最权威初中升高中数学衔接讲义

目录第一章数与式

1.1 数与式的运算

1.1.1 绝对值

1.1.2 乘法公式

1.1.3 二次根式

1.1.4 分式

1.2 分解因式

第二章二次方程与二次不等式

2.1 一元二次方程

2.1.1 根的判别式

2.1.2 根与系数的关系

2.2 二次函数

2.2.1 二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质

2.2.2 二次函数的三种表达方式

2.2.3 二次函数的应用

2.3 方程与不等式

2.3.1 二元二次方程组的解法

第三章相似形、三角形、圆

3.1 相似形

3.1.1 平行线分线段成比例定理

3.1.2 相似三角形形的性质与判定

3.2 三角形

3.2.1 三角形的五心

3.2.2 解三角形：钝角三角函数、正弦定理和余弦定理及其应用

3.3 圆

3.3.1 直线与圆、圆与圆的位置关系：圆幂定理

3.3.2 点的轨迹

3.3.3 四点共圆的性质与判定

3.3.4 直线和圆的方程（选学）

1.1 数与式的运算

1.１.1．绝对值

绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即

,0,||0,0,,0.a a a a a a >??

==??-

绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离．

例1 解不等式：13x x -+-＞4．

解法一：由01=-x ，得1=x ；由30x -=，得3x =； ①若1， 即24x -+＞4，解得x ＜0， 又x ＜1， ∴x ＜0；

②若12x ≤<，不等式可变为(1)(3)4x x --->， 即1＞4，

∴不存在满足条件的x ；

③若3x ≥，不等式可变为(1)(3)4x x -+->， 即24x -＞4， 解得x ＞4． 又x ≥3， ∴x ＞4．

综上所述，原不等式的解为 x ＜0，或x ＞4．

解法二：如图1．1－1，1-x 表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的距离|PA |，即|PA |＝|x －1|；|x －3|表示x 轴上点P 到坐标为2的点B 之间的距离|PB |，即|PB |＝|x －3|．

所以，不等式13x x -+-＞4的几何意义即为

|PA |＋|PB |＞4． 由|AB |＝2，可知

点P 在点C (坐标为0)的左侧、或点P 在点D (坐标为4)的右侧．

x ＜0，或x ＞4．

练 习

1．填空：

（1）若5=x ，则x =_________；若4-=x ，则x =_________.

（2）如果5=+b a ，且1-=a ，则b ＝________；若21=-c ，则c ＝________.

1

3

A B x

4

C D x

P |x －1|

|x －3|

图1．1－1

2．选择题：

下列叙述正确的是 （ ）

（A ）若a b =，则a b = （B ）若a b >，则a b > （C ）若a b <，则a b < （D ）若a b =，则a b =± 3．化简：|x －5|－|2x －13|（x ＞5）．

1.1.

2. 乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；

（2）完全平方公式 222

()2a b a a b b ±=±+． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：

（1）立方和公式 2233

()()a b a a b b a b

+-+=+； （2）立方差公式 2233

()()a b a a b b a b

-++=-； （3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++；

（4）两数和立方公式 332

2()33a b a a b a b b +=+++； （5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-． 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明． 例1 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．

解法一：原式=2222

(1)(1)x x x ??-+-??

=242(1)(1)x x x -++

=61x -．

解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++ =33(1)(1)x x +- =61x -．

例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值． 解： 2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=．

练 习

1．填空：

（1）

221111

()9423

a b b a -=+（ ）； （2）(4m + 22

)164(m m =++ )；

(3 ) 2222

(2)4(a b c a b c +-=+++ )．

2．选择题：

（1）若2

1

2

x mx k +

+是一个完全平方式，则k 等于 （ ） （A ）2

m （B ）214m （C ）213m （D ）2116m

（2）不论a ，b 为何实数，22

248a b a b +--+的值 （ ）

（A ）总是正数 （B ）总是负数

（C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数

1.1.3．二次根式

一般地，形如(0)a a ≥的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如 232a a b b +++，22a b +等是无理式，而22

212

x x +

+，222x xy y ++，2a 等是有理式． 1．分母（子）有理化

把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如2与2，3a 与a ，36+与36-，2332-与2332+，等等． 一般地，a x 与x ，a x b y +与a x b y -，a x b +与a x b -互为有理化因式．

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程

在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式(0,0)a b ab a b =≥≥；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．

2．二次根式2a 的意义

2a a ==,0,

,0.a a a a ≥??

