高中数学必修四 第二章平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念
①向量a与向量b平行,则a与b的方向相同或相反; ②两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同; ③两个有共同终点的向量,一定是共线向量; ④向量������������与向量������������是共线向量,
则点������, ������, ������, ������必在同一条直线上; ⑤有向线段就是向量,向量就是有向线段. 其中说法错误的个数是( )
专题突破
题型一 题型二 题型三 题型四
题型一 向量的有关概念
【例 1】 下列说法正确的是( ) A. ������������ ∥ ������������就是������������所在的直线平行于������������所在的直线 B.长度相等的向量叫相等向量 C.零向量的长度等于 0 D.共线向量是在同一条直线上的向量 解析: ������������ ∥ ������������包含������������所在的直线与������������ 所在的直线平行和重合两种情况,故 A 项错;相等向量不仅要求长度 相等,还要求方向相同,故 B 项错;按定义,零向量的长度等于 0,故 C 项正确;共线向量可以是在一条直线上的向量,也可以是所在直线互 相平行的向量,故 D 项错. 答案:C
题型一 题型二 题型三 题型四
反思1.对向量有关概念的理解要全面、准确,要注意相等向量、 共线向量之间的区别和联系.
2.共线向量也就是平行向量,其要求是几个非零向量的方向相同 或相反,向量所在的直线可以平行,也可以重合,其中“共线”的含义 不同于平面几何中“共线”的含义.
3.零向量是与任一向量共线的,因此,向量共线不具有传递性.
题型一 题型二 题型三 题型四
解:以 A 为原点,正东方向为 x 轴正方向,正北方向为 y 轴正方向 建立直角坐标系.
根据题设,点 B 在第一象限,点 C 在 x 轴 正半轴上,点 D 在第四象限,向量������������, ������������, ������������ 如图所示.
由已知可得,△ABC 为正三角形,
题型一 题型二 题型三 题型四
题型三 画出实际问题中的向量 【例 3】 一辆汽车从点 A 出发向西行驶了 100 km 到达点 B, 然后又改变方向向西偏北 50°行驶了 200 km 到达点 C,最后又改变 方向,向东行驶了 100 km 到达点 D. (1)作出向量������������, ������������, ������������; (2)求|������������ |. 分析先根据行驶方向和距离作出向量,再求解.
∴AC=2 000.又∠ACD=45°,CD=1
000 2,
∴△ADC 为等腰直角三角形. ∴AD=1 000 2,∠CAD=45°.
故向量������������的模为1 000 2 km,方向为东南方向.
题型一
题型二 题型三 题型四
题四
易错辨析
易错点 混淆向量的有关概念而致错 【例4】 下列语句:
记法 a∥b 0∥a
归纳总结1.共线向量所在的直线平行或重合.如果两个向量所在 的直线平行或重合,则这两个向量是平行向量.
2.在平面内,相等的向量有无数多个,它们的方向相同且长度相等. 相等向量是共线向量,而共线向量不一定是相等向量.
123
【做一做3-1】 单位向量的长度等于( ) A.0 B.1 C.2 D.不确定 答案:B
与������������长度相等的向量有������������, ������������.
②与������������共线的向量有������������, ������������, ������������.
与������������共线的向量有������������, ������������, ������������.
题型一 题型二 题型三 题型四
反思1.寻找共线向量:先找与表示已知向量的有向线段平行或共 线的线段,再构造同向与反向的向量,注意不要漏掉以表示已知向 量的有向线段的终点为起点,起点为终点的向量.
2.寻找相等向量:先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向 量,再确定哪些是同向共线.
题型一 题型二 题型三 题型四
∴四边形 ABCD 为平行四边形, ∴|������������| = |������������| = 200km.
反思在实际问题中准确画出向量的方法是先确定向量的起点,再 确定向量的方向,然后根据向量的大小确定向量的终点.
题型一 题型二 题型三 题型四
【变式训练 3】 已知飞机从 A 地按北偏东 30°方向飞行 2 000 km 到达 B 地,再从 B 地按南偏东 30°方向飞行 2 000 km 到达 C 地, 最后从 C 地按西南方向飞行 1 000 2 km 到达������地. 画图表示向量 ������������, ������������, ������������, 并指出向量������������的模和方向.
2.数学中的向量是自由向量 剖析:根据相等向量的定义来分析,两个非零向量只有当它们的 模相等,同时方向相同时,才能称它们相等.任意两个相等的非零向 量都可以用同一条有向线段表示,并且与有向线段的起点无关,所 以向量只有大小和方向两个要素,是自由向量. 例如,五个人站成一排,同时向前走一步(假设每个人的步子都一 样大),则每个人都有一个位移,这五个位移都相等,是相等向量.对于 一个向量,只要不改变它的大小和方向,是可以自由平行移动的.因 为在用有向线段表示向量时,可以自由选择起点,所以任何一组平 行向量都可以移到同一直线上.
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量
a=b
说明:任意两个相等的非零向量,都可用同一条 有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关.
