江苏省苏州市2017年中考数学复习指导：识别圆形结构 谋定解题策略
九年级数学圆几何题小妙招
九年级数学圆几何题小妙招一、了解圆的基本概念在解决九年级数学圆几何题时，首先要掌握圆的基本概念，包括圆心、半径、直径、弦、弧、切线等。
这些基本概念是解决圆几何题的基础，只有熟练掌握这些概念，才能更好地分析问题和解决问题。
二、善于运用性质定理圆的性质定理是解决圆几何题的重要工具，包括弦长定理、切割线定理、相交弦定理、同弧所对的圆周角相等等。
在解题过程中，要善于运用这些定理，将复杂的问题转化为简单的问题，从而提高解题效率。
三、明确题目要求在解决九年级数学圆几何题时，要明确题目的要求，包括求解什么、已知什么条件等。
只有明确了题目要求，才能有针对性地进行分析和解答。
同时，要注意审题，避免因为看错题目而出现错误。
四、画图辅助解题在解决九年级数学圆几何题时，画图是一种非常有效的解题方法。
通过画图，可以将抽象的问题具体化，从而更好地分析问题和解决问题。
画图时要尽量准确，遵循题目的条件，不要随意添加或减少条件。
五、分类讨论在解决九年级数学圆几何题时，有时候需要对问题进行分类讨论。
例如，当涉及到弦与直径的关系时，可以分为弦是直径的情况和非直径的情况；当涉及到圆周角与圆心角的关系时，可以分为圆周角等于圆心角的情况、圆周角大于圆心角的情况和圆周角小于圆心角的情况等。
通过分类讨论，可以更好地解决问题。
六、利用对称性在解决九年级数学圆几何题时，可以利用对称性简化问题。
例如，当涉及到两个圆的位置关系时，可以考虑将其中一个圆关于另一个圆的直径进行对称，从而将问题转化为求解一个圆上的几何问题；当涉及到多个圆的位置关系时，可以考虑将多个圆进行适当的旋转和平移，使得问题变得简单。
七、利用代数方法在解决九年级数学圆几何题时，有时候可以利用代数方法简化问题。
例如，当涉及到弦长和半径的关系时，可以利用勾股定理求解；当涉及到弧长和半径的关系时，可以利用弧长公式求解；当涉及到角度和弧度的关系时，可以利用角度制和弧度制的转换公式求解等。
通过代数方法，可以更快地解决问题。
2017年江苏省苏州市中考数学试题(含答案)
江苏省苏州市2017年中考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）（2017•苏州）（﹣3）×3的结果是（）A．﹣9 B．0C．9D．﹣6考点：有理数的乘法．分析：根据两数相乘，异号得负，可得答案．解答：解：原式=﹣3×3=﹣9，故选：A．点评：本题考查了有理数的乘法，先确定积的符号，再进行绝对值得运算．2．（3分）（2017•苏州）已知∠α和∠β是对顶角，若∠α=30°，则∠β的度数为（）A．30°B．60°C．70°D．150°考点：对顶角、邻补角分析：根据对顶角相等可得∠β与∠α的度数相等为30°．解答：解：∵∠α和∠β是对顶角，∠α=30°，∴根据对顶角相等可得∠β=∠α=30°．故选：A．点评：本题主要考查了对顶角相等的性质，比较简单．3．（3分）（2017•苏州）有一组数据：1，3，3，4，5，这组数据的众数为（）A．1B．3C．4D．5考点：众数分析：根据众数的概念求解．解答：解：这组数据中3出现的次数最多，故众数为3．故选B点评：本题考查了众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．4．（3分）（2017•苏州）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≤﹣4 B．x≥﹣4 C．x≤4 D．x≥4考点：二次根式有意义的条件分析：二次根式有意义，被开方数是非负数．解答：解：依题意知，x﹣4≥0，解得x≥4．故选：D．点评：考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．5．（3分）（2017•苏州）如图，一个圆形转盘被分成6个圆心角都为60°的扇形，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向阴影区域的概率是（）A．B．C．D．考点：几何概率．分析：设圆的面积为6，易得到阴影区域的面积为4，然后根据概率的概念计算即可．解答：解：设圆的面积为6，∵圆被分成6个相同扇形，∴每个扇形的面积为1，∴阴影区域的面积为4，∴指针指向阴影区域的概率==．故选D．点评：本题考查了求几何概率的方法：先利用几何性质求出整个几何图形的面积n，再计算出其中某个区域的几何图形的面积m，然后根据概率的定义计算出落在这个几何区域的事件的概率=．6．（3分）（2017•苏州）如图，在△ABC中，点D在BC上，AB=AD=DC，∠B=80°，则∠C的度数为（）A．30°B．40°C．45°D．60°考点：等腰三角形的性质分析：先根据等腰三角形的性质求出∠ADB的度数，再由平角的定义得出∠ADC的度数，根据等腰三角形的性质即可得出结论．解答：解：∵△ABD中，AB=AD，∠B=80°，∴∠B=∠ADB=80°，∴∠ADC=180°﹣∠ADB=100°，∵AD=CD，∴∠C===40°．故选B．点评：本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键．7．（3分）（2017•苏州）下列关于x的方程有实数根的是（）A．x2﹣x+1=0 B．x2+x+1=0 C．（x﹣1）（x+2）=0 D．（x﹣1）2+1=0考点：根的判别式．专题：计算题．分析：分别计算A、B中的判别式的值；根据判别式的意义进行判断；利用因式分解法对C 进行判断；根据非负数的性质对D进行判断．解答：解：A、△=（﹣1）2﹣4×1×1=﹣3＜0，方程没有实数根，所以A选项错误；B、△=12﹣4×1×1=﹣3＜0，方程没有实数根，所以B选项错误；C、x﹣1=0或x+2=0，则x1=1，x2=﹣2，所以C选项正确；D、（x﹣1）2=﹣1，方程左边为非负数，方程右边为0，所以方程没有实数根，所以D选项错误．故选C．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．8．（3分）（2017•苏州）二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（1，1），则代数式1﹣a﹣b的值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．2D．5考点：二次函数图象上点的坐标特征．分析：把点（1，1）代入函数解析式求出a+b，然后代入代数式进行计算即可得解．解答：解：∵二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（1，1），∴a+b﹣1=1，∴a+b=2，∴1﹣a﹣b=1﹣（a+b）=1﹣2=﹣1．故选B．点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，整体思想的利用是解题的关键．9．（3分）（2017•苏州）如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A 出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（）A．4km B．2km C．2km D．（+1）km考点：解直角三角形的应用-方向角问题．分析：过点A作AD⊥OB于D．先解Rt△AOD，得出AD=OA=2，再由△ABD是等腰直角三角形，得出BD=AD=2，则AB=AD=2．解答：解：如图，过点A作AD⊥OB于D．在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=4，∴AD=OA=2．在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB﹣∠AOB=75°﹣30°=45°，∴BD=AD=2，∴AB=AD=2．即该船航行的距离（即AB的长）为2km．故选C．点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．10．（3分）（2017•苏州）如图，△AOB为等腰三角形，顶点A的坐标（2，），底边OB 在x轴上．将△AOB绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得△A′O′B′，点A的对应点A′在x轴上，则点O′的坐标为（）A．（，）B．（，）C．（，）D．（，4）考点：坐标与图形变化-旋转．分析：过点A作AC⊥OB于C，过点O′作O′D⊥A′B于D，根据点A的坐标求出OC、AC，再利用勾股定理列式计算求出OA，根据等腰三角形三线合一的性质求出OB，根据旋转的性质可得BO′=OB，∠A′BO′=∠ABO，然后解直角三角形求出O′D、BD，再求出OD，然后写出点O′的坐标即可．解答：解：如图，过点A作AC⊥OB于C，过点O′作O′D⊥A′B于D，∵A（2，），∴OC=2，AC=，由勾股定理得，OA===3，∵△AOB为等腰三角形，OB是底边，∴OB=2OC=2×2=4，由旋转的性质得，BO′=OB=4，∠A′BO′=∠ABO，∴O′D=4×=，BD=4×=，∴OD=OB+BD=4+=，∴点O′的坐标为（，）．故选C．点评：本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，主要利用了勾股定理，等腰三角形的性质，解直角三角形，熟记性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）11．（3分）（2017•苏州）的倒数是．考点：倒数．分析：根据乘积为1的两个数倒数，可得一个数的倒数．解答：解：的倒数是，故答案为：．点评：本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．12．（3分）（2017•苏州）已知地球的表面积约为510000000km2，数510000000用科学记数法可表示为 5.1×108．考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于510000000有9位，所以可以确定n=9﹣1=8．解答：解：510 000 000=5.1×108．故答案为：5.1×108．点评：此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．13．（3分）（2017•苏州）已知正方形ABCD的对角线AC=，则正方形ABCD的周长为4．考点：正方形的性质．分析：根据正方形的对角线等于边长的倍求出边长，再根据正方形的周长公式列式计算即可得解．解答：解：∵正方形ABCD的对角线AC=，∴边长AB=÷=1，∴正方形ABCD的周长=4×1=4．故答案为：4．点评：本题考查了正方形的性质，比较简单，熟记正方形的对角线等于边长的倍是解题的关键．14．（3分）（2017•苏州）某学校计划开设A、B、C、D四门校本课程供全体学生选修，规定每人必须并且只能选修其中一门，为了了解个门课程的选修人数．