2020年北师大版八年级数学上册勾股定理单元测试卷一学生版

合集下载

2020年北师大版八年级数学上学期第一章勾股定理单元训练卷 (含答案)

第一章勾股定理一．选择题（共10小题）1．以下列各组数据为边长作三角形，能组成直角三角形的是（）A．3，5，3 B．5，12，13 C．7，24，26 D．8，15，162．下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．∠C＝∠A﹣∠BC．a：b：c＝3：4：5 D．a2＝b2﹣c23．满足下列条件的三角形中，是直角三角形的是（）A．三边长的平方之比为3：4：5B．三内角之比为3：4：5C．三边长之比为5：12：13D．三内角之比为5：12：134．若直角三角形的两边长分别为a，b，且满足a2﹣6a+9+|b﹣4|＝0，则该直角三角形的第三边长的平方为（）A．25 B．7 C．25或7 D．25或165．如图，一只蚂蚁从长为2cm、宽为2cm，高是3cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是（）cm．A．3 B．2 C．5 D．76．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在AB上，AD＝AC，AF⊥CD 交CD于点E，交CB于点F，则CF的长是（）A．1.5 B．1.8 C．2 D．2.57．正方形ABCD的边长为1，其面积记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为S2，…按此规律继续下去，则S2019的值为（）A．B．C．D．8．我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A．B．C．D．9．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断后离地面的高度为x尺，则可列方程为（）A．x2﹣3＝（10﹣x）2B．x2﹣32＝（10﹣x）2C．x2+3＝（10﹣x）2D．x2+32＝（10﹣x）210．如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，EF＝2，那么AH等于（）A．2 B．4 C．6 D．8二．填空题（共10小题）11．已知直角三角形三边长分别为3，4，m，则m＝．12．△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12．则△ABC的面积为．13．观察下列一组数：列举：3、4、5，猜想：32＝4+5；列举：5、12、13，猜想：52＝12+13；列举：7、24、25，猜想：72＝24+25；…列举：13、b、c，猜想：132＝b+c；请你分析上述数据的规律，结合相关知识求得b＝，c＝．14．在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为．15．已知：如图，四边形ABDC，AB＝4，AC＝3，CD＝12，BD＝13，∠BAC＝90°．则四边形ABDC的面积是．16．如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在Rt△ABC中，AC＝b，BC＝a，∠ACB＝90°，若图中大正方形的面积为42，小正方形的面积为5，则（a+b）2的值为．17．如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m 处，旗杆折断之前的高度是．18．一个直角三角形的两条直角边长为6和8，则它的斜边上的高是．19．如图，一只蚂蚁从长为7cm、宽为5cm，高是9cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所走的最短路线的长是cm．20．“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为尺．三．解答题（共4小题）21．如图，C地到A，B两地分别有笔直的道路CA，CB相连，A地与B地之间有一条河流通过，A，B，C三地的距离如图所示．（1）如果A地在C地的正东方向，那么B地在C地的什么方向？（2）现计划把河水从河道AB段的点D引到C地，求C，D两点间的最短距离．22．某地区为了开发农业，决定在公路上相距25km的A、B两站之间E点修建一个土特产加工基地，使E点到C、D两村的距离相等，如图，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，DA ＝15km，CB＝10km，求土特产加工基地E应建在距离A站多少km的地方？23．如图，一个放置在地面上的长方体，长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B与点C 的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？24．学校要对如图所示的一块地ABCD进行绿化，已知AD＝4米，CD＝3米，AD⊥DC，AB＝13米，BC＝12米．（1）若连接AC，试证明：△ABC是直角三角形；（2）求这块地的面积．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．以下列各组数据为边长作三角形，能组成直角三角形的是（）A．3，5，3 B．5，12，13 C．7，24，26 D．8，15，16 【分析】找出每个选项中的两个较小的数，求他们的平方和，再求这组数据中最大数的平方，比较两个数是否相等，若相等，就能构成直角三角形，不相等就不能构成直角三角形．【解答】解：A、32+32≠52，不能构成直角三角形；B、52+122＝132，能构成直角三角形；C、72+242≠262，不能构成直角三角形；D、82+152≠162，不能构成直角三角形；故选：B．2．下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．∠C＝∠A﹣∠BC．a：b：c＝3：4：5 D．a2＝b2﹣c2【分析】根据三角形内角和定理判断A、B；根据勾股定理的逆定理判断C、D．【解答】解：A、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，∴△ABC不是直角三角形，故本选项符合题意；B、∵∠C＝∠A﹣∠B，∴∠A＝∠B+∠C，∴∠A＝90°，∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；C、设a＝3k，则b＝4k，c＝5k，∵（3k）2+（4k）2＝（5k）2，∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；D、∵a2＝b2﹣c2，∴a2+c2＝b2，∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；故选：A．3．满足下列条件的三角形中，是直角三角形的是（）A．三边长的平方之比为3：4：5B．三内角之比为3：4：5C．三边长之比为5：12：13D．三内角之比为5：12：13【分析】根据三角形内角和定理和勾股定理的逆定理判定是否为直角三角形．【解答】解：A、三边不符合勾股定理的逆定理，所以此三角形不是直角三角形；B、根据三角形内角和公式，求得各角分别为45°，60°，75°，所以此三角形不是直角三角形；C、52+122＝132，符合勾股定理的逆定理，所以此三角形是直角三角形；D、根据三角形内角和公式，求得各角分别为30°，72°，78°，所以此三角形不是直角三角形．故选：C．4．若直角三角形的两边长分别为a，b，且满足a2﹣6a+9+|b﹣4|＝0，则该直角三角形的第三边长的平方为（）A．25 B．7 C．25或7 D．25或16【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：∵a2﹣6a+9+|b﹣4|＝0，﹣4|＝0，∴（a﹣3）2，b﹣4＝0，∴a＝3，b＝4，∴直角三角形的第三边长＝＝5，或直角三角形的第三边长＝＝，∴直角三角形的第三平方为25或7，故选：C．5．如图，一只蚂蚁从长为2cm、宽为2cm，高是3cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是（）cm．A．3 B．2 C．5 D．7【分析】先将图形展开，再根据两点之间线段最短，再由勾股定理求解即可．【解答】解：如图（1），AB＝＝；如图（2），AB＝＝5．故选：C．6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在AB上，AD＝AC，AF⊥CD 交CD于点E，交CB于点F，则CF的长是（）A．1.5 B．1.8 C．2 D．2.5【分析】连接DF，由勾股定理求出AB＝5，由等腰三角形的性质得出CE＝DE，由线段垂直平分线的性质得出CF＝DF，由SSS证明△ADF≌△ACF，得出∠ADF＝∠ACF＝∠BDF＝90°，设CF＝DF＝x，则BF＝4﹣x，在Rt△BDF中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：连接DF，如图所示：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5，∵AD＝AC＝3，AF⊥CD，∴CE＝DE，BD＝AB﹣AD＝2，∴CF＝DF，在△ADF和△ACF中，，∴△ADF≌△ACF（SSS），∴∠ADF＝∠ACF＝90°，∴∠BDF＝90°，设CF＝DF＝x，则BF＝4﹣x，在Rt△BDF中，由勾股定理得：DF2+BD2＝BF2，即x2+22＝（4﹣x）2，解得：x＝1.5；∴CF＝1.5；故选：A．7．正方形ABCD的边长为1，其面积记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为S2，…按此规律继续下去，则S2019的值为（）A．B．C．D．【分析】根据等腰直角三角形的性质可得出S2+S2＝S1，写出部分S n的值，根据数的变化找出变化规律S n＝（）n﹣1，依此规律即可得出结论．【解答】解：在图中标上字母E，如图所示．∵正方形ABCD的边长为1，△CDE为等腰直角三角形，∴DE2+CE2＝CD2，DE＝CE，∴S2+S2＝S1．观察，发现规律：S1＝12＝1，S2＝S1＝，S3＝S2＝，S4＝S3＝，…，∴S n＝（）n﹣1．当n＝2019时，S2019＝（）2019﹣1＝（）2018，故选：B．8．我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A．B．C．D．【分析】先表示出图形中各个部分的面积，再判断即可．【解答】解：A、∵+c2+ab＝（a+b）（a+b），∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；B、∵4×+c2＝（a+b）2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；C、∵4×+（b﹣a）2＝c2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；D、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；故选：D．9．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断后离地面的高度为x尺，则可列方程为（）A．x2﹣3＝（10﹣x）2B．x2﹣32＝（10﹣x）2C．x2+3＝（10﹣x）2D．x2+32＝（10﹣x）2【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，利用勾股定理解题即可．【解答】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，根据勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2．故选：D．10．如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，EF＝2，那么AH等于（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】根据面积的差得出a+b的值，再利用a﹣b＝2，解得a，b的值代入即可．【解答】解：∵AB＝10，EF＝2，∴大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，∴四个直角三角形面积和为100﹣4＝96，设AE为a，DE为b，即4×ab＝96，∴2ab＝96，a2+b2＝100，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝100+96＝196，∴a+b＝14，∵a﹣b＝2，解得：a＝8，b＝6，∴AE＝8，DE＝6，∴AH＝8﹣2＝6．故选：C．二．填空题（共10小题）11．已知直角三角形三边长分别为3，4，m，则m＝5或．【分析】由于不知道m为斜边还是直角边，故应分两种情况进行讨论．【解答】解：当m为斜边时：32+42＝m2，解得：m1＝5，m2＝﹣5（不符合题意）；当m为直角边时：32+m2＝42，解得：m1＝，m2＝﹣（不符合题意）．故第三边长m为5或．故答案是：5或．12．△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12．则△ABC的面积为24或84 ．【分析】分两种情况：三角形ABC为锐角三角形；三角形ABC为钝角三角形，根据AD 垂直于BC，利用垂直的定义得到三角形ABD与三角形ADC为直角三角形，利用勾股定理分别求出BD与DC，由BD+DC＝BC或BD﹣DC＝BC求出BC，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．【解答】解：分两种情况考虑：①当△ABC为锐角三角形时，如图1所示，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ABD中，AB＝15，AD＝12，根据勾股定理得：BD＝＝9，在Rt△ADC中，AC＝13，AD＝12，根据勾股定理得：DC＝＝5，∴BC＝BD+DC＝9+5＝14，则S△ABC＝BC•AD＝84；②当△ABC为钝角三角形时，如图2所示，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，在Rt△ABD中，AB＝15，AD＝12，根据勾股定理得：BD＝＝9，在Rt△ADC中，AC＝13，AD＝12，根据勾股定理得：DC＝＝5，∴BC＝BD﹣DC＝9﹣5＝4，则S△ABC＝BC•AD＝24．综上，△ABC的面积为24或84．故答案为：24或84．13．观察下列一组数：列举：3、4、5，猜想：32＝4+5；列举：5、12、13，猜想：52＝12+13；列举：7、24、25，猜想：72＝24+25；…列举：13、b、c，猜想：132＝b+c；请你分析上述数据的规律，结合相关知识求得b＝84 ，c＝85 ．【分析】认真观察三个数之间的关系：首先发现每一组的三个数为勾股数，第一个数为从3开始连续的奇数，第二、三个数为连续的自然数；进一步发现第一个数的平方是第二、三个数的和；最后得出第n组数为（2n+1），（），（），由此规律解决问题．【解答】解：在32＝4+5中，4＝，5＝；在52＝12+13中，12＝，13＝；…则在13、b、c中，b＝＝84，c＝＝85．14．在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为42或32 ．【分析】本题应分两种情况进行讨论：（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD 的长求出，两者相加即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出；（2）当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD 的长求出，两者相减即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出．【解答】解：此题应分两种情况说明：（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD中，BD＝＝＝9，在Rt△ACD中，CD＝＝＝5∴BC＝5+9＝14∴△ABC的周长为：15+13+14＝42；（2）当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD中，BD＝＝＝9，在Rt△ACD中，CD＝＝＝5，∴BC＝9﹣5＝4．∴△ABC的周长为：15+13+4＝32故答案是：42或32．15．已知：如图，四边形ABDC，AB＝4，AC＝3，CD＝12，BD＝13，∠BAC＝90°．则四边形ABDC的面积是36 ．【分析】连接BC，根据勾股定理可求得BC的长．根据勾股定理的逆定理可得到△BCD 也是直角三角形，从而求得△ABC与△BCD的面积和即得到了四边形ABDC的面积．【解答】解：连接BC，∵∠A＝90°，AB＝4，AC＝3∴BC＝5，∵BC＝5，BD＝13，CD＝12∴BC2+CD2＝BD2∴△BCD是直角三角形∴S四边形ABCD＝S△BCD+S△ABC＝×4×3+×5×12＝36，故答案为：3616．如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在Rt△ABC中，AC＝b，BC＝a，∠ACB＝90°，若图中大正方形的面积为42，小正方形的面积为5，则（a+b）2的值为79 ．【分析】根据图形表示出小正方形的边长为（b﹣a），再根据四个直角三角形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积求出2ab，然后利用完全平方公式整理即可得解．【解答】解：由图可知，（b﹣a）2＝5，4×ab＝42﹣5＝37，∴2ab＝37，（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab＝5+2×37＝79．故答案为79．17．如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m 处，旗杆折断之前的高度是18m．【分析】根据勾股定理两个直角边的平方和等于斜边的平方．此题要求斜边和直角边的长度，解直角三角形即可．【解答】解：旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为12m，旗杆离地面5m折断，且旗杆与地面是垂直的，所以折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形．根据勾股定理，折断的旗杆为＝13m，所以旗杆折断之前高度为13m+5m＝18m．故答案为18m．18．一个直角三角形的两条直角边长为6和8，则它的斜边上的高是 4.8 ．【分析】首先根据题意求出斜边的长，再根据三角形的面积公式即可求出斜边上的高．【解答】解：∵直角三角形的两直角边长为6和8，斜边长为：＝10，三角形的面积＝×6×8＝24，设斜边上的高为x，则x•10＝24，解得x＝4.8．故答案为：4.8．19．如图，一只蚂蚁从长为7cm、宽为5cm，高是9cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所走的最短路线的长是15 cm．【分析】根据题意，可以画出长方体的展开图，根据两点之间线段最短和勾股定理，可以解答本题．【解答】解：如右图所示，点A到B的最短路径是：cm，故答案为：15．20．“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为57.5 尺．【分析】根据题意可知△ABF∽△ADE，根据相似三角形的性质可求AD，进一步得到井深．【解答】解：如图，依题意有△ABF∽△ADE，∴AB：AD＝BF：DE，即5：AD＝0.4：5，解得AD＝62.5，∴BD＝AD﹣AB＝62.5﹣5＝57.5（尺）．故答案为57.5．三．解答题（共4小题）21．如图，C地到A，B两地分别有笔直的道路CA，CB相连，A地与B地之间有一条河流通过，A，B，C三地的距离如图所示．（1）如果A地在C地的正东方向，那么B地在C地的什么方向？（2）现计划把河水从河道AB段的点D引到C地，求C，D两点间的最短距离．【分析】（1）根据勾股定理得到逆定理得到△ABC是直角三角形，于是得到B地在C地的正北方向；（2）作CD⊥AB于D，则CD的长是C，D两地的最短距离，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．【解答】解：（1）∵BC2+AC2＝62+82＝102＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∴B地在C地的正北方向；（2）作CD⊥AB于D，则CD的长是C，D两地的最短距离，∵△ABC是直角三角形，∴S△ABC＝AB•CD＝AC•BC，∴C，D两点间的最短距离＝＝＝4.8km，答：C，D两点间的最短距离是4.8km．22．某地区为了开发农业，决定在公路上相距25km的A、B两站之间E点修建一个土特产加工基地，使E点到C、D两村的距离相等，如图，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，DA ＝15km，CB＝10km，求土特产加工基地E应建在距离A站多少km的地方？【分析】设AE＝x千米，则BE＝（25﹣x）千米，再根据勾股定理得出DA2+AE2＝BE2+BC2，进而可得出结论．【解答】解：设AE＝x千米，则BE＝（25﹣x）千米，在Rt△DAE中，DA2+AE2＝DE2，在Rt△EBC中，BE2+BC2＝CE2，∵CE＝DE，∴DA2+AE2＝BE2+BC2，∴152+x2＝102+（25﹣x）2，解得，x＝10千米．答：基地应建在离A站10千米的地方．23．如图，一个放置在地面上的长方体，长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B与点C 的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？【分析】画出长方体的侧面展开图，根据勾股定理求出AB的长即可．【解答】解：如图所示，根据勾股定理得，AB＝＝25cm．答：需要爬行的最短距离是25cm．24．学校要对如图所示的一块地ABCD进行绿化，已知AD＝4米，CD＝3米，AD⊥DC，AB＝13米，BC＝12米．（1）若连接AC，试证明：△ABC是直角三角形；（2）求这块地的面积．【分析】（1）连接AC ，先利用勾股定理求出AC ，再根据勾股定理的逆定理判定△ABC 是直角三角形，（2）根据△ABC 的面积减去△ACD 的面积就是所求的面积．【解答】解：（1）∵AD ＝4，CD ＝3，AD ⊥DC由勾股定理可得：AC ＝＝＝5，又∵AC 2+BC 2＝52+122＝132＝AB 2 ，∴△ABC 是直角三角形；﹣（2）△ABC 的面积﹣△ACD 的面积＝×5×12﹣×3×4═24（m 2）所以这块地的面积是24平方米．1、老吾老以及人之老，幼吾幼以及人之幼。

