电子科技大学随机过程第2章
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随机过程[2]
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随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
由以上定义可得 (1) mZ(t)=mX(t)+jmY(t) t∈T
(2) DZ(t)= DX(t)+DY(t)
t∈T
(3) CX(s,t)=RZ(s,t)-mZ(s)mZ(t) s,t∈T
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
举例
Zt = ∑ X k e j ( ω t +Φk ) ,t ∈ R , 其中ω0为正常数, n为 设
解
mX (t ) = E[ X t ] = 0
− ∞ < t < +∞
RX ( s, t ) = E[ X s X t ]
= E[ A ]cos ω s cos ωt + E[ AB](sin ω s cos ωt + cos ω s sin ωt )
2
+ E[ B 2 ]sin ω s sin ωt 2 = σ cos ω (t − s ) − ∞ < s, t < +∞
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
5. 均方值函数 设X={Xt , t∈T}是一实值随机过程，对任意t∈T,若 E[Xt]2存在 则称E[Xt]2为随机过程X的均方值函数，记为ΦX(t).即 ΦX(t)= E[Xt]2 t∈T
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
随机过程的数字特征有如下关系 CX(s,t)=RX(s,t)-mX(s)mX(t) DX(t)=CX(t,t) ΦX(t)=RX(t,t) t∈T t∈T s,t∈T
0
n
固定正整数, X 1 , X 2 , L , X n , Φ1 , Φ 2 , L , Φ n 是相互独立 的实随机变量,且 EX k = 0, DX k = σ k2 , Φk～U[0,2π], k=1,2,…,n. 计算S.P.{Zt ,t∈R}的均值函数和相关函数.
由以上定义可得 (1) mZ(t)=mX(t)+jmY(t) t∈T
(2) DZ(t)= DX(t)+DY(t)
t∈T
(3) CX(s,t)=RZ(s,t)-mZ(s)mZ(t) s,t∈T
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
举例
Zt = ∑ X k e j ( ω t +Φk ) ,t ∈ R , 其中ω0为正常数, n为 设
解
mX (t ) = E[ X t ] = 0
− ∞ < t < +∞
RX ( s, t ) = E[ X s X t ]
= E[ A ]cos ω s cos ωt + E[ AB](sin ω s cos ωt + cos ω s sin ωt )
2
+ E[ B 2 ]sin ω s sin ωt 2 = σ cos ω (t − s ) − ∞ < s, t < +∞
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
5. 均方值函数 设X={Xt , t∈T}是一实值随机过程，对任意t∈T,若 E[Xt]2存在 则称E[Xt]2为随机过程X的均方值函数，记为ΦX(t).即 ΦX(t)= E[Xt]2 t∈T
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
随机过程的数字特征有如下关系 CX(s,t)=RX(s,t)-mX(s)mX(t) DX(t)=CX(t,t) ΦX(t)=RX(t,t) t∈T t∈T s,t∈T
0
n
固定正整数, X 1 , X 2 , L , X n , Φ1 , Φ 2 , L , Φ n 是相互独立 的实随机变量,且 EX k = 0, DX k = σ k2 , Φk～U[0,2π], k=1,2,…,n. 计算S.P.{Zt ,t∈R}的均值函数和相关函数.
