高中数学 第2章 平面向量 2.2.2 向量的减法课堂精练 苏教版必修4
高中数学 第2章 平面向量 2.22.2.2 向量的减法练习 苏教版必修4
2.2.2 向量的减法A 级 基础巩固1．若非零向量a ，b 互为相反向量，则下列说法错误的是( ) A ．a ∥b B ．a ≠b C ．|a |≠|b |D ．b ＝－a解析：根据相反向量的定义：大小相等，方向相反，可知|a |＝|b |，C 不正确． 答案：C2．在平行四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，AC →＝c ，BD →＝d ，则下列等式中不正确的是( )A ．a ＋b ＝cB ．a －b ＝dC ．b －a ＝dD ．c －a ＝b解析：根据向量加法的平行四边形法则和三角形法则知， AB →＋AD →＝AC →，AD →－AB →＝BD →，即a ＋b ＝c ，b －a ＝d . 所以A 、C 、D 正确，B 不正确． 答案：B3．在边长为1的正三角形ABC 中，|AB →－BC →|的值为( ) A ．1 B ．2 C.32D. 3 解析：作出菱形ABCD (如图所示)，则AC ⊥BD ，BC →＝AD →，故|AB →－BC →|＝|AB →－AD →|＝|DB →|＝2|BO →|＝2×32＝ 3.答案：D4.如图所示，已知D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则( )A.AD →＋BE →＋CF →＝0B.BD →－CF →＋DF →＝0C.AD →＋CE →－CF →＝0D.BD →－BE →－FC →＝0解析：因为D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点， 所以AD →＝DB →，CF →＝ED →，FC →＝DE →，FE →＝DB →. 所以AD →＋BE →＋CF →＝DB →＋BE →＋ED →＝0，故A 成立； BD →－CF →＋DF →＝BD →＋DF →－CF →＝BF →＋FC →＝BC →≠0，故B 不成立； AD →＋CE →－CF →＝AD →＋FE →＝AD →＋DB →＝AB →≠0，故C 不成立； BD →－BE →－FC →＝ED →－DE →＝ED →＋ED →≠0，故D 不成立． 答案：A5．在△ABC 中，|AB →|＝|BC →|＝|CA →|＝2，则|AB →－AC →|的值为______． 解析：AB →－AC →＝CB →，则|CB →|＝|BC →|＝2. 答案：26．化简(AB →＋PC →)＋(BA →－QC →)＝________．解析：(AB →＋PC →)＋(BA →－QC →)＝(AB →＋BA →)＋(PC →＋CQ →)＝0＋PQ →＝PQ →. 答案：PQ →7．在平行四边形ABCD 中，若AB →＝a ，AD →＝b ，且|a ＋b |＝|a －b |，则四边形ABCD 的形状是________．解析：由平行四边形法则知，|a ＋b |，|a －b |分别表示对角线AC ，BD 的长，当|AC →|＝|BD →|时，平行四边形ABCD 为矩形．答案：矩形8．在△ABC 中，D 是BC 的中点，设AB →＝c ，AC →＝b ，BD →＝a ；AD →＝d ，则d －a ＝________，d ＋a ＝________．解析：根据题意画出图形，如图所示，d －a ＝AD →－BD →＝AD →＋DB →＝AB →＝c ； d ＋a ＝AD →＋BD →＝AD →＋DC →＝AC →＝b . 答案：c b9．若|AB →|＝8，|AC →|＝5，则|BC →|的取值范围是( ) A ．[3，8] B ．(3，8) C ．[3，13]D ．(3，13)解析： 因为|BC →|＝|AC →－AB →|，又因为|AB →|－|AC →|≤|AC →－AB →|≤|AB →|＋|AC →|， 所以3≤|AC →－AB →|≤13，即3≤|BC →|≤13. 答案：C10．如图所示，四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，BC →＝a ，则DC →＝________(用a ，b ，c 表示)．解析：DC →＝DA →＋AB →＋BC →＝－b ＋a ＋c ＝a －b ＋c . 答案：a －b ＋cB 级 能力提升11.如图所示，O 是平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的交点，设AB →＝a ，DA →＝b ，OC →＝c ，求证：b ＋c －a ＝OA →.证明：法一：因为四边形ABCD 是平行四边形， 所以DA →＝CB →.所以b ＋c ＝DA →＋OC →＝CB →＋OC →＝OB →. 所以b ＋c －a ＝OB →－AB →＝OB →＋BA →＝OA →.法二：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB →＝DC →. 所以c －a ＝OC →－AB →＝OC →－DC →＝OC →＋CD →＝OD →. 因为DA →＝b ，所以b ＋c －a ＝b ＋OD →＝DA →＋OD →＝OA →. 12．如图所示，▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b .(1)当a ，b 满足什么条件时，a ＋b 与a －b 所在直线互相垂直？ (2)当a ，b 满足什么条件时，|a ＋b |＝|a －b |? (3)a ＋b 与a －b 有可能为相等向量吗？为什么？ 解：(1)由平行四边形法则，知a ＋b ＝AC →，a －b ＝DB →. 因为a ＋b 与a －b 所在直线垂直，所以AC ⊥BD . 又因为四边形ABCD 为平行四边形， 所以四边形ABCD 为菱形，所以|a |＝|b |.所以当|a |＝|b |时，a ＋b 与a －b 所在直线互相垂直． (2)假设|a ＋b |＝|a －b |，即|AC →|＝|BD →|. 因为四边形ABCD 为平行四边形， 所以四边形ABCD 是矩形．所以a ⊥b ， 所以当a 与b 垂直时，|a ＋b |＝|a －b |.(3)不可能．因为▱ABCD 的两条对角线不可能平行，所以a ＋b 与a －b 不可能为共线向量，更不可能为相等向量． 13．已知|a |＝6，|b |＝8，且|a ＋b |＝|a －b |，求|a －b |.解：设AB →＝a ，AD →＝b ，以AB ，AD 为邻边作平行四边形ABCD ，如图所示．则AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b ， 所以|AC →|＝|DB →|.又四边形ABCD 为平行四边形， 所以四边形ABCD 为矩形，故AD ⊥AB .在Rt △DAB 中，|AB →|＝6，|AD →|＝8，由勾股定理得 |DB →|＝|AB →|2＋|AD →|2＝62＋82＝10. 所以|a －b |＝10.。
高中数学 第二章 平面向量 2.2.2 向量的减法 苏教版必修4
[预习导引] 1.向量减法的定义 若b＋x＝a，则向量x叫做a与b的 差 ，记为a－b，求两个 向量差的运算，叫做 向量的减法 .
