2020年上海市黄浦区中考数学一模试卷
2020年上海市黄浦区中考数学一模试卷（满分150分，考试时间100分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题（本大题共6小题，共24分）1.已知线段a=2，b=4，如果线段b是线段a和c的比例中项，那么线段c的长度是()A. 8B. 6C. 2√2D. 22.在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AB=m，∠A=α，那么AC的长为()A. m⋅sinαB. m⋅cosαC. m⋅tanαD. m⋅cotα3.已知一个单位向量e⃗，设a⃗、b⃗ 是非零向量，那么下列等式中正确的是()A. 1|a⃗ |a⃗=e⃗ B. |e |a=a C. |b⃗|e=b⃗ D. 1|a⃗ |a⃗=1|b⃗|b⃗4.已知二次函数y=x2，如果将它的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么所得图象的表达式是()A. y=(x+1)2+2B. y=(x+1)2−2C. y=(x−1)2+2D. y=(x−1)2−25.在△ABC与△DEF中，∠A=∠D=60°，ABDF =ACDE，如果∠B=50°，那么∠E的度数是()A. 50°B. 60°C. 70°D. 80°6.如图1，点D、E分别在△ABC的两边BA、CA的延长线上，下列条件能判定ED//BC的是()A. ADAB =DEBCB. ADAC =AEABC. AD⋅AB=DE⋅BCD. AD⋅AC=AB⋅AE二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.计算：2(3b⃗−2a )+(a−2b⃗)=______．图18. 如图2，在△ABC 中，点D 、E 分别在△ABC 的两边AB 、AC 上，且DE//BC ，如果AE =5，EC =3，DE =4，那么线段BC 的长是______．9. 如图3，已知AD//BE//CF ，它们依次交直线l 1、l 2于点A 、B 、C 和点D 、E 、F.如果ABBC =23，DF =15，那么线段DE 的长是______．10. 点P 是线段AB 的黄金分割点(AP >BP)，则BPAP = ______ ．11. 写出一个对称轴是直线x =1，且经过原点的抛物线的表达式______． 12. 如图4，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，BD ⊥AC ，垂足为点D ，如果BC =4，sin ∠DBC =23，那么线段AB 的长是______．13. 如果等腰△ABC 中，AB =AC =3，cos ∠B =13，那么cos ∠A =______．14. 如图5，在△ABC 中，BC =12，BC 上的高AH =8，矩形DEFG 的边EF 在边BC上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上．设DE =x ，矩形DEFG 的面积为y ，那么y 关于x 的函数关系式是______.(不需写出x 的取值范围)．15. 如图6，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平的桌面上，其截面可看作一个宽BC =6厘米，长CD =16厘米的矩形．当水面触到杯口边缘时，边CD 恰有一半露出水面，那么此时水面高度是______厘米．16. 在△ABC 中，AB =12，AC =9，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且△ADE 与△ABC 相似，如果AE =6，那么线段AD 的长是______．17. 如图7，在△ABC 中，中线BF 、CE 交于点G ，且CE ⊥BF ，如果AG =5，BF =6，那么线段CE 的长是______．图2 图3 图4图5图6图718.如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在边BC上，∠DAE=∠B=30°，且ADAE=32，那么DEBC的值是______．三、解答题（本大题共7小题，共78分）19.（本题满分10分）计算：cos30°tan60∘−sin60∘−cot45°．20.（本题满分10分）已知，如图，点E在平行四边形ABCD的边CD上，且DECE =12，设AB⃗⃗⃗⃗⃗ =a⃗，AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b⃗ ．(1)用a⃗、b⃗ 表示AE⃗⃗⃗⃗⃗ ；(直接写出答案)(2)设AE⃗⃗⃗⃗⃗ =c，在答题卷中所给的图上画出a−3c的结果．21.（本题满分10分）图8某数学小组在郊外的水平空地上对无人机进行测高实验．如图，两台测角仪分别放在A、B位置，且离地面高均为1米(即AD=BE=1米)，两台测角仪相距50米(即AB= 50米).在某一时刻无人机位于点C(点C与点A、B在同一平面内)，A处测得其仰角为30°，B处测得其仰角为45°.(参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)(1)求该时刻无人机的离地高度；(单位：米，结果保留整数)(2)无人机沿水平方向向左飞行2秒后到达点F(点F与点A、B、C在同一平面内)，此时于A处测得无人机的仰角为40°，求无人机水平飞行的平均速度．(单位：米/秒，结果保留整数)22.（本题满分10分）x2−x+2，其顶点为A．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=−14(1)写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标，并说明它的变化情况；(2)直线BC平行于x轴，交这条抛物线于B、C两点(点B在点C左侧)，且cot∠ABC=2，求点B坐标．23.（本题满分12分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，过点C分别作AD、AB的垂线，交边AD、AB延长线于点E、F．(1)求证：AD⋅DE=AB⋅BF；(2)联结AC，如果CFDE =ACCD，求证：AC2BC2=AFBF．24.（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，平移一条抛物线，如果平移后的新抛物线经过原抛物线顶点，且新抛物线的对称轴是y轴，那么新抛物线称为原抛物线的“影子抛物线”．(1)已知原抛物线表达式是y=x2−2x+5，求它的“影子抛物线”的表达式；(2)已知原抛物线经过点(1,0)，且它的“影子抛物线”的表达式是y=−x2+5，求原抛物线的表达式；(3)小明研究后提出：“如果两条不重合的抛物线交y轴于同一点，且它们有相同的“影子抛物线”，那么这两条抛物线的顶点一定关于y轴对称．”你认为这个结论成立吗？请说明理由．25.（本题满分14分）如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点D与点B分别位于直线AC的两侧，且AD=AC，联结BD、CD，BD交直线AC于点E．(1)当∠CAD=90°时，求线段AE的长．(2)过点A作AH⊥CD，垂足为点H，直线AH交BD于点F，(其中S△BCE表示△BCE的面积，S△AEF表示①当∠CAD<120°时，设AE=x，y=S△BCES△AEF△AEF的面积)，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；=7时，请直接写出线段AE的长．②当S△BCES△AEF答案和解析1.【答案】A【解析】解：若b是a、c的比例中项，即b2=ac．42=2c，解得c=8，故选：A．根据比例中项的定义，若b是a，c的比例中项，即b2=ac.即可求解．本题主要考查了线段的比例中项的定义，注意线段不能为负．2.【答案】B【解析】解：由题意，得cosA=ACAB，AC=AB⋅cosA=m⋅cosα，故选：B．根据余弦是邻边比斜边，可得答案．本题考查了锐角三角函数的定义，利用余弦的定义是解题关键．3.【答案】B【解析】解：A、1|a⃗ |⋅a与e⃗的模相等，方向不一定相同．故错误．B、正确．C、|b|⃗⃗⃗ e与b⃗ 的模相等，方向不一定相同，故错误．D、1|a⃗ |⋅a与1|b⃗|⋅b⃗的模相等，方向不一定相同，故错误．故选：B．根据平面向量的性质一一判断即可．本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．4.【答案】B【解析】解：二次函数y=x2，将它的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的解析式为y=(x+1)2−2．故选：B．根据平移的规律即可求得答案．本题主要考查二次函数的图象与几何变换，掌握平移的规律是解题的关键，即“左加右减，上加下减”．5.【答案】C【解析】解：∵∠A=∠D=60°，ABDF =ACDE，∴△ABC∽△DEF，∴∠B=∠F=50°，∠C=∠E=180°−60°−50°=70°故选：C．根据相似三角形的判定和性质解答即可．考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形(多边形)的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段(对应中线、对应角平分线、对应边上的高)的比也等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．6.【答案】D【解析】解：∵∠EAD=∠CAB，∴当AEAC =ADAB，即AD⋅AC=AB⋅AE，∴ED//BC，故选：D．根据平行线分线段成比例定理、平行线的判定定理判断即可．本题考查的是平行线分线段成比例定理、平行线的判定定理，掌握相关的判定定理是解题的关键．7.【答案】−3a+4b⃗【解析】解：2(3b⃗−2a )+(a−2b⃗)=6b⃗−4a+a−2b⃗=−3a+4b⃗，故答案为−3a+4b⃗．根据平面向量的加法法则计算即可．本题考查平面向量的加法法则，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8.【答案】325【解析】解：∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，∴DEBC =AEAC，∴4BC =58，∴BC=325，故答案为325．证明△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质即可解决问题．本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．9.【答案】6【解析】解：∵AD//BE//CF，∴ABBC =DEEF=23，∵DF=15，∴DEEF =DEDF−DE=DE15−DE=23，解得：DE=6，故答案为：6根据平行线分线段成比例解答即可．本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．10.【答案】√5−12【解析】解：∵点P是线段AB的黄金分割点(AP>BP)，∴BPAP =APAB=√5−12．故答案为√5−12．把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值√5−12叫做黄金比．本题考查了黄金分割的定义，牢记黄金分割比是解题的关键．11.【答案】答案不唯一(如y=x2−2x)【解析】解：符合的表达式是y=x2−2x，故答案为y=x2−2x．此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要写出一个符合的即可．本题考查了二次函数的性质，能熟记二次函数的性质的内容是解此题的关键．12.【答案】2√5【解析】解：在Rt△BDC中，∵BC=4，sin∠DBC=23，∴CD=BC×sin∠DBC=4×23=83，∴BD=√BC2−CD2=4√53，∵∠ABC=90°，BD⊥AC，∴∠A=∠DBC，在Rt△ABD中，∴AB=BDsin∠A =4√53×32=2√5，故答案为：2√5．在Rt△BDC中，根据直角三角形的边角关系求出CD，根据勾股定理求出BD，在在Rt△ABD中，再求出AB即可．考查直角三角形的边角关系，勾股定理等知识，在不同的直角三角形中利用合适的边角关系式正确解答的关键．13.【答案】79【解析】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，过点C作CE⊥AB，垂足为E，∴∠ADB=90°∴在△ADC中，cos∠B=BDAB =13，∴BD=13AB=1．∵AB=AC，AD⊥BC∴BD=DC，∴BC=2，∴AD=√AB2−BD2=√32−12=2√2∵12AB⋅CE=12BC⋅AD，∴CE=BC⋅ADAB =2×2√23=4√23，∴AE=√AC2−CE2=73∴cos∠A=AEAC =733=79，故答案为79．过点A作AD⊥BC，垂足为D，过点C作CE⊥AB，垂足为E，根据余弦的定义求得BD，即可求得BC，根据勾股定理求得AD，然后根据三角形面积公式求得CE，进一步求得AE，根据余弦的定义求得cos∠A的值．本题考查了解直角三角形，属于基础题，关键是掌握等腰三角形的性质、勾股定理，三角形面积公式．14.【答案】y=−32x2+12x【解析】解：∵四边形DEFG是矩形，BC=12，BC上的高AH=8，DE=x，矩形DEFG 的面积为y，∴DG//EF，∴△ADG∽△ABC，∴8−x8=DG12，得DG=3(8−x)2，∴y=x⋅3(8−x)2=−32x2+12x，故答案为：y=−32x2+12x．根据题意和三角形相似，可以用含x的代数式表示出DG，然后根据矩形面积公式，即可得到y与x的函数关系式．本题考查根据实际问题列二次函数关系式、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．15.【答案】9.6【解析】解：如图所示：作BE⊥AE于点E，由题意可得，BC=6cm，CF=12DC=8cm，故BF=√FC2+BC2=√62+82=10(cm)，可得：∠CFB=∠BAE，∠C=∠AEB，故△BFC∽△BAE，∴BCEB =FBAB，∴6BE =1016，解得：BE=9.6．故答案为：9.6．直接利用勾股定理得出BF的长，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．此题主要考查了勾股定理的应用以及相似三角形的判定与性质，正确把握相关性质是解题关键．16.【答案】8或92【解析】解：如图∵∠DAE=∠BAC，∴当△ADE∽△ABC，∴ABAC =ADAE，即129=AD6，解得：AD=8，∴当△AED∽△ABC，∴ABAC =AEAD，即129=6AD，解得：AD=92，故答案为：8或92分类讨论：当△ADE∽△ABC和当△AED∽△ABC，根据相似的性质得出两种比例式进而解答即可．本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．17.【答案】92【解析】解：如图，延长AG交BC于K．∵点G是△ABC的重心，∴AG=2GK，BG=2GF，CG=2EG，∵AG=5，BF=6，∴GK=52，BG=4，∵CE⊥BF，∴∠BGC=90°，∴BC=2GK=5，CG=√BC2−BG2=√52−42=3，∴EG=12CG=32，∴EC=3+32=92．故答案为92．如图，延长AG交BC于K.根据重心的性质以及勾股定理即可解决问题．本题考查三角形的中线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．18.【答案】13√318−1【解析】解：∵AB=AC，∴∠C=∠B=30°，∵∠DAE=∠B=30°，∴∠DAE=∠B=∠C，∵∠AED=∠BEA，∴△ADE∽△BAE，∴ADAB =AEBE=DEAE，∴AE2=DE×BE，同理：△ADE∽△CDA，∴ADCD =DEAD，∴AD2=DE×CD，∴AD2AE2=CDBE=(32)2=94，设CD=9x，则BE=4x，∵ADAB =AEBE，∴AB=ADAE ×BE=32×4x=6x，作AM⊥BC于M，如图所示：∵AB=AC，∴BM=CM=12BC，∵∠B=30°，∴AM=12AB=3x，BM=√3AM=3√3x，∴BC=2BM=6√3x，∴DE=BE+CD−BC=13x−6√3x，∴DEBC =13x−6√3x6√3x=13√318−1；故答案为：13√318−1．证明△ADE∽△BAE，得出AE2=DE×BE，同理△ADE∽△CDA，得出AD2=DE×CD，得出AD2AE2=CDBE=94，设CD=9x，则BE=4x，求出AB=ADAE×BE=6x，作AM⊥BC于M，由等腰三角形的性质得出BM=CM=12BC，由直角三角形的性质得出AM=12AB=3x，BM=√3AM=3√3x，得出BC=2BM=6√3x，求出DE=BE+CD−BC=13x−6√3x，即可得出答案．本题考查了等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识；证明三角形相似是解题的关键．19.【答案】解：原式=√32√3−√32−1=0．【解析】代入特殊角的三角函数值求值．本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．20.【答案】解：(1)∵DECE =12，即DE=12CE，DE=13DC，AE⃗⃗⃗⃗⃗ =13a+b⃗(2)如图所示：即为a−3c的结果．【解析】(1)根据平面向量的平行定理即可表示；(2)根据向量定理即可画出．本题考查了平行四边形的性质、平面向量，解决本题的关键是准确画图．21.【答案】解：(1)如图，过点C作CH⊥AB，垂足为点H，∵∠CBA=45°，∴BH=CH，设CH=x，则BH=x．∵在Rt△ACH中，∠CAB=30°，∴AH=√3CH=√3x．∴x+√3x=50．解得：x=√3+1≈18，∴18+1=19．答：计算得到的无人机的高约为19m；(2)过点F作FG⊥AB，垂足为点G，在Rt△AGF中，tan∠FAG=FGAG，∴AG=FGtan40∘≈180.84≈21.4，又AH=√3CH≈31.14．∴31.14−21.42≈5，或31.14+21.42≈26答：计算得到的无人机的平均速度约为5米/秒或26米/秒．【解析】(1)如图，过点C作CH⊥AB，垂足为点H，设CH=x，则BH=x.解直角三角形即可得到结论；(2)过点F作FG⊥AB，垂足为点G，解直角三角形即可得到结论．本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．22.【答案】解：(1)抛物线y=−14x2−x+2=−14(x+2)2+3的开口方向向下，顶点A的坐标是(−2,3)，抛物线的变化情况是：在对称轴直线x=−2左侧部分是上升的，右侧部分是下降的；(2)如图，设直线BC与对称轴交于点D，则AD⊥BD．设线段AD的长为m，则BD=AD⋅cot∠ABC=2m，∴点B的坐标可表示为(−2m−2,3−m)，代入y=−14x2−x+2，得3−m=−14(−2m−2)2−(−2m−2)+2．解得m1=0(舍)，m2=1，∴点B的坐标为(−4,2)．【解析】(1)由二次函数的性质可求解；(2)如图，设直线BC与对称轴交于点D，则AD⊥BD，设线段AD的长为m，则BD=AD⋅cot∠ABC=2m，可求点B坐标，代入解析式可求m的值，即可求点B坐标．本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，二次函数的应用，利用参数求点B坐标是本题的关键．23.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD//AB，AD//BC，∴∠CDE=∠DAB，∠CBF=∠DAB，∴∠CDE=∠CBF，∵CE⊥AE，CF⊥AF，∴∠CED=∠CFB=90°，∴△CDE∽△CBF，∴BCBF =CDDE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD，CD=AB，∴ADBF =ABDE，∴AD ⋅DE =AB ⋅BF ．(2)∵CF DE =AC CD ，∠CED =∠CFB =90°，∴△ACF∽△CDE ，又∵△CDE∽△CBF ，∴△ACF∽△CBF ，∴S △ACFS △CBF =AC 2BC 2，∵△ACF 与△CBF 等高，∴S △ACF S △CBF =AF BF ， ∴AC 2BC 2=AF BF ．【解析】(1)证明想办法证明四边形ABCD 是平行四边形即可解决问题．(2)由△ACF∽△CDE ，△CDE∽△CBF ，推出△ACF∽△CBF ，可得S △ACF S △CBF =AC 2BC 2，又△ACF 与△CBF 等高，推出S △ACFS △CBF =AF BF ，可得结论AC2BC 2=AF BF ． 本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．24.【答案】解：(1)∵原抛物线表达式是y =x 2−2x +5=(x −1)2+4∴原抛物线顶点是(1,4)，设影子抛物线表达式是y =x 2+n ，将(1,4)代入y =x 2+n ，解得n =3，所以“影子抛物线”的表达式是y =x 2+3；(2)设原抛物线表达式是y =−(x +m)2+k ，则原抛物线顶点是(−m,k)，将(−m,k)代入y =−x 2+5，得−(−m)2+5=k①，将(1,0)代入y =−(x +m)2+k ，0=−(1+m)2+k②，由①、②解得 {m 1=1k 1=4，{m 2=−2k 2=1． 所以，原抛物线表达式是y =−(x +1)2+4或y =−(x −2)2+1；(3)结论成立．设影子抛物线表达式是y =ax 2+n.原抛物线于y 轴交点坐标为(0,c)则两条原抛物线可表示为y 1=ax 2+b 1x +c 与抛物线y 2=ax 2+b 2x +c(其中a 、b 1、b 2、c 是常数，且a ≠0，b 1≠b 2)由题意，可知两个抛物线的顶点分别是P 1(−b 12a ,4ac−b 124a )、P 2(−b 22a ,4ac−b 224a ) 将P 1、P 2分别代入y =ax 2+n ，得{a(−b 12a )2+n =4ac−b 124a a(−b 22a )2+n =4ac−b 224a消去n 得b 12=b 22， ∵b 1≠b 2，∴b 1=−b 2∴P1(b22a ,4ac−b224a)，P2(−b22a,4ac−b224a)，∴P1、P2关于y轴对称．【解析】(1)设影子抛物线表达式是y=x2+n，先求出原抛物线的顶点坐标，代入y= x2+n，可求解；(2)设原抛物线表达式是y=−(x+m)2+k，用待定系数法可求m，k，即可求解；(3)分别求出两个抛物线的顶点坐标，即可求解．本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，二次函数的应用，理解“影子抛物线”的定义并能运用是本题的关键．25.【答案】解：(1)∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC−AC=2，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°．∵AD=AC，∴AD=AB，∴∠ABD=∠ADB，∵∠ABD+∠ADB+∠BAC+∠CAD=180°，∠CAD=90°，∠ABD=15°，∴∠EBC=45°．过点E作EG⊥BC，垂足为点G．设AE=x，则EC=2−x．在Rt△CGE中，∠ACB=60°，∴EG=EC⋅sin∠ACB=√32(2−x)，CG=EC⋅cos∠ACB=1−12x，∴BG=2−CG=1+12x，在Rt△BGE中，∠EBC=45°，∴1+12x=√32(2−x)，解得x=4−2√3．所以线段AE的长是4−2√3．(2)①设∠ABD=α，则∠BDA=α，∠DAC=∠BAD−∠BAC=120°−2α．∵AD=AC，AH⊥CD，∴∠CAF=12∠DAC=60°−α，又∵∠AEF=60°+α，∴∠AFE=60°，∴∠AFE=∠ACB，又∵∠AEF=∠BEC，∴△AEF∽△BEC，∴S△BCES△AEF =BE2AE2，由(1)得在Rt△CGE中，BG=1+12x，EG=√32(2−x)，∴BE2=BG2+EG2=x2−2x+4，∴y=x2−2x+4x2(0<x<2)．②当∠CAD<120°时，y=7，则有7=x2−2x+4x2，整理得3x2+x−2=0，解得x=23或−1(舍弃)，AE=23．当120°<∠CAD<180°时，同法可得y=x2+2x+4x2当y=7时，7=x2+2x+4x2，整理得3x2−x−2=0，解得x=−23(舍弃)或1，∴AE=1．【解析】(1)过点E作EG⊥BC，垂足为点G.AE=x，则EC=2−x.根据BG=EG构建方程求出x即可解决问题．(2)①证明△AEF∽△BEC，可得S△BCES△AEF =BE2AE2，由此构建关系式即可解决问题．②分两种情形：当∠CAD<120°时，当120°<∠CAD<180°时，分别求解即可解决问题．本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．。