现从全体学生中随机抽取了部分学生进行调查，并把调查结果绘制成如图所示的条形统计图．已知该校全体学生人数为1200名，由此可以估计选修C课程的学生有240人．考点：用样本估计总体；条形统计图．分析：根据样本的数据，可得样本C占样本的比例，根据样本的比例，可C占总体的比例，根据总人数乘以C占得比例，可得答案．解答：解：C占样本的比例，C占总体的比例是，选修C课程的学生有1200×=240（人），故答案为：240．点评：本题考查了用样本估计总体，先求出样本所占的比例，估计总体中所占的比例．15．（3分）（2017•苏州）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8．若∠BPC=∠BAC，则tan∠BPC=．考点：锐角三角函数的定义；等腰三角形的性质；勾股定理．分析：先过点A作AE⊥BC于点E，求得∠BAE=∠BAC，故∠BPC=∠BAE．再在Rt△BAE中，由勾股定理得AE的长，利用锐角三角函数的定义，求得tan∠BPC=tan∠BAE=．解答：解：过点A作AE⊥BC于点E，∵AB=AC=5，∴BE=BC=×8=4，∠BAE=∠BAC，∵∠BPC=∠BAC，∴∠BPC=∠BAE．在Rt△BAE中，由勾股定理得AE=，∴tan∠BPC=tan∠BAE=．故答案为：．点评：求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．16．（3分）（2017•苏州）某地准备对一段长120m的河道进行清淤疏通．若甲工程队先用4天单独完成其中一部分河道的疏通任务，则余下的任务由乙工程队单独完成需要9天；若甲工程队先单独工作8天，则余下的任务由乙工程队单独完成需要3天．设甲工程队平均每天疏通河道xm，乙工程队平均每天疏通河道ym，则（x+y）的值为20．考点：二元一次方程组的应用．分析：设甲工程队平均每天疏通河道xm，乙工程队平均每天疏通河道ym，就有4x+9y=120，8x+3y=120，由此构成方程组求出其解即可．解答：解：设甲工程队平均每天疏通河道xm，乙工程队平均每天疏通河道ym，由题意，得，解得：．∴x+y=20．故答案为：20．点评：本题考查了列二元一次房产界实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，工程问题的数量关系的运用，解答时由工程问题的数量关系建立方程组求出其解是关键．17．（3分）（2017•苏州）如图，在矩形ABCD中，=，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AD于点E．若AE•ED=，则矩形ABCD的面积为5．考点：矩形的性质；勾股定理．分析：连接BE，设AB=3x，BC=5x，根据勾股定理求出AE=4x，DE=x，求出x的值，求出AB、BC，即可求出答案．解答：解：如图，连接BE，则BE=BC．设AB=3x，BC=5x，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=3x，AD=BC=5x，∠A=90°，由勾股定理得：AE=4x，则DE=5x﹣4x=x，∵AE•ED=，∴4x•x=，解得：x=（负数舍去），则AB=3x=，BC=5x=，∴矩形ABCD的面积是AB×BC=×=5，故答案为：5．点评：本题考查了矩形的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是求出x的值，题目比较好，难度适中．18．（3分）（2017•苏州）如图，直线l与半径为4的⊙O相切于点A，P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l，垂足为B，连接PA．设PA=x，PB=y，则（x﹣y）的最大值是2．考点：切线的性质．分析：作直径AC，连接CP，得出△APC∽△PBA，利用=，得出y=x2，所以x﹣y=x﹣x2=﹣x2+x=﹣（x﹣4）2+2，当x=4时，x﹣y有最大值是2．解答：解：如图，作直径AC，连接CP，∴∠CPA=90°，∵AB是切线，∴CA⊥AB，∵PB⊥l，∴AC∥PB，∴∠CAP=∠APB，∴△APC∽△PBA，∴=，∵PA=x，PB=y，半径为4∴=，∴y=x2，∴x﹣y=x﹣x2=﹣x2+x=﹣（x﹣4）2+2，当x=4时，x﹣y有最大值是2，故答案为：2．点评：此题考查了切线的性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，以及二次函数的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．三、解答题（共11小题，共76分）19．（5分）（2017•苏州）计算：22+|﹣1|﹣．考点：实数的运算．专题：计算题．分析：原式第一项利用乘方的意义化简，第二项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用平方根定义化简，计算即可得到结果．解答：解：原式=4+1﹣2=3．点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则解本题的关键．20．（5分）（2017•苏州）解不等式组：．考点：解一元一次不等式组．专题：计算题．分析：分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．解答：解：，由①得：x＞3；由②得：x≤4，则不等式组的解集为3＜x≤4．点评：此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．（5分）（2017•苏州）先化简，再求值：，其中．考点：分式的化简求值．分析：分式的化简，要熟悉混合运算的顺序，分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算，注意化简后，将，代入化简后的式子求出即可．解答：解：=÷（+）=÷=×=，把，代入原式====．点评：此题主要考查了分式混合运算，要注意分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算是解题关键．22．（6分）（2017•苏州）解分式方程：+=3．考点：解分式方程．专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：x﹣2=3x﹣3，解得：x=，经检验x=是分式方程的解．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．23．（6分）（2017•苏州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、F分别在AB、AC上，CF=CB，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF．（1）求证：△BCD≌△FCE；（2）若EF∥CD，求∠BDC的度数．考点：全等三角形的判定与性质；旋转的性质．分析：（1）由旋转的性质可得：CD=CE，再根据同角的余角相等可证明∠BCD=∠FCE，再根据全等三角形的判定方法即可证明△BCD≌△FCE；（2）由（1）可知：△BCD≌△FCE，所以∠BDC=∠E，易求∠E=90°，进而可求出∠BDC的度数．解答：（1）证明：∵将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，∴CD=CE，∠DCE=90°，∵∠ACB=90°，∴∠BCD=90°﹣∠ACD=∠FCE，在△BCD和△FCE中，，∴△BCD≌△FCE（SAS）．（2）解：由（1）可知△BCD≌△FCE，∴∠BDC=∠E，∵EF∥CD，∴∠E=180°﹣∠DCE=90°，∴∠BDC=90°．点评：本题考查了全等三角形的判定和性质、同角的余角相等、旋转的性质、平行线的性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．24．（7分）（2017•苏州）如图，已知函数y=﹣x+b的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，与函数y=x的图象交于点M，点M的横坐标为2，在x轴上有一点P（a，0）（其中a＞2），过点P作x轴的垂线，分别交函数y=﹣x+b和y=x的图象于点C、D．（1）求点A的坐标；（2）若OB=CD，求a的值．考点：两条直线相交或平行问题．专题：计算题．分析：（1）先利用直线y=x上的点的坐标特征得到点M的坐标为（2，2），再把M（2，2）代入y=﹣x+b可计算出b=3，得到一次函数的解析式为y=﹣x+3，然后根据x轴上点的坐标特征可确定A点坐标为（6，0）；（2）先确定B点坐标为（0，3），则OB=CD=3，再表示出C点坐标为（a，﹣a+3），D点坐标为（a，a），所以a﹣（﹣a+3）=3，然后解方程即可．解答：解：（1）∵点M在直线y=x的图象上，且点M的横坐标为2，∴点M的坐标为（2，2），把M（2，2）代入y=﹣x+b得﹣1+b=2，解得b=3，∴一次函数的解析式为y=﹣x+3，把y=0代入y=﹣x+3得﹣x+3=0，解得x=6，∴A点坐标为（6，0）；（2）把x=0代入y=﹣x+3得y=3，∴B点坐标为（0，3），∵CD=OB，∴CD=3，∵PC⊥x轴，∴C点坐标为（a，﹣a+3），D点坐标为（a，a）∴a﹣（﹣a+3）=3，∴a=4．点评：本题考查了两条直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．25．（7分）（2017•苏州）如图，用红、蓝两种颜色随机地对A、B、C三个区域分别进行涂色，每个区域必须涂色并且只能涂一种颜色，请用列举法（画树状图或列表）求A、C两个区域所涂颜色不相同的概率．考点：列表法与树状图法．专题：计算题．分析：画树状图得出所有等可能的情况数，找出A与C中颜色不同的情况数，即可求出所求的概率．解答：解：画树状图，如图所示：所有等可能的情况有8种，其中A、C两个区域所涂颜色不相同的有4种，则P==．点评：此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．26．（8分）（2017•苏州）如图，已知函数y=（x＞0）的图象经过点A、B，点A的坐标为（1，2），过点A作AC∥y轴，AC=1（点C位于点A的下方），过点C作CD∥x轴，与函数的图象交于点D，过点B作BE⊥CD，垂足E在线段CD上，连接OC、OD．（1）求△OCD的面积；（2）当BE=AC时，求CE的长．考点：反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．分析：（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据图象上的点满足函数解析式，可得D 点坐标，根据三角形的面积公式，可得答案；（2）根据BE的长，可得B点的纵坐标，根据点在函数图象上，可得B点横坐标，根据两点间的距离公式，可得答案．