流体运动能量方程
流体力学能量方程
流体力学能量方程
流体力学能量方程是流体力学基本方程之一，它根据流体运动的物理
原理对流体势能进行描述。
它可以用来分析流体动力学中流体运动的能量
特性，简化流体力学设计和分析的程序，并用于求解流体动力学问题。
流体力学能量方程的基本形式为：
∂(ρeu)/∂t + ∂(ρeuv)/∂x + ∂(ρeV2)/∂y + ∂(ρegh)/∂z = 0。
其中，ρ是流体的密度，e是单位体积的能量，u和v分别是流体在
x和y方向上的速度，g是重力加速度，h是流体的截面高度，t是时间。
该方程表明，随着时间的推移，流体总动能和总势能的变化之和为0，即流体总能量保持不变。
流体的能量方程
广义牛顿假设代入后的动能方程
牛顿粘性假设： 代入
（2.36 ） （2.65）可得：
其中：
10
动能方程各项的含义
左边：动能变化率 ① ：质量力做功 ② ：面力做功的和 ③ ：微团膨胀（压缩）做功所增加（减少）的动能 ④ ：-E 恒为负值，表示由于粘性摩擦总是动能减少（损耗）
11
热流量方程
两点说明： ① 一般机械能包括动能和位能，而位能是由于引力作用产生
的，而流体中流点之间的引力作用非常小，一般不予以考 虑，所以流体的机械能只考虑动能部分。 ② 流体总能量方程的假设：设流体是“完全气体”，此时流 体的内能可以写成： ， 是定容比热。 对非孤立系统：总能量的变化等于外力做功（包括质量力 和系统外部的面力做功）和热量的输入。下面一项项的看： （取一块体积为τ ，面积为 σ 的小流体块）。
2
总能量：机械能和热能(内能)—(对流体)—动能和内能， 即：
（单位质量的内能和动能）： ➢ 小流体块总能量的变化率： ➢ 质量力做功率： ➢ 面力做功率： ➢ 热流入量（如单位时间经过辐射或其他原因传入小流体块
的总热量）： q 是单位质量流体块受到的热流入量。
3
合并积分部分，并把全微分写到积分号里面去，再除以密
② 理想不可压流体作定常运动时存在伯努利方程（2.73’）， 它将速度和压力联系起来，可以“测压求速”，而不用 解复杂的运动方程。
③ 应用——皮托管。
20
度后，得到：
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ห้องสมุดไป่ตู้
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流体力学能量方程
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流体力学能量方程
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目录
• 引言 • 流体的基本属性 • 流体的能量方程 • 能量方程的应用 • 案例分析 • 结论
CHAPTER
引言
流体力学的重Βιβλιοθήκη 性流体力学是物理学的一个重要分支，它研究流体（液体和气体）的运动规律、热 力学性质以及它们与固体的相互作用。流体力学在工程、环境、生物医学等领域 有着广泛的应用。
总能量方程是流体力学中描述流体总 能量变化的方程。它包括了流体的内 能、动能和势能，反映了流体在运动 过程中各种能量之间的转换和平衡。
机械能方程
描述流体机械能（动能、势能）的守恒方程。
机械能方程是流体力学中描述流体机械能守恒的方程。它反映了流体在运动过程中动能和势能之间的转换和平衡，是流体动 力学的基本方程之一。
CHAPTER
结论
流体力学能量方程的意义
描述流体运动过程中能量的转换和传递
流体力学能量方程描述了流体在运动过程中动能、势能和内能之间的转换和传递关系， 是理解和预测流体运动规律的重要工具。
指导工程设计和优化
流体力学能量方程在许多工程领域中都有广泛应用，如航空航天、船舶、能源和环境等 。通过合理设计和优化流体系统，可以降低能耗和提高效率。
环境科学的应用
环境科学涉及到许多领域，如大气科学、水 文学、生态学等。通过使用流体力学能量方 程，科学家可以更好地理解环境系统中能量 的转化和传递过程，从而更好地保护和改善 环境。
CHAPTER
案例分析
河流流动的能量方程应用
总结词
描述河流流动中能量方程的应用。
详细描述
河流流动过程中，能量方程可以帮助我们理 解水流在不同地形、高度和阻力的影响下的 变化。通过能量方程，我们可以计算出水流 的速度、水头损失以及水流的动能和势能之 间的转换。这些信息对于水利工程、水文分
