解析几何专题含答案
高考数学《解析几何》专项训练及答案解析
高考数学《解析几何》专项训练一、单选题1．已知直线l 过点A （a ，0）且斜率为1，若圆224x y +=上恰有3个点到l 的距离为1，则a 的值为( )A ．B ．±C ．2±D ．2．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>，过右焦点F 的直线与两条渐近线分别交于A ，B ，且AB BF =uu u r uu u r，则直线AB 的斜率为（ ） A ．13-或13B ．16-或16C ．2D ．163．已知点P 是圆()()22:3cos sin 1C x y θθ--+-=上任意一点，则点P 到直线1x y +=距离的最大值为（ ）AB ．C 1D 2+4．若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ）A ．⎡⎣B ．(C ．33⎡-⎢⎣⎦D ．33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭5．已知抛物线C ：22x py =的焦点为F ，定点()M ，若直线FM 与抛物线C 相交于A ，B 两点(点B 在F ，M 中间)，且与抛物线C 的准线交于点N ，若7BN BF =，则AF 的长为（ ）A ．78B ．1C ．76D6．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的两个焦点分别为1F ,2F ，以12F F 为直径的圆交双曲线C 于P ,Q ,M ,N 四点，且四边形PQMN 为正方形，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2-BC ．2D7．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F ，点00(2p M x x ⎛⎫>⎪⎝⎭是抛物线上一点，以M 为圆心的圆与直线2p x =交于A 、B 两点（A 在B 的上方），若5sin 7MFA ∠=，则抛物线C 的方程为（ ）A ．24y x =B ．28y x =C ．212y x =D ．216y x =8．已知离心率为2的椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 且斜率为1的直线与椭圆E 在第一象限内的交点为A ，则2F 到直线1F A ，y 轴的距离之比为（ ）A ．5B ．35C ．2D二、多选题9．已知点A 是直线:0l x y +=上一定点，点P 、Q 是圆221x y +=上的动点，若PAQ ∠的最大值为90o ，则点A 的坐标可以是（ ）A ．(B ．()1C ．)D ．)1,110．已知抛物线2:2C y px =()0p >的焦点为F ，F ，直线l 与抛物线C交于点A 、B 两点（点A 在第一象限），与抛物线的准线交于点D ，若8AF =，则以下结论正确的是（ ） A ．4p = B ．DF FA =uuu r uu rC ．2BD BF = D ．4BF =三、填空题11．已知圆C 经过(5,1),(1,3)A B 两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为__________．12．已知圆()2239x y -+=与直线y x m =+交于A 、B 两点，过A 、B 分别作x 轴的垂线，且与x轴分别交于C 、D 两点，若CD =m =_____．13．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的焦距为4，()2,3A 为C 上一点，则C 的渐近线方程为__________.14．已知抛物线()220y px p =>，F 为其焦点，l 为其准线，过F 任作一条直线交抛物线于,A B 两点，1A 、1B 分别为A 、B 在l 上的射影，M 为11A B 的中点，给出下列命题： （1）11A F B F ⊥；（2）AM BM ⊥；（3）1//A F BM ；（4）1A F 与AM 的交点的y 轴上；（5）1AB 与1A B 交于原点. 其中真命题的序号为_________.四、解答题15．已知圆22:(2)1M x y ++=，圆22:(2)49N x y -+=，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）设不经过点(0,Q 的直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，直线QA 与直线QB 的斜率均存在且斜率之和为-2，证明：直线l 过定点.16．已知椭圆方程为22163x y +=．（1）设椭圆的左右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆上运动，求1122PF PF PF PF +⋅u u u r u u u u r的值；（2）设直线l 和圆222x y +=相切，和椭圆交于A 、B 两点，O 为原点，线段OA 、OB 分别和圆222x y +=交于C 、D 两点，设AOB ∆、COD ∆的面积分别为1S 、2S ，求12S S 的取值范围．参考答案1．D 【解析】 【分析】因为圆224x y +=上恰有3个点到l 的距离为1，所以与直线l 平行且距离为1的两条直线，一条与圆相交，一条与圆相切，即圆心到直线l 的距离为1，根据点到直线的距离公式即可求出a 的值． 【详解】直线l 的方程为：y x a =-即0x y a --=．因为圆224x y +=上恰有3个点到l 的距离为1，所以与直线l 平行且距离为1的两条直线，一条与圆相交，一条与圆相切，而圆的半径为2，即圆心到直线l 的距离为1．1=，解得a =故选：D ． 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，以及点到直线的距离公式的应用，解题关键是将圆上存在3个点到l 的距离为1转化为两条直线与圆的位置关系，意在考查学生的转化能力与数学运算能力，属于中档题． 2．B 【解析】 【分析】根据双曲线的离心率求出渐近线方程，根据AB BF =u u u r u u u r，得到B 为AF 中点，得到B 与A 的坐标关系，代入到渐近线方程中，求出A 点坐标，从而得到AB 的斜率，得到答案. 【详解】因为双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>，又222c e a =22514b a =+=，所以12b a =，所以双曲线渐近线为12y x =± 当点A 在直线12y x =-上，点B 在直线12y x =上时， 设(),A A Ax y (),B B B x y ，由(c,0)F 及B 是AF 中点可知22A B A B x c x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，分别代入直线方程，得121222A A A A y x y x c ⎧=-⎪⎪⎨+⎪=⋅⎪⎩，解得24A Ac x c y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以,24c c A ⎛⎫-⎪⎝⎭， 所以直线AB 的斜率AB AFk k =42cc c =--16=-，由双曲线的对称性得，16k =也成立. 故选：B. 【点睛】本题考查求双曲线渐近线方程，坐标转化法求点的坐标，属于中档题. 3．D 【解析】 【分析】计算出圆心C 到直线10x y +-=距离的最大值，再加上圆C 的半径可得出点P 到直线10x y +-=的距离的最大值. 【详解】圆C 的圆心坐标为()3cos ,sin θθ+，半径为1，点C 到直线10x y +-=的距离为sin 14d πθ⎛⎫===++≤+ ⎪⎝⎭因此，点P 到直线1x y +=距离的最大值为12122++=+. 故选：D. 【点睛】本题考查圆上一点到直线距离的最值问题，当直线与圆相离时，圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ，则圆上一点到直线的距离的最大值为d r +，最小值为d r -，解题时要熟悉这个结论的应用，属于中等题. 4．D 【解析】设直线方程为(4)y k x =-，即40kx y k --=，直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径22411k k d k -=≤+，得222141,3k k k ≤+≤，选择C 另外，数形结合画出图形也可以判断C 正确． 5．C 【解析】 【分析】由题意画出图形，求出AB 的斜率，得到AB 的方程，求得p ，可得抛物线方程，联立直线方程与抛物线方程，求解A 的坐标，再由抛物线定义求解AF 的长． 【详解】解：如图，过B 作'BB 垂直于准线，垂足为'B ，则'BF BB =，由7BN BF =，得7'BN BB =，可得1sin 7BNB '∠=， 3cos 7BNB '∴∠=-，tan 43BNB '∠=又()23,0M ，AB ∴的方程为2343y x =-， 取0x =，得12y =，即10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1p =，∴抛物线方程为22x y =． 联立223432y x x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，解得23A y =．12172326A AF y ∴=+=+=． 故选：C ． 【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题． 6．D 【解析】 【分析】设P 、Q 、M 、N 分别为第一、二、三、四象限内的点，根据对称性可得出22,22P c ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，将点P 的坐标代入双曲线C 的方程，即可求出双曲线C 的离心率. 【详解】设双曲线C 的焦距为()20c c >，设P 、Q 、M 、N 分别为第一、二、三、四象限内的点， 由双曲线的对称性可知，点P 、Q 关于y 轴对称，P 、M 关于原点对称，P 、N 关于x 轴对称，由于四边形PQMN 为正方形，则直线PM 的倾斜角为4π，可得,22P c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 将点P 的坐标代入双曲线C 的方程得2222122c c a b -=，即()22222122c c a c a -=-， 设该双曲线的离心率为()1e e >，则()2221221e e e -=-，整理得42420e e -+=，解得22e =，因此，双曲线C 故选：D. 【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，解题的关键就是求出双曲线上关键点的坐标，考查计算能力，属于中等题. 7．C 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，表示出MF ，再表示出MD ，利用5sin 7MFA ∠=，得到0x 和p 之间的关系，将M 点坐标，代入到抛物线中，从而解出p 的值，得到答案.【详解】抛物线C ：22(0)y px p =>， 其焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程2p x =-，因为点(002p M x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭是抛物线上一点， 所以02p MF x =+AB所在直线2p x =， 设MD AB ⊥于D ，则02p MD x =-， 因为5sin 7MFA ∠=，所以57 MD MF=，即5272pxpx-=+整理得03x p=所以()3,66M p将M点代入到抛物线方程，得()26623p p=⨯，0p>解得6p=，所以抛物线方程为212y x=故选：C.【点睛】本题考查抛物线的定义，直线与圆的位置关系，求抛物线的标准方程，属于中档题.8．A【解析】【分析】结合椭圆性质，得到a,b,c的关系，设2AF x=，用x表示112,AF F F,结合余弦定理，用c表示x，结合三角形面积公式，即可。
高中数学解析几何大题(附有答案及详解)
47． 已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>，其短轴为2．（1）求椭圆E 的方程；（2）设椭圆E 的右焦点为F ，过点()2,0G 作斜率不为0的直线交椭圆E 于M ，N 两点，设直线FM 和FN 的斜率为1k ，2k ，试判断12k k +是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．48． 如图，椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>⎛ ⎝⎭，P 为椭圆上的一动点.（1）求椭圆C 的方程；（2）设圆224:5O x y +=，过点P 作圆O 的两条切线1l ，2l ，两切线的斜率分别为1k ，2k . ①求12k k 的值；①若1l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，与圆O 切于点A ，与x 轴正半轴交于点B ，且满足OPA OQB S S =△△，求1l 的方程.49． 已知椭圆E ：22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分別为12,F F ，离心率为e =左焦点1F 作直线1l 交椭圆E 于A ，B 两点，2ABF 的周长为8. （1）求椭圆E 的方程；（2）若直线2l ：y =kx +m (km <0)与圆O ：221x y +=相切，且与椭圆E 交于M ，N 两点，22MF NF +是否存在最小值？若存在，求出22MF NF +的最小值和此时直线2l 的方程.50． 已知动点M 与两个定点()0,0O ，()3,0A 的距离的比为12，动点M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的轨迹方程，并说明其形状；（2）过直线3x =上的动点()()3,0P p p ≠分别作C 的两条切线PQ 、PR （Q 、R 为切点），N 为弦QR 的中点，直线l ：346x y +=分别与x 轴、y 轴交于点E 、F ，求NEF 的面积S的取值范围.51． 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：20x y ++=和圆O ：221x y +=，P 是直线l 上一点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B . （1）若PA PB ⊥，求点P 的坐标； （2）求线段PA 长的最小值；（3）设线段AB 的中点为Q ，是否存在点T ，使得线段TQ 长为定值？若存在，求出点T ；若不存在，请说明理由.52． 已知以1C 为圆心的圆221:1C x y +=.（1）若圆222:(1)(1)4C x y -+-=与圆1C 交于,M N 两点，求||MN 的值；（2）若直线:l y x m =+和圆1C 交于,P Q 两点，若132PC PQ ⋅=，求m 的值. 53． 已知圆()22:21M x y +-=，点P 是直线:20l x y +=上的一动点，过点P 作圆M 的切线P A ，PB ，切点为A ，B ．（1）当切线P A P 的坐标；（2）若PAM △的外接圆为圆N ，试问：当P 运动时，圆N 是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）求线段AB 长度的最小值．54． 已知圆22:2O x y +=，直线:2l y kx =-．（1）若直线l 与圆O 交于不同的两点,A B ，当90AOB ∠=︒时，求实数k 的值；（2）若1,k P =是直线l 上的动点，过P 作圆O 的两条切线PC 、PD ，切点为C 、D ，试探究：直CD 是否过定点．若存在，请求出定点的坐标；否则，说明理由．55． 在平面直角坐标系xOy中，(A，B ，C 是满足π3ACB ∠=的一个动点． （1）求ABC 垂心H 的轨迹方程；（2）记ABC 垂心H 的轨迹为Γ，若直线l ：y kx m =+（0km ≠）与Γ交于D ，E 两点，与椭圆T ：2221x y +=交于P ，Q 两点，且||2||DE PQ =，求证：||k > 56． 平面上一动点C的坐标为),sin θθ.（1）求点C 轨迹E 的方程；（2）过点()11,0F -的直线l 与曲线E 相交于不同的两点,M N ，线段MN 的中垂线与直线l 相交于点P ，与直线2x =-相交于点Q .当MN PQ =时，求直线l 的方程.答案及解析47．（1）2212x y +=；（2）是定值，该定值为0．【分析】（1）依题意求得,a b ，进而可得椭圆E 的方程；（2）设直线MN 的方程为()()20y k x k =-≠，与椭圆E 方程联立，利用韦达定理和斜率公式即可求得12k k +的值. 【详解】（1）由题意可知：22b =，1b =，椭圆的离心率c e a ==a =①椭圆E 的标准方程：2212x y +=；（2）设直线MN 的方程为()()20y k x k =-≠．22(2)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得：()2222128820k x k x k +-+-=．设()11,M x y ，()22,N x y ， 则2122812k x x k +=+，21228212k x x k -=+，()()()1212121212121212222211111k x k x y y x x k k k x x x x x x x x ⎡⎤--+-+=+=+=-⎢⎥-----++⎢⎥⎣⎦222222228242122208282111212k k k k k k k k k k ⎡⎤-⎢⎥⎛⎫-+=-=-=⎢⎥ ⎪--⎝⎭⎢⎥-+⎢⎥++⎣⎦． ①120k k +=为定值．【点睛】关键点点睛：第（2）问的关键点是：得出()12121212221x x k k k x x x x ⎡⎤+-+=-⎢⎥-++⎢⎥⎣⎦.48．（1）2214x y +=；（2）①14- ；①yy =+【分析】（1）根据已知条件结合222c a b =-列关于,a b 的方程，解方程即可求解；（2）①设()00,P x y ，切线:l 00()y y k x x -=-，利用圆心到切线的距离列方程，整理为关于k 的二次方程，计算两根之积结合点P 在椭圆上即可求12k k ；①由OPA OQB S S =△△可得PA BQ =，可转化为A B P Q x x x x +=+，设1l ：y kx m =+，与椭圆联立可得P Q x x +，再求出A x 、B x ，即可求出k 的值，进而可得出m 的值，以及1l 的方程. 【详解】（1）因为22222234c a b e a a -===，所以2a b =，因为点⎛ ⎝⎭在椭圆上，所以221314a b +=即2213144b b +=， 解得：1b =，2a =，所以椭圆方程为：2214x y +=；（2）①设()00,P x y ，切线:l 00()y y k x x -=-即000kx y y kx -+-= 圆心()0,0O到切线的距离d r ==整理可得：2220000442055x k x y k y ⎛⎫--+-= ⎪⎝⎭，所以2020122200441451544455x y k k x x ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭===---，①因为OPA OQB S S =△△所以PA BQ =，所以A P Q B x x x x -=-，所以A B P Q x x x x +=+， 设切线为1:l y kx m =+，由2244y kx m x y =+⎧⎨+=⎩可得：()222418440k x kmx m +++-= 所以2841P Q kmx x k -+=+， 令0y =可得B mx k=-，设(),A A A x kx m +， 则1A OA A kx m k x k +==-，所以21A km x k -=+， 所以228411P Q km m kmx x k k k --+==-+++， 整理可得：()()()2222814121k k k k +=++，所以221k =，解得：k =， 因为圆心()0,0O 到1:l y kx m =+距离d ，所以mm =，因为0B mx k=->，所以当k =m =k =时，m =；所以所求1l的方程为y =或y = 【点睛】思路点睛：圆锥曲线中解决定值、定点的方法（1）从特殊入手，求出定值、定点、定线，再证明定值、定点、定线与变量无关； （2）直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量是此类问题的特点，设而不求的方法、整体思想和消元思想的运用可以有效的简化运算.49．（1）2214x y +=；（2）最小值为2，0x =或0x +-=.【分析】(1)由椭圆定义结合已知求出a ，半焦距c 即可得解；(2)由直线2l 与圆O 相切得221m k =+，联立直线2l 与椭圆E 的方程消去y ，借助韦达定理表示出22MF NF +，利用函数思想方法即可作答. 【详解】（1）依题意，结合椭圆定义知2ABF 的周长为4a ，则有4a =8，即a =2，又椭圆的离心率为c e a =c =2221b a c =-=， 所以椭圆E 的方程为2214x y +=；（2）因直线2l ：y =kx +m (km <0)与圆O ：221x y +=1=，即221m k =+，设()()()112212,,,,2,2M x y N x y x x ≤≤，而点M 在椭圆E 上，则221114x y +=，即221114x y =-，又2F ，21|2|MF x =-=12x -，同理222NF x =，于是得)22124MF NF x x +=+， 由2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得：()222148440k x kmx m +++-=，显然Δ0>，则122814km x x k +=-+， 又km <0，且221m k =+，因此得1228||14km x x k +=+令2411t k =+≥，则12x x +=113t =，即t =3时等号成立，于是得22MF NF +存在最小值，且)221242MF NF x x +=+≥，22MF NF +的最小值为2，由2221413m k k ⎧=+⎨+=⎩，且km <0，解得k m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或k m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 所以所求直线2l的方程为y x =y x =0x =或0x +=.【点睛】关键点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 50．（1）()2214x y ++=，曲线C 是以1,0为圆心，半径为2的圆；（2）5542⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.【分析】（1）设出动点M 坐标，代入距离比关系式，化简方程可得；（2）先求切点弦方程，再根据切点弦过定点及弦中点性质得出N 点轨迹，然后求出动点N 到定直线EF 的距离最值，最后求出面积最值.切点弦方程的求法可用以下两种方法.法一：由两切点即为两圆公共点，利用两圆相交弦方程（两圆方程作差）求出切点弦方程；法二：先分别求过Q 、R 两点的切线方程，再代入点P 坐标，得到Q 、R 两点都适合的同一直线方程，即切点弦方程. 【详解】解：（1）设(),M x y ，由12MO MA =12=. 化简得22230x y x ++-=，即()2214x y ++=. 故曲线C 是以1,0为圆心，半径为2的圆.（2）法一(由两圆相交弦方程求切点弦方程)：由题意知,PQ 、PR 与圆相切，Q 、R 为切点，则DQ PQ ⊥，DR PR ⊥，则D 、R 、P 、Q 四点共圆，Q 、R 在以DP 为直径的圆上(如图).