小学奥数 不定方程与不定方程组.教师版
不定方程与不定方程组教学目标1.利用整除及奇偶性解不定方程2.不定方程的试值技巧3.学会解不定方程的经典例题知识精讲一、知识点说明历史概述不定方程是数论中最古老的分支之一．古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程．中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究．宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来．考点说明在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中．在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重要的地位，所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在以后的学习中使用这个工具解题。
二、不定方程基本定义1、定义：不定方程（组）是指未知数的个数多于方程个数的方程（组）。
2、不定方程的解：使不定方程等号两端相等的未知数的值叫不定方程的解，不定方程的解不唯一。
3、研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解；②有解时确定解的个数；③求出所有的解三、不定方程的试值技巧1、奇偶性2、整除的特点（能被2、3、5等数字整除的特性）3、余数性质的应用（和、差、积的性质及同余的性质）模块一、利用整除性质解不定方程【例 1】求方程 2x－3y＝8的整数解【考点】不定方程【难度】2星【题型】解答【解析】方法一：由原方程，易得 2x＝8＋3y，x＝4＋32y，因此，对y的任意一个值，都有一个x与之对应，并且，此时x与y的值必定满足原方程，故这样的x与y是原方程的一组解，即原方程的解可表为：342 x k y k⎧=+⎪⎨⎪=⎩，其中k为任意数．说明由y取值的任意性，可知上述不定方程有无穷多组解．方法二：根据奇偶性知道2x是偶数，8为偶数，所以若想2x－3y＝8成立，y必为偶数，当y＝0，x＝4；当y＝2，x＝7；当y＝4，x＝10……，本题有无穷多个解。
【答案】无穷多个解【巩固】求方程2x＋6y＝9的整数解【考点】不定方程【难度】2星【题型】解答【解析】因为2x＋6y＝2(x＋3y)，所以，不论x和y取何整数，都有2|2x＋6y，但29，因此，不论x和y取什么整数，2x＋6y都不可能等于9，即原方程无整数解．说明：此题告诉我们并非所有的二元一次方程都有整数解。
【答案】无整数解【例 2】求方程4x＋10y＝34的正整数解【考点】不定方程【难度】2星【题型】解答例题精讲【解析】 因为4与10的最大公约数为2，而2|34，两边约去2后，得 2x ＋5y＝17，5y 的个位是0或5两种情况，2x 是偶数，要想和为17，5y 的个位只能是5，y 为奇数即可；2x 的个位为2，所以x 的取值为1、6、11、16……x ＝1时，17－2x ＝15，y ＝3， x ＝6时，17－2x ＝ 5，y ＝1，x ＝11时，17－2x ＝17 －22，无解 所以方程有两组整数解为：16,31x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩【答案】16,31x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩【巩固】 求方程3x ＋5y ＝12的整数解【考点】不定方程 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 由3x ＋5y ＝12，3x 是3的倍数，要想和为12（3的倍数），5y 也为3的倍数，所以y 为3的倍数即可，所以y 的取值为0、3、6、9、12…… y ＝0时，12－5y ＝12，x ＝4， x ＝3时，12－5y ＝12－15，无解所以方程的解为：40x y =⎧⎨=⎩【答案】4x y =⎧⎨=⎩【巩固】 解不定方程：2940x y +=（其中x,y 均为正整数）【考点】不定方程 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 方法一：2x 是偶数，要想和为40（偶数），9y 也为偶数，即y 为偶数，也可以化简方程2940x y +=，40920522x y x y -==-+知道y 为偶数，所以方程解为：112,24x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩【答案】112,24x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩模块二、利用余数性质解不定方程【例 3】求不定方程7111288x y +=的正整数解有多少组？