解答：解；（1）y=（x＞0）的图象经过点A（1，2），∴k=2．∵AC∥y轴，AC=1，∴点C的坐标为（1，1）．∵CD∥x轴，点D在函数图象上，∴点D的坐标为（2，1）．∴．（2）∵BE=，∴．∵BE⊥CD，∴点B的横坐标是，纵坐标是．∴CE=．点评：本题考查了反比例函数k的几何意义，利用待定系数法求解析式，图象上的点满足函数解析式．27．（8分）（2017•苏州）如图，已知⊙O上依次有A、B、C、D四个点，=，连接AB、AD、BD，弦AB不经过圆心O，延长AB到E，使BE=AB，连接EC，F是EC的中点，连接BF．（1）若⊙O的半径为3，∠DAB=120°，求劣弧的长；（2）求证：BF=BD；（3）设G是BD的中点，探索：在⊙O上是否存在点P（不同于点B），使得PG=PF？并说明PB与AE的位置关系．考点：圆的综合题．分析：（1）利用圆心角定理进而得出∠BOD=120°，再利用弧长公式求出劣弧的长；（2）利用三角形中位线定理得出BF=AC，再利用圆心角定理得出=，进而得出BF=BD；（3）首先过点B作AE的垂线，与⊙O的交点即为所求的点P，得出BP⊥AE，进而证明△PBG≌△PBF（SAS），求出PG=PF．解答：（1）解：连接OB，OD，∵∠DAB=120°，∴所对圆心角的度数为240°，∴∠BOD=120°，∵⊙O的半径为3，∴劣弧的长为：×π×3=2π；（2）证明：连接AC，∵AB=BE，∴点B为AE的中点，∵F是EC的中点，∴BF为△EAC的中位线，∴BF=AC，∵=，∴+=+，∴=，∴BD=AC，∴BF=BD；（3）解：过点B作AE的垂线，与⊙O的交点即为所求的点P，∵BF为△EAC的中位线，∴BF∥AC，∴∠FBE=∠CAE，∵=，∴∠CAB=∠DBA，∵由作法可知BP⊥AE，∴∠GBP=∠FBP，∵G为BD的中点，∴BG=BD，∴BG=BF，在△PBG和△PBF中，，∴△PBG≌△PBF（SAS），∴PG=PF．点评：此题主要考查了圆的综合应用以及全等三角形的判定与性质和弧长公式以及圆心角定理等知识，正确作出辅助线是解题关键．28．（9分）（2017•苏州）如图，已知l1⊥l2，⊙O与l1，l2都相切，⊙O的半径为2cm，矩形ABCD的边AD、AB分别与l1，l2重合，AB=4cm，AD=4cm，若⊙O与矩形ABCD 沿l1同时向右移动，⊙O的移动速度为3cm，矩形ABCD的移动速度为4cm/s，设移动时间为t（s）（1）如图①，连接OA、AC，则∠OAC的度数为105°；（2）如图②，两个图形移动一段时间后，⊙O到达⊙O1的位置，矩形ABCD到达A1B1C1D1的位置，此时点O1，A1，C1恰好在同一直线上，求圆心O移动的距离（即OO1的长）；（3）在移动过程中，圆心O到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化，设该距离为d （cm），当d＜2时，求t的取值范围（解答时可以利用备用图画出相关示意图）．考点：圆的综合题．分析：（1）利用切线的性质以及锐角三角函数关系分别求出∠OAD=45°，∠DAC=60°，进而得出答案；（2）首先得出，∠C1A1D1=60°，再利用A1E=AA1﹣OO1﹣2=t﹣2，求出t的值，进而得出OO1=3t得出答案即可；（3）①当直线AC与⊙O第一次相切时，设移动时间为t1，②当直线AC与⊙O第二次相切时，设移动时间为t2，分别求出即可．解答：解：（1）∵l1⊥l2，⊙O与l1，l2都相切，∴∠OAD=45°，∵AB=4cm，AD=4cm，∴CD=4cm，AD=4cm，∴tan∠DAC===，∴∠DAC=60°，∴∠OAC的度数为：∠OAD+∠DAC=105°，故答案为：105；（2）如图位置二，当O1，A1，C1恰好在同一直线上时，设⊙O1与l1的切点为E，连接O1E，可得O1E=2，O1E⊥l1，在Rt△A1D1C1中，∵A1D1=4，C1D1=4，∴tan∠C1A1D1=，∴∠C1A1D1=60°，在Rt△A1O1E中，∠O1A1E=∠C1A1D1=60°，∴A1E==，∵A1E=AA1﹣OO1﹣2=t﹣2，∴t﹣2=，∴t=+2，∴OO1=3t=2+6；（3）①当直线AC与⊙O第一次相切时，设移动时间为t1，如图，此时⊙O移动到⊙O2的位置，矩形ABCD移动到A2B2C2D2的位置，设⊙O2与直线l1，A2C2分别相切于点F，G，连接O2F，O2G，O2A2，∴O2F⊥l1，O2G⊥A2G2，由（2）得，∠C2A2D2=60°，∴∠GA2F=120°，∴∠O2A2F=60°，在Rt△A2O2F中，O2F=2，∴A2F=，∵OO2=3t，AF=AA2+A2F=4t1+，∴4t1+﹣3t1=2，∴t1=2﹣，②当直线AC与⊙O第二次相切时，设移动时间为t2，记第一次相切时为位置一，点O1，A1，C1共线时位置二，第二次相切时为位置三，由题意知，从位置一到位置二所用时间与位置二到位置三所用时间相等，∴+2﹣（2﹣）=t2﹣（+2），解得：t2=2+2，综上所述，当d＜2时，t的取值范围是：2﹣＜t＜2+2．点评：此题主要考查了切线的性质以及锐角三角函数关系等知识，利用分类讨论以及数形结合t的值是解题关键．29．（10分）（2017•苏州）如图，二次函数y=a（x2﹣2mx﹣3m2）（其中a，m是常数，且a ＞0，m＞0）的图象与x轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于C（0，﹣3），点D在二次函数的图象上，CD∥AB，连接AD，过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分∠DAE．（1）用含m的代数式表示a；（2）求证：为定值；（3）设该二次函数图象的顶点为F，探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，连接GF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）由C在二次函数y=a（x2﹣2mx﹣3m2）上，则其横纵坐标必满足方程，代入即可得到a与c的关系式．（2）求证为定值，一般就是计算出AD、AE的值，然后相比．而求其长，过E、D作x轴的垂线段，进而通过设边长，利用直角三角形性质得方程求解，是求解此类问题的常规思路，如此易得定值．（3）要使线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，且（2）中=，则可考虑若GF使得AD：GF：AE=3：4：5即可．由AD、AE、F点都易固定，且G 在x轴的负半轴上，则易得G点大致位置，可连接CF并延长，证明上述比例AD：GF：AE=3：4：5即可．解答：（1）解：将C（0，﹣3）代入二次函数y=a（x2﹣2mx﹣3m2），则﹣3=a（0﹣0﹣3m2），解得a=．（2）证明：如图1，过点D、E分别作x轴的垂线，垂足为M、N．由a（x2﹣2mx﹣3m2）=0，解得x1=﹣m，x2=3m，则A（﹣m，0），B（3m，0）．∵CD∥AB，∴点D的坐标为（2m，﹣3）．∵AB平分∠DAE，∴∠DAM=∠EAN，∵∠DMA=∠ENA=90°，∴△ADM∽△AEN．∴==．设E坐标为（x，），∴=，∴x=4m，∴E（4m，5），∵AM=AO+OM=m+2m=3m，AN=AO+ON=m+4m=5m，∴==，即为定值．（3）解：如图2，记二次函数图象顶点为F，则F的坐标为（m，﹣4），过点F作FH ⊥x轴于点H．连接FC并延长，与x轴负半轴交于一点，此点即为所求的点G．∵tan∠CGO=，tan∠FGH=，∴=，∴OG=3m．∵GF===4，AD===3，∴=．∵=，∴AD：GF：AE=3：4：5，∴以线段GF，AD，AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，此时G点的横坐标为﹣3m．点评：本题考查了二次函数性质、勾股定理及利用直角三角形性质求解边长等知识，总体来说本题虽难度稍难，但问题之间的提示性较明显，所以是一道质量较高的题目．。
2017年中考数学备考-几何题解法总汇(4)_答题技巧
2017年中考数学备考:几何题解法总汇(4)_答题技巧
初中数学的学习是非常重要的，数学成绩也决定了我们中考成绩的好坏，在数学大大小小的考试中，几何证明题是必考知识点，但是很多同学对于这种题型不知道如何下手，几何题型在将来的高中数学中也是基础内容，所有应该引起大家的重视。
5.利用一些定理(三角形的中位线、含30度的直角三角形、直角三角形斜边上的中线、三角形的重心、相似三角形的性质等)。
证明角的和差倍分
1.与证明线段的和、差、倍、分思路相同。
2.利用角平分线的定义。
3.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
证明线段不等
1.同一三角形中，大角对大边。
2.垂线段最短。
3.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
4.在两个三角形中有两边分别相等而夹角不等，则夹角大的第三边大。
5.同圆或等圆中，弧大弦大，弦心距小。
6.全量大于它的任何一部分。
2017年中考数学关键考题分析及应试策略
含参抛物线(动抛物线)与区间定直线(线段) ①区间交点个数或区间有（几）解： 含参直线(动直线)与区间定抛物线 ； 区间条件下含参抛物线与含参直线
②增减性与对称性； ③含参抛物线区间最值或区间函数值的取值范围； （3）绝对值函数：分段函数（可能性不大） 2．应试技巧： （1）区间交点个数或区间有（几）解： ①关键是分析“动中有定” ，按“定”索“动”极限位置（切点、界点）画图分析 ②对于区间条件下的双含参（抛物线含参、直线含参） ，采用等价转化法，例如：
S第二动点 k (定值) ； S第一动点
（2）折线段路径长 ①构题：第一动点的运动路径发生转折或第一动点的参照量发生转折； ②三点作图法：勾股或建立坐标系直接求三定点（起点、拐点、终点）的坐标； （3）弧线形路径长 隐藏的定弦定角或第一动点在圆弧上运动，可能性不大； 3．考查结论的可变性： （1）动点与定点扫过的面积（以动点的路径长为底，定点到动点的路径的距离为高求面积 （2）速度比等于路径长之比； （3）第二动点在运动过程中的几何定性进行计算. 【例题分析】 1．如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，O 为正方形 ABCD 的中心，过 O 点的直线交正方形的一组对边于 P、 Q 两点，以 PQ 为边作等边△PQM，当直线 PQ 从 AC 所在的直线开始绕 O 点顺时值旋转一周时，动点 M 的 运动路径长为 . P D A
P N M B
A
C
5．如图，在平面直角坐标系中，已知 A（0， 3 ） ，B（-1，0） ，C（0，-2） ，P 从 B 点出发向（4，0）运 动，Q 为平面上一点，且△ABC∽△APQ. （1）Q 点的运动路径长为 ； .