2020年上海市中考数学一模试卷及解析
2020年上海市中考一模试卷数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共24分）1.在Rt△ABC中，∠C=90°，如果BC=5，AB=13，那么sin A的值为()A. 513B. 512C. 1213D. 1252.下列函数中，是二次函数的是()A. y=2x−1B. y=2x2C. y=x2+1D. y=(x−1)2−x23.抛物线y=x2−4x+5的顶点坐标是()A. (−2,1)B. (2,1)C. (−2,−1)D. (2,−1)4.如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，下列各比例式不一定能推得DE//BC的是()A. ADBD =AECEB. ADAB=DEBCC. ABBD =ACCED. ADAB=AEAC5.如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为1：3，它把物体从地面点A处送到离地面3米高的B处，则物体从A到B所经过的路程为()A. 3√10米B. 2√10米C. √10米D. 9米6.下列说法正确的是()A. a⃗+(−a⃗ )=0B. 如果a⃗和b⃗ 都是单位向量，那么a⃗=b⃗C. 如果|a⃗|=|b⃗ |，那么a⃗=b⃗D. 如果a⃗=−12b⃗ (b⃗ 为非零向量)，那么a⃗//b⃗二、填空题（本大题共12小题，共48分）7.已知x=3y，那么x+yx+2y=______．8.已知线段AB=2cm，P是线段AB的黄金分割点，PA>PB，那么线段PA的长度等于______cm．9.如果两个相似三角形对应边之比是2：3，那么它们的对应中线之比是______．10.如果二次函数y=x2−2x+k−3的图象经过原点，那么k的值是______．11.将抛物线y=−3x2向下平移4个单位，那么平移后所得新抛物线的表达式为______．12.如果抛物线经过点A(−1,0)和点B(5,0)，那么这条抛物线的对称轴是直线______．13.二次函数y=−2(x+1)2的图象在对称轴左侧的部分是______.(填“上升”或“下降”)14.如图，在△ABC中，AE是BC边上的中线，点G是△ABC的重心，过点G作GF//AB交BC于点F，那么EFEB=______．15.如图，已知AB//CD//EF，AD=6，DF=3，BC=7，那么线段CE的长度等于______．16.如图，将△ABC沿射线BC方向平移得到△DEF，边DE与AC相交于点G，如果BC=6cm，△ABC的面积等于9cm2，△GEC的面积等于4cm2，那么CF=______cm．17.用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出了如下的表格：x…01234…y=ax2+bx+c…−3010−3…那么当x=5时，该二次函数的值为．18.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4，点D、E分别是边BC、AB的中点，将△BDE绕着点B旋转，点D、E旋转后的对应点分别为点、，当直线经过点A时，线段的长为______．三、计算题（本大题共1小题，共10分）19.为了测量大楼顶上(居中)避雷针BC的长度，在地面上点A处测得避雷针底部B和顶部C的仰角分别为55°58′和57°，已知点A与楼底中间部位D的距离约为80米，求避雷针BC的长度(参考数据：，，，sin57°≈0.84，tan57°≈1.54)四、解答题（本大题共6小题，共68分） 20. 计算：tan45°−cos60°2sin30∘+cot 260°21. 如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边AD 上，且AE =2ED ，联结BE 并延长交边CD 的延长线于点F ，设BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，BC⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ． (1)用a ⃗ ，b ⃗ 表示BE⃗⃗⃗⃗⃗ ，DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2)先化简，在求作：(−32a⃗ +b ⃗ )+2(a ⃗ −b ⃗ )(不要求写作法，但要写明结论)．22. 如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且AD =3，AC =6，AE =4，AB =8．(1)如果BC =7，求线段DE 的长；(2)设△DEC 的面积为a ，求△BDC 的面积(用a 的代数式表示)．23.如图，已知△ABC和△ADE，点D在BC边上，DA=DC，∠ADE=∠B，边DE与AC相交于点F．(1)求证：AB⋅AD=DF⋅BC；(2)如果AE//BC，求证：BDDC =DFFE．24.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=−x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A(−1,0)，B(3,0)，与y轴相交于点C．(1)求抛物线的表达式；(2)联结AC、BC，求∠ACB的正切值；(3)点P在抛物线上，且∠PAB=∠ACB，求点P的坐标．25.在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，D为AB边上一动点(点D与点A、B不重合)，联结CD，过点D作DE⊥DC交边BC于点E．(1)如图，当ED=EB时，求AD的长；(2)设AD=x，BE=y，求y关于x的函数解析式并写出函数定义域；(3)把△BCD沿直线CD翻折得，联结，当是等腰三角形时，直接写出AD的长．答案和解析1.【答案】A【解析】解：如图：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，AB=13，sinA=BCAB =513．故选：A．本题可画出三角形，结合图形运用三角函数定义求解．此题考查了三角函数的定义．可借助图形分析，确保正确率．2.【答案】C【解析】解：二次函数的标准形式为y=ax2+bx+c(a≠0)，∴y=x2+1是二次函数，故选：C．根据二次函数的标准形式y=ax2+bx+c(a≠0)，从选项中直接可以求解．本题考查二次函数的定义；熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．3.【答案】B【解析】解：∵y=x2−4x+5=(x−2)2+1，∴顶点坐标为(2,1)，故选：B．利用配方法化成顶点式求解即可．本题考查了二次函数的性质，化成顶点解析式是求抛物线的顶点坐标的一种方法．4.【答案】B【解析】解：∵ADBD =AECE，∴DE//BC，∵ABBD =ACEC，∴DE//BC，∵ADAB =AEAC，∴DE//BC，故选：B．根据平行线分线段成比例定理判断即可．本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．5.【答案】A【解析】解：∵BC：AC=1：3，∴3：AC=1：3，∴AC=9，∴AB=√AC2+BC2=√9+81=3√10，∴物体从A到B所经过的路程为3√10，故选：A．由题意可得物体从A到B所经过的路程为AB的长，根据坡比求出AC的长，再根据勾股定理求出AB的长即可．本题考查了轨迹，解直角三角形，知道坡比的概念是解题的关键．6.【答案】D【解析】解：A、a⃗+(−a⃗ )=0，错误应该等于零向量．B、如果a⃗和b⃗ 都是单位向量，那么a⃗=b⃗ ，错误，模相等，方向不一定相同．C、如果|a⃗|=|b⃗ |，那么a⃗=b⃗ ，错误，模相等，方向不一定相同．D、如果a⃗=−12b⃗ (b⃗ 为非零向量)，那么a⃗//b⃗ ，正确，故选：D．根据平面向量的性质一一判断即可．本题考查平面向量，平行向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7.【答案】45【解析】解：∵x=3y，∴x+yx+2y =3y+y3y+2y=45．故答案为：45．直接利用已知代入原式求出答案．此题主要考查了比例的性质，正确把x代入是解题关键．8.【答案】√5−1【解析】解：根据黄金分割定义，得PA2=AB⋅PB，PA2=2(2−PA)解得PA=√5−1．故答案为√5−1．根据黄金分割的定义：把线段AB分成两条线段AP和BP(PA>PB)，且使AP是AB和BP的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点．本题考查了黄金分割，解决本题的关键是掌握黄金分割定义．9.【答案】2：3【解析】解：∵两个相似三角形对应边之比是2：3，∴它们的对应中线之比是2：3，故答案为：2：3．根据相似三角形对应中线的比等于相似比解答．本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．10.【答案】3【解析】解：∵二次函数y=x2−2x+k−3的图象经过原点，∴k−3=0，解得k=3，故答案为：3．将原点坐标(0,0)代入二次函数解析式，列方程求k即可．此题考查了二次函数图象上的点与解析式的关系，将点的坐标代入解析式是解题的关键．11.【答案】y=3x2−4【解析】解：∵抛物线y=−3x2向下平移4个单位，∴抛物线的解析式为y=−3x2−4，故答案为：y=−3x2−4．根据向下平移，纵坐标相减，即可得到答案．本题考查了二次函数的图象与几何变换，向下平移|a|个单位长度纵坐标要减|a|．12.【答案】x=2【解析】解：∵抛物线经过点A(−1,0)和点B(5,0)，∴抛物线的对称轴为直线x=−1+52=2．故答案为：x=2．根据点A，B的坐标，利用二次函数的性质可求出抛物线的对称轴，此题得解．本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的对称性，找出抛物线的对称轴是解题的关键．13.【答案】上升【解析】解：∵−2<0，∴二次函数的开口向下，则图象在对称轴左侧的部分y随x值的增大而增大，故答案为上升．由函数解析式可知二次函数的开口向下，图象在对称轴左侧的部分y随x值的增大而增大．本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．14.【答案】13【解析】解：∵点G是△ABC的重心，∴GE：AG=1：2，∴GE：AE=1：3，∵GF//AB，△EGF∽△EAB，∴EFEB =GEAE=13，故答案为13．由点G是△ABC的重心，可得GE：AG=1：2，则GE：AE=1：3，再GF//AB，得出结论．本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.也考查了相似三角形的判定与性质．15.【答案】72【解析】解：∵AB//CD//EF，AD=6，DF=3，BC=7，∴ADDF =BCCE，即63=7CE，解得：CE=72，故答案为：72根据平行线分线段所得线段对应成比例解答即可．本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．16.【答案】2【解析】解：∵AB//DE，∴△ABC∽△GEC，∴S△GECS△ABC =(ECBC)2=49，∴EC6=23∴EC=4cm，∵EF=BC=6cm，∴CF=EF−EC=6−4=2cm．故答案是：2易证△ABC∽△GEC，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可求得EC的长，则CF即可求解．本题考查了平移的性质，以及相似三角形的性质，正确理解性质求得EC的长是关键．17.【答案】−8【解析】解：从表格可知：抛物线的顶点坐标为(2,1)，设y=ax2+bx+c=a(x−2)2+1，从表格可知过点(0,−3)，代入得：−3=a(0−2)2+1，解得：a=−1，即y=−(x−2)2+1，当x=5时，y=−(5−2)2+1=−8，故答案为：−8．从表格可知：抛物线的顶点坐标为(2,1)，抛物线过点(0,−3)，代入求出抛物线的解析式，再把x=5代入函数解析式，即可求出答案．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象和性质，用待定系数法求二次函数的解析式等知识点，能求出函数的解析式是解此题的关键．18.【答案】2√5或65√5【解析】解：如图1，当点A在的延长线上时，∵∠C=90°，AC=2，BC=4，∴AB=√AC2+BC2=√4+16=2√5，∵点D、E分别是边BC、AB的中点，∴DE//AC，DE=12AC=1，BD=12BC=2，∴∠EDB=∠ACB=90°，∵将△BDE绕着点B旋转，，，，∵在Rt△ABC和中，，AB=BA，∴Rt△ABC≌，，且，∴四边形是平行四边形，且∠ACB=90°，∴四边形是矩形，；如图2，当点A在线段的延长线上时，，，，∵将△BDE绕着点B旋转，，∵BE′AB =12=BD′BC，∽，，，，故答案为：2√5或6√55．分两种情况：①点A在的延长线上时；②点A在线段的延长线上时；然后分类讨论，求出线段BD的长各是多少即可．本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．19.【答案】解：在Rt△ABD中，∵tan∠BAD=BDAD，∴1.48=BD80，∵AD =80米，∴BD =118.4(米)，在Rt △CAD 中，∵tan∠CAD =CDAD ， ∴1.54=CDAD ，∴CD =123.2(米)，∴BC =CD −BD =4.8(米)． 答：避雷针BC 的长度为4.8米．【解析】解直角三角形求出CD ，BD ，根据BC =CD −BD 求解即可．本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．20.【答案】解：原式=1−122×12+(√33)2=12+13=56．【解析】直接利用特殊角的三角函数值进而分别代入求出答案．此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 21.【答案】解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AB//CD ， ∵AE =2ED ，∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23b ⃗ ，∴BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +23b ，∵DF ：AB =DE ：AE =1：2， ∴DF =12AB ，∴DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a ⃗ ．(2)(−32a ⃗ +b ⃗ )+2(a ⃗ −b ⃗ )=−32a ⃗ +b ⃗ +2a ⃗ −2b ⃗ =12a ⃗ −b⃗ ，取AB 的中点H ，连接HC ，HC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 即为所求．【解析】(1)利用三角形的法则以及平行线分线段成比例定理求解即可．(2)先化简，取AB 的中点H ，连接HC ，HC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 即为所求． 本题考查平面向量，平行向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．22.【答案】解：(1)∵AEAB =48=12，ADAC=36=12，∴AEAB =ADAC，且∠DAE=∠BAC，∴△ADE∽△ACB，∴ADAC =DEBC=12，∴DE=12BC=12×7=72；(2)∵AE=4，AC=6，∴EC=2=13AC，∴S△ACD=3S△DEC=3a，∵AD=3，AB=8，∴BD=5=53AD，∴S△BDC=53S△ADC=5a．【解析】(1)通过证明△ADE∽△ACB，可求解；(2)由线段的数量关系可求面积关系，即可求解．本题考查了相似三角形的判定和性质，证明△ADE∽△ACB是本题的关键．23.【答案】(1)证明：∵DA=DC，∴∠DAC=∠C，又∵∠ADE=∠B，∴△ABC∽△FDA，∴ABDF =BCAD，∴AB⋅AD=DF⋅BC；(2)证明：∵∠ADE+∠CDF=∠B+∠BAD，∠ADE=∠B，∴∠CDF=∠BAD，∵AE//BC，∴∠E=∠CDF，∠C=∠EAF，∴∠BAD=∠E，又∵∠ADE=∠B，∴△ABD∽△EDA，∴BDAD =ADAE，∵DA=DC，∴∠DAC=∠C，∴∠EAF=∠DAC，即AC平分∠DAE，作FM⊥AD于M，FN⊥AE于N，则FM=FM，∵△ADF的面积△AEF的面积=DFEF=12AD×FM12AE×FN=ADAE，∴BD DC =DFFE ．【解析】(1)由等腰三角形的性质得出∠DAC =∠C ，由已知∠ADE =∠B ，证明△ABC∽△FDA ，得出ABDF =BCAD ，即可得出结论；(2)由三角形的外角性质得出∠CDF =∠BAD ，由平行线的性质得出∠E =∠CDF ，∠C =∠EAF ，证出∠BAD =∠E ，证明△ABD∽△EDA ，得出BDAD =ADAE ，证出∠EAF =∠DAC ，即AC 平分∠DAE ，作FM ⊥AD 于M ，FN ⊥AE 于N ，则FM =FM ，求出△ADF 的面积△AEF 的面积=DF EF=AD AE，即可得出结论．本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质、平行线的性质、角平分线的性质等知识；证明三角形相似是解题的关键．24.【答案】解：(1)将点A(−1,0)，B(3,0)代入抛物线y =−x 2+bx +c 中， 得{−1−b +c =0−9+3b +c =0， 解得，b =2，c =3，∴抛物线的表达式为y =−x 2+2x +3；(2)∵在y =−x 2+2x +3中，当x =0时，y =3， ∴C(0,3)，∴OC =OB =3，∴△OBC 为等腰直角三角形，∠OBC =45°， ∴BC =√2OC =3√2，如图1，过点A 作AH ⊥BC 于H ， 则∠HAB =∠HBA =45°， ∴△AHB 是等腰直角三角形， ∵AB =4， ∴AH =BH =√22AB =2√2，∴CH =BC −BH =√2， ∴在Rt △AHC 中，tan∠ACH =AH CH=2√2√2=2，即∠ACB 的正切值为2；(3)①如图2，当∠PAB =∠ACB 时，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，设P(a,−a 2+2a +3)，则M(a,0)， 由(1)知，tan∠ACB =2， ∴tan∠PAM =2， ∴PMAM =2， ∴−a 2+2a+3a+1=2，解得，a 1=−1(舍去)，a 2=1， ∴P 1(1,4)；②取点P(1,4)关于x 轴的对称点Q(1,−4)，延长AQ 交抛物线于P 2，则此时∠P 2AB =∠PAM =∠ACB ，设直线PQ 的解析式为y =kx +b ，将A(−1,0)，Q(1,−4)代入， 得，{−k +b =0k +b =−4，解得，k =−2，b =−2， ∴y AQ =−2x −2， 联立，{y =−2x −2y =−x 2+2x +3，解得，{x =−1y =0或{x =5y =−12，∴P 2(5,−12)；综上所述，点P 的坐标为(1,4)或(5,−12)．【解析】(1)将点A ，B 坐标代入抛物线y =−x 2+bx +c 即可；(2)如图1，过点A 作AH ⊥BC 于H ，分别证△OBC 和△AHB 是等腰直角三角形，可求出CH ，AH 的长，可在Rt △AHC 中，直接求出∠ACB 的正切值； (3)此问需分类讨论，当∠PAB =∠ACB 时，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，设P(a,−a 2+2a +3)，由同角的三角函数值相等可求出a 的值，由对称性可求出第二种情况．本题考查了待定系数法求解析式，锐角三角函数，交点的坐标等，解题关键是第三问要注意分类讨论思想的运用．25.【答案】解：(1)∵ED =EB ， ∴∠EDB =∠B ， ∵CD ⊥DE ，∴∠CDE =∠A =90°，∵∠ACD +∠ADC =90°，∠ADC +∠EDH =90°， ∴∠ACD =∠EDB =∠B ， ∴tan∠ACD =tan∠B ， ∴AD AC =AC AB ，∴AD 3=34， ∴AD =94．(2)如图1中，作EH ⊥BD 于H ．在Rt △ACB 中，∵∠A =90°，AC =3，AB =4， ∴BC =√AC 2+BC 2=√32+42=5， ∵BE =y ，∴EH =35y ，BH =45y ，DH =AB −AD −BH =4−x −45y ， ∵∠A =∠DHE =90°，∠ACD =∠EDH ， ∴△ACD∽△HDE ， ∴ACDH =AD EH ，∴34−x−45y=x35y， ∴y =20x−5x 29+4x(0<x <4)．(3)①如图3−1中，设CB′交AB 于K ，作AE ⊥CK 于E ，DM ⊥CB′于M ，DN ⊥BC 于N∵AC =AB =3，AE ⊥CB′， ∴CE =EB′=12CB′=52，∴AE =√AC 2−CE 2=√32−(52)2=√112， 由△ACE∽△KCA ， 可得AK =3√115，CK =185，∴BK =AB −AK =4−3√115， ∵∠DCK =∠DCB ，DM ⊥CM ，DN ⊥CB ， ∴DM =DN ， ∴S △CDKS△CDB=DKDB =12⋅CK⋅DM 12⋅BC⋅DN =CKCB =1855=1825，∴BD =2543BK =10043−1543√11，∴AD =AB −BD =4−(10043−15√1143)=7243+15√1143．②如图3−2中，当CB′交BA 的延长线于K 时，同法可得BD =2543BK =10043+15√1143，∴AD =AB −BD =7243−15√1143．【解析】(1)证明∠ACD=∠EDB=∠B，推出tan∠ACD=tan∠B，可得ADAC =ACAB，由此构建方程即可解决问题．(2)如图1中，作EH⊥BD于H.证明△ACD∽△HDE，推出ACDH =ADEH，由此构建关系式即可解决问题．(3)分两种情形：①如图3−1中，设CB′交AB于K，作AE⊥CK于E，DM⊥CB′于M，DN⊥BC于N.利用角平分线的性质定理求出BD即可．②如图3−2中，当CB′交BA的延长线于K时，同法可得BD．本题属于几何变换综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．。
