《概率统计》期中试卷答案2016.5

(1) EY = np = 5 (1 − e −1 ) ，
DY = npq = 5 (1 − e −1 ) e −1 ，
(2) P { Y ≤ 4 } = 1 − P { Y > 4 } = 1 − P {Y = 5} = 1 − (1 − e −1 ) 5 . 八．(10 分) 某工程队完成某项目所需要时间 X (天)服从 N (100, 5 2 ) ，工程队上级规定： 若工程在 100 天内完成，可以得到奖金 10 万元；在 100～115 天内完成，可以得到奖金 3 万元， 若超过 115 天完成，罚款 5 万元．求该工程队在完成该项工程时，获取金额的期望． （附标准正态分布函数值：Φ (1) = 0.8413 , Φ ( 2) = 0.97725 , Φ ( 3) = 0.99865 ） 解： X ~ N (100, 5 2 ) , 设获取金额为 Y ,
′
y } = F X ( y ) − FX (− y ) ，此时
′ ( y ) ⋅ 1 + FX ′ ( − y ) ⋅ 1 = f ( y ) ⋅ 1 + f (− y ) ⋅ 1 , fY ( y ) = [FY ( y )] ′ = F X 2 y 2 y 2 y 2 y = 1 1 f ( y) = y π (1 + y ) y y>0 y≤0
100 − 100 ) = Φ (0) = 0.5 , 5 115 − 100 100 − 100 P{ Y = 3 } = P{ 100 < X ≤ 115 } = F (115 ) − F (100) = Φ ( ) −Φ ( ) 5 5 = Φ ( 3) − Φ ( 0) = 0.99865 − 0.5 = 0.49865 ,
解：(1)
∫− ∞ f ( x )dx = ∫0
+∞
+∞
Axe
−= − A∫0 e+∞−
= A = 1，
0
∴ A = 1, − 此时 f ( x ) = xe 0,
x2 2
,
x>0 x≤0
x
；
(2) 当 x ≤ 0 时， F ( x ) =
∫− ∞ f (t )dt = ∫− ∞ 0 dt = 0,
求：(1) Y = X 2 的概率密度 fY ( y ) ；
(2) E (arctan X ) ．
解： (1) FY ( y ) = P {Y ≤ y } = P { X 2 ≤ y } , 当 y ≤ 0 时， FY ( y) = 0, 此时 fY ( y) = [FY ( y)] = 0, 当 y > 0 时， FY ( y ) = P {− y < X <
−
1 2
− e−2 ； 设x 2 = 2t
+∞ 1 dt = 2 ∫0 t e − t dt 2 t
EX = ∫− ∞ x f ( x )dx = ∫0
= 2 ∫0
+∞ 3 −1 t 2 e −t
+∞
+∞
x2 − x 2e 2 dx
∫0
+∞
2te − t
3 1 1 π . dt = 2Γ ( ) = 2 ⋅ Γ ( ) = 2 2 2 2
0.6
.
2．某校学生四级英语考试的通过率为 90%，其中 60%学生还通过六级考试，则随意选出一名学 生，该生通过六级的概率为 姓名
0.54
.
3．设离散型随机变量 X 的分布函数 F ( x ) =
4．设随机变量 X 的概率密度 f ( x ) =
0, x < −1 0.2, − 1 ≤ x < 1 ，则 X 的分布律为 0.7 , 1 ≤ x < 2 1, x≥2
浙江财经大学课程期中考试试卷
− 五．(10分) 已知连续型随机变量X 的密度函数为 f ( x ) = Axe 0,
求：(1) 常数 A；
x2 2
,
x>0 x≤0
(4) EX ．
x2 2 +∞
(2) X 的分布函数 F(x)； (3) P { 1 < X < 2 } ；
x2 2 dx x2 2 d (− − x2 ) = − Ae 2
=
1 1 1 1 1 5 53 × + × + × = ; 3 5 3 2 3 8 120
1 1 × P ( A2 ) P ( B | A2 ) 3 2 20 (2) P ( A2 | B ) = = = . 53 P (B) 53 120 2 X -2 -1 0 P 0.2 0.4 0.1 0.3
X P
-1 0.2
1 0.5
2 0.3
封
3 x 2 , 0 < x < 1 ，且 P { X ≥ α } = 0.784 ， 其他 0,
学号：
则α =
0.6
.
