多元回归分析
多元线性回归分析
简介多元线性回归分析是一种统计技术，用于评估两个或多个自变量与因变量之间的关系。
它被用来解释基于自变量变化的因变量的变化。
这种技术被广泛用于许多领域，包括经济学、金融学、市场营销和社会科学。
在这篇文章中，我们将详细讨论多元线性回归分析。
我们将研究多元线性回归分析的假设，它是如何工作的，以及如何用它来进行预测。
最后，我们将讨论多元线性回归分析的一些限制，以及如何解决这些限制。
多元线性回归分析的假设在进行多元线性回归分析之前，有一些假设必须得到满足，才能使结果有效。
这些假设包括。
1）线性。
自变量和因变量之间的关系必须是线性的。
2）无多重共线性。
自变量之间不应高度相关。
3）无自相关性。
数据集内的连续观测值之间不应该有任何相关性。
4）同质性。
残差的方差应该在自变量的所有数值中保持不变。
5）正态性。
残差应遵循正态分布。
6）误差的独立性。
残差不应相互关联，也不应与数据集中的任何其他变量关联。
7）没有异常值。
数据集中不应有任何可能影响分析结果的异常值。
多重线性回归分析如何工作？多元线性回归分析是基于一个简单的数学方程，描述一个或多个自变量的变化如何影响因变量（Y）的变化。
这个方程被称为"回归方程"，可以写成以下形式。
Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε 其中Y是因变量；X1到Xn是自变量；β0到βn是系数；ε是代表没有被任何自变量解释的随机变化的误差项（也被称为"噪音"）。
系数（β0到βn）表示当所有其他因素保持不变时（即当所有其他自变量保持其平均值时），每个自变量对Y的变化有多大贡献。
例如，如果X1的系数为0.5，那么这意味着当所有其他因素保持不变时（即当所有其他独立变量保持其平均值时），X1每增加一单位，Y就会增加0.5单位。
同样，如果X2的系数为-0.3，那么这意味着当所有其他因素保持不变时（即所有其他独立变量保持其平均值时），X2每增加一个单位，Y就会减少0.3个单位。
计量经济学课程第4章(多元回归分析)
§4.1 多元线性回归模型的两个例子
一、例题1：CD生产函数
Qt AKt 1 Lt 2 et
这是一个非线性函数，但取对数可以转变为一个 对参数线性的模型
ln Qt 0 1 ln Kt 2 ln Lt t
t ~ iid(0, 2 )
注意：“线性”的含义是指方程对参数而言是线 性的
R 2 1 RSS /(N K 1) TSS /(N 1)
调整思想： 对 R2 进行自由度调整。
Page 20
基本统计量TSS、RSS、ESS的自由度：
1.
TSS的自由度为N-1。基于样本容量N，TSS
N i1
(Yi
Y
)2
因为线性约束 Y 1 N
Y N
i1 i
而损失一个自由度。
分布的多个独立统计量平方加总，所得到的新统计量就服从
2 分布。
《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著
Page 23
双侧检验
概 率 密 度
概率1－
0
2 1 / 2
2 /2
图4.3.1
2
（N-K-1）的双侧临界值
双侧检验：统计值如果落入两尾中的任何一个则拒绝原假设
《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著
Page 24
单侧检验
概 率 密 度
概率 概率
0
2 1
2
图4.3.2 （2 N-K-1）的单侧临界值
H0：
2
2，
0
HA :
2
2 0
多元统计分析回归分析
03
多元线性回归分析
多元线性回归模型的建立
确定自变量和因变量
01
在建立多元线性回归模型时，首先需要明确哪些变量是自变量
（解释变量），哪些是因变量（响应变量）。
确定模型形式
02
根据研究目的和数据特征，选择合适的多元线性回归模型形式，
如线性、多项式、逻辑回归等。
确定模型参数
03
根据选择的模型形式，确定模型中的参数，如回归系数、截距
04
多元非线性回归分析
多元非线性回归模型的建立
确定因变量和自变量
首先需要确定回归分析中的因变量和自变量， 并收集相关数据。
确定模型形式
根据理论或经验，选择合适的非线性函数形式 来表示自变量与因变量之间的关系。
确定模型参数
根据数据，使用适当的方法确定模型中的参数。
多元非线性回归模型的参数估计
01
详细描述
在社会调查中，回归分析可以帮助研究者了解不同因素对人类行为的影响，例如 教育程度、收入、性别等因素对个人幸福感的影响。通过回归分析，可以揭示变 量之间的关联和因果关系，为政策制定和社会干预提供科学依据。