新北师大版八年级上册数学《勾股定理》单元测试卷

新北师大版八年级上册数学《勾股定理》单元测试卷八年级上册第一章《勾股定理》单元检测题一、选择题1、下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是(。

)A。

1.5.2.3.B。

7.24.25.C。

6.8.10.D。

9.12.15.2、直角三角形的两直角边分别为5厘米、12厘米，则斜边上的高是（）A、6厘米B、8厘米C、10厘米D、13厘米3、若等腰三角形腰长为10cm，底边长为16 cm,那么它的面积为（）A。

48 cm²B。

36 cm²C。

24 cm²D.12 cm²4、如图，一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为（）A．10米B．15米C．25米D．30米5、如图中字母A所代表的正方形的面积为（）A。

4B。

8C。

16D。

646、若一个直角三角形的一条直角边长是7cm，另一条直角边比斜边短1cm，则斜边长为（）A.18 cm。

B.20 cm。

C.24 cm。

D.25 cm7、一部电视机屏幕的长为58厘米,宽为46厘米,则这部电视机大小规格（实际测量误差忽略不计）（）A.34英寸（87厘米）B.29英寸（74厘米）C.25英寸（64厘米）D.21英寸（54厘米）8、已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）A、25海里B、30海里C、35海里D、40海里二、填空题9、在△ABC中，∠C＝90°，若a＝5，b＝12，则c＝13．10、在△ABC中，∠C＝90°，若c＝10，a＝6，则∠C=60°．11、已知一个三角形的三边长分别是12cm，16cm，20cm，则这个三角形的面积为96cm².12、如图，带阴影的正方形面积是32cm².13、如图，从电线杆离地面3米处向地面拉一条长为5米的拉线，这条拉线在地面的固定点距离电线杆底部有4米。

