函数的概念课件.ppt成品
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函数完整版PPT课件
16
三角函数图像变换规律
振幅变换
通过改变函数前的系数，实现对函数图 像的纵向拉伸或压缩。
周期变换
通过改变函数内的系数，实现对函数图 像的横向拉伸或压缩。
2024/1/28
相位变换
通过改变函数内的常数项，实现对函数 图像的左右平移。
上下平移
通过在函数后加减常数，实现对函数图 像的上下平移。
17
三角函数周期性、奇偶性和单调性
了直线在 $y$ 轴上的位置。
03
性质
当 $k > 0$ 时，函数单调递增 ；当 $k < 0$ 时，函数单调递
减。
8
二次函数表达式与图像
2024/1/28
二次函数表达式
$y = ax^2 + bx + c$（$a neq 0$）
图像特点
一条抛物线，开口方向由 $a$ 决定（$a > 0$ 时向上开口 ，$a < 0$ 时向下开口），对称轴为 $x = -frac{b}{2a}$ ，顶点坐标为 $left(-frac{b}{2a}, c frac{b^2}{4a}right)$。
对数函数性质
单调性、定义域、值域等 。
13
指数对数方程求解
指数方程求解
通过换元法、配方法等方法将指数方 程转化为代数方程求解。
指数对数混合方程求解
综合运用指数和对数的性质及运算法 则进行求解。
对数方程求解
通过换底公式、消去对数等方法将对 数方程转化为代数方程求解。
2024/1/28
14
04
三角函数及其性质
函数完整版PPT课件
2024/1/28
1
目录
2024/1/28
• 函数基本概念与性质 • 一次函数与二次函数 • 指数函数与对数函数 • 三角函数及其性质 • 反三角函数及其性质 • 复合函数与分段函数 • 参数方程与极坐标方程
三角函数图像变换规律
振幅变换
通过改变函数前的系数，实现对函数图 像的纵向拉伸或压缩。
周期变换
通过改变函数内的系数，实现对函数图 像的横向拉伸或压缩。
2024/1/28
相位变换
通过改变函数内的常数项，实现对函数 图像的左右平移。
上下平移
通过在函数后加减常数，实现对函数图 像的上下平移。
17
三角函数周期性、奇偶性和单调性
了直线在 $y$ 轴上的位置。
03
性质
当 $k > 0$ 时，函数单调递增 ；当 $k < 0$ 时，函数单调递
减。
8
二次函数表达式与图像
2024/1/28
二次函数表达式
$y = ax^2 + bx + c$（$a neq 0$）
图像特点
一条抛物线，开口方向由 $a$ 决定（$a > 0$ 时向上开口 ，$a < 0$ 时向下开口），对称轴为 $x = -frac{b}{2a}$ ，顶点坐标为 $left(-frac{b}{2a}, c frac{b^2}{4a}right)$。
对数函数性质
单调性、定义域、值域等 。
13
指数对数方程求解
指数方程求解
通过换元法、配方法等方法将指数方 程转化为代数方程求解。
指数对数混合方程求解
综合运用指数和对数的性质及运算法 则进行求解。
对数方程求解
通过换底公式、消去对数等方法将对 数方程转化为代数方程求解。
2024/1/28
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04
三角函数及其性质
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2024/1/28
1
目录
2024/1/28
• 函数基本概念与性质 • 一次函数与二次函数 • 指数函数与对数函数 • 三角函数及其性质 • 反三角函数及其性质 • 复合函数与分段函数 • 参数方程与极坐标方程
《函数》数学PPT课件
经济领域中常见问题建模为函数关系
供需关系
在经济学中，供给和需求是两个重要的概念，它们之间的 关系可以用函数来表示。供给函数和需求函数的交点即为 市场均衡点。
生产成本与产量的关系
在制造业中，生产成本通常与产量有关。随着产量的增加 ，单位产品的成本可能会降低，这可以通过一个递减的函 数来表示。
投资回报与风险的关系
生活中常见问题建模为函数关系
路程、速度和时间的关系
s = vt，其中s是路程，v是速度，t是 时间。这是一个典型的线性函数关系 。
温度随时间的变化
在一天中，气温随时间变化而变化， 可以建立一个以时间为自变量、气温 为因变量的函数关系。
购物总价与数量的关系