随机过程二
条件概率 P{X n1 j X n i} ，一般与 n 有关， 若它与 n 无关，记为 pij ，并记 P [ pij ]，称 为MC的一步转移概率矩阵，而此时MC称为 时间齐次的，简称时齐的。显然，有
pij 0，
p
j
ij
1, i 。
满足这个条件的矩阵一般称为随机矩阵或 Markov矩阵。 例3.1 直线上的随机游动。公平赌博问题。 赌徒输光问题。
设MC具有有限状态空间 {0,1, , k} ， (n) 如果存在 n ，使得 P 0 ，则称MC是正则 的。对有限状态空间的正则MC，极限 (n) lim Pij
n
总存在，且与 i 无关，记为 j 。并称
( 0 ,1, , k )
为MC的平稳分布，且有 0 ， e 1 。
(0) (0) P 1 P 这里，约定 ii ， ij 0(i j )。
转移矩阵的性质
（1） Pij 0 且 Pij 1
n n
j
P P ，即对任 （2）对任意 m 0, n 0 ，P 意 i, j ，有Kolmogorov-Chapman方程
m n
i 0
P X n j P X n j X n1 i P X n1 i i Pij j
i 0
表明对所有 n ， X n , n 1, 2, 具有相同分布。由 Markov性可知，对任何k 0 ， X n , X n1, X nk 的联 合分布不依赖于 n ，故 X n , n 1, 2, 是平稳随机 过程， 称为平稳分布。
k (k ) 步转移概率。若记 P( k ) [ P 为MC的 k 步转 ij ] 移概率矩阵，则可以证明 P( k ) Pk 。
pij 0，
p
j
ij
1, i 。
满足这个条件的矩阵一般称为随机矩阵或 Markov矩阵。 例3.1 直线上的随机游动。公平赌博问题。 赌徒输光问题。
设MC具有有限状态空间 {0,1, , k} ， (n) 如果存在 n ，使得 P 0 ，则称MC是正则 的。对有限状态空间的正则MC，极限 (n) lim Pij
n
总存在，且与 i 无关，记为 j 。并称
( 0 ,1, , k )
为MC的平稳分布，且有 0 ， e 1 。
(0) (0) P 1 P 这里，约定 ii ， ij 0(i j )。
转移矩阵的性质
（1） Pij 0 且 Pij 1
n n
j
P P ，即对任 （2）对任意 m 0, n 0 ，P 意 i, j ，有Kolmogorov-Chapman方程
m n
i 0
P X n j P X n j X n1 i P X n1 i i Pij j
i 0
表明对所有 n ， X n , n 1, 2, 具有相同分布。由 Markov性可知，对任何k 0 ， X n , X n1, X nk 的联 合分布不依赖于 n ，故 X n , n 1, 2, 是平稳随机 过程， 称为平稳分布。
k (k ) 步转移概率。若记 P( k ) [ P 为MC的 k 步转 ij ] 移概率矩阵，则可以证明 P( k ) Pk 。
随机过程2.2 随机过程的分布
2) 对任意固定的自然数m<n,均有
电子科技大学
随机过程的分布
04.9.4
φ(t1, t2 , , tm ;θ1,θ2 , ,θm )
φ(t1, t2 , , tm , , tn;θ1,θ2 , ,θm ,0, ,0)
定理2.2.1 (柯尔莫哥罗夫存在定理)
如果有限分布函数族
F {F(t1, t2, , tn; x1, x2,, xn ), t1, t2, , tn T , n 1}
P{X (t1) x1, X (t2 ) x2, , X (tn ) xn}
称为过程的n 维分布函数.
电子科技大学
随机过程的分布
04.9.4
记 F ˆ {F (t1 , t2 , , tn; x1 , x2 ,, xn ) :
ti T , xi Ri , i 1,2, , n, n 1}
x1 π
1 da, a2 x2
x 1;
0
其它 .
电子科技大学
随机过程的分布
04.9.4
1
ln(
1
1 x2 ),
π
x
0，
其 它.
x 1;
思考题：
为什么可以用有限维分布函数族描述 随机过程的统计特性?
