新课标2015年普通高等学校招生全国统一考试数学(文)试题(三)(扫描版)
2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学精彩试题及问题详解.
绝密★启封并使用完毕前2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页。
注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效。
3. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合A={x|x=3n+2,n ∈N},B={6,8,12,14},则集合A ⋂B中元素的个数为（A）5 （B）4 （C）3 （D）2（2）已知点A（0,1），B（3,2），向量AC=（-4，-3），则向量BC=（A）（-7，-4）（B）（7,4）（C）（-1,4）（D）（1，4）（3）已知复数z满足（z-1）i=i+1，则z=（A）-2-I （B）-2+I （C）2-I （D）2+i（4）如果3个整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则3个数构成一组勾股数的概率为（A）103（B）15（C）110（D）120（5）已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为12，E的右焦点与抛物线C：y²=8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个焦点，则|AB|= （A）3 （B）6 （C）9 （D）12（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。
问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛（7）已知是公差为1的等差数列，则=4，= （A）（B）（C）10 （D）12（8）函数f(x)=的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为（A）（k-, k-）,k（A）（2k-, 2k-）,k（A）（k-, k-）,k（A）（2k-, 2k-）,k（9）执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（A）5 （B）6 （C）7 （D）8（10）已知函数，且f（a）=-3，则f（6-a）=（A）-74（B）-54（C）-34（D）-14（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16+20π，则r=（A ）1 (B) 2 (C) 4 (D) 8（12）设函数y=f （x ）的图像关于直线y=-x 对称，且f （-2）+f （-4）=1，则a= （A ）-1 （B ）1 （C ）2 （D ）4第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷共3页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(浙江卷,含解析)
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（浙江卷，含解析）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知集合{}223x x x P =-≥，{}Q 24x x =<<，则Q P=（ ）A ．[)3,4B ．(]2,3C ．()1,2-D ．(]1,3-【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，{}|31P x x x =≥≤或，所以[3,4)P Q =，故选A.考点：1.一元二次不等式的解法；2.集合的交集运算.2、某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ）A ．83cmB ．123cmC ．3233cmD ．4033cm【答案】C考点：1.三视图；2.空间几何体的体积.3、设a ，b 是实数，则“0a b +>”是“0ab >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】D考点：1.充分条件、必要条件；2.不等式的性质.4、设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂（ ） A ．若l β⊥，则αβ⊥ B ．若αβ⊥，则l m ⊥ C ．若//l β，则//αβ D ．若//αβ，则//l m 【答案】A 【解析】试题分析：采用排除法，选项A 中，平面与平面垂直的判定，故正确；选项B 中，当αβ⊥时，,l m 可以垂直，也可以平行，也可以异面；选项C 中，//l β时，,αβ可以相交；选项D中，//αβ时，,l m也可以异面.故选A.考点：直线、平面的位置关系.5、函数()1cosf x x xx⎛⎫=-⎪⎝⎭（xππ-≤≤且0x≠）的图象可能为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】试题分析：因为11()()cos()cos()f x x x x x f xx x-=-+=--=-，故函数是奇函数，所以排除A, B；取xπ=，则11()()cos()0fππππππ=-=--<，故选D.考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象.6、有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：2m）分别为x，y，z，且x y z<<，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/2m）分别为a，b，c，且a b c<<．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（）A．ax by cz++ B．az by cx++ C．ay bz cx++ D．ay bx cz++【答案】B考点：1.不等式性质；2.不等式比较大小.7、如图，斜线段AB 与平面α所成的角为60，B 为斜足，平面α上的动点P 满足30∠PAB =，则点P 的轨迹是（ ）A ．直线B ．抛物线C ．椭圆D ．双曲线的一支 【答案】C 【解析】试题分析：由题可知，当P 点运动时，在空间中，满足条件的AP 绕AB 旋转形成一个圆锥，用一个与圆锥高成60角的平面截圆锥，所得图形为椭圆.故选C. 考点：1.圆锥曲线的定义；2.线面位置关系. 8、设实数a ，b ，t 满足1sin a b t+==（ ）A ．若t 确定，则2b 唯一确定B ．若t 确定，则22a a +唯一确定C ．若t 确定，则sin2b唯一确定 D ．若t 确定，则2a a +唯一确定【答案】B 【解析】试题解析：因为1sin a b t+==，所以222(1)sin a b t +==，所以2221a a t +=-，故当t 确定时，21t -确定，所以22a a +唯一确定.故选B.考点：函数概念二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．）9、计算：22log 2=，24log 3log 32+= ．【答案】1,332-考点：对数运算10、已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零．若2a ，3a ，7a 成等比数列，且1221a a +=，则1a =，d = ．【答案】2,13-【解析】试题分析：由题可得，2111(2)()(6)a d a d a d +=++，故有1320a d +=，又因为1221a a +=，即131a d +=，所以121,3d a =-=.考点：1.等差数列的定义和通项公式； 2.等比中项.11、函数()2sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是 ，最小值是 ．【答案】32,2π-【解析】试题分析：()211cos 2113sin sin cos 1sin 21sin 2cos 222222x f x x x x x x x -=++=++=-+23sin(2)242x π=-+，所以22T ππ==；min 32()22f x =-. 考点：1.三角函数的图象与性质；2.三角恒等变换.12、已知函数()2,166,1x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨+->⎪⎩，则()2f f -=⎡⎤⎣⎦ ，()f x 的最小值是 ．【答案】1;2662--考点：1.分段函数求值；2.分段函数求最值.13、已知1e，2e 是平面单位向量，且1212e e ⋅=．若平面向量b 满足121b e b e ⋅=⋅=，则b =．【答案】23【解析】试题分析：由题可知，不妨1(1,0)e =，213(,)22e =，设(,)b x y =，则11b e x ⋅==，213122b e x y ⋅=+=，所以3(1,)3b =，所以123133b =+=. 考点：1.平面向量数量积运算；2.向量的模.14、已知实数x ，y 满足221x y +≤，则2463x y x y +-+--的最大值是 ． 【答案】15 【解析】试题分析：22,2224631034,22x y y xz x y x y x y y x +-≥-⎧=+-+--=⎨--<-⎩ 由图可知当22y x ≥-时，满足的是如图的AB 劣弧，则22z x y =+-在点(1,0)A 处取得最大值5；当22y x <-时，满足的是如图的AB 优弧，则1034z x y =--与该优弧相切时取得最大值，故1015z d -==，所以15z =，故该目标函数的最大值为15.考点：1.简单的线性规划；15、椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的右焦点()F ,0c 关于直线b y xc =的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是 ．【答案】22考点：1.点关于直线对称；2.椭圆的离心率.三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. （本题满分14分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c .已知tan(A)24π+=.（1）求2sin 2sin 2cos AA A 的值；（2）若B ,34a π==，求ABC ∆的面积.【答案】(1)25；(2)9考点：1.同角三角函数基本关系式；2.正弦定理；3.三角形面积公式.17. （本题满分15分）已知数列na 和nb 满足，*1112,1,2(n N ),n n a b a a +===∈*12311111(n N )23n n b b b b b n +++++=-∈.（1）求na 与nb ;（2）记数列n n a b 的前n 项和为nT ，求nT .【答案】(1)2;n n n a b n ==；(2)1*(1)22()n n T n n N +=-+∈【解析】试题分析：(1)根据数列递推关系式，确定数列的特点，得到数列的通项公式；(2)根据(1)问得到新的数列的通项公式，利用错位相减法进行数列求和.考点：1.等差等比数列的通项公式；2.数列的递推关系式；3.错位相减法求和.18. （本题满分15分）如图，在三棱锥111ABCA B C 中，011ABC=90=AC 2,AA 4,A ，AB 在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 为11B C 的中点.(1)证明: 11D A BC A 平面； (2)求直线1A B和平面11B C B C 所成的角的正弦值.【答案】(1)略；(2)7(2)作1A F DE⊥，垂足为F，连结BF.因为AE⊥平面1A BC，所以1BC A E⊥.因为BC AE⊥，所以BC⊥平面1AA DE.所以11,BC A F A F⊥⊥平面11BB C C.所以1A BF∠为直线1A B与平面11BB C C所成角的平面角.由2,90AB AC CAB==∠=，得2EA EB==.由AE ⊥平面1A BC，得1114,14A A A B A E ===.由1114,2,90DE BB DA EA DA E ====∠=，得172A F =.所以17sin 8A BF ∠=考点：1.空间直线、平面垂直关系的证明；2.直线与平面所成的角.19. （本题满分15分）如图，已知抛物线211C 4x ：y=，圆222C (y 1)1x ：，过点P(t,0)(t>0)作不过原点O 的直线PA ，PB 分别与抛物线1C 和圆2C 相切，A ，B 为切点.(1)求点A ，B 的坐标； (2)求PAB ∆的面积.注：直线与抛物线有且只有一个公共点， 且与抛物线的对称轴不平行，则该直线 与抛物线相切，称该公共点为切点.【答案】(1)222222(2,),(,)11t t A t t B t t ++；(2)32t因为直线PA 与抛物线相切，所以216160k kt ∆=-=，解得k t =.所以2x t =，即点2(2,)A t t . 设圆2C 的圆心为(0,1)D ，点B 的坐标为00(,)x y ，由题意知，点B,O 关于直线PD 对称，故有00001220y x t x t y ⎧=-+⎪⎨⎪-=⎩，解得2002222,11t t x y t t ==++.即点22222(,)11t t B t t ++. (2)由(1)知，21AP t =+，直线AP 的方程为20tx y t --=， 所以点B 到直线PA 的距离为221d t =+.所以PAB ∆的面积为3122t S AP d =⋅=. 考点：1.抛物线的几何性质；2.直线与圆的位置关系；3.直线与抛物线的位置关系.20. （本题满分15分）设函数2(),(,)f x x ax b a b R =++∈. (1)当214a b时，求函数()f x 在[1,1]上的最小值()g a 的表达式；(2)已知函数()f x在[1,1]上存在零点，021b a≤-≤，求b的取值范围.【答案】(1)222,2,4()1,22,2,24aa ag a aaa a⎧++≤-⎪⎪⎪=-<≤⎨⎪⎪-+>⎪⎩；(2)[3,945]--考点：1.函数的单调性与最值；2.分段函数；3.不等式性质；4.分类讨论思想.。
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(福建卷,含解析)
通项公式，根据通项公式的不同特点，选择相应的求和方法，本题 bn 2n n ，故可采取分组求和法求其
前 10 项和．
试题解析：（I）设等差数列an 的公差为 d ．
由已知得
a1 d
a1 3d
4
a1
6d
15
，
解得
ad1
3 1
．
所以 an a1 n 1 d n 2 ．
考点：1、等差数列通项公式；2、分组求和法． 18．（本题满分 12 分） 全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响了的综合指标．根据相关报道提供的全网传播 2015 年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前 20 名的“省级卫视新闻台”的融合 指数进行分组统计，结果如表所示．
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.把答案填在答题卡的相应位置.