y A Q B O P x
（2）若动点 P 的运动速度为 1 单位/秒，则动点 Q 的运动速度为
初三数学圆答题技巧
初三数学圆答题技巧
一、初三数学圆题型分类
1.基础题型：包括圆的性质、圆与直线的关系、圆与圆的关系等。
2.复合题型：涉及圆与三角函数、解析几何、概率与统计等知识的综合运用。
3.创新题型：如动态问题、几何构造、最值问题等。
二、答题技巧详解
1.审题要细：抓住题干中的关键信息，如圆的半径、圆心坐标等。
2.画图辅助：对于复杂题目，可以借助画图工具，将问题直观化。
3.公式运用：熟练掌握圆的相关公式，如圆的周长、面积、弧长等。
4.数学方法：灵活运用三角函数、解析几何等知识解题。
5.化简运算：在进行计算时，尽量化简复杂表达式，提高解题效率。
三、应对策略与实战演练
1.强化基础：通过练习基础题型，巩固圆的相关知识。
2.综合训练：多做复合题型，提高知识运用能力和解题技巧。
3.分析总结：在做题后，及时总结经验教训，查找自己的不足。
4.创新思维：尝试解答创新题型，拓宽解题思路。
5.考试策略：在考试中，先解答自己熟悉的题目，最后处理难题。
通过以上分析，我们可以看出，掌握初三数学圆答题技巧，需要在基础知识、解题方法和应试策略等方面下功夫。
江苏省苏州市2017中考《动圆问题分类探究》
江苏省苏州市2017中考《动圆问题分类探究》(共7页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-中考复习专题八之《动圆问题探究》动圆问题是各地中考中关于圆知识考查的热点问题，而且经常会以综合题的形式出现，有关动圆的题目通常以直线相切等位置关系的讨论和形成特殊图形的形式出现，主要以下面两种思想来解决这类问题:1.化动态为静态:一般的运动问题总是要化动态为静态，把动的问题作静态分析，完成问题的求解.2.分类讨论:把一些运动问题分成“段”来考虑，化整体为小局部，化繁为简.类型一 函数背景下的动圆探究问题1.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过点(3,0)A -，点B ，点P 的坐标为(1,0),⊙P 与y 轴相切于点O ，若将⊙P 沿x 轴向左平移，平移后得到⊙P '(点P 的对应点为点P ')，当⊙P '与直线l 相交时，横坐标为整数的点P '共有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2.如图，在平面直角坐标系中，直线:28l y x =--分别与x 轴，y 轴相交于,A B 两点，点(0,)P k 是y 轴负半轴上的一个动点，以P 为圆心，3为半径作⊙P . (1)若⊙P 与x 轴有公共点，求k 的取值范围;(2)连接PA ，若PA PB =，试判断⊙P 与x 轴的位置关系，并说明理由; (3)当⊙P 与直线l 相切时，求k 的值.3.如图，已知直线l 的表达式为6y x =-+，它与x 轴、y 轴分别相交于,A B 两点，平行于直线l 的直线n 从原点O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t 秒，运动过程中始终保持//n l ，直线n 与x 轴、y 轴分别相交于,D C 两点，线段CD 的中点为P ，以P 为圆心，以CD 为直径在CD 上方作半圆，半圆面积为S ，当直线n 与直线l 重合时，运动结束.(1)求,A B 两点的坐标;(2)求S 与t 的函数表达式及自变量t 的取值范围; (3)直线n 在运动过程中，①当t 为何值时，半圆与直线l 相切?②是否存在这样的t 值，使得半圆面积12ABCD S S=梯形若存在，求出t 的值;若不存在说明理由.类型二 三角形、四边形背景下的动圆探究问题4.射线QN 与等边ABC ∆的两边,AB BC 分别交于点,M N ，且//,AC QN AM MB = =2 cm ，QM =4 cm.动点P 从点Q 出发，沿射线QN 以每秒1 cm 的速度向右移动，经过t 秒，以点P cm 为半径的圆与ABC ∆的边相切(切点在边上)，请求出t 可取的一切值(单位:秒).5.如图所示，菱形ABCD 的顶点,A B 在x 轴上，点A 在点B 的左侧，点D 在y 轴的正半轴上，60BAD ∠=︒，点A 的坐标为(－2,0). (1)求线段AD 所在直线的函数表达式;(2)动点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度，按照A →D →C →B →A 的顺序在菱形的边上匀速运动一周，设运动时间为t 秒，求t 为何值时，以点P 为圆心、以1为半径的圆与对角线AC 相切.6.如图，在ABCD 中， 60,DAB AB ∠=︒ = 15 cm.已知⊙O 的半径等于3 cm,,AB AD 分别与⊙O 相切于点,E F .⊙O 在ABCD 内沿AB 方向滚动，与BC 边相切时运动停止.试求⊙O 滚过的路程.7.等腰直角ABC ∆和⊙O 如图放置，已知1,90AB BC ABC ==∠=︒,⊙O 的半径为1，圆心O 与直线AB 的距离为5.现ABC ∆以每秒2个单位的速度向右移动，同时ABC ∆的边长AB 、BC 又以每秒0. 5个单位沿BA 、BC 方向增大. (1)当ABC ∆的边(BC 边除外)与圆第一次相切时，点B 移动了多少距离?(2)若在ABC ∆移动的同时，⊙O 也以每秒1个单位的速度向右移动，则ABC ∆从开始移动，到它的边与圆最后一次相切，一共经过了多少时间?(3)在(2)的条件下，是否存在某一时刻，ABC ∆与⊙O 的公共部分等于⊙O 的面积若存在，求出恰好符合条件时两个图形移动了多少时间若不存在，请说明理由.类型三 函数与圆1（枣阳）如图8，在直角坐标系中，⊙M与y轴相切于点C，与x轴交于A （x1，0），B（x2,0）两点，其中x1，x2是方程x2-10x+16=0的两个根，且x1<x2，连接MC，过A、B、C三点的抛物线的顶点为N.（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）判断直线NA与⊙M的位置关系，并说明理由；（3）一动点P从点C出发，以每秒t个单位长的速度沿CM向点M运动，同时，一动点Q从点B出发，沿射线BA以每秒4t个单位长度的速度运动，当P运动到M点时，两动点同时停止运动，当t为何值时，以Q、O、C为顶点的三角形与△PCO相似？2(南充)．如图，⊙C的内接△AOB中．AB=AO= 4，tan∠AOB=34，抛物线2y ax bx=+经过点A(4，0)与点(－2，6)，（1）求抛物线的函数解析式；（2）直线m与⊙C相切于点A，交y轴于点D．动点P在线段OB上，从点O 出发向点B运动；同时动点Q在线段DA上，从点D出发向点A运动；点P的速度为每秒l个单位长，点Q的速度为每秒2个单位长，当PQ⊥AD时，求运动时间t的值；（3）点R在抛物线位于x轴下方部分的图象上，当△ROB面积最大时，求点R 的坐标，图83 （宁波）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（—1,0），B （2,0），交y轴于C（0，—2），过A，C画直线。
初三数学圆答题技巧
初三数学圆答题技巧
一、初三数学圆的基本概念和重要性
初三数学圆是数学中的一块重要内容，它不仅在各类考试中占据一定比例，而且对于培养学生的几何思维和空间想象力也具有重要意义。
因此，掌握好圆的相关知识和解题技巧至关重要。
二、解题技巧：步骤和方法
1.审题：仔细阅读题目，提取关键信息，判断题目类型。
2.画图：根据题目要求，作出相应的图形，便于理解问题。
3.列方程：根据题目所给条件，建立合适的数学模型，列出方程。
4.解方程：运用恰当的解方程方法，求解方程组。
5.检验：将求得的解代入原方程，检验是否符合题意。
6.总结：梳理解题过程，提炼方法技巧。
三、常见题型及解题策略
1.圆的性质和计算：熟练掌握圆的性质，如圆心、半径、角度等，运用公式进行计算。
2.圆与直线的关系：了解圆与直线的位置关系，如相交、相切、相离，根据题意求解。
3.圆与圆的关系：掌握两圆位置关系的判断方法，如内切、外切、相离。
4.三角形的几何问题：利用三角形面积公式、角度和周长公式等解决实际问题。
5.圆中的最值问题：利用二次函数在圆中的性质，求解最值问题。
四、应试技巧：时间分配和答题顺序
1.时间分配：合理安排时间，确保每道题都有足够的时间思考和解答。
2.答题顺序：先易后难，遇到不会的题目可以先跳过，等其他题目完成后再回来解决。
五、总结与建议
掌握初三数学圆的解题技巧，需要不断地练习和总结。
在学习过程中，要注重理论知识与实际应用的结合，培养自己的几何思维和空间想象力。
同时，参加各类模拟考试，了解考试题型和难度，增强自己的应试能力。
江苏省苏州市2017年中考数学复习指导：速解选择题有妙法
