07-08-1概率统计期中试卷答案(理工)

天津工业大学（2007—2008学年第一学期）2006级《概率论与数理统计》期中试卷 (2007/11)特别提示：请考生在密封线左侧的指定位置按照要求填写个人信息，若写在其它处视为作弊。

一.填空题（本题满分32分）1. 设有5个独立工作的元件1，2，3，4，5，它们的 可靠性为54321,,,,p p p p p ，它们按右图方式连接则该系统可靠性为54321541321p p p p p p p p p p p -+2. 某酒吧柜台前有吧凳7张，无人就坐，现有2个客人进来随机就坐，则两人就坐相隔凳子数X 的概率分布为3. 每天某种商品销售件数)(~λπX ,随机的选取4天，其中恰有一天的销售量为5件的概率为45514!51!5⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--λλλλe e C________________ 4. 则22+=X Y 的分布函数为-----------------------密封线----------------------------------------密封线---------------------------------------密封线----------------------------------------------学院专业班级学号姓名----------------------装订线----------------------------------------装订线----------------------------------------装订线---------------------------------------------0 2<x512≤3<x()=y F Y 30133≤6<x30196≤11<x1 x ≥115. 设随机变量X 在1，2，3，4四个数中等可能的取一个值，另一个随机变量Y 在X ~1中等可能的取一整数值，则),(Y X 的分布律为6. 设随机变量 ()Y X ,的分布律为则 =⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<221X P 43 7.设54321,,,,X X X X X 相互独立且同时服从于N （12，4），则{}=<10),,,,min(54321X X X X X P ()115Φ-.(至查表为止)8. 设随机变量)6,0(~U X ,则方程04522=-++X Xt t 有实根的概率为21二. （本题满分8分）设随机变量Y X ,都服从)4,0(上的均匀分布，且{}853,3=≤≤Y X P .求{}3,3>>Y X P 解：41 0＜x ＜4 41 0＜y ＜4 ()=x f X ， ()=y f Y0 其它 0 其它{}{}⎰==≤=≤30434133dx Y P X P{}{}()(){}813313,313,3=≤≤-=>>-=>>Y X P Y X P Y X P 三. （本题满分10分）某厂生产的电器元件合格品率为0.8,每盒装有此种元件4个，从中任取两个，经检验两个都合格，就买下这盒元件。

试求一盒元件被买下的概率。

解：设X 表示“盒中４个元件合格个数”，4,3,2,1,0=X }{i X B i ==()()()i i ii C B P -=442.08.0 4,3,2,1,0=i X ～()8.0,4b A 表示“盒中元件被买下”，()⎪⎩⎪⎨⎧===1,0,04,3,2 ,242i i C C B A P i i ，()()()64.040==∑=i i i B A P B P A P四. （本题满分10分）轰炸机共带三颗炸弹去轰炸铁路设施,如果炸弹落在铁路两旁40米内,就可使铁路遭到破坏.已知在一定投弹准确度下,炸弹落点与铁路距离X 的概率密度函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤<-<<+=100x100x 0 100001000100-10000100)(x x xx f(1) 如果三颗炸弹全部投下去,问铁路设施被破坏的概率是多少?(2) 如果炸弹落在铁路两旁20米内才可使铁路设施遭到破坏,那么三颗炸弹全部投下去,问铁路设施没有遭到破坏的概率是多少?解：⑴X 表示“炸弹落在铁路两旁的距离”{}{}404040<<-=<X P X P ＝⎰⎰-++-4000401000010010000100dx x dx x＝64.0 设事件i A 表示“第i 颗炸弹落在铁路两旁40米内” 3,2,1=i则()64.0=i A P ()36.0=i A P()()()()()953.011321321321=-=-=A P A P A P A A A P A A A P⑵{}36.0100001001000010020020200=-++=<⎰⎰-dx x dx xX Pi B 表示“第i 颗炸弹落在铁路两旁20米内”，3,2,1=i()36.0=i B P ，()64.0=i B P()()()()26.064.03321321===B P B P B P B B B P五. （本题满分10分）设随机变量X 的概率密度为, ⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它 0x 02)(2ππxx f X求 ⑴ Xe Y 2=的概率密度函数。