13．某校高一年级有 900 名学生，其中女生 400 名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取
一个容量为 45 的样本，则应抽取的男生人数为_______．
【答案】 25
【解析】
试题分析：由题意得抽样比例为 45 1 ，故应抽取的男生人数为 500 1 25．
考点：集合的运算． 3．下列函数为奇函数的是( )
A． y x B． y ex C． y cos x D． y ex ex
【答案】D 【解析】
试题分析：函数 y x 和 y ex 是非奇非偶函数； y cos x 是偶函数； y ex ex 是奇函数，故选 D．
考点：函数的奇偶性．
2
4
2
4
【答案】A
考点：1、椭圆的定义和简单几何性质；2、点到直线距离公式．
2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(课标全国Ⅰ)(含答案详解)
2015年普通高等学校招生全国统一考试课标全国Ⅰ文科数学考生注意:1.答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答,答案无效.3.考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回.第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2015课标全国Ⅰ,文1)已知集合A={x|x=3n+2,n ∈N },B={6,8,10,12,14},则集合A ∩B 中元素的个数为( ) A .5 B .4 C .3 D .2 答案:D解析:由条件知,当n=2时,3n+2=8,当n=4时,3n+2=14.所以A ∩B={8,14}.故选D .2.(2015课标全国Ⅰ,文2)已知点A (0,1),B (3,2),向量AC =(-4,-3),则向量BC=( ) A .(-7,-4) B .(7,4) C .(-1,4) D .(1,4) 答案:A解析:∵AB=OB −OA =(3,2)-(0,1)=(3,1),AC =(-4,-3), ∴BC=AC −AB =(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4). 3.(2015课标全国Ⅰ,文3)已知复数z 满足(z-1)i =1+i,则z=( ) A .-2-i B .-2+i C .2-i D .2+i 答案:C解析:∵(z-1)i =1+i,∴z=1+i i +1=(1+i )(-i )-i2+1=1-i +1=2-i . 4.(2015课标全国Ⅰ,文4)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数.从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的概率为( ) A .3 B .1C .1 D .1 答案:C解析:从1,2,3,4,5中任取3个数共有10种不同的取法,其中的勾股数只有3,4,5,因此3个数构成一组勾股数的取法只有一种,故所求概率为1.5.(2015课标全国Ⅰ,文5)已知椭圆E 的中心在坐标原点,离心率为12,E 的右焦点与抛物线C :y 2=8x 的焦点重合,A ,B 是C 的准线与E 的两个交点,则|AB|=( ) A .3 B .6 C .9 D .12答案:B解析:∵抛物线y 2=8x 的焦点坐标为(2,0),∴E 的右焦点的坐标为(2,0).设椭圆E 的方程为x 22+y 2b2=1(a>b>0),∴c=2.∵c =1,∴a=4.∴b 2=a 2-c 2=12,于是椭圆方程为x 216+y 212=1.∵抛物线的准线方程为x=-2,将其代入椭圆方程可得A (-2,3),B (-2,-3),∴|AB|=6. 6.(2015课标全国Ⅰ,文6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有()A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛答案:B解析:设圆锥的底面半径为R,高为h.∵米堆底部的弧长为8尺,∴1 4·2πR=8,∴R=16π.∵h=5,∴米堆的体积V=1×1πR2h=1×π×162×5.∵π≈3,∴V≈320(立方尺).∴堆放的米约有320≈22(斛).7.(2015课标全国Ⅰ,文7)已知{a n}是公差为1的等差数列,S n为{a n}的前n项和.若S8=4S4,则a10=()A.17B.19C.10D.12答案:B解析:∵公差d=1,S8=4S4,∴8(a1+a8)=4×4(a1+a4),即2a1+7d=4a1+6d,解得a1=1.∴a10=a1+9d=1+9=19.8.(2015课标全国Ⅰ,文8)函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图像如图所示,则f(x)的单调递减区间为()A. kπ-1,kπ+3,k∈ZB.2kπ-14,2kπ+34,k∈ZC. k-14,k+34,k∈ZD.2k-1,2k+3,k∈Z 答案:D解析:不妨设ω>0,由函数图像可知,其周期为T=2×54-14=2,所以2π=2,解得ω=π.所以f(x)=cos(πx+φ).由图像可知,当x=1214+54=34时,f(x)取得最小值,即f3=cos3π+φ =-1, 解得3π+φ=2kπ+π(k∈Z), 解得φ=2kπ+π4(k∈Z).令k=0,得φ=π4,所以f(x)=cos πx+π4.令2kπ≤πx+π≤2kπ+π(k∈Z),解得2k-14≤x≤2k+34(k∈Z).所以函数f(x)=cos πx+π4的单调递减区间为2k-14,2k+34(k∈Z).结合选项知选D.9.(2015课标全国Ⅰ,文9)执行下面的程序框图,如果输入的t=0.01,则输出的n=()A .5B .6C .7D .8答案:C解析:由于S=1,n=0,m=12,t=0.01,则S=S-m=12,m=m 2=14,n=n+1=1,S>0.01;S=1,m=1,n=2,S>0.01;S=1,m=1,n=3,S>0.01; S=116,m=132,n=4,S>0.01; S=132,m=164,n=5,S>0.01; S=1,m=1,n=6,S>0.01; S=1128,m=1256,n=7,S<0.01,结束循环,此时输出的n=7.10.(2015课标全国Ⅰ,文10)已知函数f (x )= 2x -1-2,x ≤1,-log 2(x +1),x >1,且f (a )=-3,则f (6-a )=( ) A .-74B .-54C .-34D .-14答案:A解析:∵f (a )=-3,∴当a ≤1时,f (a )=2a-1-2=-3,即2a-1=-1,此等式显然不成立. 当a>1时,f (a )=-log 2(a+1)=-3,即a+1=23,解得a=7.∴f (6-a )=f (-1)=2-1-1-2=14-2=-74. 11.(2015课标全国Ⅰ,文11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=( ) A .1 B .2 C .4 D .8 答案:B解析:由条件及几何体的三视图可知该几何体是由一个圆柱被过圆柱底面直径的平面所截剩下的半个圆柱及一个半球拼接而成的.其表面积由一个矩形的面积、两个半圆的面积、圆柱的侧面积的一半及一个球的表面积的一半组成.∴S 表=2r×2r+2×12πr 2+πr×2r+12×4πr 2=5πr 2+4r 2=16+20π,解得r=2.12.(2015课标全国Ⅰ,文12)设函数y=f (x )的图像与y=2x+a 的图像关于直线y=-x 对称,且f (-2)+f (-4)=1,则a=( ) A .-1 B .1 C .2 D .4 答案:C解析:设(x ,y )是函数y=f (x )图像上的任意一点,它关于直线y=-x 的对称点为(-y ,-x ),由已知得点(-y ,-x )在曲线y=2x+a 上,∴-x=2-y+a ,解得y=-log 2(-x )+a ,即f (x )=-log 2(-x )+a.∴f (-2)+f (-4)=-log 22+a+(-log 24)+a=1, 解得a=2.第Ⅱ卷注意事项:第Ⅱ卷共3页,须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答,答案无效.本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(2015课标全国Ⅰ,文13)在数列{a n }中,a 1=2,a n+1=2a n ,S n 为{a n }的前n 项和.若S n =126,则n= . 答案:6解析:∵a n+1=2a n ,即an +1n=2,∴{a n }是以2为公比的等比数列. 又a 1=2,∴S n =2(1-2n )1-2=126.∴2n =64,∴n=6.14.(2015课标全国Ⅰ,文14)已知函数f (x )=ax 3+x+1的图像在点(1,f (1))处的切线过点(2,7),则a= . 答案:1解析:∵f'(x )=3ax 2+1,∴f'(1)=3a+1,即切线斜率k=3a+1.又f (1)=a+2,∴已知点为(1,a+2).而由过(1,a+2),(2,7)两点的直线的斜率为a +2-71-2=5-a , ∴5-a=3a+1,解得a=1.15.(2015课标全国Ⅰ,文15)若x ,y 满足约束条件 x +y -2≤0,x -2y +1≤0,2x -y +2≥0,则z=3x+y 的最大值为 .答案:4解析:画出约束条件对应的可行域(如图阴影部分所示),由 x -2y +1=0,x +y -2=0解得 x =1,y =1,即点A 的坐标为(1,1).由z=3x+y ,得y=-3x+z.作出直线l 0:y=-3x ,并平移,当直线经过点A 时,直线在y 轴上的截距最大,即z 最大. 所以z max =3×1+1=4.16.(2015课标全国Ⅰ,文16)已知F 是双曲线C :x 2-y 2=1的右焦点,P 是C 的左支上一点,A (0,6 ).当△APF 周长最小时,该三角形的面积为 . 答案:12 6解析:设双曲线的左焦点为F 1,如图.由双曲线的定义知|PF|=2a+|PF 1|,∴△APF 的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+(2a+|PF 1|)+|AF|=|PA|+|PF 1|+(2a+|AF|).由于2a+|AF|是定值,要使△APF 的周长最小,则应使|PA|+|PF 1|最小,即P ,A ,F 1三点共线. ∵A (0,6 ),F 1(-3,0),∴直线AF 1的方程为x -36 6=1,即x=2 6-3. 将其代入x 2-y 2=1得y 2+6 6y-96=0,解得y=2 6或y=-8 6(舍去), 因此点P 的纵坐标为2 6. ∴S △APF =S △AF 1F −S △PF 1F =12·|F 1F|·y A -12·|F 1F|·y P=1×6×6 6−1×6×2 6=12 6. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅰ,文17)已知a ,b ,c 分别为△ABC 内角A ,B ,C 的对边,sin 2B=2sin A sin C. (1)若a=b ,求cos B ; (2)设B=90°,且a= ,求△ABC 的面积. 解:(1)由题设及正弦定理可得b 2=2ac.又a=b ,可得b=2c ,a=2c.由余弦定理可得cos B=a 2+c 2-b 22ac=14.6分(2)由(1)知b 2=2ac. 因为B=90°,由勾股定理得a 2+c 2=b 2. 故a 2+c 2=2ac ,得c=a= 2. 所以△ABC 的面积为1.12分18.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅰ,文18)如图,四边形ABCD 为菱形,G 为AC 与BD 的交点,BE ⊥平面ABCD. (1)证明:平面AEC ⊥平面BED ;(2)若∠ABC=120°,AE ⊥EC ,三棱锥E-ACD 的体积为 63,求该三棱锥的侧面积. 解:(1)因为四边形ABCD 为菱形,所以AC ⊥BD.因为BE ⊥平面ABCD ,所以AC ⊥BE.故AC ⊥平面BED.又AC ⊂平面AEC ,所以平面AEC ⊥平面BED. 5分(2)设AB=x ,在菱形ABCD 中,由∠ABC=120°,可得AG=GC= 32x ,GB=GD=x2.因为AE ⊥EC ,所以在Rt △AEC 中,可得EG= 32x.由BE ⊥平面ABCD ,知△EBG 为直角三角形,可得BE= 2x. 由已知得,三棱锥E-ACD 的体积 V E-ACD =13×12AC ·GD ·BE= 624x 3= 63.故x=2.9分从而可得AE=EC=ED=所以△EAC 的面积为3,△EAD 的面积与△ECD 的面积均为 5. 故三棱锥E-ACD 的侧面积为3+2 5.12分19.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅰ,文19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x (单位:千元)对年销售量y (单位:t)和年利润z (单位:千元)的影响.对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i=1,2,…,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.8888表中w i = i ,w =1∑i =18w i. (1)根据散点图判断,y=a+bx 与y=c+d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立y 关于x 的回归方程;(3)已知这种产品的年利润z 与x ,y 的关系为z=0.2y-x.根据(2)的结果回答下列问题: ①年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少? ②年宣传费x 为何值时,年利润的预报值最大?附:对于一组数据(u 1,v 1),(u 2,v 2),…,(u n ,v n ),其回归直线v=α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^=∑i =1n(u i -u )(v i -v )∑i =1n(u i -u )2,α^=v −β^u .解:(1)由散点图可以判断,y=c+d x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型.2分(2)令w= x ,先建立y 关于w 的线性回归方程.