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X(t) － 2cost 2cost
p
1/3
2/3
特别
X(0) － 2 2
p 1/3 2/3
p X( 4 ) 2 2
p1/3 2/3来自电子科技大学2) 分析
随机过程的分布
04.9.4
2
2
x(t,ω1)=2cost
随机过程 第2章
随机变量 随机变量族
e → x(e) (e, t) → xt(e)=x(e, t)
x=xt(ei)
x
e1 e2 e3
e
概率空间和随机对象
样本空间
概率空间
随机变量
随机向量
随机过程
2.1 随机过程的基本概念
定义：设(Ω, ö,P)为概率空间，T是参数集。 若对任意 t ∈T ，有随机变量X(t, e)与之 对应，则称随机变量族{X(t, e)， t ∈T } 是(Ω, ö,P)上的随机过程，简记为 {X(t)，t ∈T }或{Xt，t ∈T }。 ★ X(t)的所有可能的取值的集合称为状态空 间或相空间，记为I。
由此可将随机过程分为以下四类：
a. 离散参数离散型随机过程； b. 离散参数连续型随机过程； c. 连续参数离散型随机过程； d. 连续参数连续型随机过程。
2. 以随机过程的统计特征或概率特 征分类：
a. 独立增量过程； b. Markov过程； c. d. e. f. g. 二阶矩过程； 平稳过程； 鞅； 更新过程； Poission过程；
称之为随机过程X(t) 的二维概率密度。
2.3 随机过程的分布律
随机过程的二维分布函数比一维分布函数包含了随 机过程变化规律更多的信息，但它仍不能完整地反 映出随机过程的全部特性及变化规律。用同样的方 法，我们可以引入随机过程 X(t) 的 n 维分布函数和 n 维概率密度。
FX ( x1 , x2 , , xn ; t1 , t2 , tn )
• 又如移动某基站每天的通话次数，X 显然不 能确定，即为随机变量，进一步分析知这 个 X 还和时间 t 有关，即 X(t)，所以 X(t) 也构成一个过程，即随机过程；类似地， 气温、气压、商店每天的顾客流量等都构 成一个随机过程。
《信息与通信工程中的随机过程》第2章习题解答
∫−∞ ds ∫−∞ f (s, t )dt
x ≥ 1, y ≥ 1 0 < x < 1, 0 < y < 1 y ≥ 1, 0 < x < 1 x ≥ 1, 0 < y < 1 其他
③根据边界概率密度函数性质可知， X 和Y 的边界概率密度函数分别为 ⎧ ⎪ ⎪x + 1 , ∞ 0<x <1 fX (x ) = ∫ f (x , y )dy = ⎪ ⎨ 2 −∞ ⎪ ⎪ 0, 其他 ⎪ ⎩ ⎧ ⎪ ⎪y + 1 , ∞ 0<y <1 fY (y ) = ∫ f (x , y )dx = ⎪ ⎨ 2 −∞ ⎪ ⎪ 0, 其他 ⎪ ⎩ 2B-19 随机向量 (X ,Y ) 的联合概率密度函数为 fXY (x , y ) = 2e−x e−2y ， x > 0 ， y > 0 。试求： ① P {X + Y ≤ 8} ；② P {X < Y } ；③ P {X − Y ≤ 10} ；④ P {X 2 < Y } 。 答案：①
ΦX (ω) =
1
④ χ 分布
第 1 页 共 24 页
2
《随机过程》作业标准答案·第 2 章
对于自由度为 1 的 χ2 分布。此时Y = X 2 ，若 X 的均值为零，则自由度为 1 的中心 χ2 分 布Y 的概率密度函数具有如下表达
fY (y ) = 1 −y e 2πyσ
2σ 2
,
y≥0
其中 σ 2 是 Gauss 随机变量 X 的方差。因此Y 的特征函数为 ∞ ∞ 1 −y jωy Φ dy = ∫ e Y (ω ) = ∫−∞ fY (y )e 0 2πy σ 令t =
④生成函数
随机过程-第二章答案
随机过程 2-1.[(1)][2cos(2)][2cos()]()2cos()(0)2cos()21E E E P P ξπθθπθθθθ=+===⨯+=⨯=222(0,1)[(0)(1)][2cos()2cos(2)]4[cos ]4(()cos (0)cos )22R E E E P P ξξξθθππθθθθθ==⋅+==⨯=⨯+=⨯=2-2.102010201020[()][cos sin ][cos ][sin ][]cos []sin 0E Z t E X t X t E X t E X t E X t E X t ωωωωωω=-=-=-=2222210201202222102012021202[()][cos sin sin 2][]cos []sin []sin 2[][]sin 2E Z t E X t X t X X t E X t E X t E X X t E X E X tωωωωωωσωσ=+-=+-=-=（2）()Z t 是两个独立的高斯随机变量的正交组合，所以()Z t 是一个高斯过程，通过上一问可得，()Z t 均值为0，方差为2σ，因此22_2()zf