-

例1 将下列式子化为最简二次根式：

（1）12b ； （2）2(0)a b a ≥； （3）64(0)x y x <． 解： （1）1223b b =；

（2）2(0)a b a b a b a ==≥；

（3）633422(0)x y x y x y x ==-<．

例2 计算：3(33)÷-．

解法一： 3(33)

÷-＝3

33

-

＝3(33)

(33)(33)

?+-+

＝

333

93+- ＝3(31)

6+

＝31

2

+．

解法二： 3(33)

÷-＝333- ＝33(31)

- ＝131-＝31

(31)(31)+-+＝

31

2+．

例3 试比较下列各组数的大小：

（1）1211-和1110-； （2）2

64

+和226－. 解： （1）∵1211(1211)(1211)1

1211112111211--+-===

++， 1110(1110)(1110)

1

11101

111011

10

--+-

=

=

=

++， 又12111110+>+， ∴1211-＜1110-．

（2）∵226(226)(226)2

226,1226226

=

==－－+－++ 又 4＞22，

∴6＋4＞6＋22，

∴2

64

+＜226－.

例4 化简：20042005(32)(32)+?-． 解：20042005(32)(32)+?-

＝

20042004(32)(32)(32)+?-?-＝

2004

(32)(32)(32)??+?-?-??

＝20041(32)?-＝32-．

例 5 化简：（1）945-； （2）221

2(01)x x x

+-<<． 解

：

（

1

）

原

式

5

45=++

22(5)2252=+??+2(25)=-25=-52=-．

（2）原式=21()x x -1

x x =-，

∵01x <<，∴11x x

>>，所以，原式＝1

x x -．

例 6 已知3232

,3232x y -+==

+-，求22353x xy y -+的值 ． 解： ∵223232

(32)(32)103232

x y -++=

+=-++=+-， 323213232

xy -+=

?=+-， ∴22223533()1131011289x xy y x y xy -+=+-=?-=．

练 习

1．填空： （1）

13

13

-+＝__ ___；

（2）若2

(5)(3)(3)5x x x x --=--，则x 的取值范围是_ _ ___；

（3）4246543962150-+-=__ ___； （4）若52x =，则11111111

x x x x x x x x +--++-+=++-+--______ __．

2．选择题：

等式22

x x

x x =

--成立的条件是 （ ） （A ）2x ≠ （B ）0x > （C ）2x > （D ）02x <<

3．若22

111

a a

b a -+-=+，求a b +的值．

4．比较大小：2－ 3

5－4（填“＞”，或“＜”）．

1.1.４．分式

1．分式的意义

形如

A B 的式子，若B 中含有字母，且0B ≠，则称A B 为分式．当M ≠0时，分式A B

具有下列性质：

A A M

B B M ?=?； A A M B B M

÷=÷． 上述性质被称为分式的基本性质．

2．繁分式 像a

b c d

+，2m n p

m n p +++这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．

例1 若54(2)2x A B

x x x x +=+++，求常数,A B 的值．

解： ∵(2)()254

2(2)(2)(2)A B A x Bx A B x A x x x x x x x x x ++++++===++++，

∴5,

24,A B A +=??=?