流体力学中三大基本方程
（ d t） d x d y d zd x d y d z d td x d y d z
t
t
单位时间内，微元体质量增量：
dtdxd/dyt dzdxdydz
t
t
（微团密度在单位时间内的变率及微团体积的乘积）
⑶根据连续性条件：
t x （ x ） y （ y） z （ z） 0
ax
dx
dt
x
t
x
x
x
y
x
y
z
x
z
ay
dy
dt
y
t
x
y
x
y
y
y
z
y
z
az
dz
dt
z
t
x
z
x
y
z
y
z
z
z
⑷代入牛顿第二定律求得运动方程：
得x方向上的运动微分方程：
d d txd x d y d z p xd x d y d z fx d x d y d z
单位体积流体的运动微分方程：
dx
dt
同理可得在单位时间内沿y，z方向流出 及 流入控制体的质
量差为
vy
d
x
d
yd和z
vz
dxdydz
y
z
故单位时间内流出及流入微元体流体质量总变化为：
x （ x） y （ y） z（ z） dxdydz
⑵控制体内质量变化：
因控制体是固定的，质量变化是因密度变化引起的，dt时间内：
pxfx
单位质量流体的运动微分方程：
dx
dt
1
p x
fx
同理可得y,z方向上的：
流体运动的控制方程连续性动量守恒和能量守恒
流体运动的控制方程连续性动量守恒和能量守恒流体运动的控制方程：连续性、动量守恒和能量守恒流体运动是物理学中研究流体在外力作用下的运动规律的一门学科。
通过对流体运动的描述和分析，可以揭示流体中的运动规律并解决实际问题。
在流体运动的研究中，控制方程是非常重要的工具，其中包括连续性方程、动量守恒方程和能量守恒方程。
本文将对这三个方程进行详细的讲解。
一、连续性方程连续性方程描述了流体在运动过程中的质量守恒规律。
它是基于质量守恒定律和物质的连续性原理推导出来的。
连续性方程的数学表达形式如下：∂ρ/∂t +∇·(ρv) = 0其中，ρ代表流体的密度，t代表时间，v代表流体的速度矢量。
∂/∂t表示对时间的偏导数，∇·表示散度运算。
这个方程表示了单位时间内单位体积内的质量变化率与流体速度的散度之间的关系。
二、动量守恒方程动量守恒方程描述了流体在运动过程中的动量守恒规律。
它是基于牛顿第二定律和动量守恒定律推导出来的。
动量守恒方程的数学表达形式如下：∂(ρv)/∂t + ∇·(ρv⃗v) = -∇P + ∇·τ + F其中，P代表静压力，τ代表剪切应力，F代表外力。
这个方程表示了单位时间内单位体积内的动量变化率与压力梯度、应力散度以及外力之间的关系。
三、能量守恒方程能量守恒方程描述了流体在运动过程中的能量守恒规律。
它是根据能量守恒定律推导出来的。
能量守恒方程的数学表达形式如下：∂(ρe)/∂t + ∇·(ρev) = -P∇·v + ∇·(k∇T) + q其中，e代表单位质量的内能，T代表温度，k代表热传导系数，q代表单位质量的热源项。
这个方程表示了单位时间内单位质量内能的变化率与压力梯度、热传导以及热源之间的关系。
结论通过以上对流体运动的控制方程的讲解，我们可以看到连续性方程、动量守恒方程和能量守恒方程对于分析和求解流体运动过程中的相关问题起到了十分重要的作用。
2-4流体流动系统的能量衡算
qm
23:26:03
16
管内流体压力的计算
将以上各值代入Bernoulli Equation
3 p2 1 147 10 1 2 2 1.26 20.94 2 1000 2 1000
解得:
p2=－71.45 kPa （表压）
即喷嘴出口处的真空度为71.45kPa。
23:26:03 1-4 流体流动系统的能量衡算 （19） 17
Bernoulli Equation是能量守恒定律在流体 流动系统中的应用，是流体力学的最重要的方 程。希望同学们通过做作业而掌握它，不然你 就不是“伯努力”了，而是“白努力”了。
The End
谢谢同学们！
即，位能=mgz
单位质量的流体所具有的位能为 gz，其单位为 J/kg。
23:26:03
1-4 流体流动系统的能量衡算 （19）
2
各项的能量形式
（2）静压能：在流体内部，任一处都有静压力。对于一个流动系
统，由于在1-1截面处流体具有一定的静压力，流体要通过该截面 进入系统，就需要对流体做一定的功，以克服这个静压力。换句话