新版北师大版2020年八年级数学上册第一章勾股定理检测题

第一章检测题(时间：120分钟满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．将直角三角形的三边长同时扩大2倍，得到的三角形是( C )A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．等腰三角形2．在△ABC中，∠C＝90°，c2＝2b2，则两直角边a，b的关系是( C )A．a<b B．a>bC．a＝b D．以上三种情况都有可能3．在△ABC中，若a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1，则△ABC是( D )A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形4．如果梯子的底端离建筑物5米，那么13米长的梯子可以达到建筑物的高度是( A ) A．12米 B．13米 C．14米 D．15米5．如图，字母B所代表的正方形的面积是( C )A．12 B．13 C．144 D．194错误!,第6题图) ,第7题图),第8题图)6．如图，在一块长BC＝4 m，宽AB＝3 m的长方形草坪上，顶点A，B，C，D处各居住着一只蚂蚁，居住在顶点A处的蚂蚁准备拜访居住在B点，D点两处的蚂蚁，当它拜访结束时，它的行程最少为( B )A．7 m B．8 m C．9 m D．10 m7．如图，在Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使点A与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为( C )A.53B.52C．4 D．58．如图，在由单位正方形组成的网格图中标有AB，CD，EF，GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是( B )A．CD，EF，GH B．AB，EF，GH C．AB，CD，GH D．AB，CD，EF9．若△ABC的三边长a，b，c满足(a－b)2＋|a2＋b2－c2|＝0，则△ABC是( C )A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形10．在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长是( C )A．42 B．32 C．42或32 D．37或33二、填空题(每小题3分，共18分)11．(2017·通州区期中)若8，a，17是一组勾股数，则a＝__15__．12．若直角三角形的两直角边长为a ，b ，且满足a 2－6a ＋9＋|b －4|＝0，则该直角三角形的斜边长为__5__．13．一个三角形的三边长分别是12 cm ，16 cm ，20 cm ，则这个三角形的面积是__96__cm 2. 14．如图，一块砖的宽AN ＝5 cm ，长ND ＝10 cm ，CD 上的点B 距地面的高BD ＝8 cm .地面上A 处的一只蚂蚁要到B 处吃食，需要爬行的最短路径是__17__cm.,第14题图) ,第15题图),第16题图)15．如图，有两条互相垂直的街道a 和b ，a 路上有一小商店A ，b 路上有一批发部B.小商店主人每次进货都沿着A —O —B 路线到达B 处，然后原路返回．已知A ，B 两处距十字路口O 的距离分别为600米、800米，如果小商店主人重新选一条最近的路线，那么往返一趟最多可比原来少走__800__米．16．如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1，S 2，S 3，S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝__4__．三、解答题(共72分)17．(6分)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝13，BC ＝10，求△ABC 的面积．解：作AH⊥BC 于H.∵AB ＝AC ，∴BH ＝CH ＝5，∴AH ＝12，∴S △ABC ＝12BC·AH ＝6018．(6分)如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝∠D＝90°，AB ＝CD ＝24 cm ，AD ＝BC ＝50 cm ，点E 是AD 上一点，且AE∶ED＝9∶16，试猜想∠BEC 是锐角、钝角还是直角？并证明你的猜想．解：∠BEC 是直角．理由如下：∵AD ＝50，AE ∶ED ＝9∶16，∴AE ＝18，DE ＝32，∴BE 2＝AB 2＋AE 2＝900，CE 2＝DE 2＋DC 2＝1600，BE 2＋DE 2＝2500＝BC 2，∴∠BEC 是直角19．(7分)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1.(1)正方形①的面积S 1＝__9__cm 2，正方形②的面积S 2＝__16__cm 2，正方形③的面积S 3＝__25__cm 2；(2)S 1，S 2，S 3之间存在什么关系？(3)猜想：如果Rt △ABC 的三边BC ，AC ，AB 的长分别为a ，b ，c ，那么它们之间存在什么关系？解：(2)S 1＋S 2＝S 3 (3)a 2＋b 2＝c 220．(8分)如图所示的一块地，已知AD ＝4 m ，CD ＝3 m ，AD ⊥DC ，AB ＝13 m ，BC ＝12 m ，求这块地的面积．解：连接AC ，在Rt △ACD 中，AC 2＝32＋42＝52.因为AC 2＋BC 2＝52＋122＝132＝AB 2，所以△ABC 为直角三角形，所以这块地的面积为12×5×12－12×3×4＝24(m 2)21．(8分)学校要征收一块土地，形状如图所示，∠B ＝∠D＝90°，AB ＝20米，BC ＝15米，CD ＝7米，土地价格为1000元/平方米，请你计算学校征收这块地需要多少钱？解：连接AC.在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝20，BC ＝15，由勾股定理得AC 2＝AB 2＋BC 2＝202＋152＝625.在△ADC 中，∠D ＝90°，CD ＝7，由勾股定理得AD 2＝AC 2－CD 2＝625－72＝576，∴AD ＝24.∴四边形的面积为12AB·BC ＋12CD·AD ＝234(平方米).234×1000＝234000(元)．答：学校征收这块地需要234000元22．(8分)如果△ABC的三边分别为a，b，c，且满足a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c，判断△ABC的形状．解：由a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c可得(a－3)2＋(b－4)2＋(c－5)2＝0，∴a＝3，b ＝4，c＝5.∵32＋42＝52，∴a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形，且c为斜边23．(9分)如图，在△ABC中，AD，AE分别是BC边上的高和中线，AB＝9 cm，AC＝7 cm，BC＝8 cm，求DE的长．解：设DE＝x cm，则BD＝(4＋x)cm，CD＝(4－x)cm，由勾股定理得92－(4＋x)2＝72－(4－x)2，解得x＝2，∴DE＝2 cm24．(10分)如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时的速度沿北偏东40°的方向航行，乙船沿南偏东50°的方向航行，3小时后，甲船到达C岛，乙船到达B 岛，若C，B两岛相距60海里，问乙船的航速是多少？解：由题意得∠CAB＝90°，AC＝48，BC＝60，由勾股定理得AB2＋AC2＝BC2，即AB2＋482＝602，∴AB＝36，36÷3＝12(海里/时)，即乙船的航速是12海里/时25．(10分)如图，等腰△ABC 的底边长为8 cm ，腰长为5 cm ，一动点P 在底边上从B 向C 以0.25 cm /s 的速度移动，请你探究：当P 运动几秒时，P 点与顶点A 的连线PA 与腰垂直．解：共两种情况．情况一：P 点与顶点A 的连线PA 与腰AC 垂直，如图①，作AD⊥BC ，垂足为点D.显然BD ＝DC ＝12BC ＝4 cm ，在Rt △ADC 中，AC ＝5 cm.由勾股定理可得AD ＝3 cm.在Rt △ADP 中，AP 2＝PD 2＋AD 2，设BP ＝x ，则PD ＝(4－x )cm.代入AP 2＝PD 2＋AD 2，得AP 2＝(4－x )2＋32①，要使△ACP 为直角三角形，必须满足PC 2＝AP 2＋AC 2，所以AP 2＝PC 2－AC 2＝(8－x )2－52②.由①②得(4－x )2＋32＝(8－x )2－52，解得x ＝74，74÷0.25＝7(s )；情况二：P 点与顶点A的连线AP 与腰AB 垂直，如图②，作AD⊥BC ，垂足为点D.显然BD ＝DC ＝12BC ＝4 cm.在Rt △ADB 中，AB ＝5 cm ，由勾股定理可得AD ＝3 cm.在Rt △ADP 中，AP 2＝PD 2＋AD 2，设BP ＝x ，则PD ＝(x －4) cm ，得AP ＝(x－4)2＋32①，要使△ABP 为直角三角形，必须满足PB 2＝AP 2＋AB 2，所以AP 2＝PB 2－AB 2＝x 2－52②.由①②得(x －4)2＋32＝x 2－52.解得x ＝254，254÷0.25＝25(s )．综上可得，点P 运动7 s 或25 s 时，P 点与顶点A 的连线PA 与腰垂直1、在最软入的时候，你会想起谁。

北师大版2020八年级数学上册第一章勾股定理自主学习单元综合能力达标测试题1(附答案详解)