2020年上海市黄浦区中考数学一模试卷(附答案)
2020年上海市黄浦区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上.】1．（4分）已知线段a＝2，b＝4，如果线段b是线段a和c的比例中项，那么线段c的长度是（）A．8B．6C．D．22．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AB＝m，∠A＝α，那么AC的长为（）A．m•sinαB．m•cosαC．m•tanαD．m•cotα3．（4分）已知一个单位向量，设、是非零向量，那么下列等式中正确的是（）A．B．C．D．4．（4分）已知二次函数y＝x2，如果将它的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么所得图象的表达式是（）A．y＝（x+1）2+2B．y＝（x+1）2﹣2C．y＝（x﹣1）2+2D．y＝（x﹣1）2﹣2 5．（4分）在△ABC与△DEF中，∠A＝∠D＝60°，，如果∠B＝50°，那么∠E 的度数是（）A．50°B．60°C．70°D．80°6．（4分）如图，点D、E分别在△ABC的两边BA、CA的延长线上，下列条件能判定ED ∥BC的是（）A．B．C．AD•AB＝DE•BC D．AD•AC＝AB•AE二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）计算：2（3﹣2）+（﹣2）＝．8．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在△ABC的两边AB、AC上，且DE∥BC，如果AE＝5，EC＝3，DE＝4，那么线段BC的长是．9．（4分）如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F．如果，DF＝15，那么线段DE的长是．10．（4分）如果点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），那么的值是．11．（4分）写出一个对称轴是直线x＝1，且经过原点的抛物线的表达式．12．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足为点D，如果BC＝4，sin ∠DBC＝，那么线段AB的长是．13．（4分）如果等腰△ABC中，AB＝AC＝3，cos∠B＝，那么cos∠A＝．14．（4分）如图，在△ABC中，BC＝12，BC上的高AH＝8，矩形DEFG的边EF在边BC 上，顶点D、G分别在边AB、AC上．设DE＝x，矩形DEFG的面积为y，那么y关于x 的函数关系式是．（不需写出x的取值范围）．15．（4分）如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平的桌面上，其截面可看作一个宽BC ＝6厘米，长CD＝16厘米的矩形．当水面触到杯口边缘时，边CD恰有一半露出水面，那么此时水面高度是厘米．16．（4分）在△ABC中，AB＝12，AC＝9，点D、E分别在边AB、AC上，且△ADE与△ABC相似，如果AE＝6，那么线段AD的长是．17．（4分）如图，在△ABC中，中线BF、CE交于点G，且CE⊥BF，如果AG＝5，BF＝6，那么线段CE的长是．18．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E在边BC上，∠DAE＝∠B＝30°，且，那么的值是．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：﹣cot45°．20．（10分）已知，如图，点E在平行四边形ABCD的边CD上，且，设，．（1）用、表示；（直接写出答案）（2）设，在答题卷中所给的图上画出的结果．21．（10分）某数学小组在郊外的水平空地上对无人机进行测高实验．如图，两台测角仪分别放在A、B位置，且离地面高均为1米（即AD＝BE＝1米），两台测角仪相距50米（即AB＝50米）．在某一时刻无人机位于点C（点C与点A、B在同一平面内），A处测得其仰角为30°，B处测得其仰角为45°．（参考数据：≈1.41，≈1.73，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）（1）求该时刻无人机的离地高度；（单位：米，结果保留整数）（2）无人机沿水平方向向左飞行2秒后到达点F（点F与点A、B、C在同一平面内），此时于A处测得无人机的仰角为40°，求无人机水平飞行的平均速度．（单位：米/秒，结果保留整数）22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣﹣x+2，其顶点为A．（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标，并说明它的变化情况；（2）直线BC平行于x轴，交这条抛物线于B、C两点（点B在点C左侧），且cot∠ABC ＝2，求点B坐标．23．（12分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，过点C分别作AD、AB的垂线，交边AD、AB延长线于点E、F．（1）求证：AD•DE＝AB•BF；（2）联结AC，如果，求证：．24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，平移一条抛物线，如果平移后的新抛物线经过原抛物线顶点，且新抛物线的对称轴是y轴，那么新抛物线称为原抛物线的“影子抛物线”．（1）已知原抛物线表达式是y＝x2﹣2x+5，求它的“影子抛物线”的表达式；（2）已知原抛物线经过点（1，0），且它的“影子抛物线”的表达式是y＝﹣x2+5，求原抛物线的表达式；（3）小明研究后提出：“如果两条不重合的抛物线交y轴于同一点，且它们有相同的“影子抛物线”，那么这两条抛物线的顶点一定关于y轴对称．”你认为这个结论成立吗？请说明理由．25．（14分）如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点D与点B分别位于直线AC的两侧，且AD＝AC，联结BD、CD，BD交直线AC于点E．（1）当∠CAD＝90°时，求线段AE的长．（2）过点A作AH⊥CD，垂足为点H，直线AH交BD于点F，①当∠CAD＜120°时，设AE＝x，y＝（其中S△BCE表示△BCE的面积，S△AEF 表示△AEF的面积），求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；②当＝7时，请直接写出线段AE的长．。
2020学年上海市黄浦区中考数学一模试题及答案 (官方解析+评分标准)
图1黄浦区2019-2020学年度第一学期九年级期终调研测试数 学 试 卷 2020年1月（满分150分，考试时间100分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效； 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置写出证明或计算的主要步骤.一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上.】1．已知线段2a =，4b =，如果线段b 是线段a 和c 的比例中项，那么线段c 的长度是（ ▲ ）． （A ）8；（B ）6；（C）（D ） 2．2．在Rt △ABC 中，90C ∠=o ，如果∠A =α，AB m =，那么线段AC 的长可表示为（ ▲ ）． （A ）sin m α⋅；（B ）cos m α⋅；（C ）tan m α⋅；（D ）cot m α⋅．3．已知一个单位向量e v ，设a v 、b v是非零向量，那么下列等式中正确的是（ ▲ ）．（A ）1a e a=r rr ；（B ）e a a =r r r ； （C ）b e b =r r r；（D ）11a b a b=r r r r ．4．已知二次函数2x y =，如果将它的图像向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么所得图像的表达式是（ ▲ ）． （A ）2(1)2y x =++； （B ）2(1)2y x =+-； （C ）2(1)2y x =-+；（D ）2(1)2y x =--．5．在△ABC 与△DEF 中，60A D ∠=∠=o ，AB AC DFDE=，如果∠B =50°，那么∠E 的度数是（ ▲ ）． （A ）50°； （B ）60°； （C ）70°；（D ）80°．6．如图1，点D 、E 分别在△ABC 的两边BA 、CA 的延长线上，下列条件能判定ED ∥BC 的是（ ▲ ）．（A ）AD DEAB BC=； （B ）AD AEAC AB=； （C ）AD AB DE BC ⋅=⋅；（D ）AD AC AB AE ⋅=⋅．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．计算：2(32)(2)b a a b -+-v v v v= ▲ ． 8．如图2，在△ABC 中，点D 、E 分别在△ABC 的两边AB 、AC 上，且DE ∥BC ，如果5AE =，3EC =，4DE =，那么线段BC 的长是 ▲ ．BB图2 图3 图4 图5 9．如图3，已知AD ∥BE ∥CF ，它们依次交直线1l 、2l 于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ．如果23AB BC =，DF =15，那么线段DE 的长是 ▲ ．10．如果点P 是线段AB 的黄金分割点（AP >BP ），那么BPAP的值是 ▲ ． 11．写出一个对称轴是直线1x =，且经过原点的抛物线的表达式 ▲ ．12．如图4，在Rt △ABC 中，90ABC ∠=o ，BD ⊥AC ，垂足为点D ，如果4BC =，2sin 3DBC ∠=，那么线段AB 的长是 ▲ ．13．如果等腰△ABC 中，3AB AC ==，1cos 3B ∠=，那么cos A ∠= ▲ ．14．如图5，在△ABC 中，BC =12，BC 上的高AH =8，矩形DEFG 的边EF 在边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上．设DE x =，矩形DEFG 的面积为y ，那么y 关于x 的函数关系式是 ▲ ． （不需写出x 的取值范围）．15．如图6，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平的桌面上，其截面可看作一个宽BC =6厘米，长CD =16厘米的矩形．当水面触到杯口边缘时，边CD 恰有一半露出水面，那么此时水面高度是 ▲ 厘米．16．在△ABC 中， AB =12，AC =9，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且△ADE 与△ABC 与相似，如果AE =6，那么线段AD 的长是 ▲ ．17．如图7，在△ABC 中，中线BF 、CE 交于点G ，且CE ⊥BF ，如果5AG =，6BF =，那么线段CE的长是 ▲ ．桌面图6B图7图9图1018．如图8，在△ABC 中，AB =AC ，点D 、E 在边BC 上，∠DAE =∠B =30°，且32AD AE=，那么DE BC的值是 ▲ ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）计算：cos 30tan 60sin 60cot 45--o o oo20．（本题满分10分）已知，如图9，点E 在平行四边形ABCD 的边CD 上，且12DE CE=，设AB a =uu r r ，AD b =uur r．（1）用a r 、b r 表示AE uu r；（直接写出答案）（2）设AE c =uu u r r ，在答题卷中所给的图上画出3a c -r r的结果．21．（本题满分10分）某数学小组在郊外的水平空地上对无人机进行测高实验．如图10，两台测角仪分别放在A 、B 位置，且离地面高均为1米（即1AD BE ==米），两台测角仪相距50米（即AB =50米）．在某一时刻无人机位于点C (点C 与点A 、B 在同一平面内），A 处测得其仰角为30︒，B 处测得其仰角为45︒．（参考数据：1.41 1.73，sin400.64≈o ，cos400.77≈o ，tan400.84≈o ）（1）求该时刻无人机的离地高度；（单位：米，结果保留整数）（2）无人机沿水平方向向左飞行2秒后到达点F （点F 与点A 、B 、C 在同一平面内），此时于A 处测得无人机的仰角为40︒，求无人机水平飞行的平均速度．（单位：米/秒，结果保留整数） A图8图11Oxy在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2124y x x =--+，其顶点为A ． （1）写出这条抛物线的开口方向、顶点A 的坐标，并说明它的变化情况；（2）直线BC 平行于x 轴，交这条抛物线于B 、C 两点（点B 在点C 左侧），且cot 2ABC ∠=，求点B 坐标．23．（本题满分12分）已知：如图11，在平行四边形ABCD 中，过点C 分别作AD 、AB 的垂线，交边AD 、AB 延长线于点E 、F ．（1）求证：AD DE AB BF ⋅=⋅；（2）联结AC ，如果CF ACDE CD=，求证：22AC AF BC BF =．在平面直角坐标系xOy 中，平移一条抛物线，如果平移后的新抛物线经过原抛物线顶点，且新抛物线的对称轴是y 轴，那么新抛物线称为原抛物线的“影子抛物线”．（1）已知原抛物线表达式是225y x x =-+，求它的“影子抛物线”的表达式；（2）已知原抛物线经过点（1，0），且它的“影子抛物线”的表达式是25y x =-+，求原抛物线的表达式；（3）小明研究后提出：“如果两条不重合的抛物线交y 轴于同一点，且它们有相同的“影子抛物线”，那么这两条抛物线的顶点一定关于y 轴对称．”你认为这个结论成立吗？请说明理由．xOy如图12，△ABC 是边长为2的等边三角形，点D 与点B 分别位于直线AC 的两侧，且AD =AC , 联结BD 、CD ，BD 交直线AC 于点E . （1）当∠CAD =90°时，求线段AE 的长.（2）过点A 作AH ⊥CD ，垂足为点H ，直线AH 交BD 于点F ，①当∠CAD <120°时，设AE x =，BCEAEFS y S =V V （其中BCE S V 表示△BCE 的面积，AEF S V 表示△AEF 的面积），求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； ②当7BCEAEFS S =V V 时，请直接写出线段AE 的长.BDB图12备用图黄浦区2019-2020学年度第一学期九年级期终调研测试数学评分标准一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1． A ； 2． B ； 3．B ； 4． B ； 5．C ； 6． D ． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7． 34a b -+v v； 8．325； 9． 6； 10．12； 11．答案不唯一（如22y x x =-）； 12． 13．79； 14．23122y x x =-+； 15．9.6； 16． 8或92； 17． 92； 18．118-． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）解：原式1- …………………………………………………… (2+2+2+2分)=0． ………………………………………………………………………… (2分) 20．（本题满分10分（1）13a b +r v；……………… ………………………………………………………… (5分)（2）图略．……………………………………………………………（画图4分，结论1分） 21．（本题满分10分） 解：（1）如图，过点C 作CH AB ⊥，垂足为点H ．…………………………………… (1分) ∵45CBA ∠=︒，∴BH CH =．…………………………………………………………………………… (1分) 设CH x =，则BH x =．∵在Rt △ACH 中，30CAB ∠=︒，∴AH ==． …………………………………………………………… (1分)∴50x =． …………………………………………………………………… (1分)解得：18x =≈…………………… (1分) ∴ 18119+=．答：计算得到的无人机的高约为19m ．……………………………………………………(1分) （2）过点F 作FG AB ⊥，垂足为点G ． ………………………………………………(1分)在Rt △AGF 中，tan FGFAG AG∠= ．………………………………………………………(1分)∴tan 401821.40.84FG AG =≈≈o．……………………………………………………(1分)又31.14AH =≈．∴31.1421.452-≈，或31.1421.4262+≈答：计算得到的无人机的平均速度约为5米/秒或26米/秒．…………………………… (1分)22．（本题满分10分） （1）抛物线2124y x x =--+的开口方向向下，……………………………………… (1分) 顶点A 的坐标是(2,3)-，………………………………………………………………… (2分) 抛物线的变化情况是：在对称轴直线2x =-左侧部分是上升的，右侧部分是下降的．(2分) （2）设直线BC 与对称轴交于点D ，则AD ⊥ BD ．设线段AD 的长为m ，则cot 2BD ABC AD m =∠⋅=．……………………………… (1分) ∴点B 的坐标可表示为(22,3)m m ---．……………………………………………… (2分) 代入2124y x x =--+，得 213(22)(22)24m m m -=------+．解得10m =（舍），21m =．……………………………………………………………… (1分) ∴点B 的坐标为(4,2)-．………………………………………………………………… (1分) 23．（本题满分12分）（1）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴CD ∥AB ，AD ∥BC ，∴∠CDE =∠DAB ，∠CBF =∠DAB ．∴∠CDE =∠CBF ．……………………………………………………………………（2分） ∵CE ⊥AE ，CF ⊥AF ， ∴∠CED =∠CFB =90°．………………………………………………………………（1分） ∴△CDE ∽△CBF ．…………………………………………………………………（1分）∴BC CDBF DE=．…………………………………………………………………………（1分） ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴BC =AD ，CD =AB ．∴AD ABBF DE=． ∴AD DE AB BF ⋅=⋅．…………………………………………………………（1分） （2）∵CF ACDE CD=，∠CED =∠CFB =90°， ∴ △ACF ∽△CDE ．………………………………………………………（2分） 又 ∵ △CDE ∽△CBF ，∴ △ACF ∽△CBF ．………………………………………………………（1分）∴22ACF CBF S AC S BC =V V ．………………………………………………………………………（1分）∵△ACF 与△CBF 等高， ∴ACF CBF S AFS BF=V V ．………………………………………………………………………（1分） ∴22AC AFBC BF=．