速解选择题有妙法选择题是中考中常出现的题型.由于无需写出解题过程，因此如何快速、简捷地找出正确的选项是解题的目标.经验告诉我们，通过对题目的合理分析和推断，采用灵活多变的解题方法，常常可以收到事半功倍的解题效果.一、直接法从题设条件出发，通过推理或演算，直接得出结论，并把结果与选择支对比，从而找出正确答案的方法.它是经常被采用的一种方法.例1 使关于x 的方程22440(2)(3)x x a x x -++=--只有一个实数根的a 的取值是( ) (A)–4 (B) –10，–2 (C) –2 (D) –4，–10解析 不难看出方程的增根只能是2x =和3x =.分别代入22440x x a -++=，解 得4a =-和10a =-，经检验它们符合条件，故应选D.点评 有些同学误由△=0推得2a =-，而错选C.这是由于把方程有两个相同的实根，与只有一个实根混淆了所致.二、验证法对于某些选择题，由于其选项的答案具体，因此可采用验证的方法快速获解.例2 方程22(1)4(2)x x +=-的解是( )(A) 1x = (B) 5x = (C) 121,5x x == (D) 121,2x x ==- 解析 观察题后，将1,5,2x x x ===-分别代入原方程的左边与右边.当1x =时，左边=2(11)4+=，右边=24(12)4⨯-=;当5x =时，左边=2(51)36+=,右边=24(52)36⨯-=;当2x =-时，左边=2(21)1-+=，右边=24(22)64⨯--=. 综上可知应选C.三、特例法此法是从研究众多的大范围的一般对象中，捕捉和研究那些在不改变本质属性条件下的小范围中个别的、特殊的对象，从而解决问题，找出正确的选项.例3 如果方程2(1)(2)0x x x m --+=的三根可以作为一个三角形的三边之长，那 么实数m 的取值范围是( )(A) 01m ≤≤ (B) 34m ≥ (C) 314m <≤ (D) 314m ≤≤ 解析 分析各选项，不难看出34是一个特例.取34m =，有23204x x -+=, 解得1213,22x x ==. 又有31x =，从而132x x x +=，不可作为一个三角形三边之长，所以34m ≠. 故应选C.例4 一个三角形的底边长度增加1%,底边上的高减少1 %，则这个三角形的面积(A)减少1% (B)增加1% (C)减少10% (D)不变解析 取底边为20，高为10的特例，则由11201020(110%)10(110%)1000.011%22⎡⎤⨯⨯-⨯+⨯⨯-÷==⎢⎥⎣⎦. 故应选A.四、估算法对于有些选择题利用不等式或相关定理、法则，便可估算求值对象的取值范围，从而快速、简捷找出正确选项.例5 上午九点钟的时候，时针与分针成直角，那么下一次时针与分针成直角的时间是( )(A) 9点30分 (B) 10点5分 (C) 10点5511分 (D ) 9点83211分 解析 如图1所示，时针OB 与分针OA 在9点时恰好成直角，此时也可看成优角(优弧所对角) 270AOB ∠=︒.当分针继续转动，优角AOB ∠慢慢变小，直到OA 与OB 重合，故下一次时针OB 与分针OA 成直角的时间应在9点与10点之间，而9点30分时，时针与分针成105︒，不合题意.故应选D.五、逆推法从选项出发，逆向推理，找出符合已知条件的结论.此法主要适合子已知条件复杂而结论简单的选择题.例6 用配方法解一元二次方程26110x x +-=，则方程可变形为( )(A) 2(3)20x += (B) 2(3)20x -= (C) 2(3)2x += (D ) 2(3)2x -= 解析 由选项A ，得26920x x ++=,即26110x x +-=,它与题设相同，故应选A.例7 把抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线是223y x =，则原抛物线是( ) (A) 22(2)33y x =-+ (B) 22(2)33y x =+- (C) 22(2)33y x =++ (D) 22(2)33y x =-- 解析 将223y x =向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得22(2)33y x =+-. 故应选B.六、度量法例8 如图2，凸五边形ABCDE 中，120,A B EA AB BC ∠=∠=︒=== 12DC = 12DE ,则D ∠=( ) (A) 30︒ (B) 45︒ (C) 60︒ (D)67.5︒解析 通过作出准确的图形，可直接量出60D ∠=︒.故应选C.七、相互关系法例9 如图3所示，在ABCD Y 中，点M 是AD 的中点, BM 平分ABC ∠，则( )(A) CM 可能垂直于AD (B) AC 可能等于CD(C) CM 不可能垂直于AD (D) CM 可能平分ACD ∠解析 分析各选项，选项A 与选项C 之中必有一个成立;再结合已知可得CM 是线段AD 的中垂线，故选项B 与选项D 都能成立，这与单选项不符.故选项A 错误，只能选C. 事实上，由已知可得AM AB =，若CM 也垂直AD 的话，由中垂线性质可知CD AC =，于是得AM AB CD AC ===.因此，在Rt ACM ∆中，出现斜边AC 与直角边AM 相等的矛盾，故CM 不可能垂直AD .。
2017中考圆的解题技巧总结
2017中考圆的解题技巧总结一、垂径定理的应用给出的圆形纸片如图所示，如果在圆形纸片上任意画一条垂直于直径CD的弦AB，垂足为P，再将纸片沿着直径CD对折，我们很容易发现A、B两点重合，即有结论AP=BP，弧AC=弧BC．其实这个结论就是“垂径定理”，准确地叙述为：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．垂径定理是“圆”这一章最早出现的重要定理，它说明的是圆的直径与弦及弦所对的弧之间的垂直或平分的对应关系，是解决圆内线段、弧、角的相等关系及直线间垂直关系的重要依据，同时，也为我们进行圆的有关计算与作图提供了方法与依据．例1某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．(1)请你补全这个输水管道的圆形截面；(2)若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．例2如图，PQ=3，以PQ为直径的圆与一个以5为半径的圆相切于点P，正方形ABCD 的顶点A、B在大圆上，小圆在正方形的外部且与CD切于点Q，则AB=？例3如图，已知⊙O中，直径MN=10，正方形ABCD的四个顶点分别在半径OM、OP以及⊙O上，并且∠POM=45°，则AB的长为多少？例4图为小自行车内胎的一部分，如何将它平均分给两个小朋发做玩具？二、与圆有关的多解题几何题目一般比较灵活，若画图片面，考虑不周，很容易漏解，造成解题错误，在解有关圆的问题时，常常会因忽视图形的几种可能性而漏解．1．忽视点的可能位置．例5△ABC是半径为2的圆的内接三角形，若3BC cm，则∠A的度数为______．22．忽视点与圆的位置关系．例6点P到⊙0的最短距离为2 cm，最长距离为6 cm，则⊙0的半径是______．3．忽视平行弦与圆心的不同位置关系．例7已知四边形ABCD是⊙0的内接梯形，AB∥CD，AB=8 cm，CD=6 cm，⊙0的半径是5 cm，则梯形的面积是______．4．忽略两圆相切的不同位置关系例8点P在⊙0外，OP=13 cm，PA切⊙0于点A，PA=12 cm，以P为圆心作⊙P与⊙0相切，则⊙P的半径是______．例9若⊙O1与⊙02相交，公共弦长为24 cm，⊙O1与⊙02的半径分别为13 cm和15 cm，则圆心距0102的长为______．三、巧证切线切线是圆中重要的知识点，而判断直线为圆的切线是中考的重要考点．判断直线是否是圆的切线，主要有两条途径：1．圆心到直线的距离等于半径当题中没有明确直线与圆是否相交时，可先过圆心作直线的垂线，然后证明圆心到直线的距离等于半径．例10 如图，P 是∠AOB 的角平分线OC 上一点，PD⊥OA 于点D ，以点P 为圆心，PD 为半径画⊙P，试说明OB 是⊙P 的切线．2．证明直线经过圆的半径的外端，并且垂直于这条半径当已知直线与圆有交点时，连结交点和圆心（即半径），然后证明这条半径与直线垂直即可．例11 如图，已知AB 为⊙O 的直径，直线BC 与⊙0相切于点B ，过A 作AD∥OC 交⊙0于点D ，连结CD.(1)求证：CD 是⊙0的切线；(2)若AD=2，直径AB=6，求线段BC 的长．四、结论巧用，妙解题例12 已知：如图，⊙O 为Rt△ABC 的内切圆，D 、E 、F 分别为AB 、AC 、BC 边上的切点，求证：BD AD s ABC ⋅=∆．该结论可叙述为：“直角三角形的面积等于其内切圆与斜边相切的切点分斜边所成两条线段的乘积．”运用它，可较简便地解决一些与直角三角形内切圆有关的问题，举例如下：例13 如图，⊙0为Rt△ABC 的内切圆，切点D 分斜边AB 为两段，其中AD ＝10，BD ＝3，求AC 和BC 的长．例14 如图，△ABC 中∠A 与∠B 互余，且它们的角平分线相交于点0，又OE⊥AC，OF⊥BC，垂足分别为E 、F ，AC=10，BC ＝13．求AE ·BF 的值．五、点击圆锥的侧面展开图圆锥的侧面展开图是中考中的热点内容：解决此类问题的关键是明确圆锥的侧面展开图中各元素与圆锥各元素之间的关系：圆锥的侧面展开图是扇形，而扇形的半径是圆锥的母线，弧长是圆锥的底面周长．例15 若一个圆锥的母线长是它的底面半径长的3倍，则它的侧面展开图的圆心角是( )A ．180° B．90° C．120° D．135°例16 圆锥的侧面展开图是一个半圆面，则这个圆锥的母线长与底面半径长的比是( )A.2:1 B.2π:1 C ．2：1 D ．3：1例17 如图，小红要制作一个高4 cm ，底面直径是6 cm 的圆锥形小漏斗，若不计接缝，不计损耗，则她所需纸板的面积是( )A ．15πcm 2B ．6π13cm 2C ．12π⋅13cm 2D ．30 cm 2例18 下图是小芳学习时使用的圆锥形台灯罩的示意图，则围成这个灯罩的铁皮的面积为______cm 2．