北师大版2020八年级数学上册第一章勾股定理自主学习单元综合能力达标测试题1（附答案详解）1．在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，则AB等于（）A．2cm B．8cm C．10cm D．100cm2．等腰三角形底长为24，底边上的高为5，则这个三角形的周长为( )A．37 B．60 C．34 D．533．古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角，这样做的道理是（）A．直角三角形两个锐角互补B．三角形内角和等于180°C．如果三角形两条边长的平方和等于第三边长的平方D．如果三角形两条边长的平方和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形4．如图，等腰三角形ABC底边上的高AD为4 cm，周长为16 cm，则△ABC的面积是（）A．14 cm2B．13 cm2C．12 cm2D．8 cm25．如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面3尺．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为6尺，则水是（）尺．A．3.5 B．4 C．4.5 D．56．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段B′F的长为（）A．35B．45C．23D．327．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8 m处，发现此时绳子末端距离地面2 m，则旗杆的高度(滑轮上方的部分忽略不计)为( )A．12 m B．13 m C．16 m D．17 m8．如图，数轴上点A，B表示的数分别是1，2，过点B作PQ⊥AB，以点B为圆心，AB 长为半径画弧，交PQ于点C，以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M表示的数是( )A．3B．5C．6D．79．以下各组数为边长，不能组成直角三角形的是（）．A．1.5，2，2.5 B．40，50，60 C．7，25，24 D．54，1，3410．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了右图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2018次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（）A．2017 B．2018 C．2019 D．111．在ABC ∆中，90,ACB CD ∠=︒是高，若,,BC a AC b ==,,AB c CD h ==,AD k BD p ==，且3,4a b ==，则____,____,____,____c p k h ====．12．如图，一架云梯长10米，斜靠在一面墙上，梯子顶端离地面6米，要使梯子顶端离地面8米，则梯子的底部在水平面方向要向左滑动______米．13．已知，如图，△OBC 中是直角三角形，OB 与x 轴正半轴重合，∠OBC=90°，且OB=1，BC=3，将△OBC 绕原点O 逆时针旋转60°再将其各边扩大为原来的2倍，使OB 1=OC ，得到△OB 1C 1，将△OB 1C 1绕原点O 逆时针旋转60°再将其各边扩大为原来的2倍，使OB 2=OC 1，得到△OB 2C 2，…，如此继续下去，得到△OB 2015C 2015，则点C 2015的坐标是_____．14．如图ABC 与ADE 都是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，DE 交AC 于点F ，若5AB =，32=AD ，当CEF △是直角三角形时，则BD 的长为__________．15．如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，DE BC ⊥，垂足为点E ，连接AC 交DE 于点F ，点G 为AF 的中点，2ACD ACB ∠=∠．若4DG =，1EC =，则DE 的长为__________．16．如图，在ABC 中，AB 32=，BC 1=，ABC 45∠=，以AB 为边作等腰直角ABD ，使ABD 90∠=，连接CD ，则线段CD 的长为________．17．如图，△OPQ 是边长为2的等边三角形，若正比例函数的图象过点P ，则它的表达式是y ＝_____18．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的ABC △是__________三角形．19．三角形中两条较短的边为a ＋b ，a-b(a>b),则当第三条边为_______时，此三角形为直角三角形．20．如图，在直角三角形纸片ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝2，BC ＝4，点D 在边AB 上，以CD 为折痕将△CBD 折叠得到△CPD ，CP 与边AB 交于点E ，若△DEP 为直角三角形，则BD 的长是_____21．如图，在等边△ABC 中，D 为BC 上一点，∠BAD =3∠CAD, BC=2．（1）求△ABC 的面积；（2）求CD 的值．22．（1）在右面的方格纸中，以线段AB为一边，画一个正方形；（2）如果图中小方格的面积为1平方厘米，你知道（1）中画出的正方形的面积是多大吗？解释你的计算方法.23．如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成.△ABC中，A点坐标为（2，3）、B （-2，0）、C（0，-1）.（1）AB的长为_____，∠ACB的度数为______；（2）若以A、B、C及点D为顶点的四边形为平行四边形，请写出D点的坐标___________，并在图中画出平行四边形.24．如图是一个三级台阶,它的每一级的长、宽和高分别等于5 cm,3 cm和1 cm,A和B是这个台阶的两个相对的端点,A点上有一只蚂蚁,想到B点去吃可口的食物.请你想一想,这只蚂蚁从A点出发,沿着台阶面爬到B点,最短线路是多少?25．小明剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作：操作一：如图1，将Rt△ABC沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合，折痕为DE．（1）如果AC＝6cm，BC＝8cm，则△ACD的周长为cm；（2）如果∠B0，则∠CAD= 度；35操作二：如图2，小明拿出另一张Rt△ABC纸片，将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，若AC＝9cm，BC＝12cm，请求出CD的长．26．如图1所示，等边△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，根据等腰三角形的“三线合一”特性，AD 平分∠BAC ，且AD ⊥BC ，则有∠BAD=30°，BD=CD=12AB ．于是可得出结论“直角三角形中， 30°角所对的直角边等于斜边的一半”．请根据从上面材料中所得到的信息解答下列问题：（1）如图2所示，在△ABC 中，∠ACB=90°，BC 的垂直平分线交AB 于点D ，垂足为E ，当BD=5cm ，∠B=30°时，△ACD 的周长= ．（2）如图3所示，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=120°，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，那么BE ：EA= ．（3）如图4所示，在等边△ABC 中，D 、E 分别是BC 、AC 上的点，且AE=DC ，AD 、BE 交于点P ，作BQ ⊥AD 于Q ，若BP=2，求BQ 的长．27．已知四边形ABCD 中，10AB =，8BC =，26CD =，45DAC ∠=︒，15DCA =︒∠．（1）求ADC 的面积．（2）若E 为AB 中点，求线段CE 的长．28．在Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=4．现在要将交ABC 扩充成等腰三角形，且扩充的部分是以AC为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形的周长．赵佳同学是这样操作的：如图 1 所示，延长BC 到点 D，使CD=BC，连接AD．所以，△ADB 为符合条件的三角形．则此时△ADB的周长为____________．请你在图2、图3中再设计两种扩充方案，并直接写出扩充后等腰三角形的周长．图2的周长：______________；图3的周长：______________.29．如图（1），Rt△AOB中，∠A=90°，∠AOB=60°，OB=23，∠AOB的平分线OC交AB于C，过O点做与OB垂直的直线ON．动点P从点B出发沿折线BC﹣CO 以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点C出发沿折线CO﹣ON以相同的速度运动，当点P到达点O时P、Q同时停止运动．（1）求OC、BC的长；（2）设△CPQ的面积为S，求S与t的函数关系式；（3）当P在OC上Q在ON上运动时，如图（2），设PQ与OA交于点M，当t为何值时，△OPM为等腰三角形？求出所有满足条件的t值．30．如图,长方体的长BE=15cm,宽AB=10cm,高AD=20cm,点M在CH上,且CM=5cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M,需要爬行的最短距离是多少?参考答案1．C【解析】【分析】已知直角三角形两直角边，可以直接利用勾股定理来求斜边.【详解】解：∵在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，∴斜边22AB=+=.6810故选C.【点睛】运用勾股定理：a，b，c是直角三角形的三条边，c为斜边，则满足c2=a2+b2是解题的关键. 2．B【解析】【分析】根据等腰三角形的性质和勾股定理可求得等腰三角形的腰，据此即可得解．【详解】解：如图：BC=24cm，AD=5cm，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC；则BD=DC=BC=6cm；Rt△ABD中，AD=5cm，BD=12cm；由勾股定理，得：AB===13cm,∴△ABC的周长是13+13+24=60cm，故选：B．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用．3．D【解析】分析：根据勾股定理的逆定理即可判断．详解：设相邻两个结点的距离为m，则此三角形三边的长分别为3m、4m、5m，∵（3m）2+（4m）2=（5m）2，∴以3m、4m、5m为边长的三角形是直角三角形．（如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形）故选D．点睛：此题考查了勾股定理的证明，属于基础题，注意仔细阅读题目所给内容，得到解题需要的信息，比较简单．4．C【解析】【分析】设BD=xcm，由题意表示出AB的长度，根据勾股定理列方程求出x，进而求出△ABC的面积．【详解】设BD=xcm，∵等腰△ABC，∴AB=AC，∵AD⊥BC，∴BD=CD=xcm，∴AB=12（16﹣2x），由勾股定理可得：[12（16﹣2x）]2=x2+42，解得x=3，∴BC=2BD=6cm，∴S△ABC=12×6×4=12cm2．故选C．【点睛】本题关键在于设未知数，根据勾股定理列方程求解．5．C【解析】试题分析：如图，设水深h尺，在Rt△ABC中，AB＝h，AC＝h＋3，BC＝6，由勾股定理得，AC 2＝AB 2＋BC 2，即（h+3）2＝h 2＋62，∴h 2＋6h ＋9=h 2＋36，6h ＝27，解得h=4．5．故答案选C ．考点：勾股定理．6．B 【解析】【分析】首先根据折叠可得CD=AC=3，BC=4，∠ACE=∠DCE ，∠BCF=∠B /CF ，CE ⊥AB ，然后求得△BCF 是等腰直角三角形，进而求得∠B /GD=90°，CE-EF=125，ED=AE=95，从而求得B /D=1，DF=35，在Rt △B /DF 中，由勾股定理即可求得B /F 的长．【详解】解：根据首先根据折叠可得CD=AC=3，B /C=B4，∠ACE=∠DCE ，∠BCF=∠B /CF ，CE ⊥AB ，∴BD=4-3=1，∠DCE+∠B /CF=∠ACE+∠BCF ，∴∠ACB=90°，∴∠ECF=45°，∴△ECF 是等腰直角三角形，∴EF=CE ，∠EFC=45°，∴∠BFC=∠B /FC=135°，∴∠B /FD=90°，∵S △ABC =12AC×BC=12AB×CE ， ∴AC×BC=AB×CE ，∵根据勾股定理求得AB=5，∴CE=125，∴EF=125，22AC CE -=95∴DE=EF-ED=35， ∴B /22B D DF '-=45 故选：B ．【点睛】此题主要考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的应用等，根据折叠的性质求得相等的角是解本题的关键．7．D【解析】【分析】根据题意画出示意图，设旗杆高度为x，可得AC=AD=x，AB=（x﹣2）m，BC=8m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x．【详解】设旗杆高度为x，则AC=AD=x，AB=（x﹣2）m，BC=8m，在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，即（x﹣2）2+82=x2，解得：x=17，即旗杆的高度为17米．故选D．【点睛】考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，构造直角三角形的一般方法就是作垂线．8．B【解析】【分析】先依据勾股定理可求得OC的长，从而得到OM的长，于是可得到点M对应的数．【详解】解：由题意得可知：OB=2，BC=1，依据勾股定理可知：∴故选：B．【点睛】本题考查勾股定理、实数与数轴，熟练掌握相关知识是解题的关键．9．B【解析】分析：判断是否可以作为直角三角形的三边长，则判断两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．详解：A. ()()2221.52 2.5+=，是直角三角形，故此选项错误；B. 222405060，+≠不是直角三角形，故此选项正确；C. 22272425，+=是直角三角形，故此选项错误；D. 22235144⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，是直角三角形，故此选项错误. 故选B.点睛：考查勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形.10．C【解析】【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式，知“生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，即所有正方形的面积和是2×1=2；“生长”2次后，所有的正方形的面积和是3×1=3，推而广之即可求解．【详解】设直角三角形的是三条边分别是a ，b ，c ．根据勾股定理，得a 2+b 2=c 2，即正方形A 的面积+正方形B 的面积=正方形C 的面积=1．推而广之，“生长”了2019次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2019×1=2019．故选：C ．【点睛】此题主要是能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系．11．5，91612,,555【解析】【分析】运用勾股定理可求解c，由三角形面积公式可求解h，再利用勾股定理可分别求解出k和p. 【详解】由勾股定理得：c2=a2+b2=9+16=25，则c=5；由三角形面积公式可得：ab=ch，则3×4=5×h，则h=125；由勾股定理得：b2=k2+h2，则16= k2+(125)2，则k=165，a2=p2+h2，则9= p2+(125)2，则p=95.【点睛】本题考查了勾股定理和三角形面积公式的应用.12．2【解析】【分析】如图，先利用勾股定理求出BC的长，再利用勾股定理求出CE的长，根据BE=BC-CE即可得答案.【详解】如图，AB=DE=10，AC=6，DC=8，∠C =90°，∴BC=2222106AB AC-=-=8，CE=2222108DE DC-=-=6，∴BE=BC-CE=2（米），故答案为2.【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键.13．（22016，0）【解析】∵∠OBC=90°，OB=1，BC=，∵将△OBC绕原点O逆时针旋转60°再将其各边扩大为原来的2倍，使OB1=OC，∴OC1=2OC=2×2=4=22，OC2=2OC1=2×4=8=23，OC3=2OC2=2×8=16=24，…，OC n=2n+1，∴OC2015=22016，∵2015÷6=335…5，∴点C2015与点C5在同一射线上，在x轴正半轴，坐标为（22016，0）．点睛：根据直角三角形得出∠BOC=60°，然后求出OC1、OC2、OC3、…、OC n的长度，再根据周角等于360°，每6个为一个循环组，求出点C2015是第几个循环组的第几个点，再根据变化规律写出点的坐标即可．14．