总价 = 单价 × 数量。这也是一个线 性函数关系，可以通过函数图像来表 示。
三角函数定义
正弦、余弦、正切等函数 的定义域、值域及基本性 质。
三角函数图像
正弦、余弦、正切函数的 图像及其特点，如周期性 、振幅、相位等。
三角函数关系
同角三角函数关系式，如 平方关系、倒数关系、商 数关系等。
三角函数诱导公式和周期性质
诱导公式
通过角度的加减、倍角、半角等 变换，得到三角函数的诱导公式
当a>0时，二次函数有最小值，无最大值；当a<0时， 二次函数有最大值，无最小值
在实际问题中，可以通过二次函数的最值来解决最优化 问题
03
指数函数与对数函数
指数函数图像与性质
指数函数定义
形如y=a^x（a>0且a≠1）的函 数称为指数函数。
指数函数图像
当a>1时，图像在x轴上方，且随 着x的增大而增大；当0<a<1时， 图像在x轴上方，但随着x的增大而 减小。
函数的概念ppt课件
已学函数的定义域和值域
反比例函数 一次函数
y
k x
(k 0)
y ax b (a 0)
二次函数
y ax2 bx c (a 0)
a> 0
a< 0
图像
y ox
y ox
y ox
y ox
定义域 {x| x 0} R 值域 {y| y 0} R
R
R
{y
|
y
4ac 4a
b2}
{y
|
y
4ac 4a
(2) y (x 1)0 2 x 1
(1)
x 1 4 x
0 ,1
0
x
4,定义域是x
1
x
4
(2)
x
2 1
0
,
解得x
1且x
1, 定义域为
x
x 1且x 1
x 1 0
x2 x 12
解析:由题意得x2-x-12≥0,解得x≤-3或x≥4. 定义域为{x｜x≤-3或x≥4}
2x2 x 3 0, 2x2 x 3 0, (2x 3)(x 1) 0, 1 x 3
2 y 2x2 x 3 2(x 1)2 25 5 2
484
[0, 5 2 ] 4
2
o12 5 x
4.求下列函数的值域 (1).y 2x x 1
设t x 1，则t 0且x t2 1, 所以y 2(t2 1) t 2(t 1)2 15 ,[15 , )
它对应，就称f: A→B 为从集合A到集合B的一个函数，记作:
a
e
b
f
c
g
…
h …
A
B
f: A→B
y=f(x) , x∈A
函数的概念-完整版PPT课件
作“ 正无穷大”。 Nhomakorabea函数的概念
给定两个非空数集A和B,如果按照某个对应关系f,对 于A中的任何一个数x, 在集合B中都存在唯一确定的数 f(x)与之对应,那么就把对应关系f叫做定义在A的函数。
记作: f:A→B或 y= f(x) x∈A。
其中,x叫做自变量,集合A叫做定义域,
y叫做函数值,y的集合叫做值域。
函数的概念
研究函数时常会用到区间的概念。 设a，b是两个实数，而且a＜b。我们规定： （1）满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表
示为[a，b] （2）满足不等式a＜x＜b的实数x的集合叫做开区间，
表示为(a，b) （3）满足不等式a≤x＜b或a＜x≤b的实数x的集合叫做
半开半闭区间，分别表示为[a，b)，(a，b]
这里的实数a和b都叫做相应区间的端点。
函数的概念
定义 {x|a≤x≤b}
名称 闭区间
{x|a＜x＜b} 开区间
{x|a≤x＜b} {x|a＜x≤b}
半开半闭区 间
半开半闭区 间
符号 [a，b] (a，b) [a，b) (a，b]
数轴表示
. . a b
。a 。b
.a 。b . 。a b
函数的概念
实数R可以用区间表示(﹣∞，﹢∞)，“∞”读作“ 无穷大”，“﹣∞”读作“负无穷大”，“﹢∞”读
给定两个非空数集A和B,如果按照某个对应关系f,对 于A中的任何一个数x, 在集合B中都存在唯一确定的数 f(x)与之对应,那么就把对应关系f叫做定义在A的函数。
记作: f:A→B或 y= f(x) x∈A。
其中,x叫做自变量,集合A叫做定义域,
y叫做函数值,y的集合叫做值域。
函数的概念
研究函数时常会用到区间的概念。 设a，b是两个实数，而且a＜b。我们规定： （1）满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表
示为[a，b] （2）满足不等式a＜x＜b的实数x的集合叫做开区间，
表示为(a，b) （3）满足不等式a≤x＜b或a＜x≤b的实数x的集合叫做
半开半闭区间，分别表示为[a，b)，(a，b]
