柱锥台球表面积和体积获奖解析
柱锥台球的体积与表面积
2 锥体的体积
V = 1/3πr²h
如何计算柱锥台球的体积
1
Step 1
测量柱体的半径(r)和高度(h)
Step 2
2
使用柱体的体积公式计算柱体的体积(Vc)
3
Step 3
测量锥体的半径(r)和高度(h)
Step 4
4
使用锥体的体积公式计算锥体的体积(Vc)
5
Step 5
将柱体的体积和锥体的体积相加得到柱锥台 球的总体积(V)
4
使用锥体的表面积公式计算锥体的表面积
(A c)
5
Step 5
将柱体的表面积和锥体的表面积相加得到柱 锥台球的总表面积(A)
柱锥台球的尺寸影响体积和表 面积吗？
柱锥台球的尺寸，如半径和高度，会直接影响它的体积和表面积。增加柱锥 台球的尺寸会增加其体积和表面积。
柱锥台球的体积和表面积之间 的关系
柱锥台球的体积和表面积之间是相互关联的。当柱锥台球的体积增加时，它 的表面积也会增加。
柱锥台球的表面积公式
1 柱体的表面积
A = 2πrh + 2πr²
2 锥体的表面积
A = πr(l + r)
如何计算柱锥台球的表面积径(r)和高度(h)
Step 2
2
使用柱体的表面积公式计算柱体的表面积
(A c)
3
Step 3
测量锥体的半径(r)和斜高(l)
Step 4
柱锥台球的体积与表面积
柱锥台球是一种特殊形状的台球，它由柱体和锥体两部分组成。在本演示中， 我们将讨论柱锥台球的体积和表面积，以及与数学和物理学的关系。
柱锥台球的形状
柱锥台球由一个底部较大的柱体和一个顶部较小的锥体组成。这种特殊形状 让它成为一个有趣的几何体。
柱体、锥体、台体的表面积与体积 课件
(2)正四棱锥的底面正方形边长为 4 cm，高与斜高的夹角为 30°，求正四棱锥的侧面积和表面积．
【思路分析】 在正棱锥的高、斜高、底面边心距组成的直角 三角形中，可求得斜高与高．
【解析】 ∵边心距为 2，∴斜高 h′＝sin320°＝4. ∴S 侧＝4·12·4·4＝32(cm2)，S 底＝42＝16(cm2)． ∴S 全＝32＋16＝48(cm2)．
【解析】 ①V 长方体＝abc＝3×4×5＝60； ②∵r＝3，l＝5，∴h＝ l2－r2＝4. ∴V 圆锥＝13πr2h＝π3 ×32×4＝12π； ③∵S 上＝32＝9，S 下＝52＝25， S上S下＝3×5＝15； ∴V 台＝13(S 上＋ S上S下＋S 下)h ＝13×(9＋15＋25)×4＝1936.
＝
2×5×
52－（52）2＝
25 3. S 表面积＝S 侧＋S 底＝25 3＋25＝25( 3＋1)．
(2)一个正方体和一个圆柱等高，并且侧面面积相等，求这个 正方体和圆柱的体积之比．
【思路分析】 本题考查了正方体和圆柱表面积计算问题．关 键设出正方体棱长和圆柱底面半径，并找出它们的关系．
【解析】 设正方体的棱长和圆柱的高(母线长)都为 a，设圆 柱的底面半径为 r.
A．1
1 B.2
1
1
C.3
D.6
【解析】 本题主要考查几何体的三视图 和体积．根据三视图，可知该几何体是三棱锥， 如图所示为该三棱锥的直观图，并且侧棱 PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥AC.则该三棱锥的高 是 PA，底面三角形是直角三角形，所以这个几何体的体积为 V＝13S△ABCPA＝13×12×1＝16.故选 D.
