1HB1E =√1010.所以直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值为√1010.【考点】直线与平面所成的角两条直线平行的判定平面与平面垂直的判定【解析】此题暂无解析【解答】(1)证明：∵M，N分别为BC，B1C1的中点，底面为正三角形，∴B1N=BM，四边形BB1NM为矩形，A1N⊥B1C1，∴BB1//MN，而AA1//BB1，MN⊥B1C1，∴AA1//MN.又∵MN∩A1N=N，∴B1C1⊥面A1AMN.∵B1C1⊂面EB1C1F，∴面A1AMN⊥面EB1C1F.(2)∵三棱柱上下底面平行，平面EB1C1F与上下底面分别交于B1C1，EF，∴EF//B1C1//BC.∵AO//面EB1C1F，AO⊂面AMNA1，面AMNA1∩面EB1C1F=PN，∴AO//PN，四边形APNO为平行四边形，而O为正三角形的中心，AO=AB，∴A1N=3ON，AM=3AP,PN=BC=B1C1=3EF.由(1)知直线B1E在平面A1AMN内的投影为PN，直线B1E与平面A1AMN所成角即为等腰梯形EFC1B1中B1E与PN所成角.在等腰梯形EFC1B1中，令EF=1，过E作EH⊥B1C1于H，则PN=B1C1=EH=3，B1H=1，B1E=√10，sin∠B1EH=B1HB1E =√1010.所以直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值为√1010.【答案】(1)解：∵ f (x )=2sin 3x cos x ， ∴ f ′(x )=2sin 2x(3cos 2x −sin 2x) =−8sin 2x sin (x +π3)sin (x −π3).当x ∈(0,π3)时， f ′(x )>0, f (x )单调递增；当x ∈(π3,2π3)时， f ′(x )<0, f (x )单调递减； 当x ∈(2π3,π)时， f ′(x )>0, f (x )单调递增.(2)证明：由f (x )=2sin 3x cos x 得， f (x )为R 上的奇函数．f 2(x )=4sin 6x cos 2x =4(1−cos 2x )3cos 2x =4(1−cos 2x )3×3cos 2x 3≤43×(3−3cos 2x+3cos 2x 4)4=(34)3.当1−cos 2x =3cos 2x ，即cos x =±12时等号成立，故|f (x )|≤3√38.(3)证明：由(2)知：sin 2x sin 2x ≤3√38=(34)32，sin 22x sin 4x ≤3√38=(34)32， sin 222x sin 23x ≤3√38=(34)32，⋯ sin 22n−1x sin 2n x ≤3√38=(34)32，∴ sin 2x sin 32x sin 34x ⋯sin 32n−1x sin 22n x ≤(34)3n2 ， ∴ sin 3x sin 32x sin 34x ⋯sin 32n−1x sin 32n x =sin x(sin 2x sin 32x sin 34x ⋯sin 32n−1x sin 22n x)sin 2nx ≤(34)3n 2，∴ sin 2x sin 22x sin 24x ⋯ sin 22n x ≤3n4n . 【考点】 不等式的证明利用导数研究函数的单调性 【解析】 此题暂无解析 【解答】(1)解：∵ f (x )=2sin 3x cos x ， ∴ f ′(x )=2sin 2x(3cos 2x −sin 2x) =−8sin 2x sin (x +π3)sin (x −π3).当x ∈(0,π3)时， f ′(x )>0, f (x )单调递增； 当x ∈(π3,2π3)时， f ′(x )<0, f (x )单调递减；当x ∈(2π3,π)时， f ′(x )>0, f (x )单调递增.(2)证明：由f (x )=2sin 3x cos x 得， f (x )为R 上的奇函数． f 2(x )=4sin 6x cos 2x =4(1−cos 2x )3cos 2x =4(1−cos 2x )3×3cos 2x 3≤43×(3−3cos 2x+3cos 2x 4)4=(34)3.当1−cos 2x =3cos 2x ，即cos x =±12时等号成立，故|f (x )|≤3√38.(3)证明：由(2)知：sin 2x sin 2x ≤3√38=(34)32，sin 22x sin 4x ≤3√38=(34)32， sin 222x sin 23x ≤3√38=(34)32，⋯，sin 22n−1x sin 2nx ≤3√38=(34)32，∴ sin 2x sin 32x sin 34x ⋯sin 32n−1x sin 22nx ≤(34)3n 2，∴ sin 3x sin 32x sin 34x ⋯sin 32n−1x sin 32n x=sin x(sin 2x sin 32x sin 34x ⋯sin 32n−1x sin 22n x)sin 2n x ≤(34)3n2， ∴ sin 2x sin 22x sin 24x ⋯ sin 22n x ≤3n4n . 【答案】解：(1)C 1：{x =4cos 2θ，①y =4sin 2θ，②①+②得，x +y =4，故C 1的普通方程为：x +y −4=0. 由 {x =t +1t ，y =t −1t可得{x 2=t 2+2+1t2，③y 2=t 2−2+1t2，④③−④得，x 2−y 2=4，故C 2的普通方程为：x 2−y 2=4. (2)联立C 1,C 2 {x +y −4=0，x 2−y 2=4，解得：{x =52，y =32， 所以点P 坐标为：P (52,32). 设所求圆圆心为Q (a,0)，半径为a ，故圆心Q (a,0)到P (52,32)的距离为√(52−a)2+(32−0)2=a ，解得a =1710，所以圆Q 的圆心为(1710, 0)，半径为1710，则圆Q 的直角坐标方程为：(x −1710)2+y 2=(1710)2，即．x 2+y 2−175x =0，所以所求圆的极坐标方程为： ρ=175cos θ.【考点】圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化 直线与双曲线结合的最值问题 参数方程与普通方程的互化 点到直线的距离公式 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)C 1：{x =4cos 2θ，①y =4sin 2θ，②①+②得，x +y =4，故C 1的普通方程为：x +y −4=0. 由 {x =t +1t ，y =t −1t 可得{x 2=t 2+2+1t2，③y 2=t 2−2+1t 2，④③−④得，x 2−y 2=4，故C 2的普通方程为：x 2−y 2=4. (2)联立C 1,C 2 {x +y −4=0，x 2−y 2=4，解得：{x =52，y =32， 所以点P 坐标为：P (52,32). 设所求圆圆心为Q (a,0)，半径为a ，故圆心Q (a,0)到P (52,32)的距离为√(52−a)2+(32−0)2=a ，解得a =1710，所以圆Q 的圆心为(1710, 0)，半径为1710， 则圆Q 的直角坐标方程为：(x −1710)2+y 2=(1710)2， 即．x 2+y 2−175x =0，所以所求圆的极坐标方程为： ρ=175cos θ.【答案】解：(1)当a =2时，f (x )={7−2x ，x ≤3，1，3<x ≤4，2x −7，x >4.试卷第21页，总21页 因此，不等式f (x )≥4的解集为{x|x ≤32或x ≥112}.(2)因为f (x )=|x −a 2|+|x −2a +1|≥|a 2−2a +1|=(a −1)2， 故当(a −1)2≥4，即|a −1|≥2时， f (x )≥4，所以当a ≥3或a ≤−1时，f (x )≥4；当−1<a <3时， f (a 2)=|a 2−2a +1|=(a −1)2<4. 所以a 的取值范围是(−∞,−1]∪[3,+∞).【考点】绝对值不等式的解法与证明绝对值三角不等式【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)当a =2时，f (x )={7−2x ，x ≤3，1，3<x ≤4，2x −7，x >4.因此，不等式f (x )≥4的解集为{x|x ≤32或x ≥112}.(2)因为f (x )=|x −a 2|+|x −2a +1|≥|a 2−2a +1|=(a −1)2， 故当(a −1)2≥4，即|a −1|≥2时， f (x )≥4，所以当a ≥3或a ≤−1时，f (x )≥4；当−1<a <3时， f (a 2)=|a 2−2a +1|=(a −1)2<4. 所以a 的取值范围是(−∞,−1]∪[3,+∞).。
2020届百师联盟高三练习(二)(全国Ⅱ卷)数学(理)试题解析
绝密★启用前2020届百师联盟高三练习（二）（全国Ⅱ卷）数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知实数集R ，集合}{2230A x x x =--，则A =R ð（ ）A ．3(,1)(,)2-∞-+∞U B ．3(1,)2-C ．31,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．3(,1)[,)2-∞-⋃+∞答案：C解出集合A 中的不等式即可 解：因为}{2230A x x x =-- {32x x =>或}1x <- 所以31,2R A ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦ð故选：C 点评：本题考查的是集合的运算，较简单.2．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足2()ln (1)f x x x f x '=++，则(2)f '=（ ） A ．132-B ．132C ．152D ．152-答案：A 先求出()()121+1f x f x x''=+，然后令1x =求出()1f '，然后即可求出()2f ' 解：因为2()ln (1)f x x x f x '=++ 所以()()121+1f x f x x''=+令1x =时有()()1121+1f f ''=+，所以()12f '=-所以()14+1f x x x '=- 所以()11328+122f '=-=-故选：A 点评：本题考查的是导数的运算，较简单.3．如图是某校高三某班甲､乙两位同学前六次模拟考试的数学成绩，若甲、乙两人的平均成绩分别是1x 、2x ，则下列判断正确的是（ ）A ．12x x >，甲比乙成绩稳定B ．12x x <，乙比甲成绩稳定C ．12x x =，甲比乙成绩稳定D ．