2.向量减法的平行四边形法则 以向量A→B＝a，A→D＝b 为邻边作 平行四边形ABCD ，则对角 线的向量B→D＝b－a，D→B＝a－b. 3.向量减法的三角形法则 在平面内任取一点 O，作O→A＝a，O→B＝b，则B→A＝a－b，即 a －b 表示从向量 b 的终点指向向量 a 的终点的向量.
＝0.
(2)B→D＋D→C＋A→B－A→C. 解 B→D＋D→C＋A→B－A→C ＝(B→D＋D→C)＋(A→B－A→C) ＝B→C＋C→B
＝0.
要点二 用已知向量表示其他向量 例2 如图，解答下列各题： (1)用 a，d，e 表示D→B； 解 由题意知，A→B＝a，B→C＝b，C→D＝c，
D→E＝d，E→A＝e，则 D→B＝D→E＋E→A＋A→B＝d＋e＋a.
(2)用 b，c 表示D→B； 解 D→B＝C→B－C→D＝－B→C－C→D＝－b－c. (3)用 a，b，e 表示E→C； 解 E→C＝E→A＋A→B＋B→C＝e＋a＋b. (4)用 d，c 表示E→C. 解 E→C＝－C→E＝－(C→D＋D→E)＝－c－d.
规律方法 (1)用已知向量表示其他向量时，关键是利 用向量加法的三角形法则及向量减法的几何意义. (2)用几个基本向量表示其他向量的一般步骤： ①观察待表示的向量位置；②寻找相应的平行四边形 或三角形；③运用法则找关系，化简得结果.
＝(C→F＋B→F)＋(E→D＋E→A)＋(A→B＋D→C).
∵E、F分别是AD、BC的中点，
∴E→D＋E→A＝0，C→F ＋B→F＝0.
∴E→F＋E→F＝A→B＋D→C. 方法二 如图，在平面内取点O，连结AO、 EO、DO、CO、FO、BO，则 E→F＝E→O＋O→F＝E→A＋A→O＋O→B＋B→F，
高中数学第二章平面向量2.2.2向量的减法课时训练含解析苏教版必修4
高中数学第二章平面向量2.2.2向量的减法课时训练含解析苏教版必修4课时目标 1．理解向量减法的法则及其几何意义.2.能运用法则及其几何意义，正确作出两个向量的差．向量的减法(1)定义：若b ＋x ＝a ，则向量x 叫做a 与b 的差，记为a －b ，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．(2)作法：在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则向量a －b ＝________.如图所示．(3)几何意义：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为__________，被减向量的终点为__________的向量．例如：OA →－OB →＝__________.一、填空题1．若OA →＝a ，OB →＝b ，则AB →＝________.2．若a 与b 反向，且|a |＝|b |＝1，则|a －b |＝________.3．化简(AB →－CD →)－(AC →－BD →)的结果是________． 4.如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 与BD 交于O 点，则BA →－BC →－OA →＋OD →＋DA →＝________.5．如图所示，已知O 到平行四边形的三个顶点A 、B 、C 的向量分别为a，b ，c ，则OD →＝____________(用a ，b ，c 表示)．6．在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，|AB →|＝2，则|BC →＋DC →|＝________.7．已知OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，且四边形ABCD 为平行四边形，则a －b ＋c －d ＝________.8．若|AB →|＝5，|AC →|＝8，则|BC →|的取值范围是________．9．边长为1的正三角形ABC 中，|AB →－BC →|的值为________．10．已知非零向量a ，b 满足|a |＝7＋1，|b |＝7－1，且|a －b |＝4，则 |a ＋b |＝________.二、解答题 11.如图所示，O 是平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 的交点，设AB →＝a ，DA →＝b ，OC →＝c ，求证：b ＋c －a ＝OA →. 12.如图所示，已知正方形ABCD 的边长为1，AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，试作出下列向量并分别求出其长度(1)a ＋b ＋c ； (2)a －b ＋c .能力提升13．在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，先用a ，b 表示向量AC →和DB →，并回答：当a ，b 分别满足什么条件时，四边形ABCD 为矩形、菱形、正方形？ 14.如图所示，O 为△ABC 的外心，H 为垂心，求证：OH →＝OA →＋OB →＋OC →.1．向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－AB →＝BA →就可以把减法转化为加法．即：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．如a －b ＝a ＋(－b )． 2．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减数”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆．3．以向量AB →＝a 、AD →＝b 为邻边作平行四边形ABCD ，则两条对角线的向量为AC →＝a ＋b ，BD →＝b －a ，DB →＝a －b ，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并记住．