生物医学数据的回归分析
总结词
生物医学数据的回归分析是多元统计分析在生命科学领域的应用，用于研究生物标志物和疾病之间的 关系。
详细描述
在经济领域，回归分析被广泛应用于股票价格、通货膨胀率 、GDP等经济指标的分析和预测。通过建立回归模型，可以 分析不同经济变量之间的因果关系，为政策制定者和投资者 提供决策依据。
社会调查数据的回归分析
总结词
社会调查数据的回归分析是多元统计分析在社会科学领域的应用，用于研究社会 现象和人类行为。
特点
多元统计分析具有多维性、复杂性和实用性。它可以处理多个变量之间的交互 作用和综合效应，广泛应用于各个领域，如经济学、社会学、生物学等。
多元回归分析
多元回归分析多元回归分析是一种用于建立预测模型的统计方法。
在多元回归分析中，我们可以探究多个自变量对于一个或多个因变量的影响程度。
因此，多元回归模型可以帮助我们预测未来的趋势和结果。
多元回归模型一个多元回归模型可以被定义为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βkXk + ε其中，Y代表因变量，X1, X2, ..., Xk代表自变量，β1, β2, ..., βk 代表自变量对于Y的影响力，β0为截距，ε为随机误差。
使用多元回归分析，我们可以通过对观察数据进行拟合，来估计坑深度(k)和每个自变量的系数(β)。
这些系数告诉了我们每个自变量的影响程度，从而可以预测因变量(Y)的值。
多元回归应用多元回归分析被广泛地应用于不同领域，如经济学、医学、心理学等。
下面将介绍多元回归分析在金融领域中的应用。
在金融领域，多元回归分析可以帮助我们预测一些关键的金融变量，如股票价格、货币汇率、利率等。
接下来，我们将以预测股票价格为例来说明多元回归分析的应用。
1. 收盘价预测模型使用多元回归分析，我们可以建立一个收盘价预测模型，以帮助我们预测未来股票的价格。
为了建立该模型，我们需要收集一些历史的股票价格数据和其他相关数据。
这些数据可以包括公司业绩、行业前景、国家经济发展等。
下面是一个简单的股票价格预测模型：Price = β0 + β1Earnings per Share + β2GDP + β3Unemployment Rate + ε在这个模型中，价格是因变量(Y)，Earnings per Share、GDP、Unemployment Rate是自变量(X)。
通过对这些数据进行多元回归分析，可以得到每个自变量的系数。
接下来，我们可以使用这个模型来预测股票价格。
一般来说，我们需要将每个自变量的数值代入模型中，从而获得股票价格的预测值。
2. 基金回报预测模型除了股票价格的预测，多元回归分析还可以帮助我们预测基金回报。
多元回归分析方法
多元回归分析方法一、简介多元回归分析是一种经济学和统计学中常用的分析方法，它可以用来研究多个自变量对一个因变量的影响关系。
在实际问题中，我们往往需要考虑多个因素对某个现象的影响，多元回归分析可以帮助我们揭示这种复杂关系。
二、回归模型回归分析基于回归模型，常见的多元回归模型可以表示为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βkXk + ε，其中Y是因变量，Xi是自变量，βi是对应的回归系数，ε是随机误差项。
回归系数反映了自变量对因变量的影响程度，通过对样本数据进行估计，我们可以得到回归系数的估计值。
三、数据收集与准备在进行多元回归分析之前，我们需要收集和准备相关的数据。
这包括确定因变量和自变量的测量指标，选择合适的样本规模，保证数据的有效性和可靠性。
同时，对于因变量和自变量之间可能存在的非线性关系，我们需要进行适当的变量转换或添加高阶项，以确保模型的拟合程度。
四、回归模型的选择在进行多元回归分析时，我们需要选择合适的回归模型。
这可以通过观察数据的分布情况、变量之间的关系以及领域知识来进行判断。
常见的回归模型包括线性回归、多项式回归和逻辑回归等。
选择合适的模型能够提高分析的准确性和可解释性。
五、模型拟合与评估在得到回归模型的估计值后，我们需要评估模型的拟合程度和预测能力。
常见的评估指标包括均方误差(MSE)、决定系数(R-squared)和F统计量等。
通过这些指标，我们可以判断模型的拟合优度和自变量的显著性，进而确定模型是否可靠以及变量是否具有统计显著性。
六、多重共线性检验多元回归分析中存在一个重要的问题，即多重共线性。
当自变量之间存在强相关关系时，容易导致模型估计结果的不稳定和不可靠。