在平面上,两个长度相等且指向一致的有向线 段表示同一个向量
123
名称
平行 向量
定义 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量 规定:零向量与任何向量都平行 说明:任一组平行向量都可以移动到同一直线 上,因此,平行向量也叫共线向量
答案:C
题型一 题型二 题型三 题型四
题型二 在图形中找出相等向量或共线向量
【例 2】 如图,四边形 ABCD 与 ABEC 都是平行四边形.
(1)写出与向量������������ 共线的向量; (2)写出与向量������������ 相等的向量. 分析:寻找共线向量时,只需要考虑线段的方向,不需要考虑线段 的长度;寻找相等向量时,需要考虑线段的长度和方向. 解:(1)与向量������������共线的向量是������������, ������������, ������������, ������������, ������������, ������������, ������������; (2)与向量������������相等的向量是������������和������������.
题型一 题型二 题型三 题型四
解:(1)如图. (2)由题意,易知������������与������������方向相反,故������������与������������共线. 又|������������| = |������������|,
∴在四边形 ABCD 中,AB������CD.
123
【做一做 2】 已知向量 a 如图,下列说法不正确的是( )
A.也可以用������������表示 B. 方向是由������指向������ C.起点是 M D.终点是 M 答案:D
123
3.有关概念
名称 零向量 单位 向量
相等 向量
定义 长度为 0 的向量叫做零向量
记法 0
长度等于 1 个单位的向量,叫做单位向量
(4)有向线段的三个要素:起点、方向、长度.知道了有向线段的
起点、方向、长度,它的终点就唯一确定.
【做一做 1】 下列量中是向量的是( )
A.长度
B.身高
C.速度 D.面积
答案:C
123
2.向量的表示法 (1)几何表示:用有向线段表示,此时有向线段的方向就是向量的 方向,向量的大小就是向量的长度(或称模),如向量������������ 的长度记作 |������������ |. (2)字母表示:通常在印刷时,用黑体小写字母 a,b,c,…表示向量, 书写时,可写成带箭头的小写字母������, ������, ������, … , 还可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示, 如以������为起点, 以������为终点的向量记为������������.
【变式训练 2】 (1)如图,四边形 ABCD,其中������������ = ������������, 则相等的向量是( ) A. ������������与������������ B. ������������与������������ C. ������������与������������ D. ������������与������������ (2)如图,D,E,F 分别是等腰直角三角形 ABC 各边的中点,∠ BAC=90°.
123
(3)有向线段:带有方向的线段叫做有向线段,其方向是由起点指 向终点.以 A 为起点、B 为终点的有向线段记作������������(如图), 线段������������的长度也叫做有向线段������������的长度, 记作|������������|. 书写有向线段时, 起点写在终点的前面, 上面标上箭头.
题型一 题型二 题型三 题型四
【变式训练1】 下列命题正确的是( ) A.若a与b共线,b与c共线,则a与c也共线 B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的 四个顶点 C.若向量a与b不共线,则a与b都是非零向量 D.有相同起点的两个非零向量不平行
题型一 题型二 题型三 题型四
解析:因为零向量与任一向量都共线,所以A不正确;因为数学中 研究的向量是自由向量,所以两个相等的非零向量可以在同一直线 上,而此时就不可能构成四边形,根本不可能是一个平行四边形的 四个顶点,所以B不正确;向量的平行只要方向相同或相反即可,与 起点是否相同无关,所以D不正确;对于C,假设a与b不都是非零向量, 即a与b至少有一个是零向量,而由零向量与任一向量都共线,可有a 与b共线,不符合已知条件,所以有a与b都是非零向量,所以应选C.
则点������, ������, ������, ������必在同一条直线上; ⑤有向线段就是向量,向量就是有向线段. 其中说法错误的个数是( )
专题突破
题型一 题型二 题型三 题型四
题型一 向量的有关概念
【例 1】 下列说法正确的是( ) A. ������������ ∥ ������������就是������������所在的直线平行于������������所在的直线 B.长度相等的向量叫相等向量 C.零向量的长度等于 0 D.共线向量是在同一条直线上的向量 解析: ������������ ∥ ������������包含������������所在的直线与������������ 所在的直线平行和重合两种情况,故 A 项错;相等向量不仅要求长度 相等,还要求方向相同,故 B 项错;按定义,零向量的长度等于 0,故 C 项正确;共线向量可以是在一条直线上的向量,也可以是所在直线互 相平行的向量,故 D 项错. 答案:C
题型一 题型二 题型三 题型四
反思1.对向量有关概念的理解要全面、准确,要注意相等向量、 共线向量之间的区别和联系.
2.共线向量也就是平行向量,其要求是几个非零向量的方向相同 或相反,向量所在的直线可以平行,也可以重合,其中“共线”的含义 不同于平面几何中“共线”的含义.
3.零向量是与任一向量共线的,因此,向量共线不具有传递性.
题型一 题型二 题型三 题型四
解:以 A 为原点,正东方向为 x 轴正方向,正北方向为 y 轴正方向 建立直角坐标系.
