微分形式的基本方程流体力学
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流体力学-N-S方程
dvx v x v x v x v x 1 p 2 vx vx vy vz x dt t x y z dvy v y v y v y v y 1 p 2 Y vy vx vy vz y dt t x y z 1 p 2 dvz v z v z v z v z Z vz vx vy vz z dt t x y z X
实际流体的运动微分 方程
——纳维-斯托克斯方程式 （N-S方程式）
以应力表示的黏性流体运动微分方程式
• 一、作用在流体微元上的应力 在粘性不起作用的平衡流体 中，或者在没有粘性的理想运动 流体中，作用在流体微元表面上 的表面力只有与表面相垂直的压 应力，而且压应力又具有一点上 各向同性的性质。
图一
v x x v y
（6）
由式（6）可以看出，由于各个方向的直线应变速 度不见得相等，因而这种由于粘性阻碍作用所产生的 法向应力也是各向不等的，p'xxp'yyp'zz统称为一点上的 各项异性压强。 • 于是在实际流体运动时，一点上的法向应力除了由 于分子运动统计平均的各向同性压强p之外，还需加上 由于粘性影响而与直线变形有关的各向异性压强，最 后可以得到法向应力与直线应变速度之间的关系为
（9）
此式说明一点上的各向同性压强也就是不可 压缩实际流体中不同方向压强的算术平均值。这 给具体计算实际流体中的压强带来很大的方便， 我们无需进一步研究各向异性压强，只要找出各 向同性压强与其他流动参数之间的关系，则据此 算出的各向同性压强事实上也就是不可压缩实际 运动流体一点上的流体动压强。
p的含义
但是在运动着的实际流体中取出边长dx、dy、 dz的六面体微元，如右图1多示，由于粘性影响，当 微元有剪切变形时，作用在微元体ABCDEFGH上的表 面力就不仅有压应力p，而且也有切应力τ 。当微元 有直线变形时，一点上的压应力也不再具有各项同 性的性质了。
实际流体的运动微分 方程
——纳维-斯托克斯方程式 （N-S方程式）
以应力表示的黏性流体运动微分方程式
• 一、作用在流体微元上的应力 在粘性不起作用的平衡流体 中，或者在没有粘性的理想运动 流体中，作用在流体微元表面上 的表面力只有与表面相垂直的压 应力，而且压应力又具有一点上 各向同性的性质。
图一
v x x v y
（6）
由式（6）可以看出，由于各个方向的直线应变速 度不见得相等，因而这种由于粘性阻碍作用所产生的 法向应力也是各向不等的，p'xxp'yyp'zz统称为一点上的 各项异性压强。 • 于是在实际流体运动时，一点上的法向应力除了由 于分子运动统计平均的各向同性压强p之外，还需加上 由于粘性影响而与直线变形有关的各向异性压强，最 后可以得到法向应力与直线应变速度之间的关系为
（9）
此式说明一点上的各向同性压强也就是不可 压缩实际流体中不同方向压强的算术平均值。这 给具体计算实际流体中的压强带来很大的方便， 我们无需进一步研究各向异性压强，只要找出各 向同性压强与其他流动参数之间的关系，则据此 算出的各向同性压强事实上也就是不可压缩实际 运动流体一点上的流体动压强。
p的含义
但是在运动着的实际流体中取出边长dx、dy、 dz的六面体微元，如右图1多示，由于粘性影响，当 微元有剪切变形时，作用在微元体ABCDEFGH上的表 面力就不仅有压应力p，而且也有切应力τ 。当微元 有直线变形时，一点上的压应力也不再具有各项同 性的性质了。
第3章-流体力学连续性方程微分形式
• 符号说明
物理意义
z 单位重流体的位能（比位能）
p
单位重流体的压能（比压能）
u 2 单位重流体的动能（比动能）
2g
z
p
单位重流体总势能（比势能）
z
p
u2 2g
总比能
第四节 欧拉运动微分方程的积分
几何意义
位置水头 压强水头 流速水头 测压管水头 总水头
( Xdx Ydy
Zdz)
1
(
p x
0
物理意义：不可压缩流体单位时间内流入单位空间的流体体积（质量） ，
与流出的流体体积（质量）之差等于零。
适用范围：理想、实际、恒定流或非恒定流的不可压缩流体流动。
第三节 流体动力学基本方程式
6
二、理想流体运动微分方程
理想流体的动水压强特性与静水压强的特性相同：
px py pz p