………………………………………………………………………（1分） 24．（本题满分12分）（1）由题意，可知原抛物线顶点是(1,4)．………………………………………………（1分）设影子抛物线表达式是2y x n =+，………………………………………………（1分） 将(1,4)代入2y x n =+，解得3n =．………………………………………………（1分） 所以“影子抛物线”的表达式是23y x =+．………………………………………（1分）（2）设原抛物线表达式是2()y x m k =-++，则原抛物线顶点是(,)m k -．将(,)m k -代入25y x =-+，得2()5m k --+=① ………………………………（1分） 将（1，0）代入2()y x m k =-++，20(1)m k =-++②…………………………（1分）由①、②解得 1114m k =⎧⎨=⎩，2221m k =-⎧⎨=⎩． 所以，原抛物线表达式是2(1)4y x =-++或2(2)1y x =--+．…………………（2分）（3）结论成立．……………………………………………………………………（1分） 设影子抛物线表达式是2y ax n =+．原抛物线于y 轴交点坐标为(0,)c则两条原抛物线可表示为211y ax b x c =++与抛物线222y ax b x c =++（其中a 、1b 、2b 、c 是常数，且0a ≠，12b b ≠）由题意，可知两个抛物线的顶点分别是21114(,)24b ac b P a a --、22224(,)24b ac b P a a-- 将1P 、2P 分别代入2y ax n =+，得221122224()244()24b ac b a n a a b ac b a n a a ⎧--+=⎪⎪⎨-⎪-+=⎪⎩…………………………………………………………（1分） 消去n 得2212b b =．………………………………………………………………………（1分）∵12b b ≠，∴12b b =-∴22214(,)24b ac b P a a -，22224(,)24b ac b P a a--， ………………………………………（1分） ∴1P 、2P 关于y 轴对称．25．（本题满分14分）（1）∵△ABC 是等边三角形，∴AB =BC -AC =2，∠BAC =∠ABC =∠ACB =60°. ∵AD =AC , ∴ AD =AB . ∴∠ABD =∠ADB . ∵∠ABD +∠ADB +∠BAC +∠CAD =180°，∠CAD =90°， ∠ABD =15°. ∴ ∠EBC = 45°. ……………………………………………………………（1分）设AE x =，则2EC x =-. 在Rt △CGE 中，∠ACB =60°，∴sin )A EG EC B x C =⋅∠=-，1cos 12C EC x ACB G ∠-==⋅.…………………（1分） ∴1212BG EG x =-=+. 在Rt △BGE 中，∠EBC =45°， ∴11)22x x +=-. ………………………………………………………………（1分）解得4x =-.所以线段AE的长是4-………………………………………………………………（1分） （2）①设ABD α∠=，则BDA α∠=，1202DAC BAD BAC α∠=∠-∠=-o∵AD =AC , AH ⊥CD ，∴1602CAF DAC α∠=∠=-o .…………………………………………………………（1分）又∵60AEF α∠=+o ，∴60AFE ∠=o .…………………………………………………（1分） ∴AFE ACB ∠=∠.又∵AEF BEC ∠=∠，∴△AEF ∽△BEC . ………………………………………………（1分）∴22BCE AEF S BE S AE =V V .……………………………………………………………………………（1分） 由（1）得在Rt △CGE 中，112BG x =+，)2EG x =- ∴222224BE BG EG x x =+=-+.∴ 2224x x y x -+= (02x <<) ………………………………………………………（2分）② 当∠CAD <120°时，23AE =；…………………………………………………………（2分）当120°<∠CAD <180°时，1AE =.……………………………………………………（2分）。
上海市黄浦区2019-2020学年中考数学一模考试卷含解析
上海市黄浦区2019-2020学年中考数学一模考试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．2016的相反数是（ ） A ．12016-B ．12016C ．2016-D ．20162．将抛物线2 21y x =-+向右平移 1 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度，所得的抛物线的函数表达式为（ ） A ．()2212y x =--- B ．()2212y x =-+- C ．()2214y x =--+D ．()2214y x =-++3．如图，已知△ABC 中，∠A=75°，则∠1+∠2=( )A ．335°°B ．255°C ．155°D ．150°4．如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E.若60B ∠=︒，AC=3，则CD 的长为A ．6B ．23C ．3D ．35．下列运算结果为正数的是( ) A ．1+(–2)B ．1–(–2)C ．1×(–2)D ．1÷(–2)6．如图，在▱ABCD 中，AB ＝1，AC ＝42，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E 是BC 的中点，连接AE 交BD 于点F ．若AC ⊥AB ，则FD 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．67．若2x y +=，2xy =-，则y xx y+的值是（ ） A ．2B ．﹣2C ．4D ．﹣48．多项式ax 2﹣4ax ﹣12a 因式分解正确的是（ ）A ．a （x ﹣6）（x+2）B ．a （x ﹣3）（x+4）C ．a （x 2﹣4x ﹣12）D ．a （x+6）（x ﹣2）9．点A 、C 为半径是4的圆周上两点，点B 为»AC 的中点，以线段BA 、BC 为邻边作菱形ABCD ，顶点D 恰在该圆半径的中点上，则该菱形的边长为（ ） A ．7或22B ．7或23C ．26或22D ．26或2310．如图，将一正方形纸片沿图（1）、（2）的虚线对折，得到图（3），然后沿图（3）中虚线的剪去一个角，展开得平面图形（4），则图（3）的虚线是（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知☉O 的半径为5，且圆心O 到直线l 的距离是方程x 2-4x-12=0的一个根，则直线l 与圆的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法确定12．设x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x ﹣5＝0的两根，则x 12+x 22的值为（ ） A ．6B ．8C ．14D ．16二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 13．= ．14．若正六边形的边长为2，则此正六边形的边心距为______． 15．如图，在平面直角坐标系中，函数y=x 和y=﹣12x 的图象分别为直线l 1，l 2，过点A 1（1，﹣12）作x 轴的垂线交11于点A 2，过点A 2作y 轴的垂线交l 2于点A 3，过点A 3作x 轴的垂线交l 1于点A 4，过点A 4作y 轴的垂线交l 2于点A 5，…依次进行下去，则点A 2018的横坐标为_____．16．如图，直线a ∥b ，∠P=75°，∠2=30°，则∠1=_____．17．如图，在两个同心圆中，三条直径把大、小圆都分成相等的六个部分，若随意向圆中投球，球落在黑色区域的概率是______．18．（2017黑龙江省齐齐哈尔市）如图，在等腰三角形纸片ABC中，AB=AC=10，BC=12，沿底边BC上的高AD剪成两个三角形，用这两个三角形拼成平行四边形，则这个平行四边形较长的对角线的长是______．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）请你仅用无刻度的直尺在下面的图中作出△ABC 的边AB 上的高CD．如图①，以等边三角形ABC 的边AB 为直径的圆，与另两边BC、AC 分别交于点E、F．如图②，以钝角三角形ABC 的一短边AB 为直径的圆，与最长的边AC 相交于点E．20．（6分）如图所示，在长和宽分别是a、b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形．（1）用a，b，x表示纸片剩余部分的面积；（2）当a=6，b=4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．21．（6分）在▱ABCD 中，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，点F 在边CD 上，DF=BE ，连接AF ，BF ． （1）求证：四边形DEBF 是矩形；（2）若AF 平分∠DAB ，AE=3，BF=4，求▱ABCD 的面积．22．（8分）（1）如图1，在矩形ABCD 中，点O 在边AB 上，∠AOC=∠BOD ，求证：AO=OB ； （2）如图2，AB 是⊙O 的直径，PA 与⊙O 相切于点A ，OP 与⊙O 相交于点C ，连接CB ，∠OPA=40°，求∠ABC 的度数．23．（8分）将二次函数2241y x x =+-的解析式化为2()y a x m k =++的形式，并指出该函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴．24．（10分）工人小王生产甲、乙两种产品，生产产品件数与所用时间之间的关系如表： 生产甲产品件数（件） 生产乙产品件数（件） 所用总时间（分钟） 10 10 350 3020850（1）小王每生产一件甲种产品和每生产一件乙种产品分别需要多少分钟？（2）小王每天工作8个小时，每月工作25天．如果小王四月份生产甲种产品a 件（a 为正整数）． ①用含a 的代数式表示小王四月份生产乙种产品的件数；②已知每生产一件甲产品可得1.50元，每生产一件乙种产品可得2.80元，若小王四月份的工资不少于1500元，求a 的取值范围．25．（10分）某学校为弘扬中国传统诗词文化，在九年级随机抽查了若干名学生进行测试，然后把测试结果分为4个等级；A 、B 、C 、D ，对应的成绩分别是9分、8分、7分、6分，并将统计结果绘制成两幅如图所示的统计图．请结合图中的信息解答下列问题：（1）本次抽查测试的学生人数为，图①中的a的值为；（2）求统计所抽查测试学生成绩数据的平均数、众数和中位数．26．（12分）有四张正面分别标有数字﹣1，0，1，2的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上洗均匀．随机抽取一张卡片，求抽到数字“﹣1”的概率；随机抽取一张卡片，然后不放回，再随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法求出第一次抽到数字“2”且第二次抽到数字“0”的概率．27．（12分）漳州市某中学对全校学生进行文明礼仪知识测试，为了解测试结果，随机抽取部分学生的成绩进行分析，将成绩分为三个等级：不合格、一般、优秀，并绘制成如下两幅统计图（不完整）．请你根据图中所给的信息解答下列问题：请将以上两幅统计图补充完整；若“一般”和“优秀”均被视为达标成绩，则该校被抽取的学生中有_ ▲ 人达标；若该校学生有1200人，请你估计此次测试中，全校达标的学生有多少人？参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．C【解析】根据相反数的定义“只有符号不同的两个数互为相反数”可知：2016的相反数是-2016.故选C.2．A【解析】 【分析】根据二次函数的平移规律即可得出． 【详解】解：221y x =-+向右平移 1 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度，所得的抛物线的函数表达式为()2212y x =---故答案为：A ． 【点睛】本题考查了二次函数的平移，解题的关键是熟知二次函数的平移规律． 3．B 【解析】∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=75°， ∴∠B+∠C=180°﹣∠A=105°． ∵∠1+∠2+∠B+∠C=360°， ∴∠1+∠2=360°﹣105°=255°． 故选B ．点睛:本题考查了三角形、四边形内角和定理，掌握n 边形内角和为（n ﹣2）×180°（n≥3且n 为整数）是解题的关键． 4．D 【解析】 【详解】解：因为AB 是⊙O 的直径，所以∠ACB=90°,又⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，60B ∠=︒，所以在Rt △AEC 中，∠A=30°,又AC=3，所以CE=12AB=32,所以CD=2CE=3， 故选D. 【点睛】本题考查圆的基本性质；垂经定理及解直角三角形，综合性较强，难度不大. 5．B 【解析】 【分析】分别根据有理数的加、减、乘、除运算法则计算可得． 【详解】解：A 、1+(﹣2)＝﹣(2﹣1)＝﹣1，结果为负数；B、1﹣(﹣2)＝1+2＝3，结果为正数；C、1×(﹣2)＝﹣1×2＝﹣2，结果为负数；D、1÷(﹣2)＝﹣1÷2＝﹣12，结果为负数；故选B．【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的四则运算法则是解题的关键．6．C【解析】【分析】利用平行四边形的性质得出△ADF∽△EBF，得出BEAD=BFDF，再根据勾股定理求出BO的长，进而得出答案．【详解】解：∵在□ABCD中，对角线AC、BD相交于O，∴BO=DO,AO=OC,AD∥BC，∴△ADF∽△EBF，∴BEAD=BFDF，∵，∴，∵AB=1，AC⊥AB，∴，∴BD=6，∵E是BC的中点，∴BEAD=BFDF=12，∴BF=2，FD=4.故选C.【点睛】本题考查了勾股定理与相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握勾股定理与相似三角形的判定与性质.7．D【解析】因为()2222x y x xy y +=++,所以()222222228x y x y xy +=+-=-⨯-=,因为22842y x y x x y xy ++===--,故选D. 8．A 【解析】试题分析：首先提取公因式a ，进而利用十字相乘法分解因式得出即可． 解：ax 2﹣4ax ﹣12a =a （x 2﹣4x ﹣12） =a （x ﹣6）（x+2）． 故答案为a （x ﹣6）（x+2）．点评：此题主要考查了提取公因式法以及十字相乘法分解因式，正确利用十字相乘法分解因式是解题关键． 9．C 【解析】 【分析】过B 作直径，连接AC 交AO 于E ，如图①，根据已知条件得到BD=12OB=2，如图②，BD=6，求得OD 、OE 、DE 的长，连接OD ，根据勾股定理得到结论． 【详解】过B 作直径，连接AC 交AO 于E ，∵点B 为»AC 的中点， ∴BD ⊥AC ， 如图①，∵点D 恰在该圆直径上，D 为OB 的中点， ∴BD=12×4=2， ∴OD=OB-BD=2， ∵四边形ABCD 是菱形，∴DE=12BD=1，∴OE=1+2=3，连接OC，∵CE=2222=43=7OC OE--，在Rt△DEC中，由勾股定理得：DC=2222=(7)1=22CE DE++；如图②，OD=2，BD=4+2=6，DE=12BD=3，OE=3-2=1，由勾股定理得：2222=41=15OC OE--2222=3(15)=26DE CE++.故选C．【点睛】本题考查了圆心角，弧，弦的关系，勾股定理，菱形的性质，正确的作出图形是解题的关键．10．D【解析】【分析】本题关键是正确分析出所剪时的虚线与正方形纸片的边平行.【详解】要想得到平面图形(4)，需要注意(4)中内部的矩形与原来的正方形纸片的边平行，故剪时，虚线也与正方形纸片的边平行，所以D是正确答案，故本题正确答案为D选项.【点睛】本题考查了平面图形在实际生活中的应用，有良好的空间想象能力过动手能力是解题关键.11．C【解析】【分析】首先求出方程的根,再利用半径长度,由点O到直线a的距离为d,若d<r,则直线与圆相交;若d=r,则直线与圆相切;若d>r,则直线与与圆相离.【详解】∵x2-4x-12=0，(x+2)(x-6)=0，解得:x1=-2(不合题意舍去)，x2=6，∵点O到直线l距离是方程x2-4x-12=0的一个根，即为6，∴点O到直线l的距离d=6，r=5，∴d＞r，∴直线l与圆相离.故选：C【点睛】本题考核知识点：直线与圆的位置关系.解题关键点：理解直线与圆的位置关系的判定方法.12．C【解析】【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=2，x1•x2=-5，再变形x12+x22得到（x1+x2）2-2x1•x2，然后利用代入计算即可．【详解】∵一元二次方程x2-2x-5=0的两根是x1、x2，∴x1+x2=2，x1•x2=-5，∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1•x2=22-2×（-5）=1．故选C．【点睛】考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=-ba，x1•x2=ca．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．2【解析】试题分析：根据算术平方根的定义，求数a的算术平方根，也就是求一个正数x，使得x2=a，则x就是a 的算术平方根，特别地，规定0的算术平方根是0.∵22=4，∴=2.考点：算术平方根.14．3.【解析】【分析】连接OA、OB，根据正六边形的性质求出∠AOB，得出等边三角形OAB，求出OA、AM的长，根据勾股定理求出即可．【详解】连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，∵正六边形ABCDEF，∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠AOF，∴∠AOB=60°，OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∴OA=OB=AB=2，∵AB⊥OM，∴AM=BM=1，在△OAM中，由勾股定理得：315．1【解析】【分析】根据题意可以发现题目中各点的坐标变化规律，从而可以解答本题．【详解】解：由题意可得，A1（1，-12），A2（1，1），A3（-2，1），A4（-2，-2），A5（4，-2），…，∵2018÷4=504…2，2018÷2=1009，∴点A2018的横坐标为：1，故答案为1．【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出题目中点的横坐标的变化规律．16．45°【解析】过P作PM∥直线a，根据平行线的性质，由直线a∥b，可得直线a∥b∥PM，然后根据平行线的性质，由∠P=75°，∠2=30°，可得∠1=∠P-∠2=45°.故答案为45°.点睛：本题考查了平行线的性质的应用，能正确根据平行线的性质进行推理是解此题的关键，注意：两直线平行，内错角相等．17．1 2【解析】【分析】根据几何概率的求法：球落在黑色区域的概率就是黑色区域的面积与总面积的比值．【详解】解：由图可知黑色区域与白色区域的面积相等，故球落在黑色区域的概率是111+=12．【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．18．10，273，413．【解析】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，∵△ABC边AB=AC=10，BC=12，∴BD=DC=6，∴AD=8，如图①所示：可得四边形ACBD是矩形，则其对角线长为：10；如图②所示：AD=8，连接BC，过点C作CE⊥BD于点E，则EC=8，BE=2BD=12，则BC=413；如图③所示：BD=6，由题意可得：AE=6，EC=2BE=16，故AC=22616+=273．故答案为10，273，413．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）连接AE 、BF ，找到△ABC 的高线的交点，据此可得CD ；（2）延长CB 交圆于点F ，延长AF 、EB 交于点G ，连接CG ，延长AB 交CG 于点D ，据此可得．【详解】（1）如图所示，CD 即为所求；（2）如图，CD 即为所求．【点睛】本题主要考查作图-基本作图，解题的关键熟练掌握圆周角定理和三角形的三条高线交于一点的性质． 20．（1）ab ﹣4x 1（13【解析】【分析】（1）边长为x 的正方形面积为x 1，矩形面积减去4个小正方形的面积即可．（1）依据剪去部分的面积等于剩余部分的面积，列方程求出x 的值即可．【详解】解：（1）ab ﹣4x 1．（1）依题意有：22ab 4x 4x -=，将a=6，b=4，代入上式，得x 1=2．解得x 13x 1=3-． 321．（1）证明见解析（2）3【解析】试题分析：（1）根据平行四边形的性质，可证DF ∥EB ，然后根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形可证四边形DEBF 是平行四边形，然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可证；（2）根据（1）可知DE=BF ，然后根据勾股定理可求AD 的长，然后根据角平分线的性质和平行线的性质可求得DF=AD ，然后可求CD 的长，最后可用平行四边形的面积公式可求解.试题解析：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC ∥AB ，即DF ∥EB ．又∵DF ＝BE ，∴四边形DEBF 是平行四边形．∵DE ⊥AB ，∴∠EDB ＝90°．∴四边形DEBF 是矩形．（2）∵四边形DEBF 是矩形，∴DE ＝BF ＝4，BD ＝DF ．∵DE ⊥AB ，∴AD 1．