————计算简单梁在集中荷载作用下的支座反力
《工程力学》(二)辅导资料七
工程力学（二）辅导资料七主题：第三章结构力学知识回顾（第1~2节）学习时间：2012年11月12日－11月18日内容：本周我们学习平面体系组成分析，静定梁、静定平面刚架的内力计算及内力图绘制，三铰拱的内力分析及合理轴线的相关内容。
希望通过本周的学习，使同学们加深对相关知识的认识和理解。
基本要求与重点：1.理解自由度、几何可变体系与几何不变体系、瞬变体系、瞬铰的概念；2.了解计算自由度的计算方法；3.掌握几何不变体系的基本组成规律，并能应用这些规律分析平面体系的几何构造；4.理解静定梁的分析方法和受力特点；5.掌握各种荷载作用下梁的内力图画法，掌握叠加法画弯矩图；6.掌握静定刚架（简支、悬臂、三铰刚架）的内力计算和内力图的画法；7.了解拱式结构的分类及各自的特点，掌握三铰拱在竖向荷载作用下的内力计算；8.掌握静定平面桁架结构的受力特点和结构特点；9.熟练掌握结点法、截面法和联合法求解桁架结构的内力。
一、平面几何体系组成分析（一）概述1.几何不变体系与几何可变体系几何不变体系——在不考虑材料应变的条件下，体系的位置和形状是不能改变的；几何可变体系——在不考虑材料应变的条件下，体系的位置和形状是可以改变的。
2.自由度平面内一点有两种独立运动方式，因此一点在平面内有两个自由度。
一个刚片在平面内有三种独立的运动方式，因此一个刚片在平面内有三个自由度。
一般说来，如果一个体系有n个独立运动的方程，则这个体系有n个自由度。
换句话说，一个体系自由度的个数，等于这个体系运动时可以独立改变的坐标的数目。
（二）计算自由度计算自由度可采用以下几种算法：①把体系看作由许多刚片受铰结、刚结和链杆的约束而组成的。
以m表示体系中刚片的个数，则刚片的自由度个数总和为3m。
计算约束总数时，体系中如有复约束，则应事先把它折合成单约束；刚片内部如有多余约束，也应把它们计算在内。
以g代表单刚结个数，以h代表单铰结个数，以b代表单链杆根数，则约束总数为32++。
简支梁力学ppt课件
解法二：1）、取梁整体研究，作受力图 2）、由对称得
RA=R图示梁的支座反力
解：1）、 取整体研究， 作受力图
A 20KN
2m
1m
XA
mA
20KN
2m
1m
YA
13
2）、列平衡方程，求解
∑ Y= 0 ∑ X=0 ∑ mA=0
YA-20=0 XA=0 - mA+20×2=0
（2）∑mB=0，RA ×6-40 ×4-10 × 2=0，解之， RA=30KN （↑）
3）校核 ∵ ∑ Y= RA + RB –40-10=0 ∴计算无误（只有支反
40KN A
10KN B
2m 2m 2m
力无误，才有可能作的内
力图正确）
6m
RA
RB
8
2、求下图所示悬臂梁的支座反力。
P=10KN A
直于梁轴线、向下。
5
二、新课--计算简单梁在集中 荷载作用下的支座反力
（一）、计算方法和步骤
1、选取研究对象，根据梁支座约束性质作梁 的受力图
2、根据平面平行力系平衡条件恰当列平 衡方程
1）对于简单梁常为：
∑X=0
∑Y=0
∑mA=0
2）恰当：一个方程含一个未知数
6
3、求解平衡方程、得支座反力。若计算值为正， 则表示支座反力值与受力图方向相同，反之与受
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三、课堂练习
1、求图示梁的支座反力
解法一： 1）、取梁整体研究，作受力图
A 80KN
B