解得 2,3A B ==．

例2 （1）试证：111

(1)1n n n n =-++（其中n 是正整数）；

（2）计算：1111223910

+++???； （3）证明：对任意大于1的正整数n ， 有11112334(1)2

n n +++

1(1)(1)n n n n n n n n +--==+++，

∴111

(1)1

n n n n =-++（其中n 是正整数）成立．

（2）解：由（1）可知

1111223

910+++

??? 11111

(1)()()223910

=-+-++-1110=- ＝

910

． （3）证明：∵

111

2334

(1)n n +++

??+＝111111

()()()23341

n n -+-+

+-+＝11

21

n -+， 又n ≥2，且n 是正整数，∴1

n ＋1 一定为正数， ∴111

2334

(1)

n n +++??+＜12 ． 例3 设c

e a =

，且e ＞1，2c 2－5ac ＋2a 2＝0，求e 的值． 解：在2c 2

－5ac ＋2a 2＝0两边同除以a 2，得 2e 2－5e ＋2＝0， ∴(2e －1)(e －2)＝0，

∴e ＝1

2 ＜1，舍去；或e ＝2． ∴e ＝2．

练 习

1．填空题：对任意的正整数n ，1

(2)

n n =+ (112n n -+)；

2．选择题：

若223

x y x y -=+，则x

y ＝ （ ）

（A ）１ （B ）54 （C ）4

5

（D ）65

3．正数,x y 满足222x y xy -=，求x y

x y

-+的值．

4．计算1111 (12233499100)

++++????．

习题1．1 A 组

1．解不等式：

(1) 13x ->； (2) 327x x ++-< ； (3) 116x x -++>．

２．已知1x y +=，求333x y xy ++的值．

3．填空：

（1）1819(23)(23)+-＝________；

（2）若22

(1)(1)2a a -++=，则a 的取值范围是________；

（3）11111

1223344556

++++=+++++________．

B 组

1．填空：

（1）12a =，13b =，则22

2

3352a ab

a a

b b -=+-____ ____； （2）若22

20x xy y +-=，则2222

3x xy y x y

++=+__ __； 2．已知：11

,23x y =

=，求y y x y x y

--+的值． C 组

1．选择题：

（1）若2a b a

b b a ---=---，则 （ ）

（A ）a b < （B ）a b > （C ）0a b << （D ）0b a <<

（2）计算1

a a

-

等于 （ ） （A ）a - （B ）a （C ）a -- （D ）a -

2．解方程2

2112()3()10x x x x

+-+-=．

3．计算：1111

132435

911

++++

????．

4．试证：对任意的正整数n ，有

11

1

123234

(1)(2)

n n n ++

+

????++＜14 ．

1.2因式分解

因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．

1．十字相乘法

例1 分解因式：

（1）x 2－3x ＋2； （2）x 2＋4x －12； （3）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-．

解：（1）如图1．1－1，将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x 2－3x ＋2中的一次项，所以，有

x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)．

说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．1－1中的两个x 用1来表示（如图1．1－2所示）．

－1 －2 x x 图1．1－1 －1 －2 1 1 图1．1－2 －2 6 1 1 图1．1－3 －ay －by x x 图1．1－4

（2）由图1．1－3，得

x 2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)． （3）由图1．1－4，得

22()x a b xy aby -++＝()()x ay x by -- （4）1xy x y -+-＝xy ＋(x －y )－1

＝(x －1) (y+1) （如图1．1－5所示）．

课堂练习

一、填空题：

1、把下列各式分解因式：

（1）=-+652

x x __________________________________________________。 （2）=+-652x x __________________________________________________。 （3）=++652x x __________________________________________________。 （4）=--652x x __________________________________________________。

（5）()=++-a x a x 12__________________________________________________。 （6）=+-18112x x __________________________________________________。 （7）=++2762

x x __________________________________________________。 （8）=+-91242m m __________________________________________________。 （9）=-+2

675x x __________________________________________________。 （10）=-+2

2

612y xy x __________________________________________________。 2、()() 3 42

++=+-x x x x

3、若()()422

-+=++x x b ax x 则 =a ， =b 。 二、选择题：（每小题四个答案中只有一个是正确的）

1、在多项式（1）672++x x （2）342++x x （3）862++x x （4）1072

++x x （5）44152

++x x 中，有相同因式的是（ ） A 、只有（1）（2） B 、只有（3）（4） C 、只有（3）（5） D 、（1）和（2）；（3）和（4）；（3）和（5）

2、分解因式2

2

338b ab a -+得（ ） A 、()()3 11-+a a B 、()()b a b a 3 11-+ C 、()()b a b a 3 11-- D 、