从理想流体中任取一(x,y,z)为 中心的微元六面体为控制体，边 长为dx,dy,dz，中心点压强为 p(x,y,z) 。
u2
( )dx ( )dy ( )dz
z x x 2
y 2
z 2
u2 d( )
2
由以上得：
gdz
d
(
p
)
d
u2 (
)
2
积分得：
z
p
u2 2g
C
第四节 欧拉运动微分方程的积分
• 理想势流伯努里方程
17
z
p
u2 2g
C
或
z1
p 1
u2 1
2g
z2
p2
u22 2g
物理意义：在同一恒定不可压缩流体重力势流中 ，理想流体各点的总比能 相等即在整个势流场中，伯努里常数C均相等。（应用条件：“——”所示）
流体力学基本方程的推导和应用
流体力学基本方程的推导和应用流体力学是研究流体运动规律的学科，它的基础是一组基本方程。
这些方程描述了流体的质量守恒、动量守恒和能量守恒。
在本文中，我们将推导这些基本方程，并探讨它们在实际应用中的作用。
首先，我们来推导流体力学的质量守恒方程。
根据质量守恒定律，单位时间内通过某一截面的质量应该等于流入该截面的质量减去流出该截面的质量。
设流体的密度为ρ，流体在x方向上的速度为u，流体通过截面的面积为A，则单位时间内通过该截面的质量为ρuA。
假设流体在该截面上的流入速度为u，流出速度为u+Δu，则单位时间内流入该截面的质量为ρuA，单位时间内流出该截面的质量为ρ(Δu)A。
根据质量守恒定律，我们可以得到以下方程：ρuA - ρ(Δu)A = 0通过简化和除以Δt，我们可以得到质量守恒方程的微分形式：∂(ρuA)/∂t + ∂(ρu^2A)/∂x = 0接下来，我们来推导流体力学的动量守恒方程。
根据牛顿第二定律，流体的动量变化率等于作用在流体上的力。
设流体的密度为ρ，流体在x方向上的速度为u，流体在y方向上的速度为v，流体在z方向上的速度为w，则单位体积内的动量为ρu，ρv和ρw。
假设流体受到的力为Fx，Fy和Fz，则根据动量守恒定律，我们可以得到以下方程组：∂(ρu)/∂t + ∂(ρuv)/∂x + ∂(ρuw)/∂y + ∂(ρu^2)/∂x + ∂(ρuv)/∂y + ∂(ρuw)/∂z = Fx∂(ρv)/∂t + ∂(ρuv)/∂x + ∂(ρvw)/∂y + ∂(ρv^2)/∂y + ∂(ρvw)/∂z = Fy∂(ρw)/∂t + ∂(ρuw)/∂x + ∂(ρvw)/∂y + ∂(ρw^2)/∂z + ∂(ρvw)/∂z = Fz通过简化和除以Δt，我们可以得到动量守恒方程的微分形式：∂(ρu)/∂t + ∂(ρuv)/∂x + ∂(ρuw)/∂y + ∂(ρu^2)/∂x + ∂(ρuv)/∂y + ∂(ρuw)/∂z = Fx∂(ρv)/∂t + ∂(ρuv)/∂x + ∂(ρvw)/∂y + ∂(ρv^2)/∂y + ∂(ρvw)/∂z = Fy∂(ρw)/∂t + ∂(ρuw)/∂x + ∂(ρvw)/∂y + ∂(ρw^2)/∂z + ∂(ρvw)/∂z = Fz最后，我们来推导流体力学的能量守恒方程。
流体力学—Ch2基本方程
V
∫
S
K p n ds
K ∂ K ρ VdV + w ρ (V ⋅ n)VdA = ∫ pn ds + ∫ ρ fdv ∫ ∫∫ D S V Σ ∂t
微分形式的动量方程
利用第二雷诺定理和Gauss 公式来证明
K D K K ρ udv = ∫ pn ds + ∫ ρ fdv ∫ V S V Dt
D Dt
∫
V
K ρ udv =
∫
K Du ρ dv Dt V
∫
V
K K Du ρ dv = ∇ ⋅σ dv + ρ fdv Dt V V V
∫
∫
K K 应力 p n = n ⋅σ
G n ∫ ⋅ σ ds = ∫ ∇ ⋅ σ dv
S
∫
K K ∂u K K ρ + ρ (u ⋅ ∇ ) u = ∇ ⋅ σ + ρ f ∂t
ρ = ρ2 ρ = ρ1
密度分层流动
流体质点可沿 ρ = ρ1 线或 ρ = ρ 2 线流动，此时其密度保持为常数 ρ1 或 ρ 2 ， 因此 D ρ = 0 ，但 ∂ ρ ≠ 0 ， ∂ ρ ≠ 0 。
Dt
∂x
∂y
密度分层流动可能发生在大气中（由空气温度变化引起），也可 能发生在大洋中（由于水的含盐量变化引起）。
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