（不考虑接缝等因素，计算结果用π表示）评注：圆锥的侧面积，需要熟练掌握其计算公式，理解圆锥的侧面积等于其剪开后扇形的面积．例19 如图，有一块四边形形状的铁皮ABCD ，BC= CD,AB= 2AD,∠ABC＝∠ADB= 90°．(1)求∠C 的度数；(2)以C 为圆心，CB 为半径作圆弧BD 得一扇形CBD ，剪下该扇形并用它围成一圆锥的侧面，若已知BC ＝a ，求该圆锥的底面半径；(3)在剩下的材料中，能否剪下一块整圆做该圆锥的底面？并说明理由．六、例谈三角形内切圆问题三角形的内切圆是与三角形都相切的圆，它的圆心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等，它与顶点的连线平分内角．应用内心的性质，结合切线的性质、切线长的性质可以解决很多问题，现举例说明，例20 如图，△ABC 中，内切圆⊙I 和边BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ．求证：(1)A FDE ∠-︒=∠2190；(2)A BIC o ∠+=∠2190．例21 如果△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，它的内切圆⊙I 半径为r ，那么△ABC 的面积为( ).A ．r c b a )(++B ．r c b a ）（++21C ．r c b a ）（++31D ．r c b a ）（++41 七、阴影部分面积的求值技巧求阴影部分面积，通常是根据图形的特点，将其分解、转化为规则图形求解．但在转化过程中又有许多方法．本文精选几个题，介绍几种常用方法．1．直接法当已知图形为熟知的基本图形时，先求出适合该图形的面积计算公式中某些线段、角的大小，然后直接代入公式进行计算．例22 如图，在矩形ABCD 中，AB=1，AD=3，以BC 的中点E 为圆心的与AD 相切于点P ，则图中阴影部分的面积为( )A ．π32B ．π43C ．π43D ．3π 2．和差法当图形比较复杂时，我们可以把阴影部分的面积转化为若干个熟悉的图形的面积的和或差来计算．例23 如图，AB 和AC 是⊙0的切线，B 、C 为切点，∠BAC=60°，⊙0的半径为1，则阴影部分的面积是( )A ．π323-B ．33π-C ．332π- D ．π-32 3．割补法把不规则的图形割补成规则图形，然后求面积．例24 如图，正方形ABCD 的顶点A 是正方形EFGH 的中心，EF=6cm ，则图中的阴影部分的面积为______．4．等积变形法把所求阴影部分的图形进行适当的等积变形，即可找出与它面积相等的特殊图形，从而求出阴影部分面积．例25 如图，C 、D 两点是半圆周上的三等分点，圆的半径为R ，求阴影部分的面积．5．平移法把图形做适当的平移，然后再计算面积．例26 如图，CD 是半圆0的直径，半圆0的弦AB 与半圆O ' 相切，点O ' 在CD 上，且AB∥CD，AB ＝4，则阴影部分的面积是（结果保留π）．6．整体法例27 如图，正方形的边长为a ，分别以对角顶点为圆心，边长为半径画弧，则图中阴影部分的面积是( )A ．224121a a π+-B ．)41(222a a π- C ．22.21a a π+- D ．2221a a π- 7．折叠法例28 如图，半圆A 和半圆B 均与y 轴相切于点0，其直径CD ，EF 均和x 轴垂直，以0为顶点的两条抛物线分别经过点C 、E 和点D 、F ，则图中阴影部分的面积是______．8．聚零为整法例29 如图所示，将半径为2 cm 的⊙0分割成十个区域，其中弦AB 、CD 关于点0对称，EF 、GH 关于点0对称，连结PM ，则图中阴影部分的面积是______（结果用π表示）．八、圆中辅助线大集合圆是初中重点内容，是中考必考内容．关于圆的大部分题目，常需作辅助线来求解．现对圆中辅助线的作法归纳总结如下：1、有关弦的问题，常做其弦心距，构造直角三角形例30 如图，矩形ABCD 与圆心在AB 上的⊙O 交于点G 、B 、F 、E ，GB=8 cm ，AG ＝1 cm ，DE ＝2 cm ，则EF ＝______cm ．2、有关直径问题，常做直径所对的圆周角例31 如图，在△ABC 中，∠C=90°，以BC 上一点0为圆心，以OB 为半径的圆交AB 于点M ，交BC 于点N ．(1)求证：BN BC BM AB ⋅=⋅(2)如果CM 是⊙0的切线，N 为OC 的中点，当AC ＝3时，求AB 的值．3、直线与圆相切的问题，常连结过切点的半径，得到垂直关系；或选圆周角，找出等角关系例32如图，AB、AC分别是⊙0的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦ED分别交⊙0于点E，交AB于点H，交AC于点F，过点C的切线交ED的延长线于P．(1)若PC＝PF，求证：AB⊥ED．(2)点D在劣弧的什么位置时，才能使AD2＝DE·DF，为什么？4、两圆相切，常做过切点的公切线或连心线，充分利用连心线必过切点等定理例33 如图，⊙02与半圆O l内切于点C，与半圆的直径AB切于D，若AB=6，⊙02的半径为1，则∠ABC的度数为______．C、数学思想方法与中考能力要求数学思想和方法是数学的血液和精髓，是解决数学问题的有力武器，是数学的灵魂．因此，我们领悟和掌握以数学知识为载体的数学思想方法，是提高数学思维水平，提高数学能力，运用数学知识解决实际问题的有力保证，因此，我们在学习中必须重视数学思想在解题中的应用．一、数形结合思想．数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维相结合．通过对图形的认识，数形结合的转化，可培养同学们思维的灵活性、形象性，使问题化难为易，化抽象为具体．例1 MN是半圆直径，点A是的一个三等分点，点B是的中点，P是直径MN上的一动点，⊙0的半径是1，求AP+BP的最小值．二、转化思想转化思想，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换，使之转化，进而得到解决的一种方程，转化思想，能化繁为简，化难为易，化未知为已知．例2 如图，以0⊙的直径BC为一边作等边△ABC，AB、AC交⊙0于D、E两点，试说明BD=DE=EC．在同圆或等圆中，经常利用圆心角、圆周角、弧、弦等量的转化，说明其他量．三、分类思想所谓分类思想，就是当被研究的问题包含多种可能情况，不能一概而论时，必须按可能出现的所有情况来分别讨论，得出各种情况下相应的结论．分类必须遵循一定的原则：(1)每一次分类要按照同一标准进行；(2)不重、不漏、最简.例3 ⊙0的直径AB=2 cm，过点A的两条弦AC=2cm，AD=3cm，求∠CAD所夹的圆内部分的面积．在圆中有许多分类讨论的题目，希望同学们做题时，要全面、缜密，杜绝“会而不对，对而不全”的现象．四、方程思想通过对问题的观察、分析、判断，将问题化归为方程问题，利用方程的性质和实际问题与方程的互相转化达到解决问题的目的．例4如图，AB是⊙0的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB，垂足为E，且PC是⊙O 的切线，若OE:EA=1:2，PA＝6，求⊙0的半径．五、函数思想例5（2005·梅州市）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BA=5，点P是AC上的动点（P不与A、C重合），设PC＝x，点P到AB的距离为y．(1)求y与x的函数关系式；(2)试讨论以P为圆心，半径为x的圆与AB所在直线的位置关系，并指出相应的x的取值范围．例6(2006·烟台)如图，从⊙0外一点A作⊙0的切线AB、AC，切点分别为B、C，且⊙0直径BD＝6，连结CD、AO.(1)求证：CD∥AO；(2)设CD=x，AO=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(3)若AO+CD＝11，求AB的长．。
苏州市中考压轴题专题：与圆有关的最值问题(附答案)
B yC x A OD B O C A 与圆有关的最值〔取值范围〕问题引例1：在坐标系中,点A 的坐标为<3,0>,点B 为y 轴正半轴上的一点,点C 是第一象限内一点,且AC=2．设tan ∠BOC=m,则m 的取值范围是_________．引例2：如图,在边长为1的等边△OAB 中,以边AB 为直径作⊙D,以O 为圆心OA 长为半径作⊙O,C 为半圆弧AB 上的一个动点〔不与A 、B 两点重合〕,射线AC 交⊙O 于点E,BC=a ,AC=b ,求a b 的最大值.引例3：如图,∠BAC=60°,半径长为1的圆O 与∠BAC 的两边相切,P 为圆O 上一动点,以P为圆心,PA 长为半径的圆P 交射线AB 、AC 于D 、E 两点,连接DE,则线段DE 长度的最大值为< >.A ．3B ．6C ．332D ．33一、题目分析：此题是一个圆中的动点问题,也是圆中的最值问题,主要考察了圆内的基础知识、基本技能和基本思维方法,注重了初、高中知识的衔接1．引例1：通过隐藏圆〔高中轨迹的定义〕,寻找动点C 与两个定点O 、A 构成夹角的变化规律,转化为特殊位置〔相切〕进行线段、角度有关计算,同时对三角函数值的变化〔增减性〕进行了延伸考查,其实质是高中"直线斜率"的直接运用；2．引例2：通过圆的基本性质,寻找动点C 与两个定点A 、B 构成三角形的不变条件,结合不等式的性质进行转化,其实质是高中"柯西不等式"的直接运用；3．