计算结果表明，动能项数值很小，流体位能主要用于克服管路阻力。
压头损失不包括出口能量损失，因此2-2截面应取管出口内侧。若选2-2 截面为管出口外侧，计算过程有所不同，但结果一样。
23:26:03
1-4 流体流动系统的能量衡算 （19）
15
管内流体压力的计算
合成氨厂利用喷射泵输送氨。稀氨水的质量流量为1×104kg/h，密度 为1000kg/m3，入口处的表压为147kPa。管道的内径为53mm，喷嘴出口处 内径为13mm，喷嘴能量损失可忽略不计，试求喷嘴出口处的压力。 解：取稀氨水入口为1-1截面，喷嘴出口
流体力学三大方程公式及符号含义
流体力学是研究流体运动和力学的学科，涉及流体的运动规律、压力、密度等物理性质。
在流体力学的研究中，三大方程公式是非常重要的理论基础，它们分别是连续方程、动量方程和能量方程。
本文将对这三大方程公式及其符号含义进行详细介绍。
一、连续方程连续方程是描述流体连续性的重要方程，它表达了流体在运动过程中质点的连续性。
连续方程的数学表达式为：\[ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0 \]其中，符号和含义说明如下：1.1 ∂ρ/∂t：表示密度随时间的变化率，ρ为流体密度。
1.2 ∇·(ρv)：表示流体质量流动率的散度，∇为Nabla算子，ρv为流体的质量流速矢量。
这一方程表明了在运动的流体中，质量是守恒的，即单位体积内的质量永远不会减少，这也是连续方程的基本原理。
二、动量方程动量方程描述了流体运动过程中动量的变化和传递，是流体力学中的核心方程之一。
其数学表达式为：\[ \frac{\partial (\rho \mathbf{v})}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v} \mathbf{v}) = -\nabla p + \nabla \cdot \mathbf{\tau} + \mathbf{f} \]其中，符号和含义说明如下：2.1 ∂(ρv)/∂t：表示动量随时间的变化率。
2.2 ∇·(ρv⃗v)：表示动量流动率的散度。
2.3 -∇p⃗：表示流体受到的压力梯度力。
2.4 ∇·τ⃗：表示应力张量的散度，τ为流体的粘性应力张量。
2.5 f⃗：表示单位体积内流体受到的外力。
动量方程描述了流体内部和外部力之间的平衡关系，它是研究流体运动规律和动力学行为的重要方程。
三、能量方程能量方程描述了流体在运动过程中的能量变化规律，包括内能、压力能和动能等能量形式。
恒定元流能量方程
推导步骤
1. 2. 3. 4. 5. 假设条件--不可压缩、恒定流、只受重力 外力作功 p1dA1u1dt-p2dA2u2dt 动能改变 dEk=½dQdt（u22-u12） 势能变化 dEp=ρ dQ dt g Z2- ρ dQ dtgZ1 依据功能原理列等式
一、能量方程的依据原理 功能原理—外力所做的功等于机械能的变化
动的普遍规律，水流能量方程则是这一普 遍规律在水流运动中的具体表现。
• 从质量守恒定律推出的连续性方程，只给 出了流速和过水断面之间的关系，是一个 运动学方程。
• 由于水流运动的过程就是在一定条件下的 能量转化过程，因此流速与其他因素之间 的关系可以通过分析水流的能量关系得出。
• 先从最简单的理想液体元流情况入手。
例题：水流由水箱经前后相接的两管流出大 气中。大小管断面的比例为2：1.全部水头 损失的计算式参见下图。（1）求出口流速 v2；（2）绘总水头线和测压管水头线； （3）根据水头线求M点的压强pM。
1 ▽ 1 入口损失
0.5 12 2g
大小能头损失
2 0.1 2 2g
8.2m
沿程损失 沿程损失
1、方程的导出
对如图不可压缩理想流体
恒定流动力学模型，dt时
段内功能变化：
压力做功： 动能增加： 位能增加：
p1dA 1u1dt p2 dA 2u2 dt ( p1 p2 )dQdt （a）
u u u ( ) dQdt( ) g 2 2 2g 2g dQdt( z2 z1 )
渐变流中某一流段
16
上式具有三种积分类型，下面分别 讨论：
• •
( z )udA ( z )dQ 第一类积分：
A
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这里的 Q ' viscous 和W ' viscous 表示粘性项在方程中的适 当形式。 Nhomakorabea