Z σ=（3）由于均值为零，因此1212122210102201021201222010*********(,)(,)[()()][cos cos sin sin cos ()]cos cos sin sin 0cos ()B t t R t t E Z t Z t E X t t X t t X X t t t t t t t t ωωωωωσωωσωωσω===+-+=+-=-2-4（1）12120102(,)[()()cos()cos()]R t t E m t m t t t ωθωθ=++；0[()][()cos()]E Z t E m t t ωθ=+由于θ与()m t 相互统计独立，而且()m t 是宽平稳随机过程，所以()m t 的均值为常数，因此上两式可以化为1212010212012012212012012012012(,)[()()][cos()cos()]1()[cos ()cos(()2)]211()[cos ()cos(()2)]221()cos ()2m m m R t t E m t m t E t t R t t E t t t t R t t t t t t d R t t t t πωθωθωωθωωθθπω=++=-⋅-+++=-⋅-+++⋅=-⋅-⎰自相关只与时间间隔有关；0[()][cos()]0m E Z t E t μωθ=+=，常数。
随机过程第2章 平稳过程与二阶矩过程
2.1 相关函数
{
{
{
对于宽平稳过程 X (t )而言，其平均值定义为 η = E { X ( t )} = η x 其中 E ( X )表示对随机变量X取均值。 互相关函数为 R(τ ) = E{X(t +τ )X * (t)}= Rx (τ ) = Rxx(τ ) * 表示取共轭运算。 (τ ) 显然， R(−τ ) = R *。 若X(t) 是实的宽平稳过程，则R(τ)为偶函数。
R xy (t1 , t 2 ) = E ( X (t1 )Y (t 2 )) = R (t1 , t 2 + a ) − R (t1 , t 2 )
R yy (t1 , t 2 ) = E (Y (t1 )Y (t 2 )) = R xy (t1 + a, t 2 ) − R xy (t1 , t 2 ) = R (t1 + a, t 2 + a ) − R(t1 + a, t 2 ) − R(t1 , t 2 + a ) + R(t1 , t 2 )
平稳过程与二阶矩过程
第二章 平稳过程与二阶矩过程
授课教师：樊平毅 清华大学电子工程系 2012
内容简介
{ { { { { { { { { { {
2.1 相关函数 2.2 功率谱 2.3 功率谱与时域平均 2.4 线性系统 2.5 随机连续性 2.6 随机微分(均方意义) 2.7 Taylor级数 2.8 随机微分方程 2.9 随机积分 2.10 遍历性讨论 2.11 抽样定理与随机预测
推广 应用
思考: 0 在平稳分布中的作用
0 点的重要性,
1) 2) 3) 4)
连续性, 周期性, 有界性, 极值特性,
通信原理课件(西安电子科技大学版)2
B(t1,t2)=E｛［ξ(t1)-a(t1)］［ξ(t2)-a(t2)］｝ =
[ x1 a(t1 )][x2 a(t2 )] f2(x1,x2; t1,t2)dx1dx2
式中，t1与t2是任取的两个时刻；a(t1)与a(t2)为在t1及
t2时刻得到的数学期望；f2(x1,x2; t1,t2)为二维概率密度函 数。相关函数定义为 B(t1, t2)=R(t1, t2)-a(t1)a(t2)
Rξη(t1, t2)=E［ξ(t1)η(t2)］
(2.1 - 12)
2.2平稳随机过程
2.2.1定义
所谓平稳随机过程，是指它的统计特性不随时间的推移而 变化。设随机过程{ξ(t)，t∈T},若对于任意n和任意选定t1＜t2 ＜…＜tn, tk∈T， k=1, 2, …, n，以及h为任意值，且x1, x2, …, xn∈R，有
则称f2(x1,x2; t1,t2)为ξ(t)的二维概率密度函数。
同理，任给t1, t2, …, tn∈T, 则ξ(t)的n维分布函数被定义为 Fn(x1,x2,…,xn; t1,t2,…,tn)=P｛ξ(t1)≤x1,ξ(t2)≤x2,…, ξ(tn)≤xn｝
2 Fn ( x1, x2 ...;t1,t2 ...,tn ) f ( x1, x2 ..., xn ; t1, t2 ...,tn ) x1 x2 ...xn
任给两个时刻t1, t2∈T，则随机变量ξ(t1)和ξ(t2)构成一个二 元随机变量{ξ(t1), ξ(t2)}，称F2(x1,x2; t1,t2)=P｛ξ(t1)≤x1, ξ(t2)≤x2｝ (2.1 - 3) 为随机过程ξ(t)的二维分布函数。 如果存在
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为研究正态过程的有限维分布, 应首先 研究多维正态分布随机变量.