12x x =，乙比甲成绩稳定 答案：D由茎叶图分别求出12,x x ，从而得到12x x =，由茎叶图知甲的数据较分散，乙的数据较集中，从而得到乙比甲成绩稳定. 解： 由茎叶图知：11111151231281361431266x +++++==21121261271241321351266x +++++==所以12x x =由茎叶图知甲的数据较分散，乙的数据较集中 所以乙比甲成绩稳定 故选：D点评：本题考查的是茎叶图的知识，较简单.4．设221log (1),1()21,1x x x f x x +⎧->=⎨-≤⎩，则((1))f f 的值为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5答案：B先求出()1f ，然后即可求出((1))f f 解：因为221log (1),1()21,1x x x f x x +⎧->=⎨-≤⎩所以()21213f =-=所以()2((1))3log 83f f f === 故选：B 点评：本题考查的是分段函数的知识，较简单.5．设α表示平面，,m n 是两条不同的直线，给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（ ）①若m α⊂，//n m ，则//n α ②若m α⊥，//n m ，则n α⊥ ③若m α⊥，//n α，则m n ⊥ ④若//m α，//n α，则//m n A ．①② B ．②③C ．③④D ．①④答案：B根据空间中直线与平面的相关定理逐一判断即可 解：若m α⊂，//n m ，则//n α或n ⊂α，故①错误 若m α⊥，//n m ，则n α⊥，故②正确 若m α⊥，//n α，则m n ⊥，故③正确若//m α，//n α，则,m n 可以相交、平行、异面，故④错误 故选：B 点评：本题考查的是运用空间中直线与平面的相关定理判断命题的真假，较简单.6．某居民小区要建一个容积为38m ，高为2m 的无盖长方体蓄水池，已知该蓄水池的底面造价师每平方米200元，当最低造价为3200元时，则侧面每平方米的造价为（ ） A ．110元 B ．130元C ．150元D ．170元答案：C设长方体容器的长为xm ，宽为ym ，侧面每平方米的造价为a 元，则可得到4xy =，然后该容器的造价为：()()20022228004z xy x x y y a x y a =++++=++⋅，用基本不等式求出最小值，然后即可解出a 解：设长方体容器的长为xm ，宽为ym ，侧面每平方米的造价为a 元 则28xy =，即4xy =则该容器的造价为：()()20022228004z xy x x y y a x y a =++++=++⋅800480016a a ≥+=+当且仅当2x y ==时取得最小值 所以800163200a +=，解得150a = 故选：C 点评：本题考查的是利用基本不等式求解实际问题中的最值问题，较简单.7．已知1sin cos 3αα+=，(,0)2απ∈-，则)4sin 2παα+=（ ）A．8- B．8C．4- D．4答案：A由条件先算出8sin 29α=-，然后再求出()2cos sin αα-即可 解：因为1sin cos 3αα+=，所以()21sin cos 9αα+= 即112sin cos 9αα+=，即11sin 29α+=，所以8sin 29α=-所以()217cos sin 1sin 29ααα-=-=因为(,0)2απ∈-，所以cos sin 0αα-> 所以17cos sin 3αα-=所以172cos()cos sin 317348sin 2sin 289πααααα+-===-- 故选：A 点评：要熟悉sin cos αα±与sin cos αα的关系，即()2sin cos 12sin cos 1sin 2ααααα±=±=±.8．已知向量(1,2)AB =-u u u r ，(4,1)BC =-u u u v ，则向量AC u u u r在向量BA u u u r 方向上的投影为（ ） A ．25-B ．55-C ．5 D ．25答案：C先算出AC u u u r和BA u u u r 的坐标，然后即可求出答案.解：因为(1,2)AB =-u u u r ，(4,1)BC =-u u u v所以()()3,1,1,2AC AB BC BA =+==-u u u r u u u r u u u r u u u r所以向量AC u u u r在向量BA u u u r 方向上的投影为31125514AC BA BA⨯+⨯-⋅==+u u u r u u u ru u u r故选：C 点评：本题考查的是坐标形式下向量的相关计算，较简单.9．函数()2ln f x x x =的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．答案：A根据函数()2ln f x x x =为偶函数，可排除,B D 选项，再根据函数值的情况排除C ,得到答案. 解：由()22()ln ln ()f x x x x x f x -=--==，即函数()f x 为偶函数，其图像关于y 轴对称, 可排除,B D 选项. 又当x →+∞ 时，()f x →+∞，可排除C . 故选：A 点评：本题考查根据表达式选择图像，这类题主要从函数的定义域、值域、对称性(奇偶性)、单调性、特殊点处的函数值等方面着手分析,属于中档题.10．《乌鸦喝水》是《伊索寓言》中一个寓言故事，通过讲述已知乌鸦喝水的故事，告诉人们遇到困难要运用智慧，认真思考才能让问题迎刃而解的道理，如图2所示，乌鸦想喝水，发现有一个锥形瓶，上面部分是圆柱体，下面部分是圆台，瓶口直径为3厘米，瓶底直径为9厘米，瓶口距瓶颈为23厘米，瓶颈到水位线距离和水位线到瓶底距离均为332厘米，现将1颗石子投入瓶中，发现水位线上移32厘米，若只有当水位线到达瓶口时乌鸦才能喝到水，则乌鸦共需要投入的石子数量至少是（ ）A ．2颗B ．3颗C ．4颗D ．5颗。
2020届全国名师联盟高三第二次联考数学(理)试题
2020届全国名师联盟高三第二次联考数学（理科）试卷★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、设集合M ={1,2,3}，N ={x |1log 2>x ），则N M ⋂=( ) A ．{3} B ．{2,3} C ．{1,3} D ．{1,2,3}2、设()f x 是R 上的任意函数，下列叙述正确的是（ ）A 、()()f x f x -是奇函数；B 、()()f x f x -是奇函数；C 、()()f x f x +-是偶函数；D 、()()f x f x --是偶函数 3、下列各式错误．．的是（ ）. A. 0.80.733> B. 0..50..5log 0.4log 0.6> C. 0.10.10.750.75-< D. lg1.6lg1.4>4、设集合{|12}M x x =-≤<,{|0}N x x k =-≤，若M ∩N ≠∅，则k 的取值范围是（ ）A ．]2,(-∞B ．),1[+∞-C ．),1(+∞-D ．[－1，2]5、 若)(x f 是奇函数，且0x 是函数x e x f y -=)(的一个零点，则0x -一定是下列哪个函数的零点( )A ．1)(--=xe xf y +1 B ．1)(+=-xex f y C ．1)(+=x e x f y D ．1)(-=x e x f y6、 函数2651()()3xx f x -+=的单调递减区间为（ ）.A. (,)-∞+∞B. [3,3]-C. (,3]-∞D. [3,)+∞7、 如图的曲线是幂函数n x y =在第一象限内的图象. 已知n 分别取2±，12±四个值，与曲线1c 、2c 、3c 、4c 相应的n 依次为（ ）.A ．112,,,222-- B. 112,,2,22-- C. 11,2,2,22-- D. 112,,,222--8、函数2ln 4)(x x x f -=的大致图象是( )9、 下列有关命题的说法中错误的是．．．．（ ） （A ）若“p q 或”为假命题，则p 、q 均为假命题 （B ）“1x =”是“1x ≥”的充分不必要条件（C ）“12sin x =”的必要不充分条件是“6x π=”（D ）若命题p ：“∃实数x 使20x ≥”，则命题p ⌝为“对于x R ∀∈都有20x <”10、函数f (x )＝1＋log 2x 和g (x )＝21＋x 在同一直角坐标系下的图象大致是( )425c 4c 3c 2c 1第1页 共4页11、函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋3a ， x <0a x ， x ≥0(a >0且a ≠1)是R 上的减函数，则a 的取值范是( )A ．(0,1)B ．[13，1)C ．(0，13]D ．(0，23]12、定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋2xy (x ，y ∈R )，f (1)＝2，则 f (－3)等于 ( )A ．2B ．3C ．6D ．9二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上.13、函数3log y x =的定义域为 . （用区间表示）14、已知幂函数()y f x =的图像过点12,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则()22log f 的值为 . 15、设,0.(),0.x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩则1(())2g g =__________．16、我国的人口约13亿，如果今后能将人口数年平均增长率控制在1%，那么经过x 年后我国人口数为y 亿，则y 与x 的关系式为____________________.三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17、（本题满分12分）已知二次函数()f x 的最小值为1，且(0)(2)3f f ==（1）求()f x 的解析式；（2）若()f x 在区间[]2,1a a +上是单调函数，求实数a 的取值范围． 18、（本题满分12分）已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =. （1）若a b =，求cos ;B（2）若90B =，且2,a = 求ABC ∆的面积. 19、（本题满分12分）已知{a n }是公差d≠0的等差数列，a 2，a 6，a 22成等比数列，a 4+a 6=26；数列{b n }是公比q 为正数的等比数列，且b 3=a 2，b 5=a 6． （Ⅰ）求数列{a n }，{b n }的通项公式； （Ⅱ）求数列{a n •b n }的前n 项和T n ． 20、（本题满分12分）有编号为1210,,,D D D L 的10个零件，测量其直径（单位：mm ），得到下面数据： 其中直径在区间（148，152]内的零件为一等品． 