思考题 1 (1)圆柱的侧面展开图是边长为 6π和 4π的矩
柱、锥、台、球的表面积与体积精例
表面积与体积
X
一. 棱柱的侧面积、表面积与体积 1. 直棱柱的侧面积、表面积与体积
S侧=C•h
S表= S侧+2S底 S表= S侧+2S底
V棱柱= S•h
2. 斜棱柱的侧面积、表面积与体积
S侧=C’•L
二. 棱锥的侧面积、表面积与体积
S侧= S△1+S △2 +S △3 +… S表= S侧+S底
2
它的体积是
2cm
俯视图
4_________. 2 cm
4 3
3
例2
已知长方体ABCD-A1B1C1D1的长、宽、高分别 为3，2，1，求沿其表面从点A到点C1的最短距离。 D1 C1 B1 A1 1 C E D
2 2 3
A
B 1
例2
已知长方体ABCD-A1B1D1的长、宽、高分别为3， 2，1，求沿其表面从点A到点C1的最短距离。 D1 C1 B1 F A
A
5 4 B 4
3 C B 4 C
12 5
5
5
A
A
3
C
3
思考：
1.用棱长为1的正方体的体积作为单位体积，下图 长方体的体积的数值为24.假如将体积单位改用棱 长为2的正方体的体积，这个长方体的体积变为多 少？
2.一个正方体和一个圆柱等高,并且侧面积相等。 比较它们的体积哪个大？为什么？ P 3.求证:经过长方体相对两个面 的中心的任意平面,把长方体分 成体积相等的两个柱体。 Q
1
D
2
1 C 2
1
A
3Ba来自 例2已知长方体ABCDD1 A1B1C1D1的长、宽、高分 别为3，2，1，求沿其表面 A1 从点A到点C1的最短距离。 D
2019精选教育柱锥台球的表面积与体积.doc
柱,锥,台,球的表面积与体积【知识概述】空间几何体的表面积、体积是高考的必考知识点之一．题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度为中、低档．客观题主要考查由三视图得出几何体的直观图，求其表面积、体积或由几何体的表面积、体积得出某些量；主观题考查比较全面，其中一步往往设置为表面积、体积问题，无论是何种题型都考查学生的空间想象能力．本节课通过知识的梳理和典型例题的讲解，使同学们理解和掌握空间几何体的表面积、体积的相关知识，并提高学生的空间想象能力、抽象概括能力、几何直观能力以及计算能力.1．柱、锥、台和球的侧面积和体积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和．(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和．【学前诊断】1. [难度]易已知圆锥的底面半径为2cm，高为，则该圆锥的体积为 .2．[难度] 中若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A.2B.1C.2 3D.1 33．[难度]中若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧．面积．．等于( )AB．2C．D．6【经典例题】例1．将圆心角为2π3，面积为3π的扇形，作为圆锥的侧面，则圆锥的表面积等于______.例2．若某几何体的三视图（单位：cm）如下图所示，则此几何体的侧面积等于（）A. 212πcmB．215πcmC．224πcmD．230πcm例3．若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________.例4．一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积(单位：cm2)为( )A. 48+B．48+C．36+D．36+例5．已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是________.例6．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（）A. 4BC．6D ．2例 7．如图是一个几何体的三视图，若它的体积是a =___________.例 8．将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使BD =a ，则三棱锥D-ABC 的体积为（ ）A.36aB.312aC.312a D.312a 例 9．有一根长为3π cm 、底面半径为1 cm 的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少？ 【本课总结】1．面积、体积的计算中应注意的问题(1)柱、锥、台体的侧面积分别是某侧面展开图的面积，因此，弄清侧面展开图的形状及各线段的位置关系，是求侧面积及解决有关问题的关键．(2)计算柱、锥、台体的体积关键是找到相应的底面积和高．充分运用多面体的截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化成平面问题．