2015届高考数学一轮复习单元检测： 集合与函数概念(人教A版必修一)

2015届高考数学一轮复习单元检测：
集合与函数概念
(测试时间：120分钟 评价分值：150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2013·上海卷)设全集U ＝R ，下列集合运算结果为R 的是
( )
A ．Z ∪∁U N
B ．N ∩∁U N
C ．∁U (∁U ∅)
D ．∁U {0}
答案：A
2．已知M ＝{x |x ＞1}，N ＝{x |－3＜x ＜2}，则M ∩N ＝( )
A ．{x |－3＜x ＜2}
B ．{x |－3＜x ＜1}
C ．{x |1＜x ＜2}
D ．{x |2＜x ＜3}
答案：C
3．若奇函数f (x )在[1,3]上为增函数，且有最小值7，则它在
[－3，－1]上( )
A ．是减函数，有最小值－7
B ．是增函数，有最小值－7
C ．是减函数，有最大值－7
D ．是增函数，有最大值－7
答案：D
4．[2014·惠州模拟]已知R 是实数集，M ＝⎩⎨⎧
x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2x <1，N ＝{y|y ＝x －1}，则N∩(∁RM)＝( )
A. (1,2)
B. [0,2]
C. ∅
D. [1,2]
答案：B
5．已知集合A ＝R ，B ＝R ＋，若f ：x →2x －1是从集合A 到B 的一个映射，则B 中的元素3对应A 中的元素为( )
A ．－1
B ．1
C ．2
D ．3
答案：C
6．已知函数f (x )＝2x ＋1(1≤x ≤3)，则( )
A ．f (x －1)＝2x ＋2(0≤x ≤2)
B ．f (x －1)＝2x －1(2≤x ≤4)
C ．f (x －1)＝2x －2(0≤x ≤2)
D ．f (x －1)＝－2x ＋1(2≤x ≤4)
答案：B
7．设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则 f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是( )
A ．f (π)＞f (－3)＞f (－2)
B ．f (π)＞f (－2)＞f (－3)
C ．f (π)＜f (－3)＜f (－2)
D ．f (π)＜f (－2)＜f (－3)
答案：A
8．函数f (x )＝(2a －1)x ＋b 是R 上的减函数，则有( )
A ．a ≥12
B ．a ≤12
C ．a ＞－12
D ．a ＜12
答案：D
9．(2013·山东卷)已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( )
A ．1
B ．3
C ．5
D ．9
答案：C
10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋1(x ≤0)－2x (x ＞0)，如果f (x )＝10，则x ＝( )
A ．±3，－5 B. －3，－5 C ．－3 D ．无解
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
11．函数f (x )＝1－2log 6x 的定义域为________．
答案：(0， 6 ]
12．若A 、B 是两个集合，给出下列四个判断：
①如果A ⊆B ，那么A ∩B ＝A ；
②如果A ∩B ＝B ，那么A ⊆B ；
③如果A ⊆B ，那么A ∪B ＝A ；
④如果A ∪B ＝B ，那么B ⊆A .
其中正确的判断序号是________．
答案：①
13．函数f (x )＝2x 2－3|x |的单调减区间是________．
答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34，⎝ ⎛⎦
⎥⎤－∞，－34
14．定义在R 上的函数f (x )为减函数，满足不等式f (3－2a )＜ f (a －3)的a 的集合为________．
答案：(－∞，2)
三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)集合若A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，
B ＝{x |ax －6＝0}，且A ∪B ＝A ，求由实数a 组成的集合
C .
解析：∵x 2－5x ＋6＝0，∴x ＝2，x ＝3，即A ＝{2,3}．
∵A ∪B ＝A ，
故B 是单元素集合{2}，{3}或B ＝∅，
当B ＝{2}，由2a －6＝0得a ＝3；
当B ＝{3}，由3a －6＝0得a ＝2；
当B ＝∅，由ax －6＝0得a ＝0.
所以由实数a 形成的集合为C ＝{0,2,3}．
16．(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |1≤x ＜7}，B ＝{x |2＜x ＜10}，C ＝{x |x ＜a }，全集为实数集R.
(1)求A ∪B ，(∁R A )∩B ；
(2)如果A ∩C ≠∅，求a 的取值范围．
解析：(1)A ∪B ＝{x |1≤x ＜10}，
(∁R A )∩B ＝{x |x ＜1或x ≥7}∩{x |2＜x ＜10}＝{x |7≤x ＜10}．
(2)当a ＞1时满足A ∩C ≠∅.