编号 1D 2D3D4D5D6D7D8D9D10D直径 151148 149 151 149 152 147 146 153 148（1）从上述10个零件中，随机抽取2个，求这2个零件均为一等品的概率； （2）从一等品零件中，随机抽取2个. 用ξ表示这2个零件直径之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望． 21、（本题满分12分）已知函数)0(3ln )(≠∈--=a R a ax x a x f 且．（Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）若函数)(x f y =的图像在点))2(,2(f 处的切线的斜率为1，问： m 在什么范围取值时，对于任意的]2,1[∈t ，函数)](2[)(23x f mx x x g '++=在区间)3,(t 上总存在极值？ 22、（本题满分10分）第3页 共4页在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ．（Ⅰ）直线l的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求直线l与曲线C交点的极坐标（其中ρ≥0，0≤θ≤2π）．数学(理科) 答案一、选择题（每小题5分） ACCBC DABCD BC12.[答案] C [解析] ∵f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋2xy ，对任意x 、y ∈R 成立，∴x ＝y ＝0时，有f (0)＝f (0)＋f (0)， ∴f (0)＝0，又f (1)＝2，∴y ＝1时，有f (x ＋1)－f (x )＝f (1)＋2x ＝2x ＋2，∴f (0)－f (－1)＝0，f (－1)－f (－2)＝－2，f (－2)－f (－3)＝－4， 三式相加得：f (0)－f (－3)＝－6，∴f (－3)＝6. 二、填空题（每小题5分）13、[1,)+∞； 14、12； 15、12； 16、*13 1.01,x y x N =⨯∈。
百师联盟2020届高三开学考试摸底大联考全国卷数学(理)试卷及解析
百师联盟2020届高三开学考试摸底大联考全国卷数学（理）试卷★祝考试顺利★(解析版)一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|31A x x =-<≤,集合{|B x y ==,则A B =（ ）A. ⎡⎤⎣⎦B. (⎤⎦C. ⎡-⎣D. (-【答案】D【解析】由题意{|B x x =≤≤,再由集合并集的概念直接计算即可得解.【详解】由题意{{}{2||20|B x y x x x x ===-≥=≤≤,所以{{}{(|31|3|x x A B x x x x ⋃=-<≤=-<≤=≤≤⋃-．故选：D.2.已知命题:,(0,1)∀∈P x y ,2x y +<,则命题 P 的否定为（ ）A. ,(0,1)∀∈x y ,2x y +≥B. ,(0,1)∀∉x y ,2x y +≥C. 00,(0,1)∃∉x y ,002+≥x yD. 00,(0,1)∃∈x y ,002+≥x y【答案】D【解析】根据全称命题的否定是特称命题,可直接得出结果.【详解】命题:,(0,1)∀∈P x y ,2x y +<的否定为“00,(0,1)∃∈x y ,002+≥x y ”．故选D3.已知实数,x y 满足2,2,10,y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-+⎩则32x y +的最大值为( )A. 7B. 5C. 4D. 92【答案】A【解析】 画出已知约束条件对应的可行域,求出直接,代入目标函数,得到结果．【详解】解：实数x ,y 满足2210y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-+⎩对应的可行域如下图所示：由210y x y =⎧⎨-+=⎩解得(1,2)A ,32z x y =+经过可行域的A 时, 目标函数取得最大值．当1x =,2y =时,327z x y =+=,故32z x y =+的最大值为7,故选：A ．4.某商场开展转转盘抽奖活动,每抽奖一次转动一次转盘（转盘如图）,经测量可知一等奖,二等奖和三等奖所在扇形区域的圆心角分别为20︒,50︒和60︒,则抽奖一次中一等奖的概率为( )。
百校联盟2020届高三TOP20三月联考(全国II卷)理科数学试题(word版,PDF解析)
百校联盟2020届高三TOP20三月联考（全国II 卷）数学(理)试题一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)已知集合A={x|2x-3≥0}.B={x|x(x -2)<0}.则A∩B= 3()|2A x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭… (B)3{|2}2x x <„ (C){r|0≤x<2} (D)3|02x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭„ (2)设复数z 满足21i i z+=-.则|z |等于 (A 3)2 (B)10 (C 2) (D)2(3)下列函数中,既是偶函数,又在(0,+∞)上单调递增的是(A)f(x)=1-x 2 (B)1()f x x x =- (C)12)()log ||f x x = (D)f(x)=2|x|(4)已知双曲线22:13y C x -=，F 为双曲线C 的右焦点,过点F 作与渐近线垂直的直线与另一条渐近线交点M.则|FM|=()23A ()3B ()22C (D)4(5)如图所示。
某几何体的三视图均为直角三角形。
则围成该几何体的各面中。
直角三角形的个数为(A)1 (B)2 (C)3 (D)4(6)如图，在平面直角坐标系xOy 中.扇形AOB 的圆心角为34π.半径为1.Р是¶AB 上一点,其横坐标为223则sin ∠BOP=(2)3A(B)33(C42)6+(D)326+(7)正六面体有6个面，8个顶点:正八面体有8个面，6个顶点.我们称它们互相对偶.如图.连接正六面体各面的中心，就会得到对偶的正八面体.在正六面体内随机取一点,则此点取自正八面体内的概率是(1)6A(B)15(C1)4(D)13(8)执行如图所示的程序框图,若输入a的值为2019,则输出S的值为(A)4 (B)10 (C)79 (D)93(9)设x,y 满足不等式组 2..0.x y y x a y +⎧⎪⎪⎪+⎨⎪⎪≈⎪⎩„„且4y x +的最大值为12则实数a 的值为 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4(10)设0<1,tan()tan 2cos a πβαβββ<<-+=.则 ()22A παβ+= (B)22παβ-= ()22C a πβ+= (D)22παβ-=(11)已知椭圆C 2222:1(0x y a b a b+=>>的右焦点为F.点A.B 是椭圆C 上关于原点O 对称的两个点.且||||,0.AO AF FA FB =⋅=u u u r u u u r 则椭圆C 的离心率为(1A()2B(C)2(D)3(12)若函数f(x)=alnx-e x 有极值点,则实数a 的取值范围是(A)(-e,+∞)(B)(1,e) (C)(1,+∞) (D)(0,+∞)第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题～第23题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分. (13)261()x x +的展开式中含x 3项的系数是____(用数字作答).(14)甲、乙,丙、丁4人站在一栋房子前·甲说:"我没进过房子":乙说:"丙进去过":丙说:"丁进去过":丁说:"我没进过房子".这四人中只有一人进过房子，且只有一人说了真话.则进过这栋房子的人是__. (15)在△ABC 中,∠A=60∘,AB=3.24, 33BD BC AD BC =⋅=-u u u r u u u r u u u r u u u r ,则AC=______. (I6)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,且b+c=a(cosB+cosC).若△ABC 的周长的最大值为4+则a=___.三,解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,12111,,21(2)3n n n a a a a n a +===+∈且*N … (I)证明:1{}na 为等差数列: (II)求数列3{}nna 的前n 项和T n .(18)(本小题满分12分)如图，四棱锥A-BCDE 中,底面BCDE 为直角梯形,ED ∥BC,∠EDC=90°，22EB EC ==，AB=AE=ED=2,F 为AB 的中点.(Ⅰ)证明:EF ∥平面ACD;(Ⅱ)若23AC =，求直线BC 与平面ACD 所成角的正弦值.（19）（本小题满分12分）近几年。
2020年高考理科数学(2卷)：答案详细解析(word版)
