改进遗传算法求解TSP问题

p = C m (H , t) C m (H , t) C N + 2 2 CN CN
2 1 1
m (H , t)
1 2
要判断当 m 增大时, 概率 p 是否增大. 由于 (m - 1) 2 + m N - 1 m (m - 1) m (n - m ) 1 2m 2 - 2m + m N - m 2 p = + = = N (N - 1) N (N - 1) 2 2N (N - 1) 2N (N - 1) 由此得出当 m 增大时, 概率 p 也增大. 也就是经过选择、 交叉算子超出平均适应值的模式可 以增多. 总体来说, 影响收敛速度和收敛效率的主要取决于好的模式的重组, 和模式的多样性. 下面的数值试验结果也给上面的分析提供了依据 . 我们对本文提出的算法用 C + + ) 进行了数值 语言在 PC ( Pen t ium 算法 试 验, 每一种方法运行 30 次, 计算结 改进算法 果 见表 2. 标准遗传算法得到最优解 为 43215558, 浓度控制策略的遗传算 法得到最优解为 42317601. 遗传模拟 退火算法得到最优解 423174, 但是产 生 500000 个个体, 用免疫算法得到最 优解, 但是产生 150000 个个体. 本文
摘要: 提出了一种改进遗传算法求解T SP. 该方法在迭代初期引入不适应度函数作为评价标准, 结合启发
式交叉和边重组交叉算子设计了一种新的交叉算子, 并对变异后个体进行免疫操作. 此外对操作后群体进 行整理, 删除群体中相同个体, 得到规模为 N 1 的中间群体, 对较优的 N - N 1 个个体进行启发式变异, 并将 变异后个体补充进中间群体, 生成规模为N 的新群体, 这样保证群体中没有相同个体, 从而保证群体多样性. 数值结果表明这种改进遗传算法是有效的.
2 改进遗传算法求解 TSP 问题
211 编码
本文采用序表达方法, 例如: [ 3 2 5 4 7 1 6 9 8 ], 表示从城市3 出发依次经
收稿日期: 2004209205
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数 学 的 实 践 与 认 识
35 卷
过城市 2、 5、 4、 7、 1、 6、 9、 8 然后返回城市 3 的一条路径 . 212 不适应度函数 对于求解最小值问题, 本文提出用目标函数直接作为不适应度函数, 不适应度越低表明 个体越好. 对于 T SP 问题, 用 Λf i 来表示个体的不适应度.
2期
文 杰, 等: 改进遗传算法求解 T SP 问题
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个体经过变异后适应度降低, 从而丢失有用信息. 本文对群体中相同个体进行变异, 来保证 群体多样性. 216 替代策略、 种群规模和最优搜索 徐宗本等[ 4 ] 证明了, 如果父代参与子代竞争, 可以保证几乎必然收敛到最优解. 本文采 用的方法是如果交叉、 变异所产生的子代, 优于父代, 则代替父代, 否则以概率 A ij ( tk ) =
表1
城市
1 2 3 4 5 6 7 8 9 - 2, - 1, 2, 3, - 4, 5, - 6, - 7, 8,
与之相连的城市
9, 8, 4, - 5, 6, - 7, - 8 9, 1, 2 6, 3 4 3 5, 1 3 9 9
选择 2 → 3, 从 3 开始, 如果 3 不包含在数组中, 就从 3 开始右转使得 3 成为第一位置城市, 根 据两点距离选择下一个城市得 1 2 3 5 × × × × × 因为 5 包含在数组中, 直接选择与之相邻 4 的得到 1 2 3 5 4 × × × 依此类推得到一个个体 1, 2, 3, 5, 4, 6, 7, 8, 9. 215 变异 标准遗传算法是对交叉后得到的中间代进行变异, 这样可能会使得交叉后的某些好的
218 结果分析
对遗传算法进行严格的理论分析是比较困难的. 现在我们用模式来分析算法的优越 性 . 本文用二阶长度为二的模式, 即把相邻城市作为模式 . ( ) 假设在进化过程中的第 t 代时, 当前群体 P t 中能与模式 H 匹配的个体数记为 m (H , t) , 下一代群体 P ( t + 1) 中能与模式 H 匹配的个体数记为 m (H , t + 1). 下面对改进遗传 算法在选择算子、 交叉算子和变异算子的连续作用下, 模式 H 的个体数 m (H , t) 变化情况 进行分析. 1. 选择算子对模式 H 生存数量的影响 θ , H 的生存数量增加; 当 f (H ) < f θ, 由于采用比例选择算子, 前人已经证明 f (H ) > f
列为其下一个城市, 而使原先的遍历路径调整为 L 1 = {A 0 , … A
, A
j+ 1
, … A N }, 由于这么做改变了路径中三个相连城市距离, 可能变动较大, 很难达 , …A , A , A , … A N }. 这样只改变两条路经, 使得由于个体的
到更好的解. 本文将其改为把 A i 与 A j 之间的路径片断进行逆序排序, 得 L 1 = {A 0 , …
i- 1
, A i, A j , A
j- 1
i+ 2
i+ 1
j+ 1
概率增大.