这里的实数a和b都叫做相应区间的端点。
函数的概念
定义 {x|a≤x≤b}
名称 闭区间
{x|a＜x＜b} 开区间
{x|a≤x＜b} {x|a＜x≤b}
半开半闭区 间
半开半闭区 间
符号 [a，b] (a，b) [a，b) (a，b]
数轴表示
. . a b
。a 。b
.a 。b . 。a b
函数的概念
实数R可以用区间表示(﹣∞，﹢∞)，“∞”读作“ 无穷大”，“﹣∞”读作“负无穷大”，“﹢∞”读
函数的概念课件.ppt成品
例1 已知函数
1 f ( x) x 3 x2
(1)求函数的定义域;
(2)求f(-3),f(2/3)的值;
(3)当a>0时,求f(a),f(-a) 的值. 分析:求函数的定义域就是指使这个式子
有意义的实数x的集合
17
五、例题
①定义域是研究任何函数的前提 ②函数的定义域常常由其实际 背景决定 ,若只给出解析式时 ,定义域就是使这个式子有意义的 实数x的集合.
1
1Hale Waihona Puke 522.53
4
2.5
5
7.5
10
12.5
15
20
对于问题2中所得的表格：
x y
-2
能否从集合 的角度来形 容这两种对 应关系呢？
2 3 …… ……
…… ……
-1 0
-2
-1
0
1
-5
1
-3
2
-1
3
1
3
5
-5
-3
-1
1
3
5
5
探 究
实际上，0.5，1，1.5，2，2.5，3，4可组成一个 数集{0.5，1，1.5，2，2.5，3，4}，记之为A； 2.5，5，7.5，10，12.5，15，20也可组成一个数 集 {0.5，1，1.5，2，2.5，3，4}，记之为B；
A中的任意一个时间t,按照表格,在数集B中都有唯一确定的系 数和它对应
10
问题： 三个实例有什么共同点和不同点？ 不同点
实例（1）是用解析式刻画变量之间的对应关系，
实例（2）是用图象刻画变量之间的对应关系， 实例（3）是用表格刻画变量之间的对应关系； 共同点
（1）都有两个非空数集
函数的概念与表示法课件(共19张PPT)
( x 1) 1 x 的定义域为_____ (2)函数 y ( x 1)
解题回顾：求函数f(x)的定义域，只需使解析式有 意义，列不等式组求解.
抽象函数定义域问题：
抽象函数 ：没有给出具体解析式的函数 2. (1)已知函数 y
1 y f ( x 1) 的定义域为______ 2
探究提高: 分段函数是一类重要的函数模型.解决分段函数问题，
关键要抓住在不同的段内研究问题.
如本例，需分x>0时，f(x)=x的解的个数
和x≤0时，f(x)=x的解的个数.
“分段函数分段考察”
五 抽象函数
定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R),
f(1)=2,则f(-3)等于( C ) A.2 B.3 C.6
推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数 的两个集合A、B必须是非空数集.
典型例题：
一：函数的基本概念：
1.设集合M={x|0≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，那么下面 的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有 ( )
A.①②③④
B.①②③
C.②③
D.②
解析：由函数的定义，要求函数在定义域上都有图 象，并且一个x对应着一个y，据此排除①④，选C.
A
B
x
f ( x)
（2）函数的定义域、值域： 在函数 y f ( x ), x A 中，x叫做自变量,x的取 值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值 叫做函数值，函数值的集合f ( x) x A 叫做函数的 值域。 （3）函数的三要素：定义域、值域和对应法则 . （4）相等函数：如果两个函数的定义域和对应法则完 全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的 依据.
函数的概念ppt课件
→s=x 十y;
⑥A={x|—1≤x≤1,x∈R},B={0}, 对应关系f:x→
y=0.
A.①⑤⑥
B.②④⑤⑥
C.②③④
D.①②③⑤
【思维·引】
1.在x 轴上区间[0,2]内作与x 轴垂直的直线，此直线 与函数的图象恰有一个公共点.