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（II 卷）答案详解一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的.1. （集合）已知集合{}2,1,0,1,2,3U =--，{}1,0,1A =-，{}1,2B =，则()C U A B =A. {}2,3-B. {}2,2,3-C. {}2,1,0,3--D. {}2,1,0,2,3--【解析】∵{1,0,1,2}A B =-，∴(){}C 2,3U AB =-. 【答案】A2. （三角函数）若α为第四象限角，则A. cos20α>B. cos20α<C. sin 20α>D. sin 20α<【解析】α为第四象限角，即π2π2π2k k α-+<<，∴π4π24πk k α-+<<， ∴2α是第三或第四象限角，∴sin 20α<.【答案】D3. （概率统计，同文3）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作，已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05. 志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者A.10名B.18名C.24名D.32名【解析】该超市某日积压500份订单未配货，次日新订单不超过1600份的概率为0.95，共2100份，其中1200份不需要志愿者，志愿者只需负责900份，故需要900÷50＝18名志愿者.【答案】B4.（数列）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块. 下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次增加9块. 已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）A ．3699块B ．3474块C ．3402块D ．3339块【解析】设每一层有n 环，由题意可知从内到外每环的扇面形石板块数之间构成等差数列，且19a =，9d =，由等差数列性质可知，n S 、2n n S S -、32n n S S -也构成等差数列，且公差229d n d n '==.因下层比中层多729块，故有2322()()9729n n n n S S S S n ---==，解得9n =. 因此三层共有扇面形石板的块数为327127262726==272799=340222n S S a d ⨯⨯+=⨯+⨯. 【答案】C5. （解析几何，同文8）若过点（2,1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为A ．5 B. 25 C. 35 D. 45【解析】如图A5所示，设圆的方程为222()()x a y b r -+-=，∵ 圆过点（2, 1）且与两坐标轴都相切，∴ 222(2)(1)a b r a b r ==⎧⎨-+-=⎩，解得1a b r ===或5a b r ===， 即圆心坐标为(1,1)或(5,5)，圆心到直线230x y --=22211325521⨯--+或22255325=521⨯--+.图A5【答案】B6.（数列）数列()n a 中，12a =，m n m n a a a +=，若1551210...22k k k a a a ++++++=-，则k =A. 2B. 3C. 4D. 5【解析】∵m n m n a a a +=，∴211211n k n k k k a a a a a a a +--===，故有1210111551210...(222)(22)22k k k k k a a a a a ++++++=+++=-=-，∴42k a =又∵2111211112n n n n n n a a a a a a a a ---======，∴ 422k k a ==，∴4k =.【答案】C7.（立体几何）下图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为A．E B．F C．G D．H【解析】由三视图的特点，如图A7所示，该端点在侧视图中对应的点为E.图A7【答案】A8．（解析几何，同文9）设O为坐标原点，直线x a=与双曲线C：22221 x ya b-=（a>0,b>0）的两条渐近线分别交于D,E两点，若ODE∆的面积为8，则C的焦距的最小值为A．4B．8C．16D．32【解析】如图A8所示，双曲线C：22221x ya b-=（a>0,b>0）的渐近线为by xa=±，由题意可知，(,)D a b ，(,)E a b -，∴ 1282ODE S a b ab ∆=⋅==， ∴ 焦距22226422248c a b a a =+=+≥⨯=，当且仅当22a =时，等号成立. 故C 的焦距的最小值为8.图A8【答案】B9.（函数）设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则()f xA.是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增 B.是奇函数，且在11(,)22-单调递减 C.是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增 D.是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减 【解析】∵()ln |21|ln |21|ln |21|ln |21|()f x x x x x f x -=-+---=--+=-，∴()f x 是奇函数，∵()ln ||g x x =，1()g x x '=，（即ln ||x 与ln x ，二者的导函数相同） ∴224()2121(21)(21)f x x x x x -'=-=+--+， 当1(,)2x ∈-∞-时，()0f x '<，()f x 在1(,)2-∞-单调递减. 当11()22x ∈-，时，()0f x '>，()f x 在1(,)2-∞-单调递增.当1()2x ∈+∞，时，()0f x '<，()f x 在1(,)2-∞-单调递减. 【答案】D10.（立体几何，同文11）已知△ABC 是面积为934的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上，若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为A ．3B ．32 C ．1 D ．32【解析】由题意可知239344ABC S AB ∆==，∴3AB =， 如图A10所示，设球O 的半径为R ，则24π16πR =，∴2R =，设O 在△ABC 上的射影为O 1，则O 1是△ABC 的外接圆的圆心， 故123333O A == O 到平面ABC 的距离22111OO R O A =-=.图A10【答案】C11. （函数，同文12）若2233x y x y ---<-，则A. ln(1)0y x -+>B. ln(1)0y x -+<C. ln ||0x y ->D. ln ||0x y -<【解析】2233x y x y ---<-可化为2323x x y y ---<-，设1()2323x x x x f x -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，由指数函数的性质易知()f x 在R 上单调递增，∵2323x x y y ---<-，∴ x y <，∴0y x ->，∴11y x -+>，∴In(1)0y x -+>.【答案】A12. （概率统计）0-1周期序列在通信技术中有着重要应用，若序列12...n a a a 满足 {}0,1(1,2,...)i a i ∈=，且存在正整数m ，使得(1,2,...)i m i a a i +==成立，则称其为0-1周期序列，并满足(1,2,...)i m i a a i +==的最小正整数m 为这个序列的周期，对于周期为m 的0-1序列12...n a a a ，11()(1,2,...1)i m i k i C k a a k m m +===-∑是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1的序列中，满足1()(1,2,3,4)5C k k ≤=的序列是A. 11010...B. 11011...C. 10001...D. 11001...【解析】解法一（计数思想）：由5111()(1,2,3,4)55i i k i C k a a k +==≤=∑，可得511i i k i a a +=≤∑. 因0=1i i k a a +⎧⎨⎩，故对于每一个(1,2,3,4)k k =，1i i k a a +=的个数不超过1，所以对于所有的(1,2,3,4)k k =，1i i k a a +=的总个数不能超过4.A 选项：1i i k a a +=的个数为236A =，故A 选项不符合题意.B 选项：1i i k a a +=的个数为2412A =，故B 选项不符合题意. D 选项：1i i k a a +=的个数为236A =，故D 选项不符合题意.C 选项：1i i k a a +=的个数为222A =，即151(4)a a k ==和511(1)a a k ==，因此可推出1(1)(4)5C C ==，(2)(3)0C C ==，故C 选项符合题意. 解法二（排除法）： 由解法一可知，对于每一个(1,2,3,4)k k =，1i i k a a +=的个数不超过1.A 选项：当2k =时，241a a =，411a a =，故A 选项不符合题意.B 选项：当1k =时，121a a =，451a a =，故B 选项不符合题意.D 选项：当1k =时，121a a =，511a a =，故D 选项不符合题意.C 选项：序列的一个周期内只有两个1，1i i k a a +=的情况只有151(4)a a k ==和511(1)a a k ==，因此可推出1(1)(4)5C C ==，(2)(3)0C C ==，故C 选项符合题意.解法三（答案验证法）：按照题设的定义11()(1,2,...1)i mi k i C k a a k m m +===-∑，逐个验证答案，使用排除法，即可得到正确选项. 如A 选项，121(2)(01010)=555C =++++>，排除A 选项，其余的这里不再赘述. 【答案】C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.（平面向量）已知单位向量a ，b 的夹角为45°，k -a b 与a 垂直，则k =_______. 【解析】∵()ka b a -⊥，∴22()02ka b a ka a b k -⋅=-⋅=-=，∴22=k . 【答案】22 14.（概率统计）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有 种.【解析】根据题意，先把4名同学分为3组，其中1组有两人，2组各有一人，即从4名同学中任选两人即可，故有24C 种选法；将分成的3组同学安排到3个小区，共有33A 种方法；所以不同的安排方法共有234336=C A 种.【答案】36 15.（复数）设复数1z ，2z 满足122z z ==,则123z z i +，则12z z -=_______.【解析】解法一：在复平面内，用向量思想求解，原问题等价于：平面向量b a ，满足2||||==b a ，且,1)3(=+b a ，求||b a -.∵2222||2||2||||b a b a b a +=-++，∴16||42=-+b a ，∴12||2=-b a ，∴32||=-b a . 即1223-=z z解法二：在复平面内，如图A15所示，因12122==+=z z z z ，则1z ，2z ，12+z z 组成一个等边三角形，所以1z ，2z 之间的夹角为120°，所以22o 1212122cos120=44423-=+-++=z z z z z z .图A15【答案】316.