3m
3m
RA
6m
RB
11
2）、列平衡方程求解 （1）∑mA=0，RB×6﹣80 ×3=0，解之， RB=40KN（↑） （2）∑mB=0，RA ×6-80 ×3=0，解之， RA=40KN （↑）
(完整版)梁的内力计算
（2） 荷载简化一一将荷载简化为集中力、线分布力或力偶等；
（3） 支座简化——主要简化为以下三种典型支座：
（a）活动铰支座（或辊轴支座），其构造图及支座简图如图4—3（a）所示。这
种支座只限制梁在沿垂直于支承平面方向的位移， 其支座反力过铰心且垂直于支
（1）求支座反力
正，如图4-7（c）o
由
Y0
Q2
qa
0
得
Q2qa
由
M20
m2
a小
qa 0
2
得
m2
2
qa
2
（4）求3-3截面（D截面左侧边一点）内力
取右端为脱离体，3-3截面无限靠近D点，线分布力q的分布长度趋于0,则3-3
截面上Q=0，M=0o
2.2截面法直接由外力求截面内力的法则
上例说明了运用截面法求任一截面内力的方法。因脱离体的平衡条件丫0的 含义为：脱离体上所有外力和内力在丫轴方向投影的代数和为零。其中只有剪力Q为未知量，移到方程式右边即得直接由外力求任一截面剪力的法则：
对称平面内，称为弯矩
则得
由Mc0，有YaxM0
则得MYaX
注意此处是对截面形心C取矩，因剪力Q通过截面形心C点，故在力矩方程中为 零。同样可取右脱离体，由平衡方程求出梁截面m-n上的内力Q和M,其结果与 左脱离体求得的Q M大小相等，方向(或转向)相反，互为作用力与反作用力 关系。
为使梁同一截面内力符号一致，必须联系到变形状态规定它们的正负号。 若从梁m-n处取一微段梁dx，由于剪力Q作用会使微段发生下错动的剪切变形。 我们规 定：使微段梁发生左端向上而右端向下相对错动的剪力Q为正(如图4—6(a))，反之为负(如图4—6(b));使微段梁弯曲为向下凸时的弯矩M为正，反之为负
土木工程力学基础多学时四单元1直梁弯曲弯曲内力1
三．梁的内力图
例 4－ 2 悬臂梁在自由端受集中力作用如 图4－7所示。试写出梁的剪力方程和弯矩方 程、画出剪力图和弯矩图，并确定梁的最大 剪力和最大弯矩。
剪力方程：Q=P=-Px，各 横截面的弯矩沿轴线呈直 线变化，故可由弯矩方程 确定两点：
x=0, M=0 x=l, M=-Pl
M
max
Pl
三．梁的内力图
例4－3 简支梁受集中力作用如图4－8所示，求 梁的剪力方程和弯矩方程，画出Q、M图并确定最 大剪力和最大弯矩。
例4－4 简支梁受均布荷载作用如图4－9所示，求梁的剪力 方程和弯矩方程，画Q、M图，确定最大剪力和弯矩。
解：（1）计算支座反力
R A RB 1 ql 2
x 0, M 0
x
x l, M 0
1 1 l , M ql 2 2 8
三．梁的内力图
3.单跨梁在简单荷载 作用下的内力图特点 与规律
三．梁的内力图
2．运用简捷作图法绘制梁的剪力图和弯矩图
解：（1）计算支座反力
R A 8kN Rc 20 kN
（2）作剪力图
AB段：梁上无荷载，Q图为一条水平线，
一端为固定铰支座， 另一端为可动铰支座。
一．梁的形式
2.外伸梁
简支梁的一端或两端 伸出支座之外的梁,
一．梁的形式
3.悬臂梁
一端为固定端， 另一端为自由端的梁。
二．梁的内力
1.梁的内力——剪力和弯矩 梁发生弯曲时，横截面上同时存在两个内 力—剪力Q 和弯矩 M 剪力的常用单位为牛顿（N）或千牛顿（kN）， 弯矩的常用单位为牛顿米（N· m）或千牛顿米 （kN· m）。
