三角恒等变换讲义

《三角恒等变换》广州卓越教育集团教育学院2011级第三期数学班沈荣春开心哈哈三角函数是函数，象限符号坐标注。

函数图象单位圆，周期奇偶增减现。

同角关系很重要，化简证明都需要。

正六边形顶点处，从上到下弦切割。

制胜装备（1）和与差的三角函数公式（a）会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；（b）能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式；（c）能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解他们的内在联系；（2）简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换；战前动员失之毫厘，谬以千里1967年8月23日，苏联的联盟一号宇宙飞船在返回大气层时，突然发生了恶性事故——减速降落伞无法打开。

苏联中央领导研究后决定：向全国实况转播这次事故。

当电视台的播音员用沉重的语调宣布，宇宙飞船在两小时后将坠毁，观众将目睹宇航员弗拉迪米·科马洛夫殉难的消息后，举国上下顿时被震撼了，人们都沉浸在巨大的悲痛之中。

在电视上，观众们看到了宇航员科马洛夫镇定自若的形象。

他面带微笑叮嘱女儿说：“你学习时，要认真对待每一个小数点。

联盟一号今天发生的一切，就是因为地面检查时忽略了一个小数点……”即使是一个小数点的错误，也会导致永远无法弥补的悲壮告别。

古罗马的恺撒大帝有句名言：“在战争中，重大事件常常就是小事所造成的后果。

” 换成我们中国的警句大概就是“失之毫厘，谬以千里”吧。

战况分析扫清障碍1．两角和与差的三角函数βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±；βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±； tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=。

2．二倍角公式αααcos sin 22sin =；ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=； 22tan tan 21tan ααα=-。

3．半角公式2cos 12sinαα-±= 2c o s 12c o s αα+±= αααc o s1c o s12t a n +-±= （αααααsin cos 1cos 1sin 2tan-=+=）4．三角函数式的化简常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。

（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。

（1）降幂公式ααα2sin 21cos sin =；22cos 1sin 2αα-=；22cos 1cos 2αα+=。

（αα2cos 1sin 22-= αα2c o s 1c o s 22+=） （2）辅助角公式()sin cos sin a x b x x ϕ+=+，sin cos ϕϕ==其中。

5．三角函数的求值类型有三类（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。

6．三角等式的证明（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。

小试牛刀1.已知sin α=53,且α∈⎪⎭⎫⎝⎛ππ,2，那么a a 2cos 2sin 的值等于 .2.已知tan(α+β)=3，tan(α-β)=5，则tan2α= .3. 设α∈（0，2π），若sin α=53，则2cos （α+4π）= . 4.（2008·山东理）已知cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-6πα+sin α=354,则sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+67πα的值是 . 5.函数y =cos x (sin x +cos x )的最小正周期为 .6.若sin A =55,sin B =1010,且A ,B 均为钝角,求A +B 的值.卓越兵法【兵法案例】()()10,220m 2sin sin 2mx m x y conx cony θθθ∈++=+=+2、已知（π），sin ,cos 是方程4x 的两根，则的值为 、若则的取值范围是【作战策略】 （1）2440,,cos ,4m m m +4m=1m mm θθθθ-⨯⨯≥∙=≥≤=2解析：由题意得(2m)msin +cos =-2 sin 由（1）式得4或0，由（2）（3）得1，2解得综上可知，（2）解析：22222222t cos cos ,t cos 2cos cos cos .1=sin 2sin sin sin ,21t 22cos().232cos().-1cos()1,270,.222x y x x y y x x y y x y t x y x y t t =+=+++++=+-∴=+-≤-≤⎡∴≤≤∴∈-⎢⎣⎦令则 又两式相加得又【适用兵法】在利用判别式进行三角函数运算时，不要忽视对判别式△≥0的情况；沙场点兵1.y =sin 2x +2sin x cos x +3cos 2x 的最小正周期和最小值分别为 . 2.（2009·徐州六县一区联考）设sin α=53(2π＜α＜π),tan(π-β)=21,则tan(α-β)的值等于 .3.cos(α+β)=53,sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4πβ=135,α,β∈⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π，那么cos ⎪⎭⎫⎝⎛+4πα的值为 . 4.若cos(α+β)=51,cos(α-β)=53,则tan α·tan β= .5.已知α∈⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π,β∈⎪⎭⎫⎝⎛ππ,2且sin(α+β)=6533,cos β=-135.求sin α.6.如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为102，552.（1）求tan(α+β)的值； （2）求α+2β的值. 7.已知cos(2βα-)=-91,sin(2α-β)=32,且2π＜α＜π，0＜β＜2π，求cos 2βα+的值.锦旗飘扬已知tan α、tan β是方程x 2-4x -2=0的两个实根，求:cos 2(α+β)+2sin(α+β)cos(α+β)-3sin 2(α+β)的值.课后小结1、在学习中要切实掌握公式之间的内在联系，把我哥哥公式的结构特征，要善于变通，体现一个活字，明确各个公式的适用范围；2、在解三角问题时，我们常常根据具体问题运用函数与方程的思想，构造相关的函数或方程来解题。