（立体几何，同文16）设有下列4个命题：1P ：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.2P ：过空间中任意三点有且仅有一个平面.3P ：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.4p ：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m l ⊥.则下述命题中所有真命题的序号是_________① 14p p ∧ ② 12p p ∧ ③ 23p p ⌝∨ ④ 34p p ⌝∨⌝【解析】由公理2可知，p 1为真，p 2为假，2p ⌝为真；若空间两条直线不相交，则这两条直线可能平行，也可能异面，所以p 3为假，3p ⌝为真；由线面垂直的定义可知p 4为真；所以①14p p ∧为真命题，②12p p ∧为假命题，③23p p ⌝∨为真命题，④34p p ⌝∨⌝为真命题，故真命题的序号是①③④.【答案】①③④三、解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题，共60分.17.（12分）（三角函数）ABC ∆中，222sin sin sin sin sin A B C B C --=，（1）求A ；（2）若3BC =，求ABC ∆周长的最大值.【解析】（1）由正弦定理和已知条件得222BC AC AB AC AB --=⋅，△ 由余弦定理得2222cos BC AC AB AC AB A =+-⋅， △ 由△，△得1cos 2A =-. 因为0πA <<，所以2π3A =. （2）由正弦定理及（1）得23sin sin sin AC AB BC B C A ===，从而 23AC B =，3π)3cos 3AB A B B B =--=-. 故π333cos 323)3BC AC AB B B B ++=+=++. 又π03B <<，所以当π6B =时，ABC △周长取得最大值33+. 18.（12分）（概率统计，同文18）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加，为调查该地区某种野生动物的数量，将其分为面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据()()1,220i i x y i =⋅⋅⋅，，，，其中i x 和i y 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得()()()()22202020202011111601200-80-9000--800ii i i i i i i i i i xy x xy yx x y y ==========∑∑∑∑∑，，，，.（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本()(),1,2,,20i i x y i =⋯的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由。
2020届百校联盟(全国卷)高三第二次模拟考试数学(理)试题
2020届百校联盟（全国卷）高三第二次模拟考试数学试题（理科）★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题（每小题5分，共60分） 1．i是虚数单位，41i z i=- 则||z =( )A. 2B.C. 4D. 2．集合{}|2lg 1A x x =<，{}2|90B x x =-≤，则A B =( )A.[3,3]-B.(C.(]0,3D.⎡-⎣3．已知向量2a =，1b =，2)2(=-⋅b a a,则a 与b 的夹角为 ( )A.o 30B.o 60C.o 90D.o 1504.为了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响, 某地从育龄人群中随机抽取了容量为200的调查样本, 其中：城镇户籍与农村户籍各100人；男性120,女性80人, 绘制不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图（如图所示）, 其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例, 则下列叙述中错误的是（ ）A ．是否倾向选择生育二胎与户籍有关B ．是否倾向选择生育二胎与性别无关C ．倾向选择生育二胎的人群中, 男性人数与女性人数相同D ．倾向选择不生育二胎的人群中, 农村户籍人数少于城镇户籍人数5.设变量y x ,满足约束条件,042001⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥+≤--y x y x y x 则y x z 2-=的最大值为 （ ） A.23B.-12C.0D. 1 6.正项等差数列}{a n 的前n 项和为n S ，已知==+-+92573,015S a a a 则( )A.35B.36C.45D.547.b a ,是两条不同的直线,βα,是两个不同的平面,βα⊥⊂b a , ,则 “βα//”是 “b a ⊥”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.已知实轴长为22的双曲线)0,0(1:2222>>=-b a b y a x C 的 左,右焦点分别为)0,2(),0,2(21F F - 点B 为双曲线C 虚轴上的一个端点，则21F BF ∆的重心到双曲线C 的渐近线的距离为 （ ） A.32 B. 32 C. 33D. 31 9．将函数f （x ）＝sinx 的图象向右平移π4个单位长度后得到函数y ＝g （x ）的图象，则函数y ＝f （x ）g （x ）的最大值为( )C.1D.1210.在ABC ∆中，C B A ,,所对的边分别为,2,3,,,-=⋅=B c b a π且满足,sin 2sin sin B C A =+则该三角形的外接圆的半径为（ ）A.334 B.332 C.3 D. 11.已知点A 是抛物线y x 42= 的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足PF m PA = ，若m 取得最大值时，点P 恰好在以F A ,为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）A.13-B.12-C.215- D.212-12.已知函数a x x ax x f +-=221ln )(有且只有一个极值点，则实数a 构成的集合是 （ ）A. {}0<a aB. {}0>a aC. {}1<a aD. {}1>a a 二、填空题（每小题5分，共20分）13．二项式51)x的展开式中2-x 的系数是_______________.14.已知)(x f 为奇函数，当0≤x 时，,3)(2x x x f -=则曲线)(x f y =在点)4,1(-处的切线方程为_______________.15.已知数列{}n a 满足()24cos πn a n n n =+，则{}n a 的前50项的和为_______________.16. 三棱锥P ABC -中，底面ABC ∆满足BA BC =，2ABC π∠=，P 在面ABC 的射影为AC 的中点，且该三棱锥的体积为92，当其外接球的表面积最小时，P 到面ABC 的距离为_______________.三、解答题17．（本小题满分12分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1A A ABCD ⊥底面,AB AC ⊥,1AB =,12,AC AA AD CD ===且点M 和N 分别为11C D B D 和的中点.（I ）求证：MN//平面ABCD ； （II ）求二面角11D -AC B -的正弦值18. （本小题满分12分）支付宝宣布在肯德基的KPRO 餐厅上线刷脸支付，也即用户可以不用手机，单单通过刷脸就可以完成支付宝支付，这也是刷脸支付在全球范围内的首次商用试点.某市随机抽查了每月用支付宝消费金额不超过3000元的男女顾客各300人，调查了他们的支付宝使用情况，得到如下频率分布直方图：若每月利用支付宝支付金额超过2千元的顾客被称为“支付宝达人”， 利用支付宝支付金额不超过2千元的顾客称为“非支付宝达人”.（I ）若抽取的“支付宝达人”中女性占120人，请根据条件完成上面的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“支付宝达人”与性别有关.（II ）支付宝公司为了进一步了解这600人的支付宝使用体验情况和建议，从“非支付宝达人” “支付宝达人”中用分层抽样的方法抽取8人.若需从这8人中随机选取2人进行问卷调查，求至少有1人是“支付宝达人”的概率. 附：参考公式与参考数据如下，其中.19.（本小题满分12分） 已知数列}{n a 满足n n n n n a b N n a a a a 4112321log ),(2222=∈=++++*+- （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列}b 1{1n +⋅n b 的前n 项和n T ．20．（本小题满分12分）椭圆2222: 1 (0)x y E a b a b +=>>过点(0,1)P 做斜率为k 的直线l ，椭圆E 与直线l 交于,A B 两点，当直线l 垂直于y 轴时||AB =． （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）当k 变化时，在x 轴上是否存在点(,0)M m ，使得AMB ∆是以AB 为底的等腰三角形，若存在求出m 的取值范围，若不存在说明理由．21.（本小题满分12分） 已知).ln()(2a x ex f x++=.（Ⅰ）当1a =时，①求()f x 在()0,1处的切线方程；②当0≥x 时，求证：()()21f x x x ++≥.（Ⅱ）若存在[)00,x ∈+∞，使得()()20002ln f x x a x ++＜成立，求实数a 的取值范围.选考题：本小题满分共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答. 22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知极点为直角坐标系的原点，极轴为x 轴正半轴且单位长度相同的极坐标系中曲线1:1C ρ=，).(1212:2为参数t t y t x C ⎪⎩⎪⎨⎧+=-=（Ⅰ）求曲线1C 上的点到曲线2C 距离的最小值；（Ⅱ）若把1C 上各点的横坐标都扩大原来为原来的2倍，得到曲线1C '.设()1,1P -，曲线2C 与1C '交于A ，B 两点，求PA PB +.23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数.,322)(R m m x x x f ∈+++= （Ⅰ）当2-=m 时，求不等式3)(≤x f 的解集；（Ⅱ）),0,(-∞∈∀x 都有xx x f 2)(+≥恒成立，求m 的取值范围.