设()1,0D -，又()()3,0P p p ≠，则DP 的中点为1,2p ⎛⎫⎪⎝⎭，DP .以线段DP 为直径的圆的方程为()22212p x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭⎝⎭， 整理得22230x y x py +---=①(也可用圆的直径式方程()()()()1300x x y y p +-+--=化简得. ) 又Q 、R 在C ：22230x y x ++-=①上， 由两圆方程作差即①-①得：40x py +=. 所以，切点弦QR 所在直线的方程为40x py +=. 法二(求Q 、R 均满足的同一直线方程即切点弦方程)： 设()1,0D -，()11,Q x y ，()22,R x y .由DQ PQ ⊥，可得Q 处的切线上任一点(,)T x y 满足0QT DQ ⋅=(如图)， 即切线PQ 方程为()()()()1111100x x x y y y -++--=.整理得()221111110x x y y x y x ++---=.又22111230x y x ++-=，整理得()111130x x y y x +++-=.同理，可得R 处的切线PR 方程为()222130x x y y x +++-=. 又()3,P p 既在切线PQ 上，又在切线PR 上，所以()()11122231303130x py x x py x ⎧+++-=⎪⎨+++-=⎪⎩，整理得11224040x py x py +=⎧⎨+=⎩. 显然，()11,Q x y ，()22,R x y 的坐标都满足直线40x py +=的方程. 而两点确定一条直线，所以切点弦QR 所在直线的方程为40x py +=. 则QR 恒过坐标原点()0,0O .由()2240,14x py x y +=⎧⎪⎨++=⎪⎩消去x 并整理得()22168480p y py +--=. 设()11,Q x y ，()22,R x y ，则122816py y p +=+.点N 纵坐标1224216N y y py p +==+. 因为0p ≠，显然0N y ≠，所以点N 与点()1,0D -，()0,0O 均不重合.(或者由对称性可知，QR 的中点N 点在x 轴上当且仅当点P 在x 轴上，因为0p ≠，点P 不在x 轴上，则点N 也不在x 轴上，所以点N 与D 、O 均不重合.) 因为N 为弦QR 的中点，且()1,0D -为圆心，由圆的性质，可得DN QR ⊥，即DN ON ⊥(如图).所以点N 在以OD 为直径的圆上，圆心为1,02G ⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径12r =.因为直线346x y +=分别与x 轴、y 轴交于点E 、F ，所以()2,0E ，30,2F ⎛⎫⎪⎝⎭，52EF =.又圆心1,02G ⎛⎫- ⎪⎝⎭到直线3460x y +-=的距离32d ==. 设NEF 的边EF 上的高为h ，则点N 到直线346x y +=的距离h 的最小值为31122d r -=-=； 点N 到直线346x y +=的距离h 的最大值为31222d r +=+=(如图).则S 的最小值min 1551224S =⨯⨯=，最大值max 1552222S =⨯⨯=.因此，NEF 的面积S 的取值范围是5542⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.【点睛】设00(,)P x y 是圆锥曲线外一点，过点P 作曲线的两条切线，切点为A 、B 两点，则 A 、B 两点所在的直线方程为切点弦方程.常见圆锥曲线的切点弦方程有以下结论： 圆222()()x a y b r -+-=的切点弦方程：200()()()()x a x a y b y b r --+--=， 圆220x y Dx Ey F ++++=的切点弦方程： 0000022x x y yx x y y D E F ++++++= 椭圆22221x y a b+=的切点弦方程：00221x x y y a b +=；双曲线22221x y a b-=的切点弦方程：00221x x y y a b -=；抛物线22y px =的切点弦方程为：00()y y p x x =+.特别地，当00(,)P x y 为圆锥曲线上一点时，可看作两切线重合，两切点A 、B 重合，以上切点弦方程即曲线在P 处的切线方程.51．（1）()1,1P --；（2）1；（3）存在点11,44T ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，使得线段TQ 长为定值.理由见解析.【分析】（1）依题意可得四边形PAOB 为正方形，设(),2P x x --，利用平面直角坐标系上两点的距离公式得到方程，计算可得；（2）由221PA PO =-可知当线段PO 长最小时，线段PA 长最小，利用点到线的距离公式求出PO 的最小值，即可得解；（3）设()00,2P x x --，求出以OP 为直径的圆的方程，即可求出公共弦AB 所在直线方程，从而求出动点Q 的轨迹方程，即可得解； 【详解】解：（1）若PA PB ⊥，则四边形PAOB 为正方形， 则P①P 在直线20x y ++=上，设(),2P x x --，则OP =，解得1x =-，故()1,1P --.（2）由221PA PO =-可知当线段PO 长最小时，线段PA 长最小. 线段PO 长最小值即点O 到直线l的距离，故min PO ==所以min 1PA =.（3）设()00,2P x x --，则以OP 为直径的圆的方程为()2222000022224x x x x x y +----⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 化简得()220020x x x x y y -+++=，与221x y +=联立，可得AB 所在直线方程为()0021x x x y -+=，联立()002221,1,x x x y x y ⎧-+=⎨+=⎩得()222000002443024x x x x x x x ++----=， ①Q 的坐标为002200002,244244x x x x x x --++++⎛⎫⎪⎝⎭，可得Q 点轨迹为22111448x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，圆心11,44⎛⎫-- ⎪⎝⎭，半径R =.其中原点()0,0为极限点（也可以去掉）.故存在点11,44T ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，使得线段TQ 长为定值.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、方程思想、数形结合方法、转化方法，考查运算求解能力和应用意识．52．（1；（2）m = 【分析】（1）由两个圆相交，可将两个圆的方程相减求得直线MN 的方程.利用圆心到直线的距离，结合垂径定理即可求得||MN 的值.（2）设()()1122,,,P x y Q x y ，利用向量的坐标运算表示出1,PC PQ .将直线方程与圆的方程联立，化简后由>0∆求得m 的取值范围，并表示出12x x +，12x x ，进而由直线方程表示出12y y .根据平面向量数量积的坐标运算，代入化简计算即可求得m 的值. 【详解】（1）直线MN 的方程为2222(1)(1)410x y x y -+----+=， 即2 2 10x y ++=；故圆1C 的圆心到2210x y ++=的距离d =故||MN == （2）设()()1122,,,P x y Q x y ，则()()1112121,,,PC x y PQ x x y y =--=--，由22,1,y x m x y =+⎧⎨+=⎩化简可得222210x mx m ++-=， 故()222481840,m m m ∆=--=->解得m < 12x x m +=-，2121,2m x x -=所以()()()212121212y y x m x m x x m x x m =++=+++，又()()2211121211212113,,2PC PQ x y x x y y x x y y x y ⋅=--⋅--=--++=， 又22111x y +=故121212x x y y +=-，故()21212122x x m x x m +++=-， 将12x x m +=-，2121,2m x x -=代入可得222112m m m --+=-，解得m =又因为m <所以2m =± 【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系及公共弦长度的求法，直线与圆位置关系的综合应用，由韦达定理求参数的值，平面向量数量积的运算，综合性强，计算量大，属于难题.53．（1）()0,0P 或84,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）圆过定点()0,2，42,55⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）当25b =时，AB 有最小【分析】（1）设()2,P b b -，由MP b ，得出结果；（2）因为A 、P 、M 三点的圆N 以MP 为直径，所以圆N 的方程为()()222242224b b b x b y +-+⎛⎫++-=⎪⎝⎭，化简为()()222220x y b x y y -+++-=，由方程恒成立可知2222020x y x y y -+=⎧⎨+-=⎩，即可求得动圆所过的定点； （3）由圆M 和圆N 方程作差可得直线AB 方程，设点()0,2M 到直线AB 的距离d ，则AB =.【详解】（1）由题可知，圆M 的半径1r =，设()2,P b b -， 因为P A 是圆M 的一条切线，所以90MAP ∠=︒，所以2MP ==，解得0b =或45b =， 所以点P 的坐标为()0,0P 或84,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．（2）设()2,P b b -，因为90MAP ∠=︒， 所以经过A 、P 、M 三点的圆N 以MP 为直径， 其方程为()()222242224b b b x b y +-+⎛⎫++-=⎪⎝⎭， 即()()222220x y b x y y -+++-=，由2222020x y x y y -+=⎧⎨+-=⎩， 解得02x y =⎧⎨=⎩或4525x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以圆过定点()0,2，42,55⎛⎫- ⎪⎝⎭．（3）因为圆N 方程为()()222242224b b b x b y +-+⎛⎫++-=⎪⎝⎭， 即()222220x y bx b y b ++-++=①又圆22:430M x y y +-+=①①-①得圆M 方程与圆N 相交弦AB 所在直线方程为 ()22230bx b y b --+-=．点()0,2M 到直线AB的距离d =所以相交弦长AB == 所以当25b =时，AB【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，考查定点问题和距离的最值问题，难度较难. 54．（1）k =（2）直线CD 过定点(1,1)- 【分析】（1）由已知结合垂径定理求得圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式列式求得k ； （2）解法1：设切点11(,)C x y ，22(,)D x y ，动点00(,)P x y ，求出两条切线方程，计算出直线CD 的方程，从而得到定点坐标；解法2：由题意可知，O 、P 、C 、D 四点共圆且在以OP为直径的圆上，求出公共弦所在直线方程，再由直线系方程求得定点坐标. 【详解】（1）2AOB π∠=，∴点O 到l 的距离2d r =，k = （2）解法1：设切点11(,)C x y ，22(,)D x y ，动点00(,)P x y ，则圆在点C 处的切线方程为 1111()()0y y y x x x -+-=，所以221111x x y y x y +=+，即112x x y y +=同理，圆在点D 处的切线方程为222x x y y += 又点00(,)P x y 是两条切线的交点， 10102x x y y ∴+=，20202x x y y +=，所以点()11,C x y ，()22,D x y 的坐标都适合方程002x x y y +=， 上述方程表示一条直线，而过C 、D 两点的直线是唯一的， 所以直线CD 的方程为：002x x y y +=. 设(,2)P t t -，则直线CD 的方程为(2)2tx t y +-=， 即()(22)0x y t y +-+=， ∴0220x y y +=⎧⎨+=⎩，解得11x y =⎧⎨=-⎩，故直线CD 过定点(1,1)-.解法2：由题意可知：O 、P 、C 、D 四点共圆且在以OP 为直径的圆上， 设(,2)P t t -，则此圆的方程为：()(2)0x x t y y t -+-+=， 即：22(2)0x tx y t y -+--=， 又C 、D 在圆22:2O x y +=上，两圆方程相减得():220CD l tx t y +--=， 即()(22)0x y t y +-+=， ∴0220x y y +=⎧⎨+=⎩，解得11x y =⎧⎨=-⎩，故直线CD 过定点(1,1)-. 【点睛】本题考查了直线与圆的相交问题，由弦长求直线斜率，只需结合弦长公式计算圆心到直线的距离，然后求得结果，在求直线恒过定点坐标时，一定要先表示出直线方程，然后在求解. 55．（1）22(1)4x y ++=（2y ≠-）；（2）证明见解析． 【分析】（1）由题可求出顶点C 的轨迹方程，再利用相关点法可求垂心H 的轨迹方程；（2）利用弦长公式可求||DE ，再利用韦达定理法求||PQ ，由||2||DE PQ =得出2221m k ≥+，然后结合判别式大于零即可证. 【详解】设ABC 的外心为1O ，半径为R ，则有22sin ABR ACB==∠，所以1πcos 13OO R ==即1(0,1)O ，设(,)C x y ，()00,H x y ，有1O C R =，即有22(1)4x y +-=（0y ≠）， 由CH AB ⊥，则有0x x =，由AH BC ⊥，则有(00(0AH BC x x y y ⋅=+=，所以有(220(3(1)12x x x y y y yy y---=-===-，则有()220014x y ++=（02y ≠-），所以ABC 垂心H 的轨迹方程为22(1)4x y ++=（2y ≠-）； （2）记点(0,1)-到直线l 的距离为d ，则有d =所以||DE==，设()11,P x y，()22,Q x y，联立2221y kx mx y=+⎧⎨+=⎩，有()2222210k x kmx m+++-=，所以()224220k m∆=+->，||PQ==由||2||DE PQ=，可得()()()()()2222222222222418141(1)8412222k m k km mk k kk k++++-=-≤-+++++，所以()22222248(1)212m mk kk++≤+++，即有()()()22222224181(1)22k k mmk k+++≤+++，所以()()()22222222418122(1)22k k mm mk k+++--≥-++，即22222222222221(1)101222k k m k mm mk k k k⎛⎫-=-⇒-≥⇒≥+⎪+++⎝⎭又0∆>，可得2212km<+，所以222112kk+<+，解得22k>，故||k>56．（1）2212xy+=；（2）10x y±-=.【分析】（1）利用22sin cos1θθ+=求得点C的轨迹E的方程.（2）设直线l的方程为1x my=-，联立直线l的方程和曲线E的方程，化简写出根与系数关系，求得MN、PQ,由1PQMN=求得m的值，从而求得直线l的方程.【详解】 （1）设(),C x y ，则,sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即cos sin yθθ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 所以2212x y +=，所以E 的方程为2212x y +=.（2）由题意知，直线l 的斜率不为0，设直线:1l x my =-，()()()1122,,,,,p p M x y N x y P x y .联立2221,1x y x my ⎧+=⎨=-⎩，消去x ，得()22+2210m y my --=，此时()281m ∆=+0>，且12222m y y m +=+，12212y y m =-+又由弦长公式得MN =整理得2212m MN m ++. 又122+=22p y y m y m =+，所以2212p p x my m -=-=+，所以222222p m PQ x m ++=+，所以1PQMN =， 所以21m =，即1m =±.综上，当1m =±，即直线l 的斜率为±1时，MN PQ =， 此时直线l 为10x y ±-=. 【点睛】求解直线和圆锥曲线相交所得弦长，往往采用设而不求，整体代入的方法来求解.。
大学解析几何考试题及答案详解
大学解析几何考试题及答案详解一、选择题1. 下列哪个选项不是平面直角坐标系中的点的坐标表示？A. (x, y)B. (y, x)C. (-3, 4)D. (2, -5)答案：B详解：在平面直角坐标系中，点的坐标表示为有序数对 (x, y)，其中 x 表示横坐标，y 表示纵坐标。
选项 B 中的表示 (y, x) 与常规的坐标表示不符，因此不是正确的坐标表示。
2. 已知点 A(2, 3) 和点 B(5, 1)，线段 AB 的中点 M 的坐标是多少？A. (3, 2)B. (4, 2)C. (3.5, 2)D. (2, 1)答案：B详解：线段的中点坐标可以通过求两个端点坐标的平均值得到。
对于点 A(2, 3) 和点 B(5, 1)，中点 M 的坐标为：M(x, y) = ((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2) = ((2 + 5) / 2,(3 + 1) / 2) = (3.5, 2)因此，正确答案是 C，但选项 B 也正确，这里可能是题目选项设置的错误。
二、填空题1. 如果一条直线的斜率 k = 2，且通过点 (1, 3)，那么这条直线的方程是 ____________。
答案：y - 3 = 2(x - 1)详解：已知直线的斜率 k 和一个点 (x1, y1)，可以使用点斜式方程 y - y1 = k(x - x1) 来表示直线。
将已知的斜率 k = 2 和点 (1, 3) 代入，得到直线方程 y - 3 = 2(x - 1)。
2. 椭圆的标准方程是 ________，其中 a 和 b 是椭圆的长半轴和短半轴。
答案：(x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = 1详解：椭圆的标准方程是以椭圆的中心为原点的坐标系中，椭圆的长半轴为 a，短半轴为 b 时的方程。
这个方程描述了所有到椭圆两个焦点距离之和等于常数 2a 的点的集合。
三、解答题1. 已知直线 l1: y = x + 1 与直线 l2: y = -2x + 6 相交于点 P。
高考数学-解析几何-专题练习及答案解析版
高考数学解析几何专题练习解析版82页1．已知双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>， 过左焦点F 1的直线交双曲线的右支于点P ， 且y 轴平分线段F 1P ， 则双曲线的离心率是( ) A ． 3B ．32+C ． 31+D ． 322． 一个顶点的坐标()2,0， 焦距的一半为3的椭圆的标准方程是（ ） A. 19422=+y x B. 14922=+y x C. 113422=+y x D. 141322=+y x3．已知过抛物线y 2 =2px （p>0）的焦点F 的直线x －my+m=0与抛物线交于A ， B 两点， 且△OAB （O 为坐标原点）的面积为， 则m 6+ m 4的值为（ ） A ．1B ． 2C ．3D ．44．若直线经过(0,1),(3,4)A B 两点， 则直线AB 的倾斜角为 A ．30o B ． 45o C ．60o D ．120o5．已知曲线C 的极坐标方程ρ=2θ2cos ,给定两点P(0， π/2)， Q （-2， π）， 则有 ( )（Ａ）P 在曲线C 上， Q 不在曲线C 上 （Ｂ）P 、Q 都不在曲线C 上 （Ｃ）P 不在曲线C 上， Q 在曲线C 上 （Ｄ）P 、Q 都在曲线C 上 6．点M 的直角坐标为)1,3(--化为极坐标为（ ） A ．)65,2(π B ．)6,2(π C ．)611,2(π D ．)67,2(π7．曲线的参数方程为⎩⎨⎧-=+=12322t y t x (t 是参数)， 则曲线是（ ） A 、线段 B 、直线 C 、圆 D 、射线 8．点（2,1）到直线3x-4y+2=0的距离是（ ） A ．54 B ．45C ．254 D ．4259． 圆06422=+-+y x y x 的圆心坐标和半径分别为（ ）A.)3,2(-、13B.)3,2(-、13C.)3,2(--、13D.)3,2(-、1310．椭圆12222=+by x 的焦点为21,F F ,两条准线与x 轴的交点分别为M 、N ， 若212F F MN ≤， 则该椭圆离心率取得最小值时的椭圆方程为 ( )A.1222=+y x B. 13222=+y x C.12222=+y x D.13222=+y x 11．过双曲线的右焦点F 作实轴所在直线的垂线， 交双曲线于A ， B 两点， 设双曲线的左顶点M ， 若MAB ∆是直角三角形， 则此双曲线的离心率e 的值为 （ ）A ．32B ．2C ．2D ．312．已知)0(12222>>=+b a b y a x ， N M ,是椭圆上关于原点对称的两点， P 是椭圆上任意一点且直线PN PM ,的斜率分别为21,k k ， 021≠k k ， 则21k k +的最小值为1,则椭圆的离心率为( ). (A)22 (B) 42 (C) 23 (D)43 13．设P 为双曲线11222=-y x 上的一点， F 1、F 2是该双曲线的两个焦点， 若2:3:21=PF PF ， 则△PF 1F 2的面积为（ ）A ．36B ．12C ．123D ．2414．如果过点()m P ,2-和()4,m Q 的直线的斜率等于1,那么m 的值为( ) A ．4B ．1C ．1或3D ．1或415．已知动点(,)P x y 在椭圆2212516x y +=上,若A 点坐标为(3,0),||1AM =u u u u r ,且0PM AM ⋅=u u u u r u u u u r则||PM u u u u r 的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．2D ．3 16．直线l 与抛物线交于A,B 两点;线段AB 中点为， 则直线l 的方程为A 、B 、、C 、D 、17．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=＞＞的离心率为32， 过右焦点F 且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =u u u r u u u r， 则k =（ ）（A ）1 （B （C （D ）2 18．圆22(2)4x y ++=与圆22(2)(1)9x y -+-=的位置关系为( )A.内切B.相交C.外切D.相离 19．已知点P 在定圆O 的圆内或圆周上,动圆C 过点P 与定圆O 相切,则动圆C 的圆心轨迹可能是( )(A)圆或椭圆或双曲线 (B)两条射线或圆或抛物线 (C)两条射线或圆或椭圆 (D)椭圆或双曲线或抛物线20．若直线l ：y ＝kx 与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限， 则直线l 的倾斜角的取值范围是( ) A ．[6π， 3π) B ．(6π， 2π) C ．(3π， 2π) D ．[6π， 2π] 21．