(3)球的有关问题，注意球半径与截面圆半径，球心到截面距离构成直角三角形． (4)有关几何体展开图与平面图形折成几何体问题，在解决的过程中注意按什么线作轴来展或折，还要坚持被展或被折的平面，变换前、后在该面内的大小关系与位置关系不变．在完成展或折后，要注意条件的转化对解题也很重要． 2．与球有关的组合体问题与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图． 【活学活用】 1．[难度] 中若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是（ ）1A CBA.3523cm 3B. 3203cm 3C. 2243cm 3D. 1603cm 32. [难度] 难如图，正方体1111ABCD-A B C D 的棱长为2，动点E 、F 在棱11A B 上.点Q 是CD 的中点动点P 在棱AD 上，若EF =1，DP=x ，1A E=y (x,y 大于零)，则三棱锥P-EFQ 的体积： A. 与x ，y 都有关； B. 与x ，y 都无关；C.与x 有关，与y 无关；D. 与y 有关，与x 无关； 3. [难度] 中一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为( ).A.280B. 292C. 360D. 372。
高考数学：第73课柱、锥、台、球的表面积与体积 Word版含解析
第73课 柱、锥、台、球的表面积和体积.1. 掌握柱、锥、台、球的结构特征以及表面积和体积的计算公式.2. 能求简单几何体的表面积和体积.1. 阅读：必修2第53～65页.2. 解悟：①研读直棱柱、正棱锥、正棱台的定义；②教材第53页中的直棱柱、正棱锥和第54页中圆柱、圆锥、圆台都是用侧面展开图的方法推导侧面积公式的，你在解题中能运用这些方法吗？③教材第59页例1中的几何体的体积是通过正六棱柱与圆柱体的体积之差计算的，这就是常用的“割补法”.3. 践习：在教材空白处，完成第60页练习；第63～64页习题.基础诊断1. 若圆锥的侧面积为2π，底面积为π，则该圆锥的体积为3. 解析：因为圆锥的底面积为π，所以圆锥底面的半径为1，所以其底面的周长为2π.因为圆锥的侧面积为2π，所以12×2πl ＝2π，解得l ＝2，所以圆锥的母线长为2，所以圆锥的高为22－12＝3，故该圆锥的体积为13×π×3＝3π3.2. 如图，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是6.解析：由题意知该多面体为正四棱锥，如图所示，底面边长为1，侧棱长为1，斜高SE ＝32，连结顶点和底面的中心即为高，所以SO ＝⎝⎛⎭⎫322－⎝⎛⎭⎫122＝22，所以体积为13×1×1×22＝26，故该多面体的体积为26.3. 已知正四棱柱的底面边长为2，高为3，则该正四棱柱的外接球的表面积为 17π . 解析：由题意知该正四棱柱的外接球的直径就是正四棱柱的对角线的长，所以球的直径为22＋22＋32＝17，所以球的表面积为4π×⎝⎛⎭⎫1722＝17π. 4. 已知某四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a ，则该四面体体积的最大值为 a 38Ｗ.解析：如图所示，在四面体ABCD 中，若AB ＝BC ＝CD ＝AC ＝BD ＝a ，AD ＝x ，取AD 的中点P ，BC 的中点E ，连结BP ，EP ，CP.易证AD ⊥平面BPC ，所以V ABCD ＝13S △BPC ×AD ＝13×12×a ×a 2－x 24－a 24×x ＝112a ×（3a 2－x 2）x 2＝112a ×－⎝⎛⎭⎫x 2－3a 222＋9a 44≤a 38，当且仅当x 2＝3a 22，即x ＝62a 时取等号，所以该四面体体积的最大值为a 38.范例导航考向❶ 用侧面展开图的方法，将空间问题化归为平面问题例1 如图，已知正三棱柱ABCA 1B 1C 1的底面边长为1，高为8，一质点自A 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A 1的最短路线的长为 10 .解析：方法一：将两个正三棱柱都沿AA 1剪开后展开，如图1，则最短路线长为l ＝（2×3）2＋82＝10.方法二：将正三棱柱侧面展开如图2所示，设该质点绕三棱柱侧面一周时交AA 1于点M ，则第一周的最短路线为AM ，第二周的最短路线为MA 1，所求最短路线的长即求AM ＋A 1M 的最小值，如图2，取点A 关于A″的对称点A′，连结A′A 1，交A″A″1于点M 0，连结A′M ，由三角形的三边不等关系知A 1M ＋A′M ≥A 1A′＝（2×3）2＋82＝10.图1 图2已知圆台上底面的半径为1，下底面的半径为4，母线AB ＝12，从AB 的中点M 拉一条绳子绕圆台侧面转到点A.(1) 求绳子的最短长度；(2) 求当绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离.