∵DC ∥AB ，∴∠DFA ＝∠FAB ．∵AF 平分∠DAB ，∴∠DAF ＝∠FAB ．∴∠DAF ＝∠DFA ．∴DF ＝AD ＝1．∴BE ＝1．∴AB ＝AE ＋BE ＝3＋1＝2．∴S □ABCD ＝AB·BF ＝2×4＝3．22．（1）证明见解析；（2）25°. 【解析】试题分析： （1）根据等量代换可求得∠AOD=∠BOC ，根据矩形的对边相等，每个角都是直角，可知∠A=∠B=90°，AD=BC ，根据三角形全等的判定AAS 证得△AOD ≌△BOC ，从而得证结论．（2）利用切线的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质得到圆心角∠POA 的度数，然后利用圆周角定理来求∠ABC 的度数．试题解析：（1）∵∠AOC=∠BOD∴∠AOC -∠COD=∠BOD-∠COD即∠AOD=∠BOC∵四边形ABCD 是矩形∴∠A=∠B=90°，AD=BC∴AOD BOC ∆≅∆∴AO=OB（2）解：∵AB 是O e 的直径，PA 与O e 相切于点A ，∴PA ⊥AB ，∴∠A=90°.又∵∠OPA=40°，∴∠AOP=50°，∵OB=OC ，∴∠B=∠OCB.又∵∠AOP=∠B+∠OCB ， ∴1252B OCB AOP ∠=∠=∠=︒. 23．开口方向：向上;点坐标：（-1，-3）;称轴：直线1x =-.【解析】【分析】将二次函数一般式化为顶点式，再根据a 的值即可确定该函数图像的开口方向、顶点坐标和对称轴．【详解】解：()2221y x x =+-， ()222121y x x =++--，()2213y x =+-，∴开口方向：向上，顶点坐标：（-1，-3），对称轴：直线1x =-.【点睛】熟练掌握将一般式化为顶点式是解题关键.24．（1）小王每生产一件甲种产品和每生产一件乙种产品分别需要15分钟、20分钟；（2）①600-34a ；② a≤1．【解析】【分析】（1）设生产一件甲种产品和每生产一件乙种产品分别需要x 分钟、y 分钟，根据图示可得：生产10件甲产品，10件乙产品用时350分钟，生产30件甲产品，20件乙产品，用时850分钟，列方程组求解； （2）①根据生产一件甲种产品和每生产一件乙种产品分别需要的时间关系即可表示出结果； ②根据“小王四月份的工资不少于1500元”即可列出不等式.【详解】（1）设生产一件甲种产品需x 分钟，生产一件乙种产品需y 分钟，由题意得： 10103503020850x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解这个方程组得：1520x y =⎧⎨=⎩，答：小王每生产一件甲种产品和每生产一件乙种产品分别需要15分钟、20分钟；（2）①∵生产一件甲种产品需15分钟，生产一件乙种产品需20分钟，∴一小时生产甲产品4件，生产乙产品3件，所以小王四月份生产乙种产品的件数：3（25×8﹣4a ）=600-3a 4； ②依题意：1.5a+2.8(600-3a 4)≥1500， 1680﹣0.6a≥1500，解得：a≤1.【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，正确理解题意，找准题中的等量关系列出方程组、不等关系列出不等式是解题的关键.25．（1）50、2；（2）平均数是7.11；众数是1；中位数是1．【解析】【分析】（1）根据A 等级人数及其百分比可得总人数，用C 等级人数除以总人数可得a 的值；（2）根据平均数、众数、中位数的定义计算可得．【详解】（1）本次抽查测试的学生人数为14÷21%=50人，a%=1250×100%=2%，即a=2． 故答案为50、2；（2）观察条形统计图，平均数为1492081274650⨯+⨯+⨯+⨯=7.11． ∵在这组数据中，1出现了20次，出现的次数最多，∴这组数据的众数是1． ∵将这组数据从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是1，∴882+=1，∴这组数据的中位数是1． 【点睛】本题考查了众数、平均数和中位数的定义．用到的知识点：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．26．（1）14；（2）112． 【解析】试题分析：（1）根据概率公式可得；（2）先画树状图展示12种等可能的结果数，再找到符合条件的结果数，然后根据概率公式求解． 解：（1）∵随机抽取一张卡片有4种等可能结果，其中抽到数字“﹣1”的只有1种，∴抽到数字“﹣1”的概率为14；（2）画树状图如下：由树状图可知，共有12种等可能结果，其中第一次抽到数字“2”且第二次抽到数字“0”只有1种结果，∴第一次抽到数字“2”且第二次抽到数字“0”的概率为1 12．27．（1）见解析；（2）1；（3）估计全校达标的学生有10人【解析】【分析】（1）成绩一般的学生占的百分比=1-成绩优秀的百分比-成绩不合格的百分比，测试的学生总数=不合格的人数÷不合格人数的百分比，继而求出成绩优秀的人数．（2）将成绩一般和优秀的人数相加即可；（3）该校学生文明礼仪知识测试中成绩达标的人数=1200×成绩达标的学生所占的百分比．【详解】解：（1）成绩一般的学生占的百分比=1﹣20%﹣50%=30%，测试的学生总数=24÷20%=120人，成绩优秀的人数=120×50%=60人，所补充图形如下所示：（2）该校被抽取的学生中达标的人数=36+60=1．（3）1200×（50%+30%）=10（人）．答：估计全校达标的学生有10人．。
2020年上海市黄浦区中考数学一模试卷含答案.pdf
2020年上海市黄浦区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上.】1．（4分）已知线段a＝2，b＝4，如果线段b是线段a和c的比例中项，那么线段c的长度是（）A．8B．6C．D．22．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AB＝m，∠A＝α，那么AC的长为（）A．m?sinαB．m?cosαC．m?tanαD．m?cotα3．（4分）已知一个单位向量，设、是非零向量，那么下列等式中正确的是（）A．B．C．D．4．（4分）已知二次函数y＝x2，如果将它的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么所得图象的表达式是（）A．y＝（x+1）2+2B．y＝（x+1）2﹣2C．y＝（x﹣1）2+2D．y＝（x﹣1）2﹣2 5．（4分）在△ABC与△DEF中，∠A＝∠D＝60°，，如果∠B＝50°，那么∠E 的度数是（）A．50°B．60°C．70°D．80°6．（4分）如图，点D、E分别在△ABC的两边BA、CA的延长线上，下列条件能判定ED ∥BC的是（）A．B．C．AD?AB＝DE?BC D．AD?AC＝AB?AE二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）计算：2（3﹣2）+（﹣2）＝．8．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在△ABC的两边AB、AC上，且DE∥BC，如果AE＝5，EC＝3，DE＝4，那么线段BC的长是．第1页（共26页）9．（4分）如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F．如果，DF＝15，那么线段DE的长是．10．（4分）如果点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），那么的值是．11．（4分）写出一个对称轴是直线x＝1，且经过原点的抛物线的表达式．12．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足为点D，如果BC＝4，sin ∠DBC＝，那么线段AB的长是．13．（4分）如果等腰△ABC中，AB＝AC＝3，cos∠B＝，那么cos∠A＝．14．（4分）如图，在△ABC中，BC＝12，BC上的高AH＝8，矩形DEFG的边EF在边BC 上，顶点D、G分别在边AB、AC上．设DE＝x，矩形DEFG的面积为y，那么y关于x 的函数关系式是．（不需写出x的取值范围）．第2页（共26页）。
2020年上海市黄浦区中考数学一模试卷
2020年上海市黄浦区中考数学一模试卷学校:________ 班级:________ 姓名:________ 学号:________一、单选题（共6小题）1.已知线段a＝2，b＝4，如果线段b是线段a和c的比例中项，那么线段c的长度是（）A．8 B．6 C．D．22.在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AB＝m，∠A＝α，那么AC的长为（）A．m•sinαB．m•cosαC．m•tanαD．m•cotα3.已知一个单位向量，设、是非零向量，那么下列等式中正确的是（）A．B．C．D．4.已知二次函数y＝x2，如果将它的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么所得图象的表达式是（）A．y＝（x+1）2+2 B．y＝（x+1）2﹣2 C．y＝（x﹣1）2+2 D．y＝（x﹣1）2﹣25.在△ABC与△DEF中，∠A＝∠D＝60°，，如果∠B＝50°，那么∠E的度数是（）A．50°B．60°C．70°D．80°6.如图，点D、E分别在△ABC的两边BA、CA的延长线上，下列条件能判定ED∥BC的是（）A．B．C．AD•AB＝DE•BC D．AD•AC＝AB•AE二、填空题（共12小题）7.计算：2（3﹣2）+（﹣2）＝﹣．8.如图，在△ABC中，点D、E分别在△ABC的两边AB、AC上，且DE∥BC，如果AE＝5，EC＝3，DE＝4，那么线段BC的长是．9.如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F．如果，DF＝15，那么线段DE的长是．10.如果点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），那么的值是．11.写出一个对称轴是直线x＝1，且经过原点的抛物线的表达式﹣．12.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足为点D，如果BC＝4，sin∠DBC＝，那么线段AB的长是．13.如果等腰△ABC中，AB＝AC＝3，cos∠B＝，那么cos∠A＝．14.如图，在△ABC中，BC＝12，BC上的高AH＝8，矩形DEFG的边EF在边BC上，顶点D、G分别在（不边AB、AC上．设DE＝x，矩形DEFG的面积为y，那么y关于x的函数关系式是﹣．需写出x的取值范围）．15.如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平的桌面上，其截面可看作一个宽BC＝6厘米，长CD＝16厘米的矩形．当水面触到杯口边缘时，边CD恰有一半露出水面，那么此时水面高度是厘米．16.在△ABC中，AB＝12，AC＝9，点D、E分别在边AB、AC上，且△ADE与△ABC相似，如果AE＝6，那么线段AD的长是．17.如图，在△ABC中，中线BF、CE交于点G，且CE⊥BF，如果AG＝5，BF＝6，那么线段CE的长是．18.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E在边BC上，∠DAE＝∠B＝30°，且，那么的值是﹣．三、解答题（共7小题）19.计算：﹣cot45°．20.已知，如图，点E在平行四边形ABCD的边CD上，且，设，．（1）用、表示；（直接写出答案）（2）设，在答题卷中所给的图上画出的结果．21.某数学小组在郊外的水平空地上对无人机进行测高实验．如图，两台测角仪分别放在A、B位置，且离地面高均为1米（即AD＝BE＝1米），两台测角仪相距50米（即AB＝50米）．在某一时刻无人机位于点C（点C与点A、B在同一平面内），A处测得其仰角为30°，B处测得其仰角为45°．（参考数据：≈1.41，≈1.73，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）（1）求该时刻无人机的离地高度；（单位：米，结果保留整数）（2）无人机沿水平方向向左飞行2秒后到达点F（点F与点A、B、C在同一平面内），此时于A处测得无人机的仰角为40°，求无人机水平飞行的平均速度．（单位：米/秒，结果保留整数）22.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣﹣x+2，其顶点为A．（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标，并说明它的变化情况；（2）直线BC平行于x轴，交这条抛物线于B、C两点（点B在点C左侧），且cot∠ABC＝2，求点B 坐标．23.已知：如图，在平行四边形ABCD中，过点C分别作AD、AB的垂线，交边AD、AB延长线于点E、F．（1）求证：AD•DE＝AB•BF；（2）联结AC，如果，求证：．24.在平面直角坐标系xOy中，平移一条抛物线，如果平移后的新抛物线经过原抛物线顶点，且新抛物线的对称轴是y轴，那么新抛物线称为原抛物线的“影子抛物线”．（1）已知原抛物线表达式是y＝x2﹣2x+5，求它的“影子抛物线”的表达式；（2）已知原抛物线经过点（1，0），且它的“影子抛物线”的表达式是y＝﹣x2+5，求原抛物线的表达式；（3）小明研究后提出：“如果两条不重合的抛物线交y轴于同一点，且它们有相同的“影子抛物线”，那么这两条抛物线的顶点一定关于y轴对称．”你认为这个结论成立吗？请说明理由．25.如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点D与点B分别位于直线AC的两侧，且AD＝AC，联结BD、CD，BD交直线AC于点E．（1）当∠CAD＝90°时，求线段AE的长．（2）过点A作AH⊥CD，垂足为点H，直线AH交BD于点F，①当∠CAD＜120°时，设AE＝x，y＝（其中S△BCE表示△BCE的面积，S△AEF表示△AEF的面积），求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；②当＝7时，请直接写出线段AE的长．2020年上海市黄浦区中考数学一模试卷参考答案一、单选题（共6小题）1.【分析】根据比例中项的定义，若b是a，c的比例中项，即b2＝ac．即可求解．【解答】解：若b是a、c的比例中项，即b2＝ac．42＝2c，解得c＝8，故选：A．【知识点】比例线段2.【分析】根据余角函数是邻边比斜边，可得答案．【解答】解：由题意，得cos A＝，AC＝AB•cos A＝m•cosα，故选：B．【知识点】锐角三角函数的定义3.【分析】根据平面向量的性质一一判断即可．【解答】解：A、•与的模相等，方向不一定相同．故错误．B、正确．C、|与的模相等，方向不一定相同，故错误．D、•与•的模相等，方向不一定相同，故错误．故选：B．【知识点】*平面向量4.【分析】根据平移的规律即可求得答案．【解答】解：二次函数y＝x2，将它的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的解析式为y＝（x+1）2﹣2．故选：B．【知识点】二次函数图象与几何变换5.【分析】根据相似三角形的判定和性质解答即可．【解答】解：∵∠A＝∠D＝60°，，∴△ABC∽△DEF，∴∠B＝∠F＝50°，∠C＝∠E＝180°﹣60°﹣50°＝70°故选：C．【知识点】相似三角形的性质6.【分析】根据平行线分线段成比例定理、平行线的判定定理判断即可．【解答】解：∵∠EAD＝∠CAB，∴当，即AD•AC＝AB•AE，∴ED∥BC，故选：D．【知识点】相似三角形的性质二、填空题（共12小题）7.【分析】根据平面向量的加法法则计算即可．【解答】解：2（3﹣2）+（﹣2）＝6﹣4+﹣2＝﹣3+4，故答案为﹣3+4．【知识点】平面向量的减法8.【分析】证明△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质即可解决问题．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∴＝，∴BC＝，故答案为．【知识点】相似三角形的判定与性质9.【分析】根据平行线分线段成比例解答即可．【解答】解：∵AD∥BE∥CF，∴，∵DF＝15，∴，解得：DE＝6，故答案为：6【知识点】平行线的判定与性质10.【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），∴＝＝．故答案为．【知识点】黄金分割11.【分析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要写出一个符合的即可．【解答】解：符合的表达式是y＝x2﹣2x，故答案为y＝x2﹣2x．【知识点】二次函数的性质12.【分析】在Rt△BDC中，根据直角三角形的边角关系求出CD，根据勾股定理求出BD，在在Rt△ABD中，再求出AB即可．【解答】解：在Rt△BDC中，∵BC＝4，sin∠DBC＝，∴CD＝BC×sin∠DBC＝4×＝，∴BD＝＝，∵∠ABC＝90°，BD⊥AC，∴∠A＝∠DBC，在Rt△ABD中，∴AB＝＝×＝2，故答案为：2．【知识点】解直角三角形13.【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D，过点C作CE⊥AB，垂足为E，根据余弦的定义求得BD，即可求得BC，根据勾股定理求得AD，然后根据三角形面积公式求得CE，进一步求得AE，根据余弦的定义求得cos∠A的值．【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，过点C作CE⊥AB，垂足为E，∴∠ADB＝90°∴在△ADC中，cos∠B＝＝，∴BD＝AB＝1．∵AB＝AC，AD⊥BC∴BD＝DC，∴BC＝2，∴AD＝＝＝2∵AB•CE＝AD，∴CE＝＝＝，∴AE＝＝∴cos∠A＝＝＝，故答案为．【知识点】等腰三角形的性质、解直角三角形14.【分析】根据题意和三角形相似，可以用含x的代数式表示出DG，然后根据矩形面积公式，即可得到y与x的函数关系式．【解答】解：∵四边形DEFG是矩形，BC＝12，BC上的高AH＝8，DE＝x，矩形DEFG的面积为y，∴DG∥EF，∴△ADG∽△ABC，∴，得DG＝，∴y＝x＝+12x，故答案为：y＝+12x．【知识点】相似三角形的判定与性质、根据实际问题列二次函数关系式15.【分析】直接利用勾股定理得出BF的长，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．【解答】解：如图所示：作BE⊥AE于点E，由题意可得，BC＝6cm，CF＝DC＝8cm，故BF＝＝＝10（cm），可得：∠CFB＝∠BAE，∠C＝∠AEB，故△BFC∽△BAE，∴＝，∴＝，解得：BE＝9.6．故答案为：9.6．【知识点】相似三角形的判定与性质、勾股定理的应用16.【分析】分类讨论：当△ADE∽△ABC和当△AED∽△ABC，根据相似的性质得出两种比例式进而解答即可．【解答】解：如图∵∠DAE＝∠BAC，∴当△ADE∽△ABC，∴，即，解得：AD＝8，∴当△AED∽△ABC，∴，即，解得：AD＝，故答案为：8或【知识点】相似三角形的性质17.【分析】如图，延长AG交BC于K．根据重心的性质以及勾股定理即可解决问题．【解答】解：如图，延长AG交BC于K．∵点G是△ABC的重心，∴AG＝2GK，BG＝2GF，CG＝2EG，∵AG＝5，BF＝6，∴GK＝，BG＝4，∵CE⊥BF，∴∠BGC＝90°，∴BC＝2GK＝5，CG＝＝＝3，∴EG＝CG＝，∴EC＝3+＝．故答案为．【知识点】三角形的角平分线、中线和高18.【分析】证明△ADE∽△BAE，得出AE2＝DE×BE，同理△ADE∽△CDA，得出AD2＝DE×CD，得出＝＝，设CD＝9x，则BE＝4x，求出AB＝×BE＝6x，作AM⊥BC于M，由等腰三角形的性质得出BM＝CM＝BC，由直角三角形的性质得出AM＝AB＝3x，BM＝AM＝3x，得出BC＝2BM＝6x，求出DE＝BE+CD﹣BC＝13x﹣6x，即可得出答案．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝30°，∵∠DAE＝∠B＝30°，∴∠DAE＝∠B＝∠C，∵∠AED＝∠BEA，∴△ADE∽△BAE，∴＝＝，∴AE2＝DE×BE，同理：△ADE∽△CDA，∴＝，∴AD2＝DE×CD，∴＝＝（）2＝，设CD＝9x，则BE＝4x，∵＝，∴AB＝×BE＝×4x＝6x，作AM⊥BC于M，如图所示：∵AB＝AC，∴BM＝CM＝BC，∵∠B＝30°，∴AM＝AB＝3x，BM＝AM＝3x，∴BC＝2BM＝6x，∴DE＝BE+CD﹣BC＝13x﹣6x，∴＝＝﹣1；故答案为：﹣1．【知识点】等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质三、解答题（共7小题）19.【分析】代入特殊角的三角函数值求值．【解答】解：原式＝＝0．【知识点】特殊角的三角函数值20.【分析】（1）根据平面向量的平行定理即可表示；（2）根据向量定理即可画出．【解答】解：（1）∵＝，即DE＝CE，DE＝DC，＝+（2）如图所示：即为的结果．【知识点】*平面向量、平行四边形的性质21.【分析】（1）如图，过点C作CH⊥AB，垂足为点H，设CH＝x，则BH＝x．解直角三角形即可得到结论；（2）过点F作FG⊥AB，垂足为点G，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：（1）如图，过点C作CH⊥AB，垂足为点H，∵∠CBA＝45°，∴BH＝CH，设CH＝x，则BH＝x．∵在Rt△ACH中，∠CAB＝30°，∴．∴．解得：，∴18+1＝19．答：计算得到的无人机的高约为19m；（2）过点F作FG⊥AB，垂足为点G，在Rt△AGF中，，∴，又．∴，或答：计算得到的无人机的平均速度约为5米/秒或26米/秒．【知识点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题22.【分析】（1）由二次函数的性质可求解；（2）如图，设直线BC与对称轴交于点D，则AD⊥BD，设线段AD的长为m，则BD＝AD•cot∠ABC＝2m，可求点B坐标，代入解析式可求m的值，即可求点B坐标．【解答】解：（1）抛物线＝﹣（x+2）2+3的开口方向向下，顶点A的坐标是（﹣2，3），抛物线的变化情况是：在对称轴直线x＝﹣2左侧部分是上升的，右侧部分是下降的；（2）如图，设直线BC与对称轴交于点D，则AD⊥BD．