根据题设,点 B 在第一象限,点 C 在 x 轴 正半轴上,点 D 在第四象限,向量������������, ������������, ������������ 如图所示.
由已知可得,△ABC 为正三角形,
题型一 题型二 题型三 题型四
题型三 画出实际问题中的向量 【例 3】 一辆汽车从点 A 出发向西行驶了 100 km 到达点 B, 然后又改变方向向西偏北 50°行驶了 200 km 到达点 C,最后又改变 方向,向东行驶了 100 km 到达点 D. (1)作出向量������������, ������������, ������������; (2)求|������������ |. 分析先根据行驶方向和距离作出向量,再求解.
∴AC=2 000.又∠ACD=45°,CD=1
000 2,
∴△ADC 为等腰直角三角形. ∴AD=1 000 2,∠CAD=45°.
故向量������������的模为1 000 2 km,方向为东南方向.
题型一
题型二 题型三 题型四
题四
易错辨析
易错点 混淆向量的有关概念而致错 【例4】 下列语句:
记法 a∥b 0∥a
归纳总结1.共线向量所在的直线平行或重合.如果两个向量所在 的直线平行或重合,则这两个向量是平行向量.
2.在平面内,相等的向量有无数多个,它们的方向相同且长度相等. 相等向量是共线向量,而共线向量不一定是相等向量.
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【做一做3-1】 单位向量的长度等于( ) A.0 B.1 C.2 D.不确定 答案:B
与������������长度相等的向量有������������, ������������.
②与������������共线的向量有������������, ������������, ������������.
与������������共线的向量有������������, ������������, ������������.
题型一 题型二 题型三 题型四
反思1.寻找共线向量:先找与表示已知向量的有向线段平行或共 线的线段,再构造同向与反向的向量,注意不要漏掉以表示已知向 量的有向线段的终点为起点,起点为终点的向量.
2.寻找相等向量:先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向 量,再确定哪些是同向共线.
题型一 题型二 题型三 题型四
∴四边形 ABCD 为平行四边形, ∴|������������| = |������������| = 200km.
反思在实际问题中准确画出向量的方法是先确定向量的起点,再 确定向量的方向,然后根据向量的大小确定向量的终点.
题型一 题型二 题型三 题型四
【变式训练 3】 已知飞机从 A 地按北偏东 30°方向飞行 2 000 km 到达 B 地,再从 B 地按南偏东 30°方向飞行 2 000 km 到达 C 地, 最后从 C 地按西南方向飞行 1 000 2 km 到达������地. 画图表示向量 ������������, ������������, ������������, 并指出向量������������的模和方向.
2.数学中的向量是自由向量 剖析:根据相等向量的定义来分析,两个非零向量只有当它们的 模相等,同时方向相同时,才能称它们相等.任意两个相等的非零向 量都可以用同一条有向线段表示,并且与有向线段的起点无关,所 以向量只有大小和方向两个要素,是自由向量. 例如,五个人站成一排,同时向前走一步(假设每个人的步子都一 样大),则每个人都有一个位移,这五个位移都相等,是相等向量.对于 一个向量,只要不改变它的大小和方向,是可以自由平行移动的.因 为在用有向线段表示向量时,可以自由选择起点,所以任何一组平 行向量都可以移到同一直线上.
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量
a=b
说明:任意两个相等的非零向量,都可用同一条 有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关.
在平面上,两个长度相等且指向一致的有向线 段表示同一个向量
123
名称
平行 向量
定义 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量 规定:零向量与任何向量都平行 说明:任一组平行向量都可以移动到同一直线 上,因此,平行向量也叫共线向量
答案:C
题型一 题型二 题型三 题型四
题型二 在图形中找出相等向量或共线向量
【例 2】 如图,四边形 ABCD 与 ABEC 都是平行四边形.
(1)写出与向量������������ 共线的向量; (2)写出与向量������������ 相等的向量. 分析:寻找共线向量时,只需要考虑线段的方向,不需要考虑线段 的长度;寻找相等向量时,需要考虑线段的长度和方向. 解:(1)与向量������������共线的向量是������������, ������������, ������������, ������������, ������������, ������������, ������������; (2)与向量������������相等的向量是������������和������������.
题型一 题型二 题型三 题型四
解:(1)如图. (2)由题意,易知������������与������������方向相反,故������������与������������共线. 又|������������| = |������������|,
∴在四边形 ABCD 中,AB������CD.
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【做一做 2】 已知向量 a 如图,下列说法不正确的是( )
A.也可以用������������表示 B. 方向是由������指向������ C.起点是 M D.终点是 M 答案:D
123
3.有关概念
名称 零向量 单位 向量
相等 向量
定义 长度为 0 的向量叫做零向量
记法 0
长度等于 1 个单位的向量,叫做单位向量
(4)有向线段的三个要素:起点、方向、长度.知道了有向线段的
起点、方向、长度,它的终点就唯一确定.