2．2.2 向量的减法知识梳理 BA → 始点 终点 BA → 作业设计 1．b －a 2．2 3．0 4.CA →5．a －b ＋c解析 OD →＝OA →＋AD →＝OA →＋BC → ＝OA →＋OC →－OB →＝a ＋c －b ＝a －b ＋c . 6．2 3 解析如右图，设菱形对角线交点为O ， ∵BC →＋DC →＝AD →＋DC →＝AC →， 又∠DAB ＝60°，∴△ABD 为等边三角形， ∴OB ＝1，在Rt △AOB 中， |AO →|＝|AB →|2－|OB →|2＝3， ∴|AC →|＝2 3. 7．0解析 a －b ＋c －d ＝OA →－OB →＋OC →－OD →＝BA →＋DC →＝0. 8．[3,13]解析 ∵|BC →|＝|AC →－AB →|且 ||AC →|－|AB →||≤|AC →－AB →|≤|A C →|＋|AB →|.∴3≤|AC →－AB →|≤13.∴3≤|BC →|≤13. 9. 3 解析如图所示，延长CB 到点D ，使BD ＝1，连结AD ，则AB →－BC →＝AB →＋CB →＝AB →＋BD →＝AD →. 在△ABD 中，AB ＝BD ＝1，∠ABD ＝120°，易求AD ＝3， ∴|AB →－BC →|＝ 3. 10．4解析 如图所示．设O A →＝a ，O B →＝b ，则|B A →|＝|a －b |. 以OA 与OB 为邻边作平行四边形OACB ，则|O C →|＝|a ＋b |.由于(7＋1)2＋(7－1)2＝42. 故|O A →|2＋|O B →|2＝|B A →|2，所以△OAB 是∠AOB 为90°的直角三角形， 从而OA ⊥OB ，所以▱OACB 是矩形，根据矩形的对角线相等有|O C →|＝|B A →|＝4， 即|a ＋b |＝4.11．证明 方法一 ∵b ＋c ＝DA →＋OC →＝OC →＋CB →＝OB →， OA →＋a ＝OA →＋AB →＝OB →，∴b ＋c ＝OA →＋a ，即b ＋c －a ＝OA →.方法二 ∵c －a ＝OC →－AB →＝OC →－DC →＝OD →， OD →＝OA →＋AD →＝OA →－b ，∴c －a ＝OA →－b ，即b ＋c －a ＝OA →.12．解 (1)由已知得a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →，又AC →＝c ，∴延长AC 到E ， 使|CE →|＝|AC →|.则a ＋b ＋c ＝AE →， 且|AE →|＝2 2.∴|a ＋b ＋c |＝2 2.(2)作BF →＝AC →，连结CF ， 则DB →＋BF →＝DF →， 而DB →＝AB →－AD →＝a －BC →＝a －b ，∴a －b ＋c ＝DB →＋BF →＝DF →且|DF →|＝2. ∴|a －b ＋c |＝2.13．解 由向量加法的平行四边形法则，得AC →＝a ＋b ， DB →＝AB →－AD →＝a －b .则有：当a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |时，平行四边形两条对角线相等，四边形ABCD 为矩形；当a ，b 满足|a |＝|b |时，平行四边形的两条邻边相等，四边形ABCD 为菱形； 当a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |且|a |＝|b |时，四边形ABCD 为正方形．14．证明 作直径BD ，连结DA 、DC ，则OB →＝－OD →， DA ⊥AB ，AH ⊥BC ，CH ⊥AB ，CD ⊥BC .∴CH ∥DA ，AH ∥DC ，故四边形AHCD 是平行四边形． ∴AH →＝DC →，又DC →＝OC →－OD →＝OC →＋OB →，∴OH →＝OA →＋AH →＝OA →＋DC →＝OA →＋OB →＋OC →. 故OH →＝OA →＋OB →＋OC →.。
高中数学 第2章 平面向量 2.2.2 向量的减法学案 苏教版必修4
2.2.2 向量的减法1．理解向量减法的意义及减法法则．(重点) 2．掌握向量减法的几何意义．(难点) 3．能熟练地进行向量的加、减运算．(易混点)[基础·初探]教材整理 向量的减法阅读教材P 66～P 67的全部内容，完成下列问题． 1．向量减法的定义若b ＋x ＝a ，则向量x 叫做a 与b 的差，记为a －b ，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．2．向量的减法法则以O 为起点，作向量OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b ，即当向量a ，b 起点相同时，从b 的终点指向a 的终点的向量就是a －b .图2210判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)OP →－OQ →＝PQ →.( )(2)若－b 与a 同向，则a －b 与a 同向．( ) (3)向量的减法不满足结合律．( )(4)AB →＝OB →－OA →.( ) 【解析】 (1)×.OP →－OQ →＝QP →；(2)√.－b 与a 同向，则a －b ＝－b ＋a 与a 同向． (3)×.如(a －b )＋c ＝a ＋(c －b )． (4)√.【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型](1)NQ →－PQ →－NM →－MP →；(2)(AB →－CD →)－(AC →－BD →). 【导学号：06460045】 【精彩点拨】 充分利用向量减法的运算律求解． 【自主解答】 (1)原式＝NQ →＋QP →－(NM →＋MP →) ＝NP →－NP →＝0.