因此，在进行多元回归分析之前，必须对自变量进行多重共线性的检验。
常用的方法包括方差膨胀因子(VIF)和特征值分解等。
七、模型解释与应用通过对多元回归模型的估计和评估，我们可以得到自变量对因变量的影响程度和方向，并进行合理的解释。
回归分析概念相关多元回归分析
回归分析概念相关多元回归分析回归分析是一种统计学方法，用于研究因变量和一个或多个自变量之间的关系。
它可以用来预测或解释因变量在自变量变化时的变化情况。
相关分析是回归分析的一种特殊情况，用于研究两个变量之间的关系。
它通过计算两个变量之间的相关系数来衡量它们的线性相关程度。
相关系数的取值范围在-1到1之间，接近1表示正相关，接近-1表示负相关，接近0表示无相关。
与相关分析相比，多元回归分析可以同时研究一个因变量和多个自变量之间的关系。
它通过拟合一个线性模型来预测或解释因变量的变化。
多元回归分析的最常见形式是多元线性回归，它可以用来研究因变量在多个自变量变化时的变化情况。
在多元回归分析中，每个自变量都有一个回归系数，代表它对因变量的影响程度。
多元回归分析需要满足一些假设，包括线性假设（因变量和自变量之间的关系是线性的）、独立性假设（观测之间是相互独立的）、等方差性假设（残差的方差是恒定的）和正态性假设（残差是正态分布的）。
如果这些假设不成立，可能需要采取一些特殊技术，如非线性回归或转换变量。
多元回归分析的步骤包括数据收集、模型建立、模型拟合和结果解释。
在数据收集阶段，需要收集因变量和自变量的数据。
在模型建立阶段，需要选择适当的自变量，并建立一个数学模型。
在模型拟合阶段，需要使用统计软件拟合模型，并计算回归系数和拟合优度。
在结果解释阶段，需要解释回归系数的含义，并进行模型的诊断和解释。
多元回归分析有很多应用领域，包括经济学、社会科学、医学等。
它可以用来预测销售额、分析市场需求、评估政策效果等。
通过多元回归分析，研究人员可以深入了解因变量与多个自变量之间的复杂关系，并得出有关预测和解释的结论。
总结起来，回归分析是一种统计学方法，用于研究变量之间的关系。
相关分析是其特殊情况，用于研究两个变量之间的关系。
多元回归分析是同时研究一个因变量和多个自变量之间的关系。
多元回归分析的步骤包括数据收集、模型建立、模型拟合和结果解释。
统计学中的多元回归与方差分析
统计学中的多元回归与方差分析多元回归是指多个自变量（影响因素）对一个因变量（效果）的影响进行定量分析的方法。
方差分析则是一种用于分析因变量被一些分类变量影响的方法。
虽然两种方法的应用场景不尽相同，但是它们都很重要，是统计学中的基础知识之一。
一、多元回归多元回归分析常用于解释因变量如何受到多个自变量的影响。
例如，一个经济学家可能想要知道一个人购买食品的数量与哪些因素有关。
他可能会考虑许多不同的自变量，如收入、食品价格、家庭规模、家庭成员的年龄、偏好等。
他可能会尝试研究这些变量与购买食品数量之间的关系，并尝试建立一个数学模型来预测购买食品数量。
这就是多元回归分析所涵盖的内容。
在这个例子中，我们将购买的食品数量称为因变量，自变量包括收入、食品价格、家庭规模、家庭成员的年龄和偏好等。
我们假设这些自变量互相独立，不会相互影响。
我们还假设它们与因变量之间的关系是线性的。
在多元回归分析中，我们尝试建立一个包含所有自变量的方程来解释因变量的变化。
二、方差分析方差分析也称为变量分析或ANOVA，是用于分析因变量受到一些分类变量影响的方法。
例如，在一组实验中，我们可能会测试不同的肥料品牌对玉米的产量是否有影响。
我们还可能想比较不同的播种密度，田间间隔以及其他因素的影响。
我们可以使用方差分析来确定这些因素对玉米产量的影响程度。
在执行方差分析时，我们首先要将数据分成不同的组，然后计算每组的平均值。
接下来，我们将计算每组的平均值，以确定这些差异是否达到了统计上的显著性。
如果这些差异是显著的，我们可以确定哪些因素是造成差异的原因。
三、多元方差分析有时，我们需要同时考虑多个因素对因变量的影响。
在这种情况下，我们使用多元方差分析。
这种方法可以确定每个因素对因变量的影响大小，并确定这些差异是否具有统计学意义。
总体而言，多元回归和方差分析都是统计学家经常使用的方法。
多元回归允许我们探究因变量与多个自变量的关系，而方差分析则允许我们了解因变量受到分类变量的影响程度。
多元回归分析
则： F Lb
b L1 F
多元回归的应用-本构方程
选择“最优”回归方程的方法
在多元线性回归研究中 , 总设想把对 y 变量影 响显著的自变量因子引入回归方程 , 引入得越多 越好 ( 反映更加全面 ); 而把对 y 变量影响不显著的