【做一做 1】 下列量中是向量的是( )
A.长度
B.身高
C.速度 D.面积
答案:C
123
2.向量的表示法 (1)几何表示:用有向线段表示,此时有向线段的方向就是向量的 方向,向量的大小就是向量的长度(或称模),如向量������������ 的长度记作 |������������ |. (2)字母表示:通常在印刷时,用黑体小写字母 a,b,c,…表示向量, 书写时,可写成带箭头的小写字母������, ������, ������, … , 还可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示, 如以������为起点, 以������为终点的向量记为������������.
【变式训练 2】 (1)如图,四边形 ABCD,其中������������ = ������������, 则相等的向量是( ) A. ������������与������������ B. ������������与������������ C. ������������与������������ D. ������������与������������ (2)如图,D,E,F 分别是等腰直角三角形 ABC 各边的中点,∠ BAC=90°.
123
(3)有向线段:带有方向的线段叫做有向线段,其方向是由起点指 向终点.以 A 为起点、B 为终点的有向线段记作������������(如图), 线段������������的长度也叫做有向线段������������的长度, 记作|������������|. 书写有向线段时, 起点写在终点的前面, 上面标上箭头.
题型一 题型二 题型三 题型四
【变式训练1】 下列命题正确的是( ) A.若a与b共线,b与c共线,则a与c也共线 B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的 四个顶点 C.若向量a与b不共线,则a与b都是非零向量 D.有相同起点的两个非零向量不平行
题型一 题型二 题型三 题型四
解析:因为零向量与任一向量都共线,所以A不正确;因为数学中 研究的向量是自由向量,所以两个相等的非零向量可以在同一直线 上,而此时就不可能构成四边形,根本不可能是一个平行四边形的 四个顶点,所以B不正确;向量的平行只要方向相同或相反即可,与 起点是否相同无关,所以D不正确;对于C,假设a与b不都是非零向量, 即a与b至少有一个是零向量,而由零向量与任一向量都共线,可有a 与b共线,不符合已知条件,所以有a与b都是非零向量,所以应选C.
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2.1平面向量的实际背景及基本概念
例1:已知O为正六边形ABCDEF的中心, 在图中所标出的向量中: E D (1)试找出与FE共线的向量;
F
O C
热 热 身
解: (1) OA BC, (2) FE BC
若不相等,则之间有什么关系?
A
B
(3)虽然OA // BC,且|OA|=|BC|,
立
BACK
练习:
1.已知a、b为不共线的非零向量,且
存在向量 c,使 c ∥ a, c ∥ b, 则
c =____ 0
BACK
练习:
1.与非零向量 a (非单位向量)平行的 2 向量中,不相等的单位向量有_____ 个.
BACK
练习:如图,EF是△ABC的中位线,AD是BC 边上的中
线,在以A、B、C、D、E、F为端点的有向线 段表示的向量中请分别写出
三维目标 1.通过实例,利用平面向量的物理背景以及研 究平面向量的必要性,理解平面向量的概念以 及确定平面向量的两个要素,分清数量与向量 的区别。 2.理解自由向量、平行向量、相等向量、相反 向量等概念,并能判断它们之间的关系,并会 辨认图形中的相等向量或作出与某一向量相等 的向量。 3.在教学过程中,应充分根据平面向量的两个 要素加以研究向量的关系,揭示向量可以平移 这一特性。培养学生数形结合的思想。
教学反思:
位移和距离 这两个量
香港
上海 台北
想一想:
观察下述三个量,哪个与另两个有区别?
m=5kg
(1)
F=20N
(2)
v =20km/h
(3)
(2)(3)都是有大小和方向的量
授课教师:高 波
一、向量的定义
说课课件第二章 平面向量 2.1平面向量的实际背景及基本概念
猫能捉住老鼠吗?
老鼠由A向东北方向以6m/s的速度逃窜,而猫由B 向正东方向10m/s的速度追. 问猫能否抓到老鼠?
嘻嘻!大笨猫!
C
唉, 哪儿去了?
A
B
猫的速度再快也没用,因为方向错了.
D
12
情景引入
南辕北辙——战国时,有个北方人要到南方的楚国去.他从太行山脚下出发, 乘着马车一直往北走去.有人提醒他“到楚国应该朝南走,你怎能往北呢?” 他却说“不要紧,我有一匹好马!”问:北方人能到达楚国吗?
4
重点 难点
教学重难点
向量概念、向量的几何表示、以及相 等向量、平行向量、共线向量的概念;
让学生感受向量、平行向量或共线向量及 相等向量概念形成过程;
5
教学目标
01 知识技能 02 过程与方法
情感态度与价
03
值观
知识技能 (1) 理解平面向量的概念,学会平面向量的表示方法; (2) 理解零向量、单位向量、相等向量、平行向量的含义。
a
b
l
c
C
OB A
平行向量也叫做共线向量!