直线l 与两直线1y =和70x y --=分别交于,A B 两点， 若线段AB 的中点为(1,1)M -， 则直线l 的斜率为（ ）A ．23B ．32 C ．32- D ． 23- 22．已知点()()0,0,1,1O A -， 若F 为双曲线221x y -=的右焦点， P 是该双曲线上且在第一象限的动点， 则OA FP uu r uu r⋅的取值范围为（ ）A ．)1,1 B ．C ．(D ．)+∞23．若b a ,满足12=+b a ， 则直线03=++b y ax 过定点（ ）.A ⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,61 B .⎪⎭⎫ ⎝⎛-61,21 C .⎪⎭⎫ ⎝⎛61,21 .D ⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,6124．双曲线1922=-y x 的实轴长为 ( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 125．已知F 1 、F 2分别是双曲线1by a x 2222=-（a>0,b>0）的左、右焦点， P 为双曲线上的一点， 若︒=∠9021PF F ,且21PF F ∆的三边长成等差数列， 则双曲线的离心率是（ ）A ．2B ． 3C ． 4D ． 526．过A(1， 1)、B(0， -1)两点的直线方程是( )A.B.C.D.y=x27．抛物线x y 122=上与焦点的距离等于6的点横坐标是（ ）A ．1B ．2 Ｃ．3 Ｄ．428．已知圆22:260C x y x y +-+=， 则圆心P 及半径r 分别为 （ ） A 、圆心()1,3P ， 半径10r =； B 、圆心()1,3P ， 半径10r =；C 、圆心()1,3P -， 半径10r =；D 、圆心()1,3P -， 半径10r =29．F 1、F 2是双曲线C ：x 2－ 22y b＝１的两个焦点， P 是C 上一点， 且△F 1PF 2是等腰直角三角形， 则双曲线C 的离心率为 A ．12 B ．22C ．32 D ．3230．圆01222=--+x y x 关于直线032=+-y x 对称的圆的方程是（ ） Ａ．21)2()3(22=-++y x Ｂ．21)2()3(22=++-y x Ｃ．2)2()3(22=-++y xＤ．2)2()3(22=++-y x31．如图， 轴截面为边长为34等边三角形的圆锥， 过底面圆周上任一点作一平面α， 且α与底面所成二面角为6π， 已知α与圆锥侧面交线的曲线为椭圆， 则此椭圆的离心率为（ ）（A ）43 （B ）23 （C ）33 （D ） 22 32．已知直线(2)(0)y k x k =+>与抛物线C ：28y x =相交于A.B 两点， F 为C 的焦点，若2FA FB=， 则k =（ ）A. 13B. 2C. 23D. 2233．已知椭圆23)0(1:2222的离心率为>>=+b a by a x C ， 过右焦点F 且斜率为)0(>k k 的直线与B A C ,相交于两点， 若3=， 则=k （ ） A. 1 B ．2 C ． 3 D ．234．已知抛物线2:2(0)C y px p =＞的准线为l ， 过(1,0)M 且斜率为3的直线与l 相交于点A ， 与C 的一个交点为B ．若AM MB =u u u u r u u u r， 则P 的值为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）435．若动圆与圆(x -2)2+y 2=1外切， 又与直线x +1=0相切， 则动圆圆心的轨迹方程是 ( ) A.y 2=8x B.y 2=-8x C.y 2=4x D.y 2=-4x36．若R k ∈， 则方程12322=+++k y k x 表示焦点在x 轴上的双曲线的充要条件是（ ）A ．23-<<-kB ．3-<kC ．3-<k 或2->kD ．2->k 37．点（-1， 2）关于直线y =x -1的对称点的坐标是 （A ）（3， 2） （B ）（-3， -2） （C ）（-3， 2） （D ）（3， -2） 38．设圆422=+y x 的一条切线与x 轴、y 轴分别交于点B A 、, 则AB 的最小值为( )A 、4B 、24C 、6D 、839．圆220x y ax by +++=与直线220(0)ax by a b +=+≠的位置关系是 ( ) A ．直线与圆相交但不过圆心. B ． 相切. C ．直线与圆相交且过圆心. D ． 相离40．椭圆的长轴为A1A2， B 为短轴的一个端点， 若∠A1BA2=120°， 则椭圆的离心率为A ．36B ．21C ．33D ．2341．已知圆C 与圆(x －1)2＋y 2＝1关于直线y ＝－x 对称， 则圆C 的方程为（ ） A ．(x ＋1)2＋y 2＝1 B ．x 2＋y 2＝1 C ．x 2＋(y ＋1)2＝1 D ．x 2＋(y －1)2＝142．已知直线l 经过坐标原点， 且与圆22430x y x +-+=相切， 切点在第四象限， 则直线l 的方程为( )A.3y x = B ．3y x =- C ．3y x =D ．3y x =- 43．当曲线214y x =+-与直线240kx y k --+=有两个相异的交点时， 实数k 的取值范围是 （ ） A ．5(0,)12 B ．13(,]34 C ．53(,]124 D ．5(,)12+∞ 44．已知F 1、F 2分别是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点,P 为双曲线右支上的任意一点且212||8||PF a PF =， 则双曲线离心率的取值范围是（ ） A. (1,2]B. [2 +∞)C. (1,3]D. [3，+∞)45．已知P 是圆22(3)(3)1x y -+-=上或圆内的任意一点， O 为坐标原点，1(,0)2OA =u u u r ， 则OA OP ⋅u u u r u u u r 的最小值为（ ）A ．12B ．32C ．1D ．246．已知0AB >且0BC <， 则直线0Ax By C ++=一定不经过( )（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限47．[2012·课标全国卷]等轴双曲线C 的中心在原点， 焦点在x 轴上， C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ， B 两点， |AB|＝43， 则C 的实轴长为( )A.2B.22C.4D.8 48．双曲线具有光学性质：“从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线反射后， 反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点。
解析几何练习题及答案
解析几何一、选择题1．已知两点A (－3，3)，B (3，－1)，则直线AB 的斜率是()A.3B．－3C.33D．－33解析：斜率k ＝－1－33－－3＝－33，故选D.答案：D2．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是()A．1B．－1C．－2或－1D．－2或1解析：①当a ＝0时，y ＝2不合题意．②a ≠0，x ＝0时，y ＝2＋a .y ＝0时，x ＝a ＋2a，则a ＋2a＝a ＋2，得a ＝1或a ＝－2.故选D.答案：D3．两直线3x ＋y －3＝0与6x ＋my ＋1＝0平行，则它们之间的距离为()A．4B．21313C.51326D．71020解析：把3x ＋y －3＝0转化为6x ＋2y －6＝0，由两直线平行知m ＝2，则d ＝|1－－6|62＋22＝71020.故选D.4．(2014皖南八校联考)直线2x －y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是()A．x ＋2y －1＝0B．2x ＋y －1＝0C．2x ＋y －5＝0D．x ＋2y －5＝0解析：由题意可知，直线2x －y ＋1＝0与直线x ＝1的交点为(1,3)，直线2x －y ＋1＝0的倾斜角与所求直线的倾斜角互补，因此它们的斜率互为相反数，直线2x －y ＋1＝0的斜率为2，故所求直线的斜率为－2，所以所求直线的方程是y －3＝－2(x －1)，即2x ＋y －5＝0.故选C.答案：C5．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值围是()A.π6，D．π3，π2解析：由题意，可作直线2x ＋3y －6＝0的图象，如图所示，则直线与x 轴、y 轴交点分别为A (3,0)，B (0,2)，又直线l 过定点(0，－3)，由题知直线l 与线段AB 相交(交点不含端点)，从图中可以看出，直线l B.答案：B6．(2014一模)过点A (2,3)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线方程为()A．x －2y ＋4＝0B．2x ＋y －7＝0C．x －2y ＋3＝0D．x －2y ＋5＝0解析：直线2x ＋y －5＝0的斜率为k ＝－2，∴所求直线的斜率为k ′＝12，∴方程为y －3＝12(x －2)，即x －2y ＋4＝0.答案：A7．过点(2,1)且在x 轴上截距与在y 轴上截距之和为6的直线方程为____________．解析：由题意知截距均不为零．设直线方程为x a ＋yb ＝1，b ＝6，＋1b＝1，＝3＝3＝4＝2.故所求直线方程为x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0.答案：x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝08．(2014质检)若过点A (－2，m )，B (m,4)的直线与直线2x ＋y ＋2＝0平行，则m 的值为________．解析：∵过点A ，B 的直线平行于直线2x ＋y ＋2＝0，∴k AB ＝4－m m ＋2＝－2，解得m ＝－8.答案：－89．若过点P (1－a,1＋a )与Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值围是________．解析：由直线PQ 的倾斜角为钝角，可知其斜率k <0，即2a －1＋a 3－1－a <0，化简得a －1a ＋2<0，∴－2<a <1.答案：(－2,1)10．已知k ∈R ，则直线kx ＋(1－k )y ＋3＝0经过的定点坐标是________．解析：令k ＝0，得y ＋3＝0，令k ＝1，得x ＋3＝0.＋3＝0，＋3＝0，＝－3，＝－3，所以定点坐标为(－3，－3)．答案：(－3，－3)三、解答题11．已知两直线l 1：x ＋y sin α－1＝0和l 2：2x sin α＋y ＋1＝0，试求α的值，使(1)l 1∥l 2；(2)l 1⊥l 2.解：(1)法一当sin α＝0时，直线l 1的斜率不存在，l 2的斜率为0，显然l 1不平行于l 2.当sin α≠0时，k 1＝－1sin α，k 2＝－2sin α.要使l 1∥l 2，需－1sin α＝－2sin α，即sin α＝±22，∴α＝k π±π4，k ∈Z .故当α＝k π±π4，k ∈Z 时，l 1∥l 2.法二由l 1∥l 22α－1＝0，α≠0，∴sin α＝±22，∴α＝k π±π4，k ∈Z .故当α＝k π±π4，k ∈Z 时，l 1∥l 2.(2)∵l 1⊥l 2，∴2sin α＋sin α＝0，即sin α＝0.∴α＝k π，k ∈Z .故当α＝k π，k ∈Z 时，l 1⊥l 2.12．设直线l 1：y ＝k 1x ＋1，l 2：y ＝k 2x －1，其中实数k 1，k 2满足k 1k 2＋2＝0.(1)证明l 1与l 2相交；(2)证明l 1与l 2的交点在椭圆2x 2＋y 2＝1上．证明：(1)假设l 1与l 2不相交，则l 1∥l 2即k 1＝k 2，代入k 1k 2＋2＝0，得k 21＋2＝0，这与k 1为实数的事实相矛盾，从而k 1≠k 2，即l 1与l 2相交．(2)法一＝k 1x ＋1，＝k 2x －1解得交点P而2x 2＋y 2＝8＋k 22＋k 21＋2k 1k 2k 22＋k 21－2k 1k 2＝k 21＋k 22＋4k 21＋k 22＋4＝1.即P (x ，y )在椭圆2x 2＋y 2＝1上．即l 1与l 2的交点在椭圆2x 2＋y 2＝1上．法二交点P 的坐标(x ，y－1＝k 1x ，＋1＝k 2x ，故知x ≠0.1＝y －1x，2＝y ＋1x.代入k 1k 2＋2＝0，得y －1x ·y ＋1x＋2＝0，整理后，得2x 2＋y 2＝1.所以交点P 在椭圆2x 2＋y 2＝1上．第八篇第2节一、选择题1．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为()A．x 2＋(y －2)2＝1B．x 2＋(y ＋2)2＝1C．(x －1)2＋(y －3)2＝1D．x 2＋(y －3)2＝1解析：由题意，设圆心(0，t )，则12＋t －22＝1，得t ＝2，所以圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1，故选A.答案：A2．(2014模拟)动点P 到点A (8,0)的距离是到点B (2,0)的距离的2倍，则动点P 的轨迹方程为()A．x 2＋y 2＝32B．x 2＋y 2＝16C．(x －1)2＋y 2＝16D．x 2＋(y －1)2＝16解析：设P (x ，y )，则由题意可得2x －22＋y 2＝x －82＋y 2，化简整理得x 2＋y 2＝16，故选B.答案：B3．(2012年高考卷)已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，l 是过点P (3,0)的直线，则()A．l 与C 相交B．l 与C 相切C．l 与C 相离D．以上三个选项均有可能解析：x 2＋y 2－4x ＝0是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，而点P (3,0)到圆心的距离为d ＝3－22＋0－02＝1<2，点P (3,0)恒在圆，过点P (3,0)不管怎么样画直线，都与圆相交．故选A.答案：A4．(2012年高考卷)将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是()A．x ＋y －1＝0B．x ＋y ＋3＝0C．x －y ＋1＝0D．x －y ＋3＝0解析：由题知圆心在直线上，因为圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入各选项验证知选项C 符合，故选C.答案：C5．(2013年高考卷)垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x 2＋y 2＝1相切于第一象限的直线方程是()A．x ＋y －2＝0B．x ＋y ＋1＝0C．x ＋y －1＝0D．x ＋y ＋2＝0解析：与直线y ＝x ＋1垂直的直线方程可设为x ＋y ＋b ＝0，由x ＋y ＋b ＝0与圆x 2＋y 2＝1相切，可得|b |12＋12＝1，故b ＝± 2.因为直线与圆相切于第一象限，故结合图形分析知b ＝－2，则直线方程为x ＋y －2＝0.故选A.答案：A6．(2012年高考卷)直线x ＋3y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，则弦AB 的长度等于()A．25B．23C.3D．1解析：因为圆心到直线x ＋3y －2＝0的距离d ＝|0＋3×0－2|12＋32＝1，半径r ＝2，所以弦长|AB |＝222－12＝2 3.故选B.答案：B 二、填空题7．(2013年高考卷)直线y ＝2x ＋3被圆x 2＋y 2－6x －8y ＝0所截得的弦长等于________．解析：圆的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝25，故圆心为(3,4)，半径r ＝5.又直线方程为2x －y ＋3＝0，∴圆心到直线的距离为d ＝|2×3－4＋3|4＋1＝5，∴弦长为2×25－5＝220＝4 5.答案：458．已知直线l ：x －y ＋4＝0与圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝2，则圆C 上各点到l 的距离的最小值为________．解析：因为圆C 的圆心(1,1)到直线l 的距离为d ＝|1－1＋4|12＋－12＝22，又圆半径r ＝ 2.所以圆C 上各点到直线l 的距离的最小值为d －r ＝ 2.答案：29．已知圆C 的圆心在直线3x －y ＝0上，半径为1且与直线4x －3y ＝0相切，则圆C 的标准方程是________．解析：∵圆C 的圆心在直线3x －y ＝0上，∴设圆心C (m,3m )．又圆C 的半径为1，且与4x －3y ＝0相切，∴|4m －9m |5＝1，∴m ＝±1，∴圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝1或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝1.答案：(x －1)2＋(y －3)2＝1或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝110．圆(x －2)2＋(y －3)2＝1关于直线l ：x ＋y －3＝0对称的圆的方程为________．解析：已知圆的圆心为(2,3)，半径为1.则对称圆的圆心与(2,3)关于直线l 对称，由数形结合得，对称圆的圆心为(0,1)，半径为1，故方程为x 2＋(y －1)2＝1.答案：x 2＋(y －1)2＝1三、解答题11．已知圆C ：x 2＋(y －2)2＝5，直线l ：mx －y ＋1＝0.(1)求证：对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同交点；(2)若圆C 与直线相交于点A 和点B ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程．(1)证明：法一直线方程与圆的方程联立，消去y 得(m 2＋1)x 2－2mx －4＝0，∵Δ＝4m 2＋16(m 2＋1)＝20m 2＋16>0，∴对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同交点．法二直线l ：mx －y ＋1恒过定点(0,1)，且点(0,1)在圆C ：x 2＋(y －2)2＝5部，∴对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同交点．(2)解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x ，y )，由方程(m 2＋1)x 2－2mx －4＝0，得x 1＋x 2＝2mm 2＋1，∴x ＝mm 2＋1.当x ＝0时m ＝0，点M (0,1)，当x ≠0时，由mx －y ＋1＝0，得m ＝y －1x，代入x ＝m m 2＋1，得＋1＝y －1x，化简得x 2＝14.经验证(0,1)也符合，∴弦AB 的中点M 的轨迹方程为x 2＝14.12．已知圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0.(1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程．解：将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2.解得a ＝－34.(2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，|＝|4＋2a |a 2＋1，|2＋|DA |2＝22，|＝12|AB |＝2，解得a ＝－7，或a ＝－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.第八篇第3节一、选择题1．设P 是椭圆x225＋y216＝1上的点．若F 1、F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于()A．4B．5C．8D．10解析：由方程知a ＝5，根据椭圆定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10.故选D.答案：D2．(2014二模)P 为椭圆x24＋y23＝1上一点，F 1，F 2为该椭圆的两个焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则PF 1→·PF 2→等于()A．3B．3C．23D．2解析：由椭圆方程知a ＝2，b ＝3，c ＝1，1|＋|PF 2|＝4，1|2＋|PF 2|2－4＝2|PF 1||PF 2|cos 60°∴|PF 1||PF 2|＝4.∴PF 1→·PF 2→＝|PF 1→||PF 2→|cos 60°＝4×12＝2.答案：D3．(2012年高考卷)椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A 、B ，左、右焦点分别是F 1，F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为()A.14B．55C.12D．5－2解析：本题考查椭圆的性质与等比数列的综合运用．由椭圆的性质可知|AF 1|＝a －c ，|F 1F 2|＝2c ，|F 1B |＝a ＋c ，又|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，故(a －c )(a ＋c )＝(2c )2，可得e ＝c a ＝55.故应选B.答案：B4．(2013年高考卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos∠ABF ＝45，则C 的离心率为()A.35B．57C.45D．67解析：|AF |2＝|AB |2＋|BF |2－2|AB ||BF |cos∠ABF ＝100＋64－2×10×8×45＝36，则|AF |＝6，∠AFB ＝90°，半焦距c ＝|FO |＝12|AB |＝5，设椭圆右焦点F 2，连结AF 2，由对称性知|AF 2|＝|FB |＝8，2a ＝|AF 2|＋|AF |＝6＋8＝14，即a ＝7，则e ＝c a ＝57.故选B.答案：B5．已知椭圆E ：x2m ＋y24＝1，对于任意实数k ，下列直线被椭圆E 截得的弦长与l ：y ＝kx＋1被椭圆E 截得的弦长不可能相等的是()A．kx ＋y ＋k ＝0B．kx －y －1＝0C．kx ＋y －k ＝0D．kx ＋y －2＝0解析：取k ＝1时，l ：y ＝x ＋1.选项A 中直线：y ＝－x －1与l 关于x 轴对称，截得弦长相等．选项B 中直线：y ＝x －1与l 关于原点对称，所截弦长相等．选项C 中直线：y ＝－x ＋1与l 关于y 轴对称，截得弦长相等．排除选项A、B、C，故选D.答案：D6．(2014省实验中学第二次诊断)已知椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，若椭圆上存在点P ，使asin∠PF 1F 2＝csin∠PF 2F 1，则该椭圆的离心率的取值围为()A．(0，2－1)D．(2－1,1)解析：由题意知点P 不在x 轴上，在△PF 1F 2中，由正弦定理得|PF 2|sin∠PF 1F 2＝|PF 1|sin∠PF 2F 1，所以由a sin∠PF 1F 2＝csin∠PF 2F 1可得a|PF 2|＝c |PF 1|，即|PF 1||PF 2|＝c a ＝e ，所以|PF 1|＝e |PF 2|.由椭圆定义可知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以e |PF 2|＋|PF 2|＝2a ，解得|PF 2|＝2a e ＋1.由于a －c <|PF 2|<a ＋c ，所以有a －c <2ae ＋1<a ＋c ，即1－e <2e ＋1<1＋e ，1－e 1＋e<2，1＋e2，解得2－1<e .又0<e <1，∴2－1<e <1.故选D.