113【解析】∵△ABC、△ADE都是以A为直角顶点的等腰直角三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE，∴在△ABD和△ACE中：AB ACBAD CAEAD AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE.①如图1，当∠CFE=90°时，AF⊥DE，∴AF=EF=22AE=23232=，∴CF=AC-AF=5-3=2，∴在Rt△CEF中，223213+=∴13②如图2：当∠CEF=90°时，∠AEC=90°+45°=135°，∵△ABD ≌△ACE ，∴∠ADB=∠AEC=135°，∴∠ADB+∠ADE=135°+45°=180°，∴点B 、D 、F 三点共线，过点A 作AG ⊥DE 于点G ，则AG=DG=22AD=2323⨯=， ∴在Rt △ABG 中，BG=22534-=，∴BD=BG-DG=4-3=1.综上所述，131.1515【解析】∵AD BC ∥，DE BC ⊥．∴DAC ACB ∠=∠，90ADE DEC ∠=∠=︒．∵G 为AF 的中点．∴AG GD GF ==．∴ADG DAG ACB ∠=∠=∠．∴2DGC ADG DAG ACB ∠=∠+∠=∠．∵DG DC =．∵4DG =，1EC =．∴4DC =，∵90DEC ∠=︒． ∴222241DE DC EC =-=-15=．点睛：本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上中线性质的应用，解此题的关键是求出DG=DC 后利用勾股定理求DE 的长．16．13【解析】【分析】延长BC 交AD 于点E ，根据等腰直角三角形的性质求出AD ，再求出BE=DE=12AD 并得到BE ⊥AD ，然后求出CE ，在Rt △CDE 中，利用勾股定理列式计算即可得CD 的长．【详解】延长BC 交AD 于点E ，∵∠ABD=90°,∠ABC=45°，∴∠DBC=45°，∵AB=BD ，∴BE=DE=12AD ，BE ⊥AD ， ∵2，∴AD=6，∴DE=BE=3，∵BC=1，∴CE=2，∴CD2=DE2+CE2∴【点睛】本题考查的是等腰三角形和勾股定理，熟练掌握这两点是解题的关键.17．【解析】分析：过点P作PD⊥x轴于点D，由等边三角形的性质可知OD=12OQ=1，再根据勾股定理求出PD的长，故可得出P点坐标，再利用待定系数法求出直线OP的解析式即可．详解：解：过点P作PD⊥x轴于点D，∵△OPQ是边长为2的等边三角形，∴OD=12OQ=12×2=1，在Rt△OPD中，∵OP=2，OD=1，∴PD=∴P（1，设直线OP的解析式为y=kx（k≠0），k，∴直线OP的解析式为y．．点睛：本题考查的是用待定系数法求正比例函数的解析式，先根据题意得出点P 的坐标是解答此题的关键．18．直角三角形【解析】∵2223213AB =+=，2224652BC =+=，2221865AC =+=，∴222AB BC AC +=,∴ABC △为直角三角形．点睛：本题考查了勾股定理逆定理的应用，如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.192222a b +【解析】 22a b a b ++-（）（）2222a b +. 2222a b +204552．【解析】【分析】分两种情形：①如图1中，当∠EDF =90°时，作CH ⊥AB 于H ．只要证明CH =DH ，即可解决问题；②如图2中，当∠DEF =90°时，设DE =x ，则EF =2x ，DF =BD 5，构建方程即可解决问题．【详解】解：如图1中，当∠EDF =90°时，作CH ⊥AB 于H ．在Rt△ACB中，∵AC=2，BC=4，∴AB=2224+=25，∴CH=AC BCAB⋅=455．∵∠ACB=∠AHC=90°，∴∠ACH+∠BCH=90°，∠BCH+∠B=90°，∴∠ACH=∠B=∠F．∵CH∥DF，∴∠F=∠HCE，∴∠ACH=∠HCE，∠DCE=∠DCB，∴∠HCD=45°，∴HC=HD=45．∵AH=22AC CH-=255，∴BD=AB﹣AH﹣DH=25﹣655=455．如图2中，当∠DEF=90°时，设DE=x，则EF=2x，DF=BD=5x．∵AE+DE+BD=25，∴255+x+5x=25，∴x=2﹣255，∴BD=5x=25﹣2．综上所述：BD的长为455或25﹣2．故答案为455或52．【点睛】本题考查了翻折变换、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用分类讨论的首先思考问题，属于中考填空题中的压轴题．21．（1）S△ABC32）3【解析】【分析】（1）过点A作AM⊥BC于M，根据已知可得BM=CM=12BC=1，然后根据勾股定理求得AM的长，再利用三角形的面积公式进行求解即可；（2）过点D作DN⊥AC于N，根据已知则可得到△ADM≌△AND，从而得DM=DN，AN=AM=3，继而得CN=AC-AB=2-3，设DM=DN=x，则CD=CM-DM=1-x，在Rt△CDN中，利用勾股定理求得x即可得.【详解】(1) 过点A作AM⊥BC于M，∵△ABC是等边三角形，∴BM=CM=12BC=1，∠BAM=∠CAM=30°，在Rt△CAM中，AM2+CM2=AC2，∴AM 2+12=22 ，∴AM=3，∴S△ABC=12BC·AM =12×2×3=3；（2）∵∠BAD=3∠CAD，∠BAD+∠CAD=∠BAC=60°，∴∠CAD=14∠BAC=15°，∠MAD=∠MAC-∠DAC=15°，∴AD平分∠MAC ，过点D作DN⊥AC于N，则△ADM≌△AND，∴DM=DN，3∴3，设DM=DN=x，则CD=CM-DM=1-x，在Rt△CDN中，DN2+CN2=CD2，x232=(1-x)2 ，解得：3-3，∴3【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理、全等三角形的判定与性质等，添加辅助构造直角三角形进行解题是关键.22．（1）作图见解析；（2）正方形的面积是53，解释见解析.【解析】试题分析：（1）在网格中分别过点A作AD⊥AB于点A，过点B作BC⊥AB于点B，并使AD=AB=BC，再连接CD即可得到所求正方形；（2）如图，由勾股定理易得AB=22+=，再由正方形的面积公式即可计算出正2753方形ABCD的面积了.试题解析：（1）如图，过A、B分别作AD⊥AB，BC⊥AB，并且使得AD=BC=AB，连接CD，则图中所得四边形ABCD为所求正方形；（2）如图，∵图中小方格为的面积为1cm2，∴小方格的边长为1cm，∴AB=222753+=,=AB2=53.∴S正方形ABCD23．（1）5 90°（2）（0，4）或（4，2）或（-4，-4），平行四边形如图.【解析】分析：（1）由勾股定理即可求得AB，BC，AC的值，然后由勾股定理逆定理，可判定△ABC是直角三角形；（2）首先根据题意画出图形，然后根据图可求得平行四边形中D 点的坐标．详解：（1）根据点A 和点B 的坐标可知：AB =()22223++=5；同理可得BC =()22111++=5，AC =2224+=5，所以有(5)2+(25)2=52，即222BC AC AB +=，故△ABC 是直角三角形，且∠ACB =90°. （2）点D 的坐标为（0，4）或（4，2）或（-4，-4），所作平行四边形如图所示.点睛：考查平行四边形的性质, 坐标与图形性质，注意数形结合思想在解题中的应用. 24．蚂蚁爬行的最短线路为13 cm .【解析】试题分析：根据题意，先将图形平面展开（如图所示），根据“两点之间，线段最短”可得蚂蚁爬行的最短距离为线段AB 的长，再用勾股定理求得AB 的长即可.试题解析：如图所示,将台阶展开.∵AC=3×3+1×3=12,BC=5,∴AB 2=AC 2+BC 2=132,∴AB=13(cm).∴蚂蚁爬行的最短线路为13 cm .点睛：本题考查了平面展开-最短路径问题，解决这类问题的基本思路是化曲面问题为平面问题，再用所学的知识解决．25．操作一：（1）14 cm ；（2）∠CAD =20度；操作二：CD=4.5cm【解析】【分析】操作一：（1）依据DE 垂直平分AB ，可得AD=BD ，依据△ACD 的周长=AD+CD+AC=BD+CD+AC=BC+AC 进行计算即可；（2）依据DE 垂直平分AB ，可得AD=BD ，即可得出∠B=∠BAD=35°，再根据Rt △ABC中，∠BAC=90°-35°=55°，即可得到∠CAD=55°-35°=20°；操作二：设CD=DE=x ，则BD=12-x ，Rt △ABC 中，15AB ==,BE=15-9=6，依据Rt △BDE 中，DE 2+BE 2=BD 2，可得方程x 2+62=（12-x ）2，即可得CD=4.5cm ．【详解】操作一：(1)由折叠可得，DE 垂直平分AB ，∴AD =BD ，∴△ACD 的周长为AD +CD +AC =BD +CD +AC =BC +AC =8+6=14(cm )故答案为14；(2)由折叠可得，DE 垂直平分AB ，∴AD =BD ，∴35B BAD ∠=∠=，又∵Rt △ABC 中,903555BAC ∠=-=，∴553520CAD ∠=-=，故答案为20；操作二：∵AC=9cm ，BC=12cm ，∴15AB ==（cm ），根据折叠性质可得AC=AE=9cm ，∴BE=AB ﹣AE=6cm ，设CD=x ，则BD=12﹣x ，DE=x ，在Rt △BDE 中，由题意可得方程x 2+62=（12﹣x ）2，解之得x=4.5，∴CD=4.5cm ．【点睛】考查线段的垂直平分线的性质，三角形的内角和以及勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键.26．（1）15cm ；（2）3：1；（3）【解析】整体分析：(1)由“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”求AC 的长；(2)连接AD ，由“三线合一”得∠BAD=60°，利用直角三角形中的30°角所对的直角边的性质，分别把BE ，EA 用BD 表示；(3)证明△BAE≌△ACD，得∠BPQ=60°，结合勾股定理求解.解：(1)∵DE 是线段BC 的垂直平分线，∠ACB=90°，∴CD=BD，AD=BD ．又∵在△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=30°， ∴AC=12AB ， ∴△ACD 的周长=AC+AB=3BD=15cm ．故答案为15cm ；(2)连接AD ，如图所示．∵在△ABC 中，AB=AC ，∠A=120°，D 是BC 的中点，∴∠BAD=60°．又∵DE⊥AB，，EA=12AD ，AD ，∴EA=1212AD ， ∴BE:AE=3:1．故答案为3:1．(3)∵△ABC 为等边三角形．∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，在△BAE 和△ACD 中，AE=CD ，∠BAC=∠ACB，AB=AC ，∴△BAE≌△ACD(SAS)，∴∠ABE=∠CAD．∵∠BPQ 为△ABP 外角，∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD．∴∠BPQ=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°，∵BQ⊥AD，∴∠PBQ=30°，∴BP=2PQ=2，∴PQ=1，2BP PQ -2221-3．27．（1）933-（2）5【解析】试题分析：（1）如图，过点C 作CF ⊥AD 于点F ，由此可得∠CFA=90°，由已知条件可得∠CDF=60°，从而可得∠DCF=30°，即可由CD 的长度求得DF 、CF 及AF 的长度，从而可得AD 的长度，就可计算出△ADC 的面积了；（2）在Rt △ACF 中由CF 32CAF=45°可求得AC 的长，结合已知的AB=10、BC=8可的AC 2+BC 2=AB 2，从而可证得∠ACB=90°，结合点E 是AB 的中点，即可得到CE=12AB=5. 试题解析：（1）过点C 作CF AD ⊥，交AD 延长线于点F ，∵45DAC ∠=︒，15DCA ∠=︒，∴CDF DAC DCA ∠=∠+∠ 451560=︒+︒=︒，在Rt CFD 中，26CD =，∴ 162DF CD ==， ()()222226632CF CD DF =-=-=，∴ 326AD AF DF =-=-，∴ 12ADC S AD CF =⨯ ()1236322=⨯-⨯ 933=-．（2）在Rt AFC 中，∵ 45DAC ∠=︒，32CF =∴ 22326AC CF ===，在ABC 中，∵ 2222268AC BC AB +=+=∴ △ABC 是直角三角形，又∵ E 为AB 中点，∴ 1110522CE AB ==⨯=． 28．16 5 403 【解析】试题分析：利用勾股定理可求出AB 的长进而得出△ADB 的周长；再根据题目要求扩充成AC 为直角边的直角三角形，利用AB=BD ，AD=BD ，分别得出答案．试题解析：∵在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=4，CD=BC ，∴5=，则AD=AB=5，故此时△ADB 的周长为：5+5+6=16；如图2所示：AD=BD 时，设DC=x ，则AD=x+3，在Rt △ADC 中，（x+3）2=x 2+42，解得：x=76，故AD=3+76=256 ，则此时△ADB 的周长为：256+256+5=403 ；如图3所示：AB=BD 时，在Rt △ADC 中，=则此时△ADB的周长为：故答案为（1）16；（2）403．【点睛】本题主要考查对勾股定理，等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握，能通过分类求出等腰三角形的所有情况是解此题的关键．29．（1）OC=2，BC=2；（2）S 与t 的函数关系式是：S=22(02)4)t t ⎧<≤⎪⎪-+<≤；（3）当t 为83时，△OPM 是等腰三角形．【解析】整体分析：（1）先求出OA ，判断OC=CB ，再在Rt △AOC 中用勾股定理列方程求解；（2）分点P 在BC 上，与点C 重合，在CO 上，与点O 重合四种情况分类讨论，注意画出相应的图形，利用三角形的面积公式和三角形面积的和差关系求解；（3）因为等腰三角形的腰不确定，所以需要分三种情况讨论，利用等腰三角形的性质列方程求解.（1）解：∵∠A=90°，∠AOB=60°，∴∠B=30°，∴OA=12由勾股定理得：AB=3，∵OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠BOC=30°=∠B，∴OC=BC，在△AOC中，AO2+AC2=CO2，∴(3)²+（3﹣OC）2=OC2，∴OC=2=BC，答：OC=2，BC=2．（2）解：①当P在BC上，Q在OC上时，0＜t＜2，则CP=2﹣t，CQ=t，过P作PH⊥OC于H，∴∠HCP=60°，∠HPC=30°，∴CH=12CP=12（2﹣t），HP=32（2﹣t），∴S△CPQ=12CQ×PH=12×t×3（2﹣t），即S=﹣3t2+3t；②当t=2时，P在C点，Q在O点，此时，△CPQ不存在，∴S=0，③当P在OC上，Q在ON上时2＜t＜4，过P作PG⊥ON于G，过C作CZ⊥ON于Z，∵CO=2，∠NOC=60°，∴3CP=t﹣2，OQ=t﹣2，∠NOC=60°，∴∠GPO=30°，∴OG=12OP=12（4﹣t），34﹣t），∴S△CPQ=S△COQ﹣S△OPQ=12×（t﹣2）×3﹣12×（t﹣2）×34﹣t），即3233．④当t=4时，P 在O 点，Q 在ON 上，如图（3）过C 作CM ⊥OB 于M ，CK ⊥ON 于K ，∵∠B=30°，由（1）知BC=2，∴CM=12BC=1，有勾股定理得：3∵3，∴333，∴S=12PQ×CK=12×2×33 综合上述：S 与t 的函数关系式是：S=2233(02)333(24)t t t ⎧+<≤⎪⎪⎨⎪+<≤⎪；（3）解：如图（2），∵ON ⊥OB ，∴∠NOB=90°，∵∠B=30°，∠A=90°，∴∠AOB=60°， ∵OC 平分∠AOB ，∴∠AOC=∠BOC=30°，∴∠NOC=90°﹣30°=60°， ①OM=PM 时，∠MOP=∠MPO=30°， ∴∠PQO=180°﹣∠QOP ﹣∠MPO=90°， ∴OP=2OQ ，∴2（t ﹣2）=4﹣t ，解得：t=83， ②PM=OP 时，∠PMO=∠MOP=30°， ∴∠MPO=120°，∵∠QOP=60°，∴此时不存在； ③OM=OP 时，过P 作PG ⊥ON 于G ，OP=4﹣t ，∠QOP=60°， ∴∠OPG=30°，∴GO=12（4﹣t ），34﹣t ）， ∵∠AOC=30°，OM=OP ，∴∠OPM=∠OMP=75°， ∴∠PQO=180°﹣∠QOP ﹣∠QPO=45°，∴34﹣t ），∵OG+QG=OQ，∴12（4﹣t）+3（4﹣t）=t﹣2，解得：t=623+综合上述：当t为83或6233+时，△OPM是等腰三角形．30．25cm【解析】分析: 将立体图形展开成平面图形,然后根据两点之间线段距离最短,利用根据勾股定理进行求解,根据立体展开成平面图形情况分类讨论进行进行比较.详解:将长方体沿CH,HE,BE剪开翻折,使面ABCD和面BEHC在同一个平面内,连接AM,如图1,由题意可得:MD=MC+CD=5+10=15cm,AD=20cm,在Rt△ADM中,根据勾股定理得:AM=25cm,将长方体沿CH、GD、GH剪开翻折,使面ABCD和面D CH G在同一个平面内,连接AM，如图2,由题意得:BM=BC+MC=20+5=25（cm）,AB=10cm,在Rt△ABM中,根据勾股定理得:AM29cm,将长方体沿CD、CH、GH剪开翻折,连接AM,如图3,由题意得:AC=AB+BC=10+20=30（cm）,MC=5cm,在Rt△ACM中,根据勾股定理得:AM37cm,∵25＜29＜37则需要爬行的最短距离是25cm.点睛:本题考查了勾股定理的拓展应用,“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键.。