2.先看集合A,B 是否为非空数集，再判断非空数集A 中任取一个数，在非空数集 B 中是否有唯一的数与之 对应.
②求f(g(a)): 已 知f(x) 与 g(x), 求 f(g(a)) 的值应遵 循由里往外的原则.
(2)关注点：用来替换解析式中x 的 数a 必须是函数定 义域内的值，否则函数无意义.
习练 ·破
1.若f(x)=ax²—√2,a 为正实数，且f(f(√2))=—√2, 则 a=
2.设f(x)=2x²+2,
函数的定义，所以A 不是函数.B.由 |x—1|+√y²-1=
0得， |x—1|=0,√y²-1=0, 所以x=1,y=±1, 所以
●
( 1 ) 求 f(2),f(a+3),g
—2),g(f(2)). (2)求g(f(x)).
(a)+g(0)(a≠
≠—2),
【加练·固】
若
(x≠—1), 求 f(0),f(1),
f(1—a)(a≠2),f(f(2)) 的值.
课堂达标检测
1.下列图形中，不能确定y 是x 的函数的是
y
3
(
)
3
x
⑥对于由实际问题的背景确定的函数，其定义域还要受 实际问题的制约.
★习练·破
求下列函数的定义域：
(1
;(2)y=√x- 1·√1—x;
③
函数概念及性质课件
03
函数的运算
函数的四则运算
01
02
03
04
加法运算
函数加法是指将两个函数的值 分别对应相加，得到一个新的
函数。
减法运算
函数减法是指将一个函数的值 对应相减，得到一个新的函数
。
乘法运算
函数乘法是指将两个函数的值 分别对应相乘，得到一个新的
函数。
除法运算
函数除法是指将一个函数的值 对应相除，得到一个新的函数
幂函数的定义
幂函数是指形式为$y=x^n$的函数，其中$n$为实数。
幂函数的性质
幂函数具有指数为实数、幂次为整数、幂次为负数等性质，其性质与 指数和幂次有关。
幂函数的图象
幂函数的图象根据指数的不同而变化，当指数为正整数时，幂函数的 图象为凸函数；当指数为负整数时，幂函数的图象为凹函数。
对数函数
对数函数
利用函数的单调性
通过函数的单调性判断函 数的增减性，进而解决不 等式问题。
利用函数的奇偶性
利用函数的奇偶性判断函 数的对称性，简化函数图 像的绘制。
利用函数的周期性
利用函数的周期性，可以 快速求解一些周期性问题 。
利用函数解决物理问题
描述运动规律
利用函数描述物体的运动规律， 如匀速运动、匀加速运动等。
分析电路特性
利用函数分析电路的电压、电流 等特性，理解电路的工作原理。
解决波动问题
利用函数描述波动现象，如声波 、光波等，分析波的传播规律。
05
函数的扩展Байду номын сангаас识
分段函数
分段函数
分段函数是指函数在其定义域的不同 区间上由不同的表达式所表示的函数 。分段函数广泛应用于实际生活中， 如气温变化、人口增长等。
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1
第一课时 第一课时
知识点回顾
大家还记得，初中数学函数的定义吗？ 大家还记得，初中数学函数的定义吗？ 在一个变化过程中，有两个变量 和 ， 在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果给 定了一个x值 相应的就确定唯一一个y值 定了一个 值，相应的就确定唯一一个 值，那 么我们称y是 的函数 其中x是自变量 的函数， 是自变量， 是因 么我们称 是x的函数，其中 是自变量，y是因 变量 初中阶段我们都学过那些函数呢？ 初中阶段我们都学过那些函数呢？ 一次函数： 为常数， 一次函数：y=kx+b（k，b为常数，k≠0） （ ， 为常数 ） 二次函数： 为常数， ） 二次函数：y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0） ² （ ， ， 为常数 反比例函数： ＝ ／ 为常数且 为常数且k≠0) 反比例函数：y＝k／x(k为常数且
2
例4.求下列函数的值域 求下列函数的值域: 求下列函数的值域
2x − 1 3x + 2 (1) y = ( 2) y = x+2 x−3 2 2 x + 2x − 3 2x − x − 3 ( 3) y = 2 ( 4) y = 2 x − x+1 x + x +1
21
小结 1.学会求定义域 即使函数式有意义的自变量的取 学会求定义域: 学会求定义域 值范围.注意根式 分式、零次幂有意义的条件。 注意根式、 值范围 注意根式、分式、零次幂有意义的条件。 2.两个函数相等的条件 两个函数的定义域相同 两个函数相等的条件: 两个函数的定义域相同, 两个函数相等的条件 并且对应关系完全一样. 并且对应关系完全一样 3.学会求值域 学会求值域: 学会求值域 (1)求一次函数 反比例函数 二次函数的值域 求一次函数,反比例函数 二次函数的值域. 求一次函数 反比例函数,二次函数的值域 ax + b (2)求形如 y = 的函数的值域. 求形如 的函数的值域 cx + d 2 域.