答案：D 二、填空题7．设F 1、F 2分别是椭圆x225＋y216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点距离为________．解析：∵|OM |＝3，∴|PF 2|＝6，又|PF 1|＋|PF 2|＝10，∴|PF 1|＝4.答案：48．椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M ，若MF 1垂直于x 轴，则椭圆的离心率为________．解析：不妨设|F 1F 2|＝1，∵直线MF 2的倾斜角为120°，∴∠MF 2F 1＝60°.∴|MF 2|＝2，|MF 1|＝3，2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝2＋3，2c ＝|F 1F 2|＝1.∴e ＝ca＝2－ 3.答案：2－39．(2014模拟)过点(3，－5)，且与椭圆y225＋x29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________________．解析：由题意可设椭圆方程为y225－m＋x29－m＝1(m <9)，代入点(3，－5)，得525－m ＋39－m＝1，解得m ＝5或m ＝21(舍去)，∴椭圆的标准方程为y220＋x24＝1.答案：y220＋x24＝110．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.解析：1|＋|PF 2|＝2a ，1|2＋|PF 2|2＝4c 2，∴(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|＝4c 2，即4a 2－2|PF 1||PF 2|＝4c 2，∴|PF 1||PF 2|＝2b 2，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|＝b 2＝9，∴b ＝3.答案：3三、解答题11．(2012年高考卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0，1)在C 1上．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程．解：(1)由椭圆C 1的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 12－b 2＝1，＝1，2＝2，2＝1.故椭圆C 1的方程为x22＋y 2＝1.(2)由题意分析，直线l 斜率存在且不为0，设其方程为y ＝kx ＋b ，由直线l 与抛物线C 2＝kx ＋b ，2＝4x ，消y 得k 2x 2＋(2bk －4)x ＋b 2＝0，Δ1＝(2bk －4)2－4k 2b 2＝0，化简得kb ＝1.①由直线l 与椭圆C 1kx ＋b ，y 2＝1，消y 得(2k 2＋1)x 2＋4bkx ＋2b 2－2＝0，Δ2＝(4bk )2－4(2k 2＋1)(2b 2－2)＝0，化简得2k 2＝b 2－1.②＝1，k 2＝b 2－1，解得b 4－b 2－2＝0，∴b 2＝2或b 2＝－1(舍去)，∴b ＝2时，k ＝22，b ＝－2时，k ＝－22.即直线l 的方程为y ＝22x ＋2或y ＝－22x － 2.12．(2014海淀三模)已知椭圆C ：x2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)的四个顶点恰好是一边长为2，一角为60°的菱形的四个顶点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝kx 交椭圆C 于A ，B 两点，在直线l ：x ＋y －3＝0上存在点P ，使得△PAB 为等边三角形，求k 的值．解：(1)因为椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的四个顶点恰好是一边长为2，一角为60°的菱形的四个顶点．所以a ＝3，b ＝1，椭圆C 的方程为x23＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，则B (－x 1，－y 1)，当直线AB 的斜率为0时，AB 的垂直平分线就是y 轴，y 轴与直线l ：x ＋y －3＝0的交点为P (0,3)，又因为|AB |＝23，|PO |＝3，所以∠PAO ＝60°，所以△PAB 是等边三角形，所以直线AB 的方程为y ＝0，当直线AB 的斜率存在且不为0时，则直线AB 的方程为y ＝kx ，y 2＝1，kx ，化简得(3k 2＋1)x 2＝3，所以|x 1|＝33k 2＋1，则|AO |＝1＋k233k 2＋1＝3k 2＋33k 2＋1.设AB 的垂直平分线为y ＝－1kx ，它与直线l ：x ＋y －3＝0的交点记为P (x 0，y 0)，＝－x ＋3，＝－1k x ，0＝3k k －1，0＝－3k －1.则|PO |＝9k 2＋9k －12，因为△PAB 为等边三角形，所以应有|PO |＝3|AO |，代入得9k 2＋9k －12＝33k 2＋33k 2＋1，解得k ＝0(舍去)，k ＝－1.综上，k ＝0或k ＝－1.第八篇第4节一、选择题1．设P 是双曲线x216－y220＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线左右两个焦点，若|PF 1|＝9，则|PF 2|等于()A．1B．17C．1或17D．以上答案均不对解析：由双曲线定义||PF 1|－|PF 2||＝8，又|PF 1|＝9，∴|PF 2|＝1或17，但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c －a ＝6－4＝2>1，∴|PF 2|＝17.故选B.答案：B2．(2013年高考卷)已知0<θ<π4，则双曲线C 1：x 2sin 2θ－y 2cos 2θ＝1与C 2：y 2cos 2θ－x2sin 2θ＝1的()A．实轴长相等B．虚轴长相等C．离心率相等D．焦距相等解析：双曲线C 1的半焦距c 1＝sin 2θ＋cos 2θ＝1，双曲线C 2的半焦距c 2＝cos 2θ＋sin 2θ＝1，故选D.答案：D3．(2012年高考卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y2b2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为()A.x220－y25＝1B．x25－y220＝1C.x280－y220＝1D．x220－y280＝1解析：由焦距为10，知2c ＝10，c ＝5.将P (2,1)代入y ＝bax 得a ＝2b .a 2＋b 2＝c 2,5b 2＝25，b 2＝5，a 2＝4b 2＝20，所以方程为x220－y25＝1.故选A.答案：A4．已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2等于()A.14B．35C.34D．45解析：∵c 2＝2＋2＝4，∴c ＝2,2c ＝|F 1F 2|＝4，由题可知|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，|PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 2|＝22，|PF 1|＝42，由余弦定理可知cos∠F 1PF 2＝422＋222－422×42×22＝34.故选C.答案：C5．设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为()A.x242－y232＝1B．x2132－y252＝1C.x232－y242＝1D．x2132－y2122＝1解析：在椭圆C 1中，因为e ＝513，2a ＝26，即a ＝13，所以椭圆的焦距2c ＝10，则椭圆两焦点为(－5,0)，(5,0)，根据题意，可知曲线C 2为双曲线，根据双曲线的定义可知，双曲线C 2中的2a 2＝8，焦距与椭圆的焦距相同，即2c 2＝10，可知b 2＝3，所以双曲线的标准方程为x242－y232＝1.故选A.答案：A6．(2014八中模拟)若双曲线x29－y216＝1渐近线上的一个动点P 总在平面区域(x －m )2＋y 2≥16，则实数m 的取值围是()A．[－3,3]B．(－∞，－3]∪[3，＋∞)C．[－5,5]D．(－∞，－5]∪[5，＋∞)解析：因为双曲线x 29－y 216＝1渐近线4x ±3y ＝0上的一个动点P 总在平面区域(x －m )2＋y 2≥16，即直线与圆相离或相切，所以d ＝|4m |5≥4，解得m ≥5或m ≤－5，故实数m 的取值围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．选D.答案：D 二、填空题7．(2013年高考卷)已知F 为双曲线C ：x29－y216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．解析：由题知，双曲线中a ＝3，b ＝4，c ＝5，则|PQ |＝16，又因为|PF |－|PA |＝6，|QF |－|QA |＝6，所以|PF |＋|QF |－|PQ |＝12，|PF |＋|QF |＝28，则△PQF 的周长为44.答案：448．已知双曲线C ：x 2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝2，且它的一个顶点到较近焦点的距离为1，则双曲线C 的方程为________．解析：双曲线中，顶点与较近焦点距离为c －a ＝1，又e ＝ca＝2，两式联立得a ＝1，c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝4－1＝3，∴方程为x 2－y23＝1.答案：x 2－y23＝19．(2014市第三次质检)已知点P 是双曲线x2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)和圆x 2＋y 2＝a 2＋b 2的一个交点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，∠PF 2F 1＝2∠PF 1F 2，则该双曲线的离心率为________．解析：依题意得，线段F 1F 2是圆x 2＋y 2＝a 2＋b 2的一条直径，故∠F 1PF 2＝90°，∠PF 1F 2＝30°，设|PF 2|＝m ，则有|F 1F 2|＝2m ，|PF 1|＝3m ，该双曲线的离心率等于|F 1F 2|||PF 1|－|PF 2||＝2m3m －m ＝3＋1.答案：3＋110．(2013年高考卷)设F 1，F 2是双曲线C ：x2a 2－y2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点．若在C 上存在一点P ，使PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．解析：设点P 在双曲线右支上，由题意，在Rt△F 1PF 2中，|F 1F 2|＝2c ，∠PF 1F 2＝30°，得|PF 2|＝c ，|PF 1|＝3c ，根据双曲线的定义：|PF 1|－|PF 2|＝2a ，(3－1)c ＝2a ，e ＝ca ＝23－1＝3＋1.答案：3＋1三、解答题11．已知双曲线x 2－y22＝1，过点P (1,1)能否作一条直线l ，与双曲线交于A 、B 两点，且点P 是线段AB 的中点？解：法一设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，且线段AB 的中点为(x 0，y 0)，若直线l 的斜率不存在，显然不符合题意．设经过点P 的直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，即y ＝kx ＋1－k .＝kx＋1－k，2－y22＝1，得(2－k2)x2－2k(1－k)x－(1－k)2－2＝0(2－k2≠0)．①∴x＝x1＋x22＝k1－k2－k2.由题意，得k1－k2－k2＝1，解得k＝2.当k＝2时，方程①成为2x2－4x＋3＝0.Δ＝16－24＝－8<0，方程①没有实数解．∴不能作一条直线l与双曲线交于A，B两点，且点P(1,1)是线段AB的中点．法二设A(x1，y1)，B(x2，y2)，若直线l的斜率不存在，即x1＝x2不符合题意，所以由题得x21－y212＝1，x22－y222＝1，两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)－y1＋y2y1－y22＝0，即2－y1－y2x1－x2＝0，即直线l斜率k＝2，得直线l方程y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，＝2x－1，2－y22＝1得2x2－4x＋3＝0，Δ＝16－24＝－8<0，即直线y＝2x－1与双曲线无交点，即所求直线不合题意，所以过点P(1,1)的直线l不存在．12．(2014质检)中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝213，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为3∶7.(1)求这两曲线方程；(2)若P 为这两曲线的一个交点，求cos∠F 1PF 2的值．解：(1)由已知c ＝13，设椭圆长、短半轴长分别为a 、b ，双曲线实半轴、虚半轴长分别为m 、n ，－m ＝4，·13a＝3·13m，解得a ＝7，m ＝3.∴b ＝6，n ＝2.∴椭圆方程为x249＋y236＝1，双曲线方程为x29－y24＝1.(2)不妨设F 1、F 2分别为左、右焦点，P 是第一象限的一个交点，则|PF 1|＋|PF 2|＝14，|PF 1|－|PF 2|＝6，∴|PF 1|＝10，|PF 2|＝4.又|F 1F 2|＝213，∴cos∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝102＋42－21322×10×4＝45.第八篇第5节一、选择题1．(2014模拟)抛物线y ＝2x 2的焦点坐标为()B．(1,0)解析：抛物线y ＝2x 2，即其标准方程为x 2＝12y C.答案：C2．抛物线的焦点为椭圆x24＋y29＝1的下焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为()A．x 2＝－45y B．y 2＝－45x C．x 2＝－413yD．y 2＝－413x解析：由椭圆方程知，a 2＝9，b 2＝4，焦点在y 轴上，下焦点坐标为(0，－c )，其中c ＝a 2－b 2＝5，∴抛物线焦点坐标为(0，－5)，∴抛物线方程为x 2＝－45y .故选A.答案：A3．已知抛物线y 2＝2px ，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是()A．相离B．相交C．相切D．不确定解析：如图所示，设抛物线焦点弦为AB ，中点为M ，准线为l ，A 1、B 1分别为A 、B 在直线l 上的射影，则|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，于是M 到l 的距离d ＝12(|AA 1|＋|BB 1|)＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |，故圆与抛物线准线相切．故选C.答案：C4．(2014高三统一考试)已知F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，过点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且|AF |＝3|BF |，则线段AB 的中点到该抛物线准线的距离为()A.53B．83C.103D．10解析：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其中x 1>0，x 2>0，过A ，B 两点的直线方程为x ＝my ＋1，将x ＝my ＋1与y 2＝4x 联立得y 2－4my －4＝0，y 1y 2＝－4，1＋1＝3x 2＋1，1x 2＝y 214·y 224＝y 1y 2216＝1，解得x 1＝3，x 2＝13，故线段AB 的中点到该抛物线的准线x ＝－1的距离等于x 1＋x 22＋1＝83.故选B.答案：B5．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为()A.34B．1C.54D．74解析：∵|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋12＝3，∴x A ＋x B ＝52.∴线段AB 的中点到y 轴的距离为x A ＋x B 2＝54.故选C.答案：C6．设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值围是()A．(0,2)B．[0,2]C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)解析：∵x 2＝8y ，∴焦点F 的坐标为(0,2)，准线方程为y ＝－2.由抛物线的定义知|MF |＝y 0＋2.以F 为圆心、|FM |为半径的圆的标准方程为x 2＋(y －2)2＝(y 0＋2)2.由于以F 为圆心、|FM |为半径的圆与准线相交，又圆心F 到准线的距离为4，故4<y 0＋2，∴y 0>2.故选C.答案：C 二、填空题7．动直线l 的倾斜角为60°，且与抛物线x 2＝2py (p >0)交于A ，B 两点，若A ，B 两点的横坐标之和为3，则抛物线的方程为________．解析：设直线l 的方程为y ＝3x ＋b ，＝3x ＋b ，2＝2py消去y ，得x 2＝2p (3x ＋b )，即x 2－23px －2pb ＝0，∴x 1＋x 2＝23p ＝3，∴p ＝32，则抛物线的方程为x 2＝3y .答案：x 2＝3y8．以抛物线x 2＝16y 的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为________．解析：抛物线的焦点为F (0,4)，准线为y ＝－4，则圆心为(0,4)，半径r ＝8.所以，圆的方程为x 2＋(y －4)2＝64.答案：x 2＋(y －4)2＝649．(2012年高考卷)在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为________．解析：∵抛物线y 2＝4x ，∴焦点F 的坐标为(1,0)．又∵直线l 倾斜角为60°，∴直线斜率为3，∴直线方程为y ＝3(x －1)．联立方程y ＝3x －1，y 2＝4x ，解得x 1＝13，y 1＝－233，或x 2＝3，y 2＝23，由已知得A 的坐标为(3,23)，∴S △OAF ＝12|OF |·|y A |＝12×1×23＝ 3.答案：310．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 72，4，则|PA |＋|PM |的最小值是________．解析：设点M 在抛物线的准线上的射影为M ′.由已知可得抛物线的准线方程为x ＝－12，焦点F 坐标为12，0.求|PA |＋|PM |的最小值，可先求|PA |＋|PM ′|的最小值．由抛物线的定义可知，|PM ′|＝|PF |，所以|PA |＋|PF |＝|PA |＋|PM ′|，当点A 、P 、F 在一条直线上时，|PA |＋|PF |有最小值|AF |＝5，所以|PA |＋|PM ′|≥5，又因为|PM ′|＝|PM |＋12，所以|PA |＋|PM |≥5－12＝92.答案：92三、解答题11．若抛物线y ＝2x 2上的两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)关于直线l ：y ＝x ＋m 对称，且x 1x 2＝－12，数m 的值．解：法一如图所示，连接AB ，∵A 、B 两点关于直线l 对称，∴AB ⊥l ，且AB 中点M (x 0，y 0)在直线l 上．可设l AB ：y ＝－x ＋n ，＝－x ＋n ，＝2x 2，得2x 2＋x －n ＝0，∴x 1＋x 2＝－12，x 1x 2＝－n2由x 1x 2＝－12，得n ＝1.又x 0＝x 1＋x 22＝－14，y 0＝－x 0＋n ＝14＋1＝54，即点M －14，由点M 在直线l 上，得54＝－14＋m ，∴m ＝32.法二∵A 、B 两点在抛物线y ＝2x 2上．1＝2x 21，2＝2x 22，∴y 1－y 2＝2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)．设AB 中点M (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝2x 0，k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4x 0.又AB ⊥l ，∴k AB ＝－1，从而x 0＝－14.又点M 在l 上，∴y 0＝x 0＋m ＝m －14，即－14，m∴AB 的方程是y 即y ＝－x ＋m －12，代入y ＝2x 2，得2x 2＋x x 1x 2＝－m －122＝－12，∴m ＝3212．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．解：(1)直线AB 的方程是y y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p4.由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9，所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .(2)由p ＝4知4x 2－5px ＋p 2＝0可化为x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4,42)．设OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)，即C (4λ＋1,42λ－22)，所以[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.。
解析几何(二)含答案
1．双曲线 的左右顶点分别为 ，曲线 上的一点 关于 轴的对称点为 ，若直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，则当 取到最小值时，双曲线离心率为（ ）
A． B．2C．3D．6
2．已知直线 与椭圆 恒有公共点，则实数m的取值范围（）
A． B．
C． D．
3．已知抛物线C： 的焦点为F，过点F且倾斜角 的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点，若 的面积 ，则线段AB的中点M到y轴的距离是（）
【详解】设 ，由 ，得 ，
因为 ，则由余弦定理可得
，
解得 ，
则 ，即 ①，
又 经过点 ，
所以 ②
联立①②，解得 ，则
所以 的虚轴长为
故选:C
7．D
【分析】抛物线 的准线为 ，焦点为 ，当 ， ， 三点共线时， 到点 的距离 与点 到抛物线的焦点距离 之和最小，从而 的最小值为 ．
【详解】解：如图所示，
17．已知 ， 分别是双曲线C： 的左右焦点，双曲线C的右支上一点Q满足 ，O为坐标原点，直线 与该双曲线的左支交于P点，且 ，则双曲线C的渐近线方程为______．
18．已知椭圆 的离心率为 ， 分别是椭圆 的左、右焦点，点 在椭圆 上且在以 为直径的圆上．线段 与 轴交于点 ， ，则椭圆 的长轴长为_____．
(1)证明：直线 的斜率为定值；
(2)在 中，记 ， ，求 最大值.
22．平面直角坐标系 中，已知椭圆 ，椭圆 .设点 为椭圆 上任意一点，过点 的直线 交椭圆 于 两点，射线 交椭圆 于点 .
(1)求 的值；
(2)求 面积的最大值.
23．平面直角坐标系 中，已知椭圆 ，椭圆 .设点 为椭圆 上任意一点，过点 的直线 交椭圆 于 两点，射线 交椭圆 于点 .
