流体力学中的三大基本方程

（ dt）dxdydz dxdydz dtdxdydz t t
单位时间内，微元体质量增量：
dtdxdydz / dt dxdydz t t
（微团密度在单位时间内的变率与微团体积的乘积）
⑶根据连续性条件：
（x） （y） （z） 0 t x y z
矢量形式：
0 t
——三维连续性微分方程
⑴适用条件： 不可压缩和可压缩流体 理想和实际流体 稳态及非稳态流动 ⑵不可压缩性流体的连续性微分方程：
x z 0 x y z
y
or
div 0

说明流体体变形率为零，即流体不可压缩。或流入 体积流量与流出体积流量相等。
向量形式：
d 1 f gradp dt
——理想流体欧拉运动微分方程
式中：
p p p gradp i j k x y Z
适用条件：理想流体，不可压缩流体和可压缩流体
（5）连续性微分方程和运动方程在求解速度场中的应用 这里以不可压缩粘性流体稳定等温流动为例： 连续性方程：
推导得：
d
gdz 1
1

dp gdz
Or

dp d 0
——伯努利方程微分形式。
说明： 流体质点在微小控制体dxdydz范围内，沿任意方向流线流动时的能量平衡关 系式。
①适用范围：理想流体、稳定流体、质量 力只有重力且在微小控制体dxdydz范围内 沿某一根流线； ②物理意义：揭示了沿某一根流线运动着 的流体质点速度，位移和压强、密度四者 之间的微分
理解：质量为m微团以v 运动，具有mv2/2动能，若用 重量mg除之得v2/2g
三者之和为单位重量流体具有的机械能。
物理意义：
理想、不可压缩流体在重力场中作稳定 流动时，沿流线or无旋流场中流束运动 时，单位重量流体的位能，压力能和动 能之和是常数，即机械能是守恒的，且 它们之间可以相互转换 。
3.1 伯努利方程积分形式
1.沿流线的积分方程：
gdz
设：
1

dp d 0

2
2
gz
dP

C
const
gz p

2
2

C
Or
p z C r 2g
2
——理想流体微元流束的伯努利方程。
①适用条件：理想流体、不可压缩性流体、稳定 流动、质量力只有重力，且沿某一根流线； ②任选一根流线上的两点：
⑴皮托管：
A点为驻点（
总压 0）：
B点：A点前选一点不受玻璃管干扰的点； A--B认为是一条流线。 列沿流线AB上两点的伯努利方程：
pA pB zA zB r 2g r 2g
2 A 2 B
zA=z
B
A =0
总压
静压
动压
PB总=PA=r(H0+h) PB=rH0
a
在三个坐标轴上的分量表示成：
⑷代入牛顿第二定律求得运动方程： 得x方向上的运动微分方程：
d x p dxdydz dxdydz f x dxdydz dt x
单位体积流体的运动微分方程：
d x p fx dt x
单位质量流体的运动微分方程：
⑵几何意义：
z ：单位重量流体的位置水头； （距离某一基准面的高度） P/r : 单位重量流体的压力水头，或静压头； （具有的压力势能与一段液柱高度相 当）
2
: 单位重量流体具有的动压头or速度水头,速度压头。 2g
物理中：质量为m以速度v垂直向上抛能达到的 最高高度为v2/2g
三者之和为单位重量流体的总水头。
理想流体稳定流动的伯努利微分方程
由理想流体欧拉运动微分方程
1 p d x fx x dt 1 p d y fy y dt 1 p d z fz z dt
是稳定流动，vx,vy,vz，p都只是坐标函数，与时间 无关，方程转换去除t项
2 2 2 y 1 p y y x y z fy ( 2 2 2 ) t x y z y x y z
y
y
y
z z z z 1 p 2 z 2 z 2 z x y z fz ( 2 2 2) t x y z z x y z
PA PB B 2g 2 gh r
⑵皮托—静压管
在皮托管上再接一个静压管，即为皮托静压管，二者差即为动压。
列1、2两点的伯努利方程：
2 1
p1 p2 z1 z2 r1 2 g r2 2 g
2 2
z1 z 2， 1 0
p1 p2 2 2 g r1 r2 2 gh r1
d x 1 p fx dt x
同理可得y,z方向上的：
d x x x x x 1 p x y z fx dt t x y z x d y y y y y 1 p x y z fy dt t x y z y d z z z z z 1 p x y z fz dt t x y z z
p1 p2 z1 z2 c（流线变化了则C值变化） r 2g r 2g
2 1 2 2
③静止流体：
p z C r
静力学方程
静止容器内任一点的z 与 P/r 之和为常数。
物理意义及几何意义：
⑴物理意义： z
: 单位重量流体所具有的位能N· M/N ；（可以看成mgz/mg） P/r : 单位重量流体所具有的压力能；
⑶稳定流动时：所有流体物性参数均不随时间而变， 0 t
（x） （y） （z） 0 x y z div( ) 0
⑷二维平面流动： x
x