T = τ yx τ zx
该矩阵是对称矩阵，只有6个分量是独立的。 2.应力矩阵的常用表达式
0 −p 0 T = 0 − p 0 + τ yx 0 0 −p τ zx
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
∫
S
K p n ds
K ∂ K ρ VdV + w ρ (V ⋅ n)VdA = ∫ pn ds + ∫ ρ fdv ∫ ∫∫ D S V Σ ∂t
微分形式的动量方程
利用第二雷诺定理和Gauss 公式来证明
K D K K ρ udv = ∫ pn ds + ∫ ρ fdv ∫ V S V Dt
D Dt
∫
V
K ρ udv =
∫
K Du ρ dv Dt V
∫
V
K K Du ρ dv = ∇ ⋅σ dv + ρ fdv Dt V V V
∫
∫
K K 应力 p n = n ⋅σ
G n ∫ ⋅ σ ds = ∫ ∇ ⋅ σ dv
S
∫
K K ∂u K K ρ + ρ (u ⋅ ∇ ) u = ∇ ⋅ σ + ρ f ∂t
ρ = ρ2 ρ = ρ1
密度分层流动
流体质点可沿 ρ = ρ1 线或 ρ = ρ 2 线流动，此时其密度保持为常数 ρ1 或 ρ 2 ， 因此 D ρ = 0 ，但 ∂ ρ ≠ 0 ， ∂ ρ ≠ 0 。
Dt
∂x
∂y
密度分层流动可能发生在大气中（由空气温度变化引起），也可 能发生在大洋中（由于水的含盐量变化引起）。
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
T = τ yx τ zx
该矩阵是对称矩阵，只有6个分量是独立的。 2.应力矩阵的常用表达式
0 −p 0 T = 0 − p 0 + τ yx 0 0 −p τ zx
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
工程流体力学22流体平衡微分方程
2
1 6
3 p x 3
dx 2
3
p
p x
dx 2
1 2
2 p x 2
dx 2
2
1 6
3 p x 3
dx 2
3
略去二阶以上无穷小量后，分别等于
p 1 p dx 2 x
p 1 p dx 2 x
第二节 流体平衡微分方程
一、流体平衡微分方程式(推导)
垂直于x轴的左、右两微元面上的总压力分别为
第二节 流体平衡微分方程
静压强是空间坐标的连续函数
p p(x, y, z)
求静压强分布规律 研究平衡状态的一般情况 推导平衡微分方程式
流体静力学基本方程
第二节 流体平衡微分方程
一、流体平衡微分方程式(推导)
在静止流体中任取一平行六面体的流体微团， 边长为 dx，dy，dz的微元，中心点静压强为p(x,y,z)
1 p
f x x 0
第二节 流体平衡微分方程
一、流体平衡微分方程式(推导)
同理得
fx
1
p x
0
1 p
f y y 0
fz
1
p z
0
写成矢量形式
f
1
p
0
流体平衡微分方程式 欧拉平衡微分方程式
第二节 流体平衡微分方程
f
1
p
0
物理意义
在静止流体中，某点单位质量流体的质量力
与静压强的合力相平衡。
第二节 流体平衡微分方程
四、等压面 1. 定义
在流体中，压强相等的各点所组成的面称为等压面
等压面可以用p(x,y,z)＝常数来表示。 dp=0
几点说明 对不同的等压面，其常数值是不同的 流体中任意一点只能有一个等压面通过。
流体力学中的三大基本方程
dx
dt
p x
fx
单位质量流体的运动微分方程：
dx
dt
1
p x
fx
16
同理可得y,z方向上的：
dx
dt
x
t
x
x
x
y
x
y
z
x
z
1
p x
fx
dy
dt
y
t
x
y
x
y
y
y
z
y
z
1
p y
fy
dz
dt
z
t
x
z
x
y
z
y
z
z
z
1
p z
fz
17
向量形式：
dr
r f
1
gradp
dt
——理想流体欧拉运动微分方程
式中：
2x
z 2
)
y
t
x
y
x
y
y
y
z
y
z
fy
1
p y
( 2 y
x2
2 y
y 2
2 y )
z 2
19
z
t
x
z
x
y
z
y
z
z
z
fz
1
p z
( 2z
x 2
2z
y 2
2z )
z 2
1.