【考点】不定方程 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 本题无论x 或是y ，情况都较多，故不可能逐一试验．检验可知1288是7的倍数，所以11y 也是7的倍数，则y 是7的倍数．设7y z =，原方程可变为11184x z +=，z 可以为1，2，3，……16．由于每一个z 的值都确定了原方程的一组正整数解，所以原方程共有16组正整数解． 【答案】16组【例 4】求方程3x ＋5y ＝31的整数解【考点】不定方程 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 方法一：利用欧拉分离法，由原方程，得 x ＝3153y -，即 x ＝10－2y＋13y +，要使方程有整数解13y +必须为整数．取y ＝2，得x ＝10－2y ＋13y +＝10－4＋1＝7，故x ＝7，y ＝2当y ＝5，得x ＝10－2y ＋13y +＝10－10＋2＝2，故x ＝2，y ＝5当y ＝8，得x ＝10－2y ＋13y +＝10－16＋3无解所以方程的解为：72,25x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩方法二：利用余数的性质3x 是3的倍数，和31除以3余1，所以5y 除以3余1（2y 除以3余1），根据这个情况用余数的和与乘积性质进行判定为：取y ＝1，2y ＝2，2÷3＝0……2（舍）y ＝2，2y ＝4，4÷3＝1……1（符合题意） y ＝3，2y ＝6，6÷3＝2（舍）y ＝4，2y ＝8，8÷3＝2……2（舍）y ＝5，2y ＝10，10÷3＝3……1（符合题意） y ＝6，2y ＝12，12÷3＝4（舍）当y ＞6时，结果超过31，不符合题意。
所以方程的解为：72,25x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩【答案】72,25x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩【巩固】 解方程7489x y +=，（其中x 、y 均为正整数）【考点】不定方程 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 方法一：7489x y +=，4y 是4的倍数，和89除以4余1，所以7x 除以4余1（7÷4≡3），可以看成3x 除以4余1，根据这个情况用余数的和与乘积性质进行判定为（x ＜13） x ＝1，3x ＝3，3÷4≡3（舍） x ＝2，3x ＝6，6÷4≡2（舍）x ＝3，3x ＝9，9÷4≡1（符合题意） x ＝4，3x ＝12，12÷4≡0（舍） x ＝5，3x ＝15，15÷4≡3（舍） x ＝6，3x ＝18，18÷4≡2（舍）x ＝7，3x ＝21，21÷4≡1（符合题意） x ＝8，3x ＝24，24÷4≡0（舍） x ＝9，3x ＝27，27÷4≡3（舍） x ＝10，3x ＝30，30÷4≡2（舍）x ＝11，3x ＝33，33÷4≡1（符合题意） x ＝12，3x ＝36，36÷4≡0（舍） 所以方程的解为：3711,,17103x x x y y y ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩方法二：利用欧拉分离法，由原方程，897122244x xy x -+==-+，()1x +的取值为4的倍数即可，所以方程的解为：3711,,17103x x x y y y ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩ 【答案】3711,,17103x x x y y y ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩模块三、解不定方程组【例 5】 解方程180012008001600015a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩ （ 其中a 、b 、c 均为正整数 ）【考点】不定方程 【难度】3星 【题型】解答【解析】 根据等式的性质将第一个方程整理得9648015a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩，根据消元的思想将第二个式子扩大4倍相减后为：(964)4()80415a b c a b c ++-++=-⨯，整理后得5220a b +=，根据等式性质，2b 为偶数，20为偶数，所以5a 为偶数，所以a 为偶数，当2a =时，52220b ⨯+=，5b =，所以8c =，当4a =时，54220b ⨯+=，5b =，所以无解。