引例3：本例动点的个数由引例1、引例2中的一个动点,增加为三个动点,从性质运用、构图形式、动点关联上增加了题目的难度,解答中还是注意动点D 、E 与一个定点A 构成三角形的不变条件〔∠DAE=60°〕,构造弦DE 、直径所在的直角三角形,从而转化为弦DE 与半径AP 之间的数量关系,其实质是高中"正弦定理"的直接运用；综合比较、回顾这三个问题,知识本身的难度并不大,但其难点在于学生不知道转化的套路,只能凭直观感觉去寻找、猜想关键位置来求解,但对其真正的几何原理却无法通透.二、解题策略1．直观感觉,画出图形；2．特殊位置,比较结果；3．理性分析动点过程中所维系的不变条件,通过几何构建,寻找动量与定量〔常量〕之间的关系,建立等式,进行转化.三、中考展望与题型训练例一、斜率运用1.如图,A 点的坐标为〔﹣2,1〕,以A 为圆心的⊙A 切x 轴于点B,P 〔m,n 〕为⊙A 上的一个动点,请探索n+m 的最大值．B AC MD DOPC B A例二、圆外一点与圆的最近点、最远点1．如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,点D 是平面内的一个动点,且AD=2,M 为BD 的中点,在D 点运动过程中,线段CM 长度的取值范围是.2．如图,⊙O 的直径为4,C 为⊙O 上一个定点,∠ABC=30°,动点P 从A 点出发沿半圆弧AB 向B 点运动〔点P 与点C 在直径AB 的异侧>,当P 点到达B 点时运动停止,在运动过程中,过点C 作CP 的垂线CD 交PB 的延长线于D 点．〔1〕在点P 的运动过程中,线段CD 长度的取值范围为；〔2〕在点P 的运动过程中,线段AD 长度的最大值为.例三、正弦定理 1．如图,△ABC 中,∠BAC=60°,∠ABC=45°,AB=22是线段BC 上的一个动点,以AD 为直径作⊙O 分别交AB,AC 于E,F 两点,连接EF,则线段EF 长度的最小值为．2. 如图,定长弦CD 在以AB 为直径的⊙O 上滑动〔点C 、D 与点A 、B 不重合〕,M 是CD 的中点,过点C 作CP ⊥AB 于点P,若CD=3,AB=8,则PM 长度的最大值是．例四、柯西不等式、配方法O A B C E B A C O D OD CE A B 1．如图,已知半径为2的⊙O 与直线l 相切于点A,点P 是直径AB 左侧半圆上的动点,过点P 作直线l 的垂线,垂足为C,PC 与⊙O 交于点D,连接PA 、PB,设PC 的长为x 〔2＜x ＜4〕,则当x=时,PD•CD 的值最大,且最大值是为.2．如图,线段AB=4,C 为线段AB 上的一个动点,以AC 、BC 为边作等边△ACD 和等边△BCE,⊙O 外接于△CDE,则⊙O 半径的最小值为< >.A.4B.233C.322D.23．在平面直角坐标系中,以坐标原点O 为圆心,2为半径画⊙O,P 是⊙O 上一动点,且P 在第一象限内,过点P 作⊙O 的切线与x 轴相交于点A,与y 轴相交于点B,线段AB 长度的最小值是.例四、相切的应用〔有公共点、最大或最小夹角〕1．如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=6,BC=8,D 为AB 边上一点,过点D 作CD 的垂线交直线BC 于点E,则线段CE 长度的最小值是.2．如图,Rt△ABC 中,∠C=90°,∠A=30°,AB=4,以AC 上的一点O 为圆心OA 为半径作⊙O,若⊙O 与边BC 始终有交点〔包括B 、C 两点〕,则线段AO 的取值范围是.3．如图,⊙O 的半径为2,点O 到直线l 的距离为3,点P 是直线l 上的一个动点,PQ 切⊙O 于点Q,则PQ 的最小值为〔 〕A ． B ． C ．3 D ．2例五、其他知识的综合运用1.〔2015•##〕抛物线y=ax2+bx+4〔a≠0〕过点A〔1,﹣1〕,B〔5,﹣1〕,与y轴交于点C．〔1〕求抛物线的函数表达式；〔2〕如图1,连接CB,以CB为边作▱CBPQ,若点P在直线BC上方的抛物线上,Q为坐标平面内的一点,且▱CBPQ的面积为30,求点P的坐标；〔3〕如图2,⊙O1过点A、B、C三点,AE为直径,点M为上的一动点〔不与点A,E重合〕,∠MBN为直角,边BN与ME的延长线交于N,求线段BN长度的最大值．2.〔2013秋•相城区校级期末〕如图,已知A、B是⊙O与x轴的两个交点,⊙O的半径为1,P 是该圆上第一象限内的一个动点,直线PA、PB分别交直线x=2于C、D两点,E为线段CD 的中点．〔1〕判断直线PE与⊙O的位置关系并说明理由；〔2〕求线段CD长的最小值；〔3〕若E点的纵坐标为m,则m的范围为．[题型训练]1．如图,已知直线l与⊙O相离,OA⊥l于点A,OA=5,OA与⊙O相交于点P,AB与⊙O相切于点B,BP的延长线交直线l于点C,若在⊙O上存在点Q,使△QAC是以AC为底边的等腰三角形,则⊙O的半径r的取值范围为.2．已知：如图,RtΔABC中,∠B=90º,∠A=30º,BC=6cm,点O从A点出发,沿AB3cm 的速度向B点方向运动,当点O运动了t秒<t＞0>时,以O点为圆心的圆与边AC相切于点D,A P l Q P N M O A D BC E F C AD B Q P O A B D CP y P 与边AB 相交于E 、F 两点,过E 作EG ⊥DE 交射线BC 于G.〔1〕若点G 在线段BC 上,则t 的取值范围是；〔2〕若点G 在线段BC 的延长线上,则t 的取值范围是.3．如图,⊙M,⊙N 的半径分别为2cm,4cm,圆心距MN=10cm ．P 为⊙M 上的任意一点,Q 为⊙N 上的任意一点,直线PQ 与连心线l 所夹的锐角度数为α,当P 、Q 在两圆上任意运动时,tan α∠的最大值为< >.<A>612； <B>43； <C>33； <D>344．如图,在矩形ABCD 中,AB=3,BC=4,O 为矩形ABCD 的中心,以D 为圆心1为半径作⊙D,P 为⊙D 上的一个动点,连接AP 、OP,则△AOP 面积的最大值为< >.<A>4 <B>215 <C>358 <D>1745．如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=8,BC=6,经过点C 且与边AB 相切的动圆与CA 、CB 分别相交于点P 、Q,则线段PQ 长度的最小值是< >.A ．194B ．245C ．5D ．426．如图,在等腰Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=BC=4,D 是AB 的中点,点E 在AB 边上运动〔点E 不与点A 重合〕,过A 、D 、E 三点作⊙O,⊙O 交AC 于另一点F,在此运动变化的过程中,线段EF 长度的最小值为．7．如图,A 、B 两点的坐标分别为<2,0>、<0,2>,⊙C 的圆心的坐标为<-1,0>,半径为1,若D 是⊙C 上的一个动点,线段DA 与y 轴交于点E,则△ABE 面积的最小值是< >.A ．2B ．1 C.22- D.228．如图,已知A 、B 两点的坐标分别为<-2,0>、<0,1>,⊙C 的圆心坐标为<0,-1>,半径为1,D 是⊙C 上的一个动点,射线AD 与y 轴交于点E,则△ABE 面积的最大值是< >.A ．3B ．113C ．103D ．4 9．如图,等腰Rt △ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC=4,⊙C 的半径为1,点P 在斜边AB 上,PQ 切⊙O 于点Q,则切线长PQ 长度的最小值为< >.7 B.2210．如图∠BAC ＝60°,半径长1的⊙O 与∠BAC 的两边相切,P 为⊙O 上一动点,以P 为圆心,PA 长为半径的⊙P 交射线AB 、AC 于D 、E 两点,连接DE,则线段DE 长度的范围为.O A B xy P11．在直角坐标系中,点A 的坐标为〔3,0〕,点P 〔m n ，〕是第一象限内一点,且AB=2,则m n -的范围为.12．在坐标系中,点A 的坐标为〔3,0〕,点P 是y 轴右侧一点,且AP=2,点B 上直线y=x+1上一动点,且PB ⊥AP 于点P,则tan ABP m ∠=,则m 的取值范围是.13．在平面直角坐标系中,M 〔3,4〕,P 是以M 为圆心,2为半径的⊙M 上一动点,A 〔-1,0〕、B〔1,0〕,连接PA 、PB,则PA 2+PB 2最大值是.蔡老师点评：与圆有关的最值问题,看着无从下手,但只要仔细观察,分析图形,寻找动点与定点之间不变的维系条件,构建关系,将研究的问题转化为变量与常量之间的关系,就能找到解决问题的突破口！几何中的定值问题,是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变,或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题,解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量与变量,运用特殊位置、极端位置,直接计算等方法,先探求出定值,再给出证明．几何中的最值问题是指在一定的条件下,求平面几何图形中某个确定的量<如线段长度、角度大小、图形面积>等的最大值或最小值,求几何最值问题的基本方法有：1．特殊位置与极端位置法；2．几何定理<公理>法；3．数形结合法等．注：几何中的定值与最值近年广泛出现于中考试题中,由冷点变为热点．这是由于这类问题具有很强的探索性<目标不明确>,解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、逻辑推理与合情想象相结合等思想方法．