22
设计意图——根据目标选择合适题型, 检测学生本节课的学习情况。
23
小试牛刀
1.如图, D、E、F分别是△ABC各边上的中点,在 以A、B、C、D、E、F为端点的有向线段表示 A 的向量中,请分别写出:
(1)与向量 DE 相等的向量有__个, E
F
分别是___________;
()
(6)模相等的两个平行向量是相等的向量;
()
(7)共线向量一定在同一直线上;
()
25
课堂小结
向量的概念; 向量的表示方法; 零向量、单位向量概念; 平行向量、共线向量定义; 共线向量与平行向量关系;
老鼠由A向东北方向以6m/s的速度逃窜,而猫由B 向正东方向10m/s的速度追. 问猫能否抓到老鼠?
嘻嘻!大笨猫!
C
唉, 哪儿去了?
A
B
猫的速度再快也没用,因为方向错了.
D
12
情景引入
南辕北辙——战国时,有个北方人要到南方的楚国去.他从太行山脚下出发, 乘着马车一直往北走去.有人提醒他“到楚国应该朝南走,你怎能往北呢?” 他却说“不要紧,我有一匹好马!”问:北方人能到达楚国吗?
4
重点 难点
教学重难点
向量概念、向量的几何表示、以及相 等向量、平行向量、共线向量的概念;
让学生感受向量、平行向量或共线向量及 相等向量概念形成过程;
5
教学目标
01 知识技能 02 过程与方法
情感态度与价
03
值观
知识技能 (1) 理解平面向量的概念,学会平面向量的表示方法; (2) 理解零向量、单位向量、相等向量、平行向量的含义。
a
b
l
c
C
OB A
平行向量也叫做共线向量!
22
设计意图——根据目标选择合适题型, 检测学生本节课的学习情况。
23
小试牛刀
1.如图, D、E、F分别是△ABC各边上的中点,在 以A、B、C、D、E、F为端点的有向线段表示 A 的向量中,请分别写出:
(1)与向量 DE 相等的向量有__个, E
F
分别是___________;
()
(6)模相等的两个平行向量是相等的向量;
()
(7)共线向量一定在同一直线上;
()
25
课堂小结
向量的概念; 向量的表示方法; 零向量、单位向量概念; 平行向量、共线向量定义; 共线向量与平行向量关系;
2.1平面向量的实际背景及基本概念
(2)直角坐标平面内的x轴,y轴是向量。 (3)如果两个向量所在的直线互相平行,那么这 两个向量是平行向量。
(4)平行向量所在的直线一定互相平行。 (5)单位向量都相等。
二、课堂互动讲练
(6)不相等的向量一定不平行。 (7)若 | a | > | b | 则 a > b 。
二、课堂互动讲练
(三)解决问题
3、掌握平行向量、相等向量、共线向量的概念。 重、难点 重点:理解并掌握向量、向量的模、零向量、单
位向量、平行向量、相等向量、共线向量的概念。 难点:向量的方向、相等向量、共线向量。
一、课前自主探究 1、什么是位移? 2、什么是向量?你还能从物理学中举 出一些这样的量吗?
3、什么是数量?生活中哪些量是数量
? 4、什么是有向线段?怎样表示?它的 长度怎样表示?它由哪几个要素组成?
5、向量的大小(或称模),怎样表示?
一、课前自主探究 6、对比线段的表示方法,向量怎样表 示? 7、你知道两个特殊向量吗?它们是? 8、什么是平行向量? 9、什么是相等向量? 10、什么是共线向量?
二、课堂互动讲练
(一)选择
1、下列物理量不是向量的是( ① ⑥ ⑦
① 质量 ② 速度 ③ 位移 ④
)
力
⑤
加速度 ⑥
路程
⑦
密度
2、下列说法中错误的是( A ) A.零向量是没有方向的 B.零向量的长度为零 C.零向量与任一向量平行 D.零向量的方向是任 意的
二、课堂互动讲练
(二)辨析
(1)温度含零上和零下温度,所以温度是向量。
(1)与零向量相等的向量必定是什么向量?
零向量 (2)与任意向量都平行的向量是什么向量? 零向量
(3)平行向量是否一定方向相同? 不一定
必修4第二章2.1平面向量的实际背景及基本概念
【变式 1】 下列命题中,正确的是( A.a,b 是两个单位向量,则 a 与 b 相等
).
B.若向量 a 与 b 不共线,则 a 与 b 都是非零向量 C.两个相等的向量,起点、方向、长度必须都相同 D.共线的单位向量必是相等向量 考点 2 向量的表示 【例 2】 在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为 1),用直尺和圆规画出下列向量:
A(起点)
③ 用有向线段的起点与终点字母: AB ; ④ 向量 AB 的大小――长度称为向量的模,记作| AB |. 3.有向线段:具有方向的线段叫做有向线段,三个要素:起点、方向、长度. 4、零向量、单位向量概念: ① 长度为 0 的向量叫零向量,记作 0. 0 的方向是任意的. ② 长度为 1 个单位长度的向 5、平行向量定义: ① 方向相同或相反的非零向量叫平行向量;② 我们规定 0 与任一向量平行. 6、相等向量定义:长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 7、共线向量与平行向量关系: 平行向量就是共线向量,这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无 关). 要点解析: 1. 向量与有向线段的区别: (1)向量只有大小和方向两个要素,与起点无关,只要大小和方向相同,则这两个向量就是 相同的向量; (2)有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和方向相同,也是不同的 有向线段. 2.向量 a 与 b 相等,记作 a=b;零向量与零向量相等;任意两个相等的非零向量,都可用同一 条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关. 3.零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. 4. 平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系;共线向量可以相互平行,要区 别于在同一直线上的线段的位置关系.