因子剔除掉 , 剩余得越少越好 ( 方程更加简单 ), 建
其残差平方和Q:
Q(b0 , b1 , b2 ) et 2
i 1 n
n
ˆt ) 2 ( yi y
i 1 n
[ yi (b0 b1 xi1 b2 xi 2 )]2
i 1
显然:
Q(b0 , b1, b2 ) 0
由极值原理:
由(1)得:
由(2)(3)得:
b0 y (b1 x1 b2 x2 )
*
L11b1 L12b2 L10 L21b1 L22b2 L20
解该方程得:
L10 L22 L20 L21 b 1 L L L L 11 22 12 21 b L20 L11 L10 L21 2 L11 L22 L12 L21
多元线性回归模型包含多个变量，多个解释变量 同时对被解释变量发生作用，若要考察其中一个 解释变量对的影响就必须假设其它解释变量保持 不变来进行分析。
因此多元线性回归模型中的回归系数为偏回归系 数，即反映了当模型中的其它变量不变时，其中 一个解释变量对因变量的均值的影响。
最简单的多元线性回归模型是二元线性回归模型。
逐步回归方程的基本思想
根据自变量对因变量的重要性，把它们逐个地选 入到回归方程。 1. 从建立值包含一个自变量的回归方程开始， 接着是建立两个自变量的回归方程。 2. 反复进行两个步骤（1）对已经进入回归方程 的自变量进行显著性检验，显著的保留，最 不显著的剔除；（2）对不在回归方程中的自 变量挑选最显著的引入回归方程。直到留在 方程中的所有自变量均对y有显著影响，方程 外的自变量对y均无显著性影响。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
12
OLS的无偏性
Unbiasedness of OLS
13
Assumptions for Unbiasedness
• 假定 TS.1: (Linear in parameters,参数线性) yt = b0 + b1xt1 + . . .+ bkxtk + ut • 假定 TS.2: (Zero conditional mean 零值条 件期望): E(ut|X) = 0, t = 1, 2, …, n
16
OLS估计量的方差 Variances of OLS Estimators
17
Assumptions for OLS Variances
• 假定TS.4: (Homoskedasticity in error terms误差具有同方差性): Var(ut|X) = Var(ut) = s2 • 假定TS.5: (No serial correlation between error terms误差项之间没有序列相关): Corr(ut,us| X)=0 for t s
6
10.2 Examples Of Time Series Regression Models 10.2 时间序列回归模型的例子
7
Examples of Time Series Models 静态模型:static model
• 一个静态模型表达了同一时期各个变量之 间的关系： yt = b0 + b1zt + ut • A static model relates contemporaneous variables: yt = b0 + b1zt + ut
15
Theorem 10.1 (Unbiasedness of OLS):
OLS的无偏性
• 定理 10.1 (OLS的无偏性): 在假定TS.1-3下， OLS估计量条件于X是无偏的，因此，也是 无条件无偏。 • Theorem 10.1 (Unbiasedness of OLS): Under Assumptions TS.1-3, the OLS estimators are unbiased conditional on X, and therefore unconditionally as well.
ˆ s 2 SSR / n k 1
20
Theorem 10.4 : Gauss-Markov Theorem
• 定 理 10.4( 高 斯 - 马 尔 可 夫 定 理 ) ： 在 假 定 TS.1-5下，条件于X，OLS估计量是最优线 性无偏估计量(BLUE)。 • Theorem 10.4 (Gauss-Markov Theorem): Under Assumptions TS.1-5, the OLS estimators are the best linear unbiased estimators conditional on X.