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一、多维正态随机变量
1.概率密度与特征函数
μ1 记μ , X μ 2
12 C 2 2 若(X,Y)～ N ( μ1 , σ1 ; μ2 , σ 2 ; ρ) 1 2
1 2 1 2 1 ρ
c2 c1 1 t1 t 2 1 t1 t 3
退化, 写不 出概率密度
1 t
2 1
t1 t2 t3
t1 t2 0 t3
( t 2 t1 )( t 3 t 2 ) 1 t1 t 2 1 t1 t 3
故例中当n>2时，不能写出n维联合正态 概率密度. 一般地, 若X=(X1, X2)是非退化二维正态随 机向量, 其线性变换 Y= KX, 有 1) 每一分量服从正态分布; 2) 不能构成二维以上的非退化联合正态 分布;
记为X=(X1, X2, …, Xn)T ～N(μ , C).
注 当C=(cij)是n阶对称正定矩阵,有 C 0;
若|C|=0 则不能用(*)式给出其概率密度. 定理2.1.1 n维正态分布随机向量X=(X1, X2, …, Xn) T的特征函数为
1 T T φ( u) exp jμ u u Cu 2
Y KCK T , R(Y ) min( R(C ), R( K )) 2
即二维以上的线性变换向量Y= KX都是退 化(奇异)联合正态分布.
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问题结论： 1)不能保证Y=KX 服从非退化正态分布. 2) 当|KCKT|≠0时, 随机向量Y 服从非退化 正态分布. K为行满秩矩阵 可证明 推论 非退化正态分布随机向量X的满秩线 性变换仍服从非退化正态分布.
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定理2.1.5 若随机向量X 服从N(μ,C),且C 正定, 则存在一个正交变换U,使得Y=UX 是一个相互独立的正态随机向量. 证 C为实对称正定矩阵, 则存在正交阵U, 使
d 1 UCUT D d2 dn
di 是 C 的 特征值
U是以特征向量为列构成的正交阵 令Y=UX ，则Y 服正态分布N(Uμ, D). Y的协方差矩阵为对角阵，故其分量相互独立.
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二、正态随机过程
定义2.1.1 随机过程{Xt , t∈T}称为正态过 程,如果它的任意有限维分布都是联合正态 分布. 即对任意的正整数 n 和t1, t2 , …, tn∈T, n 维随机变量 (Xt1,…,Xtn) 都服从正态分布. 注 1)上述几个定理均可应用于正态过程.
2
x y 1 2 2 2
则(X,Y)的联合概率密度为
( x, y )
其中σ1>0,σ2>0, | ρ |<1, 协方差 矩阵满足|C|≠0.
1 ( x 1 ) 2 x 1 y 2 ( y 2 ) 2 exp 2ρ 2 2 2 1 2 2 2(1 ) 1
1 T 1 ( X μ ) C ( X μ ) 1 exp 2 2π C 2 1
记为(X,Y) ～N(μ , C).
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定义2.1.2 设C=(cij) 是n 阶对称正定矩阵,μ是 n 维实值列向量, 若n维随机向量 X=(X1, X2, …, Xn)T 的联合密度函数为
1 T T T exp j( Kμ) u u ( KCK )u 2
服从一维正态分布，且 n n n T T D ( Y ) l l c L E (Y ) l j j L μ, j k jk CL,
j 1
j 1 k 1
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j 1
2 1 t2
1 t1 t 3 1 t2 t3
2 1 t3
1 t
t1 ( t 2 t1 ) t1 ( t 3 t 2 ) t 2 ( t 2 t1 ) t 2 ( t 3 t 2 ) t电子科技大学 t 3 (t 3 t 2 ) 3 ( t 2 t1 )
φ Y ( u) E ( e
juT Y
) E (e
juT KX
) E (e
j ( K T u )T X
)
1 T T T T T exp jμ ( K u) ( K u) C ( K u) 2
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即随机向量Y=KX 服从 m 维正态分布 N(Kμ,KCKT) 推论 n维正态随机向量X=(X1,X2,…,Xn)T，记 E(X)=μ,协方差矩阵为C. 则X 的任意非零线性组合 n Y l j X j LT X, L=(l1, l2 ,…, ln ) T
(Xt1, …, Xtn)T～N(μ, C )