所以方程解为258a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩【答案】258a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩【例 6】 解不定方程1531003100x y z x y z ⎧++=⎪⎨⎪++=⎩ (其中x 、y 、z 均为正整数)【考点】不定方程 【难度】3星 【题型】解答【解析】根据等式的性质将第一个方程整理得159300100x y zx y z++=⎧⎨++=⎩，根据消元思想与第二个式子相减得148200x y+=，根据等式的性质两边同时除以2得：74100x y+=，根据等式性质4y为4的倍数，100为4的倍数，所以7y为4的倍数，所以y为4的倍数试值如下481218,11,4788184 x x xy y yz z z===⎧⎧⎧⎪⎪⎪===⎨⎨⎨⎪⎪⎪===⎩⎩⎩【答案】481218,11,4788184 x x xy y yz z z===⎧⎧⎧⎪⎪⎪===⎨⎨⎨⎪⎪⎪===⎩⎩⎩。
六年级奥数第28讲：不定方程
简单的不定方程所谓有定方程，是指未知数的个数多于方程个数的方程（组）。
解不定方程的方法是：（1）根据整除知识，缩小未知数的取值范围，然后试算求解。
（2）分析末位数字，缩小未知数的取值范围，寻求方程的整数解。
（3）求出一个未知数用另一个未知数表示的式子，然后试算求解。
（4）直接根据方程确定未知数的取值范围，通过试算求解。
例1、马小富在甲公司打工，几个月后又在乙公司兼职。
甲公每月付给他薪金470元，乙公司每月付给他薪金350元。
年终，马小富从两家公司共获薪金7 620元。
问他在甲公司打工多少个月，在乙公司兼职多少个月。
做一做：有A、B、C三种商品若干，价值共300元，其中A商品单价为16元，B商品单价为158元，C商品单价为19元。
那么，全部C商品至少价值多少元？最多价值多少元？例2、要把1米长的优质铜管锯成长38毫米和长90毫米两种规格的小铜管，每锯一次都损耗1毫米铜管，那么，只有当锯得的38毫米铜管和90毫米的铜管各为多少段时，所损耗的铜管才能最少？做一做：一个同学把他生日的月份乘以31，日期乘以12，然后加起来的和是170，你知道他出生于何月何日吗？例3、某单位的职工到效外植树，其中的男职工，也有女职工，并有31的职工各带一个孩子参加，男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子种6棵树，他们共种了216棵树，那么其中女职工有多少人？做一做：一群猴子采摘水蜜桃。
猴王不在的时候，一只大猴子1小时可采摘15千克，一只小猴子1小时可采摘11千克；猴王在场监督的时候，大猴子的51和小猴子的51必须停止采摘，去伺候猴王，有一天采摘了8小时，其中只有第一小时和最后一小时有猴王在场监督，结果共摘3 382千克水密桃。
问：在这个猴群中，共有大猴子多少只？例4、小明用5天时间看完一本200页的故事书。
已知第二天看的页数比第一天多，第三天看的页数是第一天、第二天看的页数之和，第四天看的页数是第五天至少看了多少页？做一做：有一堆围棋子，白子颗数是黑子颗数的3倍。
小学奥数知识点：不定方程
小学奥数知识点：不定方程
一次不定方程：含有两个未知数的一个方程，叫做二元一次方程，由于它的解不唯一，所以也叫做二元一次不定方程;
常规方法：观察法、试验法、枚举法;
多元不定方程：含有三个未知数的方程叫三元一次方程，它的解也不唯一;
多元不定方程解法：根据已知条件确定一个未知数的值，或者消去一个未知数，这样就把三元一次方程变成二元一次不定方程，按照二元一次不定方程解即可;
涉及知识点：列方程、数的整除、大小比较;
解不定方程的步骤：1、列方程;2、消元;3、写出表达式;4、确定范围;5、确定特征;6、确定答案;
技巧总结：A、写出表达式的技巧：用特征不明显的未知数表示特征明显的未知数，同时考虑用范围小的未知数表示范围大的未知数;B、消元技巧：消掉范围大的未知数;。
小学奥数模块教程不定方程与不定方程组的解法(ABC级)