数集B={53.8 52.9 50.1 49.9 49.9 48.6 46.4 44.5 41.9 39.2 37.9}
A中的任意一个时间t,按照表格,在数集B中都有唯一确定的系 数和它对应
10
问题（ ）：以上三个例子的共同特点是什么 问题（4）：以上三个例子的共同特点是什么？ 归纳以上三个实例，我们看到， 归纳以上三个实例，我们看到，三个实例中 变量之间的关系都可描述为：对于数集 变量之间的关系都可描述为：对于数集A 中的每一个x，按照某种对应关系f， 中的每一个 ，按照某种对应关系 ，在数集 B中都有唯一确定的 和它对应 对应关系有 中都有唯一确定的y和它对应 中都有唯一确定的 和它对应.对应关系有 解析式，图象，表格． 解析式，图象，表格．
X(米 X(米)
0.5
1.5 2 2.5 3 7.5 10 12.5 15
4 …… 20 ……
问题2、 请填写下表： 问题 、已知一次函数 y = 2 x − 1 ，请填写下表：
x y …… …… -2 -1 0 1 2 3
-5
-3
-1
1
3
5
…… ……
4
探 究
对于问题1中所得的表格：
X(米 X(米) y （ 元） 0.5 1 0.5 2.5 1.5 1 5 2 1.5 7.5 2.5 2 10 3 2.5 12.5 4 3 15 4 20 …… ……
数轴表示
{xa<x<b} {xa≤x<b}
{xa< x ≤b}
[a, b]
(a, b )
[a , b )
(a , b ]
14
半开半闭 区间 半开半闭 区间
思 考
问题（ ）：想一想，实数集， ）：想一想 问题（6）：想一想，实数集， 用区间应如何表示呢？ 用区间应如何表示呢？
x ≥ a, x > a, x ≤ b, x < b
{
}
值域是集合B的子集。 值域是集合B的子集。
12
问题（ ）：初中学过哪些函数？它们的定义域、值 问题（5）：初中学过哪些函数？它们的定义域、值域、 对应关系分别是什么？怎样理解y=f(x)的意义 对应关系分别是什么？怎样理解y=f(x)的意义？
对应关系 对应关系 定义域 值域 函数 一次 函数
4ac−b2 4a
1 (1) y = 2 x + 3x + 2 ( 3) y =
3
1 ( 2) y = 2 x + 3 − 2− x 5− x ( 4) y = 2 x −9
4− x − x0 x +1
2.(1)已知函数 已知函数y=f(x)的定义域是 的定义域是[1,3],求 已知函数 的定义域是 求 函数y=f(2x-1)的定义域 的定义域. 函数 的定义域 (2)已知函数 已知函数y=f(x)的定义域是 的定义域是[0,2],求函 已知函数 的定义域是 求函 的定义域. 数y=f(1-x)的定义域 的定义域
ax + bx + c (3)用判别式求形如 y = 2 用判别式求形如 的函数的值 dx + ex + f
22
作 业
23
18
练习巩固
1、求下列函数的定义域： 求下列函数的定义域：
x+1 （1）f (x) = （2）f 2x−4
f ( x) = 1 − x （3） ( x) = ）
2x x −1
2、已知函数 f ( x) = x
2
− x ，求f（-1）， f（2）
19
补充练习: 补充练习 1.求下列函数的定义域 求下列函数的定义域: 求下列函数的定义域
高度h的变化范围是数集B = {h 0 ≤ h ≤ 845}
A中的任意一个时间t,按照对应关系h=130t-5t2,在数 集B中都有唯一确定的高度h和它对应
8
实例二: 实例二:臭氧层空洞面积
近几十年来,大气层中的臭氧 迅速减少,因而出现了臭氧层 空洞问题,右图曲线显示了南 极上空臭氧层空洞的面积从 1979—2001年变化情况
y= x
3
3
2
2
x y = x
17
小结: 小结:
1. 判断两个变量是否有函数关系: (1)定义域和对应法则是否给出 (2)根据给出的对应法则,自变量x在其定义域 中的每个值,是否都能确定唯一的函数值y 2.f(x)只是一种函数记号,也可以记作g(x),h(x) 3. 对应法则可以是式子也可以是图象或表格.