(2)(AB →－CD →)－(AC →－BD →) ＝AB →－CD →－AC →＋BD → ＝AB →＋DC →＋CA →＋BD → ＝(AB →＋BD →)＋(DC →＋CA →)＝AD →＋DA →＝0.运用向量减法法则运算的常用方法：可以通过相反向量，把向量减法的运算转化为加法运算.运用向量减法的三角形法则，此时要注意两个向量要有共同的起点. 引入点O ，逆用向量减法的三角形法则，将各向量起点统一.[再练一题]1．化简：AC →－BD →＋CD →－AB →＝________. 【解析】 原式＝(AC →－AB →)＋DB →＋CD →＝BC →＋CB → ＝0. 【答案】 0如图2211所示，已知OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，OD ＝d ，OE ＝e ，OF →＝f ，试用a ，b ，c ，d ，e ，f 表示：图2211(1)AD →－AB →；(2)AB →＋CF →； (3)BF →－BD →.【精彩点拨】 寻找图中已知向量和所表示向量之间的关系，然后利用向量的加(减)法解决．【自主解答】 (1)AD →－AB →＝BD →＝OD →－OB →， ∵OD →＝d ，OB →＝b ， ∴AD →－AB →＝d －b .(2)∵AB →＋CF →＝(OB →－OA →)＋(OF →－OC →)， OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OF →＝f ，∴AB →＋CF →＝b ＋f －a －c . (3)BF →－BD →＝DF →＝OF →－OD →， ∵OF →＝f ，OD →＝d ， ∴BF →－BD →＝f －d .用几个基本向量表示某个些向量的技巧：首先，观察待表示向量的位置；其次，寻找或作相应的平行四边形和三角形； 再次，运用法则找关系； 最后，化简结果.[再练一题]2．如图2212，解答下列各题：图2212(1)用a ，d ，e 表示DB →； (2)用b ，c 表示DB →； (3)用a ，b ，e 表示EC →； (4)用d ，c 表示EC →.【解】 由题意知，AB →＝a ，BC →＝b ，CD →＝c ，DE →＝d ，EA →＝e ，则 (1)DB →＝DE →＋EA →＋AB →＝d ＋e ＋a .(2)DB →＝CB →－CD →＝－BC →－CD →＝－b －c . (3)EC →＝EA →＋AB →＋BC →＝e ＋a ＋b . (4)EC →＝－CE →＝－(CD →＋DE →)＝－c －d .[探究共研型]探究1 若【提示】 ①当a 与b 同向且|a |≥|b |时，在给定的直线l 上作出差向量a －b ；OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b ；②当a 与b 同向且|a |≤|b |时，在给定的直线l 上作出差向量a －b ：OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b ；③若a 与b 反向，在给定的直线l 上作出差向量a －b ：OA →＝a ，OB →＝b ，则B A →＝a －b .探究2 结合探究1的图示及向量的减法法则，探究|a －b |与a ，b 之间的大小关系？ 【提示】 当a 与b 不共线时，有：||a |－|b ||＜|a －b |＜|a |＋|b |； 当a 与b 同向且|a |≥|b |时，有：|a －b |＝|a |－|b |； 当a 与b 同向且|a |≤|b |时，有：|a －b |＝|b |－|a |.已知|a |＝6，|b |＝8，且|a ＋b |＝|a －b |，求|a －b |.【精彩点拨】 |a ＋b |＝|a －b |→判断a 与b 的位置关系→求|a －b |的值．【自主解答】 如图，设AB →＝a ，AD →＝b ，以AB ，AD 为邻边作▱ABCD .则AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b ， 所以|AC →|＝|DB →|.又四边形ABCD 为平行四边形， 所以四边形ABCD 为矩形． 故AD ⊥AB . 在Rt △DAB 中， |AB →|＝6，|AD →|＝8， 由勾股定理得 |DB →|＝|AB →|2＋|AD →|2＝62＋82＝10， 所以|a －b |＝10.1．以平行四边形ABCD 的两邻边AB ，AD 分别表示向量AB →＝a ，AD →＝b ，则两条对角线表示的向量为AC →＝a ＋b ，BD →＝b －a ，DB →＝a －b ，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并记住．2．正确理解向量加(减)法的几何意义，恰当构造几何图形，是求解此类问题的关键．[再练一题]3．已知向量a ，b ，满足|a |＝|b |＝1，|a ＋b |＝3，求|a －b |. 【解】 在▱ABCD 中，使AB →＝a ，AD →＝b ，则AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b ，由于|a |＝|b |＝1，所以ABCD 为菱形，且AC ⊥BD ，交点为O ，∴AO ＝32，AB ＝1，OB ＝AB 2－AO 2＝12，∴BD ＝2BO ＝1，即|a －b |＝1.[构建·体系]1．化简AB →－AC →＋BC →等于________． 【解析】 AB →－AC →＋BC →＝CB →＋BC → ＝0. 【答案】 02．若a ，b 为相反向量，且|a |＝1，|b |＝1，则|a ＋b |＝________，|a －b |＝________. 【解析】 若a ，b 为相反向量，则a ＋b ＝0，∴|a ＋b |＝0. 