BO .其中,所有正确的序号为________.
平面向量的实际背景及基本概念
问:在平面上把所有单位向量的起点平移到同
一点P,那么它们的终点的集合组成什么图形?
提示:圆
P
相等向量: 长度相等且方向相同的向量.
向量 a与 相等,记作:
b
a b.
A1
a
A3A2
在实数中,我们有:若
=
b
A4, =
,则 B=1
B2
B3
,在向量中,你能提出类似的问题吗?结论怎样?
c
向量 AB 或a 的模 (或长度) 就是向量AB 或a 的大小,
记作:AB 或 a .
注:向量的模是可以比较大小的.
数量中有很特殊的数“0”,“1”,向量中有
没有类似的特殊向量?
零向量——长度为0的向量叫做零向量,记作 0.
零向量的方向是任意的!
单位向量——长度等于1个单位的向量,叫做单位向量.
图中与向量 OA 、OB 、OC 相等的向量。
B
A
O
C
F
D
E
解:
B
A
OA CB DO
OB DC EO
O
C
F
OC AB ED FO
D
E
变式练习:
1.与向量 OA 长度相等的向量有多少个?
2.是否存在与向量 OA 长度相等、方向
相反的向量?
3.与向量OA 共线的向量有哪些?
2.1平面向量的实际背景
及基本概念
向量的概念
向量:既有大小又有方向的量叫向量.
向量的两要素:大小、方向.
数量:只有大小没有方向的量.
数量可以比较大小,向量不能比较大小!
友情链接:物理中常把向量与数量分别叫做 矢量、标量.
一点P,那么它们的终点的集合组成什么图形?
提示:圆
P
相等向量: 长度相等且方向相同的向量.
向量 a与 相等,记作:
b
a b.
A1
a
A3A2
在实数中,我们有:若
=
b
A4, =
,则 B=1
B2
B3
,在向量中,你能提出类似的问题吗?结论怎样?
c
向量 AB 或a 的模 (或长度) 就是向量AB 或a 的大小,
记作:AB 或 a .
注:向量的模是可以比较大小的.
数量中有很特殊的数“0”,“1”,向量中有
没有类似的特殊向量?
零向量——长度为0的向量叫做零向量,记作 0.
零向量的方向是任意的!
单位向量——长度等于1个单位的向量,叫做单位向量.
图中与向量 OA 、OB 、OC 相等的向量。
B
A
O
C
F
D
E
解:
B
A
OA CB DO
OB DC EO
O
C
F
OC AB ED FO
D
E
变式练习:
1.与向量 OA 长度相等的向量有多少个?
2.是否存在与向量 OA 长度相等、方向
相反的向量?
3.与向量OA 共线的向量有哪些?
2.1平面向量的实际背景
及基本概念
向量的概念
向量:既有大小又有方向的量叫向量.
向量的两要素:大小、方向.
数量:只有大小没有方向的量.
数量可以比较大小,向量不能比较大小!
友情链接:物理中常把向量与数量分别叫做 矢量、标量.
人教A高中数学必修4第二章 2.1平面向量的实际背景及基本概念
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2.1
平面向量的实际背景及基本概念
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考 纲 定 位 重 难
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突
破
1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景 认识向量,掌握向量与数量的区别. 2.会用有向线段作向量的几何表示,了解有向 重点:向量的概念及几何表 示;相等向量的概念; 共线向量的概念.
→ → → → → 解析:在平行四边形 ABCD 和 ABDE 中,因为AB=ED,AB=DC,所以与ED相 → → → → → → → → 等的向量为AB,DC;由题干图知与向量AB共线的向量有BA,ED,DE,CD,DC, → ,CE →. EC → 、DC → 答案:AB
→ ,ED → ,DE → ,CD → ,DC → ,EC → ,CE → BA
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[解析] 反;
(1)错误. 因为两个单位向量只是模都等于 1 个单位, 方向不一定相同或相
(2)错误.任何向量都有方向,零向量的方向是任意的; → → (3)正确.由三角形中位线性质知,DE∥BC,向量DE与CB方向相反,是平行向量; (4)错误.b 为零向量时,有 a∥b 且 b∥c,但 a 与 c 的方向可以任意变化,它们不 一定是平行向量; (5)错误.A、B、C、D 四点也可能在同一条直线上; → 与BA → 的模相等,方向相反,二者是平行向量. (6)正确.非零向量AB
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→ → 解析:(1)正确,由于|a|=|AB|=|AB|,|b|=|BA|=|BA|=|AB|,因此有|a|=|b|. (2)不正确,由单位向量的定义知,凡长度为 1 的向量均称为单位向量,但是对方 向没有任何要求,因此说法(2)不正确. → |=|BA → |,所以当AB → 是单位向量时,BA → 也是单位向量. (3)正确.因为|AB → (4)正确,由于向量|AP|=1,所以点 P 是以点 A 为圆心的单位圆上的一点.反过 → |=1,所 来,若点 P 是以点 A 为圆心,1 为半径的单位圆上的任一点,则由于|AP → 是单位向量,因此说法正确. 以向量AP
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2.1
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考 纲 定 位 重 难
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突
破
1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景 认识向量,掌握向量与数量的区别. 2.会用有向线段作向量的几何表示,了解有向 重点:向量的概念及几何表 示;相等向量的概念; 共线向量的概念.