由于d ^=∑i =18(w i -w )(y i -y )∑i =18(w i -w )2=108.8=68, c ^=y −d ^w =563-68×6.8=100.6,所以y 关于w 的线性回归方程为y ^=100.6+68w ,因此y 关于x 的回归方程为y ^=100.6+68 x . 6分(3)①由(2)知,当x=49时,年销售量y 的预报值 y ^=100.6+68 49=576.6,年利润z 的预报值z ^=576.6×0.2-49=66.32. 9分②根据(2)的结果知,年利润z 的预报值z ^=0.2(100.6+68 x )-x=-x+13.6 x +20.12.所以当 x =13.6=6.8,即x=46.24时,z ^取得最大值.故年宣传费为46.24千元时,年利润的预报值最大. 12分20.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅰ,文20)已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C :(x-2)2+(y-3)2=1交于M ,N 两点.(1)求k 的取值范围;(2)若OM ·ON=12,其中O 为坐标原点,求|MN|. 解:(1)由题设,可知直线l 的方程为y=kx+1.因为l 与C 交于两点,所以 1+k <1.解得4- 7<k<4+ 7.所以k 的取值范围为4- 73,4+ 73. 5分(2)设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2).将y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1, 整理得(1+k 2)x 2-4(1+k )x+7=0. 所以x 1+x 2=4(1+k )1+k2,x 1x 2=71+k2.7分OM ·ON =x 1x 2+y 1y 2 =(1+k 2)x 1x 2+k (x 1+x 2)+1=4k (1+k )1+k2+8.由题设可得4k (1+k )1+k2+8=12,解得k=1,所以l 的方程为y=x+1.故圆心C 在l 上,所以|MN|=2.12分21.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅰ,文21)设函数f (x )=e 2x -a ln x. (1)讨论f (x )的导函数f'(x )零点的个数; (2)证明:当a>0时,f (x )≥2a+a ln 2.解:(1)f (x )的定义域为(0,+∞),f'(x )=2e 2x -a (x>0).当a ≤0时,f'(x )>0,f'(x )没有零点,当a>0时,因为e 2x 单调递增,-ax单调递增, 所以f'(x )在(0,+∞)单调递增.又f'(a )>0,当b 满足0<b<a 4且b<14时,f'(b )<0,故当a>0时,f'(x )存在唯一零点.6分(2)由(1),可设f'(x )在(0,+∞)的唯一零点为x 0,当x ∈(0,x 0)时,f'(x )<0;当x ∈(x 0,+∞)时,f'(x )>0. 故f (x )在(0,x 0)单调递减,在(x 0,+∞)单调递增,所以当x=x 0时,f (x )取得最小值,最小值为f (x 0).由于2e 2x 0−ax 0=0, 所以f (x 0)=a 0+2ax 0+a ln2≥2a+a ln 2.故当a>0时,f (x )≥2a+a ln 2.12分请考生在第22、23、24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.做答时请写清题号. 22.(本小题满分10分)(2015课标全国Ⅰ,文22)选修4—1:几何证明选讲如图,AB 是☉O 的直径,AC 是☉O 的切线,BC 交☉O 于点E. (1)若D 为AC 的中点,证明:DE 是☉O 的切线; (2)若OA= 3CE ,求∠ACB 的大小.解:(1)连结AE ,由已知得,AE ⊥BC ,AC ⊥AB.在Rt △AEC 中,由已知得,DE=DC ,故∠DEC=∠DCE. 连结OE ,则∠OBE=∠OEB. 又∠ACB+∠ABC=90°,所以∠DEC+∠OEB=90°, 故∠OED=90°,DE 是☉O 的切线. 5分(2)设CE=1,AE=x ,由已知得AB=2 3,BE= 12-x 2. 由射影定理可得,AE 2=CE ·BE , 所以x 2= 12-x 2,即x 4+x 2-12=0.可得x= 3,所以∠ACB=60°.10分23.(本小题满分10分)(2015课标全国Ⅰ,文23)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,直线C 1:x=-2,圆C 2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求C 1,C 2的极坐标方程;(2)若直线C 3的极坐标方程为θ=π(ρ∈R ),设C 2与C 3的交点为M ,N ,求△C 2MN 的面积. 解:(1)因为x=ρcos θ,y=ρsin θ,所以C 1的极坐标方程为ρcos θ=-2,C 2的极坐标方程为ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0.5分(2)将θ=π代入ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0,得ρ2-3 ρ+4=0,解得ρ1=2 2,ρ2= 2. 故ρ1-ρ2= 2,即|MN|= 2.由于C 2的半径为1,所以△C 2MN 的面积为12.10分24.(本小题满分10分)(2015课标全国Ⅰ,文24)选修4—5:不等式选讲 已知函数f (x )=|x+1|-2|x-a|,a>0.(1)当a=1时,求不等式f (x )>1的解集;(2)若f (x )的图像与x 轴围成的三角形面积大于6,求a 的取值范围. 解:(1)当a=1时,f (x )>1化为|x+1|-2|x-1|-1>0.当x ≤-1时,不等式化为x-4>0,无解;当-1<x<1时,不等式化为3x-2>0,解得2<x<1; 当x ≥1时,不等式化为-x+2>0,解得1≤x<2.所以f (x )>1的解集为 x 23<x <2 . 5分(2)由题设可得,f (x )= x -1-2a ,x <-1,3x +1-2a ,-1≤x ≤a ,-x +1+2a ,x >a .所以函数f (x )的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A 2a -13,0 ,B (2a+1,0),C (a ,a+1),△ABC 的面积为23(a+1)2.由题设得2(a+1)2>6,故a>2. 所以a 的取值范围为(2,+∞). 10分。
2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(新课标Ⅱ带解析)-e7565973ed954e099d1d3d9faa0d36fa
…………______…………绝密★启用前2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅱ带解析）试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．已知集合{|12},{|03},A x x B x x =-<<=<<则A B ⋃=（ ） A ． ()1,3- B ． ()1,0- C ． ()0,2 D ． ()2,3 【答案】A【解析】因为{|12}A x x =-<<, {|03}B x x =<<,所以{|13}.A B x x ⋃=-<<故选A.考点：本题主要考查不等式基础知识及集合的交集运算.视频 2．若为a 实数,且2i3i 1ia +=++,则a =（ ） A ． 4- B ． 3- C ． 3 D ． 4 【答案】D【解析】由题意可得()()2i 1i 3i 24i 4a a +=++=+⇒=,故选D. 考点：本题主要考查复数的乘除运算,及复数相等的概念.视频3．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图,以下结论中不正确的是（ ）试卷第2页，总15页……外……………线…………○……※※请※※※线……内……………线…………○……A ． 逐年比较,2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著B ． 2007年我国治理二氧化碳排放显现成效C ． 2006年以来我国二氧化碳年排放量呈减少趋势D ． 2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关 【答案】D【解析】由柱形图可知2006年以来,我国二氧化碳排放量基本成递减趋势,所以二氧化碳排放量与年份负相关,故选D.考点：本题主要考查统计知识及对学生柱形图的理解视频4．已知()1,1a =-, ()1,2b =-,则()2a b a +⋅=（ ） A ． 1- B ． 0 C ． 1 D ． 2 【答案】C【解析】试题分析：由题意可得2112a =+=, 123,a b ⋅=--=-所以()222431a b a aa b +⋅=+⋅=-=.故选C.考点：本题主要考查向量数量积的坐标运算.视频5．设 是等差数列 的前 项和,若 ,则 A ． B ． C ． D ． 【答案】A【解析】 ，，选A.视频6．一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）…○…………○…………订…………○…………线…………○……：________班级：___________考号：_________…○…………○…………订…………○…………线…………○……1B.7 1C.6 1D.5【答案】D【解析】试题分析：如图所示，截去部分是正方体的一个角,其体积是正方体体积的56,剩余部分体积是正方体体积的15,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为,故选D. 考点：本题主要考查三视图及几何体体积的计算.视频7．已知三点A (1,0)，B (0， )，C (2， ，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A ．53 B ． 3C ．D ． 43【答案】B【解析】试题分析：△ABC 外接圆的圆心为⎛ ⎝⎭，选B.考点：圆心坐标视频8．下边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”,试卷第4页，总15页……○…………………线…………○※※请※※不……○…………………线…………○执行该程序框图,若输入的,a b 分别为14,18,则输出的a 为（ ）A.0B.2C.4D.14【答案】B 【解析】试题分析：由题意可知输出的a 是18,14的最大公约数2,故选B. 考点：本题主要考查程序框图及更相减损术. 9．已知等比数列{}n a 满足114a =,()35441a a a =-,则2a =（ ） A.2 B.1 1C.2 1D.8【答案】C【解析】试题分析：由题意可得()235444412a a a a a ==-⇒=,所以34182a q q a ==⇒=,故2112a a q ==,选C.考点：本题主要考查等比数列性质及基本运算.视频 10．已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为（ ）A ． 36πB ． 64πC ． 144πD ． 256π 【答案】C【解析】试题分析：设球的半径为R,则△AOB 面积为212R ,三棱锥O ABC -体积最大时,C 到平面AOB 距离最大且为R,此时313666V R R ==⇒=,所以球O 的表面积24π144πS R ==.故选C.考点：本题主要考查球与几何体的切接问题及空间想象能力.………装…………○………订…………○………________姓名：___________班：___________考号：___________………装…………○………订…………○………视频11．设函数()()21ln 11f x x x=+-+,则使()()21f x f x >-成立的x 的取值范围是（ ）A ． 1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ． ()1,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C ． 11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D ． 11,,33⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A【解析】试题分析： ()()21ln 11f x x x =+-+，定义域为，∵，∴函数为偶函数，当时，函数单调递增，根据偶函数性质可知：得()()21f x f x >-成立，∴，∴，∴的范围为1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭故答案为A. 考点：抽象函数的不等式.【思路点晴】本题考查了偶函数的性质和利用偶函数图象的特点解决实际问题，属于基础题型，应牢记．根据函数的表达式可知函数为偶函数，根据初等函数的性质判断函数在大于零的单调性为递增，根据偶函数关于原点对称可知，距离原点越远的点，函数值越大，把()()21f x f x >-可转化为，解绝对值不等式即可．视频试卷第6页，总15页…………订…………○※请※※不※※※答※※题※※…………订…………○第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题12．已知函数()32f x ax x =-的图像过点（-1,4）,则a= ． 【答案】-2【解析】试题分析：由()32f x ax x =-可得()1242f a a -=-+=⇒=-.考点：本题主要考查利用函数解析式求值.视频13．若x,y 满足约束条件,则z=2x+y 的最大值为 ．【答案】8【解析】试题分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值．解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC ）． 由z=2x+y 得y=﹣2x+z ， 平移直线y=﹣2x+z ，由图象可知当直线y=﹣2x+z 经过点A 时，直线y=﹣2x+z 的截距最大， 此时z 最大．由，解得，即A （3，2）将A （3，2）的坐标代入目标函数z=2x+y ， 得z=2×3+2=8．即z=2x+y 的最大值为8． 故答案为：8．