17.(本小题满分14分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2 (x ≤－1)，x 2 (－1＜x ＜2)，
2x (x ≥2)，
若f (a )＝3，求实数a 的值．
解析：①当a ≤－1时，f (a )＝a ＋2，又f (a )＝3，
∴a ＝1(不符合条件，舍去)．
②当－1＜a ＜2时，f (a )＝a 2，又f (a )＝3，
∴a ＝±3，其中负值不符合条件，故a ＝ 3.
③当a ≥2时，f (a )＝2a ，又f (a )＝3，
∴a ＝32
(不符合条件，舍去)． 综上可知a ＝ 3.
18．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝2x －1x ＋1
，x ∈[3,5]． (1)判断函数f (x )在[3,5]上的单调性，并证明．
(2)求函数f (x )的最大值和最小值．
解析：(1)函数f (x )在[3,5]上单调递增．
证明：设任意x 1，x 2，满足3≤x 1＜x 2≤5.
∵f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－1x 1＋1－2x 2－1x 2＋1
＝(2x 1－1)(x 2＋1)－(2x 2－1)(x 1＋1)(x 1＋1)(x 2＋1)
＝3(x 1－x 2)(x 1＋1)(x 2＋1)
， ∵3≤x 1＜x 2≤5，
∴x 1＋1＞0，x 2＋1＞0，x 1－x 2＜0.
∴f (x 1)－f (x 2)＜0即f (x 1)＜f (x 2)．
∴f (x )＝2x －1x ＋1
在[3,5]上为增函数． (2)f (x )min ＝f (3)＝2×3－13＋1
＝54； f (x )max ＝f (5)＝2×5－15＋1
＝32. 19.(本小题满分14分)证明函数f (x )＝x ＋4x 在(2，＋∞)上是增函
数．
解析：证明：设x 1，x 2是(2，＋∞)上的任意两个数，且x 1＜x 2，
则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋4x 1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2＋4x 2
＝(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫4x 1－4x 2 ＝(x 1－x 2)＋4(x 2－x 1)x 1x 2
＝(x 1－x 2)⎝
⎛⎭⎪⎫1－4x 1x 2 ＝(x 1－x 2)x 1x 2－4x 1x 2
∵2＜x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0，x 1x 2＞4，x 1x 2－4＞0，
∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)．
∴函数f (x )＝x ＋4x 在(2，＋∞)上是增函数．
20．(本小题满分14分)甲、乙两人连续6年对某县农村鳗鱼养殖业的规模(总产量)进行调查，提供了两个方面的信息，分别得到甲、乙两图：
甲调查表明：每个鱼池平均产量从第1年1万只鳗鱼上升到第6
年2万只．
乙调查表明：全县鱼池总个数由第1年30个减少到第6年10个．
请你根据提供的信息：
(1)说明第2年全县鱼池的个数及全县出产的鳗鱼总数．
(2)到第6年这个县的鳗鱼养殖业的规模(即总产量)比第1年扩大了还是缩小了？试说明理由；
(3)哪一年的规模(即总产量)最大？试说明理由．
解析：由题意可知，图甲图象经过(1,1)和(6,2)两点， 从而求得其解析式为y 甲＝0.2m ＋0.8；图乙图象经过(1,30)和(6,10)两点，从而
求得其解析式为y 乙＝－4m ＋34.
当m ＝2时，y 甲＝0.2×2＋0.8＝1.2，
y 乙＝－4×2＋34＝26，
y甲·y乙＝1.2×26＝31.2.
所以第2年鱼池有26个，全县出产的鳗鱼总数为31.2万只．
(2)第1年出产鱼1×30＝30(万只), 第6年出产鱼2×10＝20(万只)，可见，第6年这个县的鳗鱼养殖业规划比第1年缩小了．
(3)设当第m(m∈N*)年时的规模总出产量为n，那么
n＝y甲·y乙＝(0.2m＋0.8)(－4m＋34)
＝－0.8m2＋3.6m＋27.2
＝－0.8(m－2.25)2＋31.25
因此，当m＝2时，n最大值为31.2.
即当第2年时，鳗鱼养殖业的规模最大，最大产量为31.2万只．。