设线段AD的长为m，则BD＝AD•cot∠ABC＝2m，∴点B的坐标可表示为（﹣2m﹣2，3﹣m），代入，得．解得m1＝0（舍），m2＝1，∴点B的坐标为（﹣4，2）．【知识点】二次函数综合题23.【分析】（1）证明想办法证明四边形ABCD是平行四边形即可解决问题．（2）由△ACF∽△CDE，△CDE∽△CBF，推出△ACF∽△CBF，可得，又△ACF与△CBF等高，推出，可得结论．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，AD∥BC，∴∠CDE＝∠DAB，∠CBF＝∠DAB，∴∠CDE＝∠CBF，∵CE⊥AE，CF⊥AF，∴∠CED＝∠CFB＝90°，∴△CDE∽△CBF，∴，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD，CD＝AB，∴，∴AD•DE＝AB•BF．（2）∵，∠CED＝∠CFB＝90°，∴△ACF∽△CDE，又∵△CDE∽△CBF，∴△ACF∽△CBF，∴，∵△ACF与△CBF等高，∴，∴．【知识点】相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质24.【分析】（1）设影子抛物线表达式是y＝x2+n，先求出原抛物线的顶点坐标，代入y＝x2+n，可求解；（2）设原抛物线表达式是y＝﹣（x+m）2+k，用待定系数法可求m，k，即可求解；（3）分别求出两个抛物线的顶点坐标，即可求解．【解答】解：（1）∵原抛物线表达式是y＝x2﹣2x+5＝（x﹣1）2+4∴原抛物线顶点是（1，4），设影子抛物线表达式是y＝x2+n，将（1，4）代入y＝x2+n，解得n＝3，所以“影子抛物线”的表达式是y＝x2+3；（2）设原抛物线表达式是y＝﹣（x+m）2+k，则原抛物线顶点是（﹣m，k），将（﹣m，k）代入y＝﹣x2+5，得﹣（﹣m）2+5＝k①，将（1，0）代入y＝﹣（x+m）2+k，0＝﹣（1+m）2+k②，由①、②解得，．所以，原抛物线表达式是y＝﹣（x+1）2+4或y＝﹣（x﹣2）2+1；（3）结论成立．设影子抛物线表达式是y＝ax2+n．原抛物线于y轴交点坐标为（0，c）则两条原抛物线可表示为与抛物线（其中a、b1、b2、c是常数，且a≠0，b1≠b2）由题意，可知两个抛物线的顶点分别是、将P1、P2分别代入y＝ax2+n，得消去n得，∵b1≠b2，∴b1＝﹣b2∴，，∴P1、P2关于y轴对称．【知识点】二次函数综合题25.【分析】（1）过点E作EG⊥BC，垂足为点G．AE＝x，则EC＝2﹣x．根据BG＝EG构建方程求出x即可解决问题．（2）①证明△AEF∽△BEC，可得，由此构建关系式即可解决问题．②分两种情形：当∠CAD＜120°时，当120°＜∠CAD＜180°时，分别求解即可解决问题．【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC﹣AC＝2，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°．∵AD＝AC，∴AD＝AB，∴∠ABD＝∠ADB，∵∠ABD+∠ADB+∠BAC+∠CAD＝180°，∠CAD＝90°，∠ABD＝15°，∴∠EBC＝45°．过点E作EG⊥BC，垂足为点G．设AE＝x，则EC＝2﹣x．在Rt△CGE中，∠ACB＝60°，∴，，∴BG＝2﹣CG＝1+x，在Rt△BGE中，∠EBC＝45°，∴，解得．所以线段AE的长是．（2）①设∠ABD＝α，则∠BDA＝α，∠DAC＝∠BAD﹣∠BAC＝120°﹣2α．∵AD＝AC，AH⊥CD，∴，又∵∠AEF＝60°+α，∴∠AFE＝60°，∴∠AFE＝∠ACB，又∵∠AEF＝∠BEC，∴△AEF∽△BEC，∴，由（1）得在Rt△CGE中，，，∴BE2＝BG2+EG2＝x2﹣2x+4，∴（0＜x＜2）．②当∠CAD＜120°时，y＝7，则有7＝，整理得3x2+x﹣2＝0，解得x＝或﹣1（舍弃），．当120°＜∠CAD＜180°时，同法可得y＝当y＝7时，7＝，整理得3x2﹣x﹣2＝0，解得x＝﹣（舍弃）或1，∴AE＝1．【知识点】三角形综合题。
上海市黄浦区2019-2020学年中考数学一模试卷含解析
上海市黄浦区2019-2020学年中考数学一模试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．将抛物线绕着点（0，3）旋转180°以后，所得图象的解析式是（）．A．B．C．D．2．中华人民共和国国家统计局网站公布，2016年国内生产总值约为74300亿元，将74300亿用科学计数法可以表示为( )A．1074310⨯B．1174.310⨯C．107.4310⨯D．127.4310⨯3．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8＝0的一个根，则这个三角形的周长是（）A．9 B．11 C．13 D．11或134．如果m的倒数是﹣1，那么m2018等于（）A．1 B．﹣1 C．2018 D．﹣20185．如图，△ABC在边长为1个单位的方格纸中，它的顶点在小正方形的顶点位置．如果△ABC的面积为10，且sinA＝5，那么点C的位置可以在（）A．点C1处B．点C2处C．点C3处D．点C4处6．钟鼎文是我国古代的一种文字，是铸刻在殷周青铜器上的铭文，下列钟鼎文中，不是轴对称图形的是( ) A．B．C．D．7．如图，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点B，点C是⊙O优弧弧AB上一点，连接AC、B C，如果∠P=∠C，⊙O的半径为1，则劣弧弧AB的长为（）A ．13πB ．14πC ．16πD ．112π 8．下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（ ）A ．x 2+6x+9=0B ．x 2=xC ．x 2+3=2xD ．（x ﹣1）2+1=09．下列式子一定成立的是（ ）A ．2a+3a=6aB ．x 8÷x 2=x 4C ．12a a = D ．（﹣a ﹣2）3=﹣61a10．根据《九章算术》的记载中国人最早使用负数，下列负数中最大的是（ ）A ．-1B ．-C ．D ．–π11．已知点M (－2，3 )在双曲线上，则下列一定在该双曲线上的是（ ） A ．(3，-2 ) B ．(-2，-3 ) C ．(2，3 ) D ．(3，2)12．把三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个三角形，第②个图案中有4个三角形，第③个图案中有8个三角形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中三角形的个数为（ ）A ．15B ．17C ．19D ．24二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．若数据2、3、5、3、8的众数是a ，则中位数是b ，则a ﹣b 等于_____．14．点P 的坐标是（a,b ），从-2，-1,0,1,2这五个数中任取一个数作为a 的值，再从余下的四个数中任取一个数作为b 的值，则点P （a,b ）在平面直角坐标系中第二象限内的概率是 .15．2018年1月4日在萍乡市第十五届人民代表大会第三次会议报告指出，去年我市城镇居民人均可支配收入33080元，33080用科学记数法可表示为__．16．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边BC 上，将ABE △沿AE 折叠得到AFE △，点F 落在对角线AC 上．若AB AC ⊥，3AB =，5AD =，则CEF △的周长为________．17．关于x的一元二次方程x2－2x＋m－1＝0有两个相等的实数根，则m的值为_________18．如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=1DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG∥CF；④S△FGC=1．其中正确结论的是_____．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴x=1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积最大，若存在，求出点F的坐标和最大值；若不存在，请说明理由；（3）平行于DE的一条动直线l与直线BC相较于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标．20．（6分）随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷(每人必选且只选一种)，在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：(1)这次统计共抽查了_____名学生，最喜欢用电话沟通的所对应扇形的圆心角是____°；(2)将条形统计图补充完整；(3)运用这次的调查结果估计1200名学生中最喜欢用QQ 进行沟通的学生有多少名？(4)甲、乙两名同学从微信，QQ ，电话三种沟通方式中随机选了一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率．21．（6分）一辆高铁与一辆动车组列车在长为1320千米的京沪高速铁路上运行，已知高铁列车比动车组列车平均速度每小时快99千米，且高铁列车比动车组列车全程运行时间少3小时，求这辆高铁列车全程运行的时间和平均速度．22．（8分）如图，已知正比例函数y=2x 和反比例函数的图象交于点A （m ，﹣2）．求反比例函数的解析式；观察图象，直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x 的取值范围；若双曲线上点C （2，n ）沿OA 方向平移5个单位长度得到点B ，判断四边形OABC 的形状并证明你的结论．23．（8分）计算：﹣14﹣2×（﹣3）2+327 ÷（﹣13）如图，小林将矩形纸片ABCD 沿折痕EF 翻折，使点C 、D 分别落在点M 、N 的位置，发现∠EFM=2∠BFM ，求∠EFC 的度数．24．（10分）国家发改委公布的《商品房销售明码标价规定》，从2011年5月1日起商品房销售实行一套一标价．商品房销售价格明码标价后，可以自行降价、打折销售，但涨价必须重新申报．某市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于新政策的出台，购房都持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售．求平均每次下调的百分率；某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子，开发商还给予以下两种优惠方案发供选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.5元，请问哪种方案更优惠？25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，直线y=kx+b交BC于点E（1，m），交AB于点F（4，12），反比例函数y=nx（x＞0）的图象经过点E，F．（1）求反比例函数及一次函数解析式；（2）点P是线段EF上一点，连接PO、PA，若△POA的面积等于△EBF的面积，求点P的坐标．26．（12分）如图，在顶点为P的抛物线y=a（x-h）2+k（a≠0）的对称轴1的直线上取点A（h，k+14a），过A作BC⊥l交抛物线于B、C两点（B在C的左侧），点和点A关于点P对称，过A作直线m⊥l．又分别过点B，C作直线BE⊥m和CD⊥m，垂足为E，D．在这里，我们把点A叫此抛物线的焦点，BC 叫此抛物线的直径，矩形BCDE叫此抛物线的焦点矩形．（1）直接写出抛物线y=14x2的焦点坐标以及直径的长．（2）求抛物线y=14x2-32x+174的焦点坐标以及直径的长．（3）已知抛物线y=a（x-h）2+k（a≠0）的直径为32，求a的值．（4）①已知抛物线y=a（x-h）2+k（a≠0）的焦点矩形的面积为2，求a的值．②直接写出抛物线y=14x2-32x+174的焦点短形与抛物线y=x2-2mx+m2+1公共点个数分别是1个以及2个时m的值．27．（12分）如图，一次函数y=kx+b的图象分别与反比例函数y=ax的图象在第一象限交于点A（4，3），与y轴的负半轴交于点B，且OA=OB．（1）求函数y=kx+b和y=ax的表达式；（2）已知点C（0，8），试在该一次函数图象上确定一点M，使得MB=MC，求此时点M的坐标．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．D【解析】【分析】将抛物线绕着点（0，3）旋转180°以后，a的值变为原来的相反数，根据中心对称的性质求出旋转后的顶点坐标即可得到旋转180°以后所得图象的解析式.【详解】由题意得，a=-.设旋转180°以后的顶点为（x′，y′），则x′=2×0-(-2)=2，y′=2×3-5=1,∴旋转180°以后的顶点为(2,1)，∴旋转180°以后所得图象的解析式为：.故选D.【点睛】本题考查了二次函数图象的旋转变换，在绕抛物线某点旋转180°以后，二次函数的开口大小没有变化，方向相反；设旋转前的的顶点为（x，y），旋转中心为（a，b），由中心对称的性质可知新顶点坐标为（2a-x，2b-y），从而可求出旋转后的函数解析式.2．D【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】解：74300亿=7.43×1012，故选：D．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．C【解析】试题分析：先求出方程x2－6x＋8＝0的解，再根据三角形的三边关系求解即可.解方程x2－6x＋8＝0得x=2或x=4当x=2时，三边长为2、3、6，而2+3＜6，此时无法构成三角形当x=4时，三边长为4、3、6，此时可以构成三角形，周长=4+3+6=13故选C.考点：解一元二次方程，三角形的三边关系点评：解题的关键是熟记三角形的三边关系：任两边之和大于第三边，任两边之差小于第三边.4．A【解析】【分析】因为两个数相乘之积为1,则这两个数互为倒数, 如果m的倒数是﹣1,则m=-1,然后再代入m2018计算即可.【详解】因为m的倒数是﹣1,所以m=-1,所以m2018=（-1）2018=1,故选A.【点睛】本题主要考查倒数的概念和乘方运算,解决本题的关键是要熟练掌握倒数的概念和乘方运算法则.如图：∵AB=5,10ABC S =△, ∴D 4C =4, ∵5sin A =54DC AC AC ==,∴5∵在RT △AD 4C 中，D 44C =,AD=8, ∴A 4C 228445+=故答案为D.6．A【解析】根据轴对称图形的概念求解．解：根据轴对称图形的概念可知：B ，C ，D 是轴对称图形，A 不是轴对称图形，故选A ．“点睛”本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 7．A【解析】【分析】利用切线的性质得∠OAP=90°，再利用圆周角定理得到∠C=12∠O ，加上∠P=∠C 可计算写出∠O=60°，然后根据弧长公式计算劣弧AB 的长．【详解】解：∵PA 切⊙O 于点A ，∴OA ⊥PA ，∴∠OAP=90°，∵∠C=12∠O ，∠P=∠C ， ∴∠O=2∠P ，而∠O+∠P=90°，∴∠O=60°，∴劣弧AB 的长=60?•111803ππ=． 故选：A ．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和弧长公式．分析：根据一元二次方程根的判别式判断即可．详解：A 、x 2+6x+9=0.△=62-4×9=36-36=0，方程有两个相等实数根；B 、x 2=x.x 2-x=0.△=（-1）2-4×1×0=1＞0.方程有两个不相等实数根；C 、x 2+3=2x.x 2-2x+3=0.△=（-2）2-4×1×3=-8＜0，方程无实根；D 、（x-1）2+1=0.（x-1）2=-1，则方程无实根；故选B ．点睛：本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．9．D【解析】【分析】根据合并同类项、同底数幂的除法法则、分数指数运算法则、幂的乘方法则进行计算即可.【详解】解：A ：2a+3a=(2+3)a=5a ，故A 错误；B ：x 8÷x 2=x 8-2=x 6，故B 错误；C ：12a C 错误；D ：(-a -2)3=-a -6=-61a ，故D 正确. 故选D.【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂的除法法则、分数指数运算法则、幂的乘方法则.其中指数为分数的情况在初中阶段很少出现.10．B【解析】【分析】根据两个负数，绝对值大的反而小比较．【详解】解：∵−＞−1＞−＞−π，∴负数中最大的是−．故选：B．【点睛】本题考查了实数大小的比较，解题的关键是知道正数大于0，0大于负数，两个负数，绝对值大的反而小．11．A【解析】因为点M（-2，3）在双曲线上，所以xy=（-2）×3=-6，四个答案中只有A符合条件．故选A 12．D【解析】【分析】由图可知：第①个图案有三角形1个，第②图案有三角形1+3＝4个，第③个图案有三角形1+3+4＝8个，第④个图案有三角形1+3+4+4＝12，…第n个图案有三角形4（n﹣1）个（n＞1时），由此得出规律解决问题．【详解】解：解：∵第①个图案有三角形1个，第②图案有三角形1+3＝4个，第③个图案有三角形1+3+4＝8个，…∴第n个图案有三角形4（n﹣1）个（n＞1时），则第⑦个图中三角形的个数是4×（7﹣1）＝24个，故选D．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，根据给定图形中三角形的个数，找出a n＝4（n﹣1）是解题的关键．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．2【解析】【分析】将数据排序后，位置在最中间的数值。
2020年上海黄浦初三数学一模试卷及答案
(C ) AD AB DE BC ; (D) AD AC AB AE .黄浦区2019学年度第一学期九年级期终调研测试数学试卷2020年1月（满分150分，考试时间100分钟）考生注意：1•本试卷含三个大题，共 25题；2. 答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3. 除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置写出证明或计算的主要步骤•、选择题： （本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置 上•】表达式是（▲）. 2.3. (A) 8;在 Rt △ ABC中, (A ) m sin ;已知一个单位向量 b 4，如果线段b 是线段(B ) 6 ;90°，如果/ A=(B)v ve ，设 m cos ;v 是非零向量, a 和c 的比例中项，那么线段 c 的长度是（▲）.(C ) 2 2 ;(D ) 2. AB m ，那么线段AC 的长可表示为(C ) m tan ; 那么下列等式中正确的是（▲ )•(D ) ▲). m cot 1 r r(A) i^a e ;a(B)(D ) 十aa4. 已知二次函数yx 2，如果将它的图像向左平移1个单位，再向下平移 2个单位，那么所得图像的5. 6. (A) y (x 1)2(C ) y (x 1)2在厶ABC 与厶DEF中，A D 60o , -ABDF那么/ E 的度数是（▲）. (A) 50°;70°;(B) AC DE(D) 如图 (A)1,点 AD ABy (x1)2 2;D 、E 分别在△ ABC 的两边BA 、CA 的延长线上,DE AD;（B ）BCAC下列条件能判定 ED // BC 的是（▲）.AE AB ;(D)(B) 图180°二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）计算：v v v v2(3b 2 a) (a 2b) = ▲如图2,在厶ABC中，点D、E分别在△ ABC的两边AB、AC上，且DE II BC,如果AE 5 , EC 3 ,DE 4，那么线段BC的长是▲AP.写出一个对称轴是直线x 1，且经过原点的抛物线的表达式▲.2 .如图4,在Rt△ ABC中，ABC 90°, BD丄AC,垂足为点D，如果BC 4 , sin DBC ，那3 么线段AB的长是▲.1.如果等腰厶ABC中，AB AC 3, cos B ，那么cos A ▲.3.如图5,在厶ABC中，BC=12, BC上的高AH=8，矩形DEFG的边EF在边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC 上 .设DE x，矩形DEFG的面积为y，那么y关于x的函数关系式是▲.（不需写出x的取值范围）..如图6,将一个装有水的杯子倾斜放置在水平的桌面上，其截面可看作一个宽BC=6厘米，长CD=16厘米的矩形.当水面触到杯口边缘时，边CD恰有一半露出水面，那么此时水面高度是▲厘米..在厶ABC中，AB=12 , AC=9，点D、E分别在边AB、AC上，且△ ADE与厶ABC与相似，如果AE=6，那么线段AD的长是▲.7.8.9.10111213141516图2 图3如图3,已知AD II BE// CF，它们依次交直线DF=15，那么线段DE的长是▲..如果点P是线段AB的黄金分割点（AP>BPh、I2于点的值是BC图4A、B、A图6F17 .如图7,在厶ABC 中，中线BF 、CE 交于点G ,且CE 丄BF ，如果AG 5 , BF的长是 ▲位于点C （点C 与点A 、B 在同一平面内），A 处测得其仰角为 、2 1.41 ,3 1.73, sin40o 0.64, cos4C ° 0.77, tan4『0.84）（1） 求该时刻无人机的离地高度； （单位：米，结果保留整数）（2） 无人机沿水平方向向左飞行 2秒后到达点F （点F 与点A 、B 、C 在同一平面内），此时于A 处测得无人机的仰角为 40，求无人机水平飞行的平均速度.（单位：米/秒，结果保留整数）6，那么线段CE18 .如图 8,在厶 ABC 中，AB=AC ，点 D 、E 在边 BC 上，/ DAE = / B=30，且A那么兰的BC值是 ▲三、解答题： （本大题共7题，满分78分）计算：cos30o ° tan60。