………○…………线…………○……校:_________………○…………线…………○……考点：简单线性规划．视频14．已知双曲线过点(，且渐近线方程为12y x =±，则该双曲线的标准方程为____________________.【答案】2214x y -= 【解析】依题意，设所求的双曲线的方程为()()22x y x y λ+-=. 点(M 为该双曲线上的点，(444λ∴=+-=.∴该双曲线的方程为： 224x y -=，即2214x y -=.故本题正确答案是2214x y -=. 视频15．已知曲线ln y x x =+在点()1,1 处的切线与曲线()221y ax a x =+++ 相切,则a= ． 【答案】8 【解析】可得曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线斜率为2,故切线方程为21y x =-,与()221y ax a x =+++ 联立得220ax ax ++=,显然0a ≠,所以由2808a a a ∆=-=⇒=.试卷第8页，总15页………………考点：本题主要考查导数的几何意义及直线与抛物线相切问题. 三、解答题16．（本小题满分12分）△ABC 中D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC,BD=2DC ． （Ⅰ）求sin sin BC∠∠；（Ⅱ）若60BAC ∠=,求B ∠. 【答案】（Ⅰ）12；（Ⅱ）30. 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用正弦定理转化得：sin 1.sin 2B DC C BD ∠==∠（Ⅱ）由诱导公式可得()1sin sin sin .2C BAC B B B ∠=∠+∠=∠+∠由（Ⅰ）知2s i n s iB C ∠=∠, 所以tan 30.B B ∠=∠= 试题解析：（Ⅰ）由正弦定理得,,sin sin sin sin AD BD AD DCB BADC CAD==∠∠∠∠因为AD 平分∠BAC,BD=2DC,所以sin 1.sin 2B DC C BD ∠==∠. （Ⅱ）因为()180,60,C BAC B BAC ∠=-∠+∠∠= 所以()1sin sin sin .2C BAC B B B ∠=∠+∠=∠+∠由（I ）知2s i n s i n B C ∠=∠, 所以tan 30.B B ∠=∠= 考点：本题主要考查正弦定理及诱导公式的应用,意在考查考生的三角变换能力及运算能力.视频17．（本小题满分12分）某公司为了了解用户对其产品的满意度,从A,B 两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对其产品的满意度的评分,得到A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频率分布表. A 地区用户满意度评分的频率分布直方图…○…………装……………线…………○……学校:___________姓名：_________…○…………装……………线…………○……B 地区用户满意度评分的频率分布表（Ⅰ）在答题卡上作出B 地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度.（不要求计算出具体值,给出结论即可） B 地区用户满意度评分的频率分布直方图（Ⅱ）根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级：试卷第10页，总15页………………装……………订…………○…※请※※不※※要※※在※※※内※※答※※题※※………………装……………订…………○…估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由.【答案】（Ⅰ）见试题解析（Ⅱ）A 地区的用户的满意度等级为不满意的概率大. 【解析】试题分析：（Ⅰ）通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出,B 地区用户满意度评分的平均值高于A 地区用户满意度评分的平均值,B 地区用户满意度评分比较集中,而A 地区用户满意度评分比较分散.（II ）由直方图得()A P C 的估计值为0.6,()B P C 的估计值为0.25.,所以A 地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.试题解析：（Ⅰ）通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出,B 地区用户满意度评分的平均值高于A 地区用户满意度评分的平均值,B 地区用户满意度评分比较集中,而A 地区用户满意度评分比较分散.（Ⅱ）A 地区的用户的满意度等级为不满意的概率大. 记B C 表示事件“A 地区的用户的满意度等级为不满意”；表示事件“B 地区的用户的满意度等级为不满意”.由直方图得()A P C 的估计值为,()B P C 的估计值为,所以A 地区的用户的满意度等级为不满意的概率大. 考点：本题主要考查频率分布直方图及概率估计.视频18．如图，长方体1111ABCD A B C D -中， 116,10,8AB BC AA ===，点,E F 分别在1111,A B D C 上， 114A E D F ==，过点,E F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．……○…………装…………○…………订…………○……校:___________姓名：___________班级：___________考号……○…………装…………○…………订…………○……（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）． （2）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值． 【答案】（Ⅰ）见试题解析（Ⅱ）97或79【解析】试题分析：（Ⅰ）分别在,AB CD 上取H,G,使10AH DG ==；长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱,可求得其体积比值为97或79试题解析：解：（Ⅰ）交线围成的正方形EHGF 如图：（Ⅱ）作垂足为M,则18EM AA ==,,,因为E H G F是正方形,所以,于是因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱,所以其体积比值为97（79也正确）. 考点：本题主要考查几何体中的截面问题及几何体的体积的计算.视频19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，点(在C 上（1）求C 的方程（2）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴， l 与C 有两个交点,A B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.【答案】（1）22184x y += （2）12OM k k ⋅=-试卷第12页，总15页…装…※※要※…装…【解析】试题分析：22421,a b=+=求得228,4a b ==,由此可得C 的方程.（II ）把直线方程与椭圆方程联立得()222214280.k x kbx b +++-=,所以12222,,22121M M M x x kb bx y kx b k k +-===+=++于是1,2M OM M y k x k==- 12OM k k ⇒⋅=-.试题解析：解：22421,a b=+=解得228,4a b ==,所以椭圆C 的方程为2222184x y +=.（Ⅱ）设直线():0,0l y kx b k b =+≠≠, ()()()1122,,,,,M M A x y B x y M x y ,把y kx b =+代入2222184x y +=得()222214280.k x kbx b +++-=故12222,,22121M M M x x kb b x y kx b k k +-===+=++于是直线OM 的斜率1,2M OM M y k x k==-即12OM k k ⋅=-,所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值.考点：本题主要考查椭圆方程、直线与椭圆及计算能力、逻辑推理能力.视频20．已知 . (1)讨论 的单调性；(2)当 有最大值，且最大值大于 时，求 的取值范围. 【答案】(1) 在单调递增，在单调递减.（2） .【解析】试题分析：（Ⅰ）由,可分 , 两种情况来讨论；（II ）由（I ）知当 时 在 无最大值,当 时 最大值为因此.令 ,则 在 是增函数,当 时, ,当 时 ,因此a 的取值范围是 . 试题解析：………装…………○………………________姓名：___________班级：______________………装…………○………………（Ⅰ） 的定义域为 ,,若 ,则 , 在 是单调递增；若 ,则当时 ,当时 ,所以 在单调递增,在单调递减.（Ⅱ）由（Ⅰ）知当 时 在 无最大值,当 时 在取得最大值,最大值为 因此.令 ,则 在 是增函数, ,于是,当 时, ,当 时 ,因此a 的取值范围是 .考点：本题主要考查导数在研究函数性质方面的应用及分类讨论思想.视频21．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图O 是等腰三角形ABC 内一点,圆O 与△ABC 的底边BC 交于M,N 两点,与底边上的高交于点G,且与AB,AC 分别相切于E,F 两点.（Ⅰ）证明；（Ⅱ）若AG 等于圆O 半径,且,求四边形EBCF 的面积.【答案】（Ⅰ）见试题解析；（Ⅱ）3【解析】试题分析：（Ⅰ）要证明EFBC ,可证明,AD BC ⊥ AD EF ⊥；（Ⅱ）先求出有关线段的长度,然后把四边形EBCF 的面积转化为△ABC 和△AEF 面积之差来求. 试题解析：（Ⅰ）由于△ABC 是等腰三角形, ,AD BC ⊥所以AD 是CAB ∠的平分线,又因为圆O 与AB,AC 分别相切于E,F,所以AE AF =,故AD EF ⊥,所以EFBC .（Ⅱ）由（Ⅰ）知AE AF =, AD EF ⊥,故AD 是EF 的垂直平分线,又EF 为圆O 的弦,所以O 在AD 上,连接OE,OF,则OE AE ⊥,由AG 等于圆O 的半径得AO=2OE,所以○…○…30OAE∠=,因此,△ABC和△AEF都是等边三角形,,因为AE=,所以4,2,A O O E==因为2,OM OE==12DM MN==所以OD=1,于是AD=5,AB=所以四边形DBCF的面积为(221122⨯-⨯=⎝⎭考点：本题主要考查几何证明、四边形面积的计算及逻辑推理能力.视频22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,曲线1,:{,x tcosCy tsinαα==（t为参数,且0t≠）,其中0απ≤<,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin,:.C Cρθρθ==（Ⅰ）求2C与3C交点的直角坐标；（Ⅱ）若1C与2C相交于点A,1C与3C相交于点B,求AB最大值.【答案】（Ⅰ）()30,0,2⎫⎪⎪⎝⎭；（Ⅱ）4.【解析】试题分析：（Ⅰ）把2C与3C的方程化为直角坐标方程分别为2220x y y+-=,220x y+-=,联立解方程组可得交点坐标；（Ⅱ）先确定曲线1C极坐标方程为(),0,Rθαρρ=∈≠进一步求出点A的极坐标为()2sin,αα,点B的极坐标为(),αα,,由此可得2sin4sin43ABπααα⎛⎫=-=-≤⎪⎝⎭.试题解析：解：（Ⅰ）曲线2C的直角坐标方程为2220x y y+-=,曲线3C的直角坐标方程为220x y+-=,联立两方程解得{xy==或{32xy==,所以2C与3C交点的直角坐标()30,0,2⎫⎪⎪⎝⎭.试卷第14页，总15页○…_○…（Ⅱ）曲线1C 极坐标方程为(),0,R θαρρ=∈≠其中0απ≤<,因此点A 的极坐标为()2sin ,αα,点B 的极坐标为(),αα,所以2sin 4sin 3AB πααα⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,当56πα=时AB 取得最大值,最大值为4.考点：本题主要考查参数方程、直角坐标及极坐标方程的互化.圆的方程及三角函数的最值.视频23．（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲 设,,,a b c d 均为正数，且a b c d +=+，证明： （Ⅰ）若ab cd >，则【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析．【解析】设a b c d +=+，ab cd >，（Ⅱ）（ⅰ）若，则22()()a b c d -<-．即22()4()4a b ab c d cd +-<+-．因为a b c d +=+，所以ab cd >，由（Ⅰ）得（ⅱ）因为a b c d +=+，所以ab cd >，于是22()()4a b a b ab -=+-2()4c d cd <+-2()c d =-．因综上考点：推理证明．。
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(广东卷,含解析)