§ 2.3.5 能量方程的物质导数形式
' D (eV 2 / 2) q pV f V Q viscous W ' viscous Dt
2 u k 3 x ij k
0 k E v kj ; j 1,3 ; k 1,3 u j kj q x k
§ 2.3.6 方程组封闭的条件
在能量方程中 ，引入了另外一个未知的流场变 量 e 。现在有三个方程，即连续方程，动量方程 和能量方程，但它们包含了四个独立的变量： , p,V和e。引入如下两个方程可以使系统封闭：
p RT
e cvT
N-S方程
连续方程： X方向动量方程： Y方向动量方程： Z方向动量方程： 能量方程：
S
等号左边分别为非定常情况总能变化率以及定常情况 下的能量流量；等号右边分别为热能传输率，粘性热 能传输率，压力、彻体力和粘性应力做功功率。
其实质流体中的热力学第一定律。
§ 2.3.4 能量方程的微分形式
2 2 e V / 2 e V / 2 V q pV t f V Q ' viscous W ' viscous
u i u j ij x j xi
uk k E e u j uk p jk ; j 1,3 , k 1 , 3 uk (et p )
T q xk k xk 2 et (e 1 u 2 2 k) P ( 1) (e 1 u 2 k)
§ 2.3.3 能量方程的积分形式
t e V / 2 d e V / 2 V dS
2
2
S
qd Q viscous pV dS f V d W viscous
§ 2.3.2 能量方程的物理意义
能量方程描述的是能量守恒规律：根据热力学 第一定律，控制体内能的增加等于外界环境传 给控制体的热能 q 以及外界环境对控制体做 功 w 的和。为简化推导形式，这里取控制体 为单位质量，e 为单位质量的内能，对于一个 静止系统有：
q w de
此即为热力学第一定律的表达式。
B2的计算。 在计算外界环境对控制体内的流体做功的功 率之前，我们考虑力对运动物体所做的功： 彻体力对控制体内
的流体做功的功率 F对运动物体做功的功率 F V 压力对控制体内的 即：力对运动物体做功的功率等于速度和力 流体所做功的功率 在速度方向分量的积。 剪切力做 功的功率 由此： B2 pV dS f V d W viscous
其中：
为密度，u,v和w分别为x，y和z三个方向的 速度分量， 为速度矢量，p为压强， T为温度，e为单位质量内能，为粘性系数， 为第二粘性系数，k为热传导系数。
k k W Ee EV t xk xk
W u j ; j 1,3 et
对流过空间位置固定的控制体的流体运用热 力学第一定律，设：
B1 外界环境传递给控制体 内流体热量的传热率
B2 外界环境对控制域内的 流体做功的功率
B3 控制体内流体能量的变 化率
根据热力学第一定律：
B1 B2 B3
（2-41）
由于上式的每一项都包含能量的时间变化率， 因此严格的讲方程（2-41）是功率方程，但 是它描述的是能量守恒原理，因此习惯上也 把方程（2-41）称为能量方程。 下面，我们分别讨论B1、B2和B3的计算，推 导出能量方程。
B1的计算。这可能是控制体内的流体吸收外 界环境的热辐射，在控制体内流体温度比外 由于粘性作用导致控 界温度高时，也可能是流体本身向外辐射热 制体热量增加的功率 量。此外在控制体内也可能发生化学氧化过 总的热传导功率 程，比如喷气引擎里燃料和空气的燃烧。
B1
q d Qviscous
§2.3 能量方程
§ 2.3.1 能量方程的引入 § 2.3.2 能量方程的物理意义 § 2.3.3 能量方程的积分形式 § 2.3.4 能量方程的微分形式 § 2.3.5 能量方程的物质导数形式 § 2.3.6 方程组封闭的条件
§ 2.3.1 能量方程的引入
对不可压流动，密度是常数。流场的主要 变量是压强 p 和速度 V 。连续方程和动 量方程都是关于 p 和 V方程。因此，对 定常的不可压流，连续方程和动量方程已 经封闭。 对可压流动，密度 也是一个变量。为 了使该系统封闭，还需要一个基本方程， 即本节的能量方程。
现在我们来求B3的表达式，控制体内流体能量的变 化率。
B3 t
eV / 2 d
2
S
V dS eV 2 / 2
单位时间流出控 制面的总能
控制体内由于流场变 量的瞬时变化引起的 总能随时间的变化率
于是，能量守恒方程B1+B2=B3变为：