说明:(1)区间是集合 区间是集合;(2)区间上的左端点必 说明 区间是集合 区间上的左端点必 端点;(3)区间 的 是点, 端点 区间 是点 表示;(4) 何区间 用数 表示 数 上 ;(5) − ∞ + ∞ 区间一端 , 表示 ; 一端必 用
15
例1 已知函数
1 f (x) = x + 3 + x+2
(1)求函数的定义域; (2)求f(-3),f(2/3)的值; (3)当a>0时,求f(a),f(-a) 的值. 分析:求函数的定义域就是指使这个式子 有意义的实数x的集合
16
函数相等的要点
定义域 对应关系
完全一致
例: 下列函数中哪个与函数y=x相等 (1) (3)
y = ( x)
y= x
2
（2） （4）
2
思 考 题
y=1是函数吗？ y=1是函数吗？ 是函数吗
x y = x 与 y = 是同一个函数吗？ 是同一个函数吗？ x
2
3
做 一 做
问题1、学校去市场采购教学用布， 问题 、学校去市场采购教学用布，已知某种布的价 格为5元 米 设学校购买这种布x米 格为 元/米，设学校购买这种布 米，付款额 为y元，请大家完成下表： 元 请大家完成下表： 1 y（元） 2.5 5
2.5
7.5
10
12.5
15
20
对于问题2中所得的表格：
x y
-2
能否从集合 的角度来形 容这两种对 应关系呢 应关系呢？
2 3
…… ……
-1 0
-2
-1
0
1
-5
1
-3
2
-1
3
1
3
5
…… ……
-5
-3
-1
1
3
5
5
探 究
实际上，0.5，1，1.5，2，2.5，3，4可组成一个 数集{0.5，1，1.5，2，2.5，3，4}，记之为A； 2.5，5，7.5，10，12.5，15，20也可组成一个数 {0.5 1 1.5 2 2.5 3 4} 集 {0.5，1，1.5，2，2.5，3，4}，记之为B； 这样，下列对应关系
-2 -1 0 1 2 3
-5
-3
-1
1
3
5
也就是数集C与数集之间D的一种对应关系
7
实例一: 实例一:炮弹飞行
一枚炮弹发射后,经过26s落到地面击中目标,炮弹的 射高为845m,且炮弹距地面的高度h(单位:m)随着 时间t(单位:s)变化规律是 h=130t-5t2
时间t的变化范围是数集 A = {t 0 ≤ t ≤ 26}
11
函数的定义： 设A,B 是非空数集，如果按照某种确定的 对应关系f ，使对于集合A 中的任一个数x 对应关系f ，使对于集合A 中的任一个数x ， 在集合 B中都有唯一确定的数f(x)和它对应， 中都有唯一确定的数f(x)和它对应， f : A→B 那么就称 为从集A到集合B 为从集A到集合B的一个函数， x∈ 记作 y=f(x), . 其中，x 叫自变量，x 的取 其中，x 叫自变量，x A 值范围A 叫做函数的定义域；与x 值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对 应的y 应的y 值叫做函数值，函数值的集合 叫做函数的值域。 叫做函数的值域。 f (x) x∈A
1
第一课时 第一课时
知识点回顾
大家还记得，初中数学函数的定义吗？ 大家还记得，初中数学函数的定义吗？ 在一个变化过程中，有两个变量 和 ， 在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果给 定了一个x值 相应的就确定唯一一个y值 定了一个 值，相应的就确定唯一一个 值，那 么我们称y是 的函数 其中x是自变量 的函数， 是自变量， 是因 么我们称 是x的函数，其中 是自变量，y是因 变量 初中阶段我们都学过那些函数呢？ 初中阶段我们都学过那些函数呢？ 一次函数： 为常数， 一次函数：y=kx+b（k，b为常数，k≠0） （ ， 为常数 ） 二次函数： 为常数， ） 二次函数：y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0） ² （ ， ， 为常数 反比例函数： ＝ ／ 为常数且 为常数且k≠0) 反比例函数：y＝k／x(k为常数且
2
例4.求下列函数的值域 求下列函数的值域: 求下列函数的值域
2x − 1 3x + 2 (1) y = ( 2) y = x+2 x−3 2 2 x + 2x − 3 2x − x − 3 ( 3) y = 2 ( 4) y = 2 x − x+1 x + x +1
21
小结 1.学会求定义域 即使函数式有意义的自变量的取 学会求定义域: 学会求定义域 值范围.注意根式 分式、零次幂有意义的条件。 注意根式、 值范围 注意根式、分式、零次幂有意义的条件。 2.两个函数相等的条件 两个函数的定义域相同 两个函数相等的条件: 两个函数的定义域相同, 两个函数相等的条件 并且对应关系完全一样. 并且对应关系完全一样 3.学会求值域 学会求值域: 学会求值域 (1)求一次函数 反比例函数 二次函数的值域 求一次函数,反比例函数 二次函数的值域. 求一次函数 反比例函数,二次函数的值域 ax + b (2)求形如 y = 的函数的值域. 求形如 的函数的值域 cx + d 2 域.