高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）绝密★启用前试卷类型：B2015年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（广东卷，含解析）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 若集合{}1,1M=-，{}2,1,0N=-，则M N =（）A．{}0,1-B．{}0C．{}1D．{}1,1-【答案】C 【解析】试题分析：{}1M N =，故选C．考点：集合的交集运算．2. 已知i是虚数单位，则复数()21i+=（）A．2-B．2C．2i-D．2i 【答案】D考点：复数的乘法运算．3. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．2siny x x=+B．2cosy x x=-C．122xxy=+D．sin2 y x x =+【答案】A 【解析】 试题分析：函数()2sin f x x x=+的定义域为R ，关于原点对称，因为()11sin1f =+，()1sin1f x -=-，所以函数()2sin f x x x=+既不是奇函数，也不是偶函数；函数()2cos f x x x=-的定义域为R，关于原点对称，因为()()()()22cos cos f x x x x x f x -=---=-=，所以函数()2cos f x x x=-是偶函数；函数()122x xf x =+的定义域为R，关于原点对称，因为()()112222x x x x f x f x ---=+=+=，所以函数()122xx f x =+是偶函数；函数()sin 2f x x x=+的定义域为R，关于原点对称，因为()()()sin 2sin 2f x x x x x f x -=-+-=--=-，所以函数()sin 2f x x x=+是奇函数．故选A ．考点：函数的奇偶性．4. 若变量x ，y 满足约束条件2204x y x y x +≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =+的最大值为（ ）A ．10B ．8C ．5D ．2 【答案】C考点：线性规划．5. 设C ∆AB 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a =，23c =，3cos 2A =，且b c <，则b =（ ）A ．3B ．2 C ．22 D ．3 【答案】B【解析】试题分析：由余弦定理得：2222cos a b c bc =+-A，所以()22232232232b b =+-⨯⨯⨯，即2680b b -+=，解得：2b =或4b =，因为b c <，所以2b =，故选B ． 考点：余弦定理．6. 若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（ ）A ．l 至少与1l ，2l 中的一条相交B ．l 与1l ，2l都相交 C ．l 至多与1l ，2l 中的一条相交 D ．l 与1l ，2l都不相交 【答案】A考点：空间点、线、面的位置关系．7. 已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（ ）A ．0.4B ．0.6C ．0.8D ．1 【答案】B 【解析】试题分析：5件产品中有2件次品，记为a ，b ，有3件合格品，记为c ，d ，e ，从这5件产品中任取2件，有10种，分别是(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),c d ，(),c e ，(),d e ，恰有一件次品，有6种，分别是(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，设事件A =“恰有一件次品”，则()60.610P A ==，故选B ．考点：古典概型．8.已知椭圆222125x y m +=（0m >）的左焦点为()1F 4,0-，则m =（ ）A ．9B ．4C ．3D ．2 【答案】C【解析】试题分析：由题意得：222549m =-=，因为0m >，所以3m =，故选C ． 考点：椭圆的简单几何性质．9. 在平面直角坐标系x y O 中，已知四边形CD AB 是平行四边形，()1,2AB =-，()D 2,1A =，则D C A ⋅A =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】D 【解析】试题分析：因为四边形CD AB 是平行四边形，所以()()()C D 1,22,13,1A =AB +A =-+=-，所以()D C 23115A ⋅A =⨯+⨯-=，故选D ．考点：1、平面向量的加法运算；2、平面向量数量积的坐标运算． 10. 若集合(){},,,04,04,04,,,p q r s p s q s r s p q r s E =≤<≤≤<≤≤<≤∈N 且，(){}F ,,,04,04,,,t u v w t u v w t u v w =≤<≤≤<≤∈N 且，用()card X 表示集合X 中的元素个数，则()()card card F E +=（ ）A ．50B ．100C ．150D ．200 【答案】D考点：推理与证明．二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．）（一）必做题（11~13题）11. 不等式2340x x --+>的解集为 ．（用区间表示） 【答案】()4,1-【解析】试题分析：由2340x x --+<得：41x -<<，所以不等式2340x x --+>的解集为()4,1-，所以答案应填：()4,1-．考点：一元二次不等式． 12. 已知样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的均值5x =，则样本数据121x +，221x +，⋅⋅⋅，21n x +的均值为 ． 【答案】11考点：均值的性质．13. 若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中526a =+，526c =-，则b = ． 【答案】1 【解析】试题分析：因为三个正数a ，b ，c 成等比数列，所以()()25265261b ac ==+-=，因为0b >，所以1b =，所以答案应填：1．考点：等比中项．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选作一题）14. （坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系x y O 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 2ρθθ+=-，曲线2C 的参数方程为222x t y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），则1C 与2C 交点的直角坐标为 ．【答案】()2,4-【解析】试题分析：曲线1C 的直角坐标方程为2x y +=-，曲线2C 的普通方程为28y x =，由228x y y x +=-⎧⎨=⎩得：24x y =⎧⎨=-⎩，所以1C 与2C 交点的直角坐标为()2,4-，所以答案应填：()2,4-．考点：1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、参数方程化为普通方程；3、两曲线的交点． 15. （几何证明选讲选做题）如图1，AB 为圆O 的直径，E 为AB 的延长线上一点，过E 作圆O 的切线，切点为C ，过A 作直线C E 的垂线，垂足为D ．若4AB =，C 23E =，则D A = ．【答案】3考点：1、切线的性质；2、平行线分线段成比例定理；3、切割线定理．三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）16、（本小题满分12分）已知tan 2α=．()1求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；()2求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值．【答案】（1）3-；（2）1．考点：1、两角和的正切公式；2、特殊角的三角函数值；3、二倍角的正、余弦公式；4、同角三角函数的基本关系.17、（本小题满分12分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[) 160,180，[) 180,200，[)200,220，[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300分组的频率分布直方图如图2．()1求直方图中x的值；()2求月平均用电量的众数和中位数；()3在月平均用电量为[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取多少户？【答案】（1）0.0075；（2）230，224；（3）5． 【解析】试题解析：（1）由()0.0020.00950.0110.01250.0050.0025201x ++++++⨯=得：0.0075x =，所以直方图中x 的值是0.0075考点：1、频率分布直方图；2、样本的数字特征（众数、中位数）；3、分层抽样.18、（本小题满分14分）如图3，三角形DC P 所在的平面与长方形CD AB 所在的平面垂直，D C 4P =P =，6AB =，C 3B =．()1证明：C//B 平面D P A ； ()2证明：C D B ⊥P ；()3求点C 到平面D P A 的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）372．【解析】试题解析：（1）因为四边形CD AB 是长方形，所以C//D B A ，因为C B ⊄平面D P A ，D A ⊂平面D P A ，所以C//B 平面D P A（2）因为四边形CD AB 是长方形，所以C CD B ⊥，因为平面DC P ⊥平面CD AB ，平面DCP 平面CD CD AB =，C B ⊂平面CD AB ，所以C B ⊥平面DC P ，因为D P ⊂平面DC P ，所以C D B ⊥P（3）取CD 的中点E ，连结AE 和PE ，因为D C P =P ，所以CD PE ⊥，在Rt D ∆PE 中，22D D PE =P -E22437=-=，因为平面DC P ⊥平面CD AB ，平面DC P 平面CD CD AB =，PE ⊂平面DC P ，所以PE ⊥平面CD AB ，由（2）知：C B ⊥平面DC P ，由（1）知：C//D B A ，所以D A ⊥平面DC P ，因为D P ⊂平面DC P ，所以D D A ⊥P ，设点C 到平面D P A 的距离为h ，因为C D CD V V -P A P-A =三棱锥三棱锥，所以D CD 1133S h S ∆P A ∆A ⋅=⋅PE，即CD D 136737212342S h S ∆A ∆P A ⨯⨯⨯⋅PE ===⨯⨯，所以点C 到平面D P A 的距离是372考点：1、线面平行；2、线线垂直；3、点到平面的距离.19、（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n *∈N ．已知11a =，232a =，354a =，且当2n ≥时，211458n n n n S S S S ++-+=+．()1求4a 的值；()2证明：112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；()3求数列{}na的通项公式．【答案】（1）78；（2）证明见解析；（3）()11212nna n-⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭．考点：1、等比数列的定义；2、等比数列的通项公式；3、等差数列的通项公式.。
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(新课标II卷,含部分解析)
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题一、选择题：本大题共12道小题，每小题5分1．已知集合{}|12A x x =-<<，{}|03B x x =<<，则A B =A ．()1,3-B ．()1,0-C ．()0,2D ．()2,3 【答案】A考点：集合运算.【名师点睛】本题属基础题，主要考查数列的交集运算。
2. 若为a 实数，且2i3i 1ia +=++，则a = A ．4- B ．3- C ．3 D ．4 【答案】D 【解析】试题分析：由题意可得()()2i 1i 3i 24i 4a a +=++=+⇒= ，故选D. 考点：复数运算.【名师点睛】本题主要考查复数的乘除运算，及复数相等，难度不大，但要注意运算的准确性。
3. 根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是A ．逐年比较，2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著2004年 2005年 2006年 2007年 2008年 2009年 2010年 2011年 2012年 2013年190020002100220023002400250026002700B ．2007年我国治理二氧化碳排放显现成效C ．2006年以来我国二氧化碳年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关 【答案】 D考点：柱形图【名师点睛】本题考查学生对柱形图的理解，要求学生能从图中读出有用信息，背景比较新颖。
4. 已知()0,1=-a ，()1,2=-b ，则(2)+⋅=a b a A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 【答案】B 【解析】试题分析：由题意可得21=a ，2,⋅=-a b 所以()222220+⋅=+⋅=-=a b a a a b .考点：向量数量积。
【名师点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算，属于基础题。
5. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若1353a a a ++=，则5S = A ．5 B ．7 C ．9 D ．11【答案】A 【解析】试题解析：13533331a a a a a ++==⇒=，()15535552a a S a +===. 考点：等差数列【名师点睛】本题主要考查等差数列性质及前n 项和公式，具有小、巧、活的特点。
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(广东卷,含解析)
1 求直方图中 x 的值； 2 求月平均用电量的众数和中位数； 3 在月平均用电量为220, 240 ，240, 260 ，260, 280 ，280,300 的四组用户中，用 分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在 220, 240 的用户中应抽取多少户？
【答案】（1） 0.0075 ；（2） 230 ， 224 ；（3） 5 ．
平面 D ，所以 C// 平面 D
（2）因为四边形 CD 是长方形，所以 C CD ，因为平面 DC 平面 CD ，平面 DC 平面 CD CD ， C 平面 CD ，所以 C 平面 DC ，因为 D 平面
DC ，所以 C D
（3）取 CD 的中点 ，连结 和 ，因为 D C ，所以 CD ，在 RtD 中，
0.6
，故选
B．
考点：古典概型．
8.已知椭圆
x2 25
y2 m2
1 （m