y y
0
2.理想流体的运动方程
3.4.1---欧拉运动微分方程

理论依据：是牛顿第二定律在流体力学上的具体应用，它建 立了理想流体的密度、速度、压力与外力之间的关系。 1775 年由欧拉推出流体力学中心问题是流速问题，流体流速 与其所受到外力间的关系式即是运动方程。
运动方程：
x y z 0 x y z
x x x x 1 p 2 x 2 x 2 x x y z fx ( 2 2 2) t x y z x x y z
y

推导过程：
⑴取微小六面控制体
⑵推导依据：
牛顿第二定律or动量定理：
d d（m ） F ma m dt dt
即作用力之合力=动量随时间的变化速率
⑶分析受力：
① 质量力：
单位质量力： f f i f j f k x y z
X方向上所受质量力为：
几何意义：
理想、不可压缩流体在重力场中作稳态流动时，沿一根 流线（微小流束）的总水头是守恒的，同时可互相转换。
3.2 伯努利方程的应用
①
可求解流动中的流体v、P 及过某一截面的流量；
以伯努利方程为原理测量 流量的装置。
②
皮托管（毕托管）：测量流 场中某一点流速的仪器。

皮托曾用一两端开口弯成 直角的玻璃管测塞那河道 中任一点流速。
1. 含有四个未知量 （ x， y， z , P） 完整的方程组。 2. 描述了各种量间的依赖关系。
3. 通解、单值条件（几何条件、物理条件、边界条件、初 始条件）→特解。
即描述流体流动的 完整方程组+单值性条件→描述某一特定流动。
3. 伯努利方程 (Bernoulli)
伯努利（D.Bernouli 1700－1782）方程的提出和意义


y，z。设控制体中心点处流速的三个分量为 vx，v y，vz ,液 体密度为 。将各流速分量按泰勒级数展开，并略去高 阶微量，可得到该时刻通过控制体六个表面中心点的流 体质点的运动速度。例如：通过控制体前表面中心点 M的 质点在x方向的分速度为
1 v x vx dx 2 x
通过控制体后表面中心点N的质点在x方向的分速度为
dxdydz f
f x dxdydz
② 表面力： 理想流体，没有粘性，所以表面力只有压力 X方向上作用于垂直x轴方向两个面的压力分别为：
p dx pM p x 2
p dx pN p x 2
X方向上质点所受表面力合力： p （pM pN）dydz dxdydz x
1 v x vx dx 2 x
因所取控制体无限小，故认为在其各表面上的流速均匀分布。 所以单位时间内沿x轴方向 1 vx 流入控制体的质量为 vx dxdydz 2 x 流出控制体的质量为 v 1 vx dxdydz x 2 x
于是，单位时间内在x方向流出与流入控制体的质量差为
1 vx 1 vx vx vx dxdydz vx dxdydz dxdydz 2 x 2 x x
同理可得在单位时间内沿 y ， z 方向流出与流入控制体的质 量差为
流体质点加速度
d x x x x x ax x y z dt t x y z d y y y y y ay x y z dt t x y z d z z z z z az x y z dt t x y z
欲求Q，须 求

1 层流： max 2
紊流：
0 82 max
谢
谢
！
③ 流体质点加速度 a