新版北师大版八年级数学上册第1章《勾股定理》单元测试试卷及答案(1)

D C B A FE D C B A 新版北师大版八年级数学上册第1章《勾股定理》单元测试试卷及答案（1）一、填空题（1. 如图，在长方形ABCD 中，已知BC=10cm ，AB=5cm ，则对角线BD= cm 。

2. 如图，在正方形ABCD 中，对角线为22，则正方形边长为。

3. 把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则其斜边扩大到原来的。

4. 三角形中两边的平方差恰好等于第三边的平方，则这个三角形是三角形。

5. 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到小刚头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离小刚5000米，则飞机每小时飞行千米。

6. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，若a:b=3:4，c=20，则a= ，b= 。

7. 已知一个直角三角形的两边长分别是3和4，则第三边长为。

8. 如图所示，在矩形ABCD 中，AB=16，BC=8，将矩形沿AC 折叠，点D 落在点E 处，且CE 与AB 交于点F ，那么AF= 。

9. 如图，将一根长24cm 的筷子，置于底面直径为5cm ，高为12cm 的圆柱形茶杯中，设筷子露在杯子外面的长为acm （茶杯装满水），则a 的取值范围是。

10. 如图，数轴上有两个Rt △ABC 、Rt △ABC ，OA 、OC 是斜边，且OB=1，AB=1，CD=1，OD=2，分别以O 为圆心，OA 、OC 为半径画弧交x 轴于E 、F ，则E 、F 分别对应的数是。

11. 一艘轮船以16海里/时的速度离开港口向东南方向航行，另一艘轮船在同时同地以12海里/时的速度向西南方向航行，则一个半小时后两船相距海里。

12. 所谓的勾股数就是指使等式a 2+b 2=c 2成立的任何三个自然数。

我国清代数学家罗士林钻研出一种求勾股数的方法，即对于任意正整数m 、n （m ＞n ），取a=m 2-n 2，b=2mn ，c=m 2+n 2，则a 、b 、c 就是一组勾股数。