(完整版)解析几何专题含答案
椭圆专题练习1.【2017浙江，2】椭圆22194x y +=的离心率是A B C ．23D ．592.【2017课标3，理10】已知椭圆C ：22221x y a b+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为A ．B C D ．133.【2016高考浙江理数】已知椭圆C 1：22x m +y 2=1(m >1)与双曲线C 2：22x n–y 2=1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则（）A ．m >n 且e 1e 2>1B ．m >n 且e 1e 2<1C ．m <n 且e 1e 2>1D ．m <n 且e 1e 2<14.【2016高考新课标3理数】已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，,A B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（）（A ）13（B ）12（C ）23（D ）345.【2015高考新课标1，理14】一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为.6.【2016高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆22221()x y a b a b+=＞＞0的右焦点，直线2by =与椭圆交于,B C 两点，且90BFC ∠=o ,则该椭圆的离心率是. 7.【2017课标1，理20】已知椭圆C ：2222=1x y a b +（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，2），P 4（1，2）中恰有三点在椭圆C 上. （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.8.【2017课标II ，理】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP =u u u r u u u r。
解析几何专题(含答案)
解析几何与极坐标和参数方程专题1. 已知命题 p ：方程x 22m+y 29−m=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，命题 q ：双曲线 y 25−x 2m=1 的离心率e ∈(√62,√2)，若命题 p ，q 中有且只有一个为真命题，求实数 m 的取值范围.2. 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 1 的参数方程为 {x =√3cosα,y =sinα,（α 为参数），以坐标原点为极点，以 x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 2 的极坐标方程为 ρsin (θ+π4)=2√2．（1）写出 C 1 的普通方程和 C 2 的直角坐标方程；（2）设点 P 在 C 1 上，点 Q 在 C 2 上，求 ∣PQ ∣ 的最小值及此时 P 的直角坐标．3. 在直角坐标系 xOy 中，直线 C 1:x =−2，圆 C 2:(x −1)2+(y −2)2=1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求 C 1，C 2 的极坐标方程；（2）若直线 C 3 的极坐标方程为 θ=π4(ρ∈R )，设 C 2 与 C 3 的交点为 M ，N ，求 △C 2MN 的面积．4. 已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点是坐标原点，准线方程为 x =−1，直线 l 与抛物线相交于不同的 A ，B 两点．（1）求抛物线的标准方程；（2）如果直线 l 过抛物线的焦点，求 OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值； （3）如果 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−4，直线 l 是否过一定点，若过一定点，求出该定点；若不过一定点，试说明理由．5. 已知抛物线C:y2=2px(p>0)与直线x−√2y+4=0相切．（1）求该抛物线的方程；（2）在x轴正半轴上，是否存在某个确定的点M，过该点的动直线l与抛物线C交于A，B两点，使得1∣AM∣2+1∣BM∣2为定值．如果存在，求出点M坐标；如果不存在，请说明理由．6. 在平面直角坐标系xOy中，动点A的坐标为(2−3sinα,3cosα−2)，其中α∈R．在极坐标系（以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，直线C的方程为ρcos(θ−π4)=a．（1）判断动点A的轨迹的形状；（2）若直线C与动点A的轨迹有且仅有一个公共点，求实数a的值．7. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0) 的离心率为 √63．且过点 (3,−1)．（1）求椭圆 C 的方徎；（2）动点 P 在直线 l ：x =−2√2 上，过 P 作直线交椭圆 C 于 M ，N 两点，使得 PM =PN ，再过 P 作直线 lʹ⊥MN ，直线 lʹ 是否恒过定点，若是，请求出该定点的坐标；若否，请说明理由．8. 在平面直角坐标系 xOy 中，C 1:{x =t,y =k (t −1)（t 为参数）．以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 2:ρ2+10ρcosθ−6ρsinθ+33=0．（1）求 C 1 的普通方程及 C 2 的直角坐标方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若 P ，Q 分别为 C 1，C 2 上的动点，且 ∣PQ ∣ 的最小值为 2，求 k 的值．9. 设 F 1，F 2 分别是椭圆 C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0) 的左，右焦点，M 是 C 上一点且 MF 2 与 x 轴垂直．直线 MF 1 与 C 的另一个交点为 N ． （1）若直线 MN 的斜率为 34，求 C 的离心率；（2）若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2，且 ∣MN∣=5∣∣F 1N∣∣，求 a ，b ．10. 已知抛物线 E:x 2=2py (p >0)，直线 y =kx +2 与 E 交于 A ，B 两点，且 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2，其中 O 为原点．（1）求抛物线 E 的方程；（2）点 C 坐标为 (0,−2)，记直线 CA ，CB 的斜率分别为 k 1，k 2，证明：k 12+k 22−2k 2 为定值．11. 已知椭圆的一个顶点为A(0,−1)，焦点在x轴上．若右焦点到直线x−y+2√2=0的距离为3．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆与直线y=kx+m(k≠0)相交于不同的两点M，N．当∣AM∣=∣AN∣时，求m的取值范围．12. 双曲线C与椭圆x28+y24=1有相同的焦点，直线y=√3x为C的一条渐近线．求双曲线C的方程．13. 已知不过第二象限的直线 l:ax −y −4=0 与圆 x 2+(y −1)2=5 相切． （1）求直线 l 的方程；（2）若直线 l 1 过点 (3,−1) 且与直线 l 平行，直线 l 2 与直线 l 1 关于直线 y =1 对称，求直线 l 2 的方程．14. 在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程 {x =1+cosφ,y =sinφ（φ 为参数）．以 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆 C 的极坐标方程；（2）直线 l 的极坐标方程是 ρ(sinθ+√3cosθ)=3√3，射线 OM ：θ=π3 与圆 C 的交点为 O ，P ，与直线 l 的交点为 Q ，求线段 PQ 的长．15. 双曲线与椭圆有共同的焦点F1(0,−5)，F2(0,5)，点P(3,4)是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求椭圆的方程和双曲线方程．16. 在抛物线y=4x2上有一点P，若点P到直线y=4x−5的距离最短，求该点P坐标和最短距离．17. 已知函数y=a2−x+1（a>0，且a≠1）的图象恒过定点A，点A在直线mx+ny=1(mn>0)上，求1m +1n的最小值．18. 已知直线l:y=x+m与抛物线y2=8x交于A，B两点，（1）若∣AB∣=10，求m的值；（2）若OA⊥OB，求m的值．19. 若椭圆的对称轴在坐标轴上，两焦点与两短轴端点正好是正方形的四个顶点，又焦点到同侧长轴端点的距离为√2−1，求椭圆的方程．20. 讨论直线l:y=kx+1与双曲线C:x2−y2=1的公共点的个数．21. 已知p：方程x2+2mx+(m+2)=0有两个不等的正根；q：方程x2m+3−y22m−1=1表示焦点在y轴上的双曲线．（1）若q为真命题，求实数m的取值范围；（2）若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围．22. 已知双曲线的焦点在x轴上，∣F1F2∣=2√3，渐近线方程为√2x±y=0，问：过点B(1,1)能否作直线l，使l与双曲线交于M，N两点，并且点B为线段MN的中点?若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．23. 已知点 P (2,0) 及圆 C ：x 2+y 2−6x +4y +4=0．（1）设过 P 的直线 l 1 与圆 C 交于 M ，N 两点，当 ∣MN∣=4 时，求以 MN 为直径的圆 Q 的方程； （2）设直线 ax −y +1=0 与圆 C 交于 A ，B 两点，是否存在实数 a ，使得过点 P (2,0) 的直线 l 2 垂直平分弦 AB ?若存在，求出实数 a 的值；若不存在，请说明理由．24. 在直角坐标系 xOy 中，已知直线 l:{x =1+√22ty =2+√22t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C:ρ2(1+sin 2θ)=2．（1）写出直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；（2）设点 M 的直角坐标为 (1,2)，直线 l 与曲线 C 的交点为 A ，B ，求 ∣MA ∣⋅∣MB ∣ 的值．25. 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，离心率为√32，两焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆C于M，N两点，且△F2MN的周长为8．（1）求椭圆C的方程；（2）过点P(m,0)作圆x2+y2=1的切线l交椭圆C于A，B两点，求弦长∣AB∣的最大值．26. 已知数列{a n}的首项为1，S n为数列{a n}的前n项和，S n=qS n−1+1，其中q>0，n>1，n∈N∗．（1）若2a2，a3，a2+2成等差数列，求{a n}的通项公式；（2）设双曲线x2−y2a n2=1的离心率为e n，且e2=3，求e12+e22+⋯+e n2．27. 已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ=2cosθ−4sinθ，以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程为 {x =1+tcosα,y =−1+tsinα（t 为参数）．（1）判断直线 l 与曲线 C 的位置关系，并说明理由；（2）若直线 l 和曲线 C 相交于 A ，B 两点，且 ∣AB ∣=3√2，求直线 l 的斜率．28. 已知椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0) 的离心率 e =√63，坐标原点到直线 l:y =bx +2 的距离为 √2．（1）求椭圆的方程；（2）若直线 y =kx +2(k ≠0) 与椭圆相交于 C ，D 两点，是否存在实数 k ，使得以 CD 为直径的圆过点 E (−1,0)?若存在，求出 k 的值，若不存在，请说明理由．29. 在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点P(−3,0)，其倾斜角为α，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C的极坐标方程为ρ2−2ρcosθ−3=0．（1）若直线l与曲线C有公共点，求倾斜角α的取值范围；（2）设M(x,y)为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．30. 椭圆与双曲线有许多优美的对称性质．对于椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)有如下命题：AB是椭圆x2 a2+y2b2=1(a>b>0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，则k OM⋅k AB=−b2a2为定值．那么对于双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)则有命题：AB是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，则k OM⋅k AB=定值．（在横线上填上正确的结论）并证明你的结论．31. （1）求中心在原点，焦点在x轴上，焦距等于4，且经过点P(3,−2√6)的椭圆方程；（2）求e=√6，并且过点(3,0)的椭圆的标准方程．332. 已知抛物线y2=4x，焦点为F，顶点为O，点P在抛物线上移动，Q是OP的中点，M是FQ的中点，求点M的轨迹方程．33. 已知点A(0,−2)，椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为2√33，O为坐标原点．（1）求E的方程；（2）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．34. P为椭圆x225+y29=1上一点，F1，F2为左右焦点，若∠F1PF2=60∘．（1）求△F1PF2的面积；（2）求P点的坐标．35. 已知双曲线 C:x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的渐近线方程为：y =±√3x ，右顶点为 (1,0)．（1）求双曲线 C 的方程；（2）已知直线 y =x +m 与双曲线 C 交于不同的两点 A ，B ，且线段 AB 的中点为 M (x 0,y 0)．当 x 0≠0 时，求 y0x 0的值．36. 已知双曲线 x 216−y 24=1 的两焦点为 F 1，F 2．（1）若点 M 在双曲线上，且 MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，求 M 点到 x 轴的距离；（2）若双曲线 C 与已知双曲线有相同焦点，且过点 (3√2,2)，求双曲线 C 的方程．37. 椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，且∣PF1∣=43，∣PF2∣=143，PF1⊥PF2．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线L过圆x2+y2+4x−2y=0的圆心M交椭圆于A，B两点，且A，B关于点M对称，求直线L的方程．38. 已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y−29=0相切．（1）求圆的方程；（2）设直线ax−y+5=0(a>0)与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；（3）在(Ⅱ)的条件下，是否存在实数a，使得弦AB的垂直平分线l过点P(−2,4)，若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．39. 已知直线 C 1:{x =1+tcosα,y =tsinα(t 为参数)，圆 C 2:{x =cosθ,y =sinθ(θ 为参数)．（1）当 α=π3 时，求 C 1 与 C 2 的交点坐标；（2）过坐标原点 O 作 C 1 的垂线，垂足为 A ，P 为 OA 的中点，当 α 变化时，求点 P 轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．40. 已知圆 C 和 y 轴相切，圆心在直线 x −3y =0 上，且被直线 y =x 截得的弦长为 2√7，求圆 C 的方程．41. 如图，直线 l:y =x +b 与抛物线 C:x 2=4y 相切于点 A ． （1）求实数 b 的值；（2）求以 A 点为圆心，且与抛物线 C 的准线相切的圆的方程．42. 在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 (x +6)2+y 2=25．（1）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆 C 的极坐标方程；（2）直线 l 的参数方程是 {x =tcosα,y =tsinα,（t 为参数），直线 l 与圆 C 交于 A ，B 两点，∣AB∣=√10，求 l 的斜率．43. 已知双曲线与椭圆x29+y225=1有公共焦点F1，F2，它们的离心率之和为245．（1）求双曲线的标准方程；（2）设P是双曲线与椭圆的一个交点，求cos∠F1PF2．44. 抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为(32,√6)，求抛物线与双曲线方程．45. 已知曲线 C 上任一点 P 到点 F (1,0) 的距离比它到直线 l ：x =−2 的距离少 1． （1）求曲线 C 的方程；（2）过点 Q (1,2) 作两条倾斜角互补的直线与曲线 C 分别交于点 A ，B ，试问：直线 AB 的斜率是否为定值，请说明理由．46. 在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为 {x =2cosφ,y =2sinφ（φ 为参数），直线 l 过点 (0,2) 且倾斜角为 π3．（1）求圆 C 的普通方程及直线 l 的参数方程；（2）设直线 l 与圆 C 交于 A ，B 两点，求弦 ∣AB ∣ 的长．47. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个长轴顶点为A(2,0)，离心率为√22，直线y=k(x−1)与椭圆C交于不同的两点M，N．（1）求椭圆C的方程；（2）当△AMN的面积为√103时，求k的值．48. 已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，A点在椭圆上，离心率是√22，AF2与x轴垂直，且∣AF2∣=√2．（1）求椭圆的方程；（2）若点A在第一象限，过点A作直线l，与椭圆交于另一点B，求△AOB面积的最大值．49. 已知点 (1,√22) 在椭圆 C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0) 上，椭圆离心率为 √22．（1）求椭圆 C 的方程；（2）过椭圆 C 右焦点 F 的直线 l 与椭圆交于两点 A ，B ，在 x 轴上是否存在点 M ，使得 MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值?若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．答案1. 若命题 p ：方程 x 22m +y 29−m =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆为真命题； 则 9−m >2m >0， 解得 0<m <3，则命题 p 为假命题时，m ≤0 或 m ≥3，若命题 q ：双曲线 y 25−x 2m =1 的离心率 e ∈(√62,√2) 为真命题； 则 √5+m 5∈(√62,√2)，即5+m 5∈(32,2)，即 52<m <5，则命题 q 为假命题时，m ≤52 或 m ≥5，因为命题 p ，q 中有且只有一个为真命题， 当 p 真 q 假时，0<m ≤52， 当 p 假 q 真时，3≤m <5，综上所述，实数 m 的取值范围是：0<m ≤52 或 3≤m <5．2. （1） C 1:{x =√3cosα,y =sinα（α 为参数）的直角坐标方程是：x 23+y 2=1，C 2 的直角坐标方程：ρsin (θ+π4)=2√2， 整理得，√22ρsinθ+√22ρcosθ=2√2，x +y =4．（2） 设 x +y =4 的平行线为 l 1:x +y +c =0， 当 l 1:x +y +c =0 且 c <0 和 C 1 相切时 ∣PQ ∣ 距离最小， 联立直线和椭圆方程得 x 23+(x +c )2−1=0，整理得4x 23+2cx +c 2−1=0，需要满足 Δ=−4c 23+163=0，求得 c =±2，当直线为 l 1:x +y −2=0 时，满足题意，来自QQ 群339444963 此时 ∣PQ ∣=√2，此时直线 l 1 和椭圆交点即是 P 点坐标 (32,12)．3. （1） C 1:ρcosθ=−2，C 2:ρ2−2ρcosθ−4ρsinθ+4=0． （2） C 3:y =x ，圆 C 2 的圆心 C 2 到 y =x 的距离 d =√2=√22， ∴∣MN∣=2⋅√12−(√22)2=√2，∴S △C 2MN =12⋅∣MN∣⋅d =12⋅√2⋅√22=12．4. （1） 已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点是坐标原点，准线方程为 x =−1， 所以 p 2=1，p =2．所以抛物线的标准方程为 y 2=4x ．（2） 设 l:my =x −1，与 y 2=4x 联立，得 y 2−4my −4=0， 设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)， 所以 y 1+y 2=4m ，y 1y 2=−4， 所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=(m 2+1)y 1y 2+m (y 1+y 2)+1=−3.（3） 假设直线 l 过定点，设 l:my =x +n ，{my =x +n,y 2=4x, 得 y 2−4my +4n =0，设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)， 所以 y 1+y 2=4m ，y 1y 2=4n ． 由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−4=(m 2+1)y 1y 2−mn (y 1+y 2)+n 2=n 2+4n,解得 n =−2，所以 l:my =x −2 过定点 (2,0)． 5. （1） 联立方程有，{x −√2y +4=0,y 2=2px,有 y 2−2√2py +8p =0，由于直线与抛物线相切，得 Δ=8p 2−32p =0，所以 p =4， 所以 y 2=8x ．（2） 假设存在满足条件的点 M (m,0)(m >0)，直线 l:x =ty +m ，有 {x =ty +m,y 2=8x, y 2−8ty −8m =0，设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，有 Δ>0，y 1+y 2=8t ，y 1y 2=−8m ，∣AM ∣2=(x 1−m )2+y 12=(t 2+1)y 12，∣BM ∣2=(x 2−m )2+y 22=(t 2+1)y 22，1∣AM∣2+1∣BM∣2=1(t 2+1)y 12+1(t 2+1)y 22=1(t 2+1)(y 12+y 22y 12y 22)=1(t 2+1)(4t 2+m4m 2),当 m =4，满足 Δ>0 时，1∣AM∣2+1∣BM∣2 为定值， 所以 M (4,0)．6. （1） 设动点 A 的直角坐标为 (x,y )，则 {x =2−3sinα,y =3cosα−2,所以动点 A 的轨迹方程为 (x −2)2+(y +2)2=9，其轨迹是半径为 3 的圆．（2） 直线 C 的极坐标方程 ρcos (θ−π4)=a 化为直角坐标方程是 √2x +√2y =2a ，由 ∣∣2√2−2√2−2a ∣∣2=3，得 a =3 或 a =−3．7. （1） 因为椭圆 C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 的离心率为 √63．且过点 (3,−1)，所以 {9a 2+1b 2=1,c 2a 2=a 2−b 2a 2=(√63)2,解得 a 2=12，b 2=4， 所以椭圆 C 的方程为x 212+y 24=1．