217 算法结构
步骤1: t ( 迭代次数) = 0, 用混合算法生成N 个初始群体, T 0 = (m ax li - m in li) × 019. 其中 m ax li 表示初始群体中最差的个体的路径长度,M in li 表示初始群体中最好的个体的路 径长度. B estofnow 赋值为当前群体中最好的个体. 步骤 2: 群体 P ( t) 中的每个个体 x i 用 ( 211) 式计算其不适应度 uf ( x i ). 步骤3: 若终止条件满足则算法终止, 否则用 ( 212) 式计算概率 p i , 并以概率 p i 从 P ( t) 中 随机选择一些个体构成一个种群 R P ( t). 对种群应用交叉算子生成 cro sspop ( t) , 对其中相 同个体进行变异, 对于群体中其它个体进行启发式变异. 变异后群体进行接种疫苗, 对最优 解进行局部细搜索. 然后使用自适应代沟替代策略, 并除去群体中的相同个体, 得到规模为 N 1 的新群体 . 补充 N - N 1 个新个体得到规模为 N 的下一代群体 P ( t + 1). 步骤5: 判断是否满足终止条件, 如果满足则停止, 并输出最优解 . 否则, t = t + 1, 转步 骤 2.
A A
j- 1 i- 1 j- 1
→A i →A
, A j, A
j+ 1
i+ 1
和A
j- 1
→A j →A
j+ 1
, 当前的遍历路径为 L = {A 0 , … A
i- 1
i- 1
, A i, A
i+ 1
i+ 1
,
, … A N }, 对其进行接种疫苗, 对 A i 而言, 免疫算子将把其邻近城市 A j 排 , A i, A j , A , …
m in 1, exp ( f ( j ) - f ( i) )
tk
接受.
为了加强算法的局部搜索能力, 本文对变异后的个体进行免疫操作, 就是接种疫苗. 如 果产生的个体优于接种前的个体, 则代替那个个体并继续对新个体进行接种疫苗, 直至劣于 接种前的个体 . 但不同的是在免疫算法中接种疫苗是把 A j 加入到 A i 之后, 也就是: 设 T SP 问题中所有与城市 A i 距离最近的城市为 A j , 并且二者非直接连接而是处于某一路径的两 段A …A
1
其中 uf (X i ) 表示种群 X 中的个体 X i 的不适应值, P {X i } 表示每个个体被选择的概率, 这 与 uf (X i ) 有关, uf (X i ) 越小表示第 i 个体越好, 被选择的概率越大. 上述选择算子称为不 适应度函数的比例选择算子. 214 交叉 本文将启发式交叉算子和边重组交叉算子两种交叉算子相结合, 设计了启发式边重组 交叉算子. 设两个个体为 P 1 = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 P 2 = 4 1 2 8 7 6 9 3 5 首先根据边重组交叉得到表 1: 然后把带有负号的城市对保存到一个数组, 得 ( 1, 2) ( 4, 5) ( 6, 7 ) ( 7, 8 ). 再随机选择一个初始点来开始 构造后代, 一般取父代个体中得第一个城市作为初始 点, 本例取为 1, 由于 1 包含在数组中, 直接选出 1 →2, 得到 1 2 × × × × × × ×, 从 2 开始右转使得 2 称为两个父本的第一个位置城市得: 2 3 4 5 6 7 8 9 2 8 7 6 9 3 5 4 判断 d ( 2, 3) 与 d ( 2, 8) 大小, 如果 d ( 2, 3) < d ( 2, 8) ,
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H 的生存数量减少 .
数 学 的 实 践 与 认 识
35 卷
2. 交叉算子对模式 H 生存数量的影响
根据本文设计的交叉算子, 对于两个父本都有的模式, 以概率 1 遗传到下一代. 如果一 个父本有, 而另一个没有, 他以 1 2 的概率遗传到下一代. 对于 t 代模式当前群体 P ( t) 中能 与模式 H 匹配的个体数记为 m (H , t) , 那么不包含模式 H 的个体数就为 N - m (H , t). 根 据本文设计的交叉算子, 模式 H 在下一代出现的概率为:
n
uf i = l i =
∑d (c ,
j j= 1
c j + 1 ) + d ( c 1 , cn )
( 2. 1)
不适应度越小, 就表明路径越好. 213 选择算子 本文对于不适应度函数, 设定选择算子为
N
1 - uf (X i )
P {X i } = N -
∑uf
k= 1