又a ＝－b ，∴|a |＝|－b |＝1. ∵a 与－b 共线，∴|a －b |＝2. 【答案】 0 23．在平行四边形ABCD 中，下列结论正确的是________.【导学号：06460046】①AB →－DC →＝0； ②AD →－BA →＝AC →； ③AB →－AD →＝BD →；【解析】 ∵ABCD 是平行四边形， ∴AB →＝DC →，∴AB →－DC →＝0，故①正确；又AD →＝BC →，∴AD →－BA →＝BC →－BA →＝AC →， 故②正确；又AB →－AD →＝DB →≠BD →，故③错误．【答案】 ①②4．如图2213，在四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BC →＝c ，则DC →＝________.图2213【解析】 由三角形法则可知 DC →＝AC →－AD → ＝(AB →＋BC →)－AD → ＝a ＋c －b . 【答案】 a ＋c －b5．如图2214所示，▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b .图2214(1)用a ，b 表示AC →，DB →；(2)当a ，b 满足什么条件时，a ＋b 与a －b 所在直线互相垂直？ (3)当a ，b 满足什么条件时，|a ＋b |＝|a －b |? (4)a ＋b 与a －b 有可能为相等向量吗？为什么？ 【解】 (1)AC →＝AD →＋AB →＝b ＋a ，DB →＝AB →－AD →＝a －b . (2)由(1)知，a ＋b ＝AC →，a －b ＝DB →. 若a ＋b 与a －b 所在直线垂直，则AC ⊥BD .又∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴四边形ABCD 为菱形，即应满足|a |＝|b |. (3)假设|a ＋b |＝|a －b |， 即|AC →|＝|BD →|.∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴四边形ABCD 是矩形，∴a⊥b ， ∴当a 与b 垂直时，|a ＋b |＝|a －b |.(4)不可能，∵▱ABCD 的两条对角线不可能平行，∴a ＋b 与a －b 不可能为共线向量，也就是不可能为相等向量．我还有这些不足：(1) (2)我的课下提升方案： (1) (2)学业分层测评(十六) 向量的减法(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．在平行四边形ABCD 中，AC →－AD →的结论正确的是________． ①AB →；②BA →；③CD →；④DC →. 【解析】 ∵AC →－AD →＝DC →， 又ABCD 为平行四边形， ∴DC →＝AB →. ∴①④正确． 【答案】 ①④2．已知两向量a 和b ，如果a 的方向与b 的方向垂直，那么|a ＋b |________|a －b |.(填写“＝”“≤”或“≥”)【解析】 以a ，b 为邻边的平行四边形是矩形，矩形的对角线相等．由加减法的几何意义知 |a ＋b |＝|a －b |.【答案】 ＝3．化简下列向量式，结果为0的个数是________．①RS →－RT →＋ST →；②BD →＋DC →＋AB →－AC →；③AB →－AC →－CB →；④AB →＋BC →－AC →.【导学号：06460047】【解析】 ①RS →－RT →＋ST →＝0. ②BD →＋DC →＋AB →－AC →＝BC →＋CB →＝0. ③AB →－(AC →＋CB →)＝0. ④AB →＋BC →－AC →＝0. 【答案】 44．如图2215所示，在正方形ABCD 中，已知AB →＝a ，BC →＝b ，OD →＝c ，则图中能表示a －b ＋c 的向量是________．图2215【解析】 由已知得a －b ＝AB →－AD →＝DB →，c ＝OD →，∴a －b ＋c ＝DB →＋OD →＝OB →. 【答案】 OB →5．(2016·南通高一检测)如图2216，已知平行四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，若用a ，b 表示向量BC →，则BC →＝________.图2216【解析】 BC →＝OC →－OB →＝AO →－OB →＝－OA →－OB → ＝－a －b . 【答案】 －a －b6．已知|a |＝7，|b |＝2，若a∥b ，则|a －b |＝________.【解析】 ∵a∥b ，当a 与b 同向时，|a －b |＝|7－2|＝5，当a 与b 反向时，|a －b |＝|7＋2|＝9.【答案】 5或97．下列四个式子，不能化简为AD →的序号是________．①(AB →＋CD →)－CB →；②(AD →－BM →)＋(BC →－MC →)；③OC →－OA →＋CD →；④MB →＋AD →－BM →.【解析】 ①原式＝AB →＋(CD →－CB →)＝AB →＋BD →＝AD →；②原式＝AD →＋BC →－(BM →＋MC →)＝AD →＋BC →－BC →＝AD →；③原式＝AC →＋CD →＝AD →；④原式＝MB →＋AD →＋MB →≠AD →，∴只有④不能化为AD →.【答案】 ④8．(2016·南京高一检测)如图2217，D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则下列各式不．正确的是________．图2217①AD →＋BE →＋CF →＝0；②BD →－CE →＋DF →＝0；③AD →＋CE →－CF →＝0；④BD →－BE →－FC →＝0.