⑵ X Y sin =的概率密度函数。

解：⑴当π<<x 0时，x e y 2=取值为π21e y <<x e y 2=，022>='x e y ， y x ln 21=，yx 21='yy22ln π π21e y << ∴()=y f Y0 其它⑵当π<<x 0时，x y sin =取值为10<<y 当20π<<x 时，0cos >='x y ，()y y h x arcsin 1==，()2111yy h -='当ππ<<x 2时，0cos <='x y ，()y y h x arcsin 2-==π，()2211yy h --='故()222211arcsin 211arcsin 2yy yy--+-πππ 10<<y()=y f Y0 其它212y-π 10<<y=0 其它 六．（本题满分12分）设随机变量),(Y X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤≤≤其它＝0y 0 2,x 0 ),(2x Axy y x f 。

求 ⑴系数A ⑵X 和Y 的边缘密度函数, X 和Y 是否相互独立，说明理由 。

⑶()x y f X Y ⑷}2{≥+Y X P解： Axy 0≤x ≤2，0≤y ≤2x()=y x f ,0 其它 ⑴⎰⎰=221x Axydy dx ⎰⎰=22x ydy xdx A ⎰⋅=20521dx x A A 316= ∴163=A ⑵32321631635402x x x xydy x =⋅=⎰20<<x()=x f X0 其它3238321631632222y y x y xydx yy -=⋅=⎰40<<y ()=y f Y0 其它()()()y f x f y x f Y X ≠, 故X 和Y 不独立 ⑶当20<<x 时()()452323163,x yx xyx f y x f X == 20,20x y x <<<<()=x y f X Y0 其它 ⑷ {}2≥+Y X P ⎰⎰-=2221163x x xydy dx ()()d x x x x ⎰--⋅=2124221163 ()⎰-+-=212444163dx x x x x ()⎰-+-=2123544323dx x x x x 21234623446323⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+--+-=234416183324664323128121= 七．（本题满分8分）设随机变量Y X ,的密度函数分别为，⎪⎩⎪⎨⎧<<-=-- 其它 0101)(1x e e x f x X ， ⎩⎨⎧≤>=-000)(y y e y f yY 求Y X Z +=的概率密度。

解：11---e e x10<<x()=x f X 0 其它()x z e -- z x < ()=-x z f Y0 其它10<<x当 时，()()0≠-x z f x f Y X z x <当10<<z 时，()=z f Z ()()⎰-zY X dx x z f x f 0()⎰-----=zx z x dx e e e 01111---=e ze z当z ≥1时，()z f Z ()⎰-----=1011dx e e e x z x 11---=e e z11---e ze z10<<z∴()=z f Z 11---ee zz ≥10 其它八．（本题满分10分）设随机变量X 在)2,0(上服从均匀分布，当观察到)20(<<=x x X 时，Y 在区间)2,(x 内服从均匀分布。

求 （1）),(Y X 的联合密度函数),(y x f ，（2）计算⎭⎬⎫⎩⎨⎧=≤211X Y P ，（3）Y 的密度函数)(y f Y 解： 2120<<x ⑴由题意()=x f X0 其它 x-212<<y x 当20<<x 时 ，()=x y f XY0 其它()x -22120<<<y x∴()()()==x y f x f y x f XY X ,0 其它⑵ 32 221<<y =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21x y f X Y 0 其它⎭⎬⎫⎩⎨⎧=≤211x Y P ⎰=12132dy 2132⋅=31=⑶ ()⎰-y dx x 022120<<y ()=y f Y0 其它yx 021ln 21⎪⎭⎫ ⎝⎛--20<<y =0 其它 ⎪⎭⎫⎝⎛--21ln 21y 20<<y =0 其它。