数学试题（理科答案）1B 2C 3B 4C 5A 6C 7A 8D 9A 10B 11B 12A 13.-10 14.5x+y-1=0 15.1375 16.3.17【解析】(I)证明：依题意，可得(0,0,1)n =为平面ABCD 的一个法向量，50,,02MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 由此可得，0MN n ⋅=，又因为直线MN ⊄平面ABCD ，所以//MN 平面ABCD (II)1(1,2,2),(2,0,0)AD AC =-=，设1(,,)n x y z =为平面1ACD 的法向量，则1110n AD n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22020x y z x -+=⎧⎨=⎩，不妨设1z =，可得1(0,1,1)n =，设2(,,)n x y z =为平面1ACB 的一个法向量，则2120n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，又1(0,1,2)AB =，得2020y z x +=⎧⎨=⎩，不妨设1z =，可得2(0,2,1)n =- 因此有12121210cos ,n n n n n n ⋅==-⋅，于是123sin,n n =所以二面角11D AC B --. 18(1)(2)2813 19（Ⅰ）当1n =时，41=a 当2n ≥时由132121+23222n nn a a a a +-+++=- 312122+23222nn n a a a a --+++=- 两式相减得122nn n a -=，即212n n a -=………………………4分 且上式对于1n =时不成立．所以数列{}n a 的通项公式⎩⎨⎧≥==-2,21,412n n a n n …… 6分 （Ⅱ）因为2122,111-=≥==n b n b n n 时，当时，，…………………………………………8分114112()(21)(21)2121n n b b n n n n +==--+-+所以12231111n n n T b b b b b b +=+++=12234+-n …………………………………………12分20（Ⅰ）由已知椭圆过点⎫⎪⎪⎝⎭，可得22222271143a b a b c c a⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩，.………………………………………………3分 解得229,4a b ==所以椭圆的E 方程为22194x y +=. ……………5分（Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 的中点00(,)C x y由221194y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得22(49)18270k x kx ++-=，所以120002294, 124949x x k x y kx k k +-===+=++. …………………7分 当0k ≠时，设过点C 且与l 垂直的直线方程22194()4949k y x k k k =-++++ 将(,0)M m 代入得：549m k k=-+……………………………9分若0k >，则49k k +≥， 若0k <，则449[(9)]12k k k k -+=-+-≤- 所以5012m -≤<或5012m <≤………………………………………11分当0k =时，0m =综上所述，存在点M 满足条件,m 取值范围是551212m -≤≤.……………12分 21．（1）1a =时，2()ln(1)xf x e x =++，21()21xf x e x '=++--------1分 ①(0)1f =，1(0)231f '=+=，所以()f x 在(0,1)处的切线方程为31y x =+--------3分 ②设()()22()ln(1)10x F x e x x x x =++-+-≥()'21()22111x F x e x x =+-+-+--------4分 ()''222222l l ()42210(1)(1)x x x x F x e e e e x x ⎡⎤=--=-+-+>⎢⎥++⎣⎦ 所以，()'F x 在[)0,+∞上递增，所以''()(0)0F x F ≥=--------6分所以，()F x 在[)0,+∞上递增，所以()(0)0F x F ≥=--------7分（2）原问题00x ⇔∃≥使得02200ln()0x e x a x -+-<设22()ln()x u x e x a x =-+-21()22x u x e x x a'=--+ 221()420x u x e x a '=+->+（） ()u x '∴在[0,)+∞单调增1()(0)2u x u a''∴≥=- 1当12a ≥时，1(0)20u a'=-≥ ()u x ∴在[0,)+∞单调增，min ()(0)1ln 0u x u a ∴==-<a e ∴> --------10分 2当12a <时，1ln()ln()2x a x +<+ 设11()ln(),(0)22h x x x x =--+> 112()11122x h x x x -'=-=++ 另11()0,()0022h x x h x x ''>⇒><⇒<< ()h x ∴在1(0,)2单调递减，在1(,)2+∞单调递增1()()02h x h ∴≥= 设221()(),(0)2x g x e x x x =--->2()221x g x e x '=-- 2()42420x g x e ''=->-> ()g x '∴在(0,)+∞单调递增 ()(0)10g x g ''∴>=>()g x ∴在(0,)+∞单调递增()(0)0g x g ∴>>2211ln()ln()22x e x x x x a ∴->->+>+ ∴当12a <时，2()2ln()f x x a x >++恒成立，不合题意--------12分 22．（1）221:1C x y +=，圆心为(0,0)，半径为1；2:2C y x =+--------2分圆心到直线距离d ==分 所以1C 上的点到2C1.--------5分（2）伸缩变换为2x x y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩，所以221:143x y C '''+=--------7分 将2C 和1C '联立，得27100t +-=.因为120t t <--------8分1212||||||||||7PA PB t t t t ∴+=+=-=-----23.解：当m=-2时，, 当解得当恒成立 当解得 此不等式的解集为.当时，当时，不等式化为.由当且仅当即时等号成立.，.当时，不等式化为.，令，.，在上是增函数.当时，取到最大值为..综上.。
2020年高考试题高三数学全国卷2(理科)全解全析
2020 年一般高等学校招生全国一致考试理科数学（全国 2 卷）全解全析一、选择题10i1、=2 i（A ） -2+4i (B) -2-4i (C) 2+4i (D)2-4i【答案】 A【分析】 运用复数基本运算化为复数代数形式、设会合A= ｛ x ｜ x 3｝， ＝｛ x ｜x12Bx 4（A ） （B ） （3，4） （C ） （-2，1）【答案】 B【分析】 解分式不等式并求交集3、已知 V ABC 中， cotA= 12 ,则 cosA=5（A ）125 512（ B ）（ C ） (D) 1313 13 13 【答案】 D0｝则 A I B=（D ） （4+）【分析】 由 cotA=12A ，清除（ A ）、（B ）；若 cosA 5 12,知，213，则 sin A513则 cot Acos A 5 与题设不符，清除（ C ），应选 Dsin A12或由 cotA=12 tan A5secA1 tan2 A13 ，512 12∴ cos A112secA13【易错提示】 同角三角函数基本关系并注意所在象限的符号x4、 .曲线 y=2x 1在点（ 1， 1）处的切线方程为（A ） x-y-2=0 (B)x+y-2=0 (C)x+4y-5=0(D)x-4y-5=0【答案】 B【分析】 y'1( 2x 1) x 2 1 ，切线的斜率 k y' x 111( 2x ( 2 11)2( 2x 1)2 1)2∴切线方程为 y 1( x 1) x y 2 05.、已知正四棱柱 ABCD A 1 B 1C 1 D 1 中，AA 1 2AB ，E 为 AA 1 中点，则异面直线 BE 与 CD 1所成角的余弦值为（A ）10(B)1(C)3 10 (D)3 105105【答案】 C【分析】如图，取DD 1的中点 F，连结 CF，则 CF ∥BE ，∴∠ D1CF为所求。
设 AB＝ 1，则CF 2.CD15， FD1＝1由余弦定理得：cos D1CF( 2)2( 5)216310225 2 10。
百师联盟2020届全国高三开学摸底大联考全国卷理科数学试题及答案解析(12页)
百师联盟2020届全国高三开学摸底大联考全国卷理科数学试题理科数学试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.考试时间120分钟，满分150分.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|31}A x x =-<„，集合{|B x y ==，则A B ⋃=（ ）A．[ B．( C．[- D．(-2.已知命题:,(0,1)P x y ∀∈，2x y +<，则命题P 的否定为（ ） A ．,(0,1)x y ∀∈，2x y +… B ．,(0,1)x y ∀∉，2x y +…C ．00,(0,1)x y ∃∉，002x y +…D ．00,(0,1)x y ∃∈，002x y +…3.已知实数,x y 满足2,2,10,y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-+⎩„…„则32x y +的最大值为（ ） A ．7B ．5C ．4D ．924.某商场开展转转盘抽奖活动，每抽奖一次转动一次转盘（转盘如图），经测量可知一等奖，二等奖和三等奖所在扇形区域的圆心角分别为20︒，50︒和60︒，则抽奖一次中一等奖的概率为（ ）A ．1336 B ．1736 C ．1936D ．595.已知P 为圆22(1)1x y ++=上任一点，,A B 为直线3470x y +-=上的两个动点，且||3AB =，则PAB △面积的最大值为（ ）A ．9B ．92C ．3D ．326.