参考答案：引例1. 解：C 在以A 为圆心,以2为半径作圆周上,只有当OC 与圆A 相切〔即到C 点〕时,∠BOC 最小,AC=2,OA=3,由勾股定理得：OC=,∵∠BOA=∠ACO=90°,∴∠BOC+∠AOC=90°,∠CAO+∠AOC=90°,∴∠BOC=∠OAC,tan ∠BOC=tan ∠OAC==,随着C 的移动,∠BOC 越来越大,∵C 在第一象限,∴C 不到x 轴点,即∠BOC ＜90°, ∴tan ∠BOC ≥,故答案为：m ≥．引例1图引例2图 引例2.2a b +≤；原题：〔2013•##模拟〕如图,在边长为1的等边△OAB 中,以边AB 为直径作⊙D,以O 为圆心OA 长为半径作圆O,C 为半圆AB 上不与A 、B 重合的一动点,射线AC 交⊙O 于点E,BC=a,AC=b ．〔1〕求证：AE=b+a ；〔2〕求a+b 的最大值；〔3〕若m 是关于x 的方程：x 2+ax=b 2+ab 的一个根,求m 的取值范围．[考点]圆的综合题．[分析]〔1〕首先连接BE,由△OAB 为等边三角形,可得∠AOB=60°,又由圆周角定理,可求得∠E 的度数,又由AB 为⊙D 的直径,可求得CE 的长,继而求得AE=b+a ；〔2〕首先过点C 作CH ⊥AB 于H,在Rt △ABC 中,BC=a,AC=b,AB=1,可得〔a+b 〕 2= a 2+b 2+2ab=1+2ab=1+2CH •AB=1+2CH ≤1+2AD=1+AB=2,即可求得答案；〔3〕由x 2+ax=b 2+ab,可得〔x ﹣b 〕〔x+b+a 〕=0,则可求得x 的值,继而可求得m 的取值范围．[解答]解：〔1〕连接BE,∵△OAB 为等边三角形,∴∠AOB=60°,∴∠AEB=30°,∵AB 为直径,∴∠ACB=∠BCE=90°,∵BC=a,∴BE=2a,CE=a,∵AC=b,∴AE=b+a ； 〔2〕过点C 作CH ⊥AB 于H,在Rt △ABC 中,BC=a,AC=b,AB=1,∴a 2+b 2=1,∵S △ABC =AC •BC=AB •CH,∴AC •BC=AB •CH,∴〔a+b 〕 2=a 2+b 2+2ab=1+2ab=1+2CH •AB=1+2CH ≤1+2AD=1+AB=2,∴a+b ≤, 故a+b 的最大值为,〔3〕∵x 2+ax=b 2+ab,∴x 2﹣b 2+ax ﹣ab=0,∴〔x+b 〕〔x ﹣b 〕+a 〔x ﹣b 〕=0, ∴〔x ﹣b 〕〔x+b+a 〕=0,∴x=b 或x=﹣〔b+a 〕,当m=b 时,m=b=AC ＜AB=1,∴0＜m ＜1,当m=﹣〔b+a 〕时,由〔1〕知AE=﹣m,又∵AB ＜AE ≤2AO=2,∴1＜﹣m ≤2,∴﹣2≤m＜﹣1,∴m的取值范围为0＜m＜1或﹣2≤m＜﹣1．[点评]此题考查了圆周角定理、等边三角形的性质、完全平方公式的应用以与一元二次方程的解法．此题难度较大,注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．引例3.解：连接EP,DP,过P点作PM垂直DE于点M,过O做OF⊥AC与F,连接AO,如图,∵∠BAC=60°,∴∠DPE=120°．∵PE=PD,PM⊥DE,∴∠EPM=60°,∴ED=2EM=2EP•sin60°=EP=PA．当P与A、O共线时,且在O点右侧时,⊙P直径最大．∵⊙O与∠BAC两边均相切,且∠BAC=60°,∴∠OAF=30°,OF=1,∴AO==2,AP=2+1=3,∴DE=PA=3．故答案为：D。
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识别圆形结构 谋定解题策略
圆，是几何中内涵极为丰富的图形.在初中数学中有一类几何问题，从表面上看不存在圆，但若能依据题目的特点，利用已知条件，借助图形把实际存在的圆找出来，再利用圆的有关性质来解决问题，往往能起到化隐为显、化难为易、化繁为简的解题效果，现以各地中考试题为例，分类说明.
一、若一个点到另三个点的距离相等，则这个点必是经过三点的圆的圆心
例1 (2012北京)在ABC V 中，AB BC =，BAC α∠=，M 是AC 的中点，P 是线段BM 上的动点，将线段PA 绕点P 顺时针旋转α得到线段PQ .
(1)若60α=︒且点P 与点M 重合，线段CQ 的延长线交射线BM 于点D ，请补全图形，并写出CDB ∠的度数;
(2)在图1中，点P 不与点B 、M 重合，线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，猜想CDB ∠的大小(用含α的代数式表示)，并加以证明;
(3)对于适当大小的α，当点P 在线段BM 上运动刻某一位置(不与点B 、M 重合)时，能使线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，且PQ QD =，请直接写出α的范围.
解 (1)，(3)略.
(2)作线段CQ 的延长线交射线BM 于点D ，连结PC 、AD .
AB BC =Q ，M 是AC 的中点
BM AC ∴⊥
∴AP PC =
又PQ PA =Q
PQ PC PA ∴==
∴点P 是AQC V 的中心
12
ACQ APQ α∴∠=∠= 90CDB α∴∠=︒-.
评注 第(2)小题有一定难度，注意到Q 由A 旋转得到，而PC PA =，所以是经过A 、Q 、C 三点的圆的圆心，利用圆周角与圆心角的关系，问题得解.
二、不在同一条直线上的三点确定一个圆
例 2. (2014武汉)如图2，在四边形A B C D 中，4AD =，3CD =，45ABC ACB ADC ∠=∠=∠=︒，则BD 的长为
解 作ABC V 的外接圆⊙O ，延长DC 交⊙O 于点E ，连结AE 、BE ，则
45CEA ABC ADC ∠=∠=︒=∠
4AE AD ∴==，90DAE ∠=︒，
DE ==
又EAB DAC ≅V V ，
3BE CD ∴==
Q 180BEC BAC ∠+∠=︒
90CEB ∴∠=︒
故在Rt BED V 中，
BD = 评注 要求BD 的长度，需构造以BD 为一边的直角三角形，注意到90CAB ∠=︒，作ABC V 的外接圆构造出Rt DBE V ，使问题得到巧妙解决.
三、到定点的距离等于定长的点的集合是圆
例3 (2015三明)如图3，在ABC V 中，90ACB ∠=︒，5AB =，3BC =，P 是AB 上一个动点(与点B 不重合)，将BCP V 沿CP 所在直线翻折得到'B CP V ，连结'AB ，则
'AB 长度的最小值是
解 由翻折知'3CB CB ==,
而C 为定点，故点'B 在以点C 为圆心、半径为3的⊙C 上.又A 为⊙C 外一定点，故当'B 落在AC 上时，'AB 最小.
4AC ==Q ,
'AB ∴的最小长度的值是431-=.
评注 题中无圆，注意到C 为定点，'3CB CB ==为定长，根据圆的定义，点'B 在以点C 为圆心、半径为3的⊙C 上，根据圆的性质，问题得解.
四、直角三角形的斜边是其外接圆的直径
例4 (2015徐州)如图4，平面直角坐标系中，将含30︒的三角尺的直角顶点C 落在第 二象限，其斜边两端点A ，B 分别落在x 轴，y 轴上，且12AB cm =.
(1)若6OB cm =.
①求点C 的坐标;
②若点A 向右滑动的距离与点B 向上滑动的距离相等，求滑动的距离.
(2)点C 与点O 的距离的最大值= cm .
解析 (1)略.
(2)由90AOB ACB ∠=∠=︒知，点O 、A 、C 、B 在以12为直径的圆上，而O 为定点，所气OC 为直径时，OC 取最大值，最大值为12.
评注 题中无圆，注意到90AOB ACB ∠=∠=︒，12AB cm =，知动点C 在直径为
12的圆上;而O 为定点，根据圆的性质，当OC 为直径时最大.
五、对角互补的四边形必有外接圆
例5 ( 2012深圳)如图5，Rt ABC V 中，90C ∠=︒，以斜边AB 为边向外作正方形
ABDE ，且正方形对角线交于点D ，连结OC ，己知5AC =，OC =边BC 的长为
解 作OF CA ⊥，垂足为F .
180AOB ACB ∠+∠=︒Q
∴A 、C 、B 、O 四点共圆，
45ACO ABO ∴∠=∠=︒
6OF CF ∴=== 从而1AF FC AC =-=，
AO =
AB ==故在Rt ABC V 中,
7BC ===.
评注 题中无圆，注意到180AOB ACB ∠+∠=︒，确定A 、C 、B 、O 四点共圆，
得到45ACO ∠=︒，结合5AC =，OC =AO ，进而解决问题.
六、在公共边同侧且公共边所对角相等的两个三角形的顶点在同一个圆上
例6 (2014重庆)如图6，正方形ABCD 的边长为6，点O 是对角线AC 、BD 的交点，点E 在CD 上，且2DE CE =，过点C 作CF BE ⊥，垂足为F ，连结OF ，则OF 的长为 .
解 作CG OF ⊥，交OF 的延长线于G ，易知
OC =CF =90BOC BFC ∠=∠=︒Q
∴O 、B 、C 、F 在以BC 为直径的圆上，
180135CFO OBC ∴∠=︒-∠=︒
18045CFG CFO ∴∠=︒-∠=︒
FG CG ∴===
222CG OG OC +=Q ，又OC =
222(OF ∴+=
解得OF = 评注 题中无圆，注意到OBC V 与FBC V 在BC 的同侧，且90BOC BFC ∠=∠=︒，故点O 、B 、C 、F 在以BC 为直径的圆上，从而45CFG ∠=︒，再构造直角三角形得解.。