【解析】 ①AD →＋BE →＋CF →＝DB →＋BE →＋CF →＝－BD →＋BE →＋CF →＝DE →＋CF →＝DE →＋ED →＝0；②BD →－CE →＋DF →＝(BD →＋DF →)－CE →＝BF →－CE →≠0；③AD →＋CE →－CF →＝AD →＋(CE →－CF →)＝AD →＋FE →≠0；④BD →－BE →－FC →＝(BD →－BE →)－FC →＝ED →－FC →＝ED →＋CF →≠0.【答案】 ②③④二、解答题9．如图2218，已知向量a 和向量b ，用三角形法则作a －b ＋a .图2218【解】 作法：作向量OA →＝a ，向量OB →＝b ，则向量BA →＝a －b .如图所示：作向量AC →＝a ，则BC →＝a －b ＋a .10．已知△OAB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，满足|a |＝|b |＝|a －b |＝2，求|a ＋b |与△OAB 的面积．【解】由已知得|OA →|＝|OB →|，以OA →，OB →为邻边作平行四边形OACB ，则可知其为菱形，如图，有OC →＝a ＋b ，BA →＝a －b ，由于|a |＝|b |＝|a －b |，即OA ＝OB ＝BA ，∴△OAB 为正三角形，|a ＋b |＝|OC →|＝2×3＝23，∴S △OAB ＝12×2×3＝ 3. [能力提升]1．如图2219，在平行四边形ABCD 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，试用a ，b ，c 表示OD →，则OD →＝________.图2219【解析】 因为OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，所以BC →＝OC →－OB →＝c －b ，又AD →＝BC →，所以OD →＝OA→＋AD →＝a ＋c －b .【答案】 a ＋c －b2．(2016·山西晋中四校联考)在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.【解析】 如图．∵四边形ABCD 为平行四边形，且E 、F 分别为CD 、BC 的中点，∴AC →＝AD →＋AB →＝(AE →－DE →)＋(AF →－BF →)＝(AE →＋AF →)－12(DC →＋BC →)＝(AE →＋AF →)－12AC →， ∴AC →＝23(AE →＋AF →)，∴λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43. 【答案】 433．边长为1的正三角形ABC 中，|AB →－BC →|的值为________．【解析】 如图所示，|AB →－BC →|＝|AB →＋BC ′→|＝|AC ′→|，又|AB →|＝1，|BC ′→|＝1，∠ABC ′＝120°，∴在△ABC ′中，|AC ′→|＝2|AB →|cos 30°＝ 3.【答案】 34．已知a ，b 是两个非零向量，且|a |＝|b |＝|a －b |.求|a ＋b ||a －b |.【解】 设OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝OA →－OB →＝a －b .∵|a |＝|b |＝|a －b |，∴BA ＝OA ＝OB ，∴△OAB 为正三角形．设其边长为1，则|a －b |＝|BA →|＝1，|a ＋b |＝2×32＝3， ∴|a ＋b ||a －b |＝31＝ 3.。
高中数学 第2章 平面向量 2.2.2 向量的减法成长训练
高中数学 第2章 平面向量 2.2.2 向量的减法成长训练 苏教版必修4夯基达标1.化简（AB -CD ）+（BE -DE ）的结果是（ ） A.0 B.AE C.CA D.AC 解析：AB -CD +BE -DE =AB +BE -（CD +DE ）=EC AE CE AE +=-=AC . 答案：D2.若a 与b 反向，且|a |=|b |=1，则|a +b |等于( )A.0B.1C.2D.2解析：∵a 与b 方向相反，且|a |=|b |.∴a 与b 为相反向量，∴a +b =0.答案：A3.当 |a |=|b |≠0，且a 、b 不共线时，a +b 与a -b 的关系是（ ）A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.相等解析：∵a 与b 不共线且|a |=|b |，设OA =a ，OB =b ，则以OA 、OB 为邻边的平行四边形OACB 中，a +b =OC ，a -b =BA ，又|OA |=|OB |，∴OACB 为菱形，故OC ⊥BA .答案：B4.在△A BC 中，D 、E 、F 分别为AB 、BC 、CA 的中点，则DB AF -等于（ ）A.FDB.FCC.FED.BE解析：AF -DB =AF -AD =DF =BE .答案：D点评：本题应充分利用图中的相等向量.5.某人先“向东走3 km”，位移为a ，接着再“向北走3 km”，位移为b ，则a -b 表示（） A.向东南方向走23km B.向东北方向走23kmC.向东南方向走6 kmD.向东北方向走6 km解析：作出差向量的几何图形，观察a -b 方向为东南，大小为23. 答案：A 6.化简以下各式，结合为零向量的个数是（ ） （1）AB +BC +CA （2）AB -AC +BD -CD （3）OA -OD +AD （4）MP MN QP NQ -++A.1B.2C.3D.4解析：(1) AB +BC +CA =0.(2)AB -AC +BD -CD =(AB -AC )+(BD +DC )=CB +BC =0.(3)OA -OD +AD =DA +AD =0.(4)PN NP MP MN QP NQ +=-++=0.故选D.答案:D7.已知|AB |=6，|AC |=4，则|BC |的取值范围为（ ）A.（2，8）B.［2，8］C.（2，10）D.