()()b a b a 3 11+-

3、()()2082

-+++b a b a 分解因式得（ ） A 、()()2 10-+++b a b a B 、()()4 5-+++b a b a C 、()()10 2-+++b a b a D 、()()5 4-+++b a b a

4、若多项式a x x +-32

可分解为()()b x x --5，则a 、b 的值是（ ）

A 、10=a ，2=b

B 、10=a ，2-=b

C 、10-=a ，2-=b

D 、10-=a ，2=b 5、若()()b x a x mx x ++=-+ 102

其中a 、b 为整数，则m 的值为（ ） A 、3或9 B 、3± C 、9± D 、3±或9± 三、把下列各式分解因式

1、()()3211262

+---p q q p 2、2

2

3

65ab b a a +-

－1 1

x y

图1．1－5

3、6422--y y

4、822

4--b b

2．提取公因式法

例2 分解因式：

（1） ()()b a b a -+-552 （2）32933x x x +++ 解： （1）．()()b a b a -+-552=)1)(5(--a b a

（2）32933x x x +++=32(3)(39)x x x +++=2(3)3(3)x x x +++ =2(3)(3)x x ++． 或

32933x x x +++＝32(331)8x x x ++++＝3(1)8x ++＝33(1)2x ++

＝22[(1)2][(1)(1)22]x x x +++-+?+ ＝2(3)(3)x x ++ 课堂练习：

一、填空题：

1、多项式xyz xy y x 42622+-中各项的公因式是_______________。

2、()()()?-=-+-y x x y n y x m __________________。

3、()()()?-=-+-2

2

2

y x x y n y x m ____________________。

4、()()()?--=-++--z y x x z y n z y x m _____________________。

5、()()?--=++---z y x z y x z y x m ______________________。

6、5

2

36

2

3913x b a x ab --分解因式得_____________________。 7．计算99992+=

二、判断题：（正确的打上“√”，错误的打上“×” ）

1、()b a ab ab b a -=-24222………………………………………………………… （ ）

2、()b a m m bm am +=++…………………………………………………………… （ ）

3、(

)

52315632

23

-+-=-+-x x x x x x …………………………………………… （ ） 4、()111+=+--x x x

x n n n

……………………………………………………………… （ ）

3：公式法

例3 分解因式： （1）164+-a （2）()()2223y x y x --+ 解：(1)164+-a =)2)(2)(4()4)(4()(4222222a a a a a a -++=-+=-

(2) ()()2223y x y x --+=)32)(4()23)(23(y x y x y x y x y x y x ++=+-+-++

课堂练习

一、222b ab a +-，22b a -，3

3b a -的公因式是______________________________。

二、判断题：（正确的打上“√”，错误的打上“×” ）

1、()??

? ??-??? ??+=-??? ??=-1.032 1.0321.03201.0942

2

2x x x x ………………………… （ ）

2、()()()()b a b a b a b a 43 4343892

222-+=-=- ………………………………… （ ） 3、()()b a b a b a 45 4516252-+=-………………………………………………… （ ） 4、()

()()y x y x y x y x -+-=--=-- 2222………………………………………… （ ）

5、()()()c b a c b a c b a +-++=+- 2

2……………………………………………… （ ） 五、把下列各式分解

1、()()2

2

9n m n m ++-- 2、3

132

-

x

3、()

2

2244+--x x 4、122

4+-x x

4．分组分解法

例4 （1）x y xy x 332-+- （2）222456x xy y x y +--+-．

（2）222456x xy y x y +--+-=222(4)56x y x y y +--+- =22(4)(2)(3)x y x y y +----=(22)(3)x y x y -++-．

或

222456x xy y x y +--+-=22(2)(45)6x xy y x y +----

=(2)()(45)6x y x y x y -+--- =(22)(3)x y x y -++-．

课堂练习：用分组分解法分解多项式

（1）by ax b a y x 222222++-+- （2）91264422++-+-b a b ab a

5．关于x 的二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0)的因式分解．

若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ，则二次三项式

2(0)ax bx c a ++≠就可分解为12()()a x x x x --.