解析：(1) 将圆台补形成圆锥，并将圆锥侧面展开成如图所示的扇形. 取A 1B 1的中点M 1，AM 1就是绳子的最短长度. 设∠ASA 1＝α，则BB 1︵＝απ·SB180°＝2π，①AA 1︵＝απ·（SB ＋12）180°＝8π.②②－①得α＝90°. 将α＝90°代入①，解得SB ＝4.在△ASM 1中，SA ＝16，SM 1＝4＋6＝10， ∠ASA 1＝90°，所以AM 21＝102＋162＝356，所以AM 1＝289， 即绳子的最短长度为289.(2) 过点S 作SQ ⊥AM 1，交BB 1︵于点P ，交AM 1于点Q ，则PQ 的长度即为所求. 在Rt △ASM 1中，SQ ＝SA·SM 1AM 1＝16×10289＝808989.PQ ＝SQ －SP ＝808989－4，所以当绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离为808989－4.考向❷ 折叠问题中线面关系、数量关系的变与不变，等体积法求锥体体积例2 如图1所示，在直角梯形ABEF 中(图中数字表示线段的长度)，将直角梯形DCEF 沿CD 折起，使平面DCEF ⊥平面ABCD ，连结部分线段后围成一个空间几何体，如图2所示.(1) 求证：BE ∥平面ADF ； (2) 求三棱锥FBCE 的体积.图1图2解析：(1) 方法一：取DF的中点G，连结AG，EG.易证四边形ABEG为平行四边形，所以BE∥AG.因为BE⊄平面ADF，AG⊂平面ADF，所以BE∥平面ADF.方法二：由题意得BC∥AD，CE∥DF，折叠之后平行关系不变.因为BC∥AD，BC⊄平面ADF，AD⊂平面ADF，所以BC∥平面ADF.同理CE∥平面ADF.因为BC∩CE＝C，BC，CE⊂平面BCE，所以平面BCE∥平面ADF.因为BE⊂平面BCE，BE⊄平面ADF，所以BE∥平面ADF.(2) 方法一：因为平面DCEF⊥平面ABCD，平面DCEF∩平面ABCD＝CD，BC⊂平面ABCD，BC⊥CD，所以BC⊥平面DCEF.因为DC＝CE＝1，所以S△CEF＝12CE×DC＝12，所以V FBCE＝V BCEF＝13×BC×S△CEF＝16.方法二：由题意得CD⊥BC，CD⊥CE，BC∩CE＝C，BC，CE⊂平面BCE，所以CD⊥平面BCE.因为DF∥CE，所以点F到平面BCE的距离等于点D到平面BCE的距离，距离为1，因为BC＝CE＝1，S△BCE＝12BC×CE＝12，所以V FBCE＝13×CD×S△BCE＝16.方法三：如图，过点E作EH⊥FC，垂足为H，由图可知BC⊥CD.因为平面DCEF⊥平面ABCD，平面DCEF∩平面ABCD＝CD，BC⊥DC，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面DCEF.因为EH⊂平面DCEF，所以BC⊥EH.因为FC ∩BC ＝C ，FC ，BC ⊂平面FBC ， 所以EH ⊥平面BCF.因为BC ⊥FC ，FC ＝DC 2＋DF 2＝5， 所以S △BCF ＝12BC ×CF ＝52.在△CEF 中，由等面积法可得EH ＝15， 所以V FBCE ＝V EBCF ＝13×EH ×S BCF ＝16.如图，已知在多面体ABCDEFG 中，AB ，AC ，AD 两两互相垂直，平面ABC ∥平面DEFG ，平面BEF ∥平面ADGC ，AB ＝AD ＝DG ＝2，AC ＝EF ＝1，则这个多面体的体积为 4 .解析：方法一：如图1，将所求多面体补成一个正方体，而所求多面体的体积是正方体体积的一半，所以V ABCDEFG ＝12V 正方体＝12×2×2×2＝4.方法二：如图2，连结BD ，BG ，则V ABCDEFG ＝V BADGC ＋V BEFGD ＝13S 梯形ADGC ·AB ＋13S 梯形EFGD ·BE ＝13×(1＋2)×2×12×2＋13×(1＋2)×2×12×2＝2＋2＝4. 图1图2自测反馈1. 在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝3cm ，AA 1＝2cm ，则四棱锥ABB 1D 1D 的体积为 6 cm 3.解析：如图，连结AC 交BD 于点O ，则AC ⊥BD.因为D 1D ⊥AC ，BD ∩D 1D ＝D ，所以AC ⊥平面BDD 1B 1，所以AO 是四棱锥ABB 1D 1D 的高.因为AO ＝12AC ＝322，S 矩形B 1BDD 1＝2×32＝62，所以V ABB 1D 1D ＝13×322×62＝6.2. 如图，在三棱柱A 1B 1C 1ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，AA 1的中点，设三棱锥FADE 的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1ABC 的体积为V 2，则V 1∶V 2＝ 1∶24 .解析：设三棱柱A 1B 1C 1ABC 的高为h ，底面三角形ABC 的面积为S.