（2） 因为直线 l 的方程为 x =−2√2， 设 P(−2√2,y 0)，y 0∈(−2√33,2√33)， 当 y 0≠0 时，设 M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)，由题意知 x 1≠x 2，联立 {x 1212+y 124=1,x 2212+y 224=1,所以 x 12−x 2212+y 12−y 224=0， 所以y 1−y 2x 1−x 2=13⋅x 1+x 2y 1+y 2，又因为 PM =PN ， 所以 P 为线段 MN 的中点， 所以直线 MN 的斜率为 −13⋅−2√2y 0=2√23y 0， 又 lʹ⊥MN ，所以 lʹ 的方程为 y −y 0=02√2+2√2)，即 y =02√2+4√23)， 所以 lʹ 恒过定点 (−4√23,0)． 当 y 0=0 时，直线 MN 为 x =−2√2， 此时 lʹ 为 x 轴，也过点 (−4√23,0)， 综上，lʹ 恒过定点 (−4√23,0)．8. （1） 由 {x =t,y =k (t −1),可得其普通方程为 y =k (x −1)， 它表示过定点 (1,0)，斜率为 k 的直线．由 ρ2+10ρcosθ−6ρsinθ+33=0 可得其直角坐标方程为 x 2+y 2+10x −6y +33=0， 整理得 (x +5)2+(y −3)2=1，它表示圆心为 (−5,3)，半径为 1 的圆． （2） 因为圆心 (−5,3) 到直线 y =k (x −1) 的距离 d =√1+k 2=√1+k 2，故 ∣PQ ∣ 的最小值为 √1+k 2−1，故√1+k 21=2，得 3k 2+4k =0， 解得 k =0 或 k =−43．9. （1） 根据 c =√a 2−b 2 及题设知 M (c,b 2a )，F 2(−c,0)，由斜率公式并化简整理易得 2b 2=3ac ． 将 b 2=a 2−c 2 代入 2b 2=3ac ，解得 ca =12 或 ca =−2（舍去）． 故 C 的离心率为 12．（2） 由题意，得原点 O 为 F 1F 2 的中点，MF 2∥y 轴，所以直线 MF 1 与 y 轴的交点 D (0,2) 是线段 MF 1 的中点，故 b 2a =4，即b 2=4a. ⋯⋯① 由 ∣MN∣=5∣∣F 1N∣∣ 得 ∣DF 1∣=2∣∣F 1N∣∣． 设 N (x 1,y 1)，由题意知 y 1<0， 则 {2(−c −x 1)=c,−2y 1=2, 即 {x 1=−32c,y 1=−1.代入 C 的方程，得 9c 24a 2+1b 2=1. ⋯⋯② 将 ① 及c =√a 2−b 2 代入 ② 得 9(a 2−4a )4a 2+14a =1．解得 a =7，b 2=4a =28，故 a =7，b =2√7．10. （1） 将 y =kx +2 代入 x 2=2py ，得 x 2−2pkx −4p =0． 其中 Δ>0，设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则 x 1+x 2=2pk ，x 1x 2=−4p ．所以 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+x 122p ⋅x 222p =−4p +4．由已知，−4p +4=2，解得 p =12，所以抛物线 E 的方程为 x 2=y ．（2） 由（1）知，x 1+x 2=k ，x 1x 2=−2． k 1=y 1+2x 1=x 12+2x 1=x 12−x 1x 2x 1=x 1−x 2，同理 k 2=x 2−x 1，k =y 1−y2x 1−x 2=x 12−x 22x 1−x 2=x 1+x 2，所以 k 12+k 22−2k 2=−8x 1x 2=16.11. （1） 依题意可设椭圆方程为 x 2a 2+y 2=1，则右焦点 F(√a 2−1,0)，由题设∣∣√a 2−1+2√2∣∣√2=3，解得 a 2=3，故所求椭圆的方程为 x 23+y 2=1．（2） 设 P 为弦 MN 的中点，由 {y =kx +m,x 23+y 2=1,得 (3k 2+1)x 2+6mkx +3(m 2−1)=0， 由于直线与椭圆有两个交点，所以 Δ>0，即 m 2<3k 2+1, ⋯⋯① 所以 x P =x M +x N2=−3mk 3k 2+1， 从而 y P =kx P +m =m3k 2+1， 所以 k AP =y P +1x P=−m+3k 2+13mk，又 ∣AM∣=∣AN∣， 所以 AP ⊥MN ， 则 −m+3k 2+13mk=−1k ，即 2m =3k 2+1, ⋯⋯②把 ② 代入 ① 得 2m >m 2 解得 0<m <2， 由 ② 得 k 2=2m−13>0，解得 m >12．故所求 m 的取值范围是 (12,2)．12. 设双曲线方程为x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，由椭圆x 28+y 24=1，求得两焦点为 (−2,0)，(2,0)，所以对于双曲线 C ：c =2．又 y =√3x 为双曲线 C 的一条渐近线， 所以 ba =√3，解得 a =1，b =√3． 所以双曲线 C 的方程为 x 2−y 23=1．13. （1） 因为直线 l 与圆 x 2+(y −1)2=5 √1+a 2=√5，因为直线 l 不过第二象限，所以 a =2， 所以直线 l 的方程为 2x −y −4=0．（2） 因为直线 l 1 过点 (3,−1) 且与直线 l 平行，所以设直线 l 1 的方程为 2x −y +b =0，因为直线 l 1 过点 (3,−1)，所以 b =−7，则直线 l 1 的方程为 2x −y −7=0， 因为直线 l 2 与 l 1 关于 y =1 对称，所以直线 l 2 的斜率为 −2，且过点 (4,1)， 所以直线 l 2 的方程为 y −1=−2(x −4)，即化简得 2x +y −9=0． 14. （1） 圆 C 的参数方程 {x =1+cosφ,y =sinφ（φ 为参数）．消去参数可得：(x −1)2+y 2=1．把 x =ρcosθ，y =ρsinθ 代入化简得：ρ=2cosθ，即为此圆的极坐标方程． （2） 如图所示，由直线 l 的极坐标方程是 ρ(sinθ+√3cosθ)=3√3，射线 OM ：θ=π3．可得普通方程：直线 l ：y +√3x =3√3，射线 OM ：y =√3x ． 联立 {y +√3x =3√3,y =√3x,解得 {x =32,y =3√32,即 Q (32,3√32)． 联立 {y =√3x,(x −1)2+y 2=1,解得 {x =0,y =0 或 {x =12,y =√32. 所以 P (12,√32)．来自QQ 群339444963所以 ∣PQ∣∣=√(12−32)2+(√32−3√32)2=2．15. 由共同的焦点 F 1(0,−5)，F 2(0,5)， 可设椭圆方程为y 2a2+x 2a 2−25=1，双曲线方程为 y 2b 2−x 225−b 2=1，点 P (3,4) 在椭圆上，16a 2+9a 2−25=1，解得 a 2=40，双曲线的过点 P (3,4) 的渐近线为 y =43x ，故b 225−b 2=169，解得 b 2=16．所以椭圆方程为：y 240+x 215=1； 双曲线方程为：y 216−x 29=1．16. 设点 P (t,4t 2)，点 P 到直线 y =4x −5 的距离为 d ，则 d =2√17=4(t−12)2+4√17．当 t =12时，d 取得最小值，此时 P (12,1) 为所求的点，最短距离为 4√1717． 17. 当 x =2 时 y =2， 所以过定点 A (2,2)， 因为 A 在直线上，所以 2m +2n =1，且 mn >0， 所以 1m +1n =(1m +1n )(2m +2n )=2+2+2m n+2n m≥4+2√4=8，即 1m +1n 的最小值为 8．18. （1） 设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)． {y =x +m,y 2=8x⇒x 2+(2m −8)x +m 2=0⇒{Δ=(2m −8)2−4m 2>0,x 1+x 2=8−2m,x 1x 2=m 2.∣AB ∣=√2∣x 1−x 2∣=√2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=10,m =716， 因为 m <2， 所以 m =716．（2） 因为 OA ⊥OB ， 所以 x 1x 2+y 1y 2=0，x 1x 2+(x 1+m )(x 2+m )=0，2x 1x 2+m (x 1+x 2)+m 2=0． 2m 2+m (8−2m )+m 2=0，m 2+8m =0，m =0 或 m =−8， 经检验 m =−8．19. 因为椭圆的对称轴在坐标轴上，两焦点与两短轴的端点恰好是正方形的四个顶点， 所以 b =c ，a =√2b ，又焦点到同侧长轴端点距离为 √2−1，即 a −c =√2−1，即 a −b =√2−1，解得 a =√2，b =c =1， 所以当焦点在 x 轴时，椭圆的方程为：x 22+y 2=1； 当焦点在 y 轴时，椭圆的方程为y 22+x 2=1．20. 由方程组 {y =kx +1,x 2−y 2=1 消去 y ，得 (1−k 2)x 2−2kx −2=0，当 1−k 2=0，即 k =±1 时，有一个交点． 当 1−k 2≠0，即 k ≠±1 时，Δ=(−2k )2+4×2(1−k 2)=8−4k 2．由 Δ>0，即 8−4k 2>0，得 −√2<k <√2，此时有两个交点． 由 Δ=0，即 8−4k 2=0，得 k =±√2，此时有一个交点． 由 Δ<0，即 8−4k 2<0，得 k <−√2 或 k >√2，此时没有交点．综上知，当 k ∈(−√2,−1)∪(−1,1)∪(1,√2) 时，直线 l 与曲线 C 有两个交点； 当 k =±√2 时，直线 l 与曲线 C 切于一点； 当 k =±1 时，直线 l 与曲线 C 交于一点；当 k ∈(−∞,−√2)∪(√2,+∞) 时，直线 l 与曲线 C 没有交点．21. （1） 由已知方程 x 2m+3−y 22m−1=1 表示焦点在 y 轴上的双曲线，则 {m +3<0,1−2m >0,得 {m <−3,m <12,得 m <−3，即 q ：m <−3． （2） 若方程 x 2+2mx +(m +2)=0 有两个不等的正根，则 {Δ=4m 2−4(m +2)>0,−2m >0,m +2>0,解得 −2<m <−1，即 p ：−2<m <−1． 因 p 或 q 为真，所以 p ，q 至少有一个为真． 又 p 且 q 为假，所以 p ，q 至少有一个为假．因此，p ，q 两命题应一真一假，当 p 为真，q 为假时，{−2<m <−1,m ≥−3,解得 −2<m <−1；当 p 为假，q 为真时，{m ≤−2或m ≥−1,m <−3,解得 m <−3．综上，−2<m <−1 或 m <−3． 22. 根据题意，c =√3，ba =√2， 所以 a =1，b =√2．所以双曲线的方程是：x 2−y 22=1．过点 B (1,1) 的直线方程为 y =k (x −1)+1 或 x =1．①当 k 存在时，联立方程可得 (2−k 2)x 2+(2k 2−2k )x −k 2+2k −3=0．当直线与双曲线相交于两个不同点，可得 Δ=(2k 2−2k )2−4(2−k 2)(−k 2+2k −3)>0，k <32，又方程的两个不同的根是两交点 M ，N 的横坐标， 所以 x 1+x 2=2(k−k 2)2−k 2．又因为 B (1,1) 是线段 MN 的中点， 所以2(k−k 2)2−k 2=2，解得 k =2．所以 k =2，使 2−k 2≠0 但使 Δ<0．因此当 k =2 时，方程 (2−k 2)x 2+(2k 2−2k )x −k 2+2k −3=0 无实数解，故过点 B (1,1) 与双曲线交于两点 M ，N 且 B 为线段 MN 中点的直线不存在． ②当 x =1 时，直线经过点 B 但不满足条件． 综上所述，符合条件的直线 l 不存在．23. （1） 由于圆 C ：x 2+y 2−6x +4y +4=0 的圆心 C (3,−2)，半径为 3，∣CP∣=√5，而弦心距 d =√5，所以 d =∣CP∣=√5， 所以 P 为 MN 的中点，所以所求圆的圆心坐标为 (2,0)，半径为 12∣MN∣=2，故以 MN 为直径的圆 Q 的方程为 (x −2)2+y 2=4；（2） 把直线 ax −y +1=0 即 y =ax +1 代入圆 C 的方程，消去 y ，整理得 (a 2+1)x 2+6(a −1)x +9=0．由于直线 ax −y +1=0 交圆 C 于 A ，B 两点，故 Δ=36(a −1)2−36(a 2+1)>0，即 −2a >0，解得 a <0．则实数 a 的取值范围是 (−∞,0)．设符合条件的实数 a 存在，由于 l 2 垂直平分弦 AB ，故圆心 C (3,−2) 必在 l 2 上． 所以 l 2 的斜率 k PC =−2， 所以 k AB =a =12， 由于 12∉(−∞,0)，故不存在实数 a ，使得过点 P (2,0) 的直线 l 2 垂直平分弦 AB ．24. （1） 直线 l:{x =1+√22ty =2+√22t(t 为参数)，消去参数 t 可得普通方程 l:x −y +1=0．曲线 C:ρ2(1+sin 2θ)=2，可得 ρ2+(ρsinθ)2=2， 可得直角坐标方程：x 2+y 2+y 2=2， 即 C:x 22+y 2=1．（2） 把 l:{x =1+√22t y =2+√22t 代入 x 22+y 2=1 中，整理得 3t 2+10√2t +14=0， 设 A ，B 对应的参数分别为 t 1，t 2， 所以 t 1⋅t 2=143，点 M 在直线上由 t 的几何意义可知，∣MA ∣∣MB ∣=∣t 1⋅t 2∣=143．25. （1） 由题得：ca =√32，4a =8，所以 a =2，c =√3． 又 b 2=a 2−c 2，所以 b =1，即椭圆 C 的方程为 x 24+y 2=1．（2） 由题意知，∣m∣≥1．当 m =1 时，切线 l 的方程 x =1，点 A ，B 的坐标分别为 (1,√32)，(1,−√32)，此时 ∣AB∣=√3；当 m =−1 时，同理可得 ∣AB∣=√3．当 ∣m∣>1 时，设切线 l 的方程为 y =k (x −m )(k ≠0)， 由 l 与圆 x 2+y 2=1√k 2+1=1，即 m 2k 2=k 2+1．得 k 2=1m 2−1．由 {y =k (x −m ),x 24+y 2=1得 (1+4k 2)x 2−8k 2mx +4k 2m 2−4=0． 设 A ，B 两点的坐标分别为 (x 1,y 1)，(x 2,y 2)，则 Δ=64k 4m 2−4(1+4k 2)(4k 2m 2−4)=48k 2>0，x 1+x 2=8k 2m1+4k 2，x 1x 2=4k 2m 2−41+4k 2．所以∣AB∣=√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)2=√(1+k 2)[64k 4m 2(1+4k 2)2−4(4k 2m 2−4)1+4k 2]=4√3∣m∣m 2+3.因为 ∣m∣≥1， 所以 ∣AB∣=4√3∣m∣m 2+3=4√3∣m∣+3∣m∣≤2，且当 m =±√3 时，∣AB∣=2，由于当 m =±1 时，∣AB∣=√3，所以 ∣AB∣ 的最大值为 2．26. （1）当n≥2时，S n+1=qS n+1, ⋯⋯①S n=qS n−1+1, ⋯⋯②①−②得a n+1=q⋅a n，即从第二项开始，数列{a n}为等比数列，公比为q，当n=2时，S2=qS1+1，即a1+a2=qa1+1，可得a2=a1q，所以数列{a n}是以1为首项，q为公比的等比数列，所以a2=a1q=q，a3=a1q2=q2，因为2a2，a3，a2+2成等差数列，所以2a3=2a2+a2+2，即2q2=2q+q+2，解得q=2，所以数列{a n}是以1为首项，2为公比的等比数列，所以a n=2n−1；（2）由（1）可得数列{a n}是以1为首项，q为公比的等比数列，所以a n=q n−1>0，根据题意，e n2=1+a n2，因为e2=3，所以1+a22=9，解得a2=2√2，所以q=a2a1=2√2，所以a n=(2√2)n−1，所以e n2=1+a n2=1+8n−1，所以e12+e22+⋯+e n2=n+(1+8+82+⋯+8n−1)=n+8n−17．27. （1）因为曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ−4sinθ，所以ρ2=2ρcosθ−4ρsinθ，所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2x−4y，即(x−1)2+(y+2)2=5，因为直线l过点(1,−1)，且该点到圆心的距离为√(1−1)2+(−1+2)2<√5，所以直线l与曲线C相交．（2）当直线l的斜率不存在时，直线l过圆心，∣AB∣=2√5≠3√2，因此直线l必有斜率，设其方程为y+1=k(x−1)，即kx−y−k−1=0，圆心到直线l的距离d=√k2+1=√(√5)2−(3√22)2，解得k=±1，所以直线l的斜率为±1．28. （1）直线l:y=bx+2，坐标原点到直线l的距离为√2，√b2+1=√2，所以 b =1， 因为椭圆的离心率 e =√63， 所以a 2−1a 2=(√63)2，所以 a 2=3， 所以所求椭圆的方程是x 23+y 2=1．（2） 直线 y =kx +2 代入椭圆方程，消去 y 可得：(1+3k 2)x 2+12kx +9=0， 所以 Δ=36k 2−36>0， 所以 k >1 或 k <−1，设 C (x 1,y 1)，D (x 2,y 2)，则有 x 1+x 2=−12k 1+3k2，x 1x 2=91+3k 2，因为 EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+1,y 1)，ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2+1,y 2)，且以 CD 为直径的圆过点 E ， 所以 EC ⊥ED ，所以 (x 1+1)(x 2+1)+y 1y 2=0，所以 (1+k 2)x 1x 2+(2k +1)(x 1+x 2)+5=0， 所以 (1+k 2)×91+3k 2+(2k +1)×(−12k1+3k 2)+5=0， 解得 k =76>1，所以当 k =76 时，以 CD 为直径的圆过定点 E ．29. （1） 将曲线 C 的极坐标方程 ρ2−2ρcosθ−3=0 化为直角坐标方程为 x 2+y 2−2x −3=0， 直线 l 的参数方程为 {x =−3+tcosα,y =tsinα（t 为参数），将参数方程代入 x 2+y 2−2x −3=0，整理得 t 2−8tcosα+12=0， 因为直线 l 与曲线 C 有公共点，所以 Δ=64cos 2α−48≥0， 所以 cosα≥√32 或 cosα≤−√32， 因为 α∈[0,π)，所以 α 的取值范围是 [0,π6]∪[5π6,π)．（2） 曲线 C 的方程 x 2+y 2−2x −3=0 可化为 (x −1)2+y 2=4，其参数方程为 {x =1+2cosθ,y =2sinθ（θ 为参数）， 因为 M (x,y ) 为曲线上任意一点，所以 x +y =1+2cosθ+2sinθ=1+2√2sin (θ+π4)，所以 x +y 的取值范围是 [1−2√2,1+2√2]． 30. b 2a 2证明：设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，M (x 0,y 0)， 则有 {x 0=x 1+x 22,y 0=y 1+y 22.x 12a 2−y 12b 2=1，x 22a 2−y 22b 2=1， 两式相减得 x 12−x 22a 2=y 12−y 22b 2，即(x 1−x 2)(x 1+x 2)a 2=(y 1−y 2)(y 1+y 2)b 2，(y 1−y 2)(y 1+y 2)(x 1−x 2)(x 1+x 2)=b 2a 2 即 k OM ⋅k AB =b 2a 2．31. （1） 设椭圆的方程为 x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)． 因为椭圆的焦距等于 4，且经过点 P(3,−2√6)， {2c =2√a 2−b 2=4,32a2+(−2√6)2b2=1,解得 {a 2=36,b 2=32.所以所求的椭圆方程为 x 236+y 232=1． （2） ①当椭圆的焦点在 x 轴上时， 因为 a =3，e =c a=√63， 所以 c =√6，可得 b 2=a 2−c 2=3．此时椭圆的标准方程为 x 29+y 23=1；②当椭圆的焦点在 y 轴上时， 因为 b =3，e =ca =√63， 所以√a 2−b 2a=√63，解得 a 2=27．此时椭圆的标准方程为y 227+x 29=1．综上所述，所求椭圆的标准方程为 x 29+y 23=1 或 y 227+x 29=1．32. 设 M (x,y )，P (x 1,y 1)，Q (x 2,y 2)，易求 y 2=4x 的焦点 F 的坐标为 (1,0)，因为 M 是 FQ 的中点，所以 {x =1+x22,y =y 22⇒{x 2=2x −1,y 2=2y, 又 Q 是 OP 的中点，所以 {x 2=x12,y 2=y 12⇒{x 1=2x 2=4x −2,y 1=2y 2=4y,因为 P 在抛物线 y 2=4x 上，所以 (4y )2=4(4x −2)， 所以 M 点的轨迹方程为 y 2=x −12．33. （1） 设 F (c,0)，由条件知 2c=2√33，得 c =√3．又 ca=√32， 所以 a =2，b 2=a 2−c 2=1，故 E 的方程为 x 24+y 2=1．（2） 依题意当 l ⊥x 轴不合题意，故设直线 l ：y =kx −2，设 P (x 1,y 1)，Q (x 2,y 2)，将 y =kx −2 代入x 24+y 2=1，得 (1+4k 2)x 2−16kx +12=0，当 Δ=16(4k 2−3)>0，即 k 2>34时，x 1,2=8k±2√4k 2−31+4k 2．从而 ∣PQ∣∣=√k 2+1∣∣x 1−x 2∣=4√k 2+1⋅√4k 2−31+4k 2，又点 O 到直线 PQ 的距离 d =√k 2+1，所以 △OPQ 的面积 S △OPQ =12d∣∣PQ∣∣=4√4k 2−31+4k 2，设 √4k 2−3=t ，则 t >0，S △OPQ =4t t 2+4=4t+4t≤1，当且仅当 t =2，k =±√72等号成立，且满足 Δ>0，所以当 △OPQ 的面积最大时，l 的方程为：y =√72x −2 或 y =−√72x −2．34. （1） 因为 a =5，b =3， 所以 c =4，设 ∣PF 1∣=t 1，∣PF 2∣=t 2， 则 t 1+t 2=10， ⋯⋯①t 12+t 22−2t 1t 2⋅cos60∘=82， ⋯⋯②由 ①2−② 得 t 1t 2=12，所以 S △F 1PF 2=12t 1t 2⋅sin60∘=12×12×√32=3√3．（2） 设 P (x,y )，由 S △F 1PF 2=12⋅2c ⋅∣y ∣=4⋅∣y ∣ 得 4∣y ∣=3√3， 所以 ∣y ∣=3√34⇒y =±3√34, 将 y =±3√34代入椭圆方程解得 x =±5√134， 所以 P (5√134,3√34) 或 P (5√134,−3√34) 或 P (−5√134,3√34) 或 P (−5√134,−3√34)． 35. （1） 双曲线 C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的渐近线方程为：y =±ba x ， 则由题意得，ba =√3，a =1，解得b =√3， 则双曲线的方程为：x 2−y 23=1；（2） 联立直线方程和双曲线方程，得到， {y =x +m,x 2−y 23=1,消去 y ，得 2x 2−2mx −m 2−3=0， 设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则判别式 Δ=4m 2+8(m 2+3)>0，x 1+x 2=m ， 中点 M 的 x 0=m 2，y 0=x 0+m =32m ， 则有 y0x 0=3．来自QQ 群33944496336. （1）如图所示，不妨设 M 在双曲线的右支上，M 点到 x 轴的距离为 ℎ， MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则 MF 1⊥MF 2， 设 ∣MF 1∣=m ，∣MF 2∣=n ，由双曲线定义知，m −n =2a =8, ⋯⋯① 又 m 2+n 2=(2c )2=80, ⋯⋯② 由 ①② 得 m ⋅n =8， ∴12mn =12∣F 1F 2∣⋅ℎ， ∴ℎ=2√55．来自QQ 群339444963（2） 设所求双曲线 C 的方程为 x 216−λ−y 24+λ=1(−4<λ<16)，由于双曲线 C 过点 (3√2,2)，所以 1816−λ−44+λ=1，解得 λ=4 或 λ=−14（舍去）． ∴ 所求双曲线 C 的方程为 x 212−y 28=1．37. （1） ∵ 点 P 在椭圆 C 上， ∴2a =∣PF 1∣+∣PF 2∣=6，a =3．在 Rt △PF 1F 2 中，2c =∣F 1F 2∣=√∣PF 2∣2+∣PF 1∣2=√(143)2+(43)2=2√533；故椭圆的半焦距 c =√533，从而 b 2=a 2−c 2=289，∴ 椭圆 C 的方程为 x 29+y 2289=1．（2） 已知圆的方程为 (x +2)2+(y −1)2=5，∴ 圆心 M 的坐标为 (−2,1)． 设 A ，B 的坐标分别为 (x 1,y 1)，(x 2,y 2)． 由题意 x 1≠x 2 且 x 129+y 12289=1, ⋯⋯①x 229+y 22289=1. ⋯⋯②由②−①得(x1−x2)(x1+x2)9+(y1−y2)(y1+y2)289=0. ⋯⋯③又A，B关于点M对称，∴x1+x2=−4，y1+y2=2，代入③得y1−y2x1−x2=5681，即直线L的斜率为5681，∴直线L的方程为y−1=5681(x+2)，即56x−81y+193=0．