0 ）的左焦点为 F1 4, 0 ，则 m （
）
A． 9
B． 4
C． 3
D． 2
【答案】C 【解析】
试题分析：由题意得： m2 25 42 9 ，因为 m 0 ，所以 m 3 ，故选 C．
考点：椭圆的简单几何性质．
．
【答案】 2, 4
【解析】
试题分析：曲线 C1 的直角坐标方程为 x y 2 ，曲线 C2 的普通方程为 y2 8x ，由
x y 2 x 2
y
2
8x
得：
y
4
，所以
C1
与
C2
交点的直角坐标为
2,
4
，所以答案应填：
2,
4
．
考点：1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、参数方程化为普通方程；3、两曲线的交点．
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案(全word可编辑版,全解全析)
2015年普通高等学校招生全国统一考试课标全国Ⅰ理科数学注意事项:1.本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至5页.2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效.4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2015课标全国Ⅰ,理1)设复数z满足1+z=i,则|z|=()A.1B.2C.3D.2答案:A解析:∵1+z=i,∴z=i−1=(i−1)(−i+1)=i,∴|z|=1.2.(2015课标全国Ⅰ,理2)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=()A.-32B.32C.-12D.12答案:D解析:sin20°cos10°-cos160°sin10°=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin(10°+20°)=sin30°=12.3.(2015课标全国Ⅰ,理3)设命题p:∃n∈N,n2>2n,则p为()A.∀n∈N,n2>2nB.∃n∈N,n2≤2nC.∀n∈N,n2≤2nD.∃n∈N,n2=2n答案:C解析:∵p:∃n∈N,n2>2n,∴p:∀n∈N,n2≤2n.故选C.4.(2015课标全国Ⅰ,理4)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为()A.0.648B.0.432C.0.36D.0.312答案:A解析:由条件知该同学通过测试,即3次投篮投中2次或投中3次.故P=C320.62(1-0.6)+C330.63=0.648.5.(2015课标全国Ⅰ,理5)已知M(x0,y0)是双曲线C:x 22-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若MF1·MF2<0,则y0的取值范围是()A. −3,3B. −3,3C. −22,22D. −23,23答案:A解析:由条件知F1(-3,0),F2(3,0),∴MF1=(-3-x0,-y0),MF2=(3-x0,-y0),∴MF1·MF2=x02+y02-3<0.①又∵x022−y02=1,∴x02=2y02+2.代入①得y02<13,∴-3<y0<3. 6.(2015课标全国Ⅰ,理6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有( ) A .14斛 B .22斛 C .36斛 D .66斛 答案:B解析:设底面圆半径为R ,米堆高为h.∵米堆底部弧长为8尺,∴14·2πR=8,∴R=16π.∴体积V=1×1·πR 2h=1×π× 16 2×5.∵π≈3,∴V ≈3209(尺3). ∴堆放的米约为3209×1.62≈22(斛).7.(2015课标全国Ⅰ,理7)设D 为△ABC 所在平面内一点,BC =3CD ,则( )A .AD =-1AB +4AC B .AD =1AB −4AC C .AD =43AB +13AC D .AD=43AB −13AC 答案:A解析:如图:∵AD =AB +BD,BC =3CD , ∴AD =AB +43BC =AB +43(AC −AB )=-13AB +43AC. 8.(2015课标全国Ⅰ,理8)函数f (x )=cos(ωx+φ)的部分图像如图所示,则f (x )的单调递减区间为( ) A . kπ−1,kπ+3 ,k ∈Z B . 2kπ−1,2kπ+3 ,k ∈Z C . k −14,k +34 ,k ∈Z D . 2k −1,2k +3 ,k ∈Z 答案:D解析:不妨设ω>0,由函数图像可知,其周期为T=2× 54−14=2,所以2πω=2,解得ω=π. 所以f (x )=cos(πx+φ).由图像可知,当x=12 14+54=34时,f (x )取得最小值,即f 3 =cos3π+φ =-1,解得3π4+φ=2k π+π(k ∈Z ),解得φ=2k π+π4(k ∈Z ).令k=0,得φ=π,所以f (x )=cos πx +π.令2k π≤πx+π≤2k π+π(k ∈Z ),解得2k-14≤x ≤2k+34(k ∈Z ).所以函数f (x )=cos πx +π4的单调递减区间为 2k−14,2k +34(k ∈Z ).结合选项知应选D .9.(2015课标全国Ⅰ,理9)执行下面的程序框图,如果输入的t=0.01,则输出的n=( )A .5B .6C .7D .8答案:C解析:∵S=1,n=0,m=1,t=0.01,∴S=S-m=12,m=m 2=14,n=n+1=1,S>0.01,∴S=14,m=18,n=2,S>0.01,∴S=1,m=1,n=3,S>0.01,∴S=1,m=1,n=4,S>0.01,∴S=132,m=164,n=5,S>0.01,∴S=1,m=1,n=6,S>0.01,∴S=1,m=1,n=7,S<0.01,∴n=7.10.(2015课标全国Ⅰ,理10)(x 2+x+y )5的展开式中,x 5y 2的系数为( ) A .10 B .20 C .30 D .60 答案:C解析:由于(x 2+x+y )5=[(x 2+x )+y ]5,其展开式的通项为T r+1=C 5r (x 2+x )5-r y r (r=0,1,2,…,5),因此只有当r=2,即T 3=C 52(x 2+x )3y 2中才能含有x 5y 2项.设(x 2+x )3的展开式的通项为S i+1=C 3i (x 2)3-i ·x i =C 3i x 6-i(i=0,1,2,3),令6-i=5,得i=1,则(x 2+x )3的展开式中x 5项的系数是C 31=3,故(x 2+x+y )5的展开式中,x 5y 2的系数是C 52·3=10×3=30. 11.(2015课标全国Ⅰ,理11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=( ) A .1 B .2 C .4 D .8 答案:B解析:由条件知,该几何体是由一个圆柱被过圆柱底面圆直径的平面所截剩下的半个圆柱及一个半球拼接而成,其表面积是一个矩形面积、两个半圆面积、圆柱侧面积的一半、球表面积的一半相加所得,所以表面积为S 表=2r×2r+2×12πr 2+πr×2r+12×4πr 2=5πr 2+4r 2=16+20π,解得r=2.12.(2015课标全国Ⅰ,理12)设函数f (x )=e x (2x-1)-ax+a ,其中a<1,若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0,则a 的取值范围是( )A. −32e ,1B. −32e,34C.32e ,34D.32e,1答案:D解析:设g(x)=e x(2x-1),h(x)=a(x-1),则不等式f(x)<0即为g(x)<h(x).因为g'(x)=e x(2x-1)+2e x=e x(2x+1),当x<-12时,g'(x)<0,函数g(x)单调递减;当x>-12时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增.所以g(x)的最小值为g −1.而函数h(x)=a(x-1)表示经过点P(1,0),斜率为a的直线.如图,分别作出函数g(x)=e x(2x-1)与h(x)=a(x-1)的大致图像.显然,当a≤0时,满足不等式g(x)<h(x)的整数有无数多个.函数g(x)=e x(2x-1)的图像与y轴的交点为A(0,-1),与x轴的交点为D1,0.取点C −1,−3e.由图可知,不等式g(x)<h(x)只有一个整数解时,须满足k PC≤a<k PA.而k PC=0−−3e=3,k PA=0−(−1)=1,所以32e ≤a<1.故选D.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(2015课标全国Ⅰ,理13)若函数f(x)=x ln(x+ a+x2)为偶函数,则a=.答案:1解析:∵f(x)是偶函数,∴f(-1)=f(1).又f(-1)=-ln(-1+a+1)=ln a+1+1a,f(1)=ln(1+a+1),因此ln(a+1+1)-ln a=ln(a+1+1),于是ln a=0,∴a=1.14.(2015课标全国Ⅰ,理14)一个圆经过椭圆x 2+y2=1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准方程为.答案: x−32+y2=25解析:由条件知圆经过椭圆的三个顶点分别为(4,0),(0,2),(0,-2),设圆心为(a,0)(a>0),所以(a−0)2+(0−2)2=4-a,解得a=32,故圆心为32,0,此时半径r=4-32=52,因此该圆的标准方程是 x−322+y2=254.15.(2015课标全国Ⅰ,理15)若x,y满足约束条件x−1≥0,x−y≤0,x+y−4≤0,则yx的最大值为.答案:3解析:画出约束条件对应的平面区域(如图),点A为(1,3),要使y最大,则y−0最大,即过点(x,y),(0,0)两点的直线斜率最大,由图形知当该直线过点A时,yx max =3−01−0=3.16.(2015课标全国Ⅰ,理16)在平面四边形ABCD 中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB 的取值范围是 . 答案:( 6− 2, 6+ 2) 解析:如图.作CE ∥AD 交AB 于E ,则∠CEB=75°,∠ECB=30°. 在△CBE 中,由正弦定理得,EB= − 延长CD 交BA 的延长线于F ,则∠F=30°. 在△BCF 中,由正弦定理得,BF= 6+ 2, 所以AB 的取值范围为( 6− 2, 6+ 2).三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅰ,理17)S n 为数列{a n }的前n 项和.已知a n >0,a n 2+2a n =4S n +3. (1)求{a n }的通项公式; (2)设b n =1a n a n +1,求数列{b n }的前n 项和.解:(1)由a n 2+2a n =4S n +3,可知a n +12+2a n+1=4S n+1+3.可得a n +12−a n 2+2(a n+1-a n )=4a n+1,即2(a n+1+a n )=a n +12−a n 2=(a n+1+a n )(a n+1-a n ). 由于a n >0,可得a n+1-a n =2.又a 12+2a 1=4a 1+3,解得a 1=-1(舍去),a 1=3.所以{a n }是首项为3,公差为2的等差数列,通项公式为a n =2n+1. 6分(2)由a n =2n+1可知b n =1n n +1=1=11−1.设数列{b n }的前n 项和为T n ,则 T n =b 1+b 2+…+b n=12 13−15 + 15−17 +⋯+12n +1−12n +3=n . 12分18.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅰ,理18)如图,四边形ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E ,F 是平面ABCD 同一侧的两点,BE ⊥平面ABCD ,DF ⊥平面ABCD ,BE=2DF ,AE ⊥EC.(1)证明:平面AEC ⊥平面AFC ;(2)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值. 解:(1)连结BD ,设BD ∩AC=G ,连结EG ,FG ,EF.在菱形ABCD 中,不妨设GB=1. 由∠ABC=120°,可得AG=GC=由BE ⊥平面ABCD ,AB=BC ,可知AE=EC. 又AE ⊥EC ,所以EG= 3,且EG ⊥AC. 在Rt △EBG 中,可得BE= 2,故DF= 2. 在Rt △FDG 中,可得FG= 62.在直角梯形BDFE 中,由BD=2,BE= 2,DF= 22,可得EF=3 22. 从而EG 2+FG 2=EF 2,所以EG ⊥FG. 又AC ∩FG=G ,可得EG ⊥平面AFC.因为EG ⊂平面AEC ,所以平面AEC ⊥平面AFC. 6分(2)如图,以G 为坐标原点,分别以GB ,GC 的方向为x 轴、y 轴正方向,|GB |为单位长,建立空间直角坐标系G-xyz.由(1)可得A (0,- E (1,0, F −1,0,2,C (0, 3,0),所以AE =(1, 3, 2),CF= −1,− 3, 2 . 10分故cos <AE ,CF >=AE ·CF|AE ||CF|=- 33. 所以直线AE 与直线CF 所成角的余弦值为 3.12分19.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅰ,理19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x (单位:千元)对年销售量y (单位:t)和年利润z (单位:千元)的影响.对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i=1,2,…,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.表中w i = x i ,w =18∑i =18w i. (1)根据散点图判断,y=a+bx 与y=c+d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立y 关于x 的回归方程;(3)已知这种产品的年利润z 与x ,y 的关系为z=0.2y-x.根据(2)的结果回答下列问题: ①年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少? ②年宣传费x 为何值时,年利润的预报值最大?