不定方程与不定方程组巧求周长知识框架一、知识点说明历史概述不定方程是数论中最古老的分支之一．古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程．中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究．宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来．考点说明在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中．在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重要的地位，所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在以后的学习中使用这个工具解题。
二、不定方程基本定义（1）定义：不定方程（组）是指未知数的个数多于方程个数的方程（组）。
（2）不定方程的解：使不定方程等号两端相等的未知数的值叫不定方程的解，不定方程的解不唯一。
（3）研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解；②有解时确定解的个数；③求出所有的解三、不定方程的试值技巧（1）奇偶性（2）整除的特点（能被2、3、5等数字整除的特性）（3）余数性质的应用（和、差、积的性质及同余的性质）重难点（1）利用整除及奇偶性解不定方程（2）不定方程的试值技巧（3）学会解不定方程的经典例题例题精讲一、利用整除性质解不定方程【例 1】求方程2x－3y＝8的整数解【巩固】求方程2x＋6y＝9的整数解【例 2】求方程4x＋10y＝34的正整数解【巩固】求方程3x＋5y＝12的整数解【例 3】求719213x y+=的所有正整数解．【巩固】求62290x y+=的自然数解二、利用余数性质解不定方程【例 4】求方程3x＋5y＝31的整数解【巩固】解方程7489x y+=，（其中x、y均为正整数）【例 5】求方程5322x y+=的所有正整数解．三、解不定方程组【例 6】解方程180012008001600015a b ca b c++=⎧⎨++=⎩（其中a、b、c均为正整数）【例 7】解不定方程1531003100x y zx y z⎧++=⎪⎨⎪++=⎩(其中x、y、z均为正整数)【随练1】 解不定方程：2940x y +=（其中x,y 均为正整数）【随练2】 求不定方程7111288x y +=的正整数解有多少组？【作业1】 求23734x y z ++=的正整数解．【作业2】 求x+2y+5z=18的自然数解家庭作业课堂检测。
(完整版)小学奥数-不定方程(教师版)
不定方程在列方程组解答应用题时，有两个未知数，就需要有两个方程。
有三个未知数，就需要有三个方程。
当未知数的个数多于方程的个数时，这样的方程称为不定方程，为纪念古希腊数学家丢番图，不定方程也称为丢番图方程。
不定方程在小学奥数乃至以后初高中数学的进一步学习中，有着举足轻重的地位。
而在小学阶段打下扎实的基础，无疑很重要。
不定方程是由于联立方程的条件“不足”而出现的，从一般情况来说，有无数多个解。
不过，我们要注意到它的“预定义”条件，比如未知项是自然数，比如在数位上的数码不仅是自然数，而且是一位数等等，甚至题干中直接给出限制条件，这样，就使得不定方程的解“定”下来了。
这种情况也不排除它的取值不止一种。
不定方程解的情况比较复杂，有时无法得出方程的解，有时又会出现多个解。
如果考虑到题中以一定条件所限制的范围，会有可能求出唯一的解或几种可能的解（而这类题的限制范围往往与整数的分拆有很大关系）。
解答这类方程，必须要对题中明显或隐含的条件加以判断、推理，才能正确求解。
【例1】★求方程2725=+y x 的正整数解。
【解析】因为2y 为偶数，27为奇数，所以5x 为奇数，即x 为奇数⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==15,63,111y x y x y x 【小试牛刀】求方程4x ＋10y ＝34的正整数解【解析】因为4与10的最大公约数为2，而2|34，两边约去2后，得 2x ＋5y ＝17，5y 的个位是0或5两种情况，2x 是偶数，要想和为17，5y 的个位只能是5，y 为奇数即可；2x 的个位为2，所以x 的取值为1、6、11、16……x ＝1时，17－2x ＝15，y ＝3，x ＝6时，17－2x ＝ 5，y ＝1，x ＝11时，17－2x ＝17 －22，无解所以方程有两组整数解为：16,31x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩ 【例2】★ 设A ，B 都是正整数，并且满足3317311=+B A ，求B A +的值。
小学奥数六年级上第7讲《不定方程》教学课件
巩固提升
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作业3：一张纸上写有25个1.21和25个1.3，现在要划去其中的一些数，使留下来的数的总 和为20.08，那么应划去多少个1.3? 答案：17个
