最新随机过程练习(第二章)

随机变量巩固练习―――重点：“函数的函数”相关运算 定理 1 设X 为连续型一维随机变量，其概率密度函数为()X f x ,则对于Y ＝g(X)的概率密度函数，有下列结果：

（1）若g(x)是严格单调可微函数，则Y=g(X)的概率密度函数为

(())'(),()0,

X Y f h y h y y I f y y I ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩

其中h(y)是y=g(x)的反函数.

(2)若g(x)不是严格单调可微函数，则将g(x)在其定义与上分成若干个单调分支，在每个单调分支上应用(1)的结果得Y=g(X)的概率密度函数为

1122(())'()(())'(),()0,

X X Y f h y h y f h y h y y I f y y I ⎧++∈⎪=⎨∉⎪⎩

其中I 是在每个单调分支上按照（1）确定的y 的取值公共部分。

练习1 设~[,],tan 22X U Y X ππ-=，试求Y 的概率密度函数()Y f y .

练习2 设 随机变量X 在(0,1)区间内服从均匀分布，试求

（1）X

Y e =的概率密度函数

（2）2ln Y X =-的概率密度函数

随机过程巩固练习

1 设随机过程(),(0,),X t Vt b t b =+∈∞为常数，V 为服从正态分布N(0,1)的随机变量。求：X(t)的一维概率密度函数、均值和相关函数。

2 设随机变量Y 具有概率密度函数f(y),令

(),0,0Yt X t e t Y -=>>

求随机过程X(t)的一维概率密度函数、均值和相关函数。

3 设有随机过程()cos()sin()X t A wt B Wt =

+，其中w 为常数，A ，B 是相互独立的且服从正态分布2(0,)N σ的随机变量。求随机过程的均值和相关函数。

4 已知随机过程X(t)的均值函数()X m t 和协方差函数12(,),()X B t t t ϕ为普通函数，令()()()Y t X t t ϕ=+，求随机过程Y(t)的均值和协方差函数。

5 设随机过程()cos()X t A wt =+Θ，其中,A w 为常数，随机变量Θ服从(,)ππ-上

的均匀分布。令2()()Y t X t =

，求(,)Y R t t s + 6 设X(t)为实随机变量，x 为任意实数，令

1,()()0,()X t x Y t X t x ≤⎧=⎨>⎩

证明随机过程 Y(t)的均值函数和相关函数分别是X(t)的一维和二维分布函数。