2020年上海市黄浦区中考数学一模试卷(解析版)
2020年上海市黄浦区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上.】1．（4分）已知线段a＝2，b＝4，如果线段b是线段a和c的比例中项，那么线段c的长度是（）A．8B．6C．D．22．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AB＝m，∠A＝α，那么AC的长为（）A．m•sinαB．m•cosαC．m•tanαD．m•cotα3．（4分）已知一个单位向量，设、是非零向量，那么下列等式中正确的是（）A．B．C．D．4．（4分）已知二次函数y＝x2，如果将它的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么所得图象的表达式是（）A．y＝（x+1）2+2B．y＝（x+1）2﹣2C．y＝（x﹣1）2+2D．y＝（x﹣1）2﹣2 5．（4分）在△ABC与△DEF中，∠A＝∠D＝60°，，如果∠B＝50°，那么∠E 的度数是（）A．50°B．60°C．70°D．80°6．（4分）如图，点D、E分别在△ABC的两边BA、CA的延长线上，下列条件能判定ED ∥BC的是（）A．B．C．AD•AB＝DE•BC D．AD•AC＝AB•AE二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）计算：2（3﹣2）+（﹣2）＝．8．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在△ABC的两边AB、AC上，且DE∥BC，如果AE＝5，EC＝3，DE＝4，那么线段BC的长是．9．（4分）如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F．如果，DF＝15，那么线段DE的长是．10．（4分）如果点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），那么的值是．11．（4分）写出一个对称轴是直线x＝1，且经过原点的抛物线的表达式．12．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足为点D，如果BC＝4，sin∠DBC＝，那么线段AB的长是．13．（4分）如果等腰△ABC中，AB＝AC＝3，cos∠B＝，那么cos∠A＝．14．（4分）如图，在△ABC中，BC＝12，BC上的高AH＝8，矩形DEFG的边EF在边BC 上，顶点D、G分别在边AB、AC上．设DE＝x，矩形DEFG的面积为y，那么y关于x 的函数关系式是．（不需写出x的取值范围）．15．（4分）如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平的桌面上，其截面可看作一个宽BC＝6厘米，长CD＝16厘米的矩形．当水面触到杯口边缘时，边CD恰有一半露出水面，那么此时水面高度是厘米．16．（4分）在△ABC中，AB＝12，AC＝9，点D、E分别在边AB、AC上，且△ADE与△ABC相似，如果AE＝6，那么线段AD的长是．17．（4分）如图，在△ABC中，中线BF、CE交于点G，且CE⊥BF，如果AG＝5，BF ＝6，那么线段CE的长是．18．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E在边BC上，∠DAE＝∠B＝30°，且，那么的值是．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：﹣cot45°．20．（10分）已知，如图，点E在平行四边形ABCD的边CD上，且，设，．（1）用、表示；（直接写出答案）（2）设，在答题卷中所给的图上画出的结果．21．（10分）某数学小组在郊外的水平空地上对无人机进行测高实验．如图，两台测角仪分别放在A、B位置，且离地面高均为1米（即AD＝BE＝1米），两台测角仪相距50米（即AB＝50米）．在某一时刻无人机位于点C（点C与点A、B在同一平面内），A 处测得其仰角为30°，B处测得其仰角为45°．（参考数据：≈1.41，≈1.73，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）（1）求该时刻无人机的离地高度；（单位：米，结果保留整数）（2）无人机沿水平方向向左飞行2秒后到达点F（点F与点A、B、C在同一平面内），此时于A处测得无人机的仰角为40°，求无人机水平飞行的平均速度．（单位：米/秒，结果保留整数）22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣﹣x+2，其顶点为A．（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标，并说明它的变化情况；（2）直线BC平行于x轴，交这条抛物线于B、C两点（点B在点C左侧），且cot∠ABC＝2，求点B坐标．23．（12分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，过点C分别作AD、AB的垂线，交边AD、AB延长线于点E、F．（1）求证：AD•DE＝AB•BF；（2）联结AC，如果，求证：．24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，平移一条抛物线，如果平移后的新抛物线经过原抛物线顶点，且新抛物线的对称轴是y轴，那么新抛物线称为原抛物线的“影子抛物线”．（1）已知原抛物线表达式是y＝x2﹣2x+5，求它的“影子抛物线”的表达式；（2）已知原抛物线经过点（1，0），且它的“影子抛物线”的表达式是y＝﹣x2+5，求原抛物线的表达式；（3）小明研究后提出：“如果两条不重合的抛物线交y轴于同一点，且它们有相同的“影子抛物线”，那么这两条抛物线的顶点一定关于y轴对称．”你认为这个结论成立吗？请说明理由．25．（14分）如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点D与点B分别位于直线AC的两侧，且AD＝AC，联结BD、CD，BD交直线AC于点E．（1）当∠CAD＝90°时，求线段AE的长．（2）过点A作AH⊥CD，垂足为点H，直线AH交BD于点F，①当∠CAD＜120°时，设AE＝x，y＝（其中S△BCE 表示△BCE的面积，S△AEF表示△AEF的面积），求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；②当＝7时，请直接写出线段AE的长．2020年上海市黄浦区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上.】1．（4分）已知线段a＝2，b＝4，如果线段b是线段a和c的比例中项，那么线段c的长度是（）A．8B．6C．D．2【分析】根据比例中项的定义，若b是a，c的比例中项，即b2＝ac．即可求解．【解答】解：若b是a、c的比例中项，即b2＝ac．42＝2c，解得c＝8，故选：A．【点评】本题主要考查了线段的比例中项的定义，注意线段不能为负．2．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AB＝m，∠A＝α，那么AC的长为（）A．m•sinαB．m•cosαC．m•tanαD．m•cotα【分析】根据余弦函数是邻边比斜边，可得答案．【解答】解：由题意，得cos A＝，AC＝AB•cos A＝m•cosα，故选：B．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，利用余弦函数的定义是解题关键．3．（4分）已知一个单位向量，设、是非零向量，那么下列等式中正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据平面向量的性质一一判断即可．【解答】解：A、•与的模相等，方向不一定相同．故错误．B、正确．C、|与的模相等，方向不一定相同，故错误．D、•与•的模相等，方向不一定相同，故错误．故选：B．【点评】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．4．（4分）已知二次函数y＝x2，如果将它的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么所得图象的表达式是（）A．y＝（x+1）2+2B．y＝（x+1）2﹣2C．y＝（x﹣1）2+2D．y＝（x﹣1）2﹣2【分析】根据平移的规律即可求得答案．【解答】解：二次函数y＝x2，将它的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的解析式为y＝（x+1）2﹣2．故选：B．【点评】本题主要考查二次函数的图象与几何变换，掌握平移的规律是解题的关键，即“左加右减，上加下减”．5．（4分）在△ABC与△DEF中，∠A＝∠D＝60°，，如果∠B＝50°，那么∠E 的度数是（）A．50°B．60°C．70°D．80°【分析】根据相似三角形的判定和性质解答即可．【解答】解：∵∠A＝∠D＝60°，，∴△ABC∽△DEF，∴∠B＝∠F＝50°，∠C＝∠E＝180°﹣60°﹣50°＝70°故选：C．【点评】考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．6．（4分）如图，点D、E分别在△ABC的两边BA、CA的延长线上，下列条件能判定ED ∥BC的是（）A．B．C．AD•AB＝DE•BC D．AD•AC＝AB•AE【分析】根据平行线分线段成比例定理、平行线的判定定理判断即可．【解答】解：∵∠EAD＝∠CAB，∴当，即AD•AC＝AB•AE，∴ED∥BC，故选：D．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理、平行线的判定定理，掌握相关的判定定理是解题的关键．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）计算：2（3﹣2）+（﹣2）＝﹣3+4．【分析】根据平面向量的加法法则计算即可．【解答】解：2（3﹣2）+（﹣2）＝6﹣4+﹣2＝﹣3+4，故答案为﹣3+4．【点评】本题考查平面向量的加法法则，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在△ABC的两边AB、AC上，且DE∥BC，如果AE＝5，EC＝3，DE＝4，那么线段BC的长是．【分析】证明△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质即可解决问题．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∴＝，∴BC＝，故答案为．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．9．（4分）如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F．如果，DF＝15，那么线段DE的长是6．【分析】根据平行线分线段成比例解答即可．【解答】解：∵AD∥BE∥CF，∴，∵DF＝15，∴，解得：DE＝6，故答案为：6【点评】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．10．（4分）如果点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），那么的值是．【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），∴＝＝．故答案为．【点评】本题考查了黄金分割的定义，牢记黄金分割比是解题的关键．11．（4分）写出一个对称轴是直线x＝1，且经过原点的抛物线的表达式答案不唯一（如y＝x2﹣2x）．【分析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要写出一个符合的即可．【解答】解：符合的表达式是y＝x2﹣2x，故答案为y＝x2﹣2x．【点评】本题考查了二次函数的性质，能熟记二次函数的性质的内容是解此题的关键．12．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足为点D，如果BC＝4，sin∠DBC＝，那么线段AB的长是2．【分析】在Rt△BDC中，根据直角三角形的边角关系求出CD，根据勾股定理求出BD，在在Rt△ABD中，再求出AB即可．【解答】解：在Rt△BDC中，∵BC＝4，sin∠DBC＝，∴CD＝BC×sin∠DBC＝4×＝，∴BD＝＝，∵∠ABC＝90°，BD⊥AC，∴∠A＝∠DBC，在Rt△ABD中，∴AB＝＝×＝2，故答案为：2．【点评】考查直角三角形的边角关系，勾股定理等知识，在不同的直角三角形中利用合适的边角关系式正确解答的关键．13．（4分）如果等腰△ABC中，AB＝AC＝3，cos∠B＝，那么cos∠A＝．【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D，过点C作CE⊥AB，垂足为E，根据余弦的定义求得BD，即可求得BC，根据勾股定理求得AD，然后根据三角形面积公式求得CE，进一步求得AE，根据余弦的定义求得cos∠A的值．【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，过点C作CE⊥AB，垂足为E，∴∠ADB＝90°∴在△ADC中，cos∠B＝＝，∴BD＝AB＝1．∵AB＝AC，AD⊥BC∴BD＝DC，∴BC＝2，∴AD＝＝＝2∵AB•CE＝AD，∴CE＝＝＝，∴AE＝＝∴cos∠A＝＝＝，故答案为．【点评】本题考查了解直角三角形，属于基础题，关键是掌握等腰三角形的性质、勾股定理，三角形面积公式．14．（4分）如图，在△ABC中，BC＝12，BC上的高AH＝8，矩形DEFG的边EF在边BC 上，顶点D、G分别在边AB、AC上．设DE＝x，矩形DEFG的面积为y，那么y关于x的函数关系式是y＝﹣+12x．（不需写出x的取值范围）．【分析】根据题意和三角形相似，可以用含x的代数式表示出DG，然后根据矩形面积公式，即可得到y与x的函数关系式．【解答】解：∵四边形DEFG是矩形，BC＝12，BC上的高AH＝8，DE＝x，矩形DEFG 的面积为y，∴DG∥EF，∴△ADG∽△ABC，∴，得DG＝，∴y＝x＝+12x，故答案为：y＝+12x．【点评】本题考查根据实际问题列二次函数关系式、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．15．（4分）如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平的桌面上，其截面可看作一个宽BC＝6厘米，长CD＝16厘米的矩形．当水面触到杯口边缘时，边CD恰有一半露出水面，那么此时水面高度是9.6厘米．【分析】直接利用勾股定理得出BF的长，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．【解答】解：如图所示：作BE⊥AE于点E，由题意可得，BC＝6cm，CF＝DC＝8cm，故BF＝＝＝10（cm），可得：∠CFB＝∠BAE，∠C＝∠AEB，故△BFC∽△BAE，∴＝，∴＝，解得：BE＝9.6．故答案为：9.6．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用以及相似三角形的判定与性质，正确把握相关性质是解题关键．16．（4分）在△ABC中，AB＝12，AC＝9，点D、E分别在边AB、AC上，且△ADE与△ABC相似，如果AE＝6，那么线段AD的长是8或．【分析】分类讨论：当△ADE∽△ABC和当△AED∽△ABC，根据相似的性质得出两种比例式进而解答即可．【解答】解：如图∵∠DAE＝∠BAC，∴当△ADE∽△ABC，∴，即，解得：AD＝8，∴当△AED∽△ABC，∴，即，解得：AD＝，故答案为：8或【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．17．（4分）如图，在△ABC中，中线BF、CE交于点G，且CE⊥BF，如果AG＝5，BF ＝6，那么线段CE的长是．【分析】如图，延长AG交BC于K．根据重心的性质以及勾股定理即可解决问题．【解答】解：如图，延长AG交BC于K．∵点G是△ABC的重心，∴AG＝2GK，BG＝2GF，CG＝2EG，∵AG＝5，BF＝6，∴GK＝，BG＝4，∵CE⊥BF，∴∠BGC＝90°，∴BC＝2GK＝5，CG＝＝＝3，∴EG＝CG＝，∴EC＝3+＝．故答案为．【点评】本题考查三角形的中线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．18．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E在边BC上，∠DAE＝∠B＝30°，且，那么的值是﹣1．【分析】证明△ADE∽△BAE，得出AE2＝DE×BE，同理△ADE∽△CDA，得出AD2＝DE×CD，得出＝＝，设CD＝9x，则BE＝4x，求出AB＝×BE＝6x，作AM⊥BC于M，由等腰三角形的性质得出BM＝CM＝BC，由直角三角形的性质得出AM＝AB＝3x，BM＝AM＝3x，得出BC＝2BM＝6x，求出DE＝BE+CD﹣BC ＝13x﹣6x，即可得出答案．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝30°，∵∠DAE＝∠B＝30°，∴∠DAE＝∠B＝∠C，∵∠AED＝∠BEA，∴△ADE∽△BAE，∴＝＝，∴AE2＝DE×BE，同理：△ADE∽△CDA，∴＝，∴AD2＝DE×CD，∴＝＝（）2＝，设CD＝9x，则BE＝4x，∵＝，∴AB＝×BE＝×4x＝6x，作AM⊥BC于M，如图所示：∵AB＝AC，∴BM＝CM＝BC，∵∠B＝30°，∴AM＝AB＝3x，BM＝AM＝3x，∴BC＝2BM＝6x，∴DE＝BE+CD﹣BC＝13x﹣6x，∴＝＝﹣1；故答案为：﹣1．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识；证明三角形相似是解题的关键．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：﹣cot45°．【分析】代入特殊角的三角函数值求值．【解答】解：原式＝＝0．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．20．（10分）已知，如图，点E在平行四边形ABCD的边CD上，且，设，．（1）用、表示；（直接写出答案）（2）设，在答题卷中所给的图上画出的结果．【分析】（1）根据平面向量的平行定理即可表示；（2）根据向量定理即可画出．【解答】解：（1）∵＝，即DE＝CE，DE＝DC，＝+（2）如图所示：即为的结果．【点评】本题考查了平行四边形的性质、平面向量，解决本题的关键是准确画图．21．（10分）某数学小组在郊外的水平空地上对无人机进行测高实验．如图，两台测角仪分别放在A、B位置，且离地面高均为1米（即AD＝BE＝1米），两台测角仪相距50米（即AB＝50米）．在某一时刻无人机位于点C（点C与点A、B在同一平面内），A 处测得其仰角为30°，B处测得其仰角为45°．（参考数据：≈1.41，≈1.73，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）（1）求该时刻无人机的离地高度；（单位：米，结果保留整数）（2）无人机沿水平方向向左飞行2秒后到达点F（点F与点A、B、C在同一平面内），此时于A处测得无人机的仰角为40°，求无人机水平飞行的平均速度．（单位：米/秒，结果保留整数）【分析】（1）如图，过点C作CH⊥AB，垂足为点H，设CH＝x，则BH＝x．解直角三角形即可得到结论；（2）过点F作FG⊥AB，垂足为点G，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：（1）如图，过点C作CH⊥AB，垂足为点H，∵∠CBA＝45°，∴BH＝CH，设CH＝x，则BH＝x．∵在Rt△ACH中，∠CAB＝30°，∴．∴．解得：，∴18+1＝19．答：计算得到的无人机的高约为19m；（2）过点F作FG⊥AB，垂足为点G，在Rt△AGF中，，∴，又．∴，或答：计算得到的无人机的平均速度约为5米/秒或26米/秒．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣﹣x+2，其顶点为A．（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标，并说明它的变化情况；（2）直线BC平行于x轴，交这条抛物线于B、C两点（点B在点C左侧），且cot∠ABC＝2，求点B坐标．【分析】（1）由二次函数的性质可求解；（2）如图，设直线BC与对称轴交于点D，则AD⊥BD，设线段AD的长为m，则BD＝AD•cot∠ABC＝2m，可求点B坐标，代入解析式可求m的值，即可求点B坐标．【解答】解：（1）抛物线＝﹣（x+2）2+3的开口方向向下，顶点A的坐标是（﹣2，3），抛物线的变化情况是：在对称轴直线x＝﹣2左侧部分是上升的，右侧部分是下降的；（2）如图，设直线BC与对称轴交于点D，则AD⊥BD．设线段AD的长为m，则BD＝AD•cot∠ABC＝2m，∴点B的坐标可表示为（﹣2m﹣2，3﹣m），代入，得．解得m1＝0（舍），m2＝1，∴点B的坐标为（﹣4，2）．【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，二次函数的应用，利用参数求点B坐标是本题的关键．23．（12分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，过点C分别作AD、AB的垂线，交边AD、AB延长线于点E、F．（1）求证：AD•DE＝AB•BF；（2）联结AC，如果，求证：．【分析】（1）证明想办法证明四边形ABCD是平行四边形即可解决问题．（2）由△ACF∽△CDE，△CDE∽△CBF，推出△ACF∽△CBF，可得，又△ACF与△CBF等高，推出，可得结论．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，AD∥BC，∴∠CDE＝∠DAB，∠CBF＝∠DAB，∴∠CDE＝∠CBF，∵CE⊥AE，CF⊥AF，∴∠CED＝∠CFB＝90°，∴△CDE∽△CBF，∴，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD，CD＝AB，∴，∴AD•DE＝AB•BF．