右 QA ＝R A 8kN
国家开放大学《土木工程力学(本)》章节测试参考答案
国家开放大学《土木工程力学（本）》章节测试参考答案1.绪论一、选择题1．图示支座形式可简化为（B）A. B. C. D.2．图示支座形式可简化为（D）A. B. C. D.3．刚结点在结构发生变形时的特征是()A.刚结点自身不会转动可任意改变B.结点处各杆端之间的夹角保持不变C.所联结的杆件可绕结点自由转动D.结点处各杆端之间的夹角可任意改变4．（）不允许结构在支承处发生任何方向的移动和转动A.固定支座B.定向支座C.活动铰支座D.固定铰支座5．（）不允许结构在支承处发生转动，也不能沿垂直于支承的方向移动，但可沿平行于支承的方向滑动A.固定铰支座B.活动铰支座C.固定支座D.定向支座6．（）只允许结构在支承处绕铰A转动，而不能发生任何移动A.固定铰支座B.固定支座C.活动铰支座D.定向支座7．（）只约束了支承链杆方向的位移，允许结构绕铰转动，也可沿着垂直于链杆的方向移动A.活动铰支座B.定向支座C.固定支座D.固定铰支座8．根据荷载的不同特征，荷载可分类，（）是指满布在结构或构件某部分面积上的荷载A.集中荷载B.分布荷载C.恒载D.静力荷载2.平面体系的几何组成分析一、选择题1．三刚片组成几何不变体系的规则是（）。
A.三铰三链杆相连，杆不通过铰B.三链杆相连，不平行也不相交于一点C.三铰两两相连，三铰不在一直线上D.一铰一链杆相连，杆不过铰2．在无多余约束的几何不变体系上增加二元体后构成（）。
A.有多余约束的几何不变体系B.无多余约束的几何不变体系C.瞬变体系D.可变体系3．对图示平面体系进行几何组成分析，该体系是（）。
A.瞬变体系B.无多余约束的几何不变体系C.有一个多余约束的几何不变体系D.几何可变体系4．对图示平面体系进行几何组成分析，该体系是（）。
A.有一个多余约束的几何不变体系B.无多余约束的几何不变体系C.瞬变体系D.几何可变体系5．对图示平面体系进行几何组成分析，该体系是（）。
A.瞬变体系C.有两个多余约束的几何不变体系D.有一个多余约束的几何不变体系6．对图2-27所示平面体系进行几何组成分析，该体系是（）。
《材料力学》第7章-应力状态和强度理论-习题解
支座反力: (↑)
=
（1）梁内最大正应力发生在跨中截面的上、下边缘
超过 的5。3％，在工程上是允许的。
（2）梁内最大剪应力发生在支承截面的中性轴处
(3)在集中力作用处偏外侧横截面上校核点a的强度
超过 的3.53%，在工程上是允许的。
解：坐标面应力:X（—0。05，0);Y（-0.2,0）
。根据以上数据作出如图所示的应
力圆。图中比例尺为 代表 。
按比例尺量得斜面的应力为：
按习题7—5得到的公式计算如下：
作图法(应力圆法)与解析法（公式法）的结果一致。
［习题7-7]试用应力圆的几何关系求图示悬臂梁距离自由端为 的截面上，在顶面以下 的一点处的最大及最小主应力,并求最大主应力与 轴之间的夹角。
解：
…………(1)
…………（2)
（1)、(2)联立,可解得 和 。
至此,三个面的应力均为已知：X（ ，0），Y（ ，0）（ , 均为负值）;
( ）。由X，Y面的应力就可以作出应力圆。
[习题7-12]一焊接钢板梁的尺寸及受力情况如图所示,梁的自重略去不计。试示 上 三点处的主应力。
解:（1）求 点的主应力
解：坐标面应力：X（15,15）,Y(0，-15）
第一强度理论：
因为 ， ，即 ，
所以 符合第一强度理论的强度条件，构件不会破坏，即安全.