含有四个未知量（
，
x
y，完 z整, P的）方程组。
2. 描述了各种量间的依赖关系。
3. 通解、单值条件（几何条件、物理条件、边界条件、初始 条件）→特解。
流体力学第五章流体动力学微分形式基本方程
或 D w 0
Dt
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（5.3a）
第五章 流体动力学微分形式基本方程
第一节 连续性方程
对于稳定流动， 0，于是式（5.1）变为
t wx wy wz 0
x
y
z
即
w 0
对于不可压缩流体， 为常数，则连续性方程为
wx wy wz 0 x y z
即
w 0
和为零，六面体中流体的质量是不变的，即
wx
wy
wz
0
t x
y
z
（5.1）
式（5.1）就是流体的连续性方程。将上式展开，并且注意到
d dt
t
wx
x
wy
y
wz
z
则连续性方程也可写成 1 d wx wy wz 0 dt x y z
（5.2）
写成向量形式 (w) 0
t
（5.3）
Fr
1
p r
w t
wr
w r
w r
w
wz
w z
wr w r
F
1
p r
（5.9）
wz t
wr
wz r
w r
wz
wz
wz z
Fz
1
p z
式中 Fr 、F 、Fz 分别为单位质量的体积力在r、、z方向的分量。
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第五章 流体动力学微分形式基本方程
第二节 理想流体运动方程
其中，f1至f6是给定的函数。 对于稳定流动，流场中各点的物理量不随时间改变，所以不存在初始条
件。
边界条件是指所求物理量在边界上的取值。如对静止的固体壁面，由于
微分形式的基本方程解析课件
Fluid Mechanics and Machinery
连续性方程
B3 微分形式的基本方程
4
质量守恒定律在流体力学中的具体形式。
dt时间内, 流进控制体的流体质量为
uxdydzdt
流出的流体质量为
ux dy
(
ux
ux
x
dx )dydzdt
dz dx
dt时间x轴向流出的净质量:
ux
ux
x
dx
y
Ox z
B3 微分形式的基本方程 12
质量力 作用在流体的每个质点（微团）上
并与流体质量成正比的力称为质量力。
A点附近取微团 dm, dV, dF∝dm , 称
lim 质量力极限为f作用在A点F的 单d位F质(量N力k。g或m/s 2 )
V 0 m dm
lim
体积力 f
F dF ( N / m3 )
B y
p z
pn pxnx pyny pznz
Fluid Mechanics and Machinery
B3 微分形式的基本方程 23
pn pnxi pnyj pnzk
px pxxi xyj xzk
py yxi pyy j yzk pz zxi zy j pzzk
⊿V是比⊿A高一阶的小量
pnA 0
pn
n
pn
22
pndA pxdAx p ydAy pzdAz 0
pz
pz
,
p x
px
,
p y
n nxi ny j nzk
py
px
z C
dz
p y
n
dx
A
dAx nxdA;dAy nydA;dAz nzdA
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B3.1.1 流体运动的连续性原理(2-1)
B3.1 微分形式的质量守恒方程 B3.1.1 流体运动的连续性原理 质量守恒在易变形的流体中的体现——流动连续性。 • 不可压缩流体流进控制体的质量应等于流出控制体的质量，
称其为流体运动的连续性原理。
• 历史上对连续性的认识 古 代，漏壶、水流计时
16世纪，达·芬奇指出河水流速与河横截面积成反比
（C为常数）
可得
v u v 0 x y
（B3.1.11）
v y
u x
2cxy (x2 y2)2
v 2cxy dy f (x) cx f (x)
(x2 y2 )2
x2 y2
讨论：当f(x) = 0，表示位于原点的点涡流动；