因为D ，E ，F 分别是AB ，AC ，A 1A 的中点，所以△AED ∽△ACB ，AF ＝12AA 1，所以S △AED ＝14S △ABC ，则V 1＝13×14S ×12h ＝124Sh ，V 2＝Sh ，所以V 1V 2＝124.3. 已知圆台的母线长为4cm ，母线与轴的夹角为30°，上底面半径是下底面半径的12，则这个圆台的侧面积是 24π cm 2.解析：如图是将圆台还原为圆锥后的轴截面.由题意知AC ＝4cm ，∠ASO ＝30°，O 1C ＝12OA. 设O 1C ＝r ，则OA ＝2r.因为O 1C SC ＝OASA＝sin 30°，所以SC ＝2r ，SA ＝4r ，所以AC ＝SA －SC ＝2r ＝4，解得r ＝2，所以圆台的侧面积为π(r ＋2r)×4＝π(2＋4)×4＝24π.4. 已知正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为433，则它的体积为 3 .解析：因为正三棱锥的底面边长为2，所以底面正三角形的高为2×32＝3，所以底面中心到三角形顶点的距离为233.因为正三棱锥的侧棱长为433，所以正三棱锥的高为⎝⎛⎭⎫4332－⎝⎛⎭⎫2332＝2，所以该三棱锥的体积为13×12×2×3×2＝233.5. 如图，半径为R 的半圆内的阴影部分以直径AB 所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，其中∠BAC ＝30°，求该几何体的体积.解析：过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，在半圆中可得∠BCA ＝90°，∠BAC ＝30°，AB ＝2R ，所以AC ＝3R ，BC ＝R ，CD ＝32R ， 所以AD ＝（3R ）2－⎝⎛⎭⎫32R 2＝32R ， 所以BD ＝2R －32R ＝R2，所以V 球＝4π3R 3，V 圆锥AD ＝13π⎝⎛⎭⎫32R 2×32R ＝3π8R 3，V 圆锥BD ＝13π⎝⎛⎭⎫32R 2×R 2＝π8R 3，所以V 几何体＝4π3R 3－3π8R 3－π8R 3＝5π6R 3.1. 用侧面展开图的方法解决相关问题，是空间问题平面化思想的应用.关键是要搞清楚展开图的形状，及其数量关系.如，例1及其跟踪练习.例1跟踪练习中的“补台成锥”，自测反馈第5题的组合几何体，“割补法”是解决此类问题的常用方法.2. 处理折叠问题，如例2中，折痕CD 左右两部分仍是平面图形，其中的数量关系、位置关系没有变化，而两部分元素之间的平行、垂直等位置关系和相互间的数量关系.3. 你还有哪些体悟，请写下来：。
柱锥台球表面积和体积获奖解析PPT课件
S侧面积
=
1 2
c2（l+x）-
1 2
Cc1’Xx
=
1 2
c2 l +
1 2
c2x
-
1 2
c1x
=
1 2
+ 12（c2 - c1）X
S
又∵
c1 c2
=
X X+l
∴
x
=
c1 l c2- c1
c1 c2
=
1 2
+
12（c2
-
c1）cc21-
l
c1
l
O 1 rr1 M
l
=
1 2
+
1 2
c1l
r R2
O2
N
例3.已知正四棱台上底面边长为4 cm，侧棱和下底面边
长都是8 cm，求它的侧面积．
[解] 法一：在 Rt△B1FB 中， B1F＝h′， BF＝12(8－4)＝2，B1B＝8， ∴B1F＝ 82－22＝2 15， ∴h′＝B1F＝2 15. ∴S 正棱台侧＝4×12×(4＋8)×2 15 ＝48 15(cm2)．
三.台体的表面积(一)
1
S侧正棱台= 2 (c+c’)·h’
a' h h'
a
台体的表面积(二)
如图，上底周长是 c’=2πr1、c=πr2，侧面母线长 是l
S侧面积 = （12 c 1+c2）l=∏（r 1+r2）l
S
c1 c2
O 1 rr1 M
l
l
r R2
O2
N
证明： 将圆台补成圆锥.作其侧面展开图，设SM=x
人教版高中数学必修二（B版）第一章 P25-32
掌握柱锥台球表面积、体积公式的运用PPT全文课件
扇形 *,体积V锥=
1 r2h
3
复习回顾
3.圆台的侧面展开图是 扇环
其侧面积S侧=(rR)l ,体积V锥=
1 3(S上S下 S上S下)h
4.球不能 展成平面图形(填“能”或“不
能其”表) 面积S侧= 4r 2 fenghuangxueyi
,体积V= 4 r 3 3
*
课前热身 1.若球的半径变为原来的3倍，则表面积变 为原来的 9 倍;体积变为原来的 27 倍。
1.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm,这个 球的体积为＿32＿3＿ cm3.
2.把半径为5cm的钢球放入一个正方体的有盖 纸盒中,至少要用多少纸?
3.有三个球,一球切于正方体的各面, 一球过正方体的各 顶点,求这两个球的体积之比_________.
掌握柱锥台球表面积、体积公式的运 用PPT名 师课件
球的体积为＿32＿3＿ cm3.