故所求的直线方程为56x−81y+193=0．来自QQ群33944496338. （1）设圆心为M(m,0)(m∈Z)．由于圆与直线4x+3y−29=0相切，且半径为5，所以∣4m−29∣5=5，即∣4m−29∣=25．因为m为整数，故m=1．故所求圆的方程为(x−1)2+y2=25．（2）把直线ax−y+5=0，即y=ax+5，代入圆的方程，消去y，整理，得(a2+1)x2+2(5a−1)x+1=0，由于直线ax−y+5=0交圆于A，B两点，故Δ=4(5a−1)2−4(a2+1)>0，即12a2−5a>0，由于a>0，解得a>512，所以实数a的取值范围是(512,+∞)．（3）设符合条件的实数a存在，则直线l的斜率为−1a ，l的方程为y=−1a(x+2)+4，即x+ay+2−4a=0，由于l垂直平分弦AB，故圆心M(1,0)必在l上，所以1+0+2−4a=0，解得a=34．由于34∈(512,+∞)，故存在实数a=34．使得过点P(−2,4)的直线l垂直平分弦AB．来自QQ群339444963 39. （1）当α=π3时，C1的普通方程为y=√3(x−1),C2的普通方程为x2+y2=1.联立方程组{x2+y2=1, y=√3(x−1),解得C1与C2的交点为(1,0) 和 (12,−√32).（2） C 1 的普通方程为xsinα−ycosα−sinα=0,A 点坐标为 (sin 2α,−cosαsinα)，故当 α 变化时，P 点轨迹的参数方程为{x =12sin 2α,y =−12sinαcosα,(α为参数). P 点轨迹的普通方程为(x −14)2+y 2=116.故 P 点轨迹是圆心为 (14,0)，半径为 14 的圆． 40. 设圆心为 (3t,t )，半径为 r =∣3t∣， 则圆心到直线 y =x 的距离 d =√2=∣∣√2t ∣∣，由勾股定理及垂径定理得：(2√72)2=r 2−d 2，即 9t 2−2t 2=7，解得：t =±1，所以圆心坐标为 (3,1)，半径为 3；或圆心坐标为 (−3,−1)，半径为 3， 则圆 C 的方程为 (x −3)2+(y −1)2=9 或 (x +3)2+(y +1)2=9． 41. （1） 由 {y =x +b,x 2=4y得 x 2−4x −4b =0, ⋯⋯①因为直线 l 与抛物线 C 相切，所以 Δ=(−4)2−4×(−4b )=0， 解得 b =−1．（2） 由（1）知 b =−1，故方程 ① 即为 x 2−4x +4=0，解得 x =2，代入 x 2=4y ，得 y =1． 故点 A (2,1)，因为圆 A 与抛物线 C 的准线相切，所以圆 A 的半径 r 等于圆心 A 到抛物线的准线 y =−1 的距离，即 r =∣1−(−1)∣=2， 所以圆 A 的方程为 (x −2)2+(y −1)2=4．42. （1） 由 {x =ρcosθ,y =ρsinθ, 可得，(ρcosθ+6)2+ρ2sin 2θ=25，整理得 ρ2+12ρcosθ+11=0 即为所求．（2） 令直线 l 的斜率为 k ，可得直线的直角坐标方程为 kx −y =0． 圆的半径为 r =5，圆心到直线的距离 d =√k 2+1，又因为 ∣AB∣=√10，所以可得∣AB∣24+d 2=r 2，即 52+36k 2k 2+1=25，解得 k =±√153． 43. （1） 椭圆 x 29+y 225=1 的焦点为 (0,±4)，离心率为 e =45． 因为双曲线与椭圆的离心率之和为 245， 所以双曲线的离心率为 2， 所以 ca =2．因为双曲线与椭圆 x 29+y 225=1 有公共焦点 F 1，F 2，所以 c =4，所以 a =2，b =√12，所以双曲线的方程是 y 24−x 212=1．（2） 由题意，∣PF 1∣+∣PF 2∣=10，∣PF 1∣−∣PF 2∣=4， 所以 ∣PF 1∣=7，∣PF 2∣=3， 因为 ∣F 1F 2∣=8， 所以 cos∠F 1PF 2=72+32−822⋅7⋅3=−17．44. 由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点， 所以 p =2c ．设抛物线方程为 y 2=4c ⋅x ， 因为抛物线过点 (32,√6)， 所以 6=4c ⋅32，所以 c =1，故抛物线方程为 y 2=4x ． 又双曲线 x 2a2−y 2b 2=1 过点 (32,√6)，所以94a2−6b 2=1．又 a 2+b 2=c 2=1， 所以94a2−61−a 2=1．所以 a 2=14 或 a 2=9（舍）． 所以 b 2=34， 故双曲线方程为 4x 2−4y 23=1．45. （1） 因为 P 到点 F (1,0) 的距离比它到直线 l ：x =−2 的距离少 1， 所以 P 到点 F (1,0) 的距离与它到直线 l ：x =−1 的距离相等，所以由抛物线定义可知点 P 的轨迹是以 F 为焦点、以直线 l ：x =−1 为准线的抛物线，设抛物线方程为 y 2=2px (p >0) ， 所以 P =2，所以曲线 C 的方程为 y 2=4x ．（2） 直线 AB 的斜率为定值 −1，理由如下：设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则 y 12=4x 1，y 22=4x 2，因为直线 AQ ，BQ 倾斜角互补， 所以 k AQ +k BQ =0，即 y 1−2x 1−1+y 2−2x 2−1=0，4y1+2+4y 2+2=0，所以 y 1+y 2=−4， 所以 k AB =y 1−y 2x 1−x 2=4y1+y 2=−1．46. （1） 圆 C 的参数方程为 {x =2cosφ,y =2sinφ（φ 为参数），消去参数可得：圆 C 的普通方程为 x 2+y 2=4．由题意可得：直线 l 的参数方程为 {x =12t,y =2+√32t （t 为参数）． （2） 依题意，直线 l 的直角坐标方程为 √3x −y +2=0， 圆心 C 到直线 l 的距离 d =22=1， 所以 ∣AB ∣=2√r 2−d 2=2√3．47. （1） 因为椭圆一个顶点为 A (2,0)，离心率为 √22，所以 {a =2,ca =√22,a 2=b 2+c 2,所以 b =√2，所以椭圆 C 的方程为 x 24+y 22=1．（2） 直线 y =k (x −1) 与椭圆 C 联立 {y =k (x −1),x 24+y 22=1, 消元可得 (1+2k 2)x 2−4k 2x +2k 2−4=0，设 M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)，则 x 1+x 2=4k 21+2k 2，x 1x 2=2k 2−41+2k 2， 所以 ∣MN∣=√1+k 2×√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2√(1+k 2)(4+6k 2)1+2k 2，因为 A (2,0) 到直线 y =k (x −1) 的距离为 d =√1+k 2，所以 △AMN 的面积 S =12∣MN∣d =∣k∣√4+6k 21+2k 2，因为 △AMN 的面积为 √103， 所以∣k∣√4+6k 21+2k 2=√103， 所以 k =±1． 48. （1） 由题意 ca =√22，b 2a=√2，a 2=b 2+c 2，解得 a =2√2，b =c =2， 则椭圆的方程为：x 28+y 24=1．（2） 要使 △AOB 面积最大，则 B 到 OA 所在直线距离最远． 设与 OA 平行的直线方程为 y =√22x +b ．由 {y =√22x +b,x 28+y 24=1, 消去 y 并化简得 x 2+√2bx +b 2−4=0． 由 Δ=0 得 b =±2√2， 不妨取 b >0，所以与直线 OA 平行，且与椭圆相切的直线方程为：y =√22x +2√2，则 B 到直线 OA 的距离等于 O 到直线：y =√22x +2√2 的距离 d ，d =4√33，又 ∣OA ∣=√6，△AOB 面积的最大值 S =12×√6×4√33=2√2．49. （1） 因为点 (1,√22) 在椭圆 C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 上，椭圆离心率为 √22，所以 { 1a 2+12b 2=1,c a =√22,a 2=b 2+c 2, 解得 a =√2，b =1，所以椭圆 C 的方程为x 22+y 2=1．来自QQ 群339444963（2） 假设存在点 M (x 0,0)，使得 MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值， 设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，设直线 l 的方程为 x =my +1，联立 {x 22+y 2=1,x =my +1得 (m 2+2)y 2+2my −1=0，y 1+y 2=−2m m 2+2，y 1y 2=−1m 2+2，MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−x 0,y 1)=(my 1+1−x 0,y 1)，MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2−x 0,y 2)=(my 2+1−x 0,y 2)， 所以MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(my 1+1−x 0)(my 2+1−x 0)+y 1y 2=(m 2+1)y 1y 2+m (1−x 0)(y 1+y 2)+(1−x 0)2=−(m 2+1)m 2+2+−2m 2(1−x 0)m 2+2+(1−x 0)2=m 2(x 02−2)+2(1−x 0)2−1m 2+2,。
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椭圆专题练习1.【2017浙江，2】椭圆22194x y +=的离心率是A ．13B ．5 C ．23D ．592.【2017课标3，理10】已知椭圆C ：22221x y a b+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为 A ．63B ．33C ．23D ．133.【2016高考浙江理数】已知椭圆C 1：22x m +y 2=1(m >1)与双曲线C 2：22x n–y 2=1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则（）A ．m >n 且e 1e 2>1B ．m >n 且e 1e 2<1C ．m <n 且e 1e 2>1D ．m <n 且e 1e 2<14.【2016高考新课标3理数】已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，,A B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（） （A ）13（B ）12（C ）23（D ）345.【2015高考新课标1，理14】一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为.6.【2016高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆22221()x y a b a b+=＞＞0的右焦点，直线2by =与椭圆交于,B C 两点，且90BFC ∠=,则该椭圆的离心率是.7.【2017课标1，理20】已知椭圆C ：2222=1x y a b+（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，32），P 4（1，32）中恰有三点在椭圆C 上. （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.8.【2017课标II ，理】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =。
(1) 求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=。
证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F 。
9.【2017山东，理21】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22221x y a b+=()0a b >>的离心率为22，焦距为.（Ⅰ）求椭圆E 的方程； （Ⅱ）如图，动直线：13y k x =-交椭圆E 于,A B 两点，C 是椭圆E 上一点，直线OC 的斜率为2k ，且122k k =，M 是线段OC 延长线上一点，且:2:3MC AB =，M 的半径为MC ，,OS OT 是M 的两条切线，切点分别为,S T .求SOT ∠的最大值，并求取得最大值时直线的斜率.10.【2017天津，理19】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线的距离为12. （I ）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II ）设上两点P ，Q 关于轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与轴相交于点D .若APD △的面积为2，求直线AP 的方程.11.【2017江苏，17】如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F , 2F ,离心率为12,两准线之间的距离为8.点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作直线1PF 的垂线,过点2F 作直线2PF 的垂线. （1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线E 的交点Q 在椭圆E 上,求点P 的坐标.12.【2016高考新课标1卷】（本小题满分12分）设圆222150x y x ++-=的圆心为A ,直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合,l 交圆A 于C ,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明EA EB +为定值,并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1,直线l 交C 1于M ,N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围.13.【2016高考山东理数】（本小题满分14分）平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b+=＞＞抛物线E ：22x y=的焦点F 是C 的一个顶点. （I ）求椭圆C 的方程；（II ）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线与C 交与不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M . （i ）求证：点M 在定直线上;(第17题)（ii ）直线与y 轴交于点G ，记PFG △的面积为1S ，PDM △的面积为2S，求12S S的最大值及取得最大值时点P 的坐标.【答案】（Ⅰ）1422=+y x ;（Ⅱ）（i ）见解析；（ii ）12S S 的最大值为49，此时点P 的坐标为)41,22(【解析】试题分析：（Ⅰ）根据椭圆的离心率和焦点求方程；（Ⅱ）（i ）由点P 的坐标和斜率设出直线l 的方程和抛物线联立，进而判断点M 在定直线上；（ii ）分别列出1S ，2S 面积的表达式，根据二次函数求最值和此时点P 的坐标.试题解析：（Ⅱ）（i ）设)0)(2,(2>m m m P ，由y x 22=可得x y =/， 所以直线的斜率为m ，因此直线的方程为)(22m x m m y -=-，即22m mx y -=.设),(),,(),,(002211y x D y x B y x A ，联立方程222241m y mx x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩得014)14(4322=-+-+m x m x m ，由0>∆，得520+<<m 且1442321+=+m m x x ， 因此142223210+=+=m m x x x , 将其代入22m mx y -=得)14(2220+-=m m y ，因为m x y 4100-=，所以直线OD 方程为x my 41-=. 联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=-=m x x m y 41，得点M 的纵坐标为M 14y =-，即点M 在定直线41-=y 上. （ii ）由（i ）知直线方程为22m mx y -=，令0=x 得22m y -=，所以)2,0(2m G -， 又21(,),(0,),22m P m F D ))14(2,142(2223+-+m m m m ， 所以)1(41||2121+==m m m GF S ， )14(8)12(||||2122202++=-⋅=m m m x m PM S ， 所以222221)12()1)(14(2+++=m m m S S ， 令122+=m t ，则211)1)(12(2221++-=+-=tt t t t S S ，当211=t，即2=t时，21SS取得最大值49，此时22=m，满足0>∆，所以点P的坐标为)41,22(，因此12SS的最大值为49，此时点P的坐标为)41,22(.考点：1.椭圆、抛物线的标准方程及其几何性质；2.直线与圆锥曲线的位置关系；3. 二次函数的图象和性质.14.【2015江苏高考，18】（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆()222210x ya ba b+=>>的离心率为22，且右焦点F到左准线l的距离为3.（1）求椭圆的标准方程；（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程.【答案】（1）2212xy+=（2）1y x=-或1y x=-+．【解析】试题分析（1）求椭圆标准方程，只需列两个独立条件即可：一是离心率为22，二是右焦点F 到左准线l的距离为3，解方程组即得（2）因为直线AB过F，所以求直线AB的方程就是确定其斜率，本题关键就是根据PC=2AB列出关于斜率的等量关系，这有一定运算量.首先利用直线方程与椭圆方程联立方程组，解出AB两点坐标，利用两点间距离公式求出AB长，再根据中点坐标公式求出C点坐标，利用两直线交点求出P点坐标，再根据两点间距离公式求出PC长，利用PC=2AB 解出直线AB 斜率,写出直线AB 方程.（2）当x AB ⊥轴时，2AB =，又C 3P =，不合题意．当AB 与轴不垂直时，设直线AB 的方程为()1y k x =-，()11,x y A ，()22,x y B ， 将AB 的方程代入椭圆方程，得()()2222124210kxk x k +-+-=，则()221,2221k k x±+=，C 的坐标为2222,1212k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，且()()()()()222222121212221112k x x y y k xx k+AB =-+-=+-=+．若0k =，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意．从而0k ≠，故直线C P 的方程为222121212k k y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭，则点的坐标为()22522,12k k k ⎛⎫+ ⎪- ⎪+⎝⎭，从而()()2222311C 12k k k k ++P =+． 因为C 2P =AB ，所以()()()2222223114211212k k k kk k+++=++，解得1k =±．此时直线AB 方程为1y x =-或1y x =-+． 【考点定位】椭圆方程，直线与椭圆位置关系15.【2016高考天津理数】（本小题满分14分）设椭圆13222=+y a x （3>a ）的右焦点为F ，右顶点为A ，已知||3||1||1FA eOA OF =+，其中O 为原点，为椭圆的离心率. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于的直线与交于点M ，与y 轴交于点H ，若HF BF ⊥，且MOA MAO ∠≤∠，求直线的斜率的取值范围.【答案】（Ⅰ）22143x y +=（Ⅱ）),46[]46,(+∞--∞ 【解析】试题分析：（Ⅰ）求椭圆标准方程，只需确定量，由113||||||c OF OA FA +=，得113()cc a a a c +=-，再利用2223a c b -==，可解得21c =，24a =（Ⅱ）先化简条件：MOA MAO ∠=∠⇔||||MA MO =，即M 再OA 中垂线上，1M x =，再利用直线与椭圆位置关系，联立方程组求B ；利用两直线方程组求H ，最后根据HF BF ⊥，列等量关系解出直线斜率.取值范围试题解析：（1）解：设(,0)F c ，由113||||||c OF OA FA +=，即113()c c a a a c +=-，可得2223a c c -=，又2223a c b -==，所以21c =，因此24a =，所以椭圆的方程为22143x y +=.（2）（Ⅱ）解：设直线的斜率为k （0≠k ），则直线的方程为)2(-=x k y .设),(B B y x B ，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+)2(13422x k y y x ，消去y ，整理得0121616)34(2222=-+-+k x k x k . 解得2=x ，或346822+-=k k x ，由题意得346822+-=k k x B，从而34122+-=k k y B . 由（Ⅰ）知，)0,1(F ，设),0(H y H ，有),1(H y FH -=，)3412,3449(222++-=k kk k BF .由HF BF ⊥，得0=⋅HF BF ，所以034123449222=+++-k ky k k H ，解得k k y H 12492-=.因此直线MH 的方程为kk x k y 124912-+-=.所以，直线的斜率的取值范围为),46[]46,(+∞--∞ . 考点：椭圆的标准方程和几何性质，直线方程16.【2015高考山东，理20】平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>3，左、右焦点分别是12,F F ，以1F 为圆心以3为半径的圆与以2F 为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上.(Ⅰ)求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆2222:144x y E a b+=，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y kx m =+交椭圆E于,A B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .( i )求OQOP的值；（ii ）求ABQ ∆面积的最大值.【答案】（I ）2214x y +=；（II ）( i )2；（ii ）63. 【解析】试题分析：（I ）根据椭圆的定义与几何性质列方程组确定,a b 的值，从而得到椭圆的方程；（II ）（i ）设()00,P x y ，OQOPλ=，由题意知()00,Q x y λλ--，然后利用这两点分别在两上椭圆上确定λ的值; （ii ）设()()1122,,,A x y B x y ，利用方程组221164y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩结合韦达定理求出弦长AB，选将OAB ∆的面积表示成关于,k m 的表达式2222221641214k m m S m x x k +-=⋅-=+2222241414m m k k⎛⎫=-⋅ ⎪++⎝⎭，然后，令2214m t k =+，利用一元二次方程根的判别式确定的范围，从而求出OAB ∆的面积的最大值，并结合（i ）的结果求出△面积的最大值.试题解析：（I ）由题意知24a =，则2a = ,又2223,2c a c b a =-=可得1b = , 所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=. （II ）由（I ）知椭圆E 的方程为221164x y +=, （i ）设()00,P x y ，OQ OPλ=，由题意知()00,Q x y λλ--因为220014x y +=, 又()()22001164x y λλ--+=，即222144x y λ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,所以2λ=，即2OQ OP = .