例5 把下列关于x 的二次多项式分解因式：

（1）221x x +-； （2）2244x xy y +-． 解： （1）令221x x +-=0，则解得112x =-+，212x =--，

∴221x x +-=(12)(12)x x ????--+---????

=(12)(12)x x +-++．

（2）令2244x xy y +-=0，则解得1(222)x y =-+，1(222)x y =--， ∴2244x xy y +-=[2(12)][2(12)]x y x y +-++．

练 习

1．选择题：

多项式22

215x xy y --的一个因式为 （ ） （A ）25x y - （B ）3x y - （C ）3x y + （D ）5x y - 2．分解因式：

（1）x 2＋6x ＋8； （2）8a 3－b 3；

（3）x 2－2x －1； （4）4(1)(2)x y y y x -++-．

习题1．2

1．分解因式：

（1） 3

1a +； （2）4

2

4139x x -+；

（3）2

2222b c ab ac bc ++++； （4）22

35294x xy y x y +-++-．

2．在实数范围内因式分解：

（1）2

53x x -+ ； （2）2

223x x --；

（3）2234x xy y +-； （4）222(2)7(2)12x x x x ---+．

3．ABC ?三边a ，b ，c 满足2

2

2

a b c ab bc ca ++=++，试判定ABC ?的形状．

4．分解因式：x 2＋x －(a 2－a )．

5. （尝试题）已知abc=1，a+b+c=2，a2+b2+c2=，求

1-c ab 1++1-a bc 1++

1

-b ca 1

+的值.

2.1 一元二次方程

2.1.1根的判别式

{情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次方程的根的求法，

如求方程的根（1）0322

=-+x x (2) 0122

=++x x (3) 0322

=++x x }

我们知道，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），用配方法可以将其变形为

2224()24b b ac

x a a

-+=． ① 因为a ≠0，所以，4a 2＞0．于是

（1）当b 2－4ac ＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数

根

x 1，2＝242b b ac

a

-±-；

（2）当b 2－4ac ＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根 x 1＝x 2＝－

2b a

； （3）当b 2－4ac ＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边2

()2b x a

+

一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．

由此可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况可以由b 2－4ac 来判定，我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．

综上所述，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有

（1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x 1，2＝242b b ac a -±-；

（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－2b

a

；

（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．

例1 判定下列关于x 的方程的根的情况（其中a 为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．

（1）x 2－3x ＋3＝0； （2）x 2－ax －1＝0； （3） x 2－ax ＋(a －1)＝0； （4）x 2－2x ＋a ＝0． 解：（1）∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根． （2）该方程的根的判别式Δ＝a 2－4×1×(－1)＝a 2＋4＞0，所以方程一定有两个不等的实数根

2142a a x ++=

， 224

2

a a x -+=． （3）由于该方程的根的判别式为

Δ＝a 2－4×1×(a －1)＝a 2－4a ＋4＝(a －2)2，

所以， ①当a ＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝1； ②当a ≠2时，Δ＞0， 所以方程有两个不相等的实数根 x 1＝1，x 2＝a －1．

（3）由于该方程的根的判别式为

Δ＝22－4×1×a ＝4－4a ＝4(1－a )， 所以

①当Δ＞0，即4(1－a ) ＞0，即a ＜1时，方程有两个不相等的实数根 111x a =+-， 211x a =--；

②当Δ＝0，即a ＝1时，方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝1； ③当Δ＜0，即a ＞1时，方程没有实数根．

说明：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a 的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a 的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题．

2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）

若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个实数根

2142b b ac x a -+-=，2242b b ac x a

---=，

则有

2212442222b b ac b b ac b b

x x a a a a

-+-----+=+==-；

2222

122244(4)42244b b ac b b ac b b ac ac c

x x a a a a a

-+------=?===．

所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：

如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -

，x 1·x 2＝c

a

．这一关系也被称为韦达定理．

特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0，若x 1，x 2是其两根，由韦达定理可知

x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ，

即 p ＝－(x 1＋x 2)，q ＝x 1·x 2，

所以，方程x 2

＋px ＋q ＝0可化为 x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0，由于x 1，x 2是一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根，所以，x 1，x 2也是一元二次方程x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．因此有 以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是

x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0． 例2 已知方程2

560x kx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．

分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k 的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k 的值．

