电子科技大学随机过程第一章概要

上的二 T Ω
1)当固定 t T , X t (ω ) 在（Ω, F, P）上的随机变量；
结果), 数.
是一个定义
Ω 2) 定义1.1.2 当固定 ω0 (对于特定的试验
是一个定义在 T 上的普通函数(自变 x t (ω 0 ) 的一个样本函 { X t ( ), t T } 量为t).称为随机过程
当T={(x, y):a<x<b, c<y<d),}
时间序列 随机过程
{ X t (ω), t T }
平面随机场
随机过程是n 维随机变量，随机变量序列的 一般化,是随机变量X t , t 的集合 . T 用E表示随机过程 X t , t 的值域 T ,称为过程的状 态空间.
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90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 -10 -40
此例中样本 函数是什么？ 粒子运动轨迹
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80 100 120
-20
0
20
40
60
样本函数的几个例子
18.11.7
Ex.1.1.2 Xt(ω) = αcos(βt+Θ), Θ~U(0, 2π)
θ 1 =5.4938 θ 2 = 1.9164 θ 3 = 2.6099
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称事件“X t x ”为在时刻 t 时随机过程 X t 处于状态x 按状态空间和参数集的不同情况, 可将随机 过程分为四类, 列入下表 随机过程
状态空 间E
参数集 T
离 散 连 续
离 散
非离 散
（离散参数）链 （连续参数）链
随机序列
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随机过程
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Ex.1.1.1 质点布朗运动 设质点在直线上 随机游动, 经随机碰撞后各以1/2的概率向左 或向右移动.
当T=(1,2, …，n),
{ X t (ω), t T } ( X 1 , X 2 ,, X n )
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随机向量
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当T=(1,2, … , n,…),
{ X t (ω), t T } ( X 1 , X 2 ,) 当T=[0,+∞), { X t (ω), t T } ＝ { X t (ω), t ［ 0,） }
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定义1.1.1 设(Ω,F, P)是概率空间, T R ,若对 (Ω, F, P)上的随机变量, 每个t∈T, 是概率空间 X t (ω ) 则称随机变量族
{ X t (ω), t T }
为(Ω, F, P)上的一个随机过程.
注 称T是参数集(或指标集、参数空间)
此例中样本函数是什么？
气温 曲线
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(布朗运动) 漂浮在液面的微小粒子,不断进行 杂乱无章的运动. 这种运动是由于大量随机的、 相互独立的分子碰撞的结果. 用(Xt, Yt)表示t 时 刻粒子的位置, 由于运动的无规则性, 当时间 t 改 变时Xt 和Yt 都是随机变量, 二维随机过程{(Xt, Yt), t ≥0}描述了粒子的运动过程.
也称轨道,路 径,现实 电子科技大学
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注: 一个样本函数可看成是对随机过程的 一次具体观察结果.
Xt1(ω) Xt2(ω) xt (ω1) xt (ω2) xt (ω3)
t1
t2
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tn
t
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对某城市的气温进行 n 年的连续观察,用Xt 表示t时刻的温度，是与时间t有关的随机变量， 随机过程 { X t , 0 t n} 反映了该城市气温在n 年中的变化规律。
则 X n ω : n 1,2, 描述了质点的随机运动. 其参数集T ={1,2,…}, 状态空间E={－1, 1}. 随机过程的理解 称
T Ω {( t , ω) : t T , ω Ω}
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为集合T 与Ω的积集.
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(ω ) 随机过程 X t 可看成定义在积集 元函数：
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Ex.1.1.3 独立重复抛一个均匀硬币，定义 一个随机过程如下
1, 第n次出现正面 ; Xn . 1, 第n次出现反面
本题中T, E ， Ω，样本函数分别是什么？ 解 将抛第n 次硬币的试验记为En , 过程试验 为无穷维积集
E1 E2 En
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记 ( n) {ω1 } {第n次出现正面 }， {ω(2n) } {第n次出现反面 }，
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则第n次试验对应的样本空间是
( n) n {ω1 , ω(2n) }, (n 1,2,)
则该随机过程的样本空间为无穷维乘积空间
1 2 n
问题：如何描述质点的运动过程？
若经无穷多次碰撞
记
( n) {ω1 } {第n次碰撞后向左 }，
{ω(2n ) } {第n次碰撞后向右 }，
随机变量序列
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1, X n (ω ) 1,
ωω ;
( n) 1
ωω .
( n) 2
( n 1,2,)
( X ( ), Y ( )),
一维随机变量X
二维随机变量(X,Y)
X n ()),
( X1 (), X 2 (),
n维随机变量(X1,X2,...Xn) ( X1 (), X 2 (), ), 随机序列X1, X2, ...
( X (, t ) t (, )), 随机过程{Xt , t∈R}
{ (ω , ω ,ω ) : ω n , n 1,2,}
(1) ( 2) ( n) ( n)
该过程有无穷条样本函数. 如图
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1 1 2 3 4 5 6 7
-1
是对应Ω的样本点
( (1) , ( 2) , ( n) ) (正, 反, 反, 正, 正, 反, 正,)
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§1.1 随机过程定义及分布 一．随机过程定义
随机过程 概率论的“动力学”部分，即 它的研究对象是随时间演变的随机现象，它是 从多维随机变量向一族(无限多个)随机变量的 推广。
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给定一随机试验E，其样本空间为Ω，将 样本空间中的每一元 ω 作如下对应：
X ( ),