巩固提升
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作业4：樱木同学特别喜欢吃包子，每天早上都到学一食堂买包子吃. (1)第一天早上，樱木同学花了6元买了一些冬菜包和豆香包，两种包子他都买了；已知冬菜 包每个7角，豆香包每个5角，那么樱木同学一共买了多少个包子? (2)第二天早上，樱木同学去学一食堂的路上遇到了晴子，于是樱木邀请晴子一起去吃包子 到学一食堂后，两人除了吃冬菜包和豆香包以外还点了几串羊肉串，已知羊肉串每串12元， 最后一共花了18元，所点包子与羊肉串数量总和是25；那么两人最多吃了多少串羊肉串? 答案：10；7
巩固提升
mathematics
作业5：甲、乙、丙三个班向希望工程捐赠图书，已知甲班有1人捐6册，有2人各捐7册，其 余都各捐11册；乙班有1人捐6册，3人各捐8册，其余各捐10册；丙班有2人各捐4册，6人 各捐7册，其余各捐9册，已知甲班捐书总数比乙班多28册，乙班比丙班多101册，且每个班 捐赠的册数都在400与600之间；各班各有多少人? 答案：甲班51人，乙班53人，丙班49人
六年级上第7讲
不定方程
• Culture
知识树
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知识树
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• Culture
知识树
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数学知识点
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• Culture
1.知识精讲 3.极限挑战
2.例题讲解 4.巩固提升
数学知识点
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第二十二讲 不定方程-小学奥数
第二十二讲 不定方程告诉你本讲的重点、难点不定方程是指未知数个数多于方程个数，且对解有一定限制（比如要求解为正整数等）的方程，我们小学生初步接触不定方程，可以了解一些分析问题的思路．看老师画龙点晴，教给像解题诀窍【例l 】求10045=+y x 的整数解．（不包括负数）分析与解 根据10045=+y x 得,51004x y -=可见，x 的取值范围是O 到20，但是否一定有 21组解呢，那还不一定，因为只有当x 5100-的值是4的倍数时，才能找到相对应的y 的值．当0=x 时，;254)05100(=÷⨯-=y当4=x 时，;204)45100(=÷⨯-=y当8=x 时，;154)85100(=÷⨯-=y当12=x 时，;104)125100(=÷⨯-=y当16=x 时，;54)5100(6=÷⨯-=i y当20=x 时，.04)205100.(=÷⨯-=y所以10045=+y x 的整数解有：⎩⎨⎧==250y x ⎩⎨⎧==204y x ⎩⎨⎧==158y x ⎩⎨⎧==1012y x ⎩⎨⎧==516y x ⎩⎨⎧==020y x 【例2】 有甲、乙两种卡车，甲车的载重量为6吨，乙车的载重量为8吨，现有煤144吨，要求一次运完，每种车都不少于4辆，而且每1辆卡车都要满载，问：甲、乙两种卡车各需多少辆？分析与解 根据题意，我们可以把甲、乙两种车的数量分别设为x 和y ，列出方程=+y x 86,144 由于卡车数量一定是整数且每种车都不少于4辆，因此我们就可以在限制的范围内求解.设甲种卡车有x 辆，乙种卡车有y 辆．14486=+y x这个方程可以运用等式的性质简化成：.3)472(,47237243÷-=-==+y x y x y x ，则于是得⎩⎨⎧==154y x ⎩⎨⎧==128y x ⎩⎨⎧==912y x ⎩⎨⎧==616y x答：甲种卡车4辆，乙种卡车15辆；或甲种卡车8辆，乙种卡车12辆；或甲种卡车12辆，乙种卡车9辆；或甲种卡车16辆，乙种卡车6辆．【例3】小宇说：“我养的兔比鸡多，鸡、兔共20只脚，你猜猜我养了几只兔和鸡？”分析与解 设鸡有x 只，兔有y 只，2042=+y xy x y x 210,102-==+则运用列表枚举的方法找出所有的解：其中只有一组解符合要求：⎩⎨⎧==42y x 答：小宇养了2只鸡，4只兔．【例4】甲班有42名学生，乙班有48名学生．已知在某次数学考试中按百分制评卷，评卷结果各班的数学总分数相同，各班的平均成绩都是整数，并且平均成绩都高于80分，那么甲班的平均成绩比乙班高多少分？分析与解 设甲班的平均成绩为x 分，乙班的平均成绩为y 分．