新北师大版八年级数学上册勾股定理专题训练优质讲义
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勾股定理
本章常用知识点:
1、勾股定理:直角三角形两直角边的 等于斜边的 。如果用字母a,b,c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么勾股定理可以表示为: 。
2、勾股数:满足a 2+b 2=c 2的三个 ,称为勾股数。
常见勾股数有: 3、常见平方数:
121112=; 144122=; 169132=; 196142=; 225152=;256162=
289172=; 324182=; 361192=; 400202=;441212=; 484222= 529232=; 576242=; 625252=; 676262=;729272=
专题归类:
专题一、勾股定理与面积
1、、在Rt ▲ABC 中,∠C=︒90,a=5,c=3.,则Rt ▲ABC 的面积S= 。
2、一个直角三角形周长为12米,斜边长为5米,则这个三角形的面积为: 。
3、直线l 上有三个正方形a 、b 、c ,若a 和c 的面积分别为5和11,则b 的面积为
4、在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图所示)。已知斜放置的三个正方形的面积分别是
1、2、3,正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4, 则S 1+S 2+S 3+S 4等于 。
5、三条边分别是5,12,13的三角形的面积是 。
6、如果一个三角形的三边长分别为a,b,c 且满足:a 2
+b 2
+c 2
+50=6a+8b+10c,则这个三角形的面积为 。
7、如图1,︒=∠90ACB ,BC=8,AB=10,CD 是斜边的高,求CD 的长?
l
3
21
S 4
S 3
S 2S 1
7、如下图,在∆ABC 中,︒=∠90ABC ,AB=8cm ,BC=15cm ,P 是到∆ABC 三边距离相等的点,求点P 到∆ABC 三边的距离。
8、有一块土地形状如图3所示,︒=∠=∠90D B ,AB=20米,BC=15米,CD=7
米,请计算这块土地的面积。(添加辅助线构造直角三角形)
9、如右图:在四边形ABCD 中,AB=2,CD=1,∠A=60°,求四边形ABCD 的面积。
10、如图2-3,把矩形ABCD 沿直线BD 向上折叠,使点C 落
在C ′的位置上,已知AB=•3,BC=7,求:重合部分△EBD 的面积
11、如图①,分别以直角三角形ABC 三边为直径向外作三个半圆,其面积分别用S 1、S 2、S 3表示,则不难证明S 1=S 2+S 3 .
D
C
B
A
图3
B
D C
A
图1
D C
B A A
B
C
P
(1) 如图②,分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正方形,其面积分别用S 1、S 2、S 3表示,那么S 1、S 2、S 3之间有什么关系?(不必证明)
(2) 如图③,分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正三角形,其面积分别用S 1、S 2、S 3表示,请你确定S 1、S 2、S 3之间的关系并加以证明;
(3) 若分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正多边形,其面积分别用S 1、S 2、S 3表示,请你猜想S 1、S 2、S 3之间的关系?.
专题二、勾股定理与折叠
1、如图4,矩形纸片ABCD 的边AB=10cm,BC=6cm,E 为BC 上一点,将矩形纸片沿AE 折叠,点B 恰好落在DC 边上的点G 处,求BE 的长。
2、有一个直角三角形纸片,两直角边的长
AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿AD 对折,使它落在斜边AB 上,且与AE 重合,求CD 的长?
3、如图6,在矩形纸片ABCD 中,
AB=33,BC=6,沿EF 折叠后,点C 落在AB 边上的点P 处,点D 落在Q 点处,AD 与PQ 相交于点H ,∠BPE=︒30
(1) 求BE 、QF 的长
(2) 求四边形QEFH 的面积。
图4 E G C D
B A E D B
C A
图5
P
H
F
Q
D
A
专题三、利用勾股定理列方程求线段的长度
1.△ABC 中,AB=AC=20,BC=32,D 是BC 上一点,且AD ⊥AC ,求BD 的长.
专题四、勾股数的应用
1、下列是勾股数的一组是( )
A 4,5,6,
B 5,7,12
C 12,13,15
D 14 ,48,50
2、一个直角三角形的三边长是不大于10的三个连续偶数,则它的周长是 。
3、下列是勾股数的一组是( )
A 2,3,4,
B 5,6,7,
C 9,40,41
D 10 24 25
4、观察下面表格中所给出的三个数a,b,c ,其中a,b,c 为正整数,且a
(1):试找给他们的共同点,并证明你的结论 (2):当a=21时,求b,c 的值
,3,4,5 32
+42
=52
5,12,13 52
+122
=132
7,24,25 72
+242
=252
9,40,41 92
+402
=412
…….. …… 21,b,c
212
+b 2
=c 2
专题五、勾股定理及逆定理有关的几何证明
1、 在四边形ABCD 中,∠C 是直角,AB=13,BC=3,CD=4,AD=12 证明:AD ⊥BD
3、在正方形ABCD 中,E 是BC 的中点,F 为CD 上一点
且CF=4
1
CD 试说明▲AEF 是直角三角形。
D
C B
A D
F
A