解法一：∵2是方程的一个根，∴5×22＋k ×2－6＝0，∴k ＝－7．

所以，方程就为5x 2－7x －6＝0，解得x 1＝2，x 2＝－3

5

． 所以，方程的另一个根为－

3

5

，k 的值为－7． 解法二：设方程的另一个根为x 1，则 2x 1＝－

65，∴x 1＝－35

．

由 （－

35）＋2＝－5

k

，得 k ＝－7． 所以，方程的另一个根为－3

5

，k 的值为－7．

例3 已知关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值．

分析： 本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m 的方程，从而解得m 的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零．

解：设x 1，x 2是方程的两根，由韦达定理，得 x 1＋x 2＝－2(m －2)，x 1·x 2＝m 2＋4． ∵x 12＋x 22－x 1·x 2＝21，

∴(x 1＋x 2)2

－3 x 1·x 2＝21，

即 [－2(m －2)]2

－3(m 2＋4)＝21， 化简，得 m 2－16m －17＝0， 解得 m ＝－1，或m ＝17．

当m ＝－1时，方程为x 2＋6x ＋5＝0，Δ＞0，满足题意； 当m ＝17时，方程为x 2＋30x ＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去． 综上，m ＝17． 说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m 的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m 的值，取满足条件的m 的值即可．

（1）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式Δ是否大于或大于零．因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根．

例4 已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．

分析：我们可以设出这两个数分别为x ，y ，利用二元方程求解出这两个数．也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解．

解法一：设这两个数分别是x ，y ， 则 x ＋y ＝4， ①

xy ＝－12． ② 由①，得 y ＝4－x ， 代入②，得

x (4－x )＝－12，

即 x 2－4x －12＝0， ∴x 1＝－2，x 2＝6．

∴112,6,x y =-??

=? 或22

6,

2.x y =??=-?

因此，这两个数是－2和6．

解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程x 2－4x －12＝0的两个根． 解这个方程，得x 1＝－2，x 2＝6． 所以，这两个数是－2和6． 说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷． 例5 若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根． （1）求| x 1－x 2|的值； （2）求

2212

11

x x +的值；（3）x 13＋x 23．

解：∵x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根，

∴1252x x +=-，1232

x x =-．

（1）∵| x 1－x 2|2＝x 12+ x 22－2 x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－4 x 1x 2＝2

5

3()4()2

2--?-＝

25

4

＋6＝494

， ∴| x 1－x 2|＝

72

． （2）2222121212222

2

2

21212125325

()2()3

()211

3722439()9()24

x x x x x x x x x x x x --?-+++-+=====?-．

（3）x 13＋x 23＝(x 1＋x 2)( x 12－x 1x 2＋x 22)＝(x 1＋x 2)[ ( x 1＋x 2) 2－3x 1x 2]

＝(－

52)×[(－52)2－3×(32-)]＝－215

8

． 说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一

个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：

设x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），则

2142b b ac x a -+-=

，2242b b ac

x a

---=， ∴| x 1－x 2|＝2224424222b b ac b b ac b ac

a a a

-+------=

24||||

b a

c a a -?

==

． 于是有下面的结论：

若x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），则| x 1－x 2|＝

||

a ?

（其中Δ＝b 2－4ac ）．

今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论．

例6 若关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a －4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a 的取值范围．

解：设x 1，x 2是方程的两根，则

x 1x 2＝a －4＜0， ① 且Δ＝(－1)2－4(a －4)＞0． ② 由①得 a ＜4，

由②得 a ＜17

4

．∴a 的取值范围是a ＜4．

练 习 1．选择题：

（1）方程2

2

2330x kx k -+=的根的情况是 （ ） （A ）有一个实数根 （B ）有两个不相等的实数根

（C ）有两个相等的实数根 （D ）没有实数根

（2）若关于x 的方程mx 2＋ (2m ＋1)x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值

范围是 （ ） （A ）m ＜

14 （B ）m ＞－1

4