依题意列方程：⋅==y x y x 87,4842则 根据甲、乙两班的平均成绩都是整数，平均成绩都高于80分，并且是百分制，可分别取y=84，91，98尝试可得y=84，x= 96.因此，甲班的平均成绩比乙班高96-84=12(分)．做题也有小窍门噢！在解不定方程的过程中，要善于根据条件缩小解的范围.快来试一试你的身手吧!1．求304=+y x 的所有整数解．（不包括负数）2．大客车有39个座位，小客车有30个座位，现有267位乘客，要使每位乘客都有座位且没有空座位．那么需大、小客车各几辆？3．小明在邮局买了若干枚5角和1元3角的邮票，正好用去10元钱．他买了几枚5角的邮票？4．右图中两个矩形的面积之和为43厘米2，两个矩形的边长都是整厘米数，求两个矩形的面积之差，通往初中名校的班车1．某市供电公司规定，如果每月用电不超过24 kW ．h （千瓦时），就按每千瓦时9分钱收费，如果超过24千瓦时部分按每千瓦时2角钱收费．在某月中，甲家比乙家多交了9角6分（用电按千瓦时整数部分计算），那么甲、乙两家各交电费多少元？2．一个两位数，2个数字之和的6倍比这个两位数大3，求这个两位数．3．某次数学竞赛准备了22枝铅笔作为奖品发给获得一、二、三等奖的学生，原计划一等奖每人发6枝，二等奖每人发3枝，三等奖每人发2枝，后来又改为一等奖每人发9枝，二等奖每人发4枝，三等奖每人发1枝．问：获一、二、三等奖的学生各有几人？4．甲、乙两数是自然数，如果甲数的65恰好是乙数的,41那么甲、乙两数之和的最小值是多少？ 答 案。
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不定方程如$知识梳理］在列方程组解答应用题时，有两个未知数，就需要有两个方程。
有三个未知数，就需要有三个 方程。
当未知数的个数多于方程的个数时， 这样的方程称为不定方程，为纪念古希腊数学家丢番图,不定方程也称为丢番图方程。
不定方程在小学奥数乃至以后初高中数学的进一步学习中，有着举足 轻重的地位。
而在小学阶段打下扎实的基础，无疑很重要。
不定方程是由于联立方程的条件“不足”而出现的，从一般情况来说，有无数多个解。
不过， 我们要注意到它的“预定义”条件，比如未知项是自然数，比如在数位上的数码不仅是自然数，而 且是一位数等等，甚至题干中直接给出限制条件，这样，就使得不定方程的解“定”下来了。
这种 情况也不排除它的取值不止一种。
不定方程解的情况比较复杂，有时无法得出方程的解，有时又会出现多个解。
如果考虑到题中 以一定条件所限制的范围，会有可能求出唯一的解或几种可能的解（而这类题的限制范围往往与整 数的分拆有很大关系）。
解答这类方程，必须要对题中明显或隐含的条件加以判断、推理，才能正确 求解。
特色讲解］【例1】★求方程5x 2y 27的正整数解。
【解析】因为2y 为偶数，27为奇数，所以5x 为奇数，即x 为奇数x 1x 3 x 5 , ,y 11 y 6 y 1【小试牛刀】求方程 4x + 10y = 34的正整数解【解析】因为4与10的最大公约数为2,而2|34，两边约去2后，得2x + 5y = 17, 5y 的个位是0 或5两种情况，2x 是偶数，要想和为17, 5y 的个位只能是5, y 为奇数即可；2x 的个位为2,所以 x 的取值为1、6、11、16……x= 1 时，17-2x = 15, y = 3, x= 6 时，17-2x = 5 , y = 1 , x= 11 时，17 — 2x = 17 — 22,无解 所以方程有两组整数解为：dx 1 x y 3，y【例2】★ 设A , B 都是正整数，并且满足 A11［解析］3A 11B 17 33333A+11B=17,因为 A 、B 为正整数，所以 A=2, B=1, A+B=3【例3】★ ★（北大附中入学考试真题） 14个大、中、小号钢珠共重 100克，大号钢珠每个重 12克，中号每个重 8克，小号每个重 5克。
小学高级奥数第26讲-不定方程与不定方程组
课后作业
<作业1>
解不定方程：2x 3y 7z 34 的正整数解．
课后作业
<作业1> 解不定方程：
（其中x,y均为正整数）
课后作业
<作业1> 解不定方程：
（其中x,y均为正整数）
课后作业
求方程 2x－3y＝8的整数解
求方程2x＋6y＝9的整数解
求方程4x＋10y＝34的正整数解
求方程3x＋5y＝12的整数解
求方程 7x 19y 213的整数解
求 6x 22y 90 的自然数解
求方程3x＋5y＝31的整数解
求方程 7x 4y 89 的整数解
求方程5x 3y 22 的所有正整数解
求方程 2x－3y＝8的整数解
解不定方程组 1800a 1200b 800c 16000
解方程 a b c 15
解不定方程
5x