当f(x) = U，表示点涡流叠加y方向速度为U的均流；
本例说明对不可压缩流动，任一点的各速度分量不能是任意的,而 是受到（B3.1.11）式制约的。
pn p- n
B3.2.2 重力场
B3.2.2 重力场 在直角坐标系的重力场中
fx 0, fy 0, fz g
f g k π
π gz
称为重力势，代表单位质量流体具有的重力势能
fx
π x
,
fy
π y
,
fz
π z
B3.2.3 应力场(4-1)
B3.2.3 应力场 1.运动粘性流体中的应力状态
求： 应力状态 解: 附加法向应力
（k为常数）
σx
2μ
u x
2μ
x(
k
y
)
0
法向应力
pxx p σ x p
σ
y
2μ
v y
0
p yy p σ y p
切应力
τ xy
τ
yx
μ(
u y
v x
)
μ
k
讨论：附加法向应力与该方向的线应变率有关，平面线性剪切流中任一
点处在x、y方向的线应变率均为零，因此相应的附加法向应力也
B3.2.1 体积力和表面力(2-1)
B3.2 作用在流体元上的力 B3.2.1 体积力和表面力
1.体积力
长程力
穿越空间作用 到流体元上
万有引力 电磁力 惯性力
单位质量流体上的体积力 f (x , y ,z ,t) l i m δ Fb δ τ0 ρ δ τ
单位体积流体上的体积力
ρ f l i m δ Fb δ τ0 δ τ
x，y，z方向净流出质量为
ρ u ,
x
ρ v ,
y
因密度变化引起的质量减少为 ρ
t
ρ w
z
由质量守恒定律
ρu ρv ρw ρ
x y z
t
B3.1.2 微分形式的连续性方程(2-2)
ρ t
ρu
x
ρv
y
ρw
z
ρ t
(ρ
v
)
0
用场量公式并运用质点导数概念，微分形式连续性方程为
Dρ Dt
只有法向应力
p 0 0
P
0
p
0
0 0 p
结论：静止流体中一点的应力状态只用一个标量静压强p表示.
B3.2.3 应力场(4-4)
3.应力的常用表达式 运动粘性流体中的(平均)压强
p
1 3
pxx
pyy
pzz
在法向应力中把压强分离出来
pxx p σ x
p yy p σ y
τ xy τ yx τ xz τ zx τ yz τ zy
B3.2.3 应力场(4-2)
作用在外法矢沿x轴向的面积元dAx上三个应力分量如图示 作用在任意方位 n(nx,ny,nz ) 面元上的表面应力
px
x
τxy
τ
x
z
Pn
n
P
=
(nx
,
ny
,
nz
)
τ
yx
pyy
τ
y
z
τzx
17世纪，哈维发现人体血液循环理论
18世纪，达朗贝尔推导不可压缩流体微分形式连续性方程
B3.1.1 流体运动的连续性(2-2)
17世纪哈维：血液循环理论
• 解剖发现：从心脏到动脉末端血液单向
流动，从静脉末端到心脏也 是单向流动
• 定量测量：每小时流出心脏血液245kg • 大胆预言：从动脉到静脉再回心脏 • 45年后发现：毛细血管的存在
血液循环理论——流体连续性原理的胜利
血液循环图
B3.1.2 微分形式的连续性方程(2-1)
B3.1.2 微分形式的连续性方程
边长为d,x ,dy的d长z 方体控制体元， δt 内x方向净流出的质量
ρ
u
(ρu) x
dx
dydzδt
ρ
udydzδ
t
(ρu) x
dxdydzδ
t
单位时间单位体积内
τzy
pz
z
表面应力的分量式
p n p n τ n τ
nx
x xx
y yx
z zx
p n τ n p n τ
ny
x xy
y yy
z zy
p n τ n τ n p
nz
x xz
y yz
z zz
B3.2.3 应力场(4-3)
2.静止流体中的应力状态
无切应力
静止流体的应力状态
pxx pyy pzz pnn p
均为零，x, y方向的法向应力均等于平衡压强；粘性切应力则在
全流场保持常数。
[例B3.2.3A] 刚体旋转流动:纯旋转(2-1) 已知：二维不可压缩平面流场为 u ky （k为常数） v kx
与流体元体 积成正比
体积力
B3.2.1 体积力和表面力(2-2)
2.表面力
短程力
通过接触面 作用
压强 粘性切应力