*
掌握柱锥台球表面积、体积公式的运 用PPT名 师课件
掌握柱锥台球表面积、体积公式的运 用PPT名 师课件
例5.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a, 它的各个顶点都在球O的球面上，问球O的表面
积。
分析：正方体内接于球，则由球和正方 体都是中心对称图形可知，它们中心重 合，则正方体对角线与球的直径相等。
略解： Rt B 1 D 1 D 中 :
(2R )2 a 2 ( 2a)2,得
R
3 a
2
S 4R 2 3a 2
D A
D A11
D A
C B
O C1
B1
C B
掌握柱锥台球表面积、体积公式的运 用PPT名 师课件
O
D
C1
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高三数学柱锥台球的结构特征试题答案及解析
高三数学柱锥台球的结构特征试题答案及解析1.已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据正四棱柱的几何特征得：该球的直径为正四棱柱的体对角线，故，即得，所以该球的体积，故选D.【考点】正四棱柱的几何特征；球的体积.2.已知正三棱柱底面边长是2，外接球的表面积是，则该三棱柱的侧棱长．【答案】【解析】该三棱柱外接球的表面积是，该球的半径R=2，又正三棱柱底面边长是2，底面三角形的外接圆半径，该三棱柱的侧棱长是.【考点】简单组合体.3.用两个平行平面去截半径为的球面，两个截面圆的半径为，．两截面间的距离为，求球的表面积（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设垂直于截面的大圆面交两截面圆于，上述大圆的垂直于的直径交于，如图．设，则，解得．．选C．4.正方体内切球和外接球半径的比为( )A．B．C．D．1:2【答案】B【解析】作正方体与其内切球的截面如图甲，设正方体棱长为a，则有2r＝a(r为内切球半径)．作正方体与其外接球的截面如图乙，则有2R＝(R为外接球半径)，得r∶R＝，选B5.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为，那么（）A．8B．9C．10D．11【答案】A【解析】因为CE在平面上，所以CE平行于上底面，由于CE与正方体底面各线都相交，所以CE与正方体各侧面相交，即m=4设正四面体的高为直线a，则a与正方体各侧棱平行，EF与a所在的平面与正方体的两个侧面平行，所以EF与正方体的两个侧面不相交．由于上下底面，正面与后面都与两侧面相交，所以EF 与它们相交，即n=4∴m+n=86.如图，边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点△AED，△EBF，△FCD分别沿DE，EF，FD折起，使A，B，C三点重合于点A′,若四面体A′EFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为A．B．C．D．【答案】B【解析】因为DA⊥Rt△AEF，所以四面体A′EFD的外接球，与以A′、E、F、D所确定的长方体的外接球是同一外接球，所以其外接球半径r=.【考点】三棱锥的外接球问题.7.一正方体内接于一个球,经过球心作一个截面,则截面的可能图形为_________(只填写序号).【答案】①②③【解析】当截面与正方体的某一面平行时,可得①,将截面旋转可得②,继续旋转,过正方体两顶点时可得③,即正方体的对角面,不可能得④.8.已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为 ()．A．B．C．D．【答案】B【解析】如图所示：S△ABC＝×××sin 60°＝.∴VABC－A1B1C1＝S△ABC×OP＝×OP＝，∴OP＝.又OA＝××＝1，∴tan∠OAP＝＝，由∠OAP∈，得∠OAP＝.9.某地球仪上北纬纬线长度为cm，该地球仪的表面上北纬东经对应点与北纬东经对应点之间的球面距离为 cm（精确到0.01）．【答案】【解析】如下图球中，是北纬纬线圈的圆心，，，，，，在中，两点间的球面距离即所对的大圆弧长为约等于【考点】球面距离．10.如图，直三棱柱的六个顶点都在半径为1的半球面上，，侧面是半球底面圆的内接正方形，则侧面的面积为（）A．2B．1C．D．【答案】C【解析】球心在面的中心上，为截面圆的直径，∴，底面外接圆圆心位于中点，外心在中点上，设正方形边长为，中，，，，∴，即，则，∴.【考点】1.中位线；2.勾股定理.11.某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于，母线与轴的夹角为，则这个圆台的高为A．7B．14C．21D．【答案】B【解析】设圆台上底面、下底面半径分别为，则，∴，又母线与轴的夹角为，所以高，轴截面的面积为，解得，即.【考点】1、旋转体；2、梯形的面积.12.已知正方体的体对角线为，点在题对角线上运动（动点不与体对角线的端点重合）现以点为球心，为半径作一个球，设，记该球面与正方体表面积的交线长度和为，则函数的图象最有可能是（）【答案】B【解析】当时，，排除，；又，（当时，此时球面与正方体表面的交线在面、面、面上且相等，如在面的交线是以为圆心，以为半径的圆弧，所以，排除，故选B.