第二强度理论：
因为 ,
，即 ，
所以 符合第二强度理论的强度条件，构件不会破坏，即安全。
[习题7—25]一简支钢板梁承受荷载如图a所示，其截面尺寸见图b。已知钢材的许用应力为 , .试校核梁内的最大正应力和最大切应力。并按第四强度理论校核危险截面上的a点的强度。注:通常在计算a点处的应力时，近似地按 点的位置计算。
简支梁、悬臂梁、外伸梁弯矩及剪力
简支梁、悬臂梁、外伸梁弯矩及剪力
静定梁有三种形式：简支梁、悬臂梁、外伸梁。
这三种梁的支座反力和弯矩、剪力只要建立平衡方程，就可以求解。
图1.5.1左右两列分别是简支梁在均布荷载和集中荷载作用下的计算简图、弯矩图和剪力图。
图1.5.2左右两列分别是简支梁在2个对称集中荷载作用和一个非居中集中荷载作用下的计算简图、弯矩图和剪力图。
图1.5.3左右两列分别是悬臂梁在均布荷载作用和一个端点集中荷载作用下的计算简图、弯矩图和剪力图。
图1.5.4左右两列分别是外伸梁在集中荷载均布荷载作用和
均布荷载作用下的计算简图、弯矩图和剪力图。
从图1.5.1～图1.5.4，我们看到，正确的弯矩图和正确的剪力图之间有如下对应关系：每个区段从左到右，弯矩下坡，剪力为正；弯矩上坡，剪力为负；弯矩为水平线时，对应区段的剪力为零；在均布荷载作用下，剪力为零所对应的截面，弯矩最大；在集中荷载作用下，弯矩最大值一般在集中荷载作用点，该点的剪力有突变，突变的绝对值之和等于集中荷载的大小。
如果不满足这个对应关系，那么弯矩图和剪力图必有一个画错了，或者两个全不对。
多跨连续梁是超静定梁，单单用平衡方程不能求解，还需要“变形协调条件”才能解联立方程进行求解。
图1.5.5是某多跨连续梁在均布荷载力作用下的变形简图、受力钢筋配置区域和弯矩图示意图。
负弯矩表示截面的上翼缘受拉、下翼缘受压；正弯矩表示截面下翼缘受拉、上翼缘受压；反弯点截面，该点弯矩等于零，在这个截面，上下截面既不受压，也不受拉。
2-2静定结构的反力计算
解: ⑴ P=0时 M A 0 : NB b Q a G b e 0
NB 260 5.5 80 6 4 237.5kN 0
NA
NB
2.2.5 起重设备的验算
【例2-6】图示塔式起重机, 已知 规矩b=4m, 机身重G=260kN, 其作用 线到右侧的距离e=1.5m, 起重机平衡 重Q=80kN, 其作用线到左侧的距离 a=6m, 荷载P的作用线到右轨的距离 l=12m。 ⑴ 试证明空载时(P=0)起重机十 分会向左倾斜？ ⑵ 求出起重机不向右倾倒的最 大起重量P。
XA
YB
X A 34kN , YB 29kN
YA
YB
2.2.4 静定平面刚架反力计算
【例2-6】图示刚架, 已知q=4kN/m, P=10kN, m=2kN· m, Q=20kN。试计 算支座反力。
Y 0 : YA YB Q 0
YA Q YB 20 29 9kN
NA
NB
⑵ 求最大P M B 0 : Q a b G e NA b P l 0 Q a b Ge Pl Q a b Ge Pl ≥ 0 NA ≥0 b Q a b Ge 80 10 260 1.5 P≤ 34.17kN l 12
M A 0 : P 1 1 q 3 1 RB 2 0 XA 2
X 0 : X A 0
YA RB 1 RB 1.5 2 0.25kN 2 ⑶校核 1 Y 0 M B 0 : P 3 q 3 1 RA 2 0 2 计算无误！ RA 1 6 1.5 3.75kN 2