(完整版)北师大版八年级上册数学第一章《勾股定理》单元测试卷(含答案),推荐文档

7 7第一章《勾股定理》单元测试卷班别：姓名：一、选择题（本题共10 小题，每小题3 分，满分30 分）1.一直角三角形的斜边长比一直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为（）A．4 B．8 C．10 D．122.已知a=3，b=4，若a，b，c 能组成直角三角形，则c=（）A.5B.C.5 或D.5 或63.如图中字母A 所代表的正方形的面积为（）A．4 B．8 C．16 D．644.将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是（）A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．等腰三角形5．直角三角形的一直角边长是7cm，另一直角边与斜边长的和是49cm，则斜边的长（）A．18cm B．20cm C．24cm D．25cm6．适合下列条件的△ABC 中，直角三角形的个数为（）①a= ，b=，c= ②a=6，∠A=45°；③∠A=32°，∠B=58°；④a=7，b=24，c=25 ⑤a=2，b=2，c=4A．2 个B．3 个C．4 个D．5 个7．在△ABC 中，若a=n2﹣1，b=2n，c=n2+1，则△ABC 是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．直角三角形3 8. 直角三角形斜边的平方等于两条直角边乘积的2 倍，这个三角形有一个锐角是（） A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°9. 已知，如图长方形 ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点 D 重合，折痕为 EF ，则△ABE 的面积为（） A ．3cm 2B ．4cm 2C ．6cm 2 D.12cm 210. 已知，如图，一轮船以 16 海里/时的速度从港口 A 出发向东北方向航行，另一轮船以 12 海里/时的速度同时从港口 A 出发向东南方向航行，离开港口 2 小时后，则两船相距（） A ．25 海里B ．30 海里C ．35 海里D ． 40 海里二、填空题（本题共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分）11. 一个三角形三边长度之比为 1∶2∶ ，则这个三角形的最大角为度．12. 如图，等腰△ABC 的底边 BC 为 16，底边上的高 AD 为 6，则腰长 AB 的长为． 13．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点 C 偏离欲到达点 B200m ，结果他在水中实际游了 520m ，求该河流的宽度为m ．14.小华和小红都从同一点O 出发，小华向北走了9 米到A 点，小红向东走到B 点时,当两人相距为15 米，则小红向东走了米．15.一个三角形三边满足(a +b)2 -c2 = 2ab ,则这个三角形是三角形．16.木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为60cm，宽为32cm，对角线为68cm，这个桌面（填”合格”或”不合格”）．17.直角三角形一直角边为12cm，斜边长为13cm，则它的面积为cm2．18.如图，一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20、3、2，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点最短路程是．三、解答题（共46 分）19.在RtΔABC 中，∠A CB=90°，AB=5，AC=3，CD⊥AB 于D，求CD 的长．CA BD21．（7 分）如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于D，AB=3，BD=2，DC=1，求AC 的值．22．（8 分）如图，一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马，而他正位于他的小屋B 的西8km 北7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？小河北牧童A东B 小屋23．如图，A 城气象台测得台风中心在A 城正西方向320km 的B 处，以每小时40km 的速度向北偏东60°的BF 方向移动，距离台风中心200km 的范围内是受台风影响的区域．（1）A 城是否受到这次台风的影响？为什么？（2）若 A 城受到这次台风影响，那么 A 城遭受这次台风影响有多长时间？《勾股定理》单元测试卷答案一、选择题（共10 小题，每小题3 分，满分30 分）1．C．2．C．3．D．4．C．5．D．6．A．7．D．8．C．9．C．10．D．二、填空题（共8 小题，每小题3 分，满分24 分）11．900 ．12．10 ．13．480 m．14．12 米．15．直角．16．合格．17．30 cm2．18．25 ．三、解答题（共46 分）19．略20．解：∵∠ACB=90°，AB=5，AC=3，∴BC2 = AB2 -AC2=42，∴BC=4，∵CD⊥AB，1 1 12∴AB·CD= AC·BC，∴5CD=12，∴CD=．2 2 5．21.解：∵AD⊥BC 于D，∴∠ADB=∠ADC=90°∵AB=3，BD=2∴AD2=AB2﹣BD2=5∵DC=1，∴AC2=AD2+DC2=5+1=6．∴AC=22.解：设矩形的长是a，宽是b，根据题意，得：，（2）+（1）×2，得（a+b）2=196，即a+b=14，所以矩形的周长是14×2=28m．23.如图，作出A 点关于MN 的对称点A′，则A′A=8 km,连接A′B 交MN 于点P，则A′B 就是最短路线.在Rt△A′DB 中，A′D=15 km,BD=8 km由勾股定理得A′B2= A′D 2+BD2=289∴A′D =17kmA′M P NAD B24.解：（1）由A 点向BF 作垂线，垂足为C，在Rt△ABC 中，∠ABC=30°，AB=320km，则AC=160km，因为160＜200，所以A 城要受台风影响；（2）设BF 上点D，DA=200 千米，则还有一点G，“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。

北师大版数学八年级上册第1章勾股定理检测卷 (含答案)

第1章检测卷勾股定理(时间:100分钟满分:120分)题号一二三总分得分一、选择题(每小题3分，共30分)1.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是 ( )A.∠A+∠B=∠CB.∠A:∠B:∠C=1:2:3C.a²=c²−b²D. a:b:c=3:4:62.下列各组数中，不能作直角三角形三边长的是 ( )A.3,4,5B.5,12,13C.7,24,25D.7,9,133.若直角三角形的三边长为6，8，m，则m²的值为 ( )A.10B.100C.25D.100 或284.如图,D为△ABC的边BC上一点,已知AB=13,AD=12,AC=15,BD=5,则BC的长为( )A.13B.14C.15D.165.将一根长为25 cm的筷子置于底面直径为5cm，高为12 cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外的长为h cm，则 h的取值范围是 ( )A.12≤h≤13B.11≤h≤12C.11≤h≤13D.10≤h≤126.如图,高速公路上有A,B两点相距10km,点 C,D 为两村庄,已知DA=4km,CB=6km. DA⊥AB于点A,CB ⊥AB于点B,现要在AB上建一个服务站E，使得C，D两村庄到E站的距离相等，则EA的长是( )A. 4kmB. 5kmC.6kmD.7 km7.如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了步路(假设2步为1米)，却踩伤了花草( )A.1B.2C.3D.48.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为 ( )A.0.7 米B.1.5米C.2.2 米D.2.4米9.在我国古代数学著作《九章算术》的第九章《勾股》中记载了这样的一个问题：“今天有开门去阔(kǔn)一尺，不合二寸，问门广几何?”意思是：如图，推开两扇门(AD 和BC)，门边缘 D，C 两点到门槛AB的距离是1 尺(1尺=10寸)，两扇门的间隙CD为2寸，那么门的宽度(两扇门的宽度和)AB为 ( )A.101 寸B.100寸C.52寸D.96寸10.如图，圆柱形容器高为18 cm，底面周长为24 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm 与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B 处的最短距离为( )A.13cmB.12 cmC.16 cmD.20cm二、填空题(每小题3分，共15 分)11.三个正方形如图摆放，其中两个正方形的面积分别为S₁=25,S₂=144,则第三个正方形的面积为S₃=.12.如图,∠C=90°,AB=12,BC=3,CD=4,AD=13,则∠ABD=.13.一直角三角形的两边长分别为4和5，明明以第三边为正方形的一边，画了个正方形，则明明画的这个正方形的面积等于 .14.如图，每个小正方形的边长都为1，则△ABC的三边长a，b，c的大小关系是 .(用“>”连接)15.如图为一个三级台阶，每一级台阶的长、宽、高分别是50cm，30cm，10cm，A 和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只壁虎，它想到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只壁虎从A点出发，沿着台阶面爬到 B 点，最短路线的长是 cm.三、解答题(本大题共8个小题，共75分)16.(8分)有一朵荷花，花朵高出水面1尺，一阵大风把它吹歪，使花朵刚好落在水面上，此时花朵离原位置的水平距离为3尺，此水池的水深有多少尺?17.(8分)如图所示的一块草坪，已知AD=12m,CD=9m,∠ADC=90°,AB=39m,BC=36m,求这块草坪的面积.18.(8 分)如图,在长方形ABCD 中,AB=3cm,AD=9cm,，将此长方形折叠,使点 B 与点 D 重合,折痕为 EF,求△ABE的面积.19.(9 分)如图,在△ABC中,D 是BC 上一点,若AB=10,BD=6,AD=8,AC=17.(1)求 DC 的长;(2)求△ABC的面积.20.(9分)如图,长方体中AB=BB′=2,AD=3,，一只蚂蚁从A点出发，在长方体表面爬到C′点，求蚂蚁怎样走最短，最短路径是多少.21.(10分)如图，牧童在A 处放羊，其家在B 处，A，B 到河岸的距离分别为AC=400m,BD=200m,C，D间的距离为800 m，牧童从A处把羊牵到河边饮水后再回家，试问：羊在何处饮水所走路程最短?在图中画出最短路径并求出最短路径的长度是多少.22.(11 分)如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=5cm,BC=3cm..若点 P 从点 A出发，以每秒2cm的速度沿A→C→B→A运动，设运动时间为ts(t⟩0).(1)当点P在AC上,且满足.PA=PB时，求t的值；(2)若点 P 恰好在∠BAC的平分线上，求t的值.23.(12分)勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其中的巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪灵感，他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理.下面是小聪利用图1 证明勾股定理的过程.将两个全等的直角三角形按图1所示的方式摆放，其中∠DAB=90°.试说明：a²+b²=c².解：连接DB，过点D作DF⊥BC,，交 BC的延长线点于点 F，则DF=EC=b−a.因为S四边形ADCB =SACD+SABC=12b2+12ab,S四边形ADCB =SABD+SDCB=12c2+12a(b−a).所以12b2+12ab=12c2+12a(b−a).所以a²+b²=c².请参照上述方法，回答下面的问题.将两个全等的直角三角形按图2所示的方式摆放，其中∠DAB=90°.试说明：a²+b²=c².第1章检测卷勾股定理1. D2. D3. D4. B5. A6. C7. D8. C9. A 10. D 11.16912.90° 13.41或9 14. c>a>b 1 5.13016.解：设水深x尺，那么荷花径的长为(x+1)尺.由勾股定理得x²+3²=(x+1)².解得x=4.答：水池的水深有4 尺.17.解:如图,连接AC,则在Rt△ADC中,AC²=AD²+CD²=12²+9²=225,所以AC=15.在△ABC中,.AB²=1521.因为AC²+BC²=15²+36²=1521,所以AB²=AC²+BC².所以△ABC是直角三角形,∠ACB=90°.所以SABC −SAcD=12AC⋅BC−12AD⋅CD=12×15×36−12×12×9=270-54=216(m²).答：这块草坪的面积是216平方米.18.解:因为四边形ABCD 是长方形,所以∠A=90°.设BE=x cm.由折叠的性质可得DE=BE=x cm.所以AE=AD-DE=(9-x) cm.在Rt△ABE中,BE²=AE²+AB²,所以x²=(9−x)²+3².解得x=5.所以DE=BE=5cm,AE=4 cm.所以SABE =12AB⋅AE=12×3×4=6(cm2).19.解:(1)因为在△ABD中,.AB=10,BD=6,AD=8,所以AB²=100,BD²+AD²=36+64=100.所以AB²=BD²+AD².所以△ABD是直角三角形.所以AD⊥BC,即∠ADC=90°.在Rt△ADC中,AD=8,AC=17,由勾股定理得DC²=17²−8²=225,所以DC=15.(2)SABC =12AD⋅BC=12AD⋅(BD+DC)=84.20.解:①如图1,把长方体沿.A→A′→D′→C′→C→D→A剪开，则成长方形ACC'A',宽为AA′=BB′=2,长为AD+DC=AD+AB=5.连接AC'，则点A，C，C'构成直角三角形，由勾股定理得AC′²= (AD+DC)²+DD′²=5²+2²=29.②如图2，把长方体沿. A→A ′→B ′→C ′→D ′→D→A 剪开，则成长方形ADC'B',宽为AD=3,长为 DD ′+D ′C ′=BB ′+AB =4.连接AC',则点A,D,C'构成直角三角形,由勾股定理得 AC ′²=AD²+(DD ′+D ′C ′)=3²+4²=25.因为25<29，所以最短路径是5.21.解:作点 B 关于 CD 的对称点 B',连接AB'交 CD 于点 P,连接PB,此时PA+PB 的值最小，最小值为AB'的长.过点 A 作AE⊥B'B 交B'B 的延长线于点 E.在 Rt△AED'中,因为AE=CD=800 m,B'E=AC +B'D =AC +BD=400+200=600(m),所以 AB ′²=AE²+B ′E²=800²+600².所以 AB ′=1000m.即最短路程的长度是1 000 m.22.解:(1)因为AB=5cm,BC =3cm,∠C=90°,所以由勾股定理得 AC²=AB²−BC²=5²−3²=16,所以 A C=4 cm.当PA=PB =2t cm 时,PC=(4-2t) cm.在 Rt△PCB 中,由勾股定理得 PC²+BC²=PB².即 (4−2t )²+3²=(2t )².解得 t =2516.所以PA=PB 时,t 的值为 2516.(2)当点 P 在∠BAC 的平分线上时,如图,过点 P 作 PE⊥AB 于点 E.此时BP=(7-2t) cm,PE=PC=(2t-4) cm,BE=5-4=1(cm),其中0<t<3.5.在 Rt△BEP 中,由勾股定理得 PE²+BE²=BP².即 (2t−4)²+1²=(7−2t )²,解得 t =83.当t=6时，点P 与点A 重合，也符合条件.所以点 P 恰好在∠BAC 的平分线上时，t 的值为 83或6.23.解:连接BD,过点B 作BF⊥DE,交DE 的延长线于点 F,易知BF=b-a.因为S CBED =S ABC +S ABD +S BDE =12ab +12c 2+ 12a (b−a ),S ACBED =S ACBE +S ADE =12b (a +b )+12ab,所以12ab +12c 2+12a (b−a )=12b (a +b )+12ab.所以 a²+b²=c².。