附:对于一组数据(u 1,v 1),(u 2,v 2),…,(u n ,v n ),其回归直线v=α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^=∑i =1n(u i −u )(v i −v )∑i =1n(u i −u )2,α^=v −β^u .解:(1)由散点图可以判断,y=c+d x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型.2分(2)令w= x ,先建立y 关于w 的线性回归方程.由于d ^=∑i =18(w i −w )(y i −y )∑i =18(w i −w )2=108.81.6=68, c ^=y −d ^w =563-68×6.8=100.6,所以y 关于w 的线性回归方程为y ^=100.6+68w ,因此y 关于x 的回归方程为y ^=100.6+68 x . 6分(3)①由(2)知,当x=49时,年销售量y 的预报值y ^=100.6+68 49=576.6,年利润z 的预报值z ^=576.6×0.2-49=66.32. 9分②根据(2)的结果知,年利润z 的预报值z ^=0.2(100.6+68 x )-x=-x+13.6 x +20.12.所以当 x =13.6=6.8,即x=46.24时,z ^取得最大值.故年宣传费为46.24千元时,年利润的预报值最大.12分20.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅰ,理20)在直角坐标系xOy 中,曲线C :y=x 24与直线l :y=kx+a (a>0)交于M ,N两点.(1)当k=0时,分别求C 在点M 和N 处的切线方程;(2)y 轴上是否存在点P ,使得当k 变动时,总有∠OPM=∠OPN ?说明理由. 解:(1)由题设可得M (2 a ,a ),N (-2 a ,a ),或M (-2 a ,a ),N (2 a ,a ).又y'=x 2,故y=x 24在x=2 a 处的导数值为 a ,C 在点(2 a ,a )处的切线方程为y-a= a (x-2 a ),即 a x-y-a=0. y=x 2在x=-2 a 处的导数值为- a ,C 在点(-2 a ,a )处的切线方程为y-a=- a (x+2 a ),即 a x+y+a=0. 故所求切线方程为 a x-y-a=0和 a x+y+a=0. 5分(2)存在符合题意的点,证明如下:设P (0,b )为符合题意的点,M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),直线PM ,PN 的斜率分别为k 1,k 2. 将y=kx+a 代入C 的方程得x 2-4kx-4a=0. 故x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-4a.从而k 1+k 2=y 1−b x 1+y 2−bx 2=2kx 1x 2+(a−b )(x 1+x 2)x 1x 2=k (a +b )a.当b=-a 时,有k 1+k 2=0,则直线PM 的倾角与直线PN 的倾角互补,故∠OPM=∠OPN ,所以点P (0,-a )符合题意. 12分21.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅰ,理21)已知函数f (x )=x 3+ax+1,g (x )=-ln x.(1)当a 为何值时,x 轴为曲线y=f (x )的切线;(2)用min{m ,n }表示m ,n 中的最小值,设函数h (x )=min{f (x ),g (x )}(x>0),讨论h (x )零点的个数. 解:(1)设曲线y=f (x )与x 轴相切于点(x 0,0),则f (x 0)=0,f'(x 0)=0,即 x 03+ax 0+1=0,3x 02+a =0.解得x 0=1,a=-3.因此,当a=-34时,x 轴为曲线y=f (x )的切线. 5分(2)当x ∈(1,+∞)时,g (x )=-ln x<0,从而h (x )=min{f (x ),g (x )}≤g (x )<0,故h (x )在(1,+∞)无零点. 当x=1时,若a ≥-54,则f (1)=a+54≥0,h (1)=min{f (1),g (1)}=g (1)=0,故x=1是h (x )的零点;若a<-54,则f (1)<0,h (1)=min{f (1),g (1)}=f (1)<0,故x=1不是h (x )的零点.当x ∈(0,1)时,g (x )=-ln x>0.所以只需考虑f (x )在(0,1)的零点个数.(ⅰ)若a ≤-3或a ≥0,则f'(x )=3x 2+a 在(0,1)无零点,故f (x )在(0,1)单调.而f (0)=14,f (1)=a+54,所以当a ≤-3时,f (x )在(0,1)有一个零点;当a ≥0时,f (x )在(0,1)没有零点.(ⅱ)若-3<a<0,则f (x )在 0, −3单调递减,在 −3,1 单调递增,故在(0,1)中,当x= −3时,f (x )取得最小值,最小值为f −a =2a −a +1. ①若f −a >0,即-3<a<0,f (x )在(0,1)无零点; ②若f −a =0,即a=-3,则f (x )在(0,1)有唯一零点;③若f −3 <0,即-3<a<-34,由于f (0)=14,f (1)=a+54,所以当-54<a<-34时,f (x )在(0,1)有两个零点;当-3<a ≤-54时,f (x )在(0,1)有一个零点.10分综上,当a>-3或a<-5时,h (x )有一个零点;当a=-3或a=-5时,h (x )有两个零点;当-5<a<-3时,h (x )有三个零点. 12分请考生在第22、23、24三题中任选一题做答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分,做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.(本小题满分10分)(2015课标全国Ⅰ,理22)选修4—1:几何证明选讲如图,AB是☉O的直径,AC是☉O的切线,BC交☉O于点E.(1)若D为AC的中点,证明:DE是☉O的切线;(2)若OA=3CE,求∠ACB的大小.解:(1)连结AE,由已知得,AE⊥BC,AC⊥AB.在Rt△AEC中,由已知得,DE=DC,故∠DEC=∠DCE.连结OE,则∠OBE=∠OEB.又∠ACB+∠ABC=90°,所以∠DEC+∠OEB=90°,故∠OED=90°,DE是☉O的切线.5分(2)设CE=1,AE=x,由已知得AB=2,BE=2.由射影定理可得,AE2=CE·BE,所以x2=12−x2,即x4+x2-12=0.可得x=3,所以∠ACB=60°.10分23.(本小题满分10分)(2015课标全国Ⅰ,理23)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C1,C2的极坐标方程;(2)若直线C3的极坐标方程为θ=π4(ρ∈R),设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN的面积.解:(1)因为x=ρcosθ,y=ρsinθ,所以C1的极坐标方程为ρcosθ=-2,C2的极坐标方程为ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0.5分(2)将θ=π4代入ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0,得ρ2-32ρ+4=0,解得ρ1=22,ρ2= 2.故ρ1-ρ2=2,即|MN|= 2.由于C2的半径为1,所以△C2MN的面积为1.10分24.(本小题满分10分)(2015课标全国Ⅰ,理24)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0.(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(2)若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.解:(1)当a=1时,f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|-1>0.当x≤-1时,不等式化为x-4>0,无解;当-1<x<1时,不等式化为3x-2>0,解得2<x<1;当x≥1时,不等式化为-x+2>0,解得1≤x<2.所以f(x)>1的解集为 x2<x<2.5分(2)由题设可得,f(x)=x−1−2a,x<−1,3x+1−2a,−1≤x≤a,−x+1+2a,x>a.所以函数f(x)的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A2a−13,0,B(2a+1,0),C(a,a+1),△ABC的面积为2(a+1)2.由题设得23(a+1)2>6,故a>2.所以a的取值范围为(2,+∞).10分。
2015年普通高等学校招生全国统一考试全国新课标卷Ⅰ文科数学
2015年普通高等学校招生全国统一考试课标全国Ⅰ文科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合A ＝{x|x ＝3n ＋2，n ∈N}，B ＝{6，8，10，12，14}，则集合A ∩B 中元素的个数为( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 答案：D解析：由条件知，当n ＝2时，3n ＋2＝8，当n ＝4时，3n ＋2＝14.所以A ∩B ＝{8，14}.故选D ．2.已知点A (0，1)，B (3，2)，向量AA⃗⃗⃗⃗ ＝(﹣4，﹣3)，则向量AA ⃗⃗⃗⃗ ＝( ) A ．(﹣7，﹣4) B ．(7，4) C ．(﹣1，4) D ．(1，4)答案：A解析：∵AA ⃗⃗⃗⃗ ＝AA ⃗⃗⃗⃗ −AA ⃗⃗⃗⃗ ＝(3，2)﹣(0，1)＝(3，1)，AA ⃗⃗⃗⃗ ＝(﹣4，﹣3)， ∴AA ⃗⃗⃗⃗ ＝AA ⃗⃗⃗⃗ −AA ⃗⃗⃗⃗ ＝(﹣4，﹣3)﹣(3，1)＝(﹣7，﹣4). 3.已知复数z 满足(z ﹣1)i ＝1＋i ，则z ＝( ) A ．﹣2﹣i B ．﹣2＋i C ．2﹣i D ．2＋i 答案：C解析：∵(z ﹣1)i ＝1＋i ，∴z ＝1＋i i＋1＝(1＋i )(﹣i )﹣i 2＋1＝1﹣i ＋1＝2﹣i .4.如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数.从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( ) A ．310B ．15C ．110D ．120答案：C解析：从1，2，3，4，5中任取3个数共有10种不同的取法，其中的勾股数只有3，4，5，因此3个数构成一组勾股数的取法只有一种，故所求概率为110.5.已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB|＝( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．12答案：B解析：∵抛物线y 2＝8x 的焦点坐标为(2，0)，∴E 的右焦点的坐标为(2，0).设椭圆E 的方程为A 2A 2＋A 2A 2＝1(a>b>0)，∴c ＝2. ∵A A ＝12，∴a ＝4.∴b 2＝a 2﹣c 2＝12，于是椭圆方程为A216＋A 212＝1.∵抛物线的准线方程为x＝﹣2，将其代入椭圆方程可得A(﹣2，3)，B(﹣2，﹣3)，∴|AB|＝6.6.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何?”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有()A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛答案：B解析：设圆锥的底面半径为R，高为h.∵米堆底部的弧长为8尺，∴14·2πR＝8，∴R＝16π.∵h＝5，∴米堆的体积V＝14×13πR2h＝112×π×(16π)2×5.∵π≈3，∴V≈3209(立方尺).∴堆放的米约有3209×1.62≈22(斛).7.已知{a n}是公差为1的等差数列，S n为{a n}的前n项和.若S8＝4S4，则a10＝()A．172B．192C．10D．12答案：B解析：∵公差d＝1，S8＝4S4，∴8(A1＋A8)2＝4×4(A1＋A4)2，即2a1＋7d＝4a1＋6d，解得a1＝12.∴a10＝a1＋9d＝12＋9＝192.8.函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为()A．(Aπ﹣14，Aπ＋34)，k∈ZB．(2Aπ﹣14，2Aπ＋34)，k∈ZC．(A﹣14，A＋34)，k∈ZD．(2A﹣14，2A＋34)，k∈Z答案：D解析：不妨设ω>0，由函数图像可知，其周期为T＝2×(54﹣14)＝2，所以2πA＝2，解得ω＝π.所以f(x)＝cos(πx＋φ).由图像可知，当x＝12(14＋54)＝34时，f(x)取得最小值，即f(34)＝cos(3π4＋A)＝﹣1，解得3π4＋φ＝2kπ＋π(k∈Z)，解得φ＝2kπ＋π4(k∈Z).令k＝0，得φ＝π4，所以f(x)＝cos(πA＋π4).令2kπ≤πx＋π4≤2kπ＋π(k∈Z)，解得2k﹣14≤x≤2k＋34(k∈Z).所以函数f(x)＝cos(πA＋π4)的单调递减区间为[2A﹣14，2A＋34](k∈Z).结合选项知选D．9.执行下面的程序框图，如果输入的t＝0.01，则输出的n＝()A．5B．6C．7D．8答案：C解析：由于S＝1，n＝0，m＝12，t＝0.01，则S＝S﹣m＝12，m＝A2＝14，n＝n＋1＝1，S>0.01；S＝14，m＝18，n＝2，S>0.01；S ＝18，m ＝116，n ＝3，S>0.01；S ＝116，m ＝132，n ＝4，S>0.01；S ＝132，m ＝164，n ＝5，S>0.01； S ＝164，m ＝1128，n ＝6，S>0.01；S ＝1128，m ＝1256，n ＝7，S<0.01，结束循环，此时输出的n ＝7. 10.已知函数f (x )＝{2A ﹣1﹣2，A ≤1，﹣log 2(A ＋1)，A >1，且f (a )＝﹣3，则f (6﹣a )＝( )A ．﹣74 B ．﹣54C ．﹣34D ．﹣14答案：A解析：∵f (a )＝﹣3，∴当a ≤1时，f (a )＝2a ﹣1﹣2＝﹣3，即2a ﹣1＝﹣1，此等式显然不成立. 当a>1时，f (a )＝﹣log 2(a ＋1)＝﹣3，即a ＋1＝23，解得a ＝7.