数集B={53.8 52.9 50.1 49.9 49.9 48.6 46.4 44.5 41.9 39.2 37.9}
A中的任意一个时间t,按照表格,在数集B中都有唯一确定的系 数和它对应
10
问题（ ）：以上三个例子的共同特点是什么 问题（4）：以上三个例子的共同特点是什么？ 归纳以上三个实例，我们看到， 归纳以上三个实例，我们看到，三个实例中 变量之间的关系都可描述为：对于数集 变量之间的关系都可描述为：对于数集A 中的每一个x，按照某种对应关系f， 中的每一个 ，按照某种对应关系 ，在数集 B中都有唯一确定的 和它对应 对应关系有 中都有唯一确定的y和它对应 中都有唯一确定的 和它对应.对应关系有 解析式，图象，表格． 解析式，图象，表格．
X(米 X(米)
0.5
1.5 2 2.5 3 7.5 10 12.5 15
4 …… 20 ……
问题2、 请填写下表： 问题 、已知一次函数 y = 2 x − 1 ，请填写下表：
x y …… …… -2 -1 0 1 2 3
-5
-3
-1
1
3
5
…… ……
4
探 究
对于问题1中所得的表格：
X(米 X(米) y （ 元） 0.5 1 0.5 2.5 1.5 1 5 2 1.5 7.5 2.5 2 10 3 2.5 12.5 4 3 15 4 20 …… ……
数轴表示
{xa<x<b} {xa≤x<b}
{xa< x ≤b}
[a, b]
(a, b )
[a , b )
(a , b ]
14
半开半闭 区间 半开半闭 区间
思 考
问题（ ）：想一想，实数集， ）：想一想 问题（6）：想一想，实数集， 用区间应如何表示呢？ 用区间应如何表示呢？
x ≥ a, x > a, x ≤ b, x < b
{
}
值域是集合B的子集。 值域是集合B的子集。
12
问题（ ）：初中学过哪些函数？它们的定义域、值 问题（5）：初中学过哪些函数？它们的定义域、值域、 对应关系分别是什么？怎样理解y=f(x)的意义 对应关系分别是什么？怎样理解y=f(x)的意义？
对应关系 对应关系 定义域 值域 函数 一次 函数
4ac−b2 4a
1 (1) y = 2 x + 3x + 2 ( 3) y =
3
1 ( 2) y = 2 x + 3 − 2− x 5− x ( 4) y = 2 x −9
4− x − x0 x +1
2.(1)已知函数 已知函数y=f(x)的定义域是 的定义域是[1,3],求 已知函数 的定义域是 求 函数y=f(2x-1)的定义域 的定义域. 函数 的定义域 (2)已知函数 已知函数y=f(x)的定义域是 的定义域是[0,2],求函 已知函数 的定义域是 求函 的定义域. 数y=f(1-x)的定义域 的定义域
ax + bx + c (3)用判别式求形如 y = 2 用判别式求形如 的函数的值 dx + ex + f
22
作 业
23
18
练习巩固
1、求下列函数的定义域： 求下列函数的定义域：
x+1 （1）f (x) = （2）f 2x−4
f ( x) = 1 − x （3） ( x) = ）
2x x −1
2、已知函数 f ( x) = x
2
− x ，求f（-1）， f（2）
19
补充练习: 补充练习 1.求下列函数的定义域 求下列函数的定义域: 求下列函数的定义域
高度h的变化范围是数集B = {h 0 ≤ h ≤ 845}
A中的任意一个时间t,按照对应关系h=130t-5t2,在数 集B中都有唯一确定的高度h和它对应
8
实例二: 实例二:臭氧层空洞面积
近几十年来,大气层中的臭氧 迅速减少,因而出现了臭氧层 空洞问题,右图曲线显示了南 极上空臭氧层空洞的面积从 1979—2001年变化情况
y= x
3
3
2
2
x y = x
17
小结: 小结:
1. 判断两个变量是否有函数关系: (1)定义域和对应法则是否给出 (2)根据给出的对应法则,自变量x在其定义域 中的每个值,是否都能确定唯一的函数值y 2.f(x)只是一种函数记号,也可以记作g(x),h(x) 3. 对应法则可以是式子也可以是图象或表格.
