2014—2015学年度第二学期期中考试高一数学试题附答案

2014—2015学年度第二学期期中考试高一数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页．全卷满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 若0cos >θ，且02sin <θ，则角θ的终边所在象限是 A ．一象限B ．二象限C ．三象限D ．四象限2． 某中学高三从甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分l00分）的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x +y 的值为A ．7B ．8C ．9D ．103．设02x π≤<sin cos x x =-，则 A ．0x π≤≤ B ．744x ππ≤≤ C ．544x ππ≤≤D ．322x ππ≤≤4． 已知集合21{|230},|lg 3x A x x x B x y x -⎧⎫=--<==⎨⎬+⎩⎭，在区间(3,3)-上任取一实数x ，则“x A B ∈”的概率为 A ．14B ．18C ．13D ．1125．若函数()sin()f x x ωθ=+的图象（部分）如图所示，则ω和θ的取值是 A ．1,3πωθ==B ．1,3πωθ==-C ．1,26πωθ==D ．1,26πωθ==-6． 对具有线性相关关系的变量x ，y ，测得一组数据如下表:10.5x a =+，据此模型来预测当x =20时，y 的估计值为 A ．210B ．210.5C ．211.5D ．212.57．总体编号为01，02，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为A ．08B ．07C ．02D ．018．函数()sin(2),(||)2f x x πϕϕ=+<向左平移6π个单位后是奇函数，则函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为 （ ）A ．B ．12-C ．12D 9．执行如图所示的程序框图．若输出S =15， 则框图中① 处可以填入（ ） A ．2k <B ．3k <C ．4k <D ．5k <10． 函数x x y sin =在[]ππ,-上的图象是第Ⅱ卷二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．11．某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1—50号，并分组，第一组1—5号，第二组6—10号，，第十组46—50号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为_______________的学生.12．已知1sin()23πα+=，则cos(2)πα+的值为 .13．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则输入的数是 .14．已知角α的终边上一点的坐标为55(sin,cos )66ππ，则角α的 最小正值为_____________．15．已知1sin cos 8θθ=，且42ππθ<<，则cos sin θθ-的值为___________三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）2401sin 40--； （Ⅱ）求证：1sin 21tan cos21tan αααα++=-．17．（本小题满分12分）某校从高一年级学生中随机抽取50名学生，将他们的期中考试数学成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段:[40，50），[50，60）， …，[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图． （Ⅰ）若该校高一年级共有学生1000人，试估计成绩不低于60分的人数;（Ⅱ）为了帮助学生提高数学成绩，学校决定在随机抽取的50名学生中成立“二帮一”小组，即从成绩[90，100]中选两位同学，共同帮助[40，50）中的某一位同学．已知甲同学的成绩为42分，乙同学的成绩为95分，求甲、乙恰好被安排在同一小组的概率．18．（本小题满分12分）已知函数())4f x x π=+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和最大值; （Ⅱ）求函数()f x 在[]0,π上的单调递减区间．19．（本小题满分12分）甲、乙两名考生在填报志愿时都选中了A 、B 、C 、D 四所需要面试的院校，这四所院校的面试安排在同一时间．因此甲、乙都只能在这四所院校中选择一所做志愿，假设每位同学选择各个院校是等可能的，试求: （Ⅰ）甲、乙选择同一所院校的概率; （Ⅱ）院校A 、B 至少有一所被选择的概率．20．（本小题满分13分）M 公司从某大学招收毕业生，经过综合测试，录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示(单位:分)，公司规定:成绩在180分以上者到“甲部门”工作;180分以下者到“乙部门”工作．（Ⅰ）求男生成绩的中位数及女生成绩的平均值;（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从“甲部门”人选和“乙部门”人选中共选取5人，再从这5人中选2人，那么至少有 一人是“甲部门”人选的概率是多少?21．已知函数sin 26f x x πω=+（）（），其最小正周期为2π. （Ⅰ）求()f x 的表达式;（Ⅱ）将函数()f x 的图象向右平移8π个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，若关于x 的方程()0g x k +=，在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．2014—2015学年度第二学期期中考试高一数学试题参考答案一、选择题：每小题5分，共50分 DBCCC CDACA二、填空题：每小题5分，共25分11、37 12.7913、2或- 14. 23π 15.三、解答题：本大题共6小题，共75分 16．解：（Ⅰ）原式sin 40cos 40sin 40cos 40︒-︒=︒-︒………………………………3分cos 40sin 40sin 40cos 40︒-︒=︒-︒……………………………………5分1=-…………………………………… 6分（Ⅱ）证明：左222(sin cos )cos sin αααα+=-………………9分cos sin cos sin αααα+=-………………………11分1tan 1tan αα+==-右…………12分17．解:(Ⅰ)根据频率分布直方图,成绩不低于60分的频率为110(0.0040.010)0.86-⨯+=……………………3分由于该校高一年级共有学生1000人,利用样本估计总体的思想,可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数为10000.86860⨯=人 ………………………….6分(Ⅱ)成绩在[)40,50分数段内的人数为500.042⨯=人 ………………7分 成绩在[]90,100分数段内的人数为500.15⨯=人, …………………8分[40,50)内有2人,记为甲、A .[90,100)内有5人,记为乙、B 、C 、D 、E .则“二帮一”小组有以下20种分组办法:甲乙B ,甲乙C ,甲乙D ,甲乙E , 甲BC ,甲BD ,甲B E ,甲CD , 甲C E , 甲DE , A 乙B ,A 乙C ,A 乙D ,A 乙E,ABC ,ABD ,ABE , AC D ,ACE , ADE …………………………10分其中甲、乙两同学被分在同一小组有4种办法:甲乙B ,甲乙C ,甲乙D ,甲乙E 所以甲乙两同学恰好被安排在同一小组的概率为41205P == …………12分 18．（本小题12分）解：f （x ）=24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭函数)(x f 的最小正周期为 T π=, …………………2分函数()f x ……………………4分 （Ⅱ）由222,4k x k k z ππππ≤+≤+∈ …………………… 6分得3,88k x k k z ππππ-≤≤+∈函数()f x 的单调递减区间3[,],88k k k z ππππ-+∈ ……………………9分又[0,]x π∈,则()f x 在[0,]π上的单调递减区间为3[0,]8π,7[,]8ππ ………12分19．20.（本小题13分）21．（本小题14分）解：答案：（1）由题意知)(x f 的最小正周期2T π=,222T πωπωπ===所以2=ω …………………3分 所以()sin 46f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭…………………6分 (Ⅱ)将()f x 的图象向右平移个8π个单位后,得到)34sin(π-=x y 的图象,再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到)32sin(π-=x y 的图象.所以)32sin()(π-=x x g …………………8分因为02x π≤≤,所以22333x πππ-≤-≤………………10分()0g x k +=在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且只有一个实数解,即函数()y g x =与y k =-在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且只有一个交点,由正弦函数的图象可知k ≤-<或1k -= ……………………12分所以k <≤或1k =-………………………14分。