北师大版2020八年级数学上册第一章勾股定理自主学习单元综合培优测试题(附答案详解)

北师大版2020八年级数学上册第一章勾股定理自主学习单元综合培优测试题（附答案详解）1．直角三角形两直角边长为a ，b ，斜边上高为h ，则下列各式总能成立的是（） A ．ab=h 2 B ．a 2+b 2=2h 2 C ．111a b h += D ．222111a b h += 2．如图，△ABC 中，AB=AC ，AD 是∠BAC 的平分线，已知 AB=5，AD=3，则 BC 的长为（）A ．5B ．4C ．10D ．83．如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点，△ABC 的顶点都在格点上，AB 边如图所示，则使△ABC 是直角三角形的点C 有( )A ．12个B ．10个C ．8个D ．6个4．如图，△ABC 中∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，下面等式错误的是（）A ．222AC DC AD +=B ．222AD DE AE -=C ．222AD DE AC =+ D ．22214BD BE BC -= 5．有以下三角形：①三角形三边之比为2：3：2；②三角形的三边为3，4，5；③三角形三个角分别为20°，70°，90°；④三角形三个角的比为1：2：3．其中不是直角三角形的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．46．如图，一只蚂蚁从A 点沿圆柱侧面爬到顶面相对的B 点处，如果圆柱的高为8cm ，圆柱的半径为6πcm，那么最短路径AB的长为（）A．8cm B．6cm C．10πcm D．10cm7．如果一个三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方差，则此三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法判断8．将6个边长是1的正方形无缝隙铺成一个矩形，则这个矩形的对角线长等于（）A．37B．13C．37或者13D．37或者1379．在△ABC中，a、b、c分别为三边，给出下列各组条件：①∠A:∠B:∠C=3:4:5；②a:b:c=3:4:5；③a=16，b=63，c=65；④1123A B C ∠=∠=∠；其中，能判定△ABC是直角三角形的有_______个。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

11、2002 年 8 月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四
个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图），如果大正方形的面积是 25，小正方
形的面积是 1，直角三角形较短的直角边为 a，较长的直角边为 b，那么（a+b）2 的值为________
A、1、、2 B、、、
C、5、12、13）
A、1，2，3 B、2，3，4 C、4，5，6 D、1，， 7、如图，是台阶的示意图．已知每个台阶的宽度都是 20cm，每个台阶的高度都是 10cm，连接 AB，则 AB 等于（）
2020 年北师大版八年级数学上册勾股定理单元测试卷一
一、单选题（共 10 题；共 30 分） 1、以下列长度线段为边，不能构成直角三角形的是( ) A、7,24,25 B、8,15,17 C、9,40,41 D、10,24,28 2、如图，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，AD=CD=7，若点 P 到 AC 的距离为 5，则点 P 在四边形 ABCD 边上的个数为（）
17、在如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若最大正方形的边长为 7cm，则正方形 a，b，c，d 的面积之和是________ cm2 ．
18、图中阴影部分是一个正方形，如果正方形的面积为 64，则 x 的长为________ cm．
三、解答题（共 5 题；共 35 分） 19、如图，甲、乙两艘轮船同时从港口 O 出发，甲轮船以 20 海里/时的速度向南偏东 45°方向航行，乙轮船向南偏西 45°方向航行．已知它们离开港口 O 两小时后，两艘轮船相距 50 海里，求乙轮船平均每小时航行多少海里？
A、0 B、2 C、3 D、4 3、如果梯子的底端离建筑物 5 米，13 米长的梯子可以达到建筑物的高度是（） A、12 米 B、13 米 C、14 米 D、15 米 4、适合下列条件的△ABC 中，直角三角形的个数为（） ①a=3，b=4，c=5； ②a=6，∠A=45°；
③a=2，b=2，c=2 ； ④∠A=38°，∠B=52°． A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个 5、下列三条线段不能构成直角三角形的是（）
A、120cm B、130cm C、140cm D、150cm
8、如图，四边形 ABCD 中，AB=4cm，BC=3cm，CD=12cm，DA=13cm，且∠ABC=90°，则四边形 ABCD 的面积为（）
A、6cm2
B、30cm2 C、24cm2 D、36cm2
9、如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条
“路”．他们仅仅少走了（）步路（假设 2 步为 1 米），却踩伤了花草．
A、1 B、2 C、3 D、4
10、在△ABC 中，已知 AB=12cm，AC=9cm，BC=15cm，则△ABC 的面积等于（）
A、108cm2
B、90cm2 C、180cm2 D、54cm2
二、填空题（共 8 题；共 24 分）
12、学校有一块长方形的花圃如右图所示，有少数的同学为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条 “路”，他们仅仅少走了________步（假设 1 米=2 步），却踩伤了花草，所谓“花草无辜，踩之何忍”！
13、已知在△ABC 中，AB=13cm，AC=15cm，高 AD=12cm．则△ABC 的周长为________． 14、一直角三角形两条边长分别是 12 和 5，则第三边长为________． 15、将一根长为 12cm 的筷子置于底面直径为 6cm，高为 8cm 的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为 hcm，则 h 的取值范围是________． 16、如图，一根树在离地面 9 米处断裂，树的顶部落在离底部 12 米处．树折断之前有________米．
20、省道 S226 在我县境内某路段实行限速，机动车辆行驶速度不得超过 60km/h，如图，一辆小汽车在这段路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪 A 处的正前方 36m 的 C 处，过了 3s 后，测得小汽车与车速检测仪间距离为 60m，这辆小汽车超速了吗？
21、如图，甲、乙两船从港口 A 同时出发，甲船以每小时 30 海里的速度向北偏东 35°方向航行，乙船以每小时 40 海里的速度向另一方向航行，1 小时后，甲船到达 C 岛，乙船达到 B 岛，若 C、B 两岛相距 50 海里，请你求出乙船的航行方向．
22、如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆 8m 处，发现此时绳子末端距离地面 2m，请你求出旗杆的高度（滑轮上方的部分忽略不计）
23、如图是一块地的平面图，AD=4m，CD=3m，AB=13m，BC=12m，∠ADC=90°，求这块地的面积．
24、如图，在△ABC 中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC 的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程． (1)作 AD⊥BC 于 D，设 BD=x，用含 x 的代数式表示 CD，则 CD=________； (2)请根据勾股定理，利用 AD 作为“桥梁”建立方程，并求出 x 的值； (3)利用勾股定理求出 AD 的长，再计算三角形的面积．