【考点】空间几何体中运动点对应的轨迹，函数的图象特征.13.已知正四棱锥的各棱棱长都为，则正四棱锥的外接球的表面积为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】在中，，则，又∽，则有，所以，，.【考点】1、正四棱锥的外接球；2、球的表面积.14.正三棱锥中，，，分别是棱上的点，为边的中点，，则三角形的面积为．【答案】【解析】根据题意在正三棱锥中，为边的中点，故可得，则，又由，故，假设又在中，，则，故.【考点】三棱锥的体积计算15.如图，正四棱柱的底面边长，若直线与底面所成的角的大小为，则正四棱柱的侧面积为 .【答案】32【解析】因为直线与底面所成的角的大小为，所以，于是正四棱柱的侧面积为.【考点】正四棱柱的侧面积计算16.已知正四面体的棱长为1，M为AC的中点，P在线段DM上，则的最小值为_____________；【答案】【解析】将三角形BMD绕BM旋转到与AMD共面，此时A、B两点间的距离即为AP+BP的最小值.所以.【考点】1、空间几何体；2、余弦定理.17.三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝1，BC＝，则三棱锥外接球O的表面积等于________.【答案】【解析】以为长、宽、高补体成长方形，三棱锥的外接球与长方形外接球一样，设球半径为，，即，所以，.【考点】1.补体法求几何体外接球半径；2.长方体体对角线的求法；3.球的表面积.18.如图正四棱锥的底面边长为，高，点在高上，且，记过点的球的半径为，则函数的大致图像是（）【答案】A【解析】当ABCD恰好是大圆的内接正方形时，球的半径最小，排除B,C。
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棱柱、棱锥、棱台的侧面积公式分别为什么？它们之间有何关系？
上底扩大
上底缩小
S直棱柱= ch
c’=c
S正棱台=
(c+c’)h’
1
2
c’=0
S正棱锥=
ch’
1
2
例1. 已知正四棱锥底面正方形长为4cm，高与斜高的夹角为30°，求正四棱锥的侧面积及全面积.（单位： cm2，精确到0.01 ）
解：正棱锥的高PO，斜高PE，底面边心距OE组成直角三角形。
柱锥台球表面积和体积获奖解析
1
一.圆柱体、棱柱体的表面积 S柱体侧=c l
语言：柱体的侧面积等于它的底面周长和高的乘积
二.锥体的表面积(一) 1.正n棱锥的表面积等于正棱锥的侧面积与底面积之和.
1 S正棱锥侧= na·h’ = c ·h’
1
2
2
语言：正棱锥的侧面积等于它的底面周长和斜高乘积的一半。
r l
∴ = ×3OV60AA0 =900
∴AA’=√VA2+VA’2=
√402+402
=40√2
∴所求最短线的长度为40√2cm。
V
A’ V
返回
AA 重复
OO 旋转
A 前一屏
继续
解法小结(3)
对可展面来说，求曲面上两点之间最短距离的基本方法是作出其侧面展开 图，将空间问题转化为平面问题，再利用平几知识求解。
1c x 22
1 c ’x
2
C1X
- 1c x 21
=1
+ 1（ c ）- c
X
2
2
2
1
S
c
c
又∵ = 1
X
c
X+l
∴x =
1l c -c
c1 c2
2
2
1
=1
+ 1（ c ）- c
c 1l
rr O1 1
M
2
2
2
1 c -c
2
1
l
l
=1 2
+ 1c l 21
r
R2
O2
N
= (1 + c )l c
2
1
2
1(4282 4282)3 3
112(cm2)
答:正四棱台的体积为112 cm2.
例3.已知正四棱台上底面边长为4 cm，侧棱和下底面边长都是8 cm，求它的侧面积．
[解] 法一：在 Rt△B1FB 中， B1F＝h′， BF＝12(8－4)＝2，B1B＝8， ∴B1F＝ 82－22＝2 15， ∴h′＝B1F＝2 15. ∴S 正棱台侧＝4×12×(4＋8)×2 15 ＝48 15(cm2)．
几何体 圆柱 圆锥 圆台
侧面展开图的形状 矩形 扇形 扇环
S圆柱侧＝ S圆锥侧＝ S圆台侧＝
侧面积公式 2πrl πrl
π(r1＋r2)l
其中r为底面半径，l为侧面母线长，r1，r2分别为圆台的上、下底面半径．
从正棱柱底面变化的角度来看，正棱柱、正棱锥、正 棱台侧面积之间有什么关系？
人教版高中数学必修二（B版）第一章
的系数小于零
H
=
2
H r
x
R
（2）
∵ S圆柱侧
的表达解式法中小x2结
解决内接几何体问题的基本途 ∴这个径二是次作函出数相有关最的大轴值截，面。要注
这时意圆弄柱清的轴高截是面与内接几何体的
位置关系。
2∏R
x=
=
2∏R -2× H
的系数小于零
H 2
谢谢观赏！
2020/11/26
31
13[S下(hh)S上h]
h h h
S上 S下
h
h S上 S下 S上
1 V圆台 3[S (下S上 )
Sh 下 S上 S上S下 h]
1 3(S上S下 S上S下)h
棱台的体积公式同理可得.
圆台或者棱台的体积公式如下:
V 台体 1 3(S上 S下 S上 S下 )h
其中S上,S下分别为棱台的上,下底面积,h为高.