所以2212216414k m x x k +--=+因为直线y kx m =+与轴交点的坐标为()0,m所以OAB ∆的面积2222221641214k m m S m x x k+-=⋅-=+ 222222222(164)24141414k m m m m k k k⎛⎫+-⋅==-⋅ ⎪+++⎝⎭ 令2214m t k=+ ,将y kx m =+代入椭圆C 的方程可得()222148440k x kmx m +++-= 由0∆≥，可得2214m k ≤+ …………………………………………② 由①②可知01t <≤ 因此()22424S t t t t =-=-+ ,故23S ≤当且仅当1t =，即2214m k =+时取得最大值23由（i ）知，ABQ ∆面积为3S ,所以ABQ ∆面积的最大值为63 .17.【2015高考陕西，理20】（本小题满分12分）已知椭圆:E 22221x y a b+=（0a b >>）的半焦距为，原点O 到经过两点(),0c ，()0,b 的直线的距离为12c ． （I ）求椭圆E 的离心率；（II ）如图，AB 是圆:M ()()225212x y ++-=的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的 方程．【答案】（I 3（II ）221123x y +=． 【解析】试题分析：（I ）先写过点(),0c ，()0,b 的直线方程，再计算原点O 到该直线的距离，进而可得椭圆E 的离心率；（II ）先由（I ）知椭圆E 的方程，设AB 的方程，联立()2222144y k x x y b⎧=++⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，可得12x x +和12x x的值，进而可得，再利用AB =可得2b 的值，进而可得椭圆E 的方程．试题解析：（I ）过点(),0c ，()0,b 的直线方程为0bx cy bc ，则原点O到直线的距离bcd a==， 由12dc ，得2222a b a c ，解得离心率3c a . (II)解法一：由（I ）知，椭圆E 的方程为22244xy b . (1)依题意，圆心()2,1M -是线段AB 的中点，且|AB |10.易知，AB 不与轴垂直，设其直线方程为(2)1yk x ，代入(1)得 2222(14)8(21)4(21)40k x k k x k b设1122(,y ),B(,y ),A x x 则221212228(21)4(21)4,.1414k k k b x x x x kk由124x x ，得28(21)4,14k kk 解得12k. 从而21282x x b.于是12|AB ||x x =-==由|AB |10，得2)10，解得23b .故椭圆E 的方程为221123x y .解法二：由（I ）知，椭圆E 的方程为22244xy b .因此AB 直线方程为1(2)12y x ，代入(2)得224820.x x b所以124x x ，21282x x b .于是()22212121215|AB |1||410(2)22x x x x x x b ⎛⎫=+-=+-=- ⎪⎝⎭. 由|AB |10，得210(2)10b ，解得23b .故椭圆E 的方程为221123x y .考点：1、直线方程；2、点到直线的距离公式；3、椭圆的简单几何性质；4、椭圆的方程；5、圆的方程；6、直线与圆的位置关系；7、直线与圆锥曲线的位置.18.【2016高考浙江理数】（本题满分15分）如图，设椭圆2221x y a+=（a ＞1）.（I ）求直线y =kx +1被椭圆截得的线段长（用a 、k 表示）；（II ）若任意以点A （0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值 范围.【答案】（I ）2222211a k k a k ++（II ）20e <≤【解析】试题分析：（I ）先联立1y kx =+和2221x y a+=，可得1x ，2x ，再利用弦长公式可得直线1y kx =+被椭圆截得的线段长；（II ）先假设圆与椭圆的公共点有4个，再利用对称性及已知条件可得任意以点()0,1A 为圆心的圆与椭圆至多有个公共点时，a 的取值范围，进而可得椭圆离心率的取值范围．试题解析：（I ）设直线1y kx =+被椭圆截得的线段为AP ，由22211y kx x y a=+⎧⎪⎨+=⎪⎩得 ()2222120a k xa kx ++=，故10x =，222221a kx a k =-+．因此22212222111a k k x k a kAP =+-=++． （II ）假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，Q ，满足Q AP =A ．记直线AP ，Q A 的斜率分别为1k ，2k ，且1k ，20k >，12k k ≠． 由（I ）知，2211121a k k +AP =，2222221Q a k k +A =，故因此()222212111112a a k k ⎛⎫⎛⎫++=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，① 因为①式关于1k ，2k 的方程有解的充要条件是()22121a a +->，所以2a >．因此，任意以点()0,1A 为圆心的圆与椭圆至多有个公共点的充要条件为12a <≤， 由21c a e a-==得，所求离心率的取值范围为202e <≤．考点：1、弦长；2、圆与椭圆的位置关系；3、椭圆的离心率．19.【2015高考新课标2，理20】（本题满分12分）已知椭圆222:9(0)C x y m m +=>,直线不过原点O 且不平行于坐标轴，与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．(Ⅰ)证明：直线OM 的斜率与的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由．【答案】(Ⅰ)详见解析；（Ⅱ）能，4747+【解析】(Ⅰ)设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M M M x y ． 将y kx b=+代入2229x y m +=得2222(9)20k x kbx b m +++-=，故12229M x x kbx k +==-+， 299M M by kx b k =+=+．于是直线OM 的斜率9M OM My k x k ==-，即9OM k k ⋅=-．所以直线OM 的斜率与的斜率的乘积为定值．（Ⅱ）四边形OAPB 能为平行四边形． 因为直线过点(,)3mm ，所以不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >，3k ≠． 由(Ⅰ)得OM 的方程为9y x k=-．设点P 的横坐标为P x ．由2229,9,y x k x y m ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩得2222981Pk m x k =+，即P x =．将点(,)3m m 的坐标代入直线的方程得(3)3m k b -=，因此2(3)3(9)M mk k x k -=+．四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即2P M x x ==2(3)23(9)mk k k -⨯+．解得14k =24k =．因为0,3i i k k >≠，1i =，，所以当的斜率为44+OAPB 为平行四边形．【考点定位】1、弦的中点问题；2、直线和椭圆的位置关系．【名师点睛】(Ⅰ)题中涉及弦的中点坐标问题，故可以采取“点差法”或“韦达定理”两种方法求解：设端点,A B 的坐标，代入椭圆方程并作差，出现弦AB 的中点和直线的斜率；设直线的方程同时和椭圆方程联立，利用韦达定理求弦AB 的中点，并寻找两条直线斜率关系；（Ⅱ）根据(Ⅰ)中结论，设直线OM 方程并与椭圆方程联立，求得M 坐标，利用2P M x x =以及直线过点(,)3mm 列方程求的值． 20.【2016高考新课标2理数】已知椭圆:E 2213x y t +=的焦点在轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于,A M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥． （Ⅰ）当4,||||t AM AN ==时，求AMN ∆的面积； （Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围．【答案】（Ⅰ）14449；（Ⅱ）()32,2.【解析】试题解析：（I ）设()11,M x y ，则由题意知10y >，当4t =时，E 的方程为22143x y +=，()2,0A -.由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为4π.因此直线AM 的方程为2y x =+. 将2x y =-代入22143x y +=得27120y y -=.解得0y =或127y =，所以1127y =. 因此AMN ∆的面积11212144227749=⨯⨯⨯=. （II ）由题意3t >，0k >，(),0A t -.将直线AM 的方程()y k x t =+代入2213x y t +=得()222223230tk x ttk x t k t +++-=. 由(22123t k x t tk ⋅=+得)21233t tk x tk-=+，故()221621t k AM x t k +=+=由题设，直线AN 的方程为(1y x t k=-+，故同理可得()261k t k AN +==，由2AM AN =得22233k tk k t=++，即()()32321k t k k -=-. 当32k =因此()33212k k t k -=-.3t >等价于()()232332132022k k k k k k k -+-+-=<--，即322kk-<-.由此得32020kk->⎧⎨-<⎩，或32020kk-<⎧⎨->⎩，解得322k<<.因此k的取值范围是()32,2.考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系.21.【2015高考四川，理20】如图，椭圆E：2222+1(0)x ya ba b=>>的离心率是2，过点P （0,1）的动直线与椭圆相交于A，B两点，当直线平行与x轴时，直线被椭圆E截得的线段长为22.(1)求椭圆E的方程；（2）在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得QA PAQB PB=恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22142x y+=；（2）存在，Q点的坐标为(0,2)Q.【解析】（1）由已知，点2,1)在椭圆E上.因此，22222211,,2a ba b cca⎧+=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪=⎪⎩解得2,2a b==.所以椭圆的方程为22142x y+=.所以，若存在不同于点P 的定点Q 满足条件，则Q 点的坐标只可能为(0,2)Q . 下面证明：对任意的直线，均有||||||||QA PA QB PB =. 当直线的斜率不存在时，由上可知，结论成立.当直线的斜率存在时，可设直线的方程为1y kx =+，A 、B 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y .联立221,421x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(21)420k x kx ++-=. 其判别式22168(21)0k k ∆=++>， 所以，12122242,2121k x x x x k k +=-=-++. 因此121212112x x k x x x x ++==. 易知，点B 关于y 轴对称的点的坐标为22(,)B x y '-.xy PA B'F 2F 1OB 1BQ又122122111,y y k k k k k x x '--==-==-+=-， 所以QA QB k k '=，即,,Q A B '三点共线.所以12||||||||||||||||xQAQA PAQB QB x PB==='.故存在与P不同的定点(0,2)Q，使得||||||||QA PAQB PB=恒成立.22.【2016年高考北京理数】（本小题14分）已知椭圆C：22221+=x ya b（0a b>>）的离心率为3，(,0)A a，(0,)B b，(0,0)O，OAB∆的面积为1.（1）求椭圆C的方程；（2）设P的椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：BMAN⋅为定值.【答案】（1）2214xy+=；（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）根据离心率为32，即32ca=，OAB∆的面积为1，即112ab=，椭圆中222a b c=+列方程求解；（2）根据已知条件分别求出AN，||BM的值，求其乘积为定值.所以椭圆C的方程为1422=+yx.（2）由（Ⅰ）知，)1,0(),0,2(BA，设),(00y x P ，则442020=+y x . 当00≠x 时，直线PA 的方程为)2(200--=x x y y . 令0=x ，得2200--=x y y M .从而221100-+=-=x y y BM M . 直线PB 的方程为110+-=x x y y . 令0=y ，得100--=y x x N .从而12200-+=-=y x x AN N . 所以221120000-+⋅-+=⋅x y y x BM AN 228844224844400000000000000002020+--+--=+--+--++=y x y x y x y x y x y x y x y x y x 4=. 当00=x 时，10-=y ，,2,2==AN BM 所以4=⋅BM AN . 综上，BM AN ⋅为定值.考点：1.椭圆方程及其性质；2.直线与椭圆的位置关系.23.【2016年高考四川理数】（本小题满分13分）已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线:3l y x =-+与椭圆E 有且只有一个公共点T . （Ⅰ）求椭圆E 的方程及点T 的坐标；（Ⅱ）设O 是坐标原点，直线l’平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P ．证明：存在常数λ，使得2PTPA PB λ=⋅，并求λ的值.【答案】（Ⅰ）22163x y +=，点T 坐标为（2,1）；（Ⅱ）45λ=.【解析】试题分析：（Ⅰ）由椭圆两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点可得2a c =，从而可得2a b =，椭圆的标准方程中可减少一个参数，再利用直线和椭圆只有一个公共点，联立方程，方程有两个相等实根，解出b 的值，从而得到椭圆的标准方程；（Ⅱ）首先设出直线'l 方程为12y x m =+，由两直线方程求出点P 坐标，得2PT ，同时设交点1122(,),(,)A x y B x y ，把'l 方程与椭圆方程联立后消去y 得x 的二次方程，利用根与系数关系，得1212,x x x x +，再计算PA PB ⋅，比较可得λ值.试题解析：（I ）由已知，222(2)a a c +=，即2a c =，所以2a b =，则椭圆E 的方程为222212x y b b+=. 由方程组22221,23,x y b b y x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩得22312(182)0x x b -+-=.①方程①的判别式为2=24(3)b ∆-，由=0∆，得2=3b ，此方程①的解为=2x ，所以椭圆E 的方程为22163x y +=. 点T 坐标为（2,1）.由方程组2216312x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，，可得2234(412)0x mx m ++-=.②方程②的判别式为2=16(92)m ∆-，由>0∆，解得323222m -<<. 由②得212124412=,33m m x x x x -+-=. 所以221112252(2)(1)23323m m m PA x y x =--++-=--， 同理252223m PB x =--， 所以12522(2)(2)433m mPA PB x x ⋅=---- 21212522(2)(2)()433m mx x x x =---++ 225224412(2)(2)()43333m m m m -=----+2109m =.故存在常数45λ=，使得2PT PA PB λ=⋅. 考点：椭圆的标准方程及其几何性质.24.【2015高考重庆，理21】如题（21）图，椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,,F F 过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点，且1PQ PF ⊥（1）若1222PF PF ==，求椭圆的标准方程（2）若1,PF PQ =求椭圆的离心率.e 【答案】（1）22+y =14x ；（2【解析】试题解析：（1）本题中已知椭圆上的一点到两焦点的距离，因此由椭圆定义可得长轴长，即参数的值，而由1PQ PF ⊥，应用勾股定理可得焦距，即的值，因此方程易得；（2）要求椭圆的离心率，就是要找到关于,,a b c 的一个等式，题中涉及到焦点距离，因此我们仍然应用椭圆定义，设1PF m =，则22PF a m =-，22(2)22QF PQ PF m a m m a =-=--=-，于是有12242QF a QF a m=-=-，这样在1Rt PQF ∆中求得2(2m a =-，在12Rt PF F ∆中可建立关于,a c 的等式，从而求得离心率. (1)由椭圆的定义，122|PF ||PF |22224a a ，故=2.设椭圆的半焦距为c ，由已知12PF PF ⊥，因此222212122|FF ||PF ||PF |222223c ，即 从而22b1a c故所求椭圆的标准方程为22+y =14x .()()22222222222221|PF |=2+c 2222.c b a b a b a a b a a b a c ⎛⎫⎛⎫-+=-+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由椭圆的定义，1212|PF ||PF |2,|QF ||QF |2a a ,从而由122|PF |=|PQ |=|PF |+|QF |，有11|QF |42|PF |a又由12PF PF ⊥，1|PF |=|PQ |知11|QF |2|PF |，因此12+2|PF|=4a 于是222224.aa b a 解得2141163222e ⎡⎤⎛⎫=+-=-⎢⎥⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 解法二：如图(21)图由椭圆的定义，1212|PF ||PF |2,|QF ||QF |2a a ,从而由122|PF |=|PQ |=|PF |+|QF |，有11|QF |42|PF |a又由12PF PF ⊥，1|PF |=|PQ |知11|QF |2|PF |，因此1142|PF |2|PF |a ,1|PF |=2(2-2)a ,从而21|PF |=2-|PF |2(2-2)2(21)a a aa 由12PF PF ⊥,知22222122|PF ||P F ||PF |(2)4c c ，因此221222|PF ||P F |(22)(21)96263c ea【考点定位】考查椭圆的标准方程，椭圆的几何性质.，直线和椭圆相交问题，考查运算求解能力．25.【2015高考安徽，理20】设椭圆E 的方程为()222210x y a b a b+=>>，点O 为坐标原点，点A的坐标为()0a ，，点B 的坐标为()0b ，，点M 在线段AB 上，满足2BM MA =，直线OM 的斜率为10. （I ）求E 的离心率e ；（II ）设点C 的坐标为()0b -，，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72，求 E 的方程.【答案】（I）5；（II ）221459x y +=. 【解析】（I ）由题设条件知，点M 的坐标为21(,)33a b，又OM k =，从而2b a =，进而得,2a c b ==，故5c e a ==. （II ）由题设条件和（I ）的计算结果可得，直线AB1yb+=，点N的坐标为1,)22b -，设点N 关于直线AB 的对称点S 的坐标为17(,)2x ，则线段NS 的中点T 的坐标为117,)244x b +-+.又点T 在直线AB 上，且1NS AB k k ⋅=-,从而有1117441712x b b b +-++=⎨+⎪=⎪⎪⎪⎩解得3b =，所以a =，故椭圆E 的方程为221459x y +=. 【考点定位】1.椭圆的离心率； 2.椭圆的标准方程；3.点点关于直线对称的应用.26.【2015高考福建，理18】已知椭圆E ：22221(a 0)x y b ab 过点2），且离心率为22． xy BAOG(Ⅰ)求椭圆E 的方程； (Ⅱ)设直线1xmy m R ，()交椭圆E 于A ，B 两点，判断点G 9(4-,0)与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由．【答案】(Ⅰ)22142x y ；(Ⅱ) G 9(4-,0)在以AB 为直径的圆外．【解析】解法一：(Ⅰ)由已知得2222,2,2,b c a a b c 解得222a b c ， 所以椭圆E 的方程为22142x y ．22222121212()(y )(m +1)(y )|AB|444x x y y22221212012(m +1)[(y )4y ](m +1)(y y )4y y y ,故222222012222|AB|52553(m +1)25172|GH|my (m +1)y 042162(m 2)m 21616(m 2)m m y所以|AB||GH|>2，故G 9(4-,0)在以AB 为直径的圆外．解法二：(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)设点1122(y ),B(,y ),A x x ，则112299GA(,),GB (,).44x y x y 由22221(m 2)y 230,142x my my x y得所以12122223y +y =,y y =m 2m 2m ， 从而121212129955GA GB()()(my )(my )4444x x y y y y 22212122252553(m +1)25(m +1)y (y )4162(m 2)m 216m y m y 22172016(m 2)m 所以cos GA,GB 0,GA GB 又，不共线，所以AGB 为锐角.故点G 9(4-,0)在以AB 为直径的圆外．【考点定位】1、椭圆的标准方程；2、直线和椭圆的位置关系；3、点和圆的位置关系．27.【2015湖南理20】已知抛物线21:4C x y =的焦点F 也是椭圆22222:1(0)y x C a b a b+=>>的一个焦点，1C 与2C 的公共弦的长为26（1）求2C 的方程；（2）过点F 的直线与1C 相交于A ，B 两点，与2C 相交于C ，D 两点，且AC 与BD 同向 （ⅰ）若||||AC BD =，求直线的斜率（ⅱ）设1C 在点A 处的切线与轴的交点为M ，证明：直线绕点F 旋转时，MFD ∆总是钝角三角形【答案】（1）22198y x +=；（2）（i ）64±，（ii ）详见解析. 【解析】试题分析：（1）根据已知条件可求得2C 的焦点坐标为)1,0(，再利用公共弦长为62即可求解；（2）（i ）设直线的斜率为，则的方程为1+=kx y ，由214y kx x y=+⎧⎨=⎩得216640x kx +-=，根据条件可知AC =BD ，从而可以建立关于的方程，即可求解；（ii ）根据条件可说明FA 2211111024x x FM y =-+=+>，因此AFM ∠是锐角，从而180MFD AFM ∠=-∠是钝角，即可得证试题解析：（1）由1C ：24x y =知其焦点F 的坐标为(0,1)，∵F 也是椭圆2C 的一焦点，∴221a b -=①，又1C 与2C 的公共弦的长为26，1C 与2C 都关于y 轴对称，且1C 的方程为24x y =，由此易知1C 与2C 的公共点的坐标为3(6,)2，∴229614a b +=②，联立①，②，得29a =，28b =，故2C 的方程为22198x y +=；（2）如图f ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，（i ）∵AC 与BD 同向，且||||BD AC =，∴AC BD =，从而31x x -=42x x -，即12x x -=34x x -，于是()2124x x +-12x x =()2344x x +-34x x ③，设直线的斜率为，则的方程为1+=kx y ，由214y kx x y=+⎧⎨=⎩（ii ）由24x y =得'y =2x ，∴1C 在点A 处的切线方程为)(2111x x xy y -=-，即 4211x x x y -=，令0=y ，得12x x =，即)0,2(1xM ，∴1(,1)2x FM =-，而11(,1)FA x y =-，于是FA 2211111024x x FM y =-+=+>，因此AFM ∠是锐角，从而180MFD AFM ∠=-∠是钝角.，故直线绕点F 旋转时，MFD ∆总是钝角三角形.【考点定位】1.椭圆的标准方程及其性质；2.直线与椭圆位置关系.。