→ → → → → 解析:在平行四边形 ABCD 和 ABDE 中,因为AB=ED,AB=DC,所以与ED相 → → → → → → → → 等的向量为AB,DC;由题干图知与向量AB共线的向量有BA,ED,DE,CD,DC, → ,CE →. EC → 、DC → 答案:AB
→ ,ED → ,DE → ,CD → ,DC → ,EC → ,CE → BA
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[解析] 反;
(1)错误. 因为两个单位向量只是模都等于 1 个单位, 方向不一定相同或相
(2)错误.任何向量都有方向,零向量的方向是任意的; → → (3)正确.由三角形中位线性质知,DE∥BC,向量DE与CB方向相反,是平行向量; (4)错误.b 为零向量时,有 a∥b 且 b∥c,但 a 与 c 的方向可以任意变化,它们不 一定是平行向量; (5)错误.A、B、C、D 四点也可能在同一条直线上; → 与BA → 的模相等,方向相反,二者是平行向量. (6)正确.非零向量AB
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→ → 解析:(1)正确,由于|a|=|AB|=|AB|,|b|=|BA|=|BA|=|AB|,因此有|a|=|b|. (2)不正确,由单位向量的定义知,凡长度为 1 的向量均称为单位向量,但是对方 向没有任何要求,因此说法(2)不正确. → |=|BA → |,所以当AB → 是单位向量时,BA → 也是单位向量. (3)正确.因为|AB → (4)正确,由于向量|AP|=1,所以点 P 是以点 A 为圆心的单位圆上的一点.反过 → |=1,所 来,若点 P 是以点 A 为圆心,1 为半径的单位圆上的任一点,则由于|AP → 是单位向量,因此说法正确. 以向量AP
高一数学人教A版必修4第二章2.1平面向量的实际背景及基本概念2课时课件
如:
B (终点)
A (起点)
(3) 字母表示: ① 用端点的大写字母表示, 如 ② 用印刷黑体小写字母表示, 如 a、b、c. ③ 用书写体加箭头表示, 如
aB A
3. 向量的模:
也叫做向量的模, 记作
4. 零向量: 模为零的向量称为零向量, 记作0 ( 方向是任意的.
), 零向量的
5. 单位向量:
的中线向量 AD的模| AD|.
A
解:
AB 3, 则 BD
由勾股定理求得
B DC
2.1.3 相等向量
与 共线向量
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1. 什么是相等向量? 相等向量与什么有关, 与 什么无关?
2. 什么叫平行向量? 什么叫共线向量? 共线向 量一定画在一条直线上吗?
3. 共线向量的长度是否相等? 共线向量的方向 是否相同?
【课时小结】
2. 向量 既有大小, 又有方向的量.
3. 向量的物理背景 向量研究具有方向和大小的问题: 位移具有方向与距离. 力具有方向与大小. 速度具有方向和大小.
【课时小结】
4. 向量的表示
向量用有向线段表示.
字母表示有三种方法:
① 用端点的大写字母表示, 如
② 用印刷黑体小写字母表示, 如 a、b、c.
(2) 求| AB|的值.
y
答: (1)
4
B
因为方向不同.
因为长度是相等的.
A
(2)
o1 4 x
(二) 向量的表示 1. 向量 我们把既有大小, 又有方向的量叫做向量 (物理学 中称为矢量); 而把只有大小, 没有方向的量称为数量, (物理学中称为标量).
向量是勾通代数, 几何, 三角函数的一种工具.
第二章 平面向量的实际背景及基本概念
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知识预览
1.向量的概念与几何表示 (1)我们把既有大小又有方向的量叫做向量. (2)具有方向的线段叫做有向线段,A 为起点,B 为终点 → → 的有向线段记作AB, 线段 AB 的长度叫做有向线段AB的长度, → 记作|AB|,有向线段包括三个要素:起点、方向、长度.
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→ 解:(1)由四边形 ABCD 与 ABDE 是平行四边形,知DC, → → → ED与AB长度相等且方向相同,所以与向量AB相等的向量为 → → DC和ED. → → → → → → (2)依据图形可知DC,ED,EC与AB方向相同,BA,CD, → → → → → → DE, 与AB方向相反, CE CD 所以与向量AB共线的向量有BA, , → → → → → DC,ED,DE,EC,CE.