［2，10］解析：∵BC =AC -AB ，∴2=|AB |-|AC |≤|BC |=|AC -AB |≤|AB |+|AC |=10.答案:D8.如右图，四边形ABCD 中，设AB =a ，AD =b ，BC =c ，则DC 等于（ ）A.a -b +cB.b -(a +c )C.a +b -cD.b -a +c解析：DC =AC -=+BC -=a -b +c .答案：A9.如右图所示，在正方形ABCD 中，已知=a ，=b ，=c ，则表示a -b +c 的是（ ）A.ODB.OBC.OAD.OC解析：a-b+c=AB-BC+OD=AB+OD-BC=AB+BO-BC=AO-BC=OC-BC= OC+CB=OB.答案：B10.已知一点O到平行四边形ABCD的3个顶点A、B、C的向量分别为a、b、c，则向量OD 等于（）A.a+b+cB.a-b+cC.a+b-cD.a-b-c解析：如图，点O到平行四边形的三个顶点A、B、C的向量分别为a，b，c.综合图形有OD=OA+AD=OA+BC=OA+OC-OB=a+c-b.答案：B11.如右图，在正五边形ABCDE中，若AB=a，BC=b，CD=c，DE=d，EA=e，求作向量a-c+b-d-e.解：∵a-c+b-d-e=（a+b）-（c+d+e）=(+)-(++)=-=2,∴连结AC，并延长至F，使CF=AC,则=.∴=2AC即为所求作的向量a-c+b-d-e.走近高考12.(2006上海高考，13)如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（）A.AB=DCB.AD+AB=ACC.AB-AD=BDD.AD+CB=0在平行四边形中，显然有AB=DC，AD=BC，即AD+CB=0.故A、D正确，由向量求和的平行四边形法则得AD+AB=AC，所以B正确. AB-AD=DB，故C不正确.答案:C13.(2004全国高考Ⅱ)已知向量a、b满足|a|=1，|b|=2，|a-b|=2，则|a+b|等于（）A.1B.2C.5D.6解析:设OA=a，OB=b，以OA、OB为邻边作OACB,则a-b=BA.∵|a|=1，|b|=2，|a-b|=2，∴OACB中，OA=1，OB=2，BA=2.由平行四边形的对角线长的平方和等于四边的平方和可得|a+b|=||=6.答案:D14.(2005四川成都二模)若O是△ABC所在平面内一点，且满足|OB-OC|=|OB+OC- OA-OA|，则△ABC的形状是（）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形解析:∵+--=-+-=+，-==-，即以AB、AC为邻边的平行四边形的对角线长相等，则此平行四边形为矩形.∴AB⊥AC.答案:B。
高中数学 第2章 平面向量 2.2 向量的线性运算达标训练 苏教版必修4(2021年整理)
高中数学第2章平面向量2.2 向量的线性运算达标训练苏教版必修4 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第2章平面向量2.2 向量的线性运算达标训练苏教版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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高中数学 第2章 平面向量 2.2 向量的线性运算达标训练 苏教版必修4基础·巩固1.AB 可以写成：①BO AO +;②BO AO -；③OB OA -;④OA OB -.其中正确的是（ ） A 。
①② B.②③ C.③④ D.①④思路解析:向量加法的三角形法首尾顺次连接，而从同一点出发的两个向量的差与连接两个向量的终点且指向被减数的向量对应。
答案：D2.下列命题中，真命题的个数为（ ）①如果a 与b 的方向相同或相反,那么与a 共线的向量的方向必与a 、b 之一的方向相同 ②△ABC 中，必有CA BC AB ++=0 ③若CA BC AB ++=0，则A 、B 、C 为一个三角形的三个顶点 ④若a ，b 均为非零向量，且方向相同，则｜a +b ｜与|a |+｜b |一定相等 A 。
0 B.1 C.2 D 。
3思路解析：①若与a 共线的为0,则它不一定与a 、b 方向相同；②正确;③有可能A 、B 、C 三点共线；④一般来说,｜a +b ｜≤｜a |+｜b |，但当两个向量a ，b 方向相同时，则有｜a +b ｜=｜a |+｜b ｜. 答案：C3.如图2—2-16，已知ABCDEF 是一正六边形,O 是它的中心，其中OA =a ,OB =b ,OC =c ,则EF 等于（ ）图2—2-16A 。
高中数学 第2章 平面向量 2.2.2 向量的减法温故知新 苏教版必修4
2.2.2 向量的减法
温故知新
新知预习
1.已知向量a、b，作=a，=b，则b+=a，向量叫做_____________；记作
_______________，即有=a-b=OA-OB.
2.如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以_________________为起点，_______________为终点的向量.
3.与向量a的方向相反且等长的向量叫a的_____________，记作_______________，从一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的_______________.
4.规定0的相反向量是_____________，且a+（-a）=_______________.
知识回顾
1.在数的运算中，已知两数的和而求其中一个加数的运算叫减法，也就是说减法是加法的逆运算.
2.上节课我们学习了向量求和的三角形法则和平行四边形法则，三角形法则要将各向量首尾顺次相接求和；而平行四边形法则是将两向量平移到共同的起点，以两向量为邻边作平行四边形来求和.