说明:(1)区间是集合 区间是集合;(2)区间上的左端点必 说明 区间是集合 区间上的左端点必 端点;(3)区间 的 是点, 端点 区间 是点 表示;(4) 何区间 用数 表示 数 上 ;(5) − ∞ + ∞ 区间一端 , 表示 ; 一端必 用
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例1 已知函数
1 f (x) = x + 3 + x+2
(1)求函数的定义域; (2)求f(-3),f(2/3)的值; (3)当a>0时,求f(a),f(-a) 的值. 分析:求函数的定义域就是指使这个式子 有意义的实数x的集合
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函数相等的要点
定义域 对应关系
完全一致
例: 下列函数中哪个与函数y=x相等 (1) (3)
y = ( x)
y= x
2
（2） （4）
2
思 考 题
y=1是函数吗？ y=1是函数吗？ 是函数吗
x y = x 与 y = 是同一个函数吗？ 是同一个函数吗？ x
2
3
做 一 做
问题1、学校去市场采购教学用布， 问题 、学校去市场采购教学用布，已知某种布的价 格为5元 米 设学校购买这种布x米 格为 元/米，设学校购买这种布 米，付款额 为y元，请大家完成下表： 元 请大家完成下表： 1 y（元） 2.5 5
2.5
7.5
10
12.5
15
20
对于问题2中所得的表格：
x y
-2
能否从集合 的角度来形 容这两种对 应关系呢 应关系呢？
2 3
…… ……
-1 0
-2
-1
0
1
-5
1
-3
2
-1
3
1
3
5
…… ……
-5
-3
-1
1
3
5
5
探 究
实际上，0.5，1，1.5，2，2.5，3，4可组成一个 数集{0.5，1，1.5，2，2.5，3，4}，记之为A； 2.5，5，7.5，10，12.5，15，20也可组成一个数 {0.5 1 1.5 2 2.5 3 4} 集 {0.5，1，1.5，2，2.5，3，4}，记之为B； 这样，下列对应关系
-2 -1 0 1 2 3
-5
-3
-1
1
3
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也就是数集C与数集之间D的一种对应关系
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实例一: 实例一:炮弹飞行
一枚炮弹发射后,经过26s落到地面击中目标,炮弹的 射高为845m,且炮弹距地面的高度h(单位:m)随着 时间t(单位:s)变化规律是 h=130t-5t2
时间t的变化范围是数集 A = {t 0 ≤ t ≤ 26}
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函数的定义： 设A,B 是非空数集，如果按照某种确定的 对应关系f ，使对于集合A 中的任一个数x 对应关系f ，使对于集合A 中的任一个数x ， 在集合 B中都有唯一确定的数f(x)和它对应， 中都有唯一确定的数f(x)和它对应， f : A→B 那么就称 为从集A到集合B 为从集A到集合B的一个函数， x∈ 记作 y=f(x), . 其中，x 叫自变量，x 的取 其中，x 叫自变量，x A 值范围A 叫做函数的定义域；与x 值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对 应的y 应的y 值叫做函数值，函数值的集合 叫做函数的值域。 叫做函数的值域。 f (x) x∈A