与表面面积 和方位有关
表面力
表面力定义：作用在单位平面面积元上的短程力。
pn
(x,
y,z,t)
lim
δA0
δ Fs δA
（注意δ：Fs 和p不n 一定与 δ 垂A 直） n——面积元外法线单位矢 －n——面积元内法线单位矢
pzz p σz
σx ,σ y ,σz 为附加法向应力分量（与流体元线应变率有关）
应力矩阵表示为
p 0
0
σx
τxy
τ
x
z
P
0
p
0
τ
y
x
σy
τ
yz
0
0
p
τz
x
τzy
σz
压强矩阵 偏应力矩阵
[例B3.2.3] 平面线性剪切流中的应力状态
已知：平面线性剪切流
u ky v 0
ρv
0
或改写为：
v 1 Dρ ρ Dt
左边代表一点邻域内流体体积的相对膨胀速率，右边代表密度
相对减少率。连续性方程适用于任何同种流体。
不可压缩流体连续性方程
v 0
[例B3.1.2] 不可压缩流动连续性方程
已知：不可压缩流体平面流动
求： v
u
x
2
cy y
2
解： 由不可压缩流动连续性方程的二维形式
与作用力的大小、方向、作用面方位有关
用过该点三个坐标 面上三组表面力分
量唯一确定
一点的表面 应力
应力状态
应力矩阵
px
x
τxy
τx
z
P
τ
y
x
pyy
τ
y
z
τ
z
x
τzy
pz
z
δAx 上的应力分量为 p xxτ, xyτ, xz δAy 上的应力分量为 τyx,p yyτ, yz
δAz 上的应力分量为 τzxτ, zy,p zz
B3.1 微分形式的质量守恒方程 B3.1.1 流体运动的连续性原理 质量守恒在易变形的流体中的体现——流动连续性。 • 不可压缩流体流进控制体的质量应等于流出控制体的质量，
称其为流体运动的连续性原理。
• 历史上对连续性的认识 古 代，漏壶、水流计时
16世纪，达·芬奇指出河水流速与河横截面积成反比
（C为常数）
可得
v u v 0 x y
（B3.1.11）
v y
u x
2cxy (x2 y2)2
v 2cxy dy f (x) cx f (x)
(x2 y2 )2
x2 y2
讨论：当f(x) = 0，表示位于原点的点涡流动；
当f(x) = U，表示点涡流叠加y方向速度为U的均流；
本例说明对不可压缩流动，任一点的各速度分量不能是任意的,而 是受到（B3.1.11）式制约的。
pn p- n
B3.2.2 重力场
B3.2.2 重力场 在直角坐标系的重力场中
fx 0, fy 0, fz g
f g k π
π gz
称为重力势，代表单位质量流体具有的重力势能
fx
π x
,
fy
π y
,
fz
π z
B3.2.3 应力场(4-1)
B3.2.3 应力场 1.运动粘性流体中的应力状态
求： 应力状态 解: 附加法向应力
（k为常数）
σx
2μ
u x
2μ
x(
k
y
)
0
法向应力
pxx p σ x p
σ
y
2μ
v y
0
p yy p σ y p
切应力
τ xy
τ
yx
μ(
u y
v x
)
μ
k
讨论：附加法向应力与该方向的线应变率有关，平面线性剪切流中任一
点处在x、y方向的线应变率均为零，因此相应的附加法向应力也
B3.2.1 体积力和表面力(2-1)
B3.2 作用在流体元上的力 B3.2.1 体积力和表面力
1.体积力
长程力
穿越空间作用 到流体元上
万有引力 电磁力 惯性力
单位质量流体上的体积力 f (x , y ,z ,t) l i m δ Fb δ τ0 ρ δ τ
单位体积流体上的体积力
ρ f l i m δ Fb δ τ0 δ τ
x，y，z方向净流出质量为
ρ u ,
x
ρ v ,
y
因密度变化引起的质量减少为 ρ
t
ρ w
z
由质量守恒定律
ρu ρv ρw ρ
x y z
t
B3.1.2 微分形式的连续性方程(2-2)
ρ t
ρu
x
ρv
y
ρw
z
ρ t
(ρ
v
)
0
用场量公式并运用质点导数概念，微分形式连续性方程为
Dρ Dt
只有法向应力
p 0 0
P
0
p
0
0 0 p
结论：静止流体中一点的应力状态只用一个标量静压强p表示.