（2）∵，∠CED＝∠CFB＝90°，∴△ACF∽△CDE，又∵△CDE∽△CBF，∴△ACF∽△CBF，∴，∵△ACF与△CBF等高，∴，∴．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，平移一条抛物线，如果平移后的新抛物线经过原抛物线顶点，且新抛物线的对称轴是y轴，那么新抛物线称为原抛物线的“影子抛物线”．（1）已知原抛物线表达式是y＝x2﹣2x+5，求它的“影子抛物线”的表达式；（2）已知原抛物线经过点（1，0），且它的“影子抛物线”的表达式是y＝﹣x2+5，求原抛物线的表达式；（3）小明研究后提出：“如果两条不重合的抛物线交y轴于同一点，且它们有相同的“影子抛物线”，那么这两条抛物线的顶点一定关于y轴对称．”你认为这个结论成立吗？请说明理由．【分析】（1）设影子抛物线表达式是y＝x2+n，先求出原抛物线的顶点坐标，代入y＝x2+n，可求解；（2）设原抛物线表达式是y＝﹣（x+m）2+k，用待定系数法可求m，k，即可求解；（3）分别求出两个抛物线的顶点坐标，即可求解．【解答】解：（1）∵原抛物线表达式是y＝x2﹣2x+5＝（x﹣1）2+4∴原抛物线顶点是（1，4），设影子抛物线表达式是y＝x2+n，将（1，4）代入y＝x2+n，解得n＝3，所以“影子抛物线”的表达式是y＝x2+3；（2）设原抛物线表达式是y＝﹣（x+m）2+k，则原抛物线顶点是（﹣m，k），将（﹣m，k）代入y＝﹣x2+5，得﹣（﹣m）2+5＝k①，将（1，0）代入y＝﹣（x+m）2+k，0＝﹣（1+m）2+k②，由①、②解得，．所以，原抛物线表达式是y＝﹣（x+1）2+4或y＝﹣（x﹣2）2+1；（3）结论成立．设影子抛物线表达式是y＝ax2+n．原抛物线于y轴交点坐标为（0，c）则两条原抛物线可表示为与抛物线（其中a、b1、b2、c是常数，且a≠0，b1≠b2）由题意，可知两个抛物线的顶点分别是、将P1、P2分别代入y＝ax2+n，得消去n得，∵b1≠b2，∴b1＝﹣b2∴，，∴P1、P2关于y轴对称．【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，二次函数的应用，理解“影子抛物线”的定义并能运用是本题的关键．25．（14分）如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点D与点B分别位于直线AC的两侧，且AD＝AC，联结BD、CD，BD交直线AC于点E．（1）当∠CAD＝90°时，求线段AE的长．（2）过点A作AH⊥CD，垂足为点H，直线AH交BD于点F，①当∠CAD＜120°时，设AE＝x，y＝（其中S△BCE 表示△BCE的面积，S△AEF表示△AEF的面积），求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；②当＝7时，请直接写出线段AE的长．【分析】（1）过点E作EG⊥BC，垂足为点G．AE＝x，则EC＝2﹣x．根据BG＝EG 构建方程求出x即可解决问题．（2）①证明△AEF∽△BEC，可得，由此构建关系式即可解决问题．②分两种情形：当∠CAD＜120°时，当120°＜∠CAD＜180°时，分别求解即可解决问题．【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC﹣AC＝2，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°．∵AD＝AC，∴AD＝AB，∴∠ABD＝∠ADB，∵∠ABD+∠ADB+∠BAC+∠CAD＝180°，∠CAD＝90°，∠ABD＝15°，∴∠EBC＝45°．过点E作EG⊥BC，垂足为点G．设AE＝x，则EC＝2﹣x．在Rt△CGE中，∠ACB＝60°，∴，，∴BG＝2﹣CG＝1+x，在Rt△BGE中，∠EBC＝45°，∴，解得．所以线段AE的长是．（2）①设∠ABD＝α，则∠BDA＝α，∠DAC＝∠BAD﹣∠BAC＝120°﹣2α．∵AD＝AC，AH⊥CD，∴，又∵∠AEF＝60°+α，∴∠AFE＝60°，∴∠AFE＝∠ACB，又∵∠AEF＝∠BEC，∴△AEF∽△BEC，∴，由（1）得在Rt△CGE中，，，∴BE2＝BG2+EG2＝x2﹣2x+4，∴（0＜x＜2）．②当∠CAD＜120°时，y＝7，则有7＝，整理得3x2+x﹣2＝0，解得x＝或﹣1（舍弃），．当120°＜∠CAD＜180°时，同法可得y＝当y＝7时，7＝，整理得3x2﹣x﹣2＝0，解得x＝﹣（舍弃）或1，∴AE＝1．【点评】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．。
2020年上海黄浦初三数学一模试卷及答案
学霸推荐学习十法一、听视并用法二、听思并用法三、五到听课法四、符号助记法五、要点记取法六、主动参与法七、听懂新知识法八、目标听课法九、质疑听课法十、存疑听课法图1黄浦区2019学年度第一学期九年级期终调研测试数 学 试 卷 2020年1月（满分150分，考试时间100分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效； 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置写出证明或计算的主要步骤.一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上.】1．已知线段2a =，4b =，如果线段b 是线段a 和c 的比例中项，那么线段c 的长度是（ ▲ ）． （A ）8；（B ）6；（C ）22（D ） 2．2．在Rt △ABC 中，90C ∠=o ，如果∠A =α，AB m =，那么线段AC 的长可表示为（ ▲ ）． （A ）sin m α⋅；（B ）cos m α⋅；（C ）tan m α⋅；（D ）cot m α⋅．3．已知一个单位向量e v ，设a v 、b v是非零向量，那么下列等式中正确的是（ ▲ ）．（A ）1a e a=r rr ；（B ）e a a =r r r ； （C ）b e b =r r r；（D ）11a b a b=r r r r ．4．已知二次函数2x y =，如果将它的图像向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么所得图像的表达式是（ ▲ ）． （A ）2(1)2y x =++； （B ）2(1)2y x =+-； （C ）2(1)2y x =-+；（D ）2(1)2y x =--．5．在△ABC 与△DEF 中，60A D ∠=∠=o ，AB AC DFDE=，如果∠B =50°，那么∠E 的度数是（ ▲ ）． （A ）50°； （B ）60°； （C ）70°；（D ）80°．6．如图1，点D 、E 分别在△ABC 的两边BA 、CA 的延长线上，下列条件能判定ED ∥BC 的是（ ▲ ）．（A ）AD DEAB BC=； （B ）AD AEAC AB=； （C ）AD AB DE BC ⋅=⋅；（D ）AD AC AB AE ⋅=⋅．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．计算：2(32)(2)b a a b -+-v v v v= ▲ ．8．如图2，在△ABC 中，点D 、E 分别在△ABC 的两边AB 、AC 上，且DE ∥BC ，如果5AE =，3EC =，4DE =，那么线段BC 的长是 ▲ ．BB图2 图3 图4 图5 9．如图3，已知AD ∥BE ∥CF ，它们依次交直线1l 、2l 于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ．如果23AB BC =，DF =15，那么线段DE 的长是 ▲ ．10．如果点P 是线段AB 的黄金分割点（AP >BP ），那么BPAP的值是 ▲ ． 11．写出一个对称轴是直线1x =，且经过原点的抛物线的表达式 ▲ ．12．如图4，在Rt △ABC 中，90ABC ∠=o ，BD ⊥AC ，垂足为点D ，如果4BC =，2sin 3DBC ∠=，那么线段AB 的长是 ▲ ．13．如果等腰△ABC 中，3AB AC ==，1cos 3B ∠=，那么cos A ∠= ▲ ．14．如图5，在△ABC 中，BC =12，BC 上的高AH =8，矩形DEFG 的边EF 在边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上．设DE x =，矩形DEFG 的面积为y ，那么y 关于x 的函数关系式是 ▲ ． （不需写出x 的取值范围）．15．如图6，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平的桌面上，其截面可看作一个宽BC =6厘米，长CD =16厘米的矩形．当水面触到杯口边缘时，边CD 恰有一半露出水面，那么此时水面高度是 ▲ 厘米．16．在△ABC 中， AB =12，AC =9，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且△ADE 与△ABC 与相似，如果AE =6，那么线段AD 的长是 ▲ ．桌面图6B图7图917．如图7，在△ABC 中，中线BF 、CE 交于点G ，且CE ⊥BF ，如果5AG =，6BF =，那么线段CE的长是 ▲ ．18．如图8，在△ABC 中，AB =AC ，点D 、E 在边BC 上，∠DAE =∠B =30°，且32AD AE=，那么DE BC的值是 ▲ ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）计算：cos 30tan 60sin 60cot 45--o o o o20．（本题满分10分）已知，如图9，点E 在平行四边形ABCD 的边CD 上，且12DE CE=，设AB a =uu r r ，AD b =uur r．（1）用a r 、b r 表示AE uu r；（直接写出答案）（2）设AE c =uu u r r ，在答题卷中所给的图上画出3a c -r r的结果．21．（本题满分10分）某数学小组在郊外的水平空地上对无人机进行测高实验．如图10，两台测角仪分别放在A 、B 位置，且离地面高均为1米（即1AD BE ==米），两台测角仪相距50米（即AB =50米）．在某一时刻无人机位于点C (点C 与点A 、B 在同一平面内），A 处测得其仰角为30︒，B 处测得其仰角为45︒．（参考数据：1.41 1.73，sin400.64≈o ，cos400.77≈o ，tan400.84≈o ）（1）求该时刻无人机的离地高度；（单位：米，结果保留整数）（2）无人机沿水平方向向左飞行2秒后到达点F （点F 与点A 、B 、C 在同一平面内），此时于A 处测得无人机的仰角为40︒，求无人机水平飞行的平均速度．（单位：米/秒，结果保留整数）A图8图11Oxy22．（本题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2124y x x =--+，其顶点为A ． （1）写出这条抛物线的开口方向、顶点A 的坐标，并说明它的变化情况；（2）直线BC 平行于x 轴，交这条抛物线于B 、C 两点（点B 在点C 左侧），且cot 2ABC ∠=，求点B 坐标．23．（本题满分12分）已知：如图11，在平行四边形ABCD 中，过点C 分别作AD 、AB 的垂线，交边AD 、AB 延长线于点E 、F ．（1）求证：AD DE AB BF ⋅=⋅；（2）联结AC ，如果CF ACDE CD=，求证：22AC AF BC BF =．24．（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，平移一条抛物线，如果平移后的新抛物线经过原抛物线顶点，且新抛物线的对称轴是y 轴，那么新抛物线称为原抛物线的“影子抛物线”．（1）已知原抛物线表达式是225y x x =-+，求它的“影子抛物线”的表达式；（2）已知原抛物线经过点（1，0），且它的“影子抛物线”的表达式是25y x =-+，求原抛物线的表达式；（3）小明研究后提出：“如果两条不重合的抛物线交y 轴于同一点，且它们有相同的“影子抛物线”，那么这两条抛物线的顶点一定关于y 轴对称．”你认为这个结论成立吗？请说明理由．xOy25．（本题满分14分）如图12，△ABC 是边长为2的等边三角形，点D 与点B 分别位于直线AC 的两侧，且AD =AC , 联结BD 、CD ，BD 交直线AC 于点E . （1）当∠CAD =90°时，求线段AE 的长.（2）过点A 作AH ⊥CD ，垂足为点H ，直线AH 交BD 于点F ，①当∠CAD <120°时，设AE x =，BCEAEFS y S =V V （其中BCE S V 表示△BCE 的面积，AEF S V 表示△AEF 的面积），求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； ②当7BCEAEFS S =V V 时，请直接写出线段AE 的长.BDB图12备用图黄浦区2019学年度第一学期九年级期终调研测试数学评分标准一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1． A ； 2． B ； 3．B ； 4． B ； 5．C ； 6． D ． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7． 34a b -+v v； 8．325； 9． 6； 10．12； 11．答案不唯一（如22y x x =-）； 12． 13．79； 14．23122y x x =-+； 15．9.6； 16． 8或92； 17． 92； 18．118-． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）解：原式1- …………………………………………………… (2+2+2+2分)=0． ………………………………………………………………………… (2分) 20．（本题满分10分（1）13a b +r v；……………… ………………………………………………………… (5分)（2）图略．……………………………………………………………（画图4分，结论1分） 21．（本题满分10分） 解：（1）如图，过点C 作CH AB ⊥，垂足为点H ．…………………………………… (1分) ∵45CBA ∠=︒，∴BH CH =．…………………………………………………………………………… (1分) 设CH x =，则BH x =．∵在Rt △ACH 中，30CAB ∠=︒，∴AH ==． …………………………………………………………… (1分)∴50x =． …………………………………………………………………… (1分)解得：18x =≈…………………… (1分) ∴ 18119+=．答：计算得到的无人机的高约为19m ．……………………………………………………(1分) （2）过点F 作FG AB ⊥，垂足为点G ． ………………………………………………(1分)在Rt △AGF 中，tan FGFAG AG∠= ．………………………………………………………(1分)∴tan 401821.40.84FG AG =≈≈o．……………………………………………………(1分)又31.14AH =≈．∴31.1421.452-≈，或31.1421.4262+≈答：计算得到的无人机的平均速度约为5米/秒或26米/秒．…………………………… (1分)22．（本题满分10分） （1）抛物线2124y x x =--+的开口方向向下，……………………………………… (1分) 顶点A 的坐标是(2,3)-，………………………………………………………………… (2分) 抛物线的变化情况是：在对称轴直线2x =-左侧部分是上升的，右侧部分是下降的．(2分) （2）设直线BC 与对称轴交于点D ，则AD ⊥ BD ．设线段AD 的长为m ，则cot 2BD ABC AD m =∠⋅=．……………………………… (1分) ∴点B 的坐标可表示为(22,3)m m ---．……………………………………………… (2分) 代入2124y x x =--+，得 213(22)(22)24m m m -=------+．解得10m =（舍），21m =．……………………………………………………………… (1分) ∴点B 的坐标为(4,2)-．………………………………………………………………… (1分) 23．（本题满分12分）（1）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴CD ∥AB ，AD ∥BC ，∴∠CDE =∠DAB ，∠CBF =∠DAB ．∴∠CDE =∠CBF ．……………………………………………………………………（2分） ∵CE ⊥AE ，CF ⊥AF ， ∴∠CED =∠CFB =90°．………………………………………………………………（1分） ∴△CDE ∽△CBF ．…………………………………………………………………（1分）∴BC CDBF DE=．…………………………………………………………………………（1分） ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴BC =AD ，CD =AB ．∴AD ABBF DE=． ∴AD DE AB BF ⋅=⋅．…………………………………………………………（1分） （2）∵CF ACDE CD=，∠CED =∠CFB =90°， ∴ △ACF ∽△CDE ．………………………………………………………（2分） 又 ∵ △CDE ∽△CBF ，∴ △ACF ∽△CBF ．………………………………………………………（1分）∴22ACF CBF S AC S BC =V V ．………………………………………………………………………（1分） ∵△ACF 与△CBF 等高， ∴ACF CBF S AFS BF=V V ．………………………………………………………………………（1分） ∴22AC AFBC BF=．………………………………………………………………………（1分） 24．（本题满分12分）（1）由题意，可知原抛物线顶点是(1,4)．………………………………………………（1分）设影子抛物线表达式是2y x n =+，………………………………………………（1分） 将(1,4)代入2y x n =+，解得3n =．………………………………………………（1分） 所以“影子抛物线”的表达式是23y x =+．………………………………………（1分）（2）设原抛物线表达式是2()y x m k =-++，则原抛物线顶点是(,)m k -．将(,)m k -代入25y x =-+，得2()5m k --+=① ………………………………（1分） 将（1，0）代入2()y x m k =-++，20(1)m k =-++②…………………………（1分）由①、②解得 1114m k =⎧⎨=⎩，2221m k =-⎧⎨=⎩．所以，原抛物线表达式是2(1)4y x =-++或2(2)1y x =--+．…………………（2分）（3）结论成立．……………………………………………………………………（1分） 设影子抛物线表达式是2y ax n =+．原抛物线于y 轴交点坐标为(0,)c则两条原抛物线可表示为211y ax b x c =++与抛物线222y ax b x c =++（其中a 、1b 、2b 、c 是常数，且0a ≠，12b b ≠）由题意，可知两个抛物线的顶点分别是21114(,)24b ac b P a a --、22224(,)24b ac b P a a-- 将1P 、2P 分别代入2y ax n =+，得221122224()244()24b ac b a n a a b ac b a n a a ⎧--+=⎪⎪⎨-⎪-+=⎪⎩…………………………………………………………（1分） 消去n 得2212b b =．………………………………………………………………………（1分）∵12b b ≠，∴12b b =-∴22214(,)24b ac b P a a -，22224(,)24b ac b P a a--， ………………………………………（1分） ∴1P 、2P 关于y 轴对称．25．（本题满分14分）（1）∵△ABC 是等边三角形，∴AB =BC -AC =2，∠BAC =∠ABC =∠ACB =60°. ∵AD =AC , ∴ AD =AB . ∴∠ABD =∠ADB .11 ∵∠ABD +∠ADB +∠BAC +∠CAD =180°，∠CAD =90°，∠ABD =15°. ∴ ∠EBC = 45°. ……………………………………………………………（1分） 过点E 作EG ⊥BC ，垂足为点G . ………………………………………………………（1分） 设AE x =，则2EC x =-.在Rt △CGE 中，∠ACB =60°，∴sin )A EG EC B x C =⋅∠=-，1cos 12C EC x ACB G ∠-==⋅.…………………（1分） ∴1212BG EG x =-=+. 在Rt △BGE 中，∠EBC =45°，∴11)2x x +-. ………………………………………………………………（1分）解得4x =-.所以线段AE的长是4-………………………………………………………………（1分）（2）①设ABD α∠=，则BDA α∠=，1202DAC BAD BAC α∠=∠-∠=-o∵AD =AC , AH ⊥CD ， ∴1602CAF DAC α∠=∠=-o .…………………………………………………………（1分）又∵60AEF α∠=+o ，∴60AFE ∠=o .…………………………………………………（1分） ∴AFE ACB ∠=∠.又∵AEF BEC ∠=∠，∴△AEF ∽△BEC . ………………………………………………（1分） ∴22BCE AEF S BE S AE =V V .……………………………………………………………………………（1分） 由（1）得在Rt △CGE 中，112BG x =+，)EG x =- ∴222224BE BG EG x x =+=-+. ∴ 2224x x y x -+= (02x <<) ………………………………………………………（2分） ② 当∠CAD <120°时，23AE =；…………………………………………………………（2分） 当120°<∠CAD <180°时，1AE =.……………………………………………………（2分）。