21
OLS的正态抽样分布
Normal Sampling Distributions of OLS
22
关于OLS的正态抽样分布的假定
Assumptions for Normal Sampling Distributions of OLS
• 假定TS.6: (Normality,正态性): 误差项独立 于X，且是i.i.d. Normal(0, s2). 。 • TS.6: (Normality): The errors ut are independent of X， and are independently and identically distributed as Normal(0, s2). • TS.1-6: 可称为时间序列的经典线性模型 (CLM)假定(CLM assumptions for time series)：
10
Examples of Time Series Models 动态模型: dynamic model
• A dynamic model 动态模型 yt = b0 + b1yt-1 + ut
11
10.3 Finite Sample Properties Of Ols Under Classical Assumptions 10.3 经典假定下的OLS有限样本性质
其中SSTj 是xij 的总离差平方和，而Rj2是xj对其它自变量回归 得到的R方。 • Theorem 10.2 (OLS sampling variances): Under the time series Gauss-Markov assumptions TS.1-5, the variance of ˆ , bj conditional on X, is Var( bˆ | X ) s SST (1 R ) where SSTj is the total sum of squares of xij and Rj2 is the Rsquared from the regression of xj on the other independent variables.
注：任何一期残差项ut与所有期的解释变量X都不相关
• 假定 TS.3: (No perfect collinearity,无完全 共线性): no independent variable is constant or a
perfect linear combination of the others.
5
说明：时间序列数据是随机过程的一个实现值
• 时间序列数据是随机过程的一个实现值 a time series data set is one possible outcome, or realization, of the stochastic process. • 按照时间顺序排列的一个随机变量序列，称为随机过程， 时间序列过程。 Formally, a sequence of random variables indexed by time is called a stochastic process or a time series process • 一个时间序列所有的可能实现值构成的集合，相当于截面 分析中的总体。 The set of all possible realizations of a time series process plays the role of the population in cross-sectional analysis.
• 同方差：Var(ui)=si2= s2
• 随机抽样假定：Cov(ui, uj)=E(uiuj)=0, i≠j
3
10.1 The Nature Of Time Series Data 10.1 时间序列数据的性质
4
时间序列数据的性质：时间序列与截面数据
The Nature Of Time Series Data: time Series vs. Cross Sectional
18
定理10.2 ( OLS的抽样方差) Theorem 10.2:OLS sampling variances
• 定理10.2 ( OLS的抽样方差)：在时间序列的高斯—马尔可 ˆ 夫假定TS.1-5下，b j 的条件于X的方差，
ˆ Var( b j | X )
s2
SSTj (1 R 2 ) j
Skip
9
Examples of Time Series Models 有限分布滞后模型: Finite Distributed Lag Models
• 称d0称为即期/冲击倾向，即期/冲击乘数 (impact propensity，impact multiplier)， 反映z变化1单位，导致的y的即时变化。 • 即期/冲击倾向dj随着时间j的变化，称为滞 后分布(lag distribution),反映了z的一个 暂时性变化，对于y的动态影响。 • 称d0 + d1 +…+ dq为长期倾向(long-run propensity, LRP; long-run multiplier)，反 映了z的一个永久性变化，所导致的y的长 期变化。
14
对假定TS.2的进一步说明 More On TS.2
• TS.2零值条件期望意味着解释变量是严格外生 (strictly exogenous): 所有解释变量x都是外生 • 与截面数据情形一致的假定是同期外生 (contemporaneously exogenous): E(ut|xt)=0, 即所有解释变量在当期都是外生变量 • [时间序列中，同期外生性只有在大样本的情况 下才能保证模型一致(还需弱独立性假定)。小 样本的无偏性需要严格外生的假设]
2 j j 2 j
19
Theorem 10.3: Unbiased Estimation of σ2
• 定理10.3：在假定TS.1-5下， σ2的无偏估计量 为: ˆ s 2 SSR / n k 1 • Theorem 10.3: Under assumptions TS.1 – 5, the unbiased estimator of σ2 is
8
Examples of Time Series Models
有限分布滞后模型: Finite Distributed Lag Models • 有限分布滞后模型（finite distributed lag，FDL） 则允许一个或多个变量的滞后值对当期的被解释 变量产生影响 ： yt = a0 + d0zt + d1zt-1 + d2zt-2 + ut A finite distributed lag (FDL) model allows one or more variables to affect y with a lag: yt = a0 + d0zt + d1zt-1 + d2zt-2 + ut • 一般， q阶有限分布滞后模型包括z的q阶滞后项 More generally, a finite distributed lag model of order q will include q lags of z • yt = a0 + d0zt + d1zt-1 +…+ d2zt-q + ut