3、 掌握各个公式的推导过程，是理解和运用公式的首要环节，熟练地运用公式进行“升幂”和“降幂”；4、 三角函数的化简与求值的难点在于众多三角公式的灵活运用和解题突破口的合理选择，认真分析所求式子的整体结构，分析各个三角函数及角的相互关系式灵活选用公式的基础，是恰当寻找解题思路起点的关键所在；5、 求值常用的方法：切割化弦法，升幂降幂法，和积互化法，辅助元素法、“1”的代换法等；6、 要掌握求值问题的解题规律和途径，寻求角之间关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，正确选用公式，灵活地掌握各个公式的正用、逆用、变形用。

小试牛刀答案：1、 23-；2、 -74 ；3、 514、54- 5、 π6、解 ∵A 、B 均为钝角且sin A =55,sin B =1010，∴cos A =-A 2sin 1-=-52=-552， cos B =-B 2sin 1-=-103=-10103，∴cos （A +B ）=cos A cos B -sin A sin B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-552×⎪⎪⎭⎫⎝⎛-10103-55×1010=22 ① 又∵2π＜A ＜π, 2π＜B ＜π, ∴π＜A +B ＜2π ②， 由①②知，A +B =47π沙场点兵答案：1.π,2-2 2. -112 3.65564. 215. 解 ∵β∈⎪⎭⎫⎝⎛ππ,2，cos β=-135,∴sin β=1312，又∵0＜α＜2π,2π＜β＜π,∴2π＜α+β＜23π, 又sin(α+β)=6533,∴2π＜α+β＜π,cos(α+β)=-)(sin 12βα+-=-265331⎪⎭⎫⎝⎛-=-6556,∴sin α=sin ［(α+β)-β］=sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β =6533·⎪⎭⎫ ⎝⎛-135-⎪⎭⎫⎝⎛-6556·1312=53. 6.解 由条件得cos α=102,cos β=552.∵α,β为锐角,∴sin α=α2cos 1-=1027,sin β=β2cos 1-=55.因此tan α=ααcos sin =7,tan β=ββcos sin =21.(1)tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan ∙-+=2171217⨯-+=-3.(2)∵tan2β=ββ2tan 1tan 2-=2)21(1212-⨯=34,∴tan(α+2β)=βαβα2tan tan 12tan tan ∙-+=371347⨯-+=-1. ∵α,β为锐角,∴0＜α+2β＜23π,∴α+2β=43π.7.解 222βαβαβα+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-,∵2π＜α＜π,0＜β＜2π ∴4π＜α-2β＜π,- 4π＜2α-β＜4π，∴sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2βα=⎪⎭⎫ ⎝⎛--2cos 12βα=954,cos ⎪⎭⎫⎝⎛-βα2=⎪⎭⎫ ⎝⎛--βα2sin 12=35∴cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2βα=cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2βαcos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-βα2+sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2βαsin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-βα2=2757.锦旗飘扬答案：解 由已知有tan α+tan β=4,tan α·tan β=-2,∴tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+=34,cos 2(α+β)+2sin(α+β)cos(α+β)-3sin 2(α+β) =)(sin )(cos )(sin 3)cos()sin(2)(cos 2222βαβαβαβαβαβα++++-++++=)(tan 1)(tan 3)tan(2122βαβαβα+++-++=916191633421+⨯-⨯+=-53.。