∴f (6﹣a )＝f (﹣1)＝2﹣1﹣1﹣2＝14﹣2＝﹣74.11.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8 答案：B解析：由条件及几何体的三视图可知该几何体是由一个圆柱被过圆柱底面直径的平面所截剩下的半个圆柱及一个半球拼接而成的.其表面积由一个矩形的面积、两个半圆的面积、圆柱的侧面积的一半及一个球的表面积的一半组成.∴S 表＝2r×2r ＋2×12πr 2＋πr×2r ＋12×4πr 2＝5πr 2＋4r 2＝16＋20π，解得r ＝2.12.设函数y ＝f (x )的图像与y ＝2x ＋a 的图像关于直线y ＝﹣x 对称，且f (﹣2)＋f (﹣4)＝1，则a ＝( ) A ．﹣1 B ．1 C ．2 D ．4答案：C解析：设(x ，y )是函数y ＝f (x )图像上的任意一点，它关于直线y ＝﹣x 的对称点为(﹣y ，﹣x )，由已知得点(﹣y ，﹣x )在曲线y ＝2x ＋a 上，∴﹣x ＝2﹣y ＋a ，解得y ＝﹣log 2(﹣x )＋a ，即f (x )＝﹣log 2(﹣x )＋A ．∴f (﹣2)＋f (﹣4)＝﹣log 22＋a ＋(﹣log 24)＋a ＝1， 解得a ＝2.第Ⅰ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和.若S n ＝126，则n ＝__________. 答案：6解析：∵a n ＋1＝2a n ，即A A ＋1A A＝2，∴{a n }是以2为公比的等比数列. 又a 1＝2， ∴S n ＝2(1﹣2A )1﹣2＝126.∴2n ＝64，∴n ＝6.14.已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图像在点(1，f (1))处的切线过点(2，7)，则a ＝__________.答案：1解析：∵f'(x )＝3ax 2＋1，∴f'(1)＝3a ＋1，即切线斜率k ＝3a ＋1.又f (1)＝a ＋2，∴已知点为(1，a ＋2).而由过(1，a ＋2)，(2，7)两点的直线的斜率为A ＋2﹣71﹣2＝5﹣a ，∴5﹣a ＝3a ＋1，解得a ＝1.15.若x ，y 满足约束条件{A ＋A ﹣2≤0，A ﹣2A ＋1≤0，2A ﹣A ＋2≥0，则z ＝3x ＋y 的最大值为__________.答案：4解析：画出约束条件对应的可行域(如图阴影部分所示)，由{A ﹣2A ＋1＝0，A ＋A ﹣2＝0解得{A ＝1，A ＝1，即点A 的坐标为(1，1).由z ＝3x ＋y ，得y ＝﹣3x ＋z.作出直线l 0：y ＝﹣3x ，并平移，当直线经过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，即z 最大. 所以z max ＝3×1＋1＝4.16.已知F 是双曲线C ：x 2﹣A 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0，6√6).当△APF 周长最小时，该三角形的面积为__________.答案：12√6解析：设双曲线的左焦点为F 1，如图.由双曲线的定义知|PF|＝2a＋|PF1|，∴△APF的周长为|P A|＋|PF|＋|AF|＝|P A|＋(2a＋|PF1|)＋|AF|＝|P A|＋|PF1|＋(2a＋|AF|).由于2a＋|AF|是定值，要使△APF的周长最小，则应使|P A|＋|PF1|最小，即P，A，F1三点共线.∵A(0，6√6)，F1(﹣3，0)，∴直线AF1的方程为A﹣3＝1，即x＝﹣3.将其代入x2﹣A28＝1得y2＋6√6y﹣96＝0，解得y＝2√6或y＝﹣8√6(舍去)，因此点P的纵坐标为2√6.∴S△APF＝A△AA1A −A△AA1A＝12·|F1F|·y A﹣12·|F1F|·y P＝12×6×6√6−12×6×2√6＝12√6.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin2B＝2sin A sin C．(1)若a＝b，求cos B；(2)设B＝90°，且a＝√2，求△ABC的面积.解：(1)由题设及正弦定理可得b2＝2aC．又a＝b，可得b＝2c，a＝2C．由余弦定理可得cos B＝A2＋A2﹣A22AA ＝14.6分(2)由(1)知b2＝2aC．因为B＝90°，由勾股定理得a2＋c2＝b2.故a2＋c2＝2ac，得c＝a＝√2.所以△ABC的面积为1.12分18.(本小题满分12分)如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD．(1)证明：平面AEC⊥平面BED；(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥E﹣ACD的体积为√63，求该三棱锥的侧面积.解：(1)因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD．因为BE⊥平面ABCD，所以AC⊥BE.故AC⊥平面BED．又AC⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED．5分(2)设AB ＝x ，在菱形ABCD 中，由∠ABC ＝120°，可得 AG ＝GC ＝√32x ，GB ＝GD ＝A2.因为AE ⊥EC ，所以在Rt △AEC 中，可得EG ＝√32x.由BE ⊥平面ABCD ，知△EBG 为直角三角形，可得BE ＝√22x. 由已知得，三棱锥E ﹣ACD 的体积 V E ﹣ACD ＝13×12AC ·GD ·BE ＝√624x 3＝√63. 故x ＝2.9分从而可得AE ＝EC ＝ED ＝√6.所以△EAC 的面积为3，△EAD 的面积与△ECD 的面积均为√5. 故三棱锥E ﹣ACD 的侧面积为3＋2√5. 12分 19.(本小题满分12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t)和年利润z (单位：千元)的影响.对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.表中w i ＝√A A ，A ＝18∑A ＝1w i .(1)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋d √x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型?(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；(3)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0.2y ﹣x.根据(2)的结果回答下列问题： ①年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少? ②年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大?附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝α＋βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝∑A ＝1A(A A ﹣A )(A A ﹣A )∑A ＝1A(A A ﹣A )2，A ^＝A −A ^A .解：(1)由散点图可以判断，y ＝c ＋d √A 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型.2分(2)令w ＝√A ，先建立y 关于w 的线性回归方程.由于A ^＝∑A ＝18(A A ﹣A )(A A ﹣A )∑A ＝18(A A ﹣A )2＝108.81.6＝68，A ^＝A −A ^A ＝563﹣68×6.8＝100.6，所以y 关于w 的线性回归方程为A ^＝100.6＋68w ，因此y 关于x 的回归方程为A ^＝100.6＋68√A .6分(3)①由(2)知，当x ＝49时，年销售量y 的预报值A ^＝100.6＋68√49＝576.6，年利润z 的预报值A ^＝576.6×0.2﹣49＝66.32.9分②根据(2)的结果知，年利润z 的预报值A ^＝0.2(100.6＋68√A )﹣x ＝﹣x ＋13.6√A ＋20.12.所以当√A ＝13.62＝6.8，即x ＝46.24时，A ^取得最大值.故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大. 12分 20.(本小题满分12分)已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x ﹣2)2＋(y ﹣3)2＝1交于M ，N 两点. (1)求k 的取值范围；(2)若AA⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗ ＝12，其中O 为坐标原点，求|MN|. 解：(1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1. 因为l 与C 交于两点，所以√1＋A 2<1.解得4﹣√73<k<4＋√73.所以k 的取值范围为(4﹣√73，4＋√73). 5分(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2).将y ＝kx ＋1代入方程(x ﹣2)2＋(y ﹣3)2＝1， 整理得(1＋k 2)x 2﹣4(1＋k )x ＋7＝0. 所以x 1＋x 2＝4(1＋A )1＋A，x 1x 2＝71＋A . 7分AA⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗ ＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4A (1＋A )1＋A 2＋8.由题设可得4A (1＋A )1＋A ＋8＝12，解得k ＝1，所以l 的方程为y ＝x ＋1.故圆心C 在l 上，所以|MN|＝2.12分21.(本小题满分12分)设函数f (x )＝e 2x ﹣a ln x. (1)讨论f (x )的导函数f'(x )零点的个数； (2)证明：当a>0时，f (x )≥2a ＋a ln 2A .解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f'(x )＝2e 2x ﹣AA (x>0).当a ≤0时，f'(x )>0，f'(x )没有零点，当a>0时，因为e 2x 单调递增，﹣AA 单调递增， 所以f'(x )在(0，＋∞)单调递增.又f'(a)>0，当b满足0<b<A4且b<14时，f'(b)<0，故当a>0时，f'(x)存在唯一零点.6分(2)由(1)，可设f'(x)在(0，＋∞)的唯一零点为x0，当x∈(0，x0)时，f'(x)<0；当x∈(x0，＋∞)时，f'(x)>0.故f(x)在(0，x0)单调递减，在(x0，＋∞)单调递增，所以当x＝x0时，f(x)取得最小值，最小值为f(x0).由于2e2A0−AA0＝0，所以f(x0)＝A2A0＋2ax0＋a ln2A≥2a＋a ln2A.故当a>0时，f(x)≥2a＋a ln2A.12分请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.做答时请写清题号.22.(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，AB是☉O的直径，AC是☉O的切线，BC交☉O于点E.(1)若D为AC的中点，证明：DE是☉O的切线；(2)若OA＝√3CE，求∠ACB的大小.解：(1)连结AE，由已知得，AE⊥BC，AC⊥AB．在Rt△AEC中，由已知得，DE＝DC，故∠DEC＝∠DCE.连结OE，则∠OBE＝∠OEB．又∠ACB＋∠ABC＝90°，所以∠DEC＋∠OEB＝90°，故∠OED＝90°，DE是☉O的切线.5分(2)设CE＝1，AE＝x，由已知得AB＝2√3，BE＝√12﹣A2.由射影定理可得，AE2＝CE·BE，所以x2＝√12﹣A2，即x4＋x2﹣12＝0.可得x＝√3，所以∠ACB＝60°.10分23.(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝﹣2，圆C2：(x﹣1)2＋(y﹣2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C1，C2的极坐标方程；(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积.解：(1)因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以C1的极坐标方程为ρcosθ＝﹣2，C2的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ＋4＝0.5分(2)将θ＝π4代入ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ＋4＝0，得ρ2﹣3√2A＋4＝0，解得ρ1＝2√2，ρ2＝√2.故ρ1﹣ρ2＝√2，即|MN|＝√2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12.10分24.(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x ＋1|﹣2|x ﹣a|，a>0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围. 解：(1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|﹣2|x ﹣1|﹣1>0.当x ≤﹣1时，不等式化为x ﹣4>0，无解；当﹣1<x<1时，不等式化为3x ﹣2>0，解得23<x<1； 当x ≥1时，不等式化为﹣x ＋2>0，解得1≤x<2. 所以f (x )>1的解集为{A |23<A <2}.5分(2)由题设可得，f (x )＝{A ﹣1﹣2A ，A <﹣1，3A ＋1﹣2A ，﹣1≤A ≤A ，﹣A ＋1＋2A ，A >A .所以函数f (x )的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A (2A ﹣13，0)，B (2a ＋1，0)，C (a ，a ＋1)，△ABC 的面积为23(a ＋1)2.由题设得23(a ＋1)2>6，故a>2.所以a 的取值范围为(2，＋∞). 10分。