5．设随机变量 X 服从参数为 λ 的泊松 (Poisson) 分布，且已知 E[( X − 1)( X − 2)] = 1 ， 则λ =
(2) P { X ≥ 3} = 1 − P { X < 3} = 1 − P { X = 0} − P { X = 1} − P { X = 2} = 1 − 61 e −10 ．
七． (10 分) 设 X 服从参数 λ =
1 的指数分布， Y 表示对 X 的 5 次独立重复观察中事件“ X < 2 ” 2
第 3 页（共 5 页）
P D F
c re a te d
w ith
p d f F a c to r y tr ia l v e r s io n
浙江财经大学课程期中考试试卷
六．(10 分)设一城市某公交线路终点站的载客人数服从泊松分布，且每辆进站车车中无人的概率 为 e −10 ，现任意观察一辆到达终点站的汽车， 求：(1) 车中有 5 人的概率； (2) 车中至少有 3 人的概率．
浙江财经大学课程期中考试试卷
浙江财经大学 2015～2016 学年第二学期
《 概率论与数理统计 》课程期中考试试卷（答案） 考核方式： 闭卷 考试日期： 2016 年 月 日 适用专业、班级： 14 级各专业
题 得 号 分 一 二 三 四 五 六 七 八 九 总分 线 评卷人 （共 九 大 题 ） 一、填空题（每小题 2 分，共 20 分） 1．设 A, B 为随机事件，且 P ( A) = 0.7, P ( A − B ) = 0.3 ，则 P ( AB ) =
则 P { Y = 10 } = P { X ≤ 100 } = F (100 ) = Φ (
P{ Y = − 5 } = P{ X > 115 } = 1 − P{ X ≤ 115 } = 1 − F (115 ) = 1 − Φ ( 3) = 1 − 0.99865 = 0.00135 ∴ EY = 10 × 0.5 + 3 × 0.49865 + ( −5) × 0.00135 = 6.4892 (万元).
第 4 页（共 5 页）
P D F
c re a te d
w ith
p d f F a c to r y tr ia l v e r s io n
浙江财经大学课程期中考试试卷
九．(10 分) 设随机变量 X 的概率密度为 f ( x ) =
1 , ( −∞ < x < +∞ ) ， π (1 + x 2 )
1
.
6．设随机变量 X 服从[ 0, 2 ]上的均匀分布，则 P { X > DX } = 7． 设随机变量 X 服从参数 λ =
5 6
.
班级：
1 的指数分布， 且Y = 2 X − 1 ， 则 E (Y 2 ) ＝ 2
25 2.4
. .
8． 设 X 表示 10 次独立重复射击中命中目标的次数， 每次命中的概率为 0.4， 则 D( X ) = 9．设随机变量 X ~ N (1,4) ,已知Φ (0.5) = 0.6915 , Φ (1.5 ) = 0.93319 ， 则 P { | X | < 2} =
0.62469
.
10．利用正态分布的结论，有 密
∫− ∞
+∞
− 1 ( x 2 − 4 x + 4) e 2π
( x − 2) 2 2 dx
=
1
.
第 1 页（共 5 页）
P D F
c re a te d
w ith
p d f F a c to r y tr ia l v e r s io n
(3)
P { X < 0 | X ≠ −1 } =
P { X < 0, X ≠ −1 } P { X = −2 } 0.2 1 = = = ． P { X ≠ −1 } P { X ≠ −1 } 0.6 3
第 2 页（共 5 页）
P D F
c re a te d
w ith
p d f F a c to r y tr ia l v e r s io n
(2) P { Y ≤ 4} ．
出现的次数，求： (1) EY 和 DY ；
1 −1 x e 2 , 解： 由 X ~ f ( x ) = 2 0,
x > 0 , 得 P{ X < 2} = F ( 2) = 1 − e −1 . x≤0
k ∴ Y ~ B (5, 1 − e −1 ), 即有 P {Y = k } = C 5 (1 − e −1 ) k (e −1 )5 − k , (k = 0,1,2, 3,4,5)
2
四．(10 分) 设随机变量 X 的概率分布为： 求：(1) X 的分布函数 F(x) ；