ห้องสมุดไป่ตู้
3y
1 3
z
100
(其中x、y、z均为正整数)
x y z 100
<作业1>
解不定方程： 2x 9y 40 （其中x,y均为正整数）
课后作业
<作业1> 求不定方程 7x 11y 1288 的正整数解有多少组？
小学六年级奥数第40讲 不定方程(含答案分析)
第40讲不定方程一、知识要点当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。
如5x－3y ＝9就是不定方程。
这种方程的解是不确定的。
如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一些限制条件，那么它的解的个数就是有限的了。
如5x－3y＝9的解有：x＝2.4 x＝2.7 x＝3.06 x＝3.6y＝1 y＝1.5 y＝2.1 y＝3如果限定x、y的解是小于5的整数，那么解就只有x＝3，Y＝2这一组了。
因此，研究不定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响。
解不定方程时一般要将原方程适当变形，把其中的一个未知数用另一个未知数来表示，然后再一定范围内试验求解。
解题时要注意观察未知数的特点，尽量缩小未知数的取值范围，减少试验的次数。
对于有3个未知数的不定方程组，可用削去法把它转化为二元一次不定方程再求解。
解答应用题时，要根据题中的限制条件（有时是明显的，有时是隐蔽的）取适当的值。
二、精讲精练【例题1】求3x+4y＝23的自然数解。
先将原方程变形，y＝23－3x4。
可列表试验求解：所以方程3x+4y＝23的自然数解为X=1 x=5 Y=5 y=2 练习11、求3x+2y＝25的自然数解。
2、求4x+5y＝37的自然数解。
3、求5x－3y＝16的最小自然数解。
【例题2】求下列方程组的正整数解。
5x+7y+3z＝253x－y－6z＝2这是一个三元一次不定方程组。
解答的实话，要先设法消去其中的一个未知数，将方程组简化成例1那样的不定方程。
5x+7y+3z＝25 ①3x－y－6z＝2 ②由①×2+②，得13x+13y＝52X+y＝4 ③把③式变形，得y＝4－x。
因为x、y、z都是正整数，所以x只能取1、2、3.当x＝1时，y＝3当x＝2时，y＝2当x＝3时，y＝1把上面的结果再分别代入①或②，得x＝1，y＝3时，z无正整数解。
x＝2，y＝2时，z也无正整数解。
x＝3时，y＝1时，z＝1.所以，原方程组的正整数解为 x＝1y＝1z＝1求下面方程组的自然数解。
小学奥数教程-不定方程与不定方程组 (15) (含答案)
教学目标
1.利用整除及奇偶性解不定方程 2.不定方程的试值技巧 3.学会解不定方程的经典例题
知识精讲
一、知识点说明
历史概述
不定方程是数论中最古老的分支之一．古希腊的丢番图早在公元 3 世纪就开始研究不定方程，因此常称 不定方程为丢番图方程．中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题， 公元 5 世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究．宋代数学家秦九韶的 大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来．
当 y＝0，x＝4；当 y＝2，x＝7；当 y＝4，x＝10……，本题有无穷多个解。
【答案】无穷多个解
【巩固】 求方程 2x＋6y＝9 的整数解
【考点】不定方程
【难度】2 星
【题型】解答
【解析】因为 2x＋6y＝2(x＋3y)，所以，不论 x 和 y 取何整数，都有 2|2x＋6y，但 2 Œ9，因此，不论 x 和 y
【题型】解答
【解析】方法一：利用欧拉分离法，由原方程，得 x＝ 31 − 5y ，即 x＝10－2y＋ 1 + y ，要使方程有整数解
3
3
1 + y 必须为整数． 3
取 y＝2，得 x＝10－2y＋ 1 + y ＝10－4＋1＝7，故 x＝7，y＝2 3
当 y＝5，得 x＝10－2y＋ 1 + y ＝10－10＋2＝2，故 x＝2，y＝5 3
考点说明
在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方 法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中．在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重 要的地位，所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在以后的学习中使用这个工具 解题。