1。
高中数学 第二章 平面向量 2.2 向量的减法教案 苏教版必修4(2021年整理)
江苏省建湖县高中数学第二章平面向量2.2 向量的减法教案苏教版必修4 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（江苏省建湖县高中数学第二章平面向量2.2 向量的减法教案苏教版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2.2 向量的减法教学思想：通过与实数的减法，与向量的加法的类比得到向量的减法的定义及运算法则学习目标:(1）知识与技能：理解向量减法的概念,掌握向量的几何表示，掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律。
（2)过程与方法：在正确掌握向量加法减法运算法则的基础上能结合图形进行向量的计算，将数和形有机结合,并能利用向量运算完成简单的几何证明(3）情感态度与价值观：通过阐述向量的减法运算可以转化为向量加法运算及多个向量的加法运算可以转化成两个向量的加法运算,可以渗透化归的数学思想，使学生理解事物之间相互转化,相互联系的辨证思想，同时由于向量的运算能反映出一些物理规律，从而加强了数学学科与物理学科之间的联系，提高学生的应用意识．教学重点：向量的加减法的运算法则及其应用教学难点：向量减法的概念的理解教学方法：探究、讲练结合教学过程：（一）复习回顾：1，向量加法的运算法则2,向量加法运算规律3，相反向量（二）情景创设：已知两个力的合力是，其中一个力是1F则求另一个力2F（如果同样的情景运算对象是实数而不是向量，我们又是怎样解决的呢？)实数b,x,a，已知b+x=a，则x= ，x叫做求两个实数差的运算叫做尝试：类比数的减法，给出向量减法的定义（三）建构数学:定义：若a x b =+，则向量x 叫做a 与b 的差，记为b a -，求两个向量差的运算，叫做向量的减法 探究一：类比实数中)(b a b a -+=-，请问向量有怎样的结论?你能用学过的知识证明吗？ 探究二:如图，已知两个不共线向量a 与b ，如何根据向量差的定义和向量加法的三角形法则，作出b a -小结： 探究三:如果非零向量a 与b 共线，怎么作出b a -？例1：已知a 与b ，求作b a - a a a a b b b b 例2：平行四边形ABCD 中，a AB =,b AD =，用b a ,表示向量DB AC , 变：已知向量=，=， 120=∠DAB ,3==b a b a b a 例3：（教材67,例2） 探究四：b a b a b a ≤≤, b a b a +b a),(为非零向量的大小关系吗？例4．已知|错误!|＝10，｜错误!|＝7,｜则｜错误!|的取值范围为（四）课堂反馈1．化简+-+2。
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江苏省盱眙县都梁中学高中数学 第2章 平面向量 2.2.2 向量的减
法课堂精练 苏教版必修4
1．给出下列命题：
①若OD OE OM +=，则OM OE OD -=；
②若OD OE OM +=，则OM DO OE +=；
③若OD OE OM +=，则OD EO OM -=；
④若OD OE OM +=，则DO EO MO +=.
其中所有正确命题的序号为__________．
2．若向量a 与b 共线，|a |＝|b |＝1，则|a －b |＝__________.
3．下列命题中，正确的个数是__________．
①在平行四边形中，BA AD BD AB CD +-=+；
②+=⇔=0a b a b ；
③a －b ＝b －a ；
④AB CB CD AD -+-的模为0.
4．向量a ，b 皆为非零向量，
下列说法不正确的序号是__________．
①向量a 与b 反向，且|a |>|b |，则向量a ＋b 与a 的方向相同
②向量a 与b 反向，且|a |<|b |，则向量a ＋b 与a 的方向相同
③向量a 与b 反向，则向量a －b 与a 的方向相同
④向量a 与b 同向，则向量a ＋b 与b 的方向相同．
5．(1)已知O 是四边形ABCD 所在平面内的一点，且满足OA OC OB OD +=+，则四边形ABCD 的形状是__________．
(2)若|a ＋b |＝|a －b |，则以a ，b 为邻边的平行四边形的形状必定是__________．
6.如图，已知AB =a ，AC =b ，12AB =，5AC =，∠BAC ＝90°，则|a －b |＝__________，tan∠ACB ＝__________.
7.如图，已知O为平行四边形ABCD内一点，OA=a，OB=b，OC=c，求OD.
8．如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.
9.已知a，b，c为不共线的三个向量，求证：|a－b|≤|a－c|＋|c－b|.
参考答案
1. 答案：①②③④
2. 答案：0或2
解析：若a 与b 同向，则|a －b |＝|a |－|b |＝0.
若a 与b 反向，则|a －b |＝|a |＋|b |＝2.
3. 答案：3
解析：由向量的加法与减法法则知①④正确．
由(+=⇔+-=⇔-+=⇔=0)00a b a a b a a a b b 知，②正确．由a －b ＝a ＋(－b )＝－(b －a )知，③是不正确的．
4. 答案：②
解析：∵a 与b 反向且|a |<|b |，
∴a ＋b 与b 方向相同，与a 方向相反．∴②不正确．
5. 答案：(1)平行四边形 (2)矩形
解析：(1)∵OA OC OB OD +=+，∴OA OB OD OC -=-.
∴BA CD =，∴BA 綊CD .∴四边形ABCD 为平行四边形．
(2)设AB =a ，AD =b ，如图，
则AC AD AB =+=+a b ，
DB AB AD =-=-a b ，
∵|a ＋b |＝|a －b |，
∴AC DB =∴
． 6. 答案：13 125
解析：∵CB -=a b ，
∴13CB -====a b a ，12tan 5
ACB ∠==a b . 7. 解：∵ABCD 为平行四边形，
∴AD BC OC OB ==-=-c b .
∴OD OA AD =+=+-a c b .
8. 解：如图(1)所示，在平面内任取一点O ，作OA =a ，AB =b ，则OB =+a b ，再作OC =c ，则CB =+-a b c .
如图(2)所示，在平面内任取一点O ，作OA =a ，AB =b ，则OB OA AB =+=+a b ，再作CB =c .
∵CB OB OC =-，
∴OC OB CB =-=+-a b c 9. 证明：在平面内任取一点O ，作向量OA =a ，OB =b ，OC =c ，
则向量BA =-a b ，CB =-b c ，AC =-c a ，
(1)当A ，B ，C 不共线时，根据三角形两边之和大于第三边，有|a －b |<|a －c |＋|c －b |；
(2)当A ，B ，C 共线时，若C 在线段AB 上时，有|a －b |＝|a －c |＋|c －b |，若C 不在线段AB 上时，有|a －b |<|a －c |＋|c －b |.
综上所述，总有|a－b|≤|a－c|＋|c－b|.。