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自测自评
1.下列各物理量:①质量;②速度;③位移;④力;⑤ 加速度;⑥路程;⑦密度;⑧功.其中不是向量的有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
解析:②③④⑤是向量. 答案:D
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2.下列结论中错误的是( ..
)
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2.1 平面向量的实际背景及基本概念
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目标定位
目 标 要 求 1.了解向量的实际背景,以位移、力等物理背景抽象出 向量. 2. 理解向量的概念, 相等向量的概念及向量的几何表示. 3.掌握向量的概念及共线向量的概念. 热 点 提 示 1.对向量概念以及共线向量的考查是本节的热点. 2.本节内容常与三角函数、解析几何结合命题. 3.多以选择题、填空题的形式考查.
说课第二章 平面向量 2.1平面向量的实际背景及基本概念
解: AB表示A地至B地的位移,且
200km .
AC 表示A地至C地的位移,且
280km .
25
平行向量:
向量间的关系
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量;
②我们规定0与任一向
a
量平行.
b
c
26
讲授新课
6.平行向量定义: ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量; ②我们规定0与任一向量平行. a
b c
决数学问题。
(三)情感态度与价值观
经历平面向量的概念的探索过程,提高自主探究能力,进
一步提高学习数学的乐趣,由感性思维逐步提升到理性思
维。
7
(四)学科核心素养 a. 数学抽象:平面向量的概念 b. 逻辑推理:共线向量的判断 c. 数学运算:向量相等 d. 直观想象:向量的几何表示 e.数学建模:向量概念的建立
直线与直线的位置关 系里,严格区分直线和 直线位置关系,平行就 是共面前提下的无交 点,平行不共线.
29
相等向量:长度相等,方向相同的两个向量。
a
b
ab
对向量的大小和方向都明确规定
a
b
方向相同
a
b
30
思 (1)相等向量一定是平行向量?
考
a
:
是
b
(2)平行向量一定是相等向量?
以A为起点、B为终点的有向线段 记作: AB
起点写在终点的前面.
A(起点)
B (终点)
线段AB的长度也叫做有向线段 AB 的长度,记作: AB
有向线段的三要素:起点、,它的终 点就唯一确定.
22
3. 向量的表示方法:
(1)几何表示法:用有向线段表示
200km .
AC 表示A地至C地的位移,且
280km .
25
平行向量:
向量间的关系
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量;
②我们规定0与任一向
a
量平行.
b
c
26
讲授新课
6.平行向量定义: ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量; ②我们规定0与任一向量平行. a
b c
决数学问题。
(三)情感态度与价值观
经历平面向量的概念的探索过程,提高自主探究能力,进
一步提高学习数学的乐趣,由感性思维逐步提升到理性思
维。
7
(四)学科核心素养 a. 数学抽象:平面向量的概念 b. 逻辑推理:共线向量的判断 c. 数学运算:向量相等 d. 直观想象:向量的几何表示 e.数学建模:向量概念的建立
直线与直线的位置关 系里,严格区分直线和 直线位置关系,平行就 是共面前提下的无交 点,平行不共线.
29
相等向量:长度相等,方向相同的两个向量。
a
b
ab
对向量的大小和方向都明确规定
a
b
方向相同
a
b
30
思 (1)相等向量一定是平行向量?
考
a
:
是
b
(2)平行向量一定是相等向量?
以A为起点、B为终点的有向线段 记作: AB
起点写在终点的前面.
A(起点)
B (终点)
线段AB的长度也叫做有向线段 AB 的长度,记作: AB
有向线段的三要素:起点、,它的终 点就唯一确定.
22
3. 向量的表示方法:
(1)几何表示法:用有向线段表示
最新人教版高中数学必修4第二章平面向量的实际背景及基本概念
答案:������������, ������������ , ������������
-10-
1.1 DNA重组技术的基本工具
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基础知识 J课堂互动 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
1.向量不能比较大小 剖析:(1)向量的模是非负实数,可以比较大小;(2)因为方向不能比较大 小,所以向量不能比较大小,对于向量来说“大于”和“小于”的概念是没有意 义的,例如,������������ > ������������ 是没有意义的,即������������与������������ 不能比较大小.
-5-
1.1 DNA重组技术的基本工具
1 2 3
自主预习 首 页
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
【做一做 1】 下列量中是向量的是( A.长度 答案:C B.身高 C.速度
) D.面积
-6-
1.1 DNA重组技术的基本工具
-8-
记法 0
a =b
a∥b 0∥a
1.1 DNA重组技术的基本工具
1 2 3
自主预习 首 页
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
(1)共线向量所在的直线平行或重合.如果两个向量所在的直 线平行或重合,则这两个向量是平行向量. (2)在平面内,相等的向量有无数多个,它们的方向相同且长度相等.相等向 量是共线向量,但共线向量不一定是相等向量.