B3.2.3 应力场(4-4)
3.应力的常用表达式 运动粘性流体中的(平均)压强
p
1 3
pxx
pyy
pzz
在法向应力中把压强分离出来
pxx p σ x
p yy p σ y
τ xy τ yx τ xz τ zx τ yz τ zy
B3.2.3 应力场(4-2)
作用在外法矢沿x轴向的面积元dAx上三个应力分量如图示 作用在任意方位 n(nx,ny,nz ) 面元上的表面应力
px
x
τxy
τ
x
z
Pn
n
P
=
(nx
,
ny
,
nz
)
τ
yx
pyy
τ
y
z
τzx
17世纪，哈维发现人体血液循环理论
18世纪，达朗贝尔推导不可压缩流体微分形式连续性方程
B3.1.1 流体运动的连续性(2-2)
17世纪哈维：血液循环理论
• 解剖发现：从心脏到动脉末端血液单向
流动，从静脉末端到心脏也 是单向流动
• 定量测量：每小时流出心脏血液245kg • 大胆预言：从动脉到静脉再回心脏 • 45年后发现：毛细血管的存在
血液循环理论——流体连续性原理的胜利
血液循环图
B3.1.2 微分形式的连续性方程(2-1)
B3.1.2 微分形式的连续性方程
边长为d,x ,dy的d长z 方体控制体元， δt 内x方向净流出的质量
ρ
u
(ρu) x
dx
dydzδt
ρ
udydzδ
t
(ρu) x
dxdydzδ
t
单位时间单位体积内
τzy
pz
z
表面应力的分量式
p n p n τ n τ
nx
x xx
y yx
z zx
p n τ n p n τ
ny
x xy
y yy
z zy
p n τ n τ n p
nz
x xz
y yz
z zz
B3.2.3 应力场(4-3)
2.静止流体中的应力状态
无切应力
静止流体的应力状态
pxx pyy pzz pnn p
均为零，x, y方向的法向应力均等于平衡压强；粘性切应力则在
全流场保持常数。
[例B3.2.3A] 刚体旋转流动:纯旋转(2-1) 已知：二维不可压缩平面流场为 u ky （k为常数） v kx
与流体元体 积成正比
体积力
B3.2.1 体积力和表面力(2-2)
2.表面力
短程力
通过接触面 作用
压强 粘性切应力
与表面面积 和方位有关
表面力
表面力定义：作用在单位平面面积元上的短程力。
pn
(x,
y,z,t)
lim
δA0
δ Fs δA
（注意δ：Fs 和p不n 一定与 δ 垂A 直） n——面积元外法线单位矢 －n——面积元内法线单位矢
pzz p σz
σx ,σ y ,σz 为附加法向应力分量（与流体元线应变率有关）
应力矩阵表示为
p 0
0
σx
τxy
τ
x
z
P
0
p
0
τ
y
x
σy
τ
yz
0
0
p
τz
x
τzy
σz
压强矩阵 偏应力矩阵
[例B3.2.3] 平面线性剪切流中的应力状态
已知：平面线性剪切流
u ky v 0
ρv
0
或改写为：
v 1 Dρ ρ Dt
左边代表一点邻域内流体体积的相对膨胀速率，右边代表密度
相对减少率。连续性方程适用于任何同种流体。
不可压缩流体连续性方程
v 0
[例B3.1.2] 不可压缩流动连续性方程
已知：不可压缩流体平面流动
求： v
u
x
2
cy y
2
解： 由不可压缩流动连续性方程的二维形式
与作用力的大小、方向、作用面方位有关
用过该点三个坐标 面上三组表面力分
量唯一确定
一点的表面 应力
应力状态
应力矩阵
px
x
τxy
τx
z
P
τ
y
x
pyy
τ
y
z
τ
z
x
τzy
pz
z
δAx 上的应力分量为 p xxτ, xyτ, xz δAy 上的应力分量为 τyx,p yyτ, yz
δAz 上的应力分量为 τzxτ, zy,p zz