元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题：“今有竹七节，下两节容米四升，上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？”其大意为：现有一根七节的竹子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等量减少，问竹子各节各装米多少升？以此计算，第四节竹子的装米量为（ ） A ．1升 B ．23升 C ．32升 D ．43升 7.如图，在梯形ABCD 中，2BC AD =，DE EC =，设BA a =u u u r ，BC b =u u u r ，则BE =u u u r（ ）A ．1124a b + B ．1536a b +C ．2233a b + D ．1324a b + 8.执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A ．3B ．2020C ．3030D ．10109.()()5102221x xxx +-+的展开式中，含7x 项的系数为（ ）A ．100B ．300C ．500D ．11010.已知函数()sin 0)f x x x ωωω=+->在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有三个零点，则ω的取值范围是（ ） A ．1014,33⎛⎫⎪⎝⎭ B ．1014,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．144,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．144,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭11.如图，四棱锥P ABCD -中，底面为直角梯形，90BAD ADC ∠=∠=︒，23AB CD =，E 为PC 上靠近点C 的三等分点，则三棱锥B CDE -与四棱锥P ABCD -的体积比为（ ）A ．19 B ．15 C ．16 D ．1312.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>，12,F F 为其左右焦点，线段2F A 垂直直线b y x a=，垂足为点A ，与双曲线交于点B ，若2F B BA =u u u r u u u r，则该双曲线的离心率为（ ）A B ．2C ．3D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.若复数2221iz i-=++，则||z =_____. 14.在一次考试后，为了分析成绩，从1、2、3班中抽取了3名同学（每班一人），记这三名同学为A B C 、、，已知来自2班的同学比B 成绩低，A 与来自2班的同学成绩不同，C 的成绩比来自3班的同学高.由此判断，来自1班的同学为______.15.数列{}n a 中，其前n 项和为n S 且221nn n S a =-+，则10S =_____.16.若函数1()e xf x x b a=--在其定义域上的最小值为0，则2a b 最小值为_____.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证眀过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.在ABC △中，三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()sin sin()sin a c A c A B b B -++=. （1）求B ；（2）若8a c +=，三角形的面积ABC S =△b .18.如图所示的多面体的底面ABCD 为直角梯形，四边形DCFE 为矩形，且DE BC ⊥，AD DC ⊥，又AD AB ⊥，122AB AD DE CD ====，,,M N P 分别为,,EF BF BC 的中点.（1）求证：BC ⊥平面MNP ；（2）求直线MN 与平面BCF 所成角的余弦值..19.移动支付（支付宝支付，微信支付等）开创了新的支付方式，使电子货币开始普及，为了了解习惯使用移动支付方式是否与年龄有关，对某地200人进行了问卷调查，得到数据如下：60岁以上的人群中，习惯使用移动支付的人数为30人；60岁及以下的人群中，不习惯使用移动支付的人数为40人.已知在全部200人中，随机抽取一人，抽到习惯使用移动支付的人的概率为0.6.（1）完成如下的列联表，并判断是否有99.9%的把握认为习惯使用移动支付与年龄有关，并说明理由.（2）在习惯使用移动支付的60岁以上的人群中，每月移动支付的金额如下表：现采用分层抽样的方法从中抽取9人，再从这9人中随机抽取4人，记4人中每月移动支付金额超过3000元的人数为Y ，求Y 的分布列及数学期望.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.20.函数2()ln 6()a f x a x x a x=--∈R . （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若0a >，证明：当(0,2]x ∈时，()0f x <恒成立.21.已知2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率e =，椭圆的左焦点为1F ，短轴的两个端点分别为12,B B ，且11122F B F B ⋅=u u u u r u u u u r.（1）求C 的标准方程；（2）若过左顶点A 作椭圆的两条弦,AM AN ，且0AM AN ⋅=u u u u r u u u r，求证：直线MN 与x 轴的交点为定点.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题．．．．作答.如果多做，则按所做第一题计分.作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的倾斜角为4π，且过点(5,)M a ，曲线C 的参数方程为4cos ,3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）当曲线C 上的点到直线l 的最大距离为l 的直角坐标方程. 23.[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()|1||2|f x x x =+--. （1）求不等式()1f x <-的解集；（2）若()|1|f x a -„的解集为实数集R ，求实数a 的取值范围.百师联盟2020届全国高三开学摸底大联考 全国卷理科数学答案及评分意见1.D【解析】[B =，所以(A B ⋃=-.2.D 【解析】由全称命题,()x M p x ∀∈的否定为x M ∃∈，()P x ⌝可得00,(0,1)x y ∃∈，002x y +…. 3.A 【解析】由可行域可知，过点(1,2)时，32x y +取得最大值7.4.C 【解析】概率20502601936036P ︒+︒+⨯︒==︒.5.B 【解析】圆心到直线的距离为|37|25--=，所以圆上的点到直线的最大距离为213+=，所以PABS △的最大值为193322⨯⨯=. 6.B 【解析】设竹子自下而上的各节容米量分别为127,a a a L ，则有12676a a a a +++=，由等差数列的性质可得17423a a a +==，所以432a =. 7.D 【解析】取BC 中点F ，则1111322224BE BC CE BC FA BC BA BC BA BC⎛⎫=+=+=+-=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r1324a b =+. 8.C 【解析】10a =，23a =，32a =-，45a =，54a =-，67a =…可知12343a a a a +=+==L 当2020i =时，101033030S =⨯=.9.A 【解析】30()11520(1)krkr k r k T T C C x-+++=-，其中05r 剟，020k 剟，，则23r k +=，所以可取3r =，20k =或4r =，19k =或5r =，18k =，分别代入求和得7x 项得系数为100.10.D 【解析】()2sin 3f x x πω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，则()f x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有三个根，则3sin x πω⎛⎫+=⎪⎝⎭有且仅有三个根，则233x k ππωπ+=+或223k ππ+.k ∈Z .需2223233πωπππππ++<+…解得144,3ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭. 11.B 【解析】设四棱锥P ABCD -的高为h ，则三棱锥B CDEE -的高为13h ，2AB a =，则3CD a =，所以11532p ABCD V a AD h -=⨯⨯⨯⨯，1113323B CDE V a AD h -=⨯⨯⨯⨯，所以15B CDE P ABCD V V --=12.A 【解析】2F A 所在的直线方程为()a y x c b =--，与直线by x a =的交点为2,a ab A c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，B 为线段FA 的中点，所以22,22c a ab B c c ⎛⎫+⎪⎝⎭，代入双曲线方程得()2222222222244a c a b b a a b c c+⨯-⨯=得222c a =，所以ce a==13. 【解析】(2)(1)222(1)(1)i i z i i i --=+=-+-，所以||z =14.B 【解析】由题，B 不是来自2班，A 不是来自2班，所以C 来自2班，又B 的成绩比来自2班的同学高，C 的成绩比来自3班的同学高，所以B 不能来自3班，只能来自1班. 15.9217 【解析】11121a S a ==-，得11a =， 又11112222nn n n n n n S S a a a ++++-==-+-，即11222n n n n a a ++-=-得111222n n n n a a ++-=. 所以2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项12为公差的等差数列，即11(1)2222n na n n =+-⨯=， 所以122n n a n =⨯由错位相减法可得109217S =. 16.21e-【解析】由题，0x x e b a --…恒成立，可转化为直线1y x b a =+与曲线xy e =相切. 