1
2
a' h h'
a
台体的表面积(二) 如图，上底周长是 c’=2πr1、c=πr2，侧面母线长是l
S侧面积 = （c 1+c2）1 l=∏（r 1+r2）l 2
S
c1 c2
rr O1 1
M
l
l
r
R2
O2
N
证明：
将圆台补成圆锥.作其侧面展开图，设SM=x
S侧面积
=1 2
= 1 c2（l+x）2
c l+ 2
P
因为OE=2，∠OPE=30°，DCOE
A
B
所以斜高
PE OE 2 4 sin30 0.5
因此S侧=
1 ch’=32(cm2) 2
P
S全=S侧+S底=48(cm2)
D
C
O
E
A
B
例2.已知一正四棱台的上底边长为4cm,下底边长为 8cm,高为3cm,求其体积.
解:
V1 3(S上S下 S上 S下 )h
V
A’ V
AA
O
A
例5. 已知圆锥的底面半径为OA=10cm，母线VA=40cm，由点A绕侧面一周的最短线的长度是多少？
r l
∴ = ×3OV60AA0 =900
∴AA ’=√VA2+VA ’ 2 =
√402+402
=40√2
∴所求最短线的长度为40√2cm。
V
A’ V
AA
OO
A
例5. 已知圆锥的底面半径为OA=10cm，母线VA=40cm，由点A绕侧面一周的最短线的长度是多少？
＝48 15(cm2)．
∴正四棱台的侧面积为 48 15 cm2.
例5. 已知圆锥的底面半径为OA=10cm，母线VA=40cm，由点A绕侧面一周的最短线的长度是多少？
r l
沿圆锥母线AA ’将圆锥侧面展开，则所求最短距离 就是 圆锥的侧面展开图中连接点A和点A ’的线段AA ’。 设圆锥侧面展开图扇形VAA ’的圆心角为
h h' a
二.锥体的表面积(二) 1.圆锥体的表面积等于侧面扇形的面积与底面圆的面积之和.
1 S圆锥侧= ·c·l=πRl 2
语言： 1.圆锥的侧面积等于它的底面周长和母线乘积的一半。 2.圆锥的侧面积等于π倍的底面半径和母线乘积。
S
l
C=2cπ=2 R r
O Rr
A
三.台体的表面积(一)
S侧正棱台= (c+c’)·h’
例6：已知一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其中 有一个高为x的内接圆柱，（1） 求圆柱的侧面积； （2）当 x为何值时，圆柱的侧面积最大？
解：
（1）画圆锥及内接圆柱的轴 截面， 设所求的圆柱的底面半径为r
∴ S圆柱侧 =2∏rx
r H- x ∵=
RH
R
∴ r = R- x
H
∴ S圆柱侧 =2∏rx =2∏Rx- x2
P25-32
1. 1. 6柱、锥、台、球体积
棱柱和圆柱
棱柱和圆柱的体积等于它的底面积乘高,即
V柱体 Sh.
其中,S为柱体的底面积,h为柱体的高.
棱锥和圆锥
棱锥和圆锥的体积可用下面的公式来计算:
V锥体
1 3
Sh.
其中,S为锥体的底面积,h为锥体的高.
棱台和圆台
棱台和圆台的是怎样得到的?
V圆台 V大圆锥 V小圆锥
法二：延长正四棱台的侧棱交于点 P， 如图设 PB1＝x， 则x＋x 8＝48，得 x＝8. ∴PB1＝B1B＝8， ∴E1 为 PE 的中点 ∴PE1＝ 82－22＝2 15， PE＝2PE1＝4 15.
∴S ＝S －S 正棱台侧
大正棱锥侧
小正棱锥侧
＝4×12×8×PE－4×12×4×PE1
＝4×12×8×4 15－4×12×4×2 15
= （π r1+r2）l
几何体 直棱柱 正棱锥
S直棱柱侧＝ S正棱锥侧＝
正棱台
S正棱台侧＝
球
侧面积公式 c·h
1 2c h′
12(c＋c′) h′
表面积(全面积)
棱柱、棱锥、棱台的表面
积＝
＋
侧面积
S球底＝面积
4πR2 其中c′，c分别表示上、下底面周长，h表示高，h′表示斜高，R表示球的半径．
2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
2∏R H
H r
x
R
例6：已知一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其中 有一个高为x的内接圆柱，（1） 求圆柱的侧面积； （2）当 x为何值时，圆柱的侧面积最大？
（2）
∵ S圆柱侧
的表达式中x2
∴这个二次函数有最大值， 这时圆柱的高是
2∏R x=
2∏R -2× H
∴ 当圆柱的高为圆锥的高的 一半时，它的侧面积最大。