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m ( t1 ) C ( t1 , t1 ) C ( t1 , t 2 ) C ( t1 , t n ) C ( t , t ) C ( t , t ) C ( t , t ) m(t 2 ) 2 2 2 n 2 1 C μ , C ( t n , t 1 ) C ( t n , t 2 ) C ( t n , t n ) m ( t n )
故X=(X1,X2,X3)T服从正态分布. X的协方差矩阵为 1 1 1 0 T 1 1 1 KCKT= K 0 1 K 1 2 1 2 3 1 3 电子科技大学
2 3 4 |KCKT| = 3 5 7 0, 4 7 10
当n 3, 则
X t1 1 t1 X0 X0 X t 2 1 t 2 K V 1 t V 3 X t3
仍然服从正态分布, 但其协方差矩阵为
1 t12 1 t1 t 2 1 t1 t 3 1 t1 t 2
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2）若存在某个n,对t1,t2, …,tn∈T,n维随机变 量(Xt1,…,Xtn)服从退化正态分布,称{Xt, t∈T}为 退化正态过程. 前面的例2.1.1 就是一个退化的正态过程, 其三维以上的有限维分布都是退化正态分布. 3) 正态过程的n 维分布由其二阶矩完全确定. 有 对任意的n≥1, t1, t2 , …,tn∈T,
C是X的协方差矩阵.
(**)
其中u ( u1 , u2 ,, un )T , E ( X ) ( 1 , 2 ,, n )T
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定义2.1.3 若μ是n 维实向量, C是n 阶非负 定对称阵, 称以(**)式中的 ( u) 为其特征函数 的n 维随机变量X 服从n 维正态分布.
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4.正态随机向量的线性变换
正态分布的线性变 换不变性
定理2.1.4 若X=(X1,X2,…,Xn)T 服从n维正态 分布N(μ,C), K=(kjk)m×n是任意矩阵, 则 Y=KX 服从m维正态分布N(Kμ,KCKT). 证 对于任意m 维实值列向量 u = (u1,u2,..um)T, Y= (Y1,Y2,..Ym)T 的特征函数为
f x1 , x2 ,, xn
1 2π C
n 2 1 2
1 T 1 exp ( X μ ) C ( X μ ) （*） 2
其中X=(x1, x2, …, xn)T, μ=E(X)=(μ 1, μ 2, …, μn)T
则称X 服从n 维正态分布.
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由X0, V 相互独立知
0 1 0 X0 ～N 0 , 0 1 V
X s 1 s X 0 X t 1 t V
因为
由正态分布的线性变换不变性得, 当s≠t时, (Xs, Xt)T的二维概率分布是非退化正态分布
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分析2) 设X=(X1, X2)的协方差矩阵为
12 C 1 2
1 2 , 2 2
R(C ) 2
线性变换矩阵 c11 c21 cm1 T K , R( K ) 2 c12 c22 cm 2 则线性变换 Y=KX的协方差矩阵为
0 1 s 1 0 1 s T N , 0 1 t 0 1 1 t
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0 1 s 2 1 st N , 1 st 1 t 2 0
关于定理2.1.4的思考问题： 能否保证Y= KX 服从非退化正态分布
?
反例: 设随机变量X0与V相互独立,都服从 标准正态分布N(0,1), 令 X1=X0+V, X2=X0+2V, X3=X0+3V, 问(X1,X2,X3)是否服从非退化正态分布?
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分析1) 因 X 0
0 1 0 N , ～ 0 0 1 V X 1 1 1 X0 X0 X X 2 1 2 K V V X 3 1 3
注 若(**)式中的|C|=0, 称X 服从退化正态分
布或奇异正态分布. 2.边缘分布及二阶矩
以下结论总假定随机向量X=(X1, X2, …, Xn)T 服从N(μ, C ). 非退化
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定理2.1.2 n维正态分布 随机变量X的任一子向量
( X k1 , X k2 ,, X km )T
§2.1 正 态 过 程
根据中心极限定理，在现实问题中,满足一 定条件的随机变量之和的极限服从正态分布. 正态分布在现实当中大量存在，是随机 现象中最为常见的一种分布．
如电子运动中的热噪声，人的身高，考 试成绩,测量误差等都服从正态分布
正态分布具有一系列良好的性质，便于 计算和应用． 电子科技大学