设切点坐标为()00,x x e ，则0001,1.x x e x b a e a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩可得0201x x a b e -=，令1()e t t h t -=，则2()e tt h t -'=可得当2t =时，()h t 取得最小值21e-. 17. 【解析】（1）由()sin sin()sin a c A c A B b B -++=， 得()sin sin sin a c A C c b B -+=. 由正弦定理得22()a c a c b -⨯+=，即222122a cb ac +-=. 所以1cos 2B =，又因为(0,)B π∈ 所以3B π=.（2）由（1）知3B π=，1sin 2ABC S ac B ==△16ac =， 又8a c +=，解得4a =，4c =，所以：2222cos 16b a c ac B =+-=，得4b =. 18.【解析】（1）证明：因为,P N 分别为,BC BF 的中点，所以PN CF P ，因为四边形EDCF 为矩形，所以DE CD ⊥ 又因为DE BC ⊥，所以DE ⊥平面ABCD ，所以PN BC ⊥ 取CD 中点H ，连接,,PH BH MH ，则MH CF PN P P ，所以点,,,M N P H 同在平面MNP 内.在BHC △中，2BH AD ==，2CH CD AB =-=，90BHC ∠=︒，P 为BC 中点， 所以HP BC ⊥又因为PN 交HP 于点P ，所以BC ⊥平面MNP .（2）由（1）知,,AD DE CD 三条直线两两垂直且交于点D ，以D 为原点，,,DA DC DE 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系.则(2,2,0)B ，(0,4,0)C ，(0,4,2)F ，因为,M N 分别为,EF BF 中点，可得(0,2,2)M ，(1,3,1)N ，设平面BCF 的法向量为(,,)m x y z =u r ，则0,0.n BF n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u rr u u u r即220,2220.x y x y z -+=⎧⎨-++=⎩ 令1x =，可得1y =，0z =，所以(1,1,0)n =r.所以cos ,||||n MN n MN n MN ⋅〈〉==r u u u u rr u u u u r r u u u u r .所以MN 与平面BCF3=. 19.【解析】 （1）列联表如图：220024002400120013.18710.828701*********K ⨯⨯==≈>⨯⨯⨯.所以有99.9%的把握认为习惯使用移动支付与年龄有关.（2）由（1）得30x =，所以在抽取的9人中，月支付金额在[100,1000]的有1人，在(1000,2000]的为2人，在(2000,3000]的为3人，3000以上的为3人，则46495(0)42C P Y C ===，31634910(1)21C C P Y C ===，2263495(2)14C C P Y C ===. 1363491(3)21C C P Y C ===， 所以分布列为510514()0123422114213E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=. 所以Y 的数学期望为43. 20.【解析】（1）222226()6a a x ax a f x x x x-++'=+-=. 令()0f x '=，得2260x ax a -++=， 解得12a x =，23a x =-. ①当0a =时，()60f x '=-<，所以()f x 在(0,)+∞上单调递减.②当0a >，02a >，03a -<，()f x 在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. ③当0a <时，02a <，03a ->，()f x 在0,3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在,3a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. （2）当0a >时，由（1）得()f x 在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,2a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减. ①当22a <，即04a <<时，()f x 在(0,2]的最大值 max ()ln 5ln 5222a a a f x f a a a ⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因为04a <<，所以ln ln 2ln 12a e <<=. 所以ln 502a a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭， ②当22a …，即4a …时，()f x 在(0,2]内单调递增. max ()(2)ln 2122a f x f a ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭. 因为4a …，ln 2ln 12a e <=<. 所以ln 202a a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，所以ln 21202a a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭. 综合①②可知当(0,2]x ∈时，()0f x <恒成立.21.【解析】（1）设1(,0)F c -，1(0,)B b ，2(0,)B b -，由题意2c a =，① 1112(,)(,)2F B F B c b c b ⋅=⋅-=u u u u r u u u u r ，②又222c a b =-，③由①②③得24a =，21b =，所以椭圆方程为2214x y +=. （2）由题可知，(0,2)A -，直线,AM AN 斜率存在且不为零，设直线AM 斜率为k ， 则直线AN 斜率为1k-. 设直线AM 方程为(2)y k x =+，与椭圆方程联立得22(2),440.y k x x y =+⎧⎨+-=⎩得()222214161640k x k x k +++-=.① 方程①的一根为2-，设(),M M M x y ， 则22164214M k x k --=+，得222814M k x k -=+， 所以()2M M y k x =+，得2414M k y k =+ 得222284,1414k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 同理可得（将k 换为1k -）得222284,44k k N k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭. 则()()()()232222242222442012020514428284416161611144MN k k k k k k k k k k k k k k k k k k +++-++====-------+-++. 所以直线MN 的方程为222245284444k k k y x k k k ⎛⎫--+=- ⎪+-+⎝⎭. 令0y =，则()()()()()222222221616428624645545454k k k k x k k k k --+---=+===-++++. 所以，直线MN 与x 轴的交点为定点6,05⎛⎫-⎪⎝⎭. 22.【解析】（1）由4cos ,3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.得cos ,4sin .3x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 所以2222sin cos 43x y θθ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以曲线C 的直角坐标方程为221169x y +=. （2）直线l 的方程为5y a x -=-，即50x y a -+-=.设曲线C 上任一点(4cos ,3sin )M θθ，则点M 到直线l 的距离d ==3tan 4ϕ=）. ①当50a ->时，max d ==，解得10a =. ②当50a -<时，max d ===0a = 综合①②可知直线l 的直角坐标方程为50x y -+=或50x y --=.23.【解析】（1）由题可得3,1,()21,12,3,2,x f x x x x --⎧⎪=--<<⎨⎪⎩„…31,1,()1211,1 2.x f x x x -<--⎧<-⇔⎨-<--<<⎩„ 解得0x <，所以不等式的解集为(,0)-∞.（2）由（1）可得若()|1|f x a -„的解集为R ，只需|1|3a -….解得2a -„或4a …，-∞-⋃+∞.所以实数a的取值范围为(,2][4,)。
【精准解析】开卷教育联盟全国2020届高三模拟考试(二)数学(理)试题
可判断①②的真假，再通过解三角形求得18 ， 36 的三角函数，可判断③④真假.
-2-
【详解】如图，等腰 ABC ，顶角 A 36 ，
做角 B 的角平分线 BD ，与 AC 边交于 D ， 则 ABD 为底角为 36 的等腰三角形， BDC 为顶角为 36 的等腰三角形，所以 ABC BDC ， 设 AB AC x, BC BD AD y ， y x y ，
4
A.
7
3
B.
7
C. 2 7
1
D.
7
【答案】A 【解析】 【分析】
先求出八大家随机取两位的方法数为 C82 ，再求出两个来自同一朝代的有 C22 C62 ，即可求解.
【详解】在唐宋八大家中随机取两位，
则他们来自同一朝代的概率是 P
C22 C62 C82
4
.
7
故选:A.
【点睛】本题考查古典概型的概率，利用组合数公式是解题的关键，属于基础题.
52 5
8
5 (
5 1)2 ， 2
所以③④不正确.
故选:B.
-3-
【点睛】
本题以数学文化为背景，考查等腰三角形的性质、求三角函数值，考查计算求解能力，属于
中档题.
5.已知函数 f x
2
，则 y＝f（x）的图象大致为（ ）
x lnx 1
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】 利用特殊值判断函数的图象即可．
D. f x g x 是奇函数
-1-
【答案】C 【